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基礎強化数学 第18回

基礎強化数学 第18回

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第18回
約数と倍数、
1元不定方程式、
n進法
~意外ととっつきやすい単元かも?~
数学ⅠA・ⅡB(第5回~第20回)
第5回 平方根、指数、指数関数、対数関数(Ⅰ、Ⅱ)
第6回 絶対値、一元不等式、展開・因数分解(Ⅰ、Ⅱ)
第7回 場合の数と確率、二項定理(A、Ⅱ)
第8回 2次関数のグラフ、2次方程式と2次不等式、解と係数の関係(Ⅰ、Ⅱ)
第9回 微分係数と導関数、3次関数のグラフ、積分法(Ⅱ)
第10回 数列①(B)
第11回 数列②(B)
第12回 整式の割り算、剰余定理、因数定理(Ⅱ、Ⅰ)
第13回 三角比、三角形への応用、弧度法、加法定理、グラフ(Ⅰ、Ⅱ)
第14回 平面図形、空間図形、集合と命題(A、Ⅰ)
第15回 距離、内分・外分、点と直線の距離、円と直線、2つの円、軌跡と領域(Ⅱ)
第16回 ベクトル①(B):基本、内分、重心、内積
第17回 ベクトル②(B):ベクトル方程式、ベクトルと図形、空間ベクトル
第18回 約数と倍数、1元不定方程式、n進法(A)
第19回 データの分析(Ⅰ)
第20回 恒等式、等式と不等式の証明、複素数(Ⅱ)
約数と倍数
𝑒𝑥1) 10の約数は? 1,2,5,10, −1, −2, −5, −10
𝑒𝑥2) 3644 が9の倍数であるとき、 に入る数は?
2の倍数 → 1の位が0,2,4,6,8のどれか
5の倍数 → 1の位が0,5のどれか
4の倍数 → 下2桁が4の倍数
3の倍数 → 各位の数の和が3の倍数
9の倍数 → 〃 9の倍数
3 + 6 + 4 + 4 + = (9の倍数)
17 + = (9の倍数) = 1
𝑒𝑥3) 504を素因数分解せよ。
504 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 7 = 23 × 32 × 7
𝑒𝑥4) 200の正の約数の個数はいくつか。
200 = 23
× 52
200の正の約数は 素因数2を3個以下
素因数5を2個以下
もつ
20 × 50 = 1 20 × 51 = 5 20 × 52 = 25
21 × 50 = 2 21 × 51 = 10 21 × 52 = 50
22 × 50 = 4 22 × 51 = 20 22 × 52 = 100
23 × 50 = 8 23 × 51 = 40 23 × 52 = 200
3 + 1 × 2 + 1 = 12個
𝑒𝑥5) 6と8の最大公約数、最小公倍数は?
6の約数:1 , 2 , 3 , 6
8の約数:1 , 2 , 4 , 8
最大公約数:2
6の倍数:6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, …
8の倍数:8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, …
最大公約数:24
6 = 21 × 31
8 = 23 × 30
× 4
× 3
(= 22)
(= 31)
24
𝑒𝑥6) 72と240の最大公約数、最小公倍数は?
72 = 23
× 32
× 50
240 = 24 × 31 × 51
最大公約数:23 × 31 × 50 = 24
最小公倍数:24
× 32
× 51
= 720
1次不定方程式 x+ y+ =0(ただしx,yは整数)
𝑒𝑥1) 3𝑥 − 4𝑦 = 0の整数解を求めよ。
3𝑥 = 4𝑦
4の倍数 4の倍数
4の倍数
のはず!
𝑥 = 4𝑘 𝑘: 整数
3 ∙ 4𝑘 = 4𝑦 𝑦 = 3𝑘
よって 𝑥 = 4𝑘, 𝑦 = 3𝑘 𝑘: 整数
𝑒𝑥2) 4𝑥 + 7𝑦 = 1の整数解を求めよ。
4 ∙ 2 + 7 ∙ −1 = 1 ・・・②
・・・①
①-②より 4 ∙ 𝑥 − 2 + 7 ∙ 𝑦 + 1 = 0
4 ∙ 𝑥 − 2 = −7 ∙ 𝑦 + 1
𝑥 − 2 = 7𝑘 𝑘: 整数 𝑥 = 7𝑘 + 2
4 ∙ 7𝑘 = −7 ∙ 𝑦 + 1 𝑦 = −4𝑘 − 1
よって 𝑥 = 7𝑘 + 2, 𝑦 = −4𝑘 − 1 𝑘: 整数
𝑒𝑥1と同じ形!
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  • 3. 約数と倍数 𝑒𝑥1) 10の約数は? 1,2,5,10, −1, −2, −5, −10 𝑒𝑥2) 3644 が9の倍数であるとき、 に入る数は? 2の倍数 → 1の位が0,2,4,6,8のどれか 5の倍数 → 1の位が0,5のどれか 4の倍数 → 下2桁が4の倍数 3の倍数 → 各位の数の和が3の倍数 9の倍数 → 〃 9の倍数 3 + 6 + 4 + 4 + = (9の倍数) 17 + = (9の倍数) = 1 𝑒𝑥3) 504を素因数分解せよ。 504 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 7 = 23 × 32 × 7
  • 4. 𝑒𝑥4) 200の正の約数の個数はいくつか。 200 = 23 × 52 200の正の約数は 素因数2を3個以下 素因数5を2個以下 もつ 20 × 50 = 1 20 × 51 = 5 20 × 52 = 25 21 × 50 = 2 21 × 51 = 10 21 × 52 = 50 22 × 50 = 4 22 × 51 = 20 22 × 52 = 100 23 × 50 = 8 23 × 51 = 40 23 × 52 = 200 3 + 1 × 2 + 1 = 12個
  • 5. 𝑒𝑥5) 6と8の最大公約数、最小公倍数は? 6の約数:1 , 2 , 3 , 6 8の約数:1 , 2 , 4 , 8 最大公約数:2 6の倍数:6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, … 8の倍数:8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, … 最大公約数:24 6 = 21 × 31 8 = 23 × 30 × 4 × 3 (= 22) (= 31) 24 𝑒𝑥6) 72と240の最大公約数、最小公倍数は? 72 = 23 × 32 × 50 240 = 24 × 31 × 51 最大公約数:23 × 31 × 50 = 24 最小公倍数:24 × 32 × 51 = 720
  • 6. 1次不定方程式 x+ y+ =0(ただしx,yは整数) 𝑒𝑥1) 3𝑥 − 4𝑦 = 0の整数解を求めよ。 3𝑥 = 4𝑦 4の倍数 4の倍数 4の倍数 のはず! 𝑥 = 4𝑘 𝑘: 整数 3 ∙ 4𝑘 = 4𝑦 𝑦 = 3𝑘 よって 𝑥 = 4𝑘, 𝑦 = 3𝑘 𝑘: 整数 𝑒𝑥2) 4𝑥 + 7𝑦 = 1の整数解を求めよ。 4 ∙ 2 + 7 ∙ −1 = 1 ・・・② ・・・① ①-②より 4 ∙ 𝑥 − 2 + 7 ∙ 𝑦 + 1 = 0 4 ∙ 𝑥 − 2 = −7 ∙ 𝑦 + 1 𝑥 − 2 = 7𝑘 𝑘: 整数 𝑥 = 7𝑘 + 2 4 ∙ 7𝑘 = −7 ∙ 𝑦 + 1 𝑦 = −4𝑘 − 1 よって 𝑥 = 7𝑘 + 2, 𝑦 = −4𝑘 − 1 𝑘: 整数 𝑒𝑥1と同じ形! 自分で解を1組見つける
  • 7. ※ 𝑥 + 𝑦 = 1 の解の見つけ方 ① ÷ を行う ②(余りを とすると) ÷ を行う ③余りが1になるまでループ ④「余り=……」の式を複数作る ⑤代入・整理を繰り返し、与式に近い形を作る ( のほうが大きいことにする) 𝑒𝑥3) 45𝑥 + 32𝑦 = 4 ・・・①の整数解を求めよ。 45𝑥 + 32𝑦 = 1 を考える。 45 ∙ 5 + 32 ∙ −7 = 1 ①-②より … (中略) 45 ∙ 5 ∙ 4 + 32 ∙ −7 ∙ 4 = 1 ∙ 4 45 ∙ 20 + 32 ∙ −28 = 4 ・・・② 𝑥 = 32𝑘 + 20, 𝑦 = −45𝑘 − 28 13 = 45 − 32 ∙ 1 6 = 32 − 13 ∙ 2 1 = 13 − 6 ∙ 2 1 = 13 − 32 − 13 ∙ 2 ∙ 2 = 13 ∙ 5 − 32 ∙ 2 = 45 − 32 ∙ 1 ∙ 5 − 32 ∙ 2 = 45 ∙ 5 − 32 ∙ 7 = 45 ∙ 5 + 32 ∙ −7 𝑘: 整数
  • 8. n進法 1234 = 1 × 千 + 2 × 百 + 3 × 十 + 4 × 一 10進法 1101(2) = 1 × 23 + 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20 2進法 10進法の数13のこと! ●基本 = 1 × 103 + 2 × 102 + 3 × 101 + 4 × 100
  • 9. 13 = × 23 + × 22 + × 21 + × 20 13 1101(2) 10進法 2進法 ★ 2 13 2 6 ⋯ 1 2 3 ⋯ 0 2 1 ⋯ 1 0 ⋯ 1 0になるまでやる ★ 0.625 = × 1 21 + × 1 22 + × 1 23 0.625 0.101(2) 10進法 2進法 ★ 0.625 × 2 1.25 × 2 0.5 × 2 1 ★ 整数になるまでやる ●整数ver ●小数ver
  • 10. 11011(2) + 111(2) =? ex1 100101(2) − 1011(2) =? ex2 100101 1011 − 11010(2) 1011(2) × 1101(2) =? ex3 1011 1101 × 1011 0000 1011 1011 10001111(2) 1 1 1 1 101001101 1001 100101(2) 1001 0001011 ex4 101001101(2) ÷ 1001(2) =? 1001 11011 111 + 100010(2) 11111 001001 1001 0 10進法 0123456789 2進法 01 繰り上がり ●2進法の四則計算 1 1 1 1