2. Содержание :
Взаимное расположение прямой и окружнос
Углы, связанные с окружностью.
Свойства вписанных углов.
Свойства отрезков хорд, секущих и касател
Длина окружности и площадь круга.
Вписанная и описанная окружность
Тест.
3. Взаимное расположение прямой
и окружности.
d > r
Прямая и окружность
не имеют общих
точек.
d = r
Прямая и окружность
имеют одну общую
точку.
МН - касательная
d < r
Прямая и окружность
имеют две общие
точки.
АВ - секущая
4. Углы, связанные с окружностью.
о
А В
А
В
С
Угол АОВ – центральный.
Он равен дуге, на которую
он опирается.
Угол АСВ – вписанный.
Он равен половине дуги,
на которую он опирается.
6. Свойство отрезков касательных.
А В
О
Касательная к окружности
перпендикулярна к
радиусу, проведенному в
точку касания.
ОА I AB
А
О
СВ
Отрезки касательных к окружности,
проведенные из одной точки,
равны и составляют равные углы с
прямой, проходящей через эту
точку и центр окружности.
AB = AC , BAО = OAC
7. Свойства отрезков хорд, секущих
и касательных.
Отрезки
пересекающихся хорд
связаны отношением:
AO ∙ OB = СО ∙
OD
Произведения
отрезков секущих,
проведенных из
одной точки, равны:
OB ∙ OA = OD ∙OC
Квадрат отрезка
касательной равен
произведению отрезков
секущей, проведенной
из той же точки:
CM2
= MA ∙MB
9. Вписанная окружность.
В любой треугольник можно вписать
окружность.
Центр вписанной окружности – точка
пересечения биссектрис.
Радиус вписанной окружности:
r = S : р
где S – площадь треугольника,
р - полупериметр треугольника.
О
10. Описанная окружность.
Около любого треугольника можно описать
окружность.
Центр описанной окружности – точка
пересечения серединных перпендикуляров.
Радиус описанной окружности:
R = (abc) : 4S
В прямоугольном треугольнике центр
описанной окружности совпадает с серединой
гипотенузы, а радиус равен:
- половине гипотенузы: R = c : 2
- медиане, проведенной к гипотенузе: R = mc
11. Вписанная и описанная
окружности.
В любом вписанном
четырехугольнике сумма
противолежащих углов
равна 180о
.
A + C = D + B = 180о
.
В любом описанном
четырехугольнике суммы
противоположных сторон
равны.
АВ + CD = AD + BC
12. Успехов в изучении
данной темы !
Задача № 1
Задача № 2
Задача № 3
Задача № 4
Задача № 5
Задача № 6
Задача № 7
Задача № 8
Задача № 9
Задача № 10
Задача № 11
Задача № 12
13. 1Задача №
О
В
А
С
D
F
К окружности с центром
в точке О
проведены касательные
DC и FC ( А и В –
точки касания).
Определите другие углы
треугольника АВС, если
угол ВОА равен 116о
.
Ответ : А = В = 580
, С = 640
.
14. 2Задача №
А
В
О
С
Окружность с центром в
точке О касается сторон
угла А (В и С – точки
касания). Отрезок АВ равен
радиусу окружности.
Определите градусную меру
угла А.
Ответ : А = 900
.
17. 5Задача №
Задача: Вершины треугольника АВС лежат на
окружности с центром О, ےАОС = 800
, ےС : ےА = 3 :
4. Найдите градусные меры дуг АВ, АС, ВС.
О
А
В С
800
Решение: дуга АС – 800
С + А = 3х + 4х = (3600
– 800
) : 2
7х = 1400
=> х = 200
С = 3х = 600
А = 4х = 800
В = 400
Ответ: дуга АВ – 1200
дуга ВС – 1600
дуга АС - 800
18. 6Задача №
Задача: Хорды АВ и СD пересекаются в точке Е. АЕ =
8см, ВЕ = 6см, СD = 16 см. В каком отношении точка
Е делит отрезок СD?
А
В
С
D
Е
8
6
Х
16-х
Решение: АЕ ∙ ВЕ = СЕ ∙ DЕ
Х(16 – Х) = 48
Х2
– 16Х + 48 = 0
Х1 = 12, Х2 = 4
Х2 : Х1 = 4 : 12 = ⅓
Ответ: ⅓
19. 7Задача №
Задача: Окружность с центром О касается сторон
АВ, ВС, АС треугольника АВС в точках M, N, K
соответственно. Найдите дуги MN, NK, MК и
углы треугольника MNK, если ےАВС = 620
, ےАСВ =
680
.
А
В
С
О
М N
K
620
680
Решение: А = 500
,
МОК = 1300
=> дуга МК = 1300
NOK = 1120
=> дуга NK = 1120
MON = 1180
=> дуга MN = 1180
Углы треугольника MNK:
М = 560
, N = 650
, К = 590
20. 8Задача №
Задача: Точка С делит хорду АВ на отрезки 15см и
8см. Найдите диаметр окружности, если
расстояние от точки С до центра окружности
равно 1см.
А
В
С
О
15
81
Решение: воспользуемся
теоремой о произведении длин
отрезков пересекающихся хорд
Х
Х+1
Х (Х + 2) = 15 ∙ 8
Х2
+ 2Х – 120 = 0
Х1 =10 Х2 = - 12(не удовл.)
r = Х + 1 => r =11см
Ответ: d = 22 см
21. 9Задача №
Задача: В равносторонний треугольник вписана
окружность радиусом 4см. Найдите сторону
треугольника.
А
В
С
О
Н
Решение: АОН – прямоугольный
ے А = 300
, ОН = 4см => АО = 8см
по теореме Пифагора: АН = 4√3 см
Ответ: АС = 8√3 см
22. 10Задача №
Задача: В равнобедренной трапеции разность оснований равна
20см, а радиус вписанной в нее окружности равен 2√14 см.
Найдите стороны трапеции.
А
В С
DН
Решение: ВН = 2r = 4√14 см
АН = (АD – ВС) : 2 = 10 см
по т. Пифагора: АВ = 18 см => СD = 18 см
так как окружность вписанная, то
ВС + АD = АВ + СD = 36 см
Х + Х + 20 = 36 Х = 8
Х
Х + 20
Ответ: АВ = CD = 18 см
ВС = 8см, АD = 28 см
23. 11Задача №
Задача: Равнобедренный треугольник с основанием 8см вписан в
окружность радиуса 5см. Найдите площадь этого
треугольника и его боковую сторону.
О
А С
В
Н
8
5
Решение: треугольник АОН – прямоуг.
АО = 5см, АН = 4см => ОН = 3см
h = 8см, а = 8см => S =32см2
по теореме Пифагора АВ = 4√5 см
Ответ: S = 32 см2
, бок. ребро - 4√5 см
24. 12Задача №
Задача: Четырехугольник АВСD вписан в окружность с
диаметром АС. Найдите углы четырехугольника, если дуга
ВС = 1000
, дуга СD = 600
.
А
В
С
D
Решение: В = D = 900
ВАС = 500
, САD =300
=> А = 800
С = 1800
– 800
= 1000
1000
600
Ответ: В = D = 900
,
А = 800
, С = 1000
