基礎強化数学　第18回

1. 第18回
約数と倍数、
1元不定方程式、
n進法
～意外ととっつきやすい単元かも？～

2. 数学ⅠA・ⅡB(第５回～第２０回）
第5回 平方根、指数、指数関数、対数関数（Ⅰ、Ⅱ）
第6回 絶対値、一元不等式、展開・因数分解（Ⅰ、Ⅱ）
第7回 場合の数と確率、二項定理（Ａ、Ⅱ）
第8回 2次関数のグラフ、2次方程式と2次不等式、解と係数の関係（Ⅰ、Ⅱ）
第9回 微分係数と導関数、3次関数のグラフ、積分法（Ⅱ）
第10回 数列①（Ｂ）
第11回 数列②（Ｂ）
第12回 整式の割り算、剰余定理、因数定理（Ⅱ、Ⅰ）
第13回 三角比、三角形への応用、弧度法、加法定理、グラフ（Ⅰ、Ⅱ）
第14回 平面図形、空間図形、集合と命題（Ａ、Ⅰ）
第15回 距離、内分・外分、点と直線の距離、円と直線、2つの円、軌跡と領域（Ⅱ）
第16回 ベクトル①（Ｂ）：基本、内分、重心、内積
第17回 ベクトル②（Ｂ）：ベクトル方程式、ベクトルと図形、空間ベクトル
第18回 約数と倍数、1元不定方程式、n進法（Ａ）
第19回 データの分析（Ⅰ）
第20回 恒等式、等式と不等式の証明、複素数（Ⅱ）

3. 約数と倍数
𝑒𝑥1) 10の約数は？ 1,2,5,10, −1, −2, −5, −10
𝑒𝑥2) 3644 が9の倍数であるとき、 に入る数は？
2の倍数 → 1の位が0,2,4,6,8のどれか
5の倍数 → 1の位が0,5のどれか
4の倍数 → 下2桁が4の倍数
3の倍数 → 各位の数の和が3の倍数
9の倍数 → 〃 9の倍数
3 + 6 + 4 + 4 + = (9の倍数)
17 + = (9の倍数) = 1
𝑒𝑥3) 504を素因数分解せよ。
504 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 7 = 23 × 32 × 7

4. 𝑒𝑥4) 200の正の約数の個数はいくつか。
200 = 23
× 52
200の正の約数は 素因数2を3個以下
素因数5を2個以下
もつ
20 × 50 = 1 20 × 51 = 5 20 × 52 = 25
21 × 50 = 2 21 × 51 = 10 21 × 52 = 50
22 × 50 = 4 22 × 51 = 20 22 × 52 = 100
23 × 50 = 8 23 × 51 = 40 23 × 52 = 200
3 + 1 × 2 + 1 = 12個

5. 𝑒𝑥5) 6と8の最大公約数、最小公倍数は？
6の約数：1 , 2 , 3 , 6
8の約数：1 , 2 , 4 , 8
最大公約数：2
6の倍数：6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, …
8の倍数：8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, …
最大公約数：24
6 = 21 × 31
8 = 23 × 30
× 4
× 3
(= 22)
(= 31)
24
𝑒𝑥6) 72と240の最大公約数、最小公倍数は？
72 = 23
× 32
× 50
240 = 24 × 31 × 51
最大公約数：23 × 31 × 50 = 24
最小公倍数：24
× 32
× 51
= 720

6. 1次不定方程式 x+ y+ =0(ただしx,yは整数)
𝑒𝑥1) 3𝑥 − 4𝑦 = 0の整数解を求めよ。
3𝑥 = 4𝑦
4の倍数 4の倍数
4の倍数
のはず！
𝑥 = 4𝑘 𝑘: 整数
3 ∙ 4𝑘 = 4𝑦 𝑦 = 3𝑘
よって 𝑥 = 4𝑘, 𝑦 = 3𝑘 𝑘: 整数
𝑒𝑥2) 4𝑥 + 7𝑦 = 1の整数解を求めよ。
4 ∙ 2 + 7 ∙ −1 = 1 ・・・②
・・・①
①－②より 4 ∙ 𝑥 − 2 + 7 ∙ 𝑦 + 1 = 0
4 ∙ 𝑥 − 2 = −7 ∙ 𝑦 + 1
𝑥 − 2 = 7𝑘 𝑘: 整数 𝑥 = 7𝑘 + 2
4 ∙ 7𝑘 = −7 ∙ 𝑦 + 1 𝑦 = −4𝑘 − 1
よって 𝑥 = 7𝑘 + 2, 𝑦 = −4𝑘 − 1 𝑘: 整数
𝑒𝑥1と同じ形！
自分で解を1組見つける

7. ※ 𝑥 + 𝑦 = 1 の解の見つけ方
① ÷ を行う
②（余りを とすると） ÷ を行う
③余りが1になるまでループ
④「余り＝……」の式を複数作る
⑤代入・整理を繰り返し、与式に近い形を作る
（ のほうが大きいことにする）
𝑒𝑥3) 45𝑥 + 32𝑦 = 4 ・・・①の整数解を求めよ。
45𝑥 + 32𝑦 = 1 を考える。
45 ∙ 5 + 32 ∙ −7 = 1
①－②より … （中略）
45 ∙ 5 ∙ 4 + 32 ∙ −7 ∙ 4 = 1 ∙ 4
45 ∙ 20 + 32 ∙ −28 = 4 ・・・②
𝑥 = 32𝑘 + 20, 𝑦 = −45𝑘 − 28
13 = 45 − 32 ∙ 1
6 = 32 − 13 ∙ 2
1 = 13 − 6 ∙ 2
1 = 13 − 32 − 13 ∙ 2 ∙ 2
= 13 ∙ 5 − 32 ∙ 2
= 45 − 32 ∙ 1 ∙ 5 − 32 ∙ 2
= 45 ∙ 5 − 32 ∙ 7
= 45 ∙ 5 + 32 ∙ −7
𝑘: 整数

8. n進法
1234 = 1 × 千 + 2 × 百 + 3 × 十 + 4 × 一
10進法
1101(2) = 1 × 23
+ 1 × 22
+ 0 × 21
+ 1 × 20
2進法
10進法の数13のこと！
●基本
= 1 × 103 + 2 × 102 + 3 × 101 + 4 × 100

9. 13 = × 23
+ × 22
+ × 21
+ × 20
13 1101(2)
１０進法 ２進法
★
2 13
2 6 ⋯ 1
2 3 ⋯ 0
2 1 ⋯ 1
0 ⋯ 1
０になるまでやる
★
0.625 = ×
1
21 + ×
1
22 + ×
1
23
0.625 0.101(2)
１０進法 ２進法
★
0.625
× 2
1.25
× 2
0.5
× 2
1
★
整数になるまでやる
●整数ver
●小数ver

10. 11011(2) + 111(2) =？
ex1
100101(2) − 1011(2) =？
ex2
100101
1011
−
11010(2)
1011(2) × 1101(2) =？
ex3
1011
1101
×
1011
0000
1011
1011
10001111(2)
1
1
1
1
101001101
1001
100101(2)
1001
0001011
ex4 101001101(2) ÷ 1001(2) =？
1001
11011
111
+
100010(2)
11111
001001
1001
0
10進法 0123456789
2進法 01
繰り上がり
●2進法の四則計算
1
1
1
1