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第11回
数列②
~頭を使え!思考を止めたらそこで終了~
数学ⅠA・ⅡB(第5回~第20回)
第5回 平方根、指数、指数関数、対数関数(Ⅰ、Ⅱ)
第6回 絶対値、一元不等式、展開・因数分解(Ⅰ、Ⅱ)
第7回 場合の数と確率、二項定理(A、Ⅱ)
第8回 2次関数のグラフ、2次方程式と2次不等式、解と係数の関係(Ⅰ、Ⅱ)
第9回 微分係数と導関数、3次関数のグラフ、積分法(Ⅱ)
第10回 数列①(B)
第11回 数列②(B):さまざまな数列、漸化式、数学的帰納法
第12回 整式の割り算、分数式、剰余定理、因数定理(Ⅱ、Ⅰ)
第13回 三角比、三角形への応用、三角方程式・不等式、加法定理(Ⅰ、Ⅱ)
第14回 平面図形、空間図形、集合と命題(A、Ⅰ)
第15回 距離、内分・外分、点と直線の距離、円と直線、2つの円、軌跡と領域(Ⅱ)
第16回 平面上のベクトル(B)
第17回 空間のベクトル(B)
第18回 ユークリッドの互除法、整数の性質の活用(A)
第19回 データの分析(Ⅰ)
第20回 恒等式、等式と不等式の証明、複素数(Ⅱ)
さまざまな数列
●部分分数分解
𝑆 =
1
1 ∙ 2
+
1
2 ∙ 3
+
1
3 ∙ 4
+ ⋯ +
1
𝑛 𝑛 + 1
𝑒𝑥 次の数列の和𝑆を求めよ。
①分母がかけ算
②分子が一定の値
𝑆 =
1
1
−
1
2
+
1
2
−
1
3
+
1
3
−
1
4
+ ⋯ +
1
𝑛
−
1
𝑛 + 1
𝑆 = 1 −
1
𝑛 + 1
=
𝑛
𝑛 + 1
●等差×等比型
𝑆 = 1 ∙ 1 + 2 ∙ 2 + 3 ∙ 22 + ⋯ ⋯ + 𝑛 ∙ 2𝑛−1
𝑒𝑥 次の数列の和𝑆を求めよ。
①各項がかけ算
𝑆 = 1 ∙ 1 + 2 ∙ 2 + 3 ∙ 22
+ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ + 𝑛 ∙ 2𝑛−1
2𝑆 = 1 ∙ 2 + 2 ∙ 22 + ⋯ + 𝑛 − 1 ∙ 2𝑛−1 + 𝑛 ∙ 2𝑛
−)
−𝑆 = 1 ∙ 1 + 1 ∙ 2 + 1 ∙ 22 + ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ + 1 ∙ 2𝑛−1 − 𝑛 ∙ 2𝑛
−𝑆 = 1 + 2 + 22 + ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ + 2𝑛−1 − 𝑛 ∙ 2𝑛
等比数列の和
−𝑆 = 1 +
2 1 − 2𝑛−1
1 − 2
− 𝑛 ∙ 2𝑛 = −1 + 2𝑛 − 𝑛 ∙ 2𝑛
𝑆 = 1 + 2𝑛 𝑛 − 1
(初項2、公比2、項数𝑛 − 1)
②一方が等差数列、
もう一方が等比数列
公
比
注意!
漸化式 隣り合う2項の関係を示した式
① 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 + 定
②𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛
③𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 +
④𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 +
⑤𝑎𝑛+2 = 𝑎𝑛+1 + 𝑎𝑛 +
定
定A
定B
定A
定C
定B
文字式
等差数列の漸化式
等比数列の漸化式
階差数列
①と②の合体
3項間漸化式
𝑎1 − −1 = 2
ex1 𝑎1 = 1, 𝑎𝑛+1 = 3𝑎𝑛 + 2のとき、数列 𝑎𝑛 の一般項は?
α = 3α + 2
𝑎𝑛+1 − (−1) = 3 𝑎𝑛 − −1
α = −1
𝑎𝑛 − −1 = ∙
𝑛−1
𝑎𝑛 = 2 ∙ 3𝑛−1 − 1
初 比
𝑛番目
𝑛 + 1番目
ex2 𝑎1 = 1, 𝑎2 = 1, 𝑎𝑛+2 = 5𝑎𝑛+1 − 6𝑎𝑛のとき、
数列 𝑎𝑛 の一般項は?
α2 = 5α − 6
α = 2, 3
・・・①
𝑎𝑛+2 − 2𝑎𝑛+1 = 3 𝑎𝑛+1 − 2𝑎𝑛
𝑎𝑛+2 − 3𝑎𝑛+1 = 2 𝑎𝑛+1 − 3𝑎𝑛 ・・・②
①より
𝑎𝑛+1 − 2𝑎𝑛 = 𝑎2 − 2𝑎1 ∙ 3𝑛−1 = −3𝑛−1
②より
𝑎𝑛+1 − 3𝑎𝑛 = 𝑎2 − 3𝑎1 ∙ 2𝑛−1 = −2 ∙ 2𝑛−1 = −2𝑛
・・・①’
・・・②’
①’ー②’より
𝑎𝑛 = 2𝑛 − 3𝑛−1
数学的帰納法
ex 次の等式を数学的帰納法を用いて証明せよ。
1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 =
1
2
𝑛(𝑛 + 1) ⋯ ①
1 𝑛 = 1のとき
(左辺) = 1
(右辺) =
1
2
∙ 1 ∙ 2 = 1
よって、𝑛 = 1のとき、
①は成り立つ。
2 𝑛 = 𝑘のとき①が成り立つと仮定すると、
1 + 2 + 3 + ⋯ +𝑘 =
1
2
𝑘(𝑘 + 1) ⋯ ②
𝑛 = 𝑘 + 1のとき、
(①の左辺)=
1
2
(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)
(①の右辺)=
1
2
(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)
よって、𝑛 = 𝑘 + 1のときにも①は成り立つ。
1 , [2]から、すべての自然数𝑛について①は成り立つ。
[1] 𝑛 = 1のとき成り立つことを示す
[2] 𝑛 = 𝑘のとき成り立つと仮定したとき、
𝑛 = 𝑘 + 1のときにも成り立つことを示す
[1]よりn=1のとき成立するので、[2]を用いればn=2のときも成立。
n=2のとき成立するので、[2]を用いればn=3のときも成立。(以下略)

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基礎強化数学 第11回

  • 2. 数学ⅠA・ⅡB(第5回~第20回) 第5回 平方根、指数、指数関数、対数関数(Ⅰ、Ⅱ) 第6回 絶対値、一元不等式、展開・因数分解(Ⅰ、Ⅱ) 第7回 場合の数と確率、二項定理(A、Ⅱ) 第8回 2次関数のグラフ、2次方程式と2次不等式、解と係数の関係(Ⅰ、Ⅱ) 第9回 微分係数と導関数、3次関数のグラフ、積分法(Ⅱ) 第10回 数列①(B) 第11回 数列②(B):さまざまな数列、漸化式、数学的帰納法 第12回 整式の割り算、分数式、剰余定理、因数定理(Ⅱ、Ⅰ) 第13回 三角比、三角形への応用、三角方程式・不等式、加法定理(Ⅰ、Ⅱ) 第14回 平面図形、空間図形、集合と命題(A、Ⅰ) 第15回 距離、内分・外分、点と直線の距離、円と直線、2つの円、軌跡と領域(Ⅱ) 第16回 平面上のベクトル(B) 第17回 空間のベクトル(B) 第18回 ユークリッドの互除法、整数の性質の活用(A) 第19回 データの分析(Ⅰ) 第20回 恒等式、等式と不等式の証明、複素数(Ⅱ)
  • 3. さまざまな数列 ●部分分数分解 𝑆 = 1 1 ∙ 2 + 1 2 ∙ 3 + 1 3 ∙ 4 + ⋯ + 1 𝑛 𝑛 + 1 𝑒𝑥 次の数列の和𝑆を求めよ。 ①分母がかけ算 ②分子が一定の値 𝑆 = 1 1 − 1 2 + 1 2 − 1 3 + 1 3 − 1 4 + ⋯ + 1 𝑛 − 1 𝑛 + 1 𝑆 = 1 − 1 𝑛 + 1 = 𝑛 𝑛 + 1
  • 4. ●等差×等比型 𝑆 = 1 ∙ 1 + 2 ∙ 2 + 3 ∙ 22 + ⋯ ⋯ + 𝑛 ∙ 2𝑛−1 𝑒𝑥 次の数列の和𝑆を求めよ。 ①各項がかけ算 𝑆 = 1 ∙ 1 + 2 ∙ 2 + 3 ∙ 22 + ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ + 𝑛 ∙ 2𝑛−1 2𝑆 = 1 ∙ 2 + 2 ∙ 22 + ⋯ + 𝑛 − 1 ∙ 2𝑛−1 + 𝑛 ∙ 2𝑛 −) −𝑆 = 1 ∙ 1 + 1 ∙ 2 + 1 ∙ 22 + ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ + 1 ∙ 2𝑛−1 − 𝑛 ∙ 2𝑛 −𝑆 = 1 + 2 + 22 + ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ + 2𝑛−1 − 𝑛 ∙ 2𝑛 等比数列の和 −𝑆 = 1 + 2 1 − 2𝑛−1 1 − 2 − 𝑛 ∙ 2𝑛 = −1 + 2𝑛 − 𝑛 ∙ 2𝑛 𝑆 = 1 + 2𝑛 𝑛 − 1 (初項2、公比2、項数𝑛 − 1) ②一方が等差数列、 もう一方が等比数列 公 比 注意!
  • 5. 漸化式 隣り合う2項の関係を示した式 ① 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 + 定 ②𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 ③𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 + ④𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 + ⑤𝑎𝑛+2 = 𝑎𝑛+1 + 𝑎𝑛 + 定 定A 定B 定A 定C 定B 文字式 等差数列の漸化式 等比数列の漸化式 階差数列 ①と②の合体 3項間漸化式
  • 6. 𝑎1 − −1 = 2 ex1 𝑎1 = 1, 𝑎𝑛+1 = 3𝑎𝑛 + 2のとき、数列 𝑎𝑛 の一般項は? α = 3α + 2 𝑎𝑛+1 − (−1) = 3 𝑎𝑛 − −1 α = −1 𝑎𝑛 − −1 = ∙ 𝑛−1 𝑎𝑛 = 2 ∙ 3𝑛−1 − 1 初 比 𝑛番目 𝑛 + 1番目
  • 7. ex2 𝑎1 = 1, 𝑎2 = 1, 𝑎𝑛+2 = 5𝑎𝑛+1 − 6𝑎𝑛のとき、 数列 𝑎𝑛 の一般項は? α2 = 5α − 6 α = 2, 3 ・・・① 𝑎𝑛+2 − 2𝑎𝑛+1 = 3 𝑎𝑛+1 − 2𝑎𝑛 𝑎𝑛+2 − 3𝑎𝑛+1 = 2 𝑎𝑛+1 − 3𝑎𝑛 ・・・② ①より 𝑎𝑛+1 − 2𝑎𝑛 = 𝑎2 − 2𝑎1 ∙ 3𝑛−1 = −3𝑛−1 ②より 𝑎𝑛+1 − 3𝑎𝑛 = 𝑎2 − 3𝑎1 ∙ 2𝑛−1 = −2 ∙ 2𝑛−1 = −2𝑛 ・・・①’ ・・・②’ ①’ー②’より 𝑎𝑛 = 2𝑛 − 3𝑛−1
  • 8. 数学的帰納法 ex 次の等式を数学的帰納法を用いて証明せよ。 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 = 1 2 𝑛(𝑛 + 1) ⋯ ① 1 𝑛 = 1のとき (左辺) = 1 (右辺) = 1 2 ∙ 1 ∙ 2 = 1 よって、𝑛 = 1のとき、 ①は成り立つ。 2 𝑛 = 𝑘のとき①が成り立つと仮定すると、 1 + 2 + 3 + ⋯ +𝑘 = 1 2 𝑘(𝑘 + 1) ⋯ ② 𝑛 = 𝑘 + 1のとき、 (①の左辺)= 1 2 (𝑘 + 1)(𝑘 + 2) (①の右辺)= 1 2 (𝑘 + 1)(𝑘 + 2) よって、𝑛 = 𝑘 + 1のときにも①は成り立つ。 1 , [2]から、すべての自然数𝑛について①は成り立つ。 [1] 𝑛 = 1のとき成り立つことを示す [2] 𝑛 = 𝑘のとき成り立つと仮定したとき、 𝑛 = 𝑘 + 1のときにも成り立つことを示す [1]よりn=1のとき成立するので、[2]を用いればn=2のときも成立。 n=2のとき成立するので、[2]を用いればn=3のときも成立。(以下略)