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第6回
絶対値、一元不等式、
展開・因数分解
~計算力を高めるために~
数学ⅠA・ⅡB(第5回~第20回)
第5回 平方根、指数、指数関数、対数関数(Ⅰ、Ⅱ)
第6回 絶対値、一元不等式、展開・因数分解(Ⅰ、Ⅱ)
第7回 場合の数と確率、二項定理(A、Ⅱ)
第8回 2次関数とグラフ、2次方程式と2次不等式、解と係数の関係(Ⅰ、Ⅱ)
第9回 微分係数と導関数、3次関数のグラフ、積分法(Ⅱ)
第10回 数列①(B)
第11回 数列②(B)
第12回 整式の割り算、分数式、剰余定理、因数定理(Ⅱ、Ⅰ)
第13回 三角比、三角形への応用、三角方程式・不等式、加法定理(Ⅰ、Ⅱ)
第14回 平面図形、空間図形、集合と命題(A、Ⅰ)
第15回 距離、内分・外分、点と直線の距離、円と直線、2つの円、軌跡と領域(Ⅱ)
第16回 平面上のベクトル(B)
第17回 空間のベクトル(B)
第18回 ユークリッドの互除法、整数の性質の活用(A)
第19回 データの分析(Ⅰ)
第20回 恒等式、等式と不等式の証明、複素数(Ⅱ)
Ⅰ Ⅰ Ⅱ
Ⅰ
例:
基本② 𝑎2 = 𝑎
基本③ 𝑎 2
= 𝑎2
−5
0から−5までの距離
− + + +
ex2 𝑥 = 3を解け。
𝑥 = −3, 3
ex1 ex3 𝑥 < 3を解け。
−3 < 𝑥 < 3
ex4 𝑥 > 3を解け。
𝑥 < −3, 3 < 𝑥
(−2)2= 2 22 = 2
2乗
絶対値
基本① 𝑎 :0から𝑎までの距離
𝑎 =
𝑎 (𝑎 ≧ 0)
−𝑎 (𝑎 < 0)
= 5 5 = 5
①右辺を0にする。左辺を同類項で整理する。
④ 𝑥軸との交点を計算→ 𝑥の範囲を確定
②「𝑦=左辺」のグラフを描く
③不等号を見て、対応範囲を塗りつぶす
一元不等式
ex1 −2𝑥 − 1 < 3を解け。
−2𝑥 − 4 < 0
−2𝑥 − 4 = 0
2 𝑥 + 2 = 0
𝑥 + 2 = 0
𝑥 = −2
−2
𝑦
𝑂
𝑥
−4 よって 𝑥 > −2
2𝑥 + 4 = 0
①
④
②
③
不等式はグラフで解く!
𝑦 = −2𝑥 − 4の
𝑦座標が0より小さい
「𝑥の範囲を求めよ」
ex2 2𝑥 − 1 < 3 を解け。
−3 < 2𝑥 − 1 < 3
−3 < 2𝑥 − 1
2𝑥 − 1 < 3
・
・
・
①
・
・
・
②
①より
2𝑥 − 1 > −3
𝑥 > −1
②より 𝑥 < 2
・
・
・
①’
・
・
・
②’
①’と②’の共通範囲を求めると
−1 < 𝑥 < 2
【公式】
① ( + )2= 2 +2 + 2
② + − = 2
− 2
③ + + 2 = 2 + 2 + 2 +2 + 2 + 2
④ ( + )3= 3 +3 2 + 3 2 + 3
⑤ 3+ 3= ( + )( 2− + 2)
展開・因数分解
ex1
𝑥 + 1 2𝑥 − 3
= 2𝑥2
− 3𝑥 + 2𝑥 − 3 = 2𝑥2 − 𝑥 − 3
① ②
③
④
𝑥 2𝑥 − 3 = 2𝑥2 − 3𝑥
ex3
ex2 2𝑥 − 3 𝑥 = 2𝑥2
− 3𝑥
= 𝑥 2𝑥 − 3 + 1(2𝑥 − 3)
① ② ③ ④
2項の2乗
和と差の積
3項の2乗
2項の3乗
3乗の和
共通因数でくくる
ex1 2𝑥2 + 4𝑥 + 8
ex2 9𝑥2𝑦2 − 6𝑥𝑦3
𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑦 𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑦
𝑥の2次式
ex3 8𝑥2 + 16𝑥 − 42
= 2(4𝑥2
+ 8𝑥 − 21)
= 2(2𝑥 − 3)(2𝑥 + 7)
4 −21
2
2
−3
7
= −6
= 14
8
ex4 𝑥3 + 𝑥2𝑦 − 𝑥2 − 𝑦 𝑥の3次式、 𝑦の1次式
= 𝑥2 − 1 𝑦 + 𝑥3 − 𝑥2
たすきがけ
次数の低い方の文字について
整理
= 𝑥 + 1)(𝑥 − 1 𝑦 + 𝑥2 𝑥 − 1
= (𝑥 − 1)( 𝑥 + 1 𝑦 + 𝑥2
) = (𝑥 − 1)(𝑥2
+ 𝑥𝑦 + 𝑦)
●因数分解の基本
= 2(𝑥2
+ 2𝑥 + 4)
= 3𝑥𝑦2(3𝑥 − 2𝑦)

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基礎強化数学 第6回

  • 2. 数学ⅠA・ⅡB(第5回~第20回) 第5回 平方根、指数、指数関数、対数関数(Ⅰ、Ⅱ) 第6回 絶対値、一元不等式、展開・因数分解(Ⅰ、Ⅱ) 第7回 場合の数と確率、二項定理(A、Ⅱ) 第8回 2次関数とグラフ、2次方程式と2次不等式、解と係数の関係(Ⅰ、Ⅱ) 第9回 微分係数と導関数、3次関数のグラフ、積分法(Ⅱ) 第10回 数列①(B) 第11回 数列②(B) 第12回 整式の割り算、分数式、剰余定理、因数定理(Ⅱ、Ⅰ) 第13回 三角比、三角形への応用、三角方程式・不等式、加法定理(Ⅰ、Ⅱ) 第14回 平面図形、空間図形、集合と命題(A、Ⅰ) 第15回 距離、内分・外分、点と直線の距離、円と直線、2つの円、軌跡と領域(Ⅱ) 第16回 平面上のベクトル(B) 第17回 空間のベクトル(B) 第18回 ユークリッドの互除法、整数の性質の活用(A) 第19回 データの分析(Ⅰ) 第20回 恒等式、等式と不等式の証明、複素数(Ⅱ) Ⅰ Ⅰ Ⅱ Ⅰ
  • 3. 例: 基本② 𝑎2 = 𝑎 基本③ 𝑎 2 = 𝑎2 −5 0から−5までの距離 − + + + ex2 𝑥 = 3を解け。 𝑥 = −3, 3 ex1 ex3 𝑥 < 3を解け。 −3 < 𝑥 < 3 ex4 𝑥 > 3を解け。 𝑥 < −3, 3 < 𝑥 (−2)2= 2 22 = 2 2乗 絶対値 基本① 𝑎 :0から𝑎までの距離 𝑎 = 𝑎 (𝑎 ≧ 0) −𝑎 (𝑎 < 0) = 5 5 = 5
  • 4. ①右辺を0にする。左辺を同類項で整理する。 ④ 𝑥軸との交点を計算→ 𝑥の範囲を確定 ②「𝑦=左辺」のグラフを描く ③不等号を見て、対応範囲を塗りつぶす 一元不等式 ex1 −2𝑥 − 1 < 3を解け。 −2𝑥 − 4 < 0 −2𝑥 − 4 = 0 2 𝑥 + 2 = 0 𝑥 + 2 = 0 𝑥 = −2 −2 𝑦 𝑂 𝑥 −4 よって 𝑥 > −2 2𝑥 + 4 = 0 ① ④ ② ③ 不等式はグラフで解く! 𝑦 = −2𝑥 − 4の 𝑦座標が0より小さい 「𝑥の範囲を求めよ」
  • 5. ex2 2𝑥 − 1 < 3 を解け。 −3 < 2𝑥 − 1 < 3 −3 < 2𝑥 − 1 2𝑥 − 1 < 3 ・ ・ ・ ① ・ ・ ・ ② ①より 2𝑥 − 1 > −3 𝑥 > −1 ②より 𝑥 < 2 ・ ・ ・ ①’ ・ ・ ・ ②’ ①’と②’の共通範囲を求めると −1 < 𝑥 < 2
  • 6. 【公式】 ① ( + )2= 2 +2 + 2 ② + − = 2 − 2 ③ + + 2 = 2 + 2 + 2 +2 + 2 + 2 ④ ( + )3= 3 +3 2 + 3 2 + 3 ⑤ 3+ 3= ( + )( 2− + 2) 展開・因数分解 ex1 𝑥 + 1 2𝑥 − 3 = 2𝑥2 − 3𝑥 + 2𝑥 − 3 = 2𝑥2 − 𝑥 − 3 ① ② ③ ④ 𝑥 2𝑥 − 3 = 2𝑥2 − 3𝑥 ex3 ex2 2𝑥 − 3 𝑥 = 2𝑥2 − 3𝑥 = 𝑥 2𝑥 − 3 + 1(2𝑥 − 3) ① ② ③ ④ 2項の2乗 和と差の積 3項の2乗 2項の3乗 3乗の和
  • 7. 共通因数でくくる ex1 2𝑥2 + 4𝑥 + 8 ex2 9𝑥2𝑦2 − 6𝑥𝑦3 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑦 𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑦 𝑥の2次式 ex3 8𝑥2 + 16𝑥 − 42 = 2(4𝑥2 + 8𝑥 − 21) = 2(2𝑥 − 3)(2𝑥 + 7) 4 −21 2 2 −3 7 = −6 = 14 8 ex4 𝑥3 + 𝑥2𝑦 − 𝑥2 − 𝑦 𝑥の3次式、 𝑦の1次式 = 𝑥2 − 1 𝑦 + 𝑥3 − 𝑥2 たすきがけ 次数の低い方の文字について 整理 = 𝑥 + 1)(𝑥 − 1 𝑦 + 𝑥2 𝑥 − 1 = (𝑥 − 1)( 𝑥 + 1 𝑦 + 𝑥2 ) = (𝑥 − 1)(𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦) ●因数分解の基本 = 2(𝑥2 + 2𝑥 + 4) = 3𝑥𝑦2(3𝑥 − 2𝑦)