Η ανάπτυξη των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής μέσα από την επίλυση διάσημων προβλημάτων !

1. ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ
ΜΕΛΙΣΣΙΑ 2022
Απίθανες Ιστορίες
Πιθανοτήτων και Στατιστικής

3. Το βιβλίο αυτό αφιερώνεται στους συναδέλφους που είχα την Τύχη να
συνεργαστώ στα 38 χρόνια παρουσίας στις σχολικές αίθουσες …

5. Απίθανες Ιστορίες - Περιεχόμενα
Εισαγωγή
Στα χρόνια των δεισιδαιμονιών Σελ. 1
Τα τυχερά παιχνίδια Σελ. 3
Ιστορίες για τους :
Gerolamo Cardano (1501-1576), Galileo Galilei (1554-1642) , Pierre de Fermat (1608-1665), Blaise
Pascal (1623-1662)
Απίθανες Ιστορίες : Το lotto της Γένοβας – Το πρόβλημα του Cardano – Το πρόβλημα του Δούκα
της Τοσκάνης – Το πρόβλημα του Chevalier de Méré – Το πρόβλημα των πόντων
Η εποχή των ασφαλιστηρίων Σελ. 11
Ιστορίες για τον :
Christiaan Huygens (1629-1695)
Απίθανες Ιστορίες : Το προσδοκώμενο κέρδος στη ρουλέτα – Δίκαιο παιχνίδι με ζάρια - Gambler’s
ruin
Μια οικογένεια γεμάτο Μαθηματικούς Σελ. 15
Ιστορίες για τους :
Jacob Bernoulli (1655-1705), Daniel Bernoulli (1700-1782)
Απίθανες Ιστορίες : Το χρυσό θεώρημα - Το παράδοξο της Αγίας Πετρούπολης
Η Γαλλική σχολή Σελ. 18
Ιστορίες για τους :
Abraham de Moivre (1667-1754), Pierre-Simon de Laplace (1749-1827) , Adrien-Marie
Legendre (1752-1833) , Simeon Denis Poisson (1781-1840) , Georges-Louis Leclerc, Comte de
Buffon (1707-1788)
Απίθανες Ιστορίες : Η λοταρία του Βολτέρου - Η μέτρηση της γης – Θανατηφόρα ατυχήματα με
άλογα – Ο βομβαρδισμός του Λονδίνου – Η βελόνα του Buffon – ο υπολογισμός του «π»

6. Η αντιστροφή Σελ. 28
Ιστορίες για τον :
Thomas Bayes (1701–1761)
Απίθανες Ιστορίες : Ο αλκοολικός ασθενής - Τα spam
Μετρήσεις και σφάλματα Σελ. 30
Ιστορίες για τον :
Johann Carl Friedrich Gauss (1777- 1855)
Απίθανες Ιστορίες : Η στατιστική στις μετρήσεις - Η εξαφάνιση της Δήμητρας
Μια εικόνα χίλιες λέξεις Σελ. 35
Ιστορίες για τους :
William Playfair (1759-1823) , Lambert Adolphe Jacques Quetelet (1796-1874) , Florence
Nightingale (1820–1910) , William Farr (1807-1883) , Charles Joseph Minard (1781-1870) , Charles
James Booth (1840-1916)
Βίο-στατιστική Σελ. 42
Ιστορίες για τους :
Sir Francis Galton (1822-1911) , Karl Pearson (1857-1936) , William Sealy Gosset (1876-1937)
Απίθανες Ιστορίες : Η σοφία του πλήθους - Galton board
Wir müssen Wissen - Wir werden Wissen Σελ. 47
Ιστορίες για τους :
David Hilbert (1862-1943) , Richard von Mises (1883-1953) , William Feller (1906 –1970)
Απίθανες Ιστορίες : Το πρόβλημα των γενεθλίων – Stars and Bars
Η Ρώσικη σχολή Σελ. 52
Ιστορίες για τους :
Pafnuty Lzozich Chebyshev (1821-1894) , Andrey Andreyevich Markov (1856-1922) , Jerzy Neyman
(1894-1981) , Andrey Nikolaevich Kolmogorov (1903-1987)
Απίθανες Ιστορίες : Το πρόβλημα του μετεωρολόγου – Τα διαστήματα εμπιστοσύνης

7. Ο Θεός δεν παίζει ζάρια Σελ. 57
Ιστορίες για τους :
Max Planck (1858-1947) , Werner Karl Heisenberg (1901-1976) , Albert Einstein (1879-1955)
Απίθανες Ιστορίες : Η αρχή της απροσδιοριστίας
Οι δάσκαλοι του 20ου αιώνα Σελ. 59
Ιστορίες για τους :
George Undy Yule ( 1871-1951) , Félix Édouard Justin Émile Borel (1871-1956) , Ronald Aylmer Fisher
(1890-1962) , George Waddel Snedecor (1881-1974) , John von Neumann (1903-1957) , Stanisław
Marcin Ulam (1909-1984) , Paul Erdos (1913-1996)
Απίθανες Ιστορίες : infinite monkey theorem – Έλεγχος παραγωγής - Υπολογισμός του π – Οι
αριθμοί Erdős - Το πρόβλημα της Marilyn
Σύντομες ιστορίες Σελ. 66
Ιστορίες για τους :
Walter Andrew Shewhart (1891–1967) , Ο John Wilder Tukey (1915-2000) , George Horace
Gallup (1901–1984) , Nathaniel (Nate) Read Silver (1978- )
Απίθανες παρανοήσεις Σελ. 68
Πιθανές πλάνες Σελ. 70
Απίθανες Ιστορίες : The Gambler's fallacy - The prosecutors fallacy - Base rate fallacy
Επίλογος Σελ. 73
Βιβλιογραφία Σελ. 75

9. Απίθανες Ιστορίες
Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 1
Tα χρόνια των δεισιδαιμονιών …
Οι πρώτες αναφορές στην τύχη και το τυχαίο γεγονός, γίνεται σε σχέση με
το παιχνίδι των κύβων (ζάρια) και τα αποτελέσματά του.
Σε Αιγυπτιακή τοιχογραφία του 1250 π.Χ. παρουσιάζεται μία γυναίκα να
ρίχνει ζάρια σε ένα επιτραπέζιο παιχνίδι που λεγόταν “senet”.
Σε ένα μελανόμορφο αγγείο παρουσιάζονται οι Αχιλλέας και Αίας
να παίζουν κύβους. Το καλύτερο αποτέλεσμα του παιχνιδιού ήταν
η «Αφροδίτη» - εξάρες ενώ η χειρότερη ήταν ο «κύων» - άσσοι.
Στην Αθηναϊκή πολιτεία η επιλογή των βουλευτών γινόταν με κλήρο, θεωρώντας προφανώς ότι όλοι
οι Αθηναίοι πολίτες είναι ικανοί να ασκήσουν τα καθήκοντα αυτά.
Το 400 π.Χ. ο Δημόκριτος διατυπώνει την άποψη ότι η τύχη είναι έννοια που πηγάζει από την
ανικανότητα των ανθρώπων να κατανοήσουν την φύση των γεγονότων. Ενώ ο Πλάτων στο έργο του
Φαίδων αναφέρει « τα επιχειρήματα που βασίζουν τις αποδείξεις τους σε πιθανότητες είναι
αλαζονικά, και … αν κανείς δεν προστατεύεται απ’ αυτά, εύκολα μπορεί να εξαπατηθεί και στη
γεωμετρία και αλλού».
Στη συνέχεια ο Αριστοτέλης διατυπώνει την άποψη ότι υπάρχουν τρεις κατηγορίες γεγονότων. Τα
βέβαια που πραγματοποιούνται αναγκαία, τα πιθανά που συμβαίνουν κάποιες φορές και τα μη
προβλέψιμα που συμβαίνουν από καθαρή τύχη και καταλήγει στο «τοῦ δ᾿ ἀπὸ τύχης οὐκ ἔστιν
ἐπιστήμη δι᾿ ἀποδείξεως»
Σε αντίθεση με άλλους κλάδους των μαθηματικών, στην αρχαία Ελλάδα δεν αναπτύχθηκαν οι
Πιθανότητες. Ήταν πεποίθηση ότι το τυχαίο γεγονός είναι θέλημα των θεών και δεν εξαρτάται από
την βούληση των ανθρώπων. Οπότε δεν μπορούμε να το καθορίσουμε και άρα ούτε και να το
μετρήσουμε έστω και ως προσδοκία. Συγχρόνως δεν είχε ακόμα αναπτυχθεί ο κατάλληλος
συμβολισμός που είναι αναγκαίος για την ανάπτυξη του όποιου λογισμού.
Το 44 π.Χ. ο Ρωμαίος φιλόσοφος, Marcus Tullius Cicero (Κικέρων) στο βιβλίο του, De Divinatione
(Σχετικά με τη μαντεία), παρουσιάζει δύο άτομα να μαλώνουν για τον ρόλο των θεών στα τυχερά
παιχνίδια λέγοντας « … τίποτε δεν είναι τόσο απρόβλεπτο όσο η ρίψη των ζαριών, κάθε άνθρωπος
που παίζει συχνά κάποια στιγμή θα ρίξει εξάρες πιθανόν και δύο και τρεις φορές, αυτό συμβαίνει
με παρέμβαση των θεών παρά από καθαρή τύχη …»

10. Απίθανες Ιστορίες
Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 2
Στη Ρωμαϊκή περίοδο η τύχη λατρεύεται στο πρόσωπο της Fortuna. Είναι γνωστό το επεισόδιο όπου
η απόφαση για να διαβεί ο Ιούλιος Καίσαρας το 49 π.Χ. τον ποταμό Ρουβικώνα γίνεται ρίχνοντας
ζάρια, αναφωνώντας την περίφημη έκφραση : «Ο κύβος ερρίφθη - alea jacta est »
Το 840 μ.Χ. ο μαθηματικός Al Kindy (840 μ.Χ.) χρησιμοποιεί ανάλυση
συχνοτήτων για να «σπάσει» μυστικούς κώδικες. Η μέθοδος του βασίζεται
στο γεγονός ότι στις περισσότερες γλώσσες κάποια γράμματα ή
συνδυασμοί γραμμάτων εμφανίζονται συχνότερα από κάποια άλλα. Με
τον υπολογισμό της κατανομής συχνοτήτων των γραμμάτων μέσα στα
λογοτεχνικά κείμενα βρίσκουμε ένα εργαλείο αποκρυπτογράφησης, αφού
στα κρυπτογραφημένα κείμενα τέτοιες ιδιότητες αναπαράγονται.
Μια νέα έννοια αυτή της σχετικής συχνότητας κάνει δειλά την εμφάνισή
της.
Πολύ αργότερα επί Γουλιέλμου του Κατακτητή (1069 μ.Χ.) διενεργείται
απογραφή του πληθυσμού, των κατοικιών, των καλλιεργήσιμων εδαφών
και βοσκοτόπων.
Τα αποτελέσματα καταγράφονται στο χειρόγραφο δημόσιο έγγραφο
"Domesday" που θεωρείται η πρώτη συστηματική απογραφή στον Δυτικό
κόσμο.
Η επόμενη συστηματική καταγραφή στοιχείων είναι η Nuova Cronica ( Νέα
χρονικά). Ξεκίνησε να γράφεται από τον τραπεζίτη Giovanni Villani (1280-
1348) και συνεχίστηκε από τον αδελφό του Mateo και τον ανιψιό του.
Θεωρείται η πρώτη συστηματική στατιστική καταγραφή δεδομένων στην
ιστορία. Εκεί καταγράφονται τα δημόσια κτίρια και οι εκκλησίες της
Φλωρεντίας, αλλά και στατιστικές πληροφορίες για τον πληθυσμό, νόμους
και διατάγματα, στοιχεία για το εμπόριο της πόλης και την εκπαίδευση.
Περιγράφει επίσης καταστροφές και λιμούς, πλημμύρες και πυρκαγιές που
συνέβησαν. Σε αυτό γίνεται και αναφορά για την πανδημία του Μαύρου
θανάτου του 1348.
Βιβλίο αποκρυπτογράφησης
του Αλ-Κιντί

11. Απίθανες Ιστορίες
Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 3
Τα τυχερά παιχνίδια …
Στην Γένοβα τον 17ο αιώνα η εκλογή στα κρατικά αξιώματα
γινόταν με κλήρωση ανάμεσα των μελών των οικογενειών της
πόλης.
Συγκεκριμένα η εκλογή των πέντε γερουσιαστών γινόταν με
κλήρωση ανάμεσα σε ενενήντα υποψηφίους. Η εκλογή
επαναλαμβανόταν κάθε εξάμηνο. Ήταν συνήθεια ανάμεσα
στους πολίτες της πόλης να στοιχηματίζουν στην εκλογή των
πέντε αντιπροσώπων. Έτσι καθιερώθηκε το λαχείο της
Γένοβας που θεωρείται ο πρόδρομος του lotto και των άλλων
λαχείων.
Η πιθανότητα του ενδεχομένου να πετύχαινε κάποιος και
τους πέντε εκλεγέντες από τους ενενήντα με την σειρά που
θα έβγαιναν ήταν
1
5.273.912.160
,ενώ αν στοιχημάτιζαν στο
να βρουν τους πέντε γερουσιαστές ανεξαρτήτου σειράς ήταν
1
43.949.268
. Τα στοιχήματα αυτά είχαν μεγάλη απόδοση
και στα 150 χρόνια ύπαρξης του λαχείου κανείς δεν κέρδισε
σε αυτές τις δύο κατηγορίες.
Μέσα σε αυτό το κλίμα τζόγου … εμφανίζεται ο πρώτος
σύγχρονος πρωταγωνιστής των Απίθανων Ιστοριών μας και είναι ο …
Gerolamo Cardano (1501-1576) που γεννήθηκε στην Παβία και το 1520
σπούδασε στο πανεπιστήμιο της πόλης Φιλοσοφία. Το 1525 αποκτά
διδακτορικό δίπλωμα στην Ιατρική και αργότερα καταλαμβάνει την έδρα
των Μαθηματικών στο πανεπιστήμιο του Μιλάνο. Το πάθος του ήταν ο
τζόγος και γι’ αυτό ήταν και πάντα χρεωμένος. Το πάθος του σε
συνδυασμό με τις μαθηματικές ικανότητές του τον οδήγησαν στη
συγγραφή το 1564 του βιβλίου Lider de ludo aleae (Βιβλίο τυχερών
παιχνιδιών) που εκδόθηκε μετά τον θάνατό του, το 1663.

12. Απίθανες Ιστορίες
Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 4
Το βιβλίο αυτό αποτελεί τη πρώτη συστηματική μελέτη της θεωρίας των
πιθανοτήτων. Σε αυτό ασχολείται με τα δυνατά αποτελέσματα ενός
πειράματος τύχης όπως αυτό της ρίψης δύο ή τριών ζαριών, αναλύοντας
ουσιαστικά την έννοια της σχετικής συχνότητας πραγματοποίησης ενός
ενδεχομένου. Αν και στα γραπτά του δεν εμφανίζεται ο όρος πιθανότητα
χρησιμοποιεί το κλάσμα με αριθμητή το πλήθος των ευνοϊκών
περιπτώσεων πραγματοποίησης ενός ενδεχομένου και παρονομαστή το
πλήθος όλων των δυνατών εκβάσεων ενός πειράματος τύχης ως ένα μέτρο
προσδοκίας πραγματοποίησης του ενδεχομένου.
Παρουσίασε τον πολλαπλασιαστικό νόμο στα ανεξάρτητα ενδεχόμενα
και κατέγραψε σωστά τον δειγματικό χώρο της ρίψης δύο ή τριών ζαριών
χρησιμοποιώντας τον για στοιχήματα που έχουν να κάνουν με την
πρόβλεψη μιας συγκεκριμένης τιμής του αθροίσματος των ενδείξεών
τους.
Ας ασχοληθούμε με ένα από τα προβλήματα που αναφέρει στο Lider de ludo aleae.
« Πόσες φορές πρέπει να ρίξουμε ένα (αμερόληπτο) ζάρι ώστε η πιθανότητα να έρθει ένα
τουλάχιστον 6 να είναι μεγαλύτερη του 50%»
Γνωρίζουμε ότι η πιθανότητα ρίχνοντας μία φορά ένα ζάρι να μην έρθει 6 είναι
5
6
.
Τα αποτελέσματα των ν ρίψεων είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους άρα θα ισχύει ο πολλαπλασιαστικός
νόμος των πιθανοτήτων.
Οπότε η πιθανότητα να μην έρθει καμία φορά 6 ρίχνοντας ένα ζάρι ν φορές είναι ν
5
( )
6
.
Άρα η πιθανότητα να έρθει μία τουλάχιστον φορά 6 ρίχνοντας ν φορές ένα ζάρι θα είναι ν
5
1 ( )
6
− .
Θέλουμε ν ν
5 1 5 1
1 ( ) ( ) ...ν 3,8017
6 2 6 2
−      , άρα χρειαζόμαστε 4 ρίψεις.
Μετά από 100 περίπου χρόνια …
προβλήματα σχετικά με τυχερά παιχνίδια συνεχίζουν να απασχολούν και να επιλύονται από
μεγάλες προσωπικότητες των μαθηματικών …
Βρισκόμαστε στο 1620 και ο Μεγάλος Δούκας της Τοσκάνης είχε αδυναμία στα τυχερά παιχνίδια,
τι αδυναμία δηλαδή σωστό πάθος. Ένα από τα αγαπημένα παιχνίδια της αυλής του ήταν να ρίχνει
τρία ζάρια και να αθροίζει τις ενδείξεις τους. Όποιος από τους δύο παίχτες έφερνε μεγαλύτερο
άθροισμα κέρδιζε. Μία παραλλαγή ήταν να στοιχηματίζουν στα πιθανά αθροίσματα. Σαν μεγάλος
παίκτης που ήταν παρατήρησε ότι το άθροισμα 10 εμφανιζόταν συχνότερα από ότι το άθροισμα 9.

13. Απίθανες Ιστορίες
Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 5
Την παρατήρησή του αυτή την ανέφερε στον Μαθηματικό του
Πανεπιστημίου της Πίζας, που χρηματοδοτούσε ο οποίος δεν ήταν άλλος
παρά ο Galileo Galilei (1554-1642). Αυτός χρησιμοποιώντας τις
μαθηματικές ικανότητές του λύνει το πρόβλημα συγγράφοντας και μία
μελέτη με τίτλο «Περί μιας ανακάλυψης για τα ζάρια» (Sopra le Scoperte
dei Dadi).
Στη μελέτη αυτή εξηγεί ότι το να φέρει κανείς 10 ρίχνοντας τρία ζάρια
γίνεται με έξι τρόπους τους εξής : 6+3+1 ή 6+2+2 ή 5+4+1 ή 5+3+2 ή 4+4+2 ή 4+3+3.
Όμοια και το άθροισμα 9 γίνεται με έξι τρόπους, τους εξής : 6+2+1 ή 5+3+1 ή 5+2+2 ή 4+4+1 ή
4+3+2 ή 3+3+3 .
Όμως η έκβαση (6+3+1) , να φέρουμε δηλαδή ένα 6 ,
ένα 3 και ένα 1 γίνεται με έξι διαφορετικούς τρόπους
τους εξής : (1,3,6), (1,6,3), (3,1,6), (3,6,1), (6,1,3) και
(6,3,1). Αντίστοιχα η έκβαση (6+2+2) γίνεται με τρεις
διαφορετικούς τρόπους … (2,2,6) , (2,6,2) και (6,2,2).
Αν σκεφτούμε παρόμοια και για τις άλλες τέσσερις
περιπτώσεις , καταλήγουμε ότι έχουμε 27
διαφορετικούς τρόπους να φέρουμε ζάρια με
άθροισμα των ενδείξεών τους ίσο με 10.
Στην περίπτωση όπου θέλουμε άθροισμα 9 θα έχουμε
έξι περιπτώσεις για τα αθροίσματα 6+2+1 , 5+3+1 , 4+3+2 , τρεις περιπτώσεις για τα αθροίσματα
5+2+2 και 4+4+1 και μία περίπτωση για το άθροισμα 3+3+3. Άρα συνολικά 25 διαφορετικές
περιπτώσεις.
Με αυτές τις σκέψεις ο Γαλιλαίος κατέληξε στο συμπέρασμα ότι, αν ρίξουμε τρία ζάρια, το άθροισμα
10 είναι 27/25 φορές, δηλαδή περίπου 1,08 φορές πιο πιθανό από το 9.
Ουσιαστικά λύνει το πρόβλημα βρίσκοντας σωστά το σύνολο των δυνατών διαφορετικών τρόπων
πραγματοποίησης του κάθε ενδεχομένου.
Παρόμοια ιστορία είναι και αυτή του ιππότη de Méré …
o Ιππότης είχε πολλά να σκεφθεί …, τι ήταν πιο συμφέρον, να στοιχηματίσει, ότι ένας παίκτης θα
φέρει τουλάχιστον μία φορά 6 ρίχνοντας 4 φορές ένα ζάρι ή ότι θα φέρει μία τουλάχιστον φορά
εξάρες ρίχνοντας 24 φορές δύο ζάρια;
Ο Chevalier de Méré γνωστό μούτρο όλων των υπόγειων του Παρισιού γνώριζε ότι η πιθανότητα να
φέρει 6 ρίχνοντας ένα ζάρι είναι 1/6, ενώ να φέρει κανείς εξάρες ρίχνοντας δύο ζάρια 1/36, οπότε
η λογική του έλεγε ότι ,αν κάποιος ρίξει ένα ζάρι 4 φορές, έχει 4/6 πιθανότητες να φέρει ένα
τουλάχιστον 6. Ενώ αν ρίξει κάποιος δύο ζάρια 24 φορές, θα έχει 24/36 πιθανότητες να φέρει
εξάρες. Άρα ,οι πιθανότητες των δύο περιπτώσεων πρέπει να είναι ίδιες. Η εμπειρία όμως έδειχνε
άλλα, η περίπτωση του ενός ζαριού υπερτερούσε από αυτή των δύο ζαριών, που έκανε λάθος;

14. Απίθανες Ιστορίες
Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 6
Το πρόβλημά του το είπε στον πιο διάσημο Μαθηματικό της Γαλλίας, , που
δεν ήταν άλλος από τον Pierre de Fermat (1608-1665). Ο Fermat δεν ήταν
κατά επάγγελμα Μαθηματικός στην πραγματικότητα ήταν δικαστικός, όμως
ανάμεσα στις δίκες και στις καταδίκες αυτό που τον ξεκούραζε ήταν να
ασχολείται με προβλήματα. Συγχρόνως τις όποιες ανακαλύψεις του τις
ανακοίνωνε και σε άλλους συναδέλφους του χωρίς πάντα να δίνει τις
απαντήσεις, αλλά απλώς να ανακοινώνει το πρόβλημα καθώς επίσης την
επιτυχή έκβαση της προσπάθειάς του. Με τον τρόπο αυτό ένας άτυπος
δημιουργικός ανταγωνισμός είχε αναπτυχθεί ανάμεσα στην κοινότητα των
μαθηματικών. Για το πρόβλημα του Chevalier de Méré ο Fermat το
ανακοίνωσε στον Blaise Pascal (1623-1662), και από τις επιστολές που
αντάλλαξαν εξελίχθηκε ένα νέος τομέας των σύγχρονών μαθηματικών ο
Λογισμός των Πιθανοτήτων.
Για το πρόβλημα αυτό πρέπει και πάλι να βρούμε όλους τους δυνατούς τρόπους πραγματοποίησης
του κάθε ενδεχομένου καθώς επίσης και όλους τους δυνατούς τρόπους έκβασης του πειράματος
τύχης που πραγματοποιούμε.
Για την περίπτωση της ρίψης 4 ζαριών …
Πόσες δυνατούς συνδυασμούς ενδείξεων έχουμε ; 64 διαφορετικούς τρόπους
Από τους οποίους στους 54 τρόπους δεν εμφανίζεται καθόλου το 6 ως ένδειξη, άρα οι τρόποι όπου
εμφανίζεται ένα τουλάχιστον 6 θα είναι 64-54 τρόποι.
Άρα η πιθανότητα ένας παίκτης να φέρει τουλάχιστον μία φορά 6 ρίχνοντας 4 φορές ένα ζάρι είναι
4 4
4
6 5
0,517747
6
−

Ρίχνοντας 2 ζάρια 24 φορές ο δειγματικός χώρος αποτελείται από 3624 διαφορετικούς τρόπους, από
αυτούς οι 3524 δεν περιέχουν διπλό 6. Άρα η πιθανότητα να φέρουμε μία τουλάχιστον φορά εξάρες
ρίχνοντας 24 φορές δύο ζάρια είναι
24 24
24
36 35
0,491404
36
−

ο Antoine Gombaud (ο ιππότης de Méré ) έθεσε υπόψιν του Pascal και ένα δεύτερο πρόβλημα. Το
πρόβλημα των πόντων.
Δύο παίκτες παίζουν (ας πούμε) «ξερή». Νικητής θα είναι εκείνος που θα κερδίσει 5 παιχνίδια. Για
να γίνει ενδιαφέρον το παιχνίδι στην αρχή ο κάθε ένας ποντάρει από 10 ευρώ και ο νικητής θα πάρει
τα 20 ευρώ. Όμως το παιχνίδι διακόπτεται τη στιγμή όπου ο πρώτος παίκτης (Α) χρειάζεται να
κερδίσει 2 ακόμα παιχνίδια και ο δεύτερος (Β) 3. Πως πρέπει να μοιραστούν τα 20 ευρώ;
Για την επίλυση του προβλήματος αυτού οι Fermat και Pascal αντήλλαξαν το 1654 επιστολές όπου
σε αυτές παρουσίαζαν τις λύσεις τους. Παρακάτω θα τις παρουσιάσουμε χρησιμοποιώντας
σύγχρονο συμβολισμό που δεν υπήρχε εκείνη την εποχή.

15. Απίθανες Ιστορίες
Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 7
Καταρχήν και οι δύο κατάλαβαν ότι αυτό που πρέπει να μας απασχολεί είναι η εξέλιξη του
παιχνιδιού και όχι οι παρτίδες που ήδη έχουν γίνει. Συγχρόνως και οι δύο συμφώνησαν ότι ο
αριθμός παιχνιδιών που πρέπει να γίνουν θα είναι 2+3-1=4.
Ο Fermat καταγράφει όλες τις δυνατές εξελίξεις του παιχνιδιού γράφοντας ουσιαστικά τον
δειγματικό χώρο του πειράματος τύχης.
Έτσι έγραφε σε κατακόρυφες στήλες τον νικητή των επόμενων παιχνιδιών, η όλη παρουσίαση ήταν
περίπου όπως παρακάτω …
Α Α Α Α Α Α Α Α Β Β Β Β Β Β Β Β
Α Α Α Α Β Β Β Β Α Α Α Α Β Β Β Β
Α Α Β Β Α Α Β Β Α Α Β Β Α Α Β Β
Α Β Α Β Α Β Α Β Α Β Α Β Α Β Α Β
Μετά σημείωνε ανάλογα με την εξέλιξη του παιχνιδιού ποιος είναι τελικά ο νικητής ( ας θυμηθούμε
ότι ο Α – 1ος παίκτης χρειάζεται να νικήσει σε 2 ακόμα παιχνίδια και ο Β – 2ος παίκτης χρειάζεται να
νικήσει 3 ακόμα παιχνίδια)
Με την λογική αυτή, θα μετρήσουμε ότι σε 11 παιχνίδια βγαίνει νικητής ο Α και σε 5 ο Β. Άρα τα 20
ευρώ θα πρέπει να μοιραστούν σε μία αναλογία 11:5. Δηλαδή ο Α θα πάρει
11
20 13,75
16
 = ευρώ
και ο Β θα πάρει
5
20 6,25
16
 = ευρώ.
Ο Pascal με ενθουσιασμό δέχεται την λύση του Fermat, αλλά σημειώνει ότι η μέθοδος επίλυσης
είναι προβληματική αν οι παίκτες είναι περισσότεροι από 2, και ότι δύσκολα μπορεί να εφαρμοστεί
στην περίπτωση όπου χρειάζονται περισσότερα παιχνίδια για να ολοκληρωθεί ο αγώνας.
Για να προσεγγίσουμε τις σκέψεις του ας παρατηρήσουμε τον παρακάτω πίνακα …
Παρτίδες που νικά ο Α Παρτίδες που νικά ο Β Νικητής παιχνιδιού
0 4 Β
1 3 Β
2 2 Α
3 1 Α
4 0 Α
Με πόσους τρόπους είναι νικητής ο Β;
Με όσους τρόπους όπου ο Α δεν νικά σε καμιά παρτίδα ή νικά σε μία, δηλαδή …
με
1
κ 0
4 4 4
5
0 1 κ
=
     
+ = =
     
     


16. Απίθανες Ιστορίες
Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 8
Αντίστοιχα με πόσους τρόπους είναι νικητής ο Α;
Με όσους τρόπους όπου ο Β δεν νικά σε κανένα παιχνίδι ή νικά σε ένα ή δύο, δηλαδή με …
2
κ 0
4 4 4 4
11
0 1 2 κ
=
       
+ + = =
       
       

Επειδή ο Pascal είχε ήδη κατασκευάσει το περίφημο τρίγωνό του κατάλαβε την ομοιότητα των
παραπάνω με τους συντελεστές της διωνυμικής κατανομής.
Για όσους δεν γνωρίζουν το τρίγωνο του Pascal ας μελετήσουν το παρακάτω σχήμα όπου
παρουσιάζονται κάποια από τα αναπτύγματα της μορφής ν
(α β)
+ :
(α β)
+ =
0
1
(α β)
+ =
1
α β
 + 
1 1
(α β)
+ =
2
α αβ β
 +  + 
2 2
1 2 1
(α β)
+ =
3
α α β αβ β
 +  +  + 
3 2 2 3
1 3 3 1
(α β)
+ =
4
α α β α β αβ β
 +  +  +  + 
4 3 2 2 3 4
1 4 6 4 1
(α β)
+ =
5
α α β α β α β αβ β
 +  +  +  +  + 
5 4 3 2 2 3 4 5
1 5 10 10 5 1
Ο Pascal παρατηρώντας τις παραπάνω ισότητες διαπίστωσε ένα
μοτίβο που αναπτύσσεται στους συντελεστές ( κόκκινο χρώμα).
Ανακάλυψε λοιπόν τον τρόπο που κάθε σειρά σχηματίζεται με τη
βοήθεια της προηγούμενης της.
Ο κανόνας αυτός είναι απλός …
«κάθε αριθμός προκύπτει ως άθροισμα των δύο αριθμών που
βρίσκονται ακριβώς από πάνω του στην προηγούμενη γραμμή»
Μετά την παρατήρησή του αυτή ήταν σε θέση να γράψει την γενική
μορφή του αναπτύγματος ν
(α β)
+ με ν¥ , δηλαδή …
ν ν ν ν ν ν ν
ν ν ν ν ν ν
(α β) α α β α β ... α β αβ β
ν ν ν
− − − −
           
+ = + + + + + +
           
− −
           
1 2 2 2 2 1
0 1 2 2 1

17. Απίθανες Ιστορίες
Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 9
Ή χρησιμοποιώντας κατάλληλο συμβολισμό :
ν
ν ν κ κ
κ
ν
(α β) α β
κ
−
=
 
+ =  
 

0
Όμως πως γίνεται η τυποποίηση του προβλήματος με την βοήθεια του τριγώνου ;
Παρατηρείστε το παρακάτω σχήμα …
Τρίγωνο Αριθμός παιχνιδιών που
υπολείπονται
Μπορείτε να βρείτε τον τρόπο ;
Για τη λύση που δόθηκε από τους Fermat και Pascal διατυπώθηκε η
ένσταση ότι στον δειγματικό χώρο προσμετρούνται παιχνίδια που δεν
υπάρχουν. Για παράδειγμα η εξέλιξη Α-Α-Α-Α της λύσης του Fermat δεν
υπάρχει αφού ο Α θέλει μόνο δύο παιχνίδια για να κερδίσει.
Επομένως ο σωστός δειγματικός χώρος θα είναι …
Ω={ΑΑ , ΑΒΑ , ΑΒΒΑ , ΑΒΒΒ , ΒΑΑ , ΒΑΒΑ , ΒΑΒΒ , ΒΒΑΑ , ΒΒΑΒ , ΒΒΒ }
Οπότε σε 6 περιπτώσεις κερδίζει ο Α και σε 4 ο Β, άρα το στοίχημα θα
πρέπει να μοιραστεί σε μία αναλογία 6:4 και όχι 11:5.
0
1
2
4
5
3
6
7

18. Απίθανες Ιστορίες
Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 10
Ο Pascal αντικρούοντας τον ισχυρισμό υποστήριξε ότι … «Αν και είναι δυνατό το παιχνίδι να κριθεί
σε 2 ή και σε 3 παιχνίδια – όχι κατά ανάγκη 4 – τα επιπλέον παιχνίδια δεν παίζουν κανένα ρόλο στην
ανάδειξη του νικητή. Παίζουν όμως ρόλο στην αναγωγή των απλών ενδεχομένων σε ισοπίθανα. »
Εννοώντας ότι αν δουλέψουμε με τον δειγματικό χώρο των 10 απλών
ενδεχομένων τότε η μοιρασιά των χρημάτων θα πρέπει να γίνει με
βάση τις πιθανότητες Ρ(Α) και Ρ(Β) για τις οποίες θα ισχύουν :
1 1 1 1 1 1 11
Ρ(Α)
4 8 16 8 16 16 16
= + + + + + = και
1 1 1 1 5
Ρ(Β)
16 16 16 8 16
= + + + = ,
αφού τα απλά ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου έχουν
διαφορετική πιθανότητα.
Οπότε και πάλι η μοιρασιά θα γίνει με την αναλογία
Ρ(Α) 11
Ρ(Β) 5
=
Με το πρόβλημα αυτό είχαν ασχοληθεί και πριν από τους Fermat και Pascal οι : Luca Pacioli (1445-
1517) , Gerolano Cardano (1501-1576) , Niccolo Fontana (Tartaglia) (1499-1557) , Galileo Galilei
(1564,1642) και Thomas Cataker (1574-1674), λύνοντας όμως το πρόβλημα λάθος.
Η αλληλογραφία Fermat – Pascal με αφορμή ένα δευτεροκλασάτο πρόβλημα έδειξε ότι τα
μαθηματικά μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον προσδιορισμό ενός μελλοντικού γεγονότος, στην
διαχείριση κινδύνου και τελικά στον ασφαλιστικό κλάδο, που την εποχή εκείνη λόγω του
διηπειρωτικού εμπορίου ανθούσε.

19. Απίθανες Ιστορίες
Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 11
Η εποχή των ασφαλιστηρίων …
Πρωταγωνιστής στην ιστορία μας ένας Ολλανδός Φυσικός, Αστρονόμος,
εφευρέτης και Μαθηματικός. Ο Christiaan Huygens (1629-1695). Θεωρείται
ένας από τους ιδρυτές της Μαθηματικής Φυσικής. Το 1657 γράφει το πρώτο
βιβλίο για τις πιθανότητες με τίτλο “De ratiociniis in ludo aleae” ( Περί
υπολογισμών στα τυχερά παιχνίδια). Στο βιβλίο αυτό παρουσιάζονται ο
βασικός λογισμός των Πιθανοτήτων καθώς και οι έννοιες , προσδοκώμενη
τιμή και δίκαιο στοίχημα.
Για παράδειγμα στην ρουλέτα έχουμε 18 υποδοχές μαύρες όπου είναι σημειωμένοι οι περιττοί
αριθμοί από το 1 ως το 35 , 18 κόκκινες όπου είναι σημειωμένοι οι άρτιοι αριθμοί από το 2 ως το 36
και 1 πράσινη που αντιστοιχεί στον αριθμό 0 . Αν κάποιος στοιχηματίσει 100 ευρώ στο μαύρο τότε
το προσδοκώμενο κέρδος είναι
18 19
100 ( 100) 2,702
37 37
 +  − = − , δηλαδή αν αποφασίσεις να
παίξεις ρουλέτα περίμενε να χάνεις 2,7 ευρώ σε κάθε παιχνίδι.
Δεύτερο παράδειγμα …Ρίχνουμε δύο ζάρια και υπολογίζουμε την διαφορά των δύο ενδείξεων. Αν η
διαφορά είναι 0 ή 1 ή 2 κερδίζω 10 ευρώ, αν είναι 3 ή 4 ή 5 χάνω 10 ευρώ. Τι λέτε παίζουμε ;
Για το συγκεκριμένο παιχνίδι έχουμε ότι ..
Τα δυνατά αποτελέσματα από τη ρίψη δύο ζαριών
παρουσιάζονται στο διπλανό πίνακα …

20. Απίθανες Ιστορίες
Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 12
… οπότε αν υπολογίσουμε την διαφορά των δύο ενδείξεων θα
καταλήξουμε στον δειγματικό χώρο που παρουσιάζεται στο
διπλανό σχήμα.
Μετρήστε πόσες φορές η διαφορά είναι 0 ή 1 ή 2 και πόσες 3 ή 4
ή 5.
Τι πιστεύετε;
Είναι τελικά δίκαιο ένα τέτοιο στοίχημα;
Ας μιλήσουμε όμως πιο διεξοδικά για το βιβλίο του “De ratiociniis in ludo aleae” Στο βιβλίο αυτό
παρουσιάζονται 14 προτάσεις και στο τέλος δίνονται 5 προβλήματα προς λύση. Το βιβλίο
μεταφράστηκε στα Αγγλικά το 1714 με τίτλο «The Value of all Chances in Games of Fortune »
Το πιο διάσημο πρόβλημα είναι το 5ο που έχει μείνει γνωστό ως Gambler’s ruin – Πλάνη του
τζογαδόρου. Ας το δούμε σε μια πιο απλή εκδοχή του.
Δύο παίκτες παίζουν ένα παιχνίδι. Ο Α παίκτης έχει 1 € και ο Β 2€. Όποιος από τους δύο χάνει δίνει
στον νικητή 1 €. Ο παίκτης Α είναι καλύτερος από τον Β, κερδίζει 2 στα 3 παιχνίδια. Το παιχνίδι
τελειώνει όταν κάποιος χάσει όλα τα χρήματά του. Ποια η πιθανότητα να κερδίσει ο Α;
Ας εξετάσουμε το πρόβλημα γενικότερα και ας υποθέσουμε ότι …
ο Α στην αρχή του παιχνιδιού έχει ν € και ο σκοπός του είναι να αποκτήσει ν+μ €, με πιθανότητα να
κερδίσει ένα γύρο p οπότε θα έχει ν+1 € και να χάσει q, οπότε θα έχει ν-1 € .
Ας συμβολίσουμε με Ρν την πιθανότητα να κερδίσει ο Α ενώ έχει ν €, αντίστοιχα Ρν+1 την πιθανότητα
να κερδίσει ο Α όταν έχει ν+1 € κ.ο.κ. Θα προσπαθήσουμε να βρούμε μία αναδρομική σχέση
ανάμεσα στις πιθανότητες … Ρν , Ρν-1 , Ρν+1
Θεωρούμε τα ενδεχόμενα …
Α « κερδίζει το παιχνίδι ο Α» με Ρ(Α)=Ρν
Α1 « κερδίζει το παιχνίδι ο Α ενώ έχει χάσει τον 1ο γύρο »
Α2 « κερδίζει το παιχνίδι ο Α ενώ έχει κερδίσει τον 1ο γύρο »
Κ « ο Α κερδίζει τον 1ο γύρο»
Χ « ο Α χάνει τον 1ο γύρο»

21. Απίθανες Ιστορίες
Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 13
Ισχύει ότι :
ν 1 2 1 2
ν 1 ν 1
P Ρ(Α) Ρ(Α Α ) Ρ(Α ) Ρ(Α ) Ρ(Α Χ) Ρ(Α Κ)
Ρ(Α / Χ) Ρ(Χ) Ρ(Α / Κ) Ρ(Κ) Ρ q P p
− +
= =  = + =  +  =
=  +  =  + 
Άρα ν ν 1 ν 1
Ρ q Ρ p Ρ
− +
=  +  με 0
Ρ 0
= ( αφού όταν ο Α έχει 0 € η πιθανότητα να κερδίσει το παιχνίδι
είναι 0) και ν μ
Ρ 1
+ = ( αφού όταν ο Α έχει ν+μ € κερδίζει με βεβαιότητα το παιχνίδι)
Για το παράδειγμά μας ( όπου ο Α έχει 1€ και ο αντίπαλος 2€ και όπου, ο Α κερδίζει ένα παιχνίδι με
πιθανότητα
2
3
και χάνει με πιθανότητα
1
3
) θα έχουμε διαδοχικά …
ν ν 1 ν 1
1 2
Ρ Ρ Ρ
3 3
− +
=  + 
και 0
Ρ 0
= , 3
Ρ 1
=
για ν=1 έχουμε 1 0 2 1 2
1 2 2
Ρ Ρ Ρ Ρ Ρ (1)
3 3 3
= +  = και
για ν=2 έχουμε 2 1 3 2 1
1 2 1 2
Ρ Ρ Ρ Ρ Ρ (2)
3 3 3 3
= +  = +
από το (Σ) των (1) και (2) έχουμε τελικά ότι 1
4
Ρ
7
=
Στην γενική περίπτωση οι σχέσεις : ν ν 1 ν 1
Ρ q Ρ p Ρ
− +
=  +  με 0
Ρ 0
= και ν μ
Ρ 1
+ = δίνουν
n
ν
ν μ
q
1 ( )
p
Ρ (1)
q
1 ( )
p
+
−
=
−
για q p
 και ν
ν
Ρ (2)
ν μ
=
+
για
1
q p
2
= =
Ας σταθούμε στον πρώτο τύπο (1) και φανταστείτε ότι βρίσκεστε στο καζίνο. Έχετε κάποια χρήματα
“ν” και παίζετε με μικρότερη πιθανότητα από ότι το καζίνο να κερδίσετε ( ειδάλλως δεν θα λεγόταν
καζίνο) , δηλαδή
1
q
2
 ,
1
p
2
 και τα χρήματα που έχει στη διάθεσή του το καζίνο πολύ
περισσότερα από τα δικά σας. Η πιθανότητα να χρεοκοπήσει το καζίνο από σας είναι μηδαμινή. Ενώ
αντίθετα το καζίνο μπορεί να σας καταστρέψει.

22. Απίθανες Ιστορίες
Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 14
Τελειώνοντας την αναφορά μας στον Huygens θα πρέπει να αναφερθούμε
στην ενασχόλησή του, μετά από την παρότρυνση του αδελφού του, σχετικά
με το προσδόκιμο ζωής και αυτό για να υπολογιστούν τιμές των
ασφαλιστηρίων ζωής που είχαν αρχίσει να εμφανίζονται στο Λονδίνο του
17ου αιώνα. Ο Huygens στηρίχθηκε στο βιβλίο Natural and Political
Observations Made upon the Bills of Mortality του Άγγλου δημογράφου John
Graunt (1620 – 1674).
Ο John Graunt ως ειδικός επιδημιολόγος κατάρτησε στατιστικούς πίνακες της δημόσιας υγείας του
Λονδίνου.
Με χρήση απλών μαθηματικών μοντέλων ήταν σε θέση να κάνει
εκτιμήσεις σχετικά με το μέγεθος του πληθυσμού του Λονδίνου και
της Αγγλίας, τα ποσοστά γεννήσεων, τα ποσοστά θνησιμότητας
ανδρών και γυναικών, την άνοδο και εξάπλωση ασθενειών,
καταρτίζοντας ουσιαστικά πίνακες θνησιμότητας και δείκτες
συσχέτισης ηλικίας και θνησιμότητας.
Ο Huygens καταπιάστηκε με τον υπολογισμό του προσδόκιμου ζωής,
προσομοιάζοντας το ως ένα τυχερό παιχνίδι και αναζητώντας την
προσδοκώμενη τιμή του. Η μελέτη του θεωρείται πρωτοπόρα στην
διαχείριση ασφαλιστηρίων κινδύνου και στον υπολογισμό των
ασφαλίστρων.

23. Απίθανες Ιστορίες
Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 15
Μια οικογένεια γεμάτο Μαθηματικούς !
«Το να εικάζει κανείς για κάτι, σημαίνει το να υπολογίζει την πιθανότητά του. Συνεπώς η τέχνη
του εικάζειν, ή στατιστική τέχνη, ορίζεται ως η τέχνη του όσο το δυνατόν ακριβέστερου
υπολογισμού της πιθανότητας των πραγμάτων έτσι ώστε όταν κρίνουμε και ενεργούμε , να
μπορούμε πάντοτε να επιλέγουμε ή να ακολουθούμε εκείνα που φαίνονται καλύτερα,
περισσότερο ικανοποιητικά , ασφαλέστερα και περισσότερο μελετημένα».
Jacob Bernoulli
Ο όρος «θεωρία πιθανοτήτων» ως ένας κλάδος των μαθηματικών στον οποίο περιλαμβάνονται τα
όσα έχουν δημιουργηθεί από τους Cardano, Fermat, Pascal και Huygens είναι δημιούργημα μιας
οικογένειας Ελβετών μαθηματικών, της οικογένειας Bernoulli. Πλέον η λέξη πιθανότητα αποκτά την
σημερινή σημασία της ως μία αριθμητική τιμή που εκφράζει ένα μέτρο προσδοκίας
πραγματοποίησης ενός ενδεχομένου που εμφανίζεται στην εκτέλεση ενός πειράματος τύχης.
Ο πρώτος Bernoulli με τον οποίο θα ασχοληθούμε είναι ο Jacob Bernoulli
(1655-1705).Καθηγητής στο Πανεπιστήμιο της Βασιλείας από το 1687 μέχρι
τον θάνατό του. Από τους πρώτους γνώστες του Διαφορικού Λογισμού
όπως αυτός παρουσιάστηκε από τον Leibniz. Σε συνεργασία με τον αδελφό
του Johann Bernoulli συγγράφειτοβιβλίο του διαφορικού λογισμού " Nova
Methodus pro Maximis et Minimis " (1684). Η σχέση μεταξύ των δύο
αδελφών μετατράπηκε σύντομα σε ανταγωνιστική μέχρι το 1697 όπου οι
δρόμοι τους χωρίζουν.
Το βιβλίο του Ars Conjectandi, που δημοσιεύθηκε το 1713, από τον ανιψιό
του Nicolaus Bernoulli, μετά τον θάνατό του θεωρείται ένα από τα πιο
σημαντικά συγγράμματα θεωρίας πιθανοτήτων.
Στο βιβλίο αυτό διατυπώνεται το λεγόμενο «χρυσό θεώρημα» ή «ασθενής
νόμος των μεγάλων αριθμών» με τον οποίο αποδεικνύει το προφανές (;)
ότι η σχετική συχνότητα πραγματοποίησης ενός ενδεχομένου πλησιάζει
στην εκτιμώμενη πιθανότητα όσο αυξάνουμε τον αριθμό των δοκιμών
που πραγματοποιούμε.
Το συμπέρασμα αυτό επιβεβαίωσε με έναν πολύ βαρετό τρόπο στα χρόνια που ακολούθησαν ένας
φυλακισμένος …
Ο John Edmund Kerrich (1903–1985) ήταν μαθηματικός που κατά την διάρκεια της φυλάκισής του
στον β’ παγκόσμιο πόλεμο πέταξε ένα νόμισμα 10.000 φορές και μέτρησε τον αριθμό των κεφαλών
που εμφανίστηκαν. Ο αριθμός ήταν 5.067 τιμή που πλησιάζει την ιδεατή του 50%.

24. Απίθανες Ιστορίες
Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 16
Μία διαγραμματική παρουσίαση του νόμου των μεγάλων αριθμών για το πείραμα της ρίψης ενός
νομίσματος παρουσιάζεται παρακάτω …
Τον Jacob τον προβλημάτισε επίσης το ερώτημα « πως τα αποτελέσματα που παίρνουμε από ένα
δείγμα μπορούμε να τα γενικεύσουμε στον πληθυσμό». Γι’ αυτό εισήγαγε την έννοια της a priori
(εκ των προτέρων) πιθανότητας που υπολογίζεται πριν την πραγματοποίηση του γεγονότος και της
a posteriori ( εκ των υστέρων ) πιθανότητας που υπολογίζεται μετά την πραγματοποίηση του
γεγονότος. Ένα από τα αγαπημένα νοητικά πειράματα που έκανε ήταν αυτό της κάλπης που περιέχει
ας πούμε 3000 λευκά και 2000 μαύρα σφαιρίδια. Από την κάλπη βγάζουμε , με επανατοποθέτηση,
μία σφαίρα και σημειώνουμε το χρώμα της. Το ερώτημα είναι πόσες δοκιμές πρέπει να κάνουμε
ώστε η a posteriori πιθανότητα να πάρουμε λευκό σφαιρίδιο να πλησιάζει στην a priori πιθανότητα
του 60% ;
Ο επόμενος Bernoulli που θα μας απασχολήσει είναι ο Daniel Bernoulli
(1700-1782) , ανιψιός του Jacob. Ασχολήθηκε με τη Φυσική , τα Μαθηματικά
, τη Στατιστική , τις Πιθανότητες και τα Οικονομικά. Στο βιβλίο του
«Specimen theoriae novae de mensura sortis » (Έκθεση μιας νέας θεωρίας
για τη μέτρηση του κινδύνου), ασχολείται με το «Παράδοξο της Αγίας
Πετρούπολης», ένα κλασικό πρόβλημα πιθανοτήτων που θα
παρουσιάσουμε.
Σε μια λέσχη πληρώνεις στην είσοδο το ποσό των α € και μπορείς να παίξεις το εξής παιχνίδι. Ρίχνεις
ένα νόμισμα και κερδίζεις αν έρθει κορώνα. Το ποσό που κερδίζεις προσδιορίζεται ως εξής. Αν έρθει
κορώνα στην 1η ρίψη παίρνεις 1 €, αν έρθει κορώνα, για πρώτη φορά, στην 2η ρίψη παίρνεις 2 €, αν
έρθει κορώνα, για πρώτη φορά, στην 3η ρίψη παίρνεις 22 € και γενικά αν έρθει κορώνα, για πρώτη
φορά, στην ν ρίψη παίρνεις 2ν-1 €. Ποιο πρέπει να είναι το ποσό α που δίνει ο παίκτης στη λέσχη
κατά την είσοδο, ώστε το παιχνίδι να είναι δίκαιο. Δηλαδή το προσδοκώμενο όφελος λέσχης και
παίκτη να είναι το ίδιο.

25. Απίθανες Ιστορίες
Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 17
Ας δούμε τη διαδικασία στην εξέλιξή της.
Στην πρώτη ρίψη του νομίσματος η πιθανότητα να έρθει κορώνα είναι 1/2 . Επειδή το ποσό που θα
πάρει είναι 1 € το προσδοκώμενο όφελος για τον παίκτη είναι το 1/2 του 1 € δηλαδή 50 λεπτά.
Στην δεύτερη ρίψη ο παίκτης κερδίζει αν έχει φέρει αρχικά γράμματα και μετά κορώνα. Η
πιθανότητα να συμβεί αυτό είναι
1 1 1
2 2 4
 = . Επειδή το όφελος θα είναι 2 € το προσδοκώμενο
όφελος είναι
1 1
2
4 2
 = € δηλαδή και πάλι 50 λεπτά.
Όμοια στην τρίτη ρίψη θα έχουμε κέρδος αν στις δύο πρώτες φέρει γράμματα και στην 3η κορώνα.
Η πιθανότητα να συμβεί αυτό είναι
1 1 1 1
2 2 2 8
  = . Επειδή το όφελος θα είναι 2
2 4
= € , επομένως το
προσδοκώμενο όφελος είναι
1 1
4
8 2
 = €, δηλαδή και πάλι 50 λεπτά.
Τι συμβαίνει στην ν-ιοστή ρίψη;
Κέρδος θα έχουμε όταν στις πρώτες ν-1 ρίψεις ο παίκτης έχει φέρει γράμματα και στην ν-ιοστή
κορώνα. Με ποια πιθανότητα μπορεί να γίνει αυτό; Οι τρόποι για να φέρουμε γράμματα στις πρώτες
ν-1 ρίψεις είναι ν 1
1
( )
2
−
και η πιθανότητα για να έρθει μετά κορώνα είναι
1
2
, άρα οι τρόποι με τους
οποίους μπορεί να εξελιχθεί το παιχνίδι για να έχουμε κέρδος στην ν-ιοστή ρίψη είναι
ν 1 ν
ν
1 1 1 1
2 2 2 2
−
   
 = =
   
   
. Τότε το ποσό που θα κερδίσει ο παίκτης είναι ν 1
2 −
€ , οπότε το
προσδοκώμενο όφελος είναι ν 1
ν
1 1
2
2 2
−
 = € , δηλαδή πάλι 50 λεπτά.
Επειδή το παιχνίδι μπορεί να συνεχιστεί επ’ άπειρον και επειδή η συνολική προσδοκία είναι το
άθροισμα των προσδοκιών στο κάθε στάδιο του παιχνιδιού θα έχουμε ότι : η προσδοκία οφέλους
του παίκτη από την συμμετοχή του στο παιχνίδι είναι :
κ 1
1
2

=
= + 
 . Επειδή θέλουμε να είναι δίκαιο
το παιχνίδι, άρα το προσδοκώμενο όφελος παίκτη και λέσχης να είναι το ίδιο, τα λεφτά που πρέπει
να πληρώνει στην είσοδο της λέσχης ο παίκτης είναι … ένα άπειρο ποσό χρημάτων !

26. Απίθανες Ιστορίες
Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 18
Η Γαλλική σχολή …
Ο François-Marie Arouet (1694–1778), γνωστός με το όνομά
Voltaire γνωρίστηκε το 1728 με τον Γάλλο μαθηματικό Charles Marie de
La Condamine ο οποίος του πρότεινε να συμμετέχουν στην λοταρία που
διοργάνωνε τότε το Γαλλικό δημόσιο. Η Γαλλική κυβέρνηση στις αρχές
του 18ου αιώνα είχε εκδώσει ομόλογα τα οποία στην συνέχεια
αναγκάστηκε να τα «κουρέψει» με αποτέλεσμα να θεωρείται από τις
αγορές αναξιόπιστη οπότε τα νέα ομόλογα που σκόπευε να εκδώσει δεν
είχαν ζήτηση. Για να προσελκύσει επενδυτές το Γαλλικό δημόσιο
διοργάνωσε λοταρία στην οποία θα μπορούσαν να συμμετέχουν μόνο
κάτοχοι παλαιών τίτλων. Όμως η λοταρία είχε στον σχεδιασμό της ένα
μεγάλο λάθος. Το χρηματικό βραβείο που πρόσφερε στον τυχερό υπερκάλυπτε την αξία των
λαχνών. Έτσι ο φιλόσοφος και ο φίλος του μαθηματικός αφού αγόρασαν όσα περισσότερα
υποβαθμισμένα ομόλογα μπορούσαν, αγόρασαν στην συνέχεια τους περισσότερους λαχνούς της
λοταρίας και προφανώς κέρδισαν. Ο καθένας τους κέρδισε περί το 1.000.000 γαλλικά φράγκα !.
Εκείνη την εποχή μπορεί τα τυχερά παιχνίδια να ήταν δημοφιλή, ακόμα και ως κρατικές λοταρίες,
αλλά τα κριμένα μαθηματικά των πιθανοτήτων ήταν κτήμα μόνο ορισμένων μυημένων της
μαθηματικής κοινότητας. Μια ομάδα Γάλλων μαθηματικών κάνει δυναμικά την εμφάνιση τους στην
εξέλιξη του κλάδου αυτού της μαθηματικής επιστήμης.
Ξεκινάμε την σύντομη αναφορά μας στην Γαλλική σχολή του 18ου αιώνα
με τον Abraham de Moivre (1667-1754). Γνωστός για την συνεισφορά
του στους μιγαδικούς και τις πιθανότητες. Το 1667 συγγράφει βιβλίο
πιθανοτήτων με τίτλο «The Doctrine of Chances». Το βιβλίο
κυκλοφόρησε στα Λατινικά και στα Αγγλικά.
Σε μεταγενέστερη έκδοση του βιβλίου (1733) συμπεριέλαβε και την
μελέτη του σχετικά με την προσέγγιση της διωνυμικής κατανομής μέσω
μιας καμπύλης που την ονομάζουμε κανονική κατανομή (normal
distribution) ή bell curve – λόγω του σχήματός της.
Χρησιμοποιώντας μεθόδους του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού κατέληξε στην
συνάρτηση
2
2
(x μ)
2σ
1
f(x) e
σ 2π
−
−
=  μετη οποία μπορεί πλέον να μελετήσει μία μεταβλητή της οποίας
οι τιμές κατανέμονται συμμετρικά γύρω από την μέση τιμή (μ) της σε ένα εύρος περίπου έξι τυπικών
αποκλίσεων (σ) .

27. Απίθανες Ιστορίες
Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 19
Η μορφή της κατανομής είναι ….
Τα κουτσομπολιά της εποχής λένε ότι την χρησιμότητα της καμπύλης αυτής την επιβεβαίωσε ο de
Moivre σε διάφορους τύπους τυχερών παιχνιδιών. Για να είμαστε δίκαιοι όμως, σε ένα άρθρο με
τίτλο "Annuities upon Lives" παρουσιάζει την κανονική κατανομή του ποσοστού θνησιμότητας σε
σχέση με την ηλικία ενός ατόμου. Την καμπύλη την χρησιμοποιεί για να υπολογίσει τα έσοδα που
παράγονται από της ετήσιες πληρωμές στο πλαίσιο ενός ασφαλιστηρίου σε συνάρτηση με την
ηλικία του συμβαλλόμενου.
Το χαρακτηριστικό γνώρισμα της κανονικής
κατανομής είναι η συμμετρίας της γύρω από τον
αριθμητικό μέσο μ και η ποσόστωση των τιμών της
γύρω από αυτόν. Συγκεκριμένα το 68% περίπου των
τιμών βρίσκονται στο διάστημα [ σ,σ]
− , το 95%
περίπου των τιμών βρίσκονται στο διάστημα
[ 2σ,2σ]
− και το 99,7% στο [ 3σ,3σ]
− , όπου σ η
τυπική απόκλιση των τιμών της μεταβλητής.
Ανάλογα με τις τιμές των βασικών παραμέτρων μ και
σ η μορφή της κατανομής είναι διαφορετική αλλά
παρόμοια, σαν μία καμπάνα (bell curve).
Συγχρόνως με χρήση του τύπου :
x μ
z
σ
−
= προκύπτει κανονική
κατανομή με μέσο μ=0 και τυπική απόκλιση σ=1, που λέγεται
τυποποιημένη κανονική κατανομή. Η εύρεση της πιθανότητας ενός
οποιουδήποτε ενδεχομένου μιας μεταβλητής που οι τιμές της
κατανέμονται κανονικά γίνεται με ένα απλό αλγόριθμό με την
βοήθεια της τυποποιημένης κατανομής. Στο βιβλίο αυτό δεν θα
ασχοληθούμε με ασκήσεις τέτοιους είδους αλλά με παραδείγματα
θα δούμε πόσο συχνά συναντάμε την κανονική κατανομή στην
μελέτη καθημερινών καταστάσεων.

28. Απίθανες Ιστορίες
Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 20
Ας ξεκινήσουμε …
Αν μελετήσουμε ένα μεγάλο δείγμα ενός
πληθυσμού ως προς το ύψος. Θα παρατηρήσουμε
ότι οι τιμές κατανέμονται κανονικά.
Ο de Moivre βρέθηκε μπροστά στην κανονική
κατανομή όταν μετρούσε τα αποτελέσματα των
ρίψεων δύο ζαριών. Έτσι αν ρίξουμε, ας πούμε
1000 φορές δύο ζάρια θα διαπιστώσουμε ότι : η
πιθανότητα να φέρουμε άθροισμα 2 ή 12 είναι
περίπου 0,2%, η πιθανότητα να φέρουμε άθροισμα
3 ή 11 είναι περίπου 5% , άθροισμα 4 ή 10 περίπου
8%, άθροισμα 5 ή 9 πιθανότητα είναι περίπου 11%
, 6 ή 8 με πιθανότητα 14% και τέλος ενδείξεις με
άθροισμα 7 με πιθανότητα 16,6%. Παρατηρείστε το
διπλανό διάγραμμα για να δείτε πως εμφανίζεται η
κανονική κατανομή.
Μελετώντας τις διακυμάνσεις των μετοχών σε ένα
χρηματιστήριο, θα διαπιστώσουμε ότι οι αλλαγές
στις ημερολογιακές τιμές των δεικτών τιμών και της
απόδοσης των μετοχών σχηματίζουν κανονική
κατανομή. Η σωστή εύρεση των δεικτών μ και σ
οδηγεί τους οικονομικούς αναλυτές σε
συμπεράσματα σχετικά με την αναμενόμενη
απόδοση και κίνδυνο των μετοχών.
Ο πρίγκηπας του παραμυθιού αν γνώριζε λίγο
στατιστική θα βοηθιόταν αρκετά στην αναζήτηση
της σταχτοπούτας. Οι πωλήσεις γυναικείων
παπουτσιών σε συνάρτηση με το μέγεθός είναι μία
κανονική κατανομή. Αυτό συμβαίνει διότι τα
περισσότερα φυσικά χαρακτηριστικά των
ανθρώπων , άρα και το μέγεθος των ποδιών,
κατανέμονται κανονικά.

29. Απίθανες Ιστορίες
Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 21
Το φυσιολογικό βάρος γέννησης ενός νεογνού
κυμαίνεται από 2,5 έως 3,5 κιλά. Η πλειοψηφία
των νεογνών έχει φυσιολογικό βάρος
γέννησης, ενώ μόνο ένα μικρό ποσοστό των
νεογνών έχει βάρος υψηλότερο ή χαμηλότερο
από το φυσιολογικό. Δηλαδή το βάρος
γέννησης ακολουθεί την καμπύλη κανονικής
κατανομής.
Η αρτηριακή πίεση σε έναν ανδρικό πληθυσμό
σε σχέση με την ηλικία κατανέμεται κανονικά
με μέσο όρο περίπου 80 και τυπική απόκλιση
20.
Ο επόμενος μεγάλος στοχαστής των Μαθηματικών είναι ο Pierre-Simon,
μαρκήσιος de Laplace (1749-1827). Μηχανικός, Μαθηματικός, Φυσικός,
Αστρονόμος, Φιλόσοφος. Το 1812 δημοσιεύει την «Théorie analytique
des probabilités» στο οποίο παρουσιάζει μεθόδους και προβλήματα
πιθανοτήτων, αναπτύσσοντας παράλληλα στατιστικές μεθόδους και
εφαρμογές.
Στο βιβλίο του αυτό γράφει …
« … η θεωρία πιθανοτήτων είναι η κοινή λογική που έχει αναχθεί σε
αριθμητικούς υπολογισμούς …μας βοηθάει να εκτιμήσουμε με ακρίβεια
αυτά που ένας κοινός νους αισθάνεται ενστικτωδώς, χωρίς συχνά να μπορεί
να τα αιτιολογήσει … Η επιστήμη αυτή που γεννήθηκε από τη μελέτη των
τυχερών παιχνιδιών, θα γίνει το πιο σημαντικό πεδίο της ανθρώπινης
γνώσης … τα σημαντικότερα ερωτήματα της ζωής είναι ουσιαστικά
προβλήματα πιθανοτήτων».

30. Απίθανες Ιστορίες
Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 22
Δίνει τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας, δηλαδή : σε ένα πείραμα τύχης με πεπερασμένο
δειγματικό χώρο Ω και ισοπίθανα στοιχειώδη ενδεχόμενα, η πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α
δίνεται από τον τύπο :
πλήθος στοιχείων του Α Ν(Α)
Ρ(Α)
πλήθος στοιχείων του Ω Ν(Ω)
= =
Παρουσιάζεται το κεντρικό οριακό θεώρημα. Το θεώρημα αυτό πρωτοπαρουσιάστηκε από τον De
Moivre στο «The Doctrine of Chances» χωρίς όμως να κάνει αίσθηση διότι το χρησιμοποίησε για να
βρει τον αριθμό των κεφαλών που προκύπτουν από τις πολλαπλές ρίψεις ενός νομίσματος,
τετριμμένο θέμα για την εποχή . Ο Laplace στο «Théorie Analytique des Probabilités» το
χρησιμοποίησε για να προσεγγίσει την διωνυμική κατανομή με την κανονική κατανομή.
Τι λέει όμως το κεντρικό οριακό θεώρημα;
Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα πληθυσμό μεγέθους Ν και τον εξετάζουμε ως προς ένα
χαρακτηριστικό του, ως προς το οποίο έχει μέσο μ και τυπική απόκλιση σ. Τότε αν πάρουμε όλα τα
δείγματα του πληθυσμού μεγέθους ν<Ν, η κατανομή των μέσων όλων των δειγμάτων είναι κανονική
με μέσο μ και τυπική απόκλιση
σ
ν
.
Για παράδειγμα ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα πακέτο 100.000 μετοχών με μέση αξία 3€ και τυπική
απόκλιση σ=1€. Αν πάρουμε ένα δείγμα μεγέθους 100 μετοχών τότε δεν γνωρίζουμε πόσο κοντά
είναι ο μέσος του δείγματος με τον μέσο του πληθυσμού μ, αλλά γνωρίζουμε ότι η κατανομή των
μέσων όλων των δυνατών δειγμάτων μεγέθους 100 θα δώσει μέσο 3€ και τυπική απόκλιση 0,1€. Το
θεώρημα αυτό όπως θα δούμε παρακάτω αποτελεί τη βάση της εκτιμητικής στατιστικής.
Ο τρίτος μεγάλος της παρέας των Γάλλων Μαθηματικών είναι ο Adrien-Marie
Legendre (1752-1833). Η πιο σημαντική συνεισφορά του στο κομμάτι
μαθηματικών που εξετάζουμε είναι η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων
«méthode des moindres carrés». Τη μέθοδο αυτή την δημοσίευσε ως
παράρτημα το 1806 σε βιβλίο που διαπραγματευόταν τις τροχιές των κομητών.
Τι λέει όμως η μέθοδος αυτή;

31. Απίθανες Ιστορίες
Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 23
Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε μία σχέση εξάρτησης ανάμεσα σε δύο μεταβλητές y
(εξαρτημένη μεταβλητή ) και x (ανεξάρτητη μεταβλητή) που περιγράφουν ένα φαινόμενο. Το μόνο
που γνωρίζουμε είναι μία σειρά από πειραματικές τιμές των μεγεθών. Αποτυπώνουμε τα ζεύγη (x,y)
των τιμών αυτών σε σύστημα συντεταγμένων και ο στόχος είναι να προσδιορίσουμε την μορφή της
άγνωστης μαθηματικής σχέσης y=f(x) που ταιριάζει καλύτερα στα πειραματικά δεδομένα μας. Από
την φύση του νέφους των σημείων (x,y) που έχουμε μπορούμε να εικάσουμε την φύση της
μαθηματικής σχέσης.
Έτσι μπορεί να είναι …
γραμμική του τύπου y ax b
= + ,
εκθετική του τύπου b
y ax
= ,
πολυωνυμική του τύπου n
o 1 n
y a a x ... a x
= + + + ,
λογαριθμική του τύπου y a b lnx
= +  .
Η εύρεση των άγνωστων συντελεστών γίνεται απαιτώντας το άθροισμα των τετραγώνων των
αποκλίσεων (των εκτιμώμενων τιμών μέσω της συνάρτησης που υποθέτουμε ότι ισχύει και των
τιμών που έχουμε μέσω των πειραματικών παρατηρήσεων μας) να γίνεται ελάχιστο.
Ο Legendre χρησιμοποίησε την μέθοδο στη προσπάθεια του να ορίσει τη νέα μονάδα μήκους. Στην
περίοδο της Γαλλικής Επανάστασης ως ένα μέτρο ορίστηκε το
1
40.000.000
της περιφέρειας της
γης. Αλλά πόσο είναι η περιφέρεια της γης; Ας σημειώσουμε ότι ήταν γνωστό ότι το σχήμα της γης
δεν ήταν σφαιρικό οπότε η μέθοδος μέτρησης κατά Ερατοσθένη δεν ήτο πλέον αποδεκτή.
Το 1750 κοντά στην Ρώμη ο μαθηματικός Ruggero
Boscovich εκτελεί μία σειρά μετρήσεων του μήκους
μεσημβρινών που αντιστοιχούν σε μία μοίρα
γεωγραφικού πλάτους. Έτσι αποτυπώνει μια σειρά
ζευγών (x,y) - x σε μοίρες γεωγραφικού πλάτους και
y το μήκος του αντίστοιχου τόξου κατά μήκος του
μεσημβρινού. Για παράδειγμα η μελέτη του
Boscovich θα κατέληγε σε ένα σχήμα όπως το
διπλανό, όπου …η ευθεία γραμμή αντιπροσωπεύει
την προσέγγιση των ελαχίστων τετραγώνων για τα μετρούμενα δεδομένα, επιτρέποντας στον
μαθηματικό να προβλέψει τα μήκη τόξων σε άλλα γεωγραφικά πλάτη και έτσι να υπολογίσει το
σχήμα της Γης.

32. Απίθανες Ιστορίες
Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 24
"Η ζωή είναι καλή μόνο για δύο πράγματα: να κάνεις μαθηματικά και να
τα διδάσκεις." S.D.Poisson
Ο επόμενος μαθηματικός της παρέας των Γάλλων Μαθηματικών είναι ο
Simeon Denis Poisson (1781-1840). Εργάστηκε σε πολλούς τομείς , στις
μερικές διαφορικές εξισώσεις, στον λογισμό των μεταβολών, στην αναλυτική
μηχανική, στον ηλεκτρισμό και μαγνητισμό, στη θερμοδυναμική αλλά για τις
ανάγκες της εργασίας θα αναφερθούμε στην κατανομή που πήρε το όνομά
του. Την κατανομή Poisson.
Πρώτη αναφορά της κατανομής γίνεται στο έργο του « Recherches sur la
probabilité des jugements en matière criminelle et en matière
civile »(1837). Η κατανομή Poisson χρησιμοποιείται για την εκτίμηση της
πιθανότητας εμφάνισης ενός συγκεκριμένου γεγονότος που συμβαίνει κατά τη διάρκεια μιας
συγκεκριμένης χρονικής περιόδου .
Ο τύπος της πιθανότητας κατανομής Poisson είναι:
x
λ λ
P(X x) e
x!
−
= =  όπου λ η μέση πιθανότητα πραγματοποίησης του ενδεχομένου που έχουμε
εμπειρικά από τις παρατηρήσεις μας
Για να χρησιμοποιήσουμε την κατανομή Poisson θα πρέπει :
1. Έχουμε να κάνουμε με ένα πρόβλημα μέτρησης του αριθμού εμφάνισης ενός συγκεκριμένου
γεγονότος σε ένα δεδομένο χρονικό διάστημα.
2. Τα γεγονότα συμβαίνουν τυχαία και ανεξάρτητα. Αυτόσημαίνει ότι η εμφάνιση ενός συμβάντος
δεν επηρεάζει ένα άλλο συμβάν.
3. Η πιθανότητα να συμβεί ένα συμβάν είναι η ίδια σε όλο το χρονικό διάστημα.
Παρακάτω θα αναφερθούμε στην εφαρμογή της κατανομής Poisson που έγινε από τον Ladislaus
Josephovich Bortkiewicz (1868-1931) Ρώσο Οικονομολόγο και Στατιστικολόγο και αναφερόταν στον
αριθμό των στρατιωτών του Πρωσικού στρατού που σκοτώθηκαν κατά λάθος από κλωτσιά αλόγου.
Από δεδομένα 20 ετών ο Bortkiewicz γνώριζε ότι από 200 περιπτώσεις ατυχημάτων με άλογα
υπήρχαν 122 θανατηφόρα ατυχήματα. Δηλαδή από τα δεδομένα είχαμε
122
λ 0,61
200
= = . Θα
μπορούσαμε να προβλέψουμε με ασφάλεια την πιθανότητα θανατηφόρων ατυχημάτων x για
οποιαδήποτε τιμή του x;

33. Απίθανες Ιστορίες
Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 25
Χρησιμοποιώντας την τιμή λ=0,61, ο Bortkiewicz εφάρμοσε τον τύπο Poisson για να προβλέψει την
πιθανότητα αριθμού θανάτου, x , με x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 και συγχρόνως υπολόγισε και τον αριθμό
των ατυχημάτων αν είχαμε θεωρητικώς 200 συνολικά ατυχήματα. Οι υπολογισμοί παρουσιάζονται
στον παρακάτω πίνακα. Ακολούθως παρατήρησε ότι ο εκτιμώμενος αριθμός ατυχημάτων (τρίτη
στήλη) με τον αντίστοιχο αριθμό ατυχημάτων που είχε στη διάθεσή του από τις παρατηρήσεις των
20 ετών ( τέταρτη στήλη) που διέθετε συνέπιπταν !
Αυτό που έδειξε είναι ότι ο αριθμός των στρατιωτών που σκοτώθηκαν από κλωτσιά αλόγου
ακολουθεί την κατανομή Poisson, οπότε με βάση την κατανομή μπορούν να εξαχθούν ασφαλή
συμπεράσματα για μελλοντικά γεγονότα. Επίσης επειδή τα γεγονότα στη κατανομή είναι τυχαία και
ανεξάρτητα θα πρέπει και τα πραγματικά συμβάντα να θεωρηθούν ως τυχαία.
Ακολούθως θα μελετήσουμε μία άλλη Απίθανη ιστορία που πραγματοποιείται στο Λονδίνο στα
μέσα του 1940 όταν οι Γερμανικοί πύραυλοι σκορπούσαν τον τρόμο στην Βρετανική πρωτεύουσα.
Με βάση κάποιες παρατηρήσεις εκείνη την εποχή, ορισμένες περιοχές χτυπήθηκαν πιο συχνά από
άλλες. O βρετανικός στρατός ήθελε να επιβεβαιώσει εάν οι στόχοι είχαν επιλεγεί ή ο βομβαρδισμός
είχε γίνει τυχαία.
Τότε ανέλαβε δράση ο R.D.Clarke στατιστικολόγος. Αφού χώρισε την περιοχή που βομβαρδιζόταν με
ένα πλέγμα (grid) 576 τετραγώνων μέτρησε τον συνολικό αριθμό βομβών, που ήταν 538.
Εργαζόμενος παρόμοια όπως στο προηγούμενο παράδειγμα υπέθεσε ότι οι πύραυλοι έπεσαν τυχαία
και εφάρμοσε για
538
λ 0,934
576
= = την κατανομή Poisson καταλήγοντας σε συμπεράσματα που
παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα.
Αριθμοί
θανάτων (x)
Πιθανότητα
Ρ(Χ=x)
Αριθμός
ατυχημάτων
Αριθμός
καταγεγραμμένων
ατυχημάτων
0 0,5434 108,68 109
1 0,3315 66,3 65
2 0,1011 20,22 22
3 0,0205 4,1 3
4 0,0032 0,64 1
5 0,0004 0,08 0
6 0,0001 0,02 0

34. Απίθανες Ιστορίες
Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 26
Αυτό που παρατήρησε ο
Clark είναι ότι οι συχνότητες
χτυπημάτων ακολουθούν
την κατανομή Poisson.
Οπότε η επιλογή των
σημείων βομβαρδισμού
έγινε τυχαία και όχι από
κάποιο σχεδιασμό.
Δίνοντας συγχρόνως και
ένα στατιστικό εργαλείο
χρήσιμο για τον στρατηγικό
σχεδιασμό της βρετανικής
αεράμυνας.
Κλείνοντας την σύντομη αναφορά μας στην Γαλλική σχολή θα αναφερθούμε σε ένα Μαθηματικό
της περιόδου που είναι γνωστός όχι για την έρευνα του στο χώρο των πιθανοτήτων και της
στατιστικής αλλά για ένα πρόβλημα που έχει το όνομά του.
Πρόκειται για τον Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon (1707-1788) και το πρόβλημα είναι το
πρόβλημα της βελόνας (Buffon's needle problem - 1777)
Υποθέτουμε ότι έχουμε ένα χαρτί με γραμμές που απέχουν μεταξύ τους ας πούμε μήκος 1cm και
μία βελόνα που και αυτή έχει μήκος 1cm . Ρίχνουμε από ένα ύψος την βελόνα. Ποια η πιθανότητα
η βελόνα να τέμνει κάποια από τις γραμμές του τετραδίου. (Στη γενίκευσή του το πρόβλημα
υποθέτει ότι το μήκος της βελόνας είναι l και η απόσταση των γραμμών d με l<d)
Ονομάζουμε d την απόσταση του μέσου της
βελόνας από την πλησιέστερη γραμμή και θ τη
γωνία με την οποία πέφτει τυχαία η βελόνα με
θ [0,π]
 . Στο σχηματιζόμενο ορθογώνιο τρίγωνο
του διπλανού σχήματος με απλή τριγωνομετρία
υπολογίζουμε ότι η (κατακόρυφη) κάθετος πλευρά
του είναι ίση με
1
ημθ
2
 . Η βελόνα θα τέμνει μία
από τις γραμμές αν
1
d ημθ
2
 (1) . Πότε θα συμβαίνει αυτό;
Αριθμός
χτυπημάτων
(x)
Πιθανότητα
Ρ(Χ=χ)
Εκτιμώμενος
αριθμός
τετραγώνων στο
πλέγμα με x
χτυπήματα
Πραγματικός
αριθμός
τετραγώνων
στο πλέγμα με x
χτυπήματα
0 0,39298 226,74 229
1 0,36704 211,39 211
2 0,17141 98,54 93
3 0,05337 30,62 35
4 0,01246 7,14 7
Από 5 και
πάνω
0,00233 1,57 1

35. Απίθανες Ιστορίες
Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 27
Σχεδιάζουμε την συνάρτηση
1
y ημθ
2
= με θ [0,π]
 .
Γραφικά η λύση της (1) εκφράζεται από το εμβαδόν που περικλείεται από την γραφική παράσταση
της συνάρτησης και τον άξονα x’x.
Το οποίο είναι
π
π
0
0
1 1
Ε ημθdθ [ συνθ] 1
2 2
= = − =
 και επομένως η πιθανότητα να συμβεί κάτι τέτοιο
είναι :
Ε 1 2
Ρ 0,6366197
Εμβαδόν ορθογωνίου 0,5 π π
= = = 

(Το πρόβλημα στην περίπτωση όπου η απόσταση των γραμμών είναι d και το μήκος της βελόνας l η
τιμή της πιθανότητας είναι
2 l
Ρ
d π

=

)
Για το πρόβλημα αυτό πρέπει να τονίσουμε ότι συναντάμε για πρώτη φορά τον δειγματικό χώρο και
το ενδεχόμενο του πειράματος τύχης να εκφράζονται γεωμετρικά ως εμβαδά, επίσης παρατηρείστε,
πως στον προσδιορισμό της πιθανότητας, υπεισέρχεται η σταθερά «π»!
Η εμφάνιση της σταθεράς «π» στο πρόβλημα της βελόνας οδήγησε τον Ιταλό Μαθηματικό Mario
Lazzarini το 1901 να εκτελέσει το εξής πείραμα …
Σε ένα χαρτί με γραμμές πέταξε 3.550 φορές μία βελόνα που ο λόγος l/d ήταν 3/5 και μέτρησε ότι η
βελόνα τέμνει μια γραμμή 1356 φορές. Με τα δεδομένα αυτά κατέληξε στο συμπέρασμα
2 l 1356 2 3 21300 355
Ρ π 3,1415929204
π d 3550 π 5 6780 113

=  =   = = 

Αντί της ακριβούς τιμής του «π» που είναι 3,1415926536
Αγαπητοί αναγνώστες δεν έχετε παρά να πειραματιστείτε και εσείς αν
έχετε υπομονή για να προσδιορίσετε την σταθερά π …

36. Απίθανες Ιστορίες
Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 28
Η αντιστροφή …
Στη συνέχεια θα ξεκινήσουμε με μία διαπίστωση …
«η πιθανότητα να υπάρχουν σύννεφα, δεδομένου ότι βρέχει δεν είναι η ίδια με την πιθανότητα
να βρέχει, δεδομένου ότι υπάρχουν σύννεφα »
Αν σας μπέρδεψα ας μιλήσουμε πρώτα για τον Thomas Bayes (1701–1761) και το περίφημο
θεώρημά του …
Ο Thomas Bayes ήταν Άγγλος φιλόσοφος και στατιστικολόγος. Δεν ήταν
επαγγελματίας μαθηματικός και το θεώρημα στο οποίο θα αναφερθούμε
δεν το δημοσίευσε ποτέ. Το γνωρίσαμε σε ένα πρόβλημα «αντίστροφης
πιθανότητας» που παρουσιάστηκε από τον μαθηματικό Richard Price
(1723-1791) στην Βασιλική Εταιρεία του Λονδίνου το1763 μετά τον θάνατο
του Bayes.
Με σύγχρονο συμβολισμό διατυπώνεται ως εξής :
Ρ(Β / Α) Ρ(Α) Ρ(Β / Α) Ρ(Α)
Ρ(Α / Β)
Ρ(Β) Ρ(Β / Α) Ρ(Α) Ρ(Β / Α') Ρ(Α')
 
= =
 + 
Όπου Ρ(Α) και Ρ(Β) οι πιθανότητες των ενδεχομένων Α και Β και Ρ(Α/Β) η πιθανότητα να
πραγματοποιείται το ενδεχόμενο Α, έχοντας δεδομένο ότι το ενδεχόμενο Β πραγματοποιείται και
Ρ(Β/Α) το αντίθετο …
Ας δούμε μερικά παραδείγματα.
Το τμήμα στατιστικής επεξεργασίας δεδομένων μιας κλινικής ηπατικών νοσημάτων έχει καταγράψει
ότι για τα ενδεχόμενα :
Α «ο ασθενής έχει ηπατικό πρόβλημα» και Β «ο ασθενής είναι αλκοολικός» οι πιθανότητες είναι
Ρ(Α)=0,1 και Ρ(Β)=0,05
Επίσης μεταξύ των ασθενών με διαπιστωμένα ηπατικά προβλήματα 7 στους 100 ήταν αλκοολικοί,
άρα Ρ(Β/Α)=0,07
Το ερώτημα είναι ποια είναι η πιθανότητα ένας αλκοολικός ασθενής να έχει ηπατικά προβλήματα ;
Αναζητούμε την πιθανότητα Ρ(Α/Β) με την βοήθεια του θεωρήματος του Bayes έχουμε ότι :
Ρ(Β / Α) Ρ(Α) 0,07 0,1
Ρ(Α / Β) 0,14
Ρ(Β) 0,05
 
= = =

37. Απίθανες Ιστορίες
Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 29
Ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα που το συναντάμε χωρίς να το ξέρουμε σχεδόν καθημερινά όταν
κοιτάμε τα email μας.
Τα spam είναι τα ανεπιθύμητα emails. Κάθε υπηρεσία ηλεκτρονικού ταχυδρομείου έχει αναπτύξει
λογισμικά εργαλεία με τα οποία φιλτράρουν από τα εισερχόμενα emails τα spam. Το φιλτράρισμα
γίνεται εντοπίζοντας λέξεις κλειδιά που λόγω του καταγεγραμμένου ιστορικού μαρτυρούν ότι το
email στο οποίο εμφανίζονται οι συγκεκριμένες λέξεις πρόκειται για ανεπιθύμητη αλληλογραφία.
Υποθέτουμε ότι μετά από έρευνες έχει διαπιστωθεί ότι στα 3000 μηνύματα που φθάνουν
καθημερινά σε ένα mail server τα 2000 είναι spam. Από αυτά τα 250 περιέχουν την λέξη
«προσφορά», ενώ από τα 1000 κανονικά email περιέχουν την λέξη «προσφορά» τα 5. Η υπηρεσία
έχει αναπτύξει λογισμικό με το οποίο όταν διαπιστωθεί η ύπαρξη της λέξης «προσφορά» το μήνυμα
χαρακτηρίζεται ως ανεπιθύμητο. Να βρείτε ποια η πιθανότητα ένα μήνυμα που λαμβάνουμε και
περιέχει τη λέξη «προσφορά» είναι πράγματι spam.
Ας μελετήσουμε το διπλανό διάγραμμα …
Σε αυτό αποτυπώνεται ότι :
το ενδεχόμενο S«το email είναι spam» έχει
πιθανότητα P(S)=2/3
ενώ το S’«το email δεν είναι spam» έχει
πιθανότητα P(S’)=1/3
επίσης το ενδεχόμενο Offer/S«το email περιέχει τη
λέξη offer ενώ είναι spam» έχει πιθανότητα
P(O/S)=0,125
και το ενδεχόμενο
Offer/S’«περιέχει τη λέξη offer ενώ δεν είναι
spam» έχει πιθανότητα P(O/S’)=0,005
Αναζητούμε την πιθανότητα Ρ(S/O), σύμφωνα με τον νόμο του Bayes θα ισχύει ότι
P(O / S) P(S)
P(S / O)
P(O)

= , όπου P(O) P(O / S) P(S) P(O / S') P(S')
=  + 
Σύμφωνα με τα δεδομένα μας έχουμε ότι
2 1
P(O) 0,125 0,005 0,085
3 3
=  +  = και τελικά
2
0,125
3
P(O / S) 0,98
0,085

= =
Άρα η πιθανότητα ένα μήνυμα να περιέχει τη λέξη offer ενώ είναι spam είναι 98%.

38. Απίθανες Ιστορίες
Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 30
Μετρήσεις και σφάλματα …
Βρισκόμαστε το 413 π.Χ. . Οι Πλαταιές πολιορκούνται από τους Λακεδαιμονίους. Πριν την μεγάλη
επίθεση έπρεπε να μετρηθούν τα τείχη της πόλης ώστε να φτιαχτούν κατάλληλες σκάλες για την
αναρρίχηση των στρατιωτών. Ο Θουκυδίδης αναφέρει ότι αυτό έγινε από τους επιτιθέμενους
μετρώντας τον αριθμό των σειρών από τούβλα που είχαν τα τείχη από διαφορετικούς στρατιώτες.
Η επικρατούσα τιμή χρησιμοποιήθηκε ως μέτρο ώστε πολλαπλασιάζοντας το με το ύψος του κάθε
τούβλου να είναι δυνατή η εύρεση του ύψους των τειχών.
Πολύ αργότερα το 1570 ο αστρονόμος Tycho Brahe (1546-1601)
προσπαθεί να εκτιμήσει θέσεις και αποστάσεις αστέρων και πλανητών.
Οι μετρήσεις χονδροειδής με τη βοήθεια του τηλεσκοπίου. Όσο και να
προσπαθήσει ποτέ δεν καταλήγει στο ίδιο αποτέλεσμα. Τι κάνει ; Μετρά
και ξαναμετρά και τελικά χρησιμοποιεί τον αριθμητικό μέσο όρο των
τιμών για να μειώσει τα πιθανά σφάλμα στις μετρήσεις των αποστάσεων
μεταξύ των αστεριών και να φτιάξει τους αστρικούς χάρτες του.
Η ιδέα λοιπόν της χρησιμοποίησης στατιστικών μεθόδων για τον υπολογισμό μεγάλων αποστάσεων
δεν είναι καινούργια αλλά ο Μαθηματικός στον οποίο θα αναφερθούμε μετέτρεψε την επεξεργασία
των παρατηρήσεων καιτην αντιμετώπιση των σφαλμάτων των όποιων μετρήσεων από ένα πρακτικό
εργαλείο σε μία συνεπή μαθηματική θεωρία που οι πιθανότητες είναι στο επίκεντρό της.
Μιλάμε φυσικά για τον πρίγκιπα των Μαθηματικών - Princeps
mathematicorum (κορυφαίος των Μαθηματικών) τον Γερμανό Johann Carl
Friedrich Gauss (1777-1855). Δεν υπάρχει τομέας της μαθηματικής
επιστήμης που ο Gauss δεν έχει παράγει αξιόλογο έργο. Στην μελέτη μας
αυτή όμως θα σταθούμε σε μία απίθανη ιστορία, αυτή του προσδιορισμού
της τροχιάς του πλανήτη Δήμητρα το 1801.

39. Απίθανες Ιστορίες
Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ σελ. 31
Τότε ήταν που ο Ιταλός αστρονόμος Giuseppe Piazzi (1746-1826) ανακάλυψε τον νάνο πλανήτη
(πρόκειται για αστεροειδή) τον οποίο παρακολουθούσε για περισσότερο από ένα μήνα ή 3 περίπου
μοίρες στον νυχτερινό ουρανό. Μετά η Δήμητρα εξαφανίστηκε πίσω από τον Ήλιο. Πότε και που θα
εμφανιζόταν ξανά; Τα δεδομένα που είχε συλλέξει από τις παρατηρήσεις του αντιστοιχούσαν στο
1% της τροχιάς του πλανήτη. Μαθηματικά εργαλεία που μπορούσαν να υπολογίσουν την εξίσωση
της τροχιάς έχοντας γνωστό μόνο το 1% της καμπύλης δεν υπήρχαν. Η Δήμητρα είχε μάλλον χαθεί.
Σύμφωνα με τον νόμο του Titius-Bode ( Το όνομα οφείλεται στους Γερμανούς αστρονόμους Johann
Daniel Titius και Johann Elert Bode ) η απόσταση α των πλανητών απότον Ήλιο (στο δικό μας Ηλιακό
σύστημα) ακολουθεί την σχέση m
α 0,4 0,3 2
= +  με m { ,0,1
,2,3,3,4,5,6,7,8}
 − . Όπου α η
απόσταση του μεγάλου ημιάξονα μετρούμενη με αστρονομικές μονάδες, δηλαδή την απόσταση Γης
και Ήλιου. Όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα για τους πλανήτες Ερμή ως και Ουρανό ο νόμος
ισχύει αλλά μάλλον από σύμπτωση.
Σύμφωνα με τον νόμο αυτό στο διάστημα μεταξύ Ερμή και Δία θα έπρεπε να υπήρχε ένας 10ος
πλανήτης ο οποίος πιθανόν να καταστράφηκε. Στρέφοντας την παρατήρηση στο σημείο αυτό η
ύπαρξη της Δήμητρας επιβεβαίωνε την εικασία. Στην πραγματικότητα όμως δεν ήταν παρά ένας
μεγάλος αστεροειδής ένας από τους πολλούς αστεροειδείς που υπάρχουν σε εκείνη την γειτονιά
του ηλιακού συστήματός μας.
Όπως ήδη έχουμε αναφέρει τα δεδομένα των παρατηρήσεων των 42 ημερών που ήταν ορατή η
Δήμητρα ήταν πολύ λίγα. Οι αστρονόμοι της εποχής δεν μπορούσαν να κάνουν τίποτε. Ακόμα και ο
μεγάλος Laplace πίστευε ότι το πρόβλημα του εντοπισμού της Δήμητρας ήταν αδύνατο να λυθεί.
Τότε στην ιστορία μας υπεισέρχεται ο Gauss …
Γνώριζε τα καταγεγραμμένα δεδομένα υπόκεινται σε σφάλματα . Οπότε αναρωτήθηκε ποια θα ήταν
η καλύτερη μαθηματική περιγραφή των τυχαίων σφαλμάτων μέτρησης μεταξύ της αληθινής και
παρατηρούμενης θέσης του πλανήτη;