3. ОТ АВТОРОВ
Дорогие девятиклассники!
В этом учебном году вы продолжите изучение геометрии.
Надеемся, что вы успели полюбить эту важную и красивую
науку, а значит, с интересом будете овладевать новыми
знаниями, и этому будет способствовать учебник, который
вы держите в руках.
Ознакомьтесь, пожалуйста, с его структурой.
Учебник разделен на шесть параграфов, каждый из ко
торых состоит из пунктов. В пунктах изложен теоретиче
ский материал. Особое внимание обращайте на текст, вы
деленный жирным шрифтом. Также обращайте внимание
на слова, напечатанные курсивом.
Как правило, изложение теоретического материала за
вершается примерами решения задач. Эти записи можно
рассматривать как один из возможных образцов оформле
ния решения.
К каждому пункту подобраны задачи для самостоятель
ного решения, к которым мы советуем приступать только
после усвоения теоретического материала. Среди заданий
есть как простые и средние по сложности упражнения, так
и трудные задачи (особенно те, которые обозначены «звез
дочкой» (*)). Свои знания можно проверить, решая задачи
в тестовой форме из рубрики «Проверь себя».
Если после выполнения домашних заданий остается сво
бодное время и вы хотите знать больше, то рекомендуем
обратиться к рубрике «Когда сделаны уроки». Материал,
изложенный там, непрост. Но тем интереснее испытать свои
силы!
Дерзайте! Желаем успеха!
3
4. Уважаемые коллеги!
Мы надеемся, что этот учебник станет надежным по
мощником в вашем нелегком и благородном труде, и будем
искренне рады, если он вам понравится.
В книге собран обширный и разнообразный дидактиче
ский материал. Однако за один учебный год все задачи
решить невозможно, да в этом и нет необходимости. Вместе
с тем намного удобнее работать, когда есть значительный
запас задач. Это дает возможность реализовать принципы
уровневой дифференциации и индивидуального подхода
в обучении.
Красным цветом отмечены номера задач, которые реко
мендуются для домашней работы, синим цветом — номера
задач, которые с учетом индивидуальных особенностей уча
щихся класса на усмотрение учителя можно решать устно.
Материал рубрики «Когда сделаны уроки» можно ис
пользовать для работы математического кружка и факуль
тативных занятий.
Желаем творческого вдохновения и терпения.
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
п задания, соответствующие начальному и среднему
уровням учебных достижений;
п задания, соответствующие достаточному уровню
учебных достижений;
п" задания, соответствующие высокому уровню учебных
достижений;
п задачи для математических кружков и факультативов;
О-» задачи, в которых получен результат, который можно
использовать при решении других задач;
доказательство теоремы, соответствующее достаточному
уровню учебных достижений;
доказательство теоремы, соответствующее высокому
уровню учебных достижений;
доказательство теоремы, не обязательное для изучения;
А окончание доказательства теоремы.
4
5. РЕШЕНИЕ
ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Вэтом параграфе вы узнаете, что представляют собой синус,
косинус итангенс угла а, где 0° < а < 180°.
Вы научитесь по двум сторонам треугольника и углу между
ниминаходитьтретьюсторону, атакжепосторонеидвум приле
жащим кнейуглам находитьдведругие сторонытреугольника.
В8 классе вынаучились решать прямоугольныетреугольники.
Изучив материал этого параграфа, высможете решать любые
треугольники.
Выузнаете о новых формулах, с помощью которых можно на
ходить площадь треугольника.
1. Синус, косинус и тангенс угла от 0° до 180°
Перед изучением этого пункта рекомендуем повторить содержание
пункта 14 на с. 249.
Понятия «синус», «косинус» и «тангенс» острого угла
вам знакомы из курса геометрии 8 класса. Расширим эти
понятия для любого угла а, где 0° < а < 180°.
В верхней полуплоскости координатной плоскости рас
смотрим полуокружность с центром в начале координат,
радиус которой равен 1 (рис. 1). Такую полуокружность
называют единичной.
Будем говорить, что углу а (0° < а < 180°) соответствует
точка М единичной полуок
ружности, если Z МОА = а,
где точки О и А имеют соот
ветственно координаты (0; 0)
и (1; 0) (рис. 1). Например, на
рисунке 1 углу, равному 90°,
соответствует точка С; углу,
равному 180°, — точка В;
углу, равному 0°, — точка А.
5
6. § 1. Решение треугольников
Пусть а — острый угол. Ему соответствует некоторая
точка М (х; у) дуги АС (рис. 2). Из прямоугольного тре
угольника ОМИ имеем:
cos а =
ON
о м '
sin а =
MN
ОМ '
Поскольку ОМ = 1, ON = х, M N - у, то
cos а = х, sin а = у.
Итак, косинус и синус острого угла а — это соответствен
но абсцисса и ордината точки М единичной полуокруж-
ности, соответствующей углу а.
Полученный результат подсказывает, как определить
синус и косинус любого угла а, где 0° < а < 180°.
О п р е д е л е н и е . К о с и н у с о м и с и н у с о м угла а
(0° < а < 180°) называют соответственно абсциссу х и ор
динату у точки М единичной полуокружности, соответ
ствующей углу а (рис. 3).
Пользуясь таким определением, можно, например,
записать: sin0° = 0, cos0° = 1, sin 90° = 1, cos 90° = 0,
sin 180° = 0, cos 180° = -1.
Рис. 2 Рис. З
Если М (х ; у) — произвольная точка единичной полу
окружности, то -1 < х < 1 и 0 < у < 1. Следовательно, для
любого угла а, где 0° < а < 180°, имеем:
0 < sin а < 1,
-1 < cosa < 1.
Если а — тупой угол, то абсцисса точки единичной по
луокружности, соответствующей этому углу, отрицательна.
Следовательно, косинус тупого угла является отрицатель
6
7. 1. Синус, косинус и тангенс угла от 0° до 180°
ным числом. Понятно, что справедливо и такое утвержде
ние: если cos а < 0, то а — тупой или развернутый угол.
Из курса геометрии 8 класса вы знаете, что для любого
острого угла а
sin (90° - а) = cos а,
cos (90° - а) = sin а
Эти формулы остаются справедливыми и для а = 0°,
и для а = 90° (убедитесь в этом самостоятельно).
Пусть углам а и 180° - а, где а Ф0°, а Ф90° и а Ф 180°,
соответствуют точки М (я; ; ух) и N (х ; у2) единичной по
луокружности (рис. 4).
Прямоугольные треугольники ОММ1и ONN1равны по ги
потенузе и острому углу (ON = ОМ = 1, Z МОМл= Z NON1=
= а). Отсюда У2 = У1 и х 2 = - x v Следовательно,
sin (180° - а) = sin а,
cos (180° - а) = - cos а
Убедитесь самостоятельно, что эти равенства остаются
верными для а = 0°, а = 90°, а = 180°.
Если а — острый угол, то, как вы знаете из курса гео
метрии 8 класса, справедливо тождество
sin2 а + cos2 а = 1,
которое остается верным для а = 0°, а = 90°, а = 180° (убе
дитесь в этом самостоятельно).
7
8. к—i § 1. Решение треугольников
j
Пусть а — тупой угол. Тогда угол 180° - а является
острым. Имеем:
sin12 а + cos2 а = (sin (180° - а))2 + (-cos (180° - а))2 =
= sin2 (180° - а) + cos2 (180° - а) = L
Следовательно, равенство sin2а + cos2а = 1 выполняется
для всех 0° < а < 180°.
О п р е д е л е н и е . Т а н г е н с о м угла а, где 0° < а < 180°
и а Ф90°, называют отношение
sin а
cos а
, то есть
tg a =
sin а
cos а
Поскольку cos 90° = 0, то tga не определен для а = 90°.
Очевидно, что каждому углу a (0° < a < 180°) соответ
ствует единственная точка единичной полуокружности.
Значит, каждому углу а соответствует единственное число,
которое является значением синуса (косинуса, тангенса для
а Ф90°). Поэтому зависимость значения синуса (косинуса,
тангенса) от величины угла является функциональной.
Функции / (a) = sin a, g (а) = cos a, h (а) = tga, соответ
ствующие этим функциональным зависимостям, называют
тригонометрическими функциями угла а.
О—* Задача. Докажите, что tg(180° - a) = -tg a .
Реш ение
tg (180°-a )
_ sin(180°-a) _ sina _ sina
cos(180°-a) -cos a a
Пример. Найдите sin 120°, cos 120°, tg l2 0
Реш ение. Имеем:
= -tg a.
sin 120° = sin (180° -60°) = sin 60° = — ;
cos 120° = cos (180° - 60°) = -cos 60° =
tg 120° = tg (180°-60°) = - tg 60° = S .
1. Какую полуокружность называют единичной?
2. Поясните, в каком случае говорят, что углу а соответствует
точка М единичной полуокружности.
8
9. 1. Синус, косинус и тангенс угла от 0° до 180°
3. Что называют синусом угла а, где 0° < а < 180°?
4. Что называют косинусом угла а, где 0° < а < 180°?
5. Чему равен sin0°? cos 0°? sin90°? cos90°? sin180°? cos180°?
6. Вкаких пределах находятся значения sinа, если 0° < а < 180°?
7. Вкаких пределах находятся значения cos а, если 0°<а<180°?
8. Каким числом, положительным или отрицательным, является
синус острого угла? синус тупого угла? косинус острого угла?
косинус тупого угла?
9. Каким углом является угол а, если cos а < О7
10. Чему равен sin (180° - а)? cos (180° - а)?
11. Как связаны между собой синус и косинус одного и того же
угла?
12. Что называюттангенсом угла а, где 0° < а < 180° и <хф 90°?
13. Почему tga не определен для а = 90°?
14. Какое общее название имеютфункции / (a) =sina, g (a) =cosa
иh (a) =tga?
1.° Начертите единичную полуокружность, взяв за еди
ничный отрезок пять клеточек тетради. Постройте угол,
вершиной которого является начало координат, а одной из
сторон — положительная полуось х :
2) косинус которого равен -0,4;
3) синус которого равен 0,6;
4) синус которого равен 1;
5) косинус которого равен 0;
6) косинус которого равен -1.
/
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ
УПРАЖНЕНИЯ
2.° Чему равен:
1) sin(180° - а), если sin a = -;
З2
2) cos(180° - a), если cosa = 0,7;
9
10. IX
V -
§ 1. Решение треугольников
3) соз(180° - а), если соза = - ;
4) tg(180o - а), если tgа = -5?
3. ° Углы а и В смежные, соэа = - —.
6
1) Найдите сое В-
2) Какой из углов а и В является острым, а какой — ту
пым?
4. ° Найдите значение выражения:
1) 2вт90° + Зсоб 0°; 4) 6 tg l8 0 o + б е т 180°;
2) ЗвтО0 - 5 сое 180°; 5) соз2165° + з т 2165°;
3) tg23o•tg0o•tg l0 6 o; 6) 81п(' +81п90°
5. ° Вычислите:
cos0°-cos90°
1) 4 cos 90° + 2 cos 180°; 2) cos0° - cos 180° + sin 90°.
6 Чему равен синус угла, если его косинус равен: 1) 1;
2) 0?
7 Чему равен косинус угла, если его синус равен: 1) 1;
2) 0?
8. ° Найдите sin 135°, cos 135°, tgl35°.
9. ° Найдите sin 150°, cos 150°, tg!50°.
10. ° Существует ли угол а, для которого:
1) sin a = -;
2) sina = 0,3;
11.* Найдите:
оч л/з3) cosa = — ;
5
5) cosa = 1,001;
л/б.
4) cosa = -0,99; 6) sin a = — ?
1) cosa, если sin a = - и 0° < a < 90°;
5
2) cosa, если sin a = - и 90° < a < 180°;
3
c
3) cosa, если sin a = — ;
4
4) sina, если cosa = -0,8.
12.* Найдите:
1 4 51) cosa, если sm a = —;
2) sina, если cosa = - .
6
10
11. 1. Синус, косинус и тангенс угла от 0° до 180°
13/ Верно ли утверждение (ответ обоснуйте):
1) косинус острого угла больше косинуса тупого угла;
2) существует угол, синус и косинус которого равны;
3) существует угол, синус и косинус которого равны нулю;
4) косинус угла треугольника может быть равным от
рицательному числу;
5) синус угла треугольника может быть равным отри
цательному числу;
6) косинус угла треугольника может быть равным нулю;
7) синус угла треугольника может быть равным нулю;
8) косинус угла треугольника может быть равным -1;
9) синус угла треугольника может быть равным 1;
10) синус угла, отличного от прямого, меньше синуса
прямого угла;
11) косинус развернутого угла меньше косинуса угла,
отличного от развернутого;
12) синусы смежных углов равны;
13) косинусы неравных смежных углов являются про
тивоположными числами;
14) если косинусы двух углов равны, то равны и сами
углы;
15) если синусы двух углов равны, то равны и сами
углы;
16) тангенс острого угла больше тангенса тупого угла?
14/ Сравните с нулем значение выражения:
1) sin 110° cos 140°; 3) sin 128° cos2 130° tg92°;
2) sin80° cos 100° cos 148°; 4) sin 70° cos90° tgl04°.
15/ В треугольнике ABC известно, что Z В = 60°, точ
ка О — центр вписанной окружности. Чему равен косинус
угла АОС?
16/ Точка О — центр окружности, вписанной в треуголь
ник ABC, cos Z ВОС = - л
2
Найдите угол А треугольника.
17/ Найдите значение выражения:
1) 2 sin 120° + 4 cos 150° - 2 tgl35°;
2) cos 120° - 8 sin2150° + 3 cos90° cos 162°;
3) cos 180° (sin 135° tg60° - cos 135°)2.
11
12. § 1. Решение треугольников
18. *Чему равно значение выражения:
1) 2 вт150° - 4 сое 120°;
2) 8т 9 0 ° 0^150° сое 135° - 1^120о сов135°)2?
19. * Найдите значение выражения, не пользуясь табли
цами и калькулятором:
віп18°
’ віпівг0’
20.* Вычислите:
віп28°
' віпібг0’
2)
2)
сое 18°
3)
4£-18°
сое 162°’ 4£-162'
сое 49°
3)
4£-12°
СОБІЗІ0’ Ь£І68С
21. * Найдите сумму квадратов синусов всех углов пря
моугольного треугольника.
22. *Найдите сумму квадратов косинусов всех углов пря
моугольного треугольника.
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
23. Высота параллелограмма, проведенная из вершины
тупого угла, равна 5 см и делит сторону параллелограмма
пополам. Острый угол параллелограмма равен 30°. Найди
те диагональ параллелограмма, проведенную из вершины
тупого угла, и углы, которые она образует со сторонами
параллелограмма.
24. Прямая СЕ параллельна боковой стороне АВ трапеции
АВСБ и делит основание АО на отрезки АЕ и БЕ такие, что
АЕ = 7 см, БЕ = 10 см. Найдите среднюю линию трапеции.
ГОТОВИМСЯ К ИЗУЧЕНИЮ НОВОЙ ТЕМЫ
25. Две стороны треугольника равны 8 см и 11 см. Может
ли угол, противолежащий стороне длиной 8 см, быть:
1) тупым; 2) прямым? Ответ обоснуйте.
26. В треугольнике АВС проведена высота ВБ, Z А = 60°,
Z С = 45°, АВ - 10 см. Найдите сторону ВС.
27. Найдите высоту ВБ треугольника АВС и проекцию
стороны АВ на прямую АС, если Z ВАС = 150°, АВ = 12 см.
12
15. 2. Iеорема косинусов
Пусть а2 - Ъ2 + с2. Тогда 2be cos а = 0, то есть cos а = 0.
Отсюда а = 90°. А
О—ш Задача. Докажите, что сумма квадратов диаго
налей параллелограмма равна сумме квадратов всех его
сторон.
Р еш ен и е. На рисунке 8 изображен параллелограмм
ABCD.
Пусть АВ = CD - а, ВС = AD - Ь,
Z BAD = а, тогда Z ADC = 180° - а.
Из Д ABD по теореме косинусов
BD2 = а2 + Ь2 - 2ab cos а. (1)
Из Д ACD по теореме косинусов
АС2 = а2 + Ъ2 - 2ab cos (180° - а) или
АС2 = а2 + Ь2 + 2a5cosa. (2)
Сложив равенства (1) и (2), получим
BD2 + АС2 = 2а2 + 2Ъ*ш
П р и м е р 1. В треугольнике АВС сторона АВ на 4 см
больше стороны ВС, Z В = 120°, АС = 14 см. Найдите сто
роны АВ и ВС.
Реш ение. По теореме косинусов
АС2 = АВ2 + ВС2 - 2АВ-ВС cos В.
Пусть ВС = х см, х > 0, тогда АВ = (х + 4) см.
Имеем:
142 = (х + 4)2 + х 2 - 2х (х + 4) cos 120°;
196 = х2+ 8х + 1б + х 2-2 х (х + 4) •
196 = 2х2 + 8х + 16 + х (х + 4);
Зх2 + 12х - 180 = 0;
х2 + 4х - 60 = 0;
хх = 6; х2 = -10.
Корень х2 = -10 не удовлетворяет условию х > 0.
Следовательно, ВС = 6 см, АВ = 10 см.
О т вет : 10 см, 6 см.
П р и м е р 2. На стороне АС треугольника АВС отметили
точку D так, что CD :AD = 1 : 2 . Найдите отрезок BD, если
АВ = 14 см, ВС - 13 см, АС = 15 см.
В Ъ с
15
16. § 1. Решение треугольников
А
Рис. 9
Реш ение. По теореме косинусов из А АВС (рис. 9):
АВ2 - АС2 + ВС2 - 2АС-ВС совС,
отсюда
п АС2+ ВС2-А В 2 152+132-1 4 2 225 + 169-196 33
2АС-ВС 2 -15 -13 2 -15 -13 65
Поскольку СП : АО = 1 : 2, то СО = —АС = 5 см.
Тогда из Д ВСО:
ВО2= ВС2+ С02-2ВС -СО- соэ С =
= 132+ 52-2- 13-5- — = 128.
65
Следовательно, ВО = -у/128 = 8 >/2 (см).
О т вет : 8л/2 см.
При ме р 3. Две стороны треугольника равны 23 см
и 30 см, а медиана, проведенная к большей из известных
сторон, — 10 см. Найдите третью сторону треугольника.
Реш ение. Пусть в треугольнике АВС (рис. 10) АС = 23 см,
ВС = 30 см, отрезок АМ — медиана, АМ = 10 см.
На продолжении отрезка АМ за точку М отложим от
резок МО, равный медиане АМ. Тогда АО = 20 см.
В четырехугольнике АВОС диагонали АО и ВС точкой М
пересечения делятся пополам (ВМ = МС по условию,
АМ = МО по построению). Следовательно, четырехугольник
АВОС — параллелограмм.
По свойству диагоналей параллелограмма имеем:
АО2 + ВС2 = 2 (АВ2 + АС2).
Тогда
202 + 30« = 2 (АВ2 + 232);
16
17. 2. Іеорема косинусов
400 + 900 = 2 (AB2 + 529);
AB2 = 121;
AB = 11 см.
О т вет : 11 см.
* 1. Сформулируйте теорему косинусов.
2. Остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является
треугольник со сторонами а, Ьис, где а - его наибольшая сто
рона, если:
1) а2< Ь2+ с2;
2) а2>Ь2+ с2;
3) а2= Ь2+ с2?
3. Как связаны между собой диагонали и стороны параллелограмма?
УПРАЖНЕНИЯ
28.” Найдите неизвестную сторону треугольника АВС,
если:
1) АВ = 5 см, ВС = 8 см, ZB = 60°;
2 ) АВ = 3 см, АС = 2^2 см, ZA = 135°,
29. Найдите неизвестную сторону треугольника DEF,
если:
1) DE = 4 см, DF = 2у/з cm , ZD = 30°;
2) DF = 3 см, EF = 5 см, Z F = 120°.
30. ° Стороны треугольника равны 12 см, 20 см и 28 см.
Найдите наибольший угол треугольника.
31. Стороны треугольника равны VÎ8 см, 5 см и 7 см.
Найдите средний по величине угол треугольника.
32. ° Установите, остроугольным, прямоугольным или ту
поугольным является треугольник, стороны которого равны:
1) 5 см, 7 см и 9 см; 3) 10 см, 15 см и 18 см.
2) 5 см, 12 см и 13 см;
33. ° Стороны треугольника равны 7 см, 8 см и 12 см.
Верно ли утверждение, что данный треугольник — остро
угольный?
34. ° Докажите, что треугольник со сторонами 8 см,
15 см и 17 см является прямоугольным.
17
18. § 1. Решение треугольников
35. ° Стороны параллелограмма равны 2у[2 см и 5 см,
а один из углов равен 45°. Найдите диагонали параллело
грамма.
36. ° В трапеции АВСН (ВС || АО) известно, что ВС = 3 см,
АН = 10 см, СН = 4 см, / Н = 60°. Найдите диагонали тра
пеции.
37. ° На стороне АВ равностороннего треугольника АВС
отмечена точка Н так, что АН : ПВ = 2 : 1 . Найдите отрезок
СН, если АВ = 6 см.
38. ° На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС
отмечена точка М так, что АМ : ВМ = 1 : 3 . Найдите от
резок СМ, если АС = ВС = 4 см.
39. *Две стороны треугольника равны 3 см и 4 см, а синус
угла между ними равен Найдите третью сторону тре-
6
угольника. Сколько решений имеет задача?
40. * В треугольнике АВС известно, что / С = 90°, АС =
= 20 см, ВС = 15 см. На стороне АН отметили точку М так,
что ВМ - 4 см. Найдите длину отрезка СМ.
41. * На продолжении гипотенузы АН прямоугольного
равнобедренного треугольника АВС за точку В отметили
точку В так, что ВВ = ВС. Найдите отрезок СВ, если катет
треугольника АВС равен а.
42. * В треугольнике АВС известно, что / С = 90°, АН =
= 13 см, АС = 1 2 см. На продолжении гипотенузы АН за
точку В отметили точку В так, что ВВ = 26 см. Найдите
длину отрезка СВ.
43. * Центр окружности, вписанной в прямоугольный
треугольник, находится на расстояниях а и Ъ от концов
гипотенузы. Найдите гипотенузу треугольника.
44. *Точка О — центр окружности, вписанной в треугольник
АВС, ВС = а, АС = Ъ, Z АОВ = 120°. Найдите сторону АВ.
45. * Две стороны треугольника, угол между которыми
равен 60°, относятся как 5 : 8, а третья сторона равна 21 см.
Найдите неизвестные стороны треугольника.
18
19. 2. Iеорема косинусов
46. Две стороны треугольника относятся как 1 : 2-у/з и об
разуют угол, равный 30°. Третья сторона треугольника равна
2л/7 см. Найдите неизвестные стороны треугольника.
47. *Сумма двух сторон треугольника, образующих угол
120°, равна 8 см, а длина третьей стороны составляет 7 см.
Найдите неизвестные стороны треугольника.
48. * Две стороны треугольника, угол между которыми
равен 120°, относятся как 5 : 3. Найдите стороны треуголь
ника, если его периметр равен 30 см.
49. * Две стороны треугольника равны 16 см и 14 см,
а угол, противолежащий меньшей из известных сторон,
равен 60°. Найдите неизвестную сторону треугольника.
50»* Две стороны треугольника равны 15 см и 35 см,
а угол, противолежащий большей из известных сторон,
равен 120°. Найдите периметр треугольника.
51. *На стороне ВС треугольника АВС отметили точку В
так, что СВ = 14 см. Найдите отрезок АВ, если АВ - 37 см,
ВС - 44 см и АС = 15 см.
52. *На стороне АВ треугольника ЛВС отметили точку К,
а на продолжении стороны ВС за точку С — точку М. Най
дите отрезок М К , если АВ = 15 см, ВС = 7 см, АС = 13 см,
АК = 8 см, МС = 3 см.
53. *Одна из сторон треугольника в 2 раза больше другой,
а угол между этими сторонами составляет 60°. Докажите,
что данный треугольник является прямоугольным.
54. * Докажите, что если квадрат стороны треугольника
равен неполному квадрату суммы двух других сторон, то
противолежащий этой стороне угол равен 120°.
55. * Докажите, что если квадрат стороны треугольника
равен неполному квадрату разности двух других сторон, то
противолежащий этой стороне угол равен 60°.
56. * Две стороны параллелограмма равны 7 см и 11 см,
а одна из диагоналей — 12 см. Найдите вторую диагональ
параллелограмма.
57. * Диагонали параллелограмма равны 13 см и 11 см,
а одна из сторон — 9 см. Найдите периметр параллело
грамма.
19
20. § 1. Решение треугольников
5 8 / Диагонали параллелограмма равны 8 см и 14 см,
а одна из сторон на 2 см больше другой. Найдите стороны
параллелограмма.
59/ Стороны параллелограмма равны 11 см и 23 см, а его
диагонали относятся как 2 : 3 . Найдите диагонали парал
лелограмма.
60.” В трапеции АВСВ (АО || ВС) известно, что АВ = 5 см,
ВС = 9 см, АО = 16 см, соэ А = —. Найдите сторону СВ тра
пеции.
6 1 . " В трапеции АВСВ (АВ || ВС) известно, что
АВ = у115 см, ВС = 6 см, СВ = 4 см, АВ =1 1 см. Найдите
косинус угла В трапеции.
62. " Найдите диагональ АС четырехугольника АВСВ,
если около него можно описать окружность, и АВ = 3 см,
ВС - 4 см, СВ - 5 см, АВ - 6 см.
63. ’ Можно ли описать окружность около четырехугольни
ка АВСВ, если АВ = 4 см, АО = 3 см, ВВ = 6 см и / С = 30°?
64. " Докажите, что против большего угла параллелограм
ма лежит большая диагональ. Сформулируйте и докажите
обратное утверждение.
65. " Стороны треугольника равны 12 см, 15 см и 18 см.
Найдите биссектрису треугольника, проведенную из вер
шины его наибольшего угла.
66. " Основание равнобедренного треугольника равно 5 см,
а боковая сторона — 20 см. Найдите биссектрису треуголь
ника, проведенную из вершины угла при его основании.
67. " Стороны треугольника равны 16 см, 18 см и 26 см.
Найдите медиану треугольника, проведенную к его большей
стороне.
68. " Основание равнобедренного треугольника равно
4л/2 см, а медиана, проведенная к боковой стороне, — 5 см.
Найдите боковую сторону треугольника.
69. " Две стороны треугольника равны 12 см и 14 см,
а медиана, проведенная к третьей стороне, — 7 см. Найди
те неизвестную сторону треугольника.
70. " В треугольнике АВС известно, что АВ - ВС, Z АВС =
= 120°. На продолжении отрезка АВ за точку В отметили
20
21. 2. Iеорема косинусов
точку Б так, что ВБ - 2АВ. Докажите, что треугольник
АСБ равнобедренный.
71.“ Докажите, что тс=^л12а2+ 2Ь2- с 2, где а, Ъ и с —
стороны треугольника, тс — медиана треугольника, про
веденная к стороне с.
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
72. В окружности проведены диаметр АС и хорда АВ, рав
ная радиусу окружности. Найдите углы треугольника АВС.
73. Один из углов, образовавшихся при пересечении бис
сектрисы угла параллелограмма с его стороной, равен одному
из углов параллелограмма. Найдите углы параллелограмма.
74. В треугольник АВС вписан параллелограмм АБЕЕ
так, что угол А у них общий, а точки Б, Е и Б принадлежат
соответственно сторонам АВ, ВС и АС треугольника. Най
дите стороны параллелограмма АБЕЕ, если АВ = 8 см,
АС = 12 см, АБ : АЕ = 2 : 3.
ГОТОВИМСЯ К ИЗУЧЕНИЮ н о в о й ТЕМЫ
75. Найдите угол АБС (рис. 11), если Z АВС - 140°.
76. Найдите угол АВС (рис. 12), если Z АБС = 43°.
D В
Рис. 11
равен Б, А АВС - а (рис. 13). Найдите хорду АС.
Обновите в памяти содержание пункта 8 на с. 247.
21
23. 3. Теорема синусов
- ^ - = J ^ = ^ = 2 R
sin A sin В sin С ▲
С л е д с т в и е . Радиус описанной окружности треуголь
ника можно вычислить по формуле
R =
а
2 sin а ’
где а — сторона треугольника, а — противолежащий
ей угол.
П р и м е р 1. В треугольнике АВС известно, что АС =
= S см, ВС = 1 см, Z В = 45°. Найдите угол А.
Реш ение. По теореме синусов
ВС _ АС
sin A sin В
Тогда имеем:
. ВС sin В
sin А = ----------
АС
1 -sin 45° 1
2'
Поскольку ВС < АС, то Z А < Z В. Следовательно, Z А —
острый. Отсюда, учитывая, что sin А =
О т вет : 30°.
1
2’
получаем А А = 30°.
П р и м е р 2. В треугольнике АВС известно, что АС -
см, ВС = 1 см, Z 4 = 30°. Найдите угол В.
Реш ение. Имеем:
ВС _ АС
sin A sin В ’
„ АС sin А у2
sin В = ----------= — .
ВС 2
Так как ВС < АС, то Z А < Z В.
Тогда угол В может быть как острым,
так и тупым. Отсюда Z В - 45° или
Z В = 180р - 45° = 135°.
О т вет : 45° или 135°.
С
П р и м е р 3. На стороне АВ треугольника АВС (рис. 15)
отметили точку В так, что Z ВВС = у, АВ = т. Найдите ВВ,
если А А = а, Z В = [3.
23
24. I X
V -
§ 1. Решение треугольников
Реш ение. A BDC — внешний угол треугольника ADC.
Тогда Z ACD + Z А = Z BDC, отсюда Z ACD - у - ос.
Из Д ADC по теореме синусов:
CD _ АР
sin Z CAD ~ sin Z ACD '
AD sin Z CAD m sin a
Следовательно, CD =
Из Д BCD:
sin.
BD
ACD
CD
sin (y -a )
BD =
CD sin Z BCD
sin Z BCD sin Z CBD
m sin a sin (180° - (P+ y))
sin. CBD sin Psin (y -a )
m sin a sin (P+ y)
sin Psin (y -a )
О т вет :
m sin a sin (P+ y)
sin Psin (y -a )
П р и м е р 4. Отрезок ВО — бис
сектриса треугольника АВС, А В -
- 30°, А С - 105°. Найдите радиус
окружности, описанной около тре-
В угольника АВС, если радиус окруж
ности, описанной около треугольни
ка ВОС, равен 8>/б см.
Реш ение. Пусть — радиус окружности, описанной
около треугольника в Ь с (рис. 16), В1= 8[б см.
Z CBD = -А АВС = 15е
Из Д BDC:
ABDC = 180°
гг, -ВС
Тогда
(Z CBD + АС) = 180°
= 2Rv отсюда
(15° + 105°) = 60°
sin z BDC
ВС = 2Rxsin Z BDC = 2 ■8^6 sin 60° = 2442 (cm).
Из Д ABC:
A A = 180° - (Z ABC + A C ) = 180° - (30° + 105°) = 45°.
Пусть R — искомый радиус окружности, описанной око
ло треугольника АВС.
Тогда ВС
sin А
О т вет : 24 см.
= 2R, отсюда R =
24ВС
2sin А 2sin 45е
= 24 (см).
24
25. 3. Теорема синусов
* 1. Как найти хорду окружности, если известны диаметр окруж
ности и вписанный угол, опирающийся на эту хорду?
2. Сформулируйте теорему синусов.
3. Как найти радиус окружности, описанной около треугольника
со стороной а и противолежащим этой стороне углом а?
УПРАЖНЕНИЯ
78. ° Найдите сторону ВС треугольника АВС, изображен
ного на рисунке 17 (длины отрезков даны в сантиметрах).
79. ° Найдите угол А треугольника АВС, изображенного
на рисунке 18 (длины отрезков даны в сантиметрах).
В
В
С
Рис. 17 Рис. 18
80. ° Найдите сторону АВ треугольника АВС, если АС =
= л/б см, А В = 120°, А С = 45°.
81. ° В треугольнике АВС известно, что АВ = 12 см, ВС -
= 10 см, БтА = 0,2. Найдите синус угла С треугольника.
82. ° В треугольнике БЕЕ известно, что ВЕ = 16 см, А Е =
= 50°, АВ = 38°. Найдите неизвестные стороны треугольника.
83. ° В треугольнике МКР известно, что КР = 8 см, А К=
= 106°, А Р = 32°. Найдите
неизвестные стороны треу
гольника.
84. ° Для нахождения
расстояния от точки А до
колокольни В, располо
женной на другом берегу
речки (рис. 19), с помо
щью вех, рулетки и при-
І,
25
26. § 1. Решение треугольников
бора для измерения углов (теодолита) отметили на местности
точку С такую, что Z ВАС = 42°, Z АСВ = 64°, АС = 20 м.
Как найти расстояние от А до В? Найдите это расстояние.
85. ° В треугольнике АВС известно, что ВС - а, А А - а,
Z С = у. Найдите АВ и АС.
86. ° Диагональ параллелограмма равна й и образует с его
сторонами углы аи|3. Найдите стороны параллелограмма.
87. ° Найдите угол А треугольника АВС, если:
1) АС = 2 см, ВС = 1 см, АВ = 135°;
2) АС = 42 см, ВС = 4 3 см, АВ = 45°,
Сколько решений в каждом случае имеет задача? Ответ
обоснуйте.
88. ° Существует ли треугольник АВС такой, что втА =
= 0,4, АС = 18 см, ВС = 6 см? Ответ обоснуйте.
89. ° В треугольнике БЕЕ известно, что ВЕ = 8 см, в тР =
= 0,16. Найдите радиус окружности, описанной около тре
угольника БЕЕ.
90. ° Радиус окружности, описанной около треугольника
М КР, равен 5 см, тпМ = 0,7. Найдите сторону КР.
91. * На продолжении стороны АВ треугольника АВС за
точку В отметили точку Б. Найдите радиус окружности,
описанной около треугольника АСБ, если Z АВС = 60°,
Z АБС = 45°, а радиус окружности, описанной около тре
угольника АВС, равен 4 см.
92. *Радиус окружности, описанной около треугольника
АВС, равен 6 см. Найдите радиус окружности, описанной
около треугольника АОС, где О — точка пересечения бис
сектрис треугольника АВС, если Z АВС = 60°.
93. *По рисунку 20 найдите АБ, если СБ = а.
94. *По рисунку 21 найдите АС, если ВБ = т.
Рис. 20
26
Рис. 21
27. 3. Теорема синусов
9 5 / На стороне АВ треугольника ЛВС отметили точку М
так, что ААМ С = ср. Найдите отрезок СМ, если АВ = с,
А А = а, А АСВ = у.
9 6 / В треугольнике АВС известно, что А А = а, А В = $.
На стороне ВС отметили точку О так, что А АОВ = ср, АО =
= тп. Найдите сторону ВС.
9 7 / Докажите, что биссектриса треугольника делит его
сторону на отрезки, длины которых обратно пропорцио
нальны синусам прилежащих к этой стороне углов.
98/ Две стороны треугольника равны 6 см и 12 см, а вы
сота, проведенная к третьей стороне, — 4 см. Найдите ра
диус окружности, описанной около данного треугольника.
99/ Найдите радиус окружности, описанной около равно
бедренного треугольника с основанием 16 см и боковой
стороной 10 см.
100/ Сторона треугольника равна 24 см, а радиус опи
санной окружности — 8л/з см. Чему равен угол треуголь
ника, противолежащий данной стороне?
101/ Трасса для велосипедистов имеет форму треуголь
ника, два угла которого равны 50° и 100°. Меньшую сторо
ну этого треугольника один из велосипедистов проезжает
за 1 ч. За какое время он проедет всю трассу? Ответ пред
ставьте в часах с точностью до десятых.
102. ” В треугольнике АВС известно, что АС - Ь, А А - а,
А С = у. Найдите биссектрису ВХ> треугольника.
103. ” Основание равнобедренного треугольника равно а,
противолежащий ему угол равен а. Найдите биссектрису тре
угольника, проведенную из вершины угла при основании.
104. ” Докажите, пользуясь теоремой синусов, что бис
сектриса треугольника делит его сторону на отрезки, длины
которых пропорциональны прилежащим сторонам1.
105. ” Основания равнобокой трапеции равны 9 см и
21 см, а высота — 8 см. Найдите радиус окружности, опи
санной около трапеции.
1 Напомним, что этот факт с использованием теоремы о пропорцио
нальных отрезках был доказан в учебнике: А. Г. Мерзляк, В. Б. Полон
ский, М. С. Якир. «Геометрия. 8 класс». — X.: Гимназия, 2008.
27
28. § 1. Решение треугольников
106.” Отрезок СБ — биссектриса треугольника АВС,
в котором АА - а, А В - [3. Через точку Б проведена прямая,
параллельная стороне ВС и пересекающая сторону АС в точ
ке Е, причем АЕ ~ а. Найдите СЕ.
107. ” Медиана АМ треугольника АВС равна т и образу
ет со сторонами АВ и АС углы а и р соответственно. Най
дите стороны АВ и АС.
108. ” Медиана СБ треугольника АВС образует со сторо
нами АС и ВС углы а и р соответственно, ВС - а. Найдите
медиану СБ.
109. ” Высоты остроугольного треугольника АВС пере
секаются в точке Н. Докажите, что радиусы окружностей,
описанных около треугольников АНВ, ВНС, АНС и АВС,
равны.
110. ” Дороги, соединяющие села А, В и С (рис. 22), об
разуют треугольник, причем дорога из села А в село С за
асфальтирована, а дороги из села А в село В и из села В
в село С — грунтовые. Дороги, ведущие из села А в села В
и С, образуют угол в 15°, а дороги, ведущие из села В в села
А и С, — угол в 5°. Скорость движения автомобиля по ас
фальтированной дороге в 2 раза больше скорости его дви
жения по грунтовой. Какой путь выбрать водителю авто
мобиля, чтобы как можно скорее добраться из села А
в село В?
111." Дороги из сел А и В сходятся у развилки С
(рис. 23). Дорога из села А до развилки образует с дорогой
в село В угол в 30°, а дорога из села В с дорогой в село А —
угол в 70°. Одновременно из села А в направлении развил-
28
29. 3. Теорема синусов
ки выехал автомобиль со скоростью 90 км/ч, а из села В —
автобус со скоростью 60 км/ч. Кто из них первым доедет
до развилки?
В
112. Биссектрисы углов Б и С прямоугольника АВСБ
пересекают сторону АО в точках М и К соответственно.
Докажите, что ВМ - СК.
113. На рисунке 24 БЕ || АС, ЕК || АВ.
Укажите, какие треугольники на этом
рисунке подобны.
114. На стороне АВ квадрата АВСБ
отметили точку К, а на стороне СБ —
точку М так, что А К : КВ = 1 : 2 ,
БМ : МС = 3 : 1 . Найдите сторону ква
драта, если М К = 13 см.
ГОТОВИМСЯ К ИЗУЧЕНИЮ н о в о й ТЕМЫ
115. Решите прямоугольный треугольник:
1) по двум катетам а = 7 см и Ъ= 35 см;
2) по гипотенузе с = 17 см и катету а = 8 см;
3) по гипотенузе с = 4 см и острому углу а = 50°;
4) по катету а = 8 см и противолежащему углу а = 42°.
Обновите в памяти содержание пункта 15 на с. 249-250.
29
30. § 1. Решение треугольников
Решение треугольников
Решить треугольник — это значит найти неизвестные
его стороны и углы по известным сторонам и углам.
В 8 классе вы научились решать прямоугольные тре
угольники. Теоремы косинусов и синусов позволяют решить
любой треугольник.
П р и м е р 1. Решите треугольник
(рис. 25) по стороне а = 12 см и двум
углам ß = 36°, у = 119°.
Р еш ение. Имеем:
а = 180° - (ß + у) = 180° - 155° = 25°.
По теореме синусов:
Ь _ а
sinß sin а ’
а sin ß
sin а
12 sin 36°
sin 25°
12-0,588
0,423
= 16,7 (см);
с _ а
sin у sin а ’
a siny _ 12 sin 119° _ 12 sin 61°
sin а sin 25° sin 25°
12-0,875
0,423
24,8 (см).
О т вет : Ъ~ 16,7 см, с ~ 24,8 см; а = 25°.
Заметим, что значения тригонометрических функций
были найдены по таблице, расположенной на с. 268 учеб
ника. Их также можно было найти с помощью микрокаль
кулятора.
П р и м е р 2. Решите треугольник (рис. 25) по двум сто
ронам а = 14 см, Ъ= 8 см и углу у = 38° между ними.
Реш ение. По теореме косинусов:
с2 —а2 + Ь2 —2abcosy - 196 + 64 - 2-14-8 cos38° ~
- 260 - 224-0,788 = 83,488;
с ~ 9,1 см.
Далее имеем:
а2 - Ь2 + с2 - 2be cos а;
,2 , 2 2О С CL п лоо
cos а = ------------ я=-0,338.
26с
Найдем угол а х такой, что cosa1 = 0,338.
30
31. 4. Решение треугольников
Число 0,338 отсутствует в таблице значений косинусов,
ближайшим к нему является число 0,342. Тогда получаем
а х~ 70°. Отсюда
а = 180° - а х « 110°.
(3 = 180° - (а + у) « 180° - 148° = 32°.
О т вет : с ~ 9,1 см, а ~ 110°, [3 ~ 32°.
П р и м е р 3. Решите треугольник (рис. 25) по трем сто
ронам а - 7 см, Ь - 2 см, с - 8 см.
Реш ение. Имеем: а2 - Ь2 + с2 - 2Ъссое а, отсюда
4 + 6 4 -4 9
cos а =
, 2 , 2 2о + с - а
2Ьс 2 - 2- 8
-0,594. Тогда а ~ 54°
Ь . п 6sin а
:, smp = -
2 sin 54° 2-0,809
0,231.
sin а sinp а 7 7
Поскольку Ъ является наименьшей стороной данного
треугольника, то угол [3 — острый, [3 ~ 13°.
Тогда у = 180° - (а + (3) - 180° - 67° = 113°.
О т вет : а ~ 54°, [3 ~ 13°, у ~ 113°.
П р и м е р 4. Решите треугольник (рис. 25) по двум сто
ронам и углу, противолежащему одной из сторон: 1) а -
- 17 см, b = 6 см, а = 156°; 2) b - 7 см, с - 8 см, [3 = 65°;
3) а = 6 см, Ъ= Ъсм, [3 = 50°.
Реш ение.
ъ
1)
а _
sin а sin p ’
6 sin а 6 sin 156°
sin (3=
6 sin 24° 6-0,407
0,144.
а 17 17 17
Так как угол а данного треугольника тупой, то угол [3—
острый, [3 ~ 8°.
Тогда у = 180° - (а + (3) ~ 16°.
sina sin у
С =
asin y a sin 16° 17-0,276
sina sin 156° 0,407
11,5 (см).
О т вет : [3 ~ 8°, у ~ 16°, с ~ 11,5 см.
2) sm у =
с sin Р 8 sin 65° 8 • 0,906
sinp sin у
что невозможно.
О т вет : задача не имеет решения.
1,035 >1,
31
32. § 1. Решение треугольников
3) sm а
; sin Р 6 sin 50° 6 • 0,766
0,919.
sin а sinp ь 5
Возможны два случая: а = 67° или а = 180° - 67° = 113°.
Рассмотрим случай, когда а = 67°:
у = 180° - (а + (3) - 180° - 117° = 63°;
Ь _ с _ b sin у _ 5 sin 63° _ 5 • 0,891
sinp sin у * sin p sin 50° 0,766
При а = 113° получаем:
Y= 180° - (а + (3) - 180° - 163° = 17°;
= 5,8 (см).
b sin у 5 sin 17°
sin Р sin 50°
5-0,292
0,766
= 1,9 (см).
О т вет : а = 67°, у = 63°, с = 5,8 см или а = 113°, у = 17°,
с = 1,9 см.
3 —
Что означает решить треугольник?
116. ° Решите треугольник по стороне и двум углам1:
1) а = 10 см, (3 = 20°, у - 85°;
2) Ъ= 16 см, а = 40°, р = 110°.
117. ° Решите треугольник по стороне и двум углам:
1) Ъ= 9 см, а = 35°, у = 70°;
2) с = 14 см, р = 132°, у = 24°.
118. ° Решите треугольник по двум сторонам и углу
между ними:
1) Ъ= 18 см, с - 22 см, а = 76°;
2) а - 20 см, 5 = 15 см, у - 104°.
119. ° Решите треугольник по двум сторонам и углу
между ними:
1) а - 8 см, с - 6 см, [3 = 15°;
2) Ь - 7 см, с - 5 см, а = 145°.
1 В задачах №№ 116-124 приняты обозначения: а, б и с — стороны
треугольника, а, Р и у — углы, противолежащие соответственно сторонам
а, Ь и с.
32
33. 4. Решение треугольников
120. ° Решите треугольник по трем сторонам:
1) а = 4 см, b - 5 см, с - 7 см;
2) а - 26 см, b - 19 см, с - 42 см.
121. Решите треугольник по трем сторонам:
1) а = 5 см, b = 6 см, с = 8 см;
2) а - 21 см, b - 17 см, с = 32 см.
122. ° Решите треугольник, в котором:
1) а = 10 см,b - 3 см, Р = 10°, угол а —острый;
2) а = 10 см,b - 3 см, [3 = 10°, угол а —тупой.
123. * Решите треугольник по двум сторонам и углу,
противолежащему одной из данных сторон:
1) а - 7 см, b - 11 см, Р = 46°;
2) b = 15 см, с = 17 см, Р = 32°;
3) а - 7 см, с = 3 см, у = 27°.
124/ Решите треугольник по двум сторонам и углу,
противолежащему одной из данных сторон:
1) а - 23 см,с —30 см, у = 102°;
2) а - 18 см,Ъ= 2Ъ см, а = 36°.
125/ В треугольнике АВС известно, что АВ = ВС = 20 см,
Z А = 70°. Найдите: 1) сторону АС; 2) медиану СМ; 3) бис
сектрису AD; 4) радиус описанной окружности треугольни
ка АВС.
126. Диагональ АС равнобокой трапеции ABCD (ВС ||
Il AD) равна 8 см, Z CAD = 38°, Z BAD - 72°. Найдите:
1) стороны трапеции; 2) радиус описанной окружности
треугольника АВС.
127. ” Основания трапеции равны 12 см и 16 см, а боко
вые стороны — 7 см и 9 см. Найдите углы трапеции.
4^^У П РА Ж Н ЕН И Я д л я п овторения
128. Биссектриса угла В параллелограмма ABCD пере
секает его сторону AD в точке М , а продолжение стороны
CD за точку D — в точке К. Найдите длину отрезка DK,
если АМ = 8 см, а периметр параллелограмма равен 50 см.
33
34. § 1. Решение треугольников
129. Периметр одного из двух подобных треугольников
на 18 см меньше периметра другого треугольника, а наи
большие стороны этих треугольников равны 5 см и 8 см.
Найдите периметры данных треугольников.
ГОТОВИМСЯ К ИЗУЧЕНИЮ н о в о й ТЕМЫ
130. Точка М — середина стороны СБ
прямоугольника АВСБ (рис. 26), АВ -
= 6 см, АО = 5 см. Чему равна площадь
треугольника АСМ?
131. На стороне АС треугольника АВС
отметили точку -О так, что А АВВ - а.
Докажите, что площадь треугольника
ABC S = —АС
2
М
D
BD sin а.
Обновите в памяти содержание пункта 17 на с. 250.
КОГДА СДЕЛАНЫ УРОКИ
Тригонометрия —
наука об измерении треугольников
Вы знаете, что древние путешественники ориентирова
лись по звездам и планетам. Они могли достаточно точно
определить положение корабля в океане или каравана в пу
стыне по расположению светил на небосклоне. При этом
одним из ориентиров служила высота над горизонтом, на
которую поднималось то или иное небесное светило в дан
ной местности в данный момент времени.
Понятно, что непосредственно измерить эту высоту не
возможно. Поэтому ученые стали разрабатывать методы
косвенных измерений. Здесь существенную роль играло
решение треугольника, две вершины которого лежали на
поверхности Земли, а третья являлась звездой или плане
той (рис. 27) — знакомая вам задача № 94.
34
35. Когда сделаны уроки
Для решения подобных
задач древним астрономам не
обходимо было научиться на
ходить взаимосвязи между
элементами треугольника.
Так возникла тригономет
рия — наука, изучающая за
висимость между сторонами
и углами треугольника. Тер
мин «тригонометрия» (от гре
ческих слов «тригоном» — треугольник и «метрео» — из
мерять) означает «измерение треугольников».
На рисунке 28 изображен центральный угол АОВ, рав
ный 2а. Из прямоугольного треугольника ОМВ имеем:
МВ = ОВвіпа. Следовательно, если в единичной окружно
сти измерить половины длин хорд, на которые опираются
центральные углы с величинами 2°, 4°, 6°, ..., 180°, то тем
самым мы вычислим значения синусов углов 1°, 2°, 3°, ...,
90° соответственно.
Измеряя длины полухорд, древнегреческий астроном
Гиппарх (II в. до н. э.) составил первые тригонометрические
таблицы.
Понятия «синус» и «косинус» появляются в тригономе
трических трактатах индийских ученых в IV-V вв. В X в.
арабские ученые оперировали понятием «тангенс», которое
возникло из потребностей гномоники — учения о солнечных
часах (рис. 29).
Рис. 29
35
36. § 1. Решение треугольников
Леонард Эйлер
(1707-1783)
Выдающийся математик, физик,
механик, астроном
В Европе первый трактат по тригонометрии «Пять книг
о треугольниках всех видов», автором которого был немец
кий ученый Региомонтан (1436-1476), был опубликован
в 1533 г. Этот же ученый открыл и теорему танген
сов:
а - Ь
а +Ь
Ь - с
Ь+с
с - а
с +а
1«
у - а
2
где а, б и с — стороны треугольника, а, [3 и у — углы
треугольника, противолежащие соответственно сторонам а,
Ъи с.
Современный вид тригонометрия приобрела в работах
выдающегося математика Леонарда Эйлера (1707-1783).
5. Формулы для нахождения площади
треугольника
Из курса геометрии 8 класса вы знаете, что площадь 5
треугольника можно вычислить по формулам
в = -а к п=-Ыгь = -с к г,
2 2 6 2 й
где а, б и с — стороны треугольника, ка, кь, кс — высоты,
проведенные к этим сторонам соответственно.
36
40. § 1. Решение треугольников
IX
V -
S Aor = ~ОМ •АВ = - г •АВ;
8 вос=-ОЫ -ВС = ~г-ВС;
вос 2 2
« = ~ОР-АС = ~г-АС.
С0А 2 2
Следовательно,
о 1 л с , 1 тзп , 1 л АВ + ВС + АС
8 = - Г ‘АВ + - Г ‘ВС + - Г ‘АС = г ----------------- рг.
Вышесказанное обобщает такая теорема.
Т е о р е м а 5.5. Площадь описанного многоугольника
равна произведению его полупериметра на радиус впи
санной окружности.
Докажите эту теорему самостоятельно
(рис. 33).
Заметим, что теорема 5.5 позволяет нахо
дить радиус вписанной окружности много
угольника по формулеРис. 33
г = —
Р
В
З адач а 1. Докажите, что площадь S параллело
грамма можно вычислить по формуле
S - ab sin а,
где а и Ъ — соседние стороны па
раллелограмма, а — угол между
ними.
Реш ение. Рассмотрим паралле
лограмм ABCD, в котором АВ - а,
AD - b, Z BAD ~ а (рис. 34). Про
ведем диагональ BD. Поскольку
Д ABD = Д CBD, то запишем:
SAB C D = 2 = 2 •-a b sin a = ab sin a.
40
41. 5. Формулы для нахождения площади треугольника
О—ш З адач а 2. Докажите, что пло
щадь выпуклого четырехугольника рав
на половине произведения его диагона
лей и синуса угла между ними.
Реш ение. Пусть угол между диаго
налями АС и BD четырехугольника
ABCD равен ф. На рисунке 35 Z АОВ =
= ф. Тогда Z ВОС = Z AOD = 180° - ф
и Z COD = ф. Имеем:
Я —с + Я + Я + Я =
= - ОБ •ОА •sin ф+^ОБ •ОС •sin (180° - ф)+
+±ОС-ОБ-sin ф+±ОБ-ОА- sin (180°-<р) =
= ^ОВ (ОА+ ОС) •sin ф+ ^ OD (ОС + ОА) •sin ф=
=^ОВ-АС- sin ф+ | 0 Б-АС- э т ф =
= ^AC(OB + OD)- sin ф= “ АС•ББ •sin ф.
П р и м е р . Стороны треугольника равны 17 см, 65 см
и 80 см. Найдите наименьшую высоту треугольника, ра
диусы его вписанной и описанной окружностей.
Реш ение. Пусть а = 17 см, Ъ- 65 см, с = 80 см.
Полупериметр треугольника р = 17+65+80 _ g i (см), его
площадь z
S = y lp (p -a )(p -b )(p -c) =V 81(81-17)(81-65)(81-80) =
= 781-64-16 =9- 8- 4 = 288 (см2).
Наименьшей высотой треугольника является высота й,
проведенная к его наибольшей стороне с.
гп о 1 г, , 25 2 • 288 _ _ , ч
Так как 5 = -с/г, то /г = — = ------- = 7,2 (см).
2 с 80
- 5 288 32
Радиус вписанной окружности г = —= = — (см).
41
42. § 1. Решение треугольников
Радиус описанной окружности
аЬс _ 17-65-80
45 ~~ 4-288
17-65-5
4-18
5525
72
(см).
32
О т вет : 7,2 см, — см,
’ ’ 9
5525
72
СМ.
1
1. Какможно найти площадь треугольника, если известныдве его
стороны иугол между ними?
2. Запишите формулу Герона для вычисления площади треуголь
ника.
3. Какможно найти площадь треугольника, если известнытри его
стороны и радиус описанной окружности?
4. Какможно найти площадь треугольника, если известнытри его
стороны и радиус вписанной окружности?
5. Какможно найти радиус описанной окружности треугольника,
если известны площадь треугольника и его стороны?
6. Какможно найти радиус вписанной окружности треугольника,
если известны площадь треугольника и его стороны?
7. Чему равна площадь описанного многоугольника?
132. ° Найдите площадь треугольника АВС, если:
1) АВ = 12 см, АС = 9 см, ^ А = 30°;
2) АС = 3 см, ВС = 6л/2 см, Z С = 135°.
133. Найдите площадь треугольника ВЕР, если:
1) БЕ = 7 см, ББ = 8 см, / й = 60°;
2) БЕ = 10 см, ЕБ = 6 см, А Е = 150°.
134. ° Площадь треугольника МКЫ равна 75 см2. Найди
те сторону М К, если КЫ = 15 см, Z К = 30°.
135. ° Найдите угол между данными сторонами треуголь
ника АВС, если:
1) АВ = 12 см, ВС - 10 см, площадь треугольника равна
30л/з см2;
2) АВ - 14 см, АС = 8 см, площадь треугольника равна
56 см2.
42
43. 5. Формулы для нахождения площади треугольника
136. ' Площадь треугольника АВС равна 18 см2, АС = 8 см,
ВС - 9 см. Найдите угол С.
137. ° Найдите площадь равнобедренного треугольника
с боковой стороной 16 см и углом 15° при основании.
138. ° Найдите площадь треугольника со сторонами:
1) 13 см, 14 см, 15 см; 2) 2 см, 3 см, 4 см.
139. ° Найдите площадь треугольника со сторонами:
1) 9 см, 10 см, 17 см; 2) 4 см, 5 см, 7 см.
140. ° Найдите наименьшую высоту треугольника со сто
ронами 13 см, 20 см и 21 см.
141. Найдите наибольшую высоту треугольника со сто
ронами 11 см, 25 см и 30 см.
142. ° Периметр треугольника равен 32 см, а радиус впи
санной окружности — 1,5 см. Найдите площадь треуголь
ника.
143. ° Площадь треугольника равна 84 см2, а его пери
метр — 72 см. Найдите радиус вписанной окружности тре
угольника.
144. ° Найдите радиусы вписанной и описанной окруж
ностей треугольника со сторонами:
1) 5 см, 5 см и 6 см; 2) 25 см, 29 см и 36 см.
145. ° Найдите радиусы вписанной и описанной окруж
ностей треугольника со сторонами 6 см, 25 см и 29 см.
146. ° Найдите площадь параллелограмма по его сторонам
а и Ъи углу а между ними, если:
1) а = 5у2 см, Ъ= 9 см, а = 45°;
2) а = 10 см, Ь - 18 см, а = 150°.
147. ° Чему равна площадь параллелограмма, стороны
которого равны 7 см и 12 см, а один из углов — 120°?
148. ° Найдите площадь ромба со стороной 9л/3 см
и углом 60°.
149. ° Диагонали выпуклого четырехугольника равны
8 см и 12 см, а угол между ними — 30°. Найдите площадь
четырехугольника.
150. ° Найдите площадь выпуклого четырехугольника,
диагонали которого равны Зл/З см и 4 см, а угол между
ними — 60°.
43
44. § 1. Решение треугольников
151. ° Найдите боковую сторону равнобедренного тре
угольника, площадь которого равна 36 см2, а угол при
вершине — 30°.
152. * Какой треугольник с двумя данными сторонами
имеет наибольшую площадь?
153. *Может ли площадь треугольника со сторонами 4 см
и 6 см быть равной: 1) 6 см2; 2) 14 см2; 3) 12 см2?
154. ’ Две соседние стороны параллелограмма соответ
ственно равны двум соседним сторонам прямоугольника.
Чему равен острый угол параллелограмма, если его пло
щадь в два раза меньше площади прямоугольника?
155. * Найдите отношение площадей Sl и S2 треугольни
ков, изображенных на рисунке 36 (длины отрезков даны
в сантиметрах).
Рис. 36
156. *Отрезок AD — биссектриса треугольника АВС, пло
щадь треугольникаABD равна 12 см2, а треугольника ACD —
20 см2, Найдите отношение стороны AB к стороне АС.
157. * Найдите площадь треугольника, сторона которого
равна а, а прилежащие к ней углы равны ß и у.
158. *Радиус окружности, описанной около треугольника,
равен В, а два угла равны а и ß. Найдите площадь тре
угольника.
159. *В треугольнике АВС известно, что АС - b, Z А - а,
Z В - ß. Найдите площадь треугольника.
160. * В треугольнике АВС угол А равен а, а высоты BD
и СЕ равны соответственно hl и hr Найдите площадь тре
угольника АВС.
161. *Отрезок ВМ — высота треугольника АВС, ВМ - h,
Z А - а, Z АВС = ß. Найдите площадь треугольника АВС.
162. * В треугольник со сторонами 17 см, 25 см и 28 см
вписана окружность, центр которой соединен с вершинами
44
45. 5. Формулы для нахождения площади треугольника
треугольника. Найдите площади образовавшихся при этом
треугольников.
163. " Отрезок А Б — биссектриса треугольника АВС,
АВ = 6 см, АС = 8 см, ABAC = 120°. Найдите биссектрису AD.
164. " Найдите площадь трапеции, основания которой
равны 10 см и 50 см, а боковые стороны — 13 см и 37 см.
165. '*Основания трапеции равны 4 см и 5 см, а диагона
ли — 7 см и 8 см. Найдите площадь трапеции.
166. " Отрезки ВМ и СК — высоты остроугольного тре
угольника ABC, Z А = 45°. Найдите отношение площадей
треугольников АМ К и АВС.
167. " Стороны треугольника равны 39 см, 41 см и 50 см.
Найдите радиус окружности, центр которой принадлежит
большей стороне треугольника и которая касается двух
других сторон.
168. " Вершины треугольника соединены с центром впи
санной в него окружности. Проведенные отрезки разбивают
данный треугольник на треугольники, площади которых
равны 26 см2, 28 см2 и 30 см2. Найдите стороны данного
треугольника.
169." Докажите, что —+ —+ — = - Где к , к и к — вы-
Л1 1г2 7г3 г 1 2 а
соты треугольника, г — радиус вписанной окружности.
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
170. Перпендикуляр, опущенный из вершины прямо
угольника на его диагональ, делит его угол в отношении
4 : 5 . Определите угол между этим перпендикуляром и дру
гой диагональю.
171. Средняя линия М К трапеции АВСБ (ВС || АО) рав
на 56 см. Через середину М стороны АВ проведена прямая,
которая параллельна стороне СБ и пересекает основание
АО в точке Е так, что АЕ : ЕБ = 5 : 8 . Найдите основания
трапеции.
172. Отрезок СБ — биссектриса треугольника АВС. Через
точку Б проведена прямая, которая параллельна прямой
АС и пересекает сторону ВС в точке Е. Найдите БЕ, если
АС - 16 см, ВС - 24 см.
45
46. § 1. Решение треугольников
ГОТОВИМСЯ К ИЗУЧЕНИЮ НОВОЙ ТЕМЫ
173. Найдите сумму углов выпуклого семиугольника.
174. Существует ли выпуклый многоугольник, сумма
углов которого равна: 1) 1080°; 2) 1200°?
175. Существует ли многоугольник, каждый угол кото
рого равен: 1) 72°; 2) 171°?
176. Верно ли утверждение (ответ обоснуйте):
1) если все стороны многоугольника, вписанного в окру
жность, равны, то и все его углы также равны;
2) если все углы многоугольника, вписанного в окруж
ность, равны, то и все его стороны также равны;
3) если все стороны многоугольника, описанного около
окружности, равны, то и все его углы также равны;
4) если все углы многоугольника, описанного около
окружности, равны, то и все его стороны также рав
ны?
КОГДА СДЕЛАНЫ УРОКИ
Вневписанная окружность треугольника
В
Проведем биссектрисы двух
внешних углов с вершинами А и С
треугольника АВС (рис. 37). Пусть
О — точка пересечения этих бис
сектрис. Эта точка равноудалена
от прямых АВ, ВС и АС.
Проведем три перпендикуляра:
ОМ 1 АВ, ОК 1 АС, 01V 1 ВС.
Очевидно, что ОМ = ОК = ОЫ.
Следовательно, существует окруж
ность с центром в точке О, кото
рая касается стороны треугольни
ка и продолжений двух других его
сторон. Такую окружность назы
вают вневписанной (рис. 37).
46
47. Когда сделаны уроки
Так как ОМ - ОА, то точка О принадлежит биссектрисе
угла АВС.
Очевидно, что любой треугольник имеет три вневписан-
ные окружности. На рисунке 38 их центры обозначены Оа,
Ов, Ос. Радиусы этих окружностей обозначим соответствен
но г , г , г .
По свойству касательных, проведенных к окружности
через одну точку, имеем: СК = СИ, АК = АМ (рис. 37).
Тогда АС - СА + АМ. Следовательно, периметр треуголь
ника АВС равен сумме ВМ + ВЫ. Однако ВМ = ВЫ. Тогда
ВМ - ВЫ - р , где р — полупериметр треугольника АВС.
Имеем:
^ А В С = ^ О А В ^ О С В ~ & о а с =
= -О М ■А В +-О А •В С --О К •АС =
2 2 2
1 , , ч а +Ь+ с~2Ь 2р-2Ь ,
= 2гь(с + а-Ъ) = гь------- -------= гь- ^ — = гъ(р-Ъ).
Аналогично можно показать, что га = 8 , гс= —^~
р - а р - с
47
48. § 1. Решение треугольников
1. Докажите, что - = —+— где г — радиус вписанной
Г Га ГЬ Гс
окружности треугольника АВС.
2. Докажите, что площадь прямоугольного треугольника
5 = г.•г, где г, — радиус вневписанной окружности, касаю
щейся гипотенузы треугольника, г — радиус вписанной
окружности данного треугольника.
3. В равносторонний треугольник со стороной а вписана
окружность. К окружности проведена касательная так, что
ее отрезок внутри треугольника равен Ъ. Найдите площадь
треугольника, который эта касательная отсекает от равно
стороннего треугольника.
4. В четырехугольнике ABCD диагональ BD перпендику
лярна стороне AD, A ADC = 135°, A BAD - A BCD = 60°.
Докажите, что диагональ АС является биссектрисой угла
BAD.
Указание. Докажите, что точка С — центр вневписанной
окружности треугольника ABD.
5. В треугольнике АВС угол В равен 120°. Отрезки АА,
СВ и ВК — биссектрисы треугольника АВС. Докажите, что
угол А1КВ равен 90°.
Указание. На продолжении стороны АВ за точку В от
метим точку М. Тогда А МВС - А КВС = 60°, то есть ВС —
биссектриса внешнего угла МВК треугольника АВК. Отсюда
следует, что точка N — центр вневписанной окружности
треугольника АВК. Аналогично можно доказать, что точ
ка В — центр вневписанной окружности треугольника ВСК.
6 . Сторона квадрата АВСВ равна 1 см. На сторонах АВ
и ВС отметили точки М и N соответственно так, что пери
метр треугольника МВИ равен 2 см. Найдите величину угла
МВА.
Указание. Докажите, что точка В — центр вневписанной
окружности треугольника МВА.
48
