1. Учитель математики МБОУ
«Александровская СОШ №23»
Хинельцева Галина Григорьевна

2. 7 класс

3. •
•
•
А
В
С
▲ АВС АВ, ВС, АС - стороны треугольника
‫ے‬ А, ‫ے‬В, ‫ے‬ С - углы треугольника
А
В
С1.
2 3.
1. Остроугольный 2. тупоугольный
3. прямоугольный
равностороннийравнобедренный разносторонний

7.  Дано: ∆ АВС и ∆А1 В1С1
 АС = А1С1
 АВ = А1В1
 < А = < А1
 Доказать:
 ∆ АВС = ∆А1 В1С1

8.  Наложением
 Соединяем точку А1 с точкой А
 Направляем АВ по А1В1
 Получаем точку В2
 По условию теоремы АВ = А1В1
 Получим см. рис2
 Точка В2 совпадает с точкой В1

9.  По условию теоремы
 < А = < А1
 Значит АС пойдёт по стороне
А1С1
 См. рис 3. получили точку С2
 Но по условию теоремы
 АС = А1С1
 См. рис 4 точка С2 совпадает с
точкой С1
 Треугольники совпали
 Значит ∆ АВС = ∆А1 В1С1 ч.т.д.

11.  Если три стороны одного
треугольника равны трём
сторонам другого треугольника,
т о такие треугольники равны.
 Дано: ∆ АВС и ∆А1 В1С1
 АС = А1С1
 АВ = А1В1
 ВС = В1С1
 Доказать: ∆ АВС = ∆А1 В1С1

16. ТЕОРЕМА
СУММА УГЛОВ
ТРЕУГОЛЬНИКА РАВНА 180°
 Доказательство
 Пусть дан ΔABC. Проведем через
вершину B прямую, параллельную (AC) и
отметим на ней точку D так, чтобы точки A
и D лежали по разные стороны от прямой
BC. Тогда DBC и ACB равны как
внутренние накрест лежащие при
параллельных прямых BD и AC и секущей
(BC). Тогда сумма углов треугольника при
вершинах B и C равна углу (ABD). Но угол
(ABD) и угол (BAC) при вершине A
треугольника ABC являются внутренними
односторонними при параллельных
прямых BD и AC и секущей (AB), и их
сумма равна 180°. Следовательно, сумма
углов треугольника равна 180°. Теорема
доказана.

17. СЛЕДСТВИЕ 1
ВНЕШНИЙ УГОЛ ТРЕУГОЛЬНИКА РАВЕН СУММЕ ДВУХ
УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА, НЕ СМЕЖНЫХ С НИМ.
 Доказательство
 Пусть дан ΔABC. Точка D лежит
на прямой AC так, что A лежит
между C и D. Тогда BAD –
внешний к углу треугольника
при вершине A и
A + BAD = 180°. Но
A + B + C = 180°, и,
следовательно, B + C = 180° – A.
Отсюда BAD = B + C. Следствие
доказано.

18.  Внешний угол треугольника
больше любого угла треугольника,
не смежного с ним.

21. ТЕОРЕМА :
В ТРЕУГОЛЬНИКЕ: 1) ПРОТИВ БОЛЬШЕЙ СТОРОНЫ
ЛЕЖИТ БОЛЬШИЙ УГОЛ; 2) ОБРАТНО, ПРОТИВ
БОЛЬШЕГО УГЛА ЛЕЖИТ БОЛЬШАЯ СТОРОНА.
 Дано: ▲ЕКD ED> EK
 Док-ть:‫ے‬К >‫ے‬Е
 Доказательство :
 1. отложим на ED EM = EK
 2. получили ▲ЕКМ равнобед.
 Т.е. ‫ے‬ 1 = ‫,2ے‬ а ‫ے‬К = ‫2ے‬ +
+ ‫ے‬МKD ‫ے‬К >‫ے‬Е
 ч.т.д.
 2) доказать самостоятельно.
1
2

22. СЛЕДСТВИЯ:
1.В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ
ГИПОТЕНУЗА БОЛЬШЕ КАТЕТА.
 1. АВ > АС или АВ > ВС
 2.Если два угла треугольника
равны, то треугольник
равнобедренный (признак
равнобедренного треугольника).
Если в ▲АВС ‫ے‬А = ‫ے‬ С ,
то АВ = ВС
т.е. ▲ АВС - равнобедренный.
С
А
В

23.  Терема: Каждая сторона
треугольника меньше
суммы двух других сторон.
 Дано ; ▲ АВС
 Доказать : АС < АВ + ВС
Отложим на продолжении АВ
ВD = ВС в ▲ DВС равнобед.
‫ے‬1 = ‫.2ے‬ в ▲ АСD
‫ے‬ AСD > ‫ے‬ 1 и ‫ے‬ AСD > ‫ے‬ 2,
то AD > AC т.е. AC < AD
AC < AB + BD AC < AB + CB
D
1
2

25.  А
D С В
Катет прямоугольного треугольника,
лежащий против угла в 300 , равен
половине гипотенузы.
Дано : ▲ АВС ‫ے‬А = 300 ‫ے‬С = 900
Доказать : СВ = 1/ 2 АВ.
в ▲ АВС ‫ے‬ В = 600 продолжим сторону ВС
и отложим от С СD = CB
▲ АВС = ▲ АDС Получили
▲ АDВ ‫ے‬ В = ‫ے‬ D = 600 DB = AB
ВC = ½ DВ ВC = ½ AB ч.т.д.
30

26.  А
D С В
Если катет прямоугольного треугольника,
равен половине гипотенузы, то угол,
лежащий против этого катета равен 300 .
Дано : ▲ АВС ‫ے‬С = 900 СВ = 1/ 2 АВ.
Доказать : ‫ے‬А = 300
в ▲ АВС продолжим сторону ВС и
отложим от С СD = CB
▲ АВС = ▲ АDС Получили
▲ АDВ DB = AB = AD ‫ے‬DAB = 600
‫ے‬DAB = 2‫ے‬ CAB ‫ے‬ CAВ = 300 ч.т.д.
30

30. 8 класс

31. 

32.  Определение: Два треугольника называются
подобными, если у них
соответствующие углы равны и
соответствующие стороны
пропорциональны, то есть

33. 1. Первый признак
подобия
треугольников
Если два угла одного треугольника
соответственно равны двум углам
другого треугольника, то такие
треугольники подобны
Дано:
Доказать:

34. 2.
ЕСЛИ ДВЕ СТОРОНЫ ОДНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫ ДВУМ СТОРОНАМ
ДРУГОГО ТРЕУГОЛЬНИКА, А УГЛЫ,
ОБРАЗОВАННЫЕ ЭТИМИ СТОРОНАМИ
РАВНЫ, ТО ТРЕУГОЛЬНИКИ ПОДОБНЫ
Второй признак подобия
треугольников
 Дано :
 Док:

35. ТРЕТИЙ ПРИЗНАК ПОДОБИЯ
ТРЕУГОЛЬНИКОВ
ЕСЛИ ТРИ СТОРОНЫ ОДНОГО
ТРЕУГОЛЬНИКА ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫ ТРЕМ
СТОРОНАМ ДРУГОГО ТРЕУГОЛЬНИКА, ТО
ТРЕУГОЛЬНИКИ ПОДОБНЫ.
 Дано:
 Док-ть:

36. ЕСЛИ ,
 то
 m и m1 — любые соответствующие медианы
(проведенные к соответствующим сторонам)
 b и b1— любые соответствующие биссектрисы
(проведенные к соответствующим сторонам)
 h и h1— любые соответствующие высоты (проведенные к
соответствующим сторонам)

37. ТЕОРЕМА : ВЫСОТА В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ,
ПОВЕДЕННАЯ ИЗ ВЕРШИНЫ ПРЯМОГО УГЛА
ОБРАЗУЕТ ДВА ТРЕУГОЛЬНИКА, ПОДОБНЫХ
ИСХОДНОМУ. ДЛЯ КАТЕТОВ И ВЫСОТЫ
ИСХОДНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА ВЕРНЫ СЛЕДУЮЩИЕ
ФОРМУЛЫ:

38.  Теорема 1
 Все медианы треугольника
пересекаются в одной точке
(центр тяжести
треугольника) и делятся
этой точкой в отношении
2:1, считая от вершин. Т.е.

39.  Теорема 2  Каждая медиана,
проведенная в
треугольнике делит этот
треугольник на две
равновеликие части (на
два треугольника с
равными площадями)
 То есть

40.  Теорема 3:  все три медианы делят
треугольник на 6
равновеликих
треугольников, то есть

41.  Теорема 1:  Каждая биссектриса угла
в треугольнике делит его
противолежащую сторону
на отрезки,
пропорциональные к двум
другим сторонам
треугольника. То есть

42.  Теорема 2:  Все биссектрисы в
треугольнике пересекаются
в одной точке, которая
является центром вписанной
в треугольник окружности.
В любой треугольник можно
вписать окружность и
только одну.

43.  Теорема:  все серединные
перпендикуляры к сторонам
треугольника пересекаются в
одной точке и эта точка
является центром описанной
около треугольника
окружности. Вокруг любого
четырехугольника можно
описать окружность и только
одну.

44.  Теорема:  Отрезок, соединяющий
вершину треугольника с
противоположной стороной
делит ее на отрезки,
пропорциональные площадям
образованных треугольников.

45.  Теорема:  Средняя линия
треугольника, соединяющая
середины двух его сторон
параллельна третьей
стороне и равна ее
половине.

46.  Теорема синусов:  Стороны треугольника
пропорциональны синусам
противолежащих углов и
каждое отношение стороны к
синусу равно диаметру
описанной около треугольника
окружности.

47. Теорема косинусов:  Квадрат стороны треугольника
равен сумме квадратов двух
других сторон минус удвоенное
произведение этих сторон на
синус угла между ними, то есть

48.  Теорема: Произведение
отношений отрезков, на
которые произвольная
прямая делит стороны
треугольника (или их
продолжения) равно
единице. То есть

49.  Теорема:
Если через вершины
треугольника и произвольную
внутреннюю точку провести
отрезки к противоположным
сторонам (чевианы), то их точки
пересечения разделят стороны на
отрезки, произведение
отношений которых равно
единице.