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整数とお友達になろう(科学勉強会)

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科学勉強会第348回で辻 (@tsujimotter) が発表したスライドです。
科学勉強会/NSIのURLはこちら
http://tehiro.sakura.ne.jp/nsi/

tsujimotterのノートブック http://tsujimotter.hatenablog.com

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整数とお友達になろう(科学勉強会)

  1. 1. 整数とお友達になろう 第 348 回科学勉強会 辻 順平 @tsujimo-er h-p://tsujimo-er.hatenablog.com 日曜数学者, 数学普及委員会 (会員募集中!!) 1
  2. 2. 2 ※本スライドは 〜諸注意〜 2014年9月22日に開催された 「第348回科学勉強会」で辻が発表した資料をWeb用に改変したものです。      科学勉強会/NSIの URL はこちら  h-p://tehiro.sakura.ne.jp/nsi/ ※本スライドでは「整数」として「負の整数」は扱いません。             (今回扱う)整数の例: 1, 2, 3, … それでは本編へどうぞ!→
  3. 3. 3 「今日、整数を見かけましたか?」
  4. 4. 整数に触れない日はない でも、整数のことを意識することは少ない そんなのもったいない! 整数とお友達になろう! 提案 (普段の生活がいっそう楽しくなるよ) 4
  5. 5. 今日のお話 テーマ:整数とお友達になろう • 基礎知識編  「いろいろな整数のグループ」 • 応用編  「整数のカタログ」 – 1ケタの整数 – 2ケタ以上の整数 5
  6. 6. 今日のお話 テーマ:整数とお友達になろう • 基礎知識編  「いろいろな整数のグループ」 • 応用編  「整数のカタログ」 – 1ケタの整数 – 2ケタ以上の整数 6
  7. 7. Q. これらはどんな特徴を持った 整数のグループ? a. 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, … b. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, … c. 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, … d. 5, 13, 17, 29, 37, 41, … e. 7, 13, 19, 31, 37, 43, … f. 7, 23, 31, 47, 71, 79, … 7
  8. 8. Q. これらはどんな特徴を持った 整数のグループ? a. 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, … b. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, … c. 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, … d. 5, 13, 17, 29, 37, 41, … e. 7, 13, 19, 31, 37, 43, … f. 7, 23, 31, 47, 71, 79, … ←偶数 ←素数 ←平方数 ←4n+1型の素数 ←3n+1型の素数 ←8n+7型の素数 8
  9. 9. 重要なのでおさらい • 偶数 2 で割り切れる数 • 素数 1 と自分自身でしか割り切れない数 • 平方数 X2 の形で表すことのできる数 (1 から 2X-­‐1 までの X 個の奇数の和は平方数 X2) Ex. 42 = 16 = 1 + 3 + 5 + 7 9
  10. 10. 4n + 1 型の素数 4 で割って 1 余る素数はすべて X2 + Y2 の形で表せる(X, Y は整数) 5 = 22 + 12 13 = 32 + 22 17 = 42 + 12 29 = 52 + 22 10
  11. 11. 3n + 1 型の素数 3 で割って 1 余る素数はすべて X2 + 3Y2 の形で表せる(X, Y は整数) 7 = 22 + 3・12 13 = 12 + 3・22 19 = 42 + 3・12 31 = 22 + 3・32 11
  12. 12. ラグランジュの4平方定理 すべての整数は X2 + Y2 + Z2 + W2 の形で表せる(X, Y, Z, W は 0 を含む整数) 6 = 22 + 12 + 12 + 02 7 = 22 + 12 + 12 + 12 8 = 22 + 22 + 02 + 02 9 = 32 + 02 + 02 + 02 12
  13. 13. 8n + 7 型の素数 8 で割って 7 余るすべての素数は X2 + Y2 + Z2 + W2 の形で表せる(ただし X, Y, Z, W は 0 でない 整数) 6 = 22 + 12 + 12 + 02 7 = 22 + 12 + 12 + 12 8 = 22 + 22 + 02 + 02 9 = 32 + 02 + 02 + 02 13
  14. 14. 今日のお話 テーマ:整数とお友達になろう • 基礎知識編  「いろいろな整数のグループ」 • 応用編  「整数のカタログ」 – 1ケタの整数 – 2ケタ以上の整数 14
  15. 15. 整数のカタログ 1 ケタの整数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15
  16. 16. 1 単数 2 唯一の 偶数の素数 3 最小の奇素数 16 最初はまとめて・・・
  17. 17. 4 十分な数 17
  18. 18. 4 十分な数 • すべての整数は 高々 4 つの平方数で表せる(四平方定理) • すべての平面的な白地図は 4 色で塗り分けられる(四色問題) 18 Wikipedia 「四色定理」より引用 "Four Colour Map Example svg jp" by Induc^veloadのものを修 正 -­‐ ウィキメディア・コモンズ掲載のものを修正. Licensed under Crea^ve Commons A-ribu^on-­‐Share Alike 3.0 via ウィキメディ ア・コモンズ -­‐ h-p://commons.wikimedia.org/wiki/ File:Four_Colour_Map_Example_svg_jp.PNG#mediaviewer/ File:Four_Colour_Map_Example_svg_jp.PNG
  19. 19. 5 4n + 1型の最小の素数 7 3n + 1型の最小の素数 19
  20. 20. 辺の長さが 3, 4, 5 の三角形 90° 5 3 4 7 3n + 1型の最小の素数 20
  21. 21. 辺の長さが 3, 4, 5 の三角形 90° 5 3 4 辺の長さが 3, 5, 7 の三角形 7 3 5 120° 21
  22. 22. 7 3n + 1型の最小の素数 7 の立方数 343 のすべての約数の和は 平方数 となる 73 = 343 1 + 7 + 49 + 343 = 400 の約数: 1, 7, 49, 343 22 202 は 平方数
  23. 23. x = 7, 751530, … 立方数 x3 のすべての約数の和は 平方数 となる 23 のとき
  24. 24. 6 完全な数 24
  25. 25. 6 完全な数 完全数: (自分自身を除く)すべての約数の和と等しい数 6 = 1 + 2 + 3 6 の約数: 1, 2, 3, 6 次の完全数は 28
  26. 26. 8, 9 カタラン予想のペア 26
  27. 27. xm – yn = 1 を満たすような 0 でない整数 x, y, m, n の組は? (ただし、m, n は 2 以上) 27
  28. 28. xm – yn = 1 を満たすような 0 でない整数 x, y, m, n の組は? (ただし、m, n は 2 以上) 32 – 23 = 1 だけ 9 8 カタラン予想 検28索
  29. 29. 整数のカタログ 1 ケタの整数 (Complete!!) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 単数 唯一の 偶数の素数 最小の奇素数 四平方定理 4n + 1型素数 最小の完全数 3n + 1型素数 カタラン予想のペア 29
  30. 30. 整数のカタログ 2ケタ以上の整数 41 39 1729 素数を生み出す魔法の数 特徴がない数 特徴がない数? 30
  31. 31. 41 素数を生み出す魔法の数 31
  32. 32. 41 素数を生み出す魔法の数 n2 + n + 41 n = 0 から n = 39 まで素数を発生させる多項式 (発見者:オイラー) 32
  33. 33. n2 + n + 41 n = 0 から n = 39 まで素数を発生させる多項式 02 + 0 + 41 = 41 12 + 1 + 41 = 43 22 + 2 + 41 = 47 32 + 3 + 41 = 53 42 + 4 + 41 = 61 ... 382 + 38 + 41 = 1523 392 + 39 + 41 = 1601 40個 すべてが素数! 33
  34. 34. 39 特徴のない数 『39 は最初の「特徴のない数」であり、 「特徴のない数の集合のなかで最小の要素である」という特徴のある数』 David Wells 『The Penguin Dic^onary of Curious and Interes^ng Numbers』 34
  35. 35. 1729 特徴のない数? 35
  36. 36. ケンブリッジの秀才数学者 ラマヌジャンを見舞う インドから来た天才数学者 病気がちで現在入院中 36 ラマヌジャン (Wikipedia 「シュリニバーサ・ラマヌジャン」より引用) ハーディー (Wikipedia 「ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディー」より引用) "Srinivasa Ramanujan -­‐ OPC -­‐ 1" by Konrad Jacobs -­‐ Oberwolfach Photo Collec^on, original loca^on. Licensed under Crea^ve Commons A-ribu^on-­‐Share Alike 2.0-­‐de via ウィキメディア・コモンズ -­‐ h-p://commons.wikimedia.org/wiki/ File:Srinivasa_Ramanujan_-­‐_OPC_-­‐_1.jpg#mediaviewer/File:Srinivasa_Ramanujan_-­‐ _OPC_-­‐_1.jpg "Ghhardy@72" by 不明 -­‐ A mathema^cian's apology. Licensed under Public domain via ウィキメディア・コモンズ -­‐ h-p://commons.wikimedia.org/wiki/ File:Ghhardy@72.jpg#mediaviewer/File:Ghhardy@72.jpg
  37. 37. 37 タクシーのナンバーは 1729 だったよ。 さして面白くもない数だ。
  38. 38. 38 そんなことはありません! 1729 は・・・
  39. 39. 1729 = 13 + 123 = 93 + 103 39 「1729 は 立方数の和で 2 通りに表せる最小の数です」 立方数の和 立方数の和 タクシー数 検索
  40. 40. 「ラマヌジャンはすべての数と親友であった」  40 by ハーディー 参考文献  G.H. ハーディー,「ある数学者の生涯と弁明」,丸善出版
  41. 41. 整数の調べ方 h-p://ja.wikipedia.org/wiki/384 41
  42. 42. 整数の見つけ方 • 勉強会 第 348 回 à 348 • 今 21 時 41 分 à 2141 • 誕生日 5 月 9 日 à 59 好きな整数を見つけて整数とお友達になろう! 42
  43. 43. まとめ • 様々なグループの整数がある 偶数、奇数、素数、平方数、4n+1型の素数、・・・ • 数字に個性が見える • ラマヌジャンのように整数とお友達になろう 43

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