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【Unity道場】ゲーム制作に使う数学を学習しよう
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数学が大切とはよく聞くけれど、どのように始めたらいいのかわからない・・そんな方に、数学との付き合い方をお伝えします。特定の分野に限らず、あらゆる職種に必須の概念をピックアップし、数学の利用法を解説していきます。（なお行列、ベクトル、微積分については触れません） このスライドは、2019/7/25開催の「Unity道場 7月」の資料です。
Unity Technologies Japan K.K.
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【Unity道場】ゲーム制作に使う数学を学習しよう
- ゲーム制作に使う数学を学習しよう ユニティ・テクノロジーズ・ジャパン 安原 祐二
- Part 1 数式とグラフ
- 10 = 2 10 = 1 2 10 = −2 指数のおさらい ? ? ?
- 指数のおさらい いずれにせよゼロより大きい 10010 = 2 10 = 1 2 10 = 10 1 100 −2
- ・・・と、言われましても。 y = sin x
- y x = siny x
- 入力 出力y x = siny x
- f( ) = sin = siny x xx
- ってなんなの 入力と出力が明らか = siny x y f( ) = sinxx
- 入力 出力 x f( )x f( ) = sinxx
- 入力 出力 突然この値が欲しい 例１ x f( )x f( ) = sinxx
- 入力 出力 単純な増加（等間隔など） でしか入力を得られない ・・・ 例２ x f( ) = sinxx f( )x
- プログレスバーの工夫 動画
- 1 1 x f( ) = 2x x
- プログレスバーの工夫 f( ) =x x f( ) = 2x x 動画
- 逆関数 f( ) = f−1 ( ) = ? 2x x x
- 逆関数 (x > 0) y x= 2 yx =
- 逆関数 y x= 2 yx = f( ) = f−1 ( ) = 2x x x x
- 逆関数 = sin = ??? y x x
- 逆関数 = sin−1 = arcsin = asin x y x x y y = siny x
- 逆関数 f−1 ( ) = asin f( ) = sin= siny x = asinx y x x x x
- 逆関数 f( ) = sin y x x x
- 逆関数 y x x xf( ) = sin
- f(x) = asin(x) 逆関数 x x xf( ) = sin
- 逆関数 1 -1 f(x) = asin(x) x x xf( ) = sin
- まとめ • という表記に慣れよう •グラフは入力と出力の関係 •逆関数を意識しよう Part 1 数式とグラフ f(x)
- Part 2 式の読みかた
- ϵ0 ∮ E ⋅ dA = Σq ∮ B ⋅ ds = μ0 ∫ J ⋅ dA + μ0ϵ0 d dt ∫ E ⋅ dA ∮ E ⋅ ds = − d dt ∫ B ⋅ dA ∮ B ⋅ dA = 0
- 足し算と引き算は似たようなもの a b = c+ がどこかで定義されてる以上、 ＋もーもその定義次第 b a b = c−
- 掛け算と割り算はカタマリ ab = c a b = c
- ab + cd e = fg 掛け算 割り算 足し算 引き算 と には境界がある カタマリは混ざらない
- 等号の左右で単位は等しい a b が秒なら も秒 = a b が距離なら も距離a b
- 足し算と引き算と等号は似たようなもの a b c+ =
- 足し算と引き算と等号は似たようなもの a b c+ 等号で結ばれているものは結局 足し算や引き算で結ばれている = a b c 0+ − =
- 足し算引き算および等号で 区切られたカタマリの単位は全部同じ 単位の異なるものを足すことは ありえない ab + cd e = fg
- 掛け算か割り算かは カタマリに対する影響を示す ab + cd e = fg d eが増えれば増える が増えれば減る
- f( ) 例えば だけが変化するなら の値は 固定値はどれか？ ab + c e = d という関数に従う d fg fg = ab + c e x x
- 電流 が増加すれば ∮ B ⋅ ds = μ0 ∫ J ⋅ dA + μ0ϵ0 d dt ∫ E ⋅ dA 磁束密度 が増加する・・・っぽい？B J 少しは読める（？）
- 漸化式 = f( ) ひとつ前の値が式の中にある ・ は自然数が基本n 例 an+1 an a0= 0 ・初期値がある = + 2 + 1an+1 an n
- 漸化式はプログラミングでおなじみ = + 1 int a = 0; void Update() { a += 1; } an+1 an
- = + 2× +1 = + = = + 2 + 1an+1 an a0= 0 ・・・ 1 3 5 1 4 9 n a1 a0 0 a0 = + 2× +1 = + =a2 a1 1 a1 = + 2× +1 = + =a3 a2 2 a2
- 一般項（前回の値を使わない式） = + 2× +1 = + = = + 2 + 1an+1 an a0= 0 ・・・ 1 3 5 = 1 4 9 n2an n a1 a0 0 a0 = + 2× +1 = + =a2 a1 1 a1 = + 2× +1 = + =a3 a2 2 a2
- = + 2× +1 = + = = + 2 + 1an+1 an a0= 0 ・・・ 1 3 5 1 4 9 n a1 a0 0 a0 = + 2× +1 = + =a2 a1 a1 = + 2× +1 = + =a3 a2 2 a2 1 =n2an
- まとめ •数式を見たら足し算、引き算、等号に注目 •単位を意識しよう（物理の場合） •漸化式を理解しよう Part ２ 式の読みかた
- Part 3 対数
- 指数関数 f( ) = ≥ 0x xa a
- > 1 1 x f( ) =x xa a
- 指数関数の逆関数 = f( ) =x xa xay = ?x
- 指数関数の逆関数 = f( ) =x xa xay = log yax
- 指数関数の逆関数 = log = f( ) =x xa xay x ya f−1 ( ) = logaxx
- 対数 1 x f( ) = logaxx > 1a f( ) =x xa
- ablog の何乗が なのかab
- ablog の何乗が なのかab 162log = 4 10010log = 2 10100log = 1 2 1 2 = =100 100 10
- 底の交換 log = log log 超便利公式 log 底 を別の底 にしたいa b a a a b b x x x
- 底の交換 log = log log = 1 2 log 公式より log 底 を別の底 にしたい4 2 4 4 42 2 2 = 2 x x x x
- 対数のキモ log = log 交換したい底が定数なら 定数倍になる 4 2 底はどうでもいい あとで定数倍して調整可能 xx 1 2
- 応用例： = 二進数と十進数の桁の数は 比例関係にある a b と は比例関係にあるa b 2 10
- と は比例関係にあるa b log = 3.321928094887362 log = 0.301029995663981 ざっくり言えば３倍と1/3倍の関係 32bitは232なので10進数だと10桁程度 =a b 2 10 210 10 2
- あ い う え お ま み む め も や ゆ か き く け こ ら り る れ ろ よ わ さ し す せ そ が ぎ ぐ げ ご た ち つ て と ざ じ ず ぜ ぞ な に ぬ ね の ば び ぶ べ ぼ は ひ ふ へ ほ ぱ ぴ ぷ ぺ ぽ 文字64種、52文字で表現できるバイト数は？ 1byte(256種)は256進数 例：4byteで の情報量2564
- 1byte(256種)は256進数 例：4byteで の情報量2564 64進数の数値を256進数で表現すると何桁か？ 文字64種、52文字で表現できるバイト数は？ あ い う え お ま み む め も や ゆ か き く け こ ら り る れ ろ よ わ さ し す せ そ が ぎ ぐ げ ご た ち つ て と ざ じ ず ぜ ぞ な に ぬ ね の ば び ぶ べ ぼ は ひ ふ へ ほ ぱ ぴ ぷ ぺ ぽ
- log256 64 = 3 4 52 × 3 4 = 39文字 bytes 文字64種、52文字で表現できるバイト数は？ あ い う え お ま み む め も や ゆ か き く け こ ら り る れ ろ よ わ さ し す せ そ が ぎ ぐ げ ご た ち つ て と ざ じ ず ぜ ぞ な に ぬ ね の ば び ぶ べ ぼ は ひ ふ へ ほ ぱ ぴ ぷ ぺ ぽ
- まとめ •対数の底の交換は定数倍 Part ３ 対数
- Part 4 浮動小数点数
- 問題
- 問題 float a = 1f; Debug.Log(a); Consoleに出力されるのは？
- 問題 float a = 1f; Debug.Log(a); Consoleに出力されるのは？ 正解 1
- 問題 float a = 1/3; Debug.Log(a); Consoleに出力されるのは？
- 問題 Consoleに出力されるのは？ 正解 0 float a = 1f/3f; で0.33333になる float a = 1/3; Debug.Log(a);
- 問題 float a = 3e-1f; Debug.Log(a); Consoleに出力されるのは？
- 問題 Consoleに出力されるのは？ 正解 0.3 float a = 3e-1f; Debug.Log(a);
- float a = 3e-1f; 3 10−1 0.3 ×
- 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 符号 指数部(8bits) 仮数部(23bits)
- 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 符号 指数部(8bits) 仮数部(23bits) ×2（仮数部） （指数部） ±
- 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 符号 指数部(8bits) 仮数部(23bits) ×2（仮数部+1.0） （指数部-127） ±
- 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 符号 指数部(8bits) 仮数部(23bits) 指数部 [-126, 127] 2 = 1.701411834604692 38127 e
- 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 符号 指数部(8bits) 仮数部(23bits) 2 = 1.175494350822288 − 38 超絶広い 指数部 [-126, 127] 127 −126 2 = 1.701411834604692 38e e
- 億 おく １０８ 兆 ちょう １０１２ 京 けい １０１６ 垓 がい １０２０ 𥝱 じょ １０２４ 穣 じょう １０２８ 溝 こう １０３２ 澗 かん １０３６ 正 せい １０４０ 127 2 = 1.701411834604692 38e
- 億 おく １０８ 兆 ちょう １０１２ 京 けい １０１６ 垓 がい １０２０ 𥝱 じょ １０２４ 穣 じょう １０２８ 溝 こう １０３２ 澗 かん １０３６ 正 せい １０４０ 涅槃寂静(ねはんじゃくじょう) 10−24 ℏ = 1.054571817e − 34ディラック定数 127 2 = 1.701411834604692 38e 2 = 1.175494350822288 − 38 −126 e
- 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 符号 指数部(8bits) 仮数部(23bits) 仮数 23bits ここに限界がある 大きな数値の小さな桁がヤバイ 例：10000000.00000001
- 2−23 = ( 1 2 )23 = 0.00000011920928955078125
- 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 符号 指数部(8bits) 仮数部(23bits) 1.00000011920928955078125 ７桁 2−23 = ( 1 2 )23 = 0.00000011920928955078125
- 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 符号 指数部(8bits) 仮数部(23bits) 1.00000011920928955078125 ７桁 log10 2 = 0.301029995663981 ２進数の23桁は10進数の6.9桁 23 × log10 2 = 6.923689900271563
- 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 10.00000095367431640625 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 100.00000762939453125 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1000.00006103515625 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 10000.0009765625
- 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 10.00000095367431640625 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 100.00000762939453125 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1000.00006103515625 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 10000.0009765625 原点から10km離れた地点では 約1mmの分解能が限界
- 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 86400.0078125 60秒×60分×24時間＝86400 7.8125ミリ秒が限界 16.6666ミリ秒を加算しても 15.625ミリ秒しか加算されない time += Time.deltaTime; 24時間後には・・・
- 動画
- 動画
- 86400.0000000000145519... 24時間後でも0.014ナノ秒の分解能 doubleなら 31536000.000000003725290... 365日後でも3.7ナノ秒の分解能！ 仮数部は52bit
- まとめ •floatの限界を具体的に知ろう •2進数と10進数の桁の関係を理解しよう Part ４ 浮動小数点数 https://qiita.com/yuji_yasuhara/private/0f94f3b60b4525dd1e74 ブログ：浮動小数点数の限界を把握する
- Part 5 RPGで数列
- Lv.5 Lv.4 Lv.5 Lv.6 余裕 いい勝負 キビシイ 適切な経験値は？
- レベルアップ条件 レベル5 レベル6 同じレベルの 敵を５体倒す Lv.5
- レベルアップ条件 レベル5 レベル6 同じレベルの 敵を５体倒す 低いレベルの 敵を8体倒す 高いレベルの 敵を３体倒す Lv.4 Lv.5 Lv.6
- レベルアップ条件 レベル5 レベル6 同じレベルの 敵を５体倒す レベル31 レベル32 同じレベルの 敵を５体倒す 敵ごとに得られる経験値は固定とする
- レベル１ レベル２ 10 レベル３ 15 レベル31 レベル32 1917511 レベル33 2876266 等比数列 1.5倍 1.5倍 初項10・公比1.5
- = × 1.510 N 等比数列 =10 = =Nn N 1 2 15 −1n 初項10・公比1.5
- N 等比数列 = 初項 ・公比 I = = −1 N aI n n N 1 2 Ia I a
- レベル１ レベル２ 100 レベル３ 150 レベル31 レベル32 1917511 レベル33 2876266 1.5倍 1.5倍 100 25 等比数列の和累積経験値は？
- 等比数列 − 1 −1 = ∑ k=1 k−1 =Mn 等比数列の和： = −1 N aI n n 初項 ・公比I a I n a I an a （公式より）
- 表1 レベル レベルアップ経験値 累積レベルアップ経験値 1 0 0 2 10 10 3 15 25 4 23 48 5 34 81 6 51 132 7 76 208 8 114 322 9 171 493 10 256 749 11 384 1133 12 577 1710 13 865 2575 14 1297 3872 15 1946 5819 … … … 38 21841644 65524912 39 32762466 98287378 40 49143699 147431078 初項10・公比1.5
- 等比数列 = ∑ k=1 k−1 =Mn 等比数列の和： = −1 N aI n n 初項 ・公比I a I n a I − 1 −1 an a
- x2 − 1 = (x − 1)(x + 1)
- x2 − 1 = (x − 1)(x + 1) x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1) x4 − 1 = (x − 1)(x3 + x2 + x + 1)
- = ( )( )xn − 1 x − 1 xn−1 + . . . + x2 + x + 1 x2 − 1 = (x − 1)(x + 1) x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1) x4 − 1 = (x − 1)(x3 + x2 + x + 1)
- = ( )( ) = xn − 1 x − 1 xn−1 + . . . + x2 + x + 1 xn − 1 x − 1xn−1 + . . . + x2 + x + 1
- n ∑ k=1 xk−1 = ( )( ) = xn − 1 x − 1 xn−1 + . . . + x2 + x + 1 xn − 1 x − 1xn−1 + . . . + x2 + x + 1 = xn − 1 x − 1
- 等比数列 = ∑ k=1 k−1 =Mn 等比数列の和： = −1 N aI n n 初項 ・公比I a I n a I − 1 −1 an a
- = I a − 1 a − 1 経験値からレベルを逆算 Mn n = ?n
- 経験値からレベルを逆算 (a − 1) = I(a − 1) a = I (a − 1) + 1 = loga{ I (a − 1) + 1} = I a − 1 a − 1 Mn n Mn n Mnn n Mn
- まとめ •経験値が指数関数になる例 •等比数列を扱えるようになろう •経験値からレベルを知るには対数が必要 Part ５ RPGで数列 ブログ：浮動小数点数の限界を把握する https://qiita.com/yuji_yasuhara/private/83a67a784d4d6152a2de
- Part 6 easing解析
- 動画
- p = Mathf.Lerp(p, T, 0.1f);
- p = Mathf.Lerp(p, T, 0.1f); p = Vector2.Lerp(p, T, 0.1f); p = Vector3.Lerp(p, T, 0.1f);
- a b (1− ) + Lerp (Linear Interpolation) 線形補間 のとき に一致 b a のとき に一致 = 0 = 1 a bt t t t
- float Lerp(float a, float b, float t) { return (1f - t)*a + t*b; } void Update() { p = Mathf.Lerp(p, T, 0.1f); } ※最適化の余地あり
- p = Mathf.Lerp(p, T, 0.1f); 漸化式 p = func(n, T, 0.1f); 一般項 = (1− ) + f pn+1 0.1pn T0.1 = ( )pn n
- の一般項を求めよ。ただし とする。= 0 問題 T, を定数とし、漸化式 = (1− ) +pn+1 pn Tα α p0 α
- = (1− ) +α Tpn+1 pn α
- = (1− ) + を満たす を考える = (1− ) + s α Tpn+1 pn α Tss α α
- = (1− ) + を満たす を考える − = ( − )(1− ) = (1− ) + s α Tpn+1 pn α Tss pn+1 s pn s α α α ２式の差を取って
- = (1− ) + を満たす を考える − = ( − )(1− ) = − = (1− ) とおくと = (1− ) + s α Tpn+1 pn α Tss pn+1 s pn s α qn pn sqn+1 qn α α α ２式の差を取って
- = (1− ) + を満たす を考える − = ( − )(1− ) = − = (1− ) とおくと = (1− ) + s = − = − = − (1− ) α Tpn+1 pn α Tss pn+1 s pn s α qn pn sqn+1 qn q0 p0 s s qn s α α α α ２式の差を取って の等比数列なので 初項 n
- = (1− ) + を満たす を考える − = ( − )(1− ) = − = (1− ) とおくと = (1− ) + s = − = − = − (1− ) α Tpn+1 pn α Tss pn+1 s pn s α qn pn sqn+1 qn q0 p0 s s qn s α α α α − = − (1− )pn s s α ２式の差を取って の等比数列なので = − よりqn pn s 初項 n n
- = (1− ) + を満たす を考える − = ( − )(1− ) = − = (1− ) とおくと = (1− ) + s = − = − = − (1− ) = α Tpn+1 pn α Tss pn+1 s pn s α qn pn sqn+1 qn q0 p0 s s qn s α α s T α α − = − (1− ) − = − (1− ) pn s s α pn T T α ２式の差を取って の等比数列なので = − よりqn pn s 初項 より n n n
- = (1− ) + を満たす を考える − = ( − )(1− ) = − = (1− ) とおくと = (1− ) + s = − = − = − (1− ) = = {1 − (1− ) } α Tpn+1 pn α Tss pn+1 s pn s α qn pn sqn+1 qn q0 p0 s s qn s α α s T α α − = − (1− ) − = − (1− ) pn s s α pn T T α pn T α ２式の差を取って の等比数列なので = − よりqn pn s 初項 より n n n n
- = {1 − (1− ) }pn T α T n 60 n
- 動的なターゲット変更 動画
- Lerpの係数を一般化したい void Update() { p = Mathf.Lerp(p, T, 0.1f); } 60fps版 void Update() { p = Mathf.Lerp(p, T, ？); } 30fps版
- 60fpsのときの係数を とするα 一般項 １秒後 30fpsのときの係数を とするβ １秒後 = {1 − (1− ) }pn T α = {1 − (1− ) }p60 T α = {1 − (1− ) }q30 T β n 60 30
- (1− ) = (1− ) (1− ) = (1− ) = 1 − (1− ) 1 − = (1− ) 一般化して α β α β αβ β α n m フレームレートの比 の関数をゲット 3060 n m n m n m
- 60fps版 void Update() { p = Mathf.Lerp(p, T, 0.1f); }
- 60fps版 void Update() { p = Mathf.Lerp(p, T, 0.1f); } void Update() { var beta = 1f - Mathf.Pow(1f-0.1f, 60f/30f); p = Mathf.Lerp(p, T, beta); } 30fps版
- 60fps版 void Update() { p = Mathf.Lerp(p, T, 0.1f); } void Update() { var beta = 1f - Mathf.Pow(1f-0.1f, 60f/30f); p = Mathf.Lerp(p, T, beta); } 30fps版 void Update() { var beta = 1f - Mathf.Pow(1f-0.1f, 60f*Time.deltaTime); p = Mathf.Lerp(p, T, beta); } 汎用版
- 結果 60fps 30fps 動画
- まとめ •Lerpの動きは等比数列で解ける •フレームレートの異なる環境に対応可能 Part ６ easing解析 ブログ：Lerpで作るアニメーション(easing)を解析する https://qiita.com/yuji_yasuhara/private/117b8559beed1a8d8377
- Part 7 複素数
- 虚数単位 i
- 虚数単位 2 = − 1 意味不明 = −1i i
- 複素数 実部 + = + 虚部 複素数 z a bi a biz
- + = ( + ) + ( + ) = +z0 a0 b0 = +z1 a1 b1 z0 z1 a0 a1 b0 b1 i i i 足し算
- + = ( + ) + ( + ) = + = ( + )( + ) = + + + = ( − ) + ( + ) 足し算 掛け算 z0 a0 b0 = +z1 a1 b1 z0 z1 a0 a1 b0 b1 i i i z0z1 a0 a1b0i b1i a0a1 a0i b1 ia1b0 i b1b0 a0a1 b1b0 a0b1 a1b0 2 i
- public class Complex { float re; float im; 複素数の実装
- public class Complex { float re; float im; static Complex Add(Complex z0, Complex z1) { return new Complex() { re = z0.re + z1.re, im = z0.im + z1.im, }; } 複素数の足し算の実装
- public class Complex { float re; float im; static Complex Mul(Complex z0, Complex z1) { return new Complex() { re = z0.re*z1.re - z0.im*z1.im, im = z0.re*z1.im + z0.im*z1.re, }; } 複素数の掛け算の実装
- public class Complex { float re; float im; static Complex Mul(Complex z0, Complex z1) { return new Complex() { re = z0.re*z1.re - z0.im*z1.im, im = z0.re*z1.im + z0.im*z1.re, }; } 複素数の掛け算の実装 iは登場しない！ 「作用」と考える
- = +z 複素平面 実軸 虚軸 a bib a
- 実軸 虚軸 z1 〜足し算〜 = +z0 a0 b0i
- z0 実軸 虚軸〜足し算〜 z1
- 実軸 虚軸 (z0 + z1) z0 足し算は平行移動 〜足し算〜 z1
- 実軸 虚軸 z0 〜掛け算〜 z1
- 実軸 虚軸 z0 〜掛け算〜 1 単位円 z1
- 実軸 虚軸〜掛け算〜 θ0 r0 z0 z1
- 実軸 虚軸〜掛け算〜 θ1 r1 z0 z1
- 実軸 虚軸 z0z1 〜掛け算〜 角度は加算 長さは乗算 z0 z1
- 参考：クォータニオンの解説動画 https://youtu.be/uKWLPU8gfIY?t=1294 クォータニオン完全マスター 行列・複素数の解説あり
- クォータニオンは複素数の拡張 複素数と同じ性質を持つ 拡大縮小も可能 が、Unityでは回転に限定している
- var z = new Complex(1f, 0f); [repeat] z += z * new Complex(0.01f, 0.25f); 極小コードでジェネラティブアート
- マンデルブロ集合（Mandelbrot set) , は複素数zn c zn+1 zn c= +2
- マンデルブロ集合（Mandelbrot set) = 0 によって発散したり収束したりする zn+1 zn c= +2 z0 c , は複素数zn c
- 収束 収束収束 収束 発散 収束 収束 発散 発散 発散 発散 発散 発散 画素数ぜんぶチェックする zn+1 zn c= +2
- 収束 収束収束 収束 発散 収束 収束 すぐ発散 すぐ発散 発散 すぐ発散 発散 発散 発散はループでチェック zn+1 zn c= +2
- int mandelblot(Complex c) { var z = new Complex(0f, 0f); int cnt = 0; for (var i = 0; i < 100; ++i) { z = z * z + c; if (z.sqrMagnitude() > 100f) return cnt; ++cnt; } return 0; } zn+1 zn c= +2 動画
- Part 8 複素数列
- 自由研究：らせん状にマスを埋める 一般項はどうなる？
- 番号を振る
- 複素平面 実軸 虚軸
- 複素平面 実軸 虚軸 2 + 2i −i f(13) = 2 + 2i f(6) = − i ・・・
- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 第1群 第2群 第3群 1項 2項x4 4項x4 群数列で考える
- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 第1群 第2群 第3群 1項 2項x4 4項x4 第15項は第３群の 15-9=6番目 群の中で何番目なのか
- l t r=0 r=1 r=2 r=3
- １ 2-i 3-2i 実軸 虚軸
- 90度 90度
- そんな感じで地道に 係数を確定していく・・
- an = [N − 1] + [( 2 − N + (n − (2N − 3)2 − 1)) mod 2(N − 1) ] i ifloor( n − (2N − 3)2 − 1 2(N − 1) ) N = ceil( n + 1 2 )ただし 結果
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- 1 8 9 第1群 1項 2 3 4 5 6 7 第2群 1項x6 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2項x6 第3群 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 第4群 3項x6
- an = s + td d = (1 2 + 3 2 i)r+1 s = (N − 1)(1 2 + 3 2 i)r t = m mod l r = floor( m l ) m = n − 3N2 + 9N − 8 l = N − 1 N = ceil(1 2 + 3 6 4n − 1) ただし 結果
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- まとめ Part ８ 複素数列 ブログ：らせん状にマスを埋める複素数数列と戯れる https://qiita.com/yuji_yasuhara/private/23088d82a5c0ed8551bc
- おしまい
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