Αποδεικτικές ασκήσεις 1,2,3 σχολικού βιβλίου σελ 110

1. ΑΣΚΉΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ

2. Α.1 ΣΕΛ 110
 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, η διχοτόμος του ΒΔ και
Μ το μέσο της ΒΔ. Από το Δ φέρουμε
παράλληλη προς τη ΒΓ, που τέμνει την ΑΒ
στο Ε. Αν η ΕΜ τέμνει τη ΒΓ στο Ζ να
αποδείξετε ότι το ΔΕΒΖ είναι ρόμβος.

3. ΣΧΗΜΑ – ΔΕΔΟΜΕΝΑ - ΖΗΤΟΥΜΕΝΑ
ΑΒΔ = ΔΒΓ
ΒΜ = ΜΔ
ΔΕ//ΒΓ
Ν. δ. ο. ΔΕΒΖ ρόμβος

4. ΛΥΣΗ
ΑΒΔ = ΔΒΓ
ΒΜ = ΜΔ
ΔΕ//ΒΓ
Ν. δ. ο. ΔΕΒΖ ρόμβος
ΒΜ = ΜΔ
ΕΜΔ = ΒΜΖ(𝜔𝜍 𝜅𝛼𝜏𝛼𝜅𝜊𝜌𝜐𝜑𝜂𝜈)
ΕΔΜ = ΜΒΖ (𝜔𝜍 𝜀𝜈𝜏ό𝜍 𝜀𝜈𝛼𝜆𝜆𝛼𝜉 𝜏𝜔𝜈 ΔΕ ∥ ΒΓ, ΒΔ)
ΓΠΓ
τριγ. ΜΒΖ = τριγ. ΜΔΕ οπότε ΔΕ = ΒΖ
ΔΕ//=ΒΖ άρα ΔΕΒΖ# και επειδή ΒΔ διχοτόμος της γωνίας Β, το ΔΕΒΖ
ρόμβος

5. A.2. ΣΕΛ.110
 Στις πλευρές ΑΒ και ΒΓ, τετραγώνου ΑΒΓΔ
παίρνουμε σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα, ώστε
ΑΕ = ΒΖ. Να αποδείξετε ότι
 i) ΑΖ = ΔΕ, ii) ΑΖ⊥ΔΕ.

6. ΣΧΗΜΑ – ΔΕΔΟΜΕΝΑ - ΖΗΤΟΥΜΕΝΑ
ΑΒΓΔ τετράγωνο ΑΕ = ΒΖ
Ν. δ. ο. i) ΑΖ = ΔΕ ii) AZ ⊥ ΔΕ

7. ΛΥΣΗ
ΑΒΓΔ τετράγωνο ΑΕ = ΒΖ(1)
Ν. δ. ο. i) ΑΖ = ΔΕ ii) AZ ⊥ ΔΕ
i) Επειδή ΑΒΓΔ τετράγωνο είναι :
ΑΒ=ΑΔ (2) και Α = Β = 90𝜊 (3)
1 , 2 𝜅𝛼𝜄 3 ⇒ 𝜏𝜌𝜄𝛾. ΑΔΕ = τριγ. ΑΒΖ
οπότε ΔΕ=ΑΖ (υποτείνουσες)
και ΒΑΖ = ΑΔΕ (4)

8. ΛΥΣΗ
ΑΒΓΔ τετράγωνο ΑΕ = ΒΖ(1)
Ν. δ. ο. i) ΑΖ = ΔΕ ii) AZ ⊥ ΔΕ
i) Επειδή ΑΒΓΔ τετράγωνο είναι :
ΑΒ=ΑΔ (2) και Α = Β = 90𝜊 (3)
1 , 2 𝜅𝛼𝜄 3 ⇒ 𝜏𝜌𝜄𝛾. ΑΔΕ = τριγ. ΑΒΖ
οπότε ΔΕ=ΑΖ (υποτείνουσες)
και ΒΑΖ = ΑΔΕ (4)
ii) Επειδή στο τριγ.ΑΔΕ είναι : ΔΑΕ = 90𝜊
έχουμε
ΑΔΕ + ΑΕΔ = 90𝜊
⇔ ΒΑΖ + ΑΕΔ = 90𝜊
Άρα στο τριγ.ΑΗΕ είναι ΑΗΕ = 90𝜊
, οπότε
ΑΖ ⊥ ΔΕ

9. Α.3. ΣΕΛ.110
 Σε ορθογώνιο ΑΒΓΔ, Ε και Ζ είναι τα μέσα
των ΑΔ και ΒΓ αντίστοιχα. Αν Η είναι το
σημείο τομής των ΑΖ και ΒΕ και Θ το σημείο
τομής των ΔΖ και ΓΕ, να αποδείξετε ότι το
ΕΘΖΗ είναι ρόμβος.

10. ΣΧΗΜΑ – ΔΕΔΟΜΕΝΑ - ΖΗΤΟΥΜΕΝΑ
ΑΒΓΔ ορθογώνιο
ΑΕ=ΕΔ
ΒΖ=ΖΓ
Ν.δ.ο. ΕΘΖΗ ρόμβος.

11. ΛΥΣΗ
ΑΒΓΔ ορθογώνιο
ΑΕ=ΕΔ=AΔ/2 (1)
ΒΖ=ΖΓ=ΒΓ/2 (2)
Ν.δ.ο. ΕΘΖΗ ρόμβος.
Επειδή ΑΒΓΔ ορθογώνιο είναι :
ΑΔ=//ΒΓ(3)
(1),(2),(3) ⇒ ΑΕ = ΕΔ = ΒZ = ΖΓ (4)
ΑΕ ∥= ΖΓ ⇒ ΑΕΓΖ# 𝜊𝜋ό𝜏𝜀 ΑΖ ∥ ΕΓ (5)
ΔΕ ∥= ΖΒ ⇒ ΔΕΒΖ# 𝜊𝜋ό𝜏𝜀 ΔΖ ∥ ΕΒ (6)
5 , (6) ⇒ΕΘΖΗ# (7)
ΑΕ ∥= ΒΖ και Α = 90𝜊
άρα
ΑΕΖΔ ορθογώνιο οπότε
ΕΗ=ΗΖ (οι διαγώνιοι των
ορθογωνίων είναι ίσες και
διχοτομούνται (8)
7 𝜅𝛼𝜄 (8) ⇒ ΕΘΖΗ ρόμβος