Recommended
Recommended
More Related Content
What's hot
What's hot (20)
Similar to ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΑΙΧΝΙΔΙΑ.pdf
Similar to ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΑΙΧΝΙΔΙΑ.pdf (20)
More from ssuser96a7452
Recently uploaded
Recently uploaded (20)
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΑΙΧΝΙΔΙΑ.pdf
- 3. Περιεχόμενα Εισαγωγή Pythagorea σελ. 1 Engare σελ. 8 One touch drawing σελ. 12 Maze puzzles σελ. 19 Tower of Hanoi σελ. 25 Chess σελ. 31 Abstract strategy games σελ. 37 Go σελ. 44 2D puzzles with polyominoes σελ. 46 3D puzzles σελ. 55 Game of life σελ. 59 Hexagon games σελ. 64 Mancala σελ. 68 Mastermind σελ. 70 Numerical puzzles σελ. 77 Peg solitaire σελ. 83 Pente σελ. 85 Rubik’s cube σελ. 87 Sam Loyd puzzles σελ. 92 Sudoku σελ. 97 Tangram σελ. 106 Disentanglement puzzles σελ. 110 Βιβλιογραφία σελ. 116
- 5. Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΑΙΧΝΙΔΙΑ Αν διαβάσουμε ιστορία των μαθηματικών θα δούμε ότι παράλληλα με τις μεγάλες ανακαλύψεις μία σειρά από παιχνίδια και παζλ κάνουν την εμφάνισή τους. Παιχνίδια που αναπτύσσουν την λογική – μαθηματική σκέψη αλλά και δεξιότητες επίλυσης προβλήματος, της εφαρμογής αλλά και ανάπτυξης ενός αλγορίθμου. Συγχρόνως επειδή πολλά από αυτά είναι ομαδικά αναπτύσσουν και αξίες όπως της συνεργασίας της ομαδικότητας αλλά και του ανταγωνισμού. Υπάρχουν παιχνίδια όπου όλοι παραδέχονται ότι έχουν ένα μαθηματικό υπόβαθρο όπως το σκάκι αλλά υπάρχουν και άλλα που αν μπεις στη λογική να «σπάσεις» το παιχνίδι, δηλαδή να βρεις την στρατηγική που το επιλύει πάντα τότε θα χρησιμοποιήσεις μαθηματικά. Στο βιβλίο που κρατάτε περιγράφονται παιχνίδια που τα περισσότερα από αυτά τα ξέρουμε και έχουμε παίξει. Συγχρόνως αναλύονται σε ένα βαθμό τα κρυμμένα μαθηματικά αλλά και ιστορίες που έχουν να κάνουν με κάποια μεγάλη στιγμή της εξέλιξης των μαθηματικών. Πρωταγωνιστές στις ιστορίες είναι ονόματα, όπως Αρχιμήδης , Euler, Hamilton κ.α. Στόχος του βιβλίου είναι να αποτελέσει μία εναλλακτική μαθηματική δραστηριότητα στην δευτεροβάθμια εκπαίδευση. Τι εννοώ, φανταστείτε μία τάξη που παίζει ένα από τα παιχνίδια που το βιβλίο περιγράφει. Τι θα συμβεί, φωνές, ενθουσιασμός, χάος … Τι το πιο ζωντανό και υγειές σε μία τάξη όπου δωδεκάχρονα τα έχεις οκτώ ώρες κλεισμένα και αναγκασμένα να κάθονται, ενώ εσύ ο δάσκαλος τριάντα-σαράντα χρονών στην καλύτερη των περιπτώσεων, γιατί συνήθως είναι πενήντα και εξήντα, να είσαι όρθιος.
- 6. Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΑΙΧΝΙΔΙΑ Το να κερδίσεις σε ένα παιχνίδι μπορεί να είναι τυχαίο μπορεί να είναι και προϊόν λαθεμένων κινήσεων του αντιπάλου. Εδώ εξετάζουμε και προσπαθούμε να βρούμε την βέλτιστη στρατηγική επίλυσης του παιχνιδιού. Τα παιδιά θα ανακαλύψουν τα μαθηματικά ως μέτρηση, ως συμβολισμό, ως ένα γεωμετρικό σχήμα, ως αλγόριθμο. Σε συνεργασία καθηγητές των Μαθηματικών και της Πληροφορικής διδάσκουν τους μαθητές τους, κώδικα ανάπτυξης του παιχνιδιού. Τι το πιο όμορφο μία δραστηριότητα παιγνιώδης όπου μαθητές και καθηγητές διαφορετικών ειδικοτήτων συνεργάζονται! Συγχρόνως μαθαίνουμε Ιστορία, Μαθηματικά, Πληροφορική, εξασκούμε το λεξιλόγιο μας στην μητρική αλλά και σε άλλη γλώσσα. Αναπτύσσουμε δεξιότητες έρευνας, διότι το ψάξιμο στο διαδίκτυο είναι απαραίτητη διαδικασία, αλλά και δεξιότητες παρουσίασης αφού τα όποια αποτελέσματα πρέπει να τα επικοινωνήσουμε με τα υπόλοιπα μέλη της εκπαιδευτικής κοινότητας ή να τα παρουσιάσουμε στο πλαίσιο μιας ημερίδας ή ενός συνεδρίου. Το πιο σημαντικό, μαθαίνουμε να δουλεύουμε ως ομάδα. Η συνεργασία διαφορετικών ανθρώπων τόσο ηλικιακά αλλά και γνωστικά αποτελεί πρόκληση, είναι αγωγή συμπεριφοράς στον πραγματικό κόσμο που θα ζήσει ο εκπαιδευόμενος. Αν υπάρχει φαντασία, τα πάντα μπορούν να συμβούν από μία τέτοια ενασχόληση. Μπορεί η ομάδα να φτιάξει το δικό της παιχνίδι είτε κλασικό είτε ηλεκτρονικό, να προγραμματίσει το δικό της ρομπότ που να παίζει το παιχνίδι που προηγουμένως «σπάσαμε», να λειτουργήσει ως πολλαπλασιαστής – δάσκαλος και στα άλλα μέλη του σχολείου ή άλλων σχολείων, να γνωρίσει
- 7. Γ. ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΑΙΧΝΙΔΙΑ επαγγελματίες και να αναπτυχθεί μία άτυπη δράση επαγγελματικού προσανατολισμού. Το πιο σημαντικό από όλα θα παίξουμε και συγχρόνως μπορεί και να μάθουμε! Τα παιχνίδια που διαπραγματεύομαι χωρίζονται σε 22 ενότητες. Ο χωρισμός έγινε με βάση το «γήπεδο» διεξαγωγής του παιχνιδιού, με το αν είναι παζλ και τι διαστάσεων, με το αν είναι ηλεκτρονικό ή συμβατικό, με το πόσοι είναι οι παίκτες και το πόσο γνωστό είναι. Είναι προφανές ότι ο χωρισμός – ομαδοποίηση είναι σχετική. Το αν πέτυχα να σας ανάψω εκείνη τη μικρή φλόγα της περιέργειας που λέγεται «δαίμονας» θα φανεί με το αν ξεφυλλίσετε ή καλύτερα αν μελετήσετε το βιβλίο. Γνωρίζοντας εκ των προτέρων ότι μελετώ σημαίνει σημειώνω , τσακίζω, γεμίζω τα περιθώρια με ερωτήσεις και σημειώματα που πιθανόν κάποια άλλη στιγμή εσείς πια, ψάξετε και ανακαλύψετε νέα παιχνίδια νέες προτάσεις δημιουργικής ενασχόλησης με το πιο όμορφο έχει δημιουργήσει ο άνθρωπος τον λόγο και τα μαθηματικά.
- 8. 1 Γ. Λαγουδάκος Pythagorea Πρόκειται για ένα Γεωμετρικό παιχνίδι που ο σκοπός είναι να λύσεις τα προβλήματα που υπάρχουν στις 27 πίστες. Τα θέματα που συναντάμε στις διάφορες πίστες καλύπτουν ένα μεγάλο μέρος της διδακτέας ύλης Γυμνασίου και Λυκείου. Υπάρχουν θέματα του αναφέρονται στις παράλληλες, στα παραλληλόγραμμα, στα ισοσκελή τρίγωνα, στην συμμετρία, στις γωνίες, στον κύκλο, στο Πυθαγόρειο θεώρημα, στα εμβαδά κ.α. Το παιχνίδι μπορεί να το κατεβάσει κάποιος ελεύθερα στο κινητό του τρέχει σε περιβάλλον Android αλλά και σε iOS. Επειδή το παιχνίδι είναι στα Αγγλικά ο χρήστης εξοικειώνεται με την Αγγλική μαθηματική ορολογία. Σε κάθε εφαρμογή υπάρχει η δυνατότητα – αν πατήσεις το ερωτηματικό που εμφανίζεται – να σου δοθούν ως βοήθεια οι διάφοροι ορισμοί – στα Αγγλικά – των βασικών εννοιών που το συγκεκριμένο πρόβλημα ασχολείται. Η κλασική μορφή του κάθε «φύλλου εργασίας» παρουσιάζεται στην διπλανή εικόνα. Όταν το θέμα λυθεί εμφανίζεται το ζητούμενο σημείο, ευθεία, τμήμα, σχήμα, κατασκευασμένο με κίτρινο χρώμα. Η επιφάνεια του παιχνιδιού είναι ένα ορθογώνιο πλέγμα grid που σχηματίζει 6Χ6=36 τετράγωνα κελιά και 7Χ7=49 σημεία-κορυφές.
- 9. 2 Γ. Λαγουδάκος Για κατασκευάσεις ένα τμήμα ή μία ευθεία δεν έχεις παρά να ενώσεις δύο από αυτά τα 49 σημεία. Εκτός από τα σημεία του πλέγματος μπορούμε να ορίσουμε ένα σημείο και ως σημείο τομής δύο τμημάτων ή δύο ευθειών. Το πλέγμα είναι μοναδιαίο άρα η κατακόρυφη ή η οριζόντια απόσταση δύο διαδοχικών κορυφών του πλέγματος είναι ίση με 1. Η επιλογή να λύνονται όλα τα θέματα με τη βοήθεια του πλέγματος – Grid είναι αυτό που κάνει το Pythagorea τόσο χρήσιμο εκπαιδευτικό εργαλείο. Διότι στο πλέγμα μπορούμε να εργαστούμε με κλασική Ευκλείδεια γεωμετρία αλλά και με Αναλυτική Γεωμετρία. Είναι ένα παιχνίδι που παίζεται από μικρούς αλλά και μεγάλους ! Ας δούμε μερικά παραδείγματα …
- 10. 3 Γ. Λαγουδάκος
- 11. 4 Γ. Λαγουδάκος Εκτός από ένα καλό εκπαιδευτικό παιχνίδι μπορούμε εμείς οι δάσκαλοι των μαθηματικών σε Γυμνάσιο και Λύκειο να το δούμε και ως μία τράπεζα θεμάτων με ερωτήσεις που ξεφεύγουν από τις συνηθισμένες. Ας δούμε μερικά παραδείγματα … Άσκηση Γ Γυμνασίου Δίνονται δύο ορθογώνια – όπως στο σχήμα. Να κατασκευασθεί μία ευθεία που να χωρίζει τα δύο ορθογώνια σε σχήματα με ίσο εμβαδόν. Η κατασκευή μας πρέπει να παίρνει υπόψιν της τον περιορισμό που θέτει εξ αρχής το παιχνίδι, δηλαδή μία ευθεία ορίζεται από δύο σημεία και ένα σημείο ορίζεται ως κόμβος ή ως σημείο τομής δύο ευθειών. Οι γνώσεις που πρέπει να ανακληθούν από τον μαθητή είναι οι ιδιότητες του κέντρου του ορθογωνίου παραλληλογράμμου και ότι δύο ίσα τρίγωνα είναι και ισεμβαδικά. Μία πιθανή λύση μπορεί να είναι η παρακάτω …
- 12. 5 Γ. Λαγουδάκος Άσκηση Γ Γυμνασίου – Α Λυκείου Να εγγράψουμε σε δεδομένο τετράγωνο ένα άλλο τετράγωνο του οποίου δίνεται η κορυφή Α (με τον περιορισμό που θέτει εξ αρχής το παιχνίδι δηλαδή μία ευθεία ορίζεται από δύο σημεία και ένα σημείο ορίζεται ως κόμβος ή ως σημείο τομής δύο ευθειών). Η λύση από μέρους του μαθητή χρειάζεται κάποια φαντασία αλλά μοιάζει με άσκηση του σχολικού του βιβλίου. Βασίζεται ουσιαστικά στην ισότητα τριγώνων και στο ορισμό – ιδιότητες του τετραγώνου. Αυτό που εννοούμε είναι να θεωρήσει ο μαθητής τα κατάλληλα σημεία πάνω στις πλευρές του τετραγώνου. Στη συνέχεια συγκρίνοντας ορθογώνια τρίγωνα να αποδείξει ότι το σχηματιζόμενο (κόκκινο) τετράπλευρο έχει όλες τις πλευρές του ίσες. Μετά πρέπει να δείξει ότι είναι και τετράγωνο. Το οποίο μπορεί να δειχθεί με γωνίες αλλά και με τη βοήθεια του Πυθαγόρειου θεωρήματος προς τιμή της ονομασίας του παιχνιδιού !
- 13. 6 Γ. Λαγουδάκος Άσκηση Α’ Λυκείου Να βρεθεί το κέντρο βάρους του τριγώνου, (με τον περιορισμό που θέτει εξ αρχής το παιχνίδι δηλαδή μία ευθεία ορίζεται από δύο σημεία και ένα σημείο ορίζεται ως κόμβος ή ως σημείο τομής δύο ευθειών). Εδώ οι γνώσεις που πρέπει ο μαθητής να ανακαλέσει είναι ότι το κέντρο βάρους είναι το σημείο τομής των διαμέσων. Οπότε για να προσδιορίσουμε το κέντρο βάρους ενός τριγώνου χρειαζόμαστε δύο διαμέσους. Καθώς επίσης να γνωρίζουμε τις βασικές ιδιότητες των παραλληλογράμμων. Μία λύση είναι να βρεθούν τα μέσα των δύο πλευρών του τριγώνου ως σημεία τομής διαγώνιων των δύο ορθογωνίων παραλληλογράμμων ( μπλε και κόκκινο). Φέρνοντας τις διαμέσους ορίζουμε και το κέντρο βάρους του τριγώνου. Η μορφή που θα έχει η λύση μας στο περιβάλλον του παιχνιδιού θα είναι κάπως έτσι …
- 14. 7 Γ. Λαγουδάκος Άσκηση Β’ Λυκείου Τ Θεωρούμε κατάλληλο ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων οπότε ο κύκλος έχει εξίσωση 2 2 x y 1 + = και το σημείο Α έχει συντεταγμένες (2,-1) Το πρόβλημα ανάγεται στο κλασικό «να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων που άγονται από το Α προς τον κύκλο C». Η δυσκολία εδώ βρίσκεται στο ότι την εφαπτομένη ΑΓ πρέπει να την ορίσουμε με την βοήθεια των κόμβων που υπάρχουν στο πλέγμα. Πως μπορούμε να την κατασκευάσουμε; Αν ο μαθητής βρει την εξίσωση της πολικής ΒΓ θα διαπιστώσει ότι η εξίσωση της είναι η y=2x-1. Μία ευθεία που διέρχεται από το Β ( κόμβος) και έχει κλίση 2 μπορούμε να την φέρουμε. Σημειώνουμε το σημείο τομής Γ της πολικής και του κύκλου. Άρα η δεύτερη εφαπτομένη ΑΓ κατασκευάζεται. Στο διπλανό σχήμα παρουσιάζεται η λύση που εμφανίζεται στο παιχνίδι όταν ακολουθήσουμε τη παραπάνω στρατηγική επίλυσης. Να κατασκευαστούν οι εφαπτόμενες κύκλου που διέρχονται από δεδομένο σημείο Α. ΚΑΛΟ ΠΑΙΧΝΙΔΙ !
- 15. 8 Γ. Λαγουδάκος Engare Ένα γεωμετρικό παιχνίδι από την Περσία ! Designed and developed by Mahdi Bahrami Ο σκοπός του παιχνιδιού είναι να περάσει ο παίκτης 6 πίστες ώστε να του δοθεί η δυνατότητα να «ανοίξουν» οι εφαρμογές με τις οποίες θα είναι σε θέση να σχεδιάσει αραβουργήματα σε διάφορες επιφάνειες. Η λογική του παιχνιδιού είναι να μαντέψει ο παίκτης την γραμμή που αφήνει ως ίχνος ένα κινούμενο σημείο το οποίο βρίσκεται σε σημείο ενός πολύσπαστου εργαλείου σχεδίασης. Ας δούμε μερικές εφαρμογές από τις πίστες όπως και τις δυνατότητες που δίνουν οι σχεδιαστικές εφαρμογές της εφαρμογής. Αρχική οθόνη Δίνει τις επιλογές να ξεκινήσεις ένα νέο παιχνίδι ή να συνεχίσεις από εκεί που έχεις φθάσει … Ακολούθως παρουσιάζεται ένα κλασικό κτήριο ισλαμικής τέχνης όπου πατώντας στα διάφορα τμήματά του – αψίδες πηγαίνεις στις διάφορες πίστες. Η κεντρική αψίδα σε πάει στο στην σχεδιαστική εφαρμογή αραβουργημάτων. Η εφαρμογή ανοίγει προοδευτικά καθώς ο παίκτης λύνει σιγά-σιγά τα προβλήματα κατασκευών που συναντά στις διάφορες πίστες.
- 16. 9 Γ. Λαγουδάκος 1η πίστα Παρουσιάζεται μία σειρά από 8 προκλήσεις ! Για παράδειγμα Παρουσιάζονται δύο τετράγωνα και στο πάνω μέρος της οθόνης μία καμπύλη. Το ζητούμενο είναι σε ποιο σημείο του «πάνω» τετραγώνου πρέπει να τοποθετήσεις ένα σημείο ώστε πέφτοντας το τετράγωνο το σημείο να διαγράφει την καμπύλη αυτή. Άλλο παράδειγμα Παρουσιάζεται ένας κύκλος (ο πορτοκαλί) που κινείται εσωτερικά ενός άλλου. Ποιο σημείο του κινούμενου κύκλου αφήνει ως ίχνος καθώς κινείται, την γραμμή που παρουσιάζεται στο πάνω μέρος της οθόνης. 2η πίστα Παρουσιάζονται 12 προκλήσεις … Για παράδειγμα. Δύο λευκά τετράγωνα κινούνται με κάποιο συγκεκριμένο τρόπο – μοτίβο στην επιφάνεια. Σε ποιο σημείο και σε ποια θέση θα πρέπει να τοποθετήσεις το κινούμενο σημείο ώστε να αφήνει ως ίχνος τη γραμμή που εμφανίζεται στο πάνω μέρος της οθόνης. Παρόμοιας λογικής είναι και οι πίστες που ακολουθούν. Το ωραίο στην εφαρμογή είναι ότι καθώς περνάς – λύνεις τις προκλήσεις, ανοίγουν τμηματικά και τα εργαλεία σχεδίασης αραβουργημάτων.
- 17. 10 Γ. Λαγουδάκος Πρόκειται για 6 εργαλεία σχεδίασης ροζετών σε επίπεδες επιφάνειες αλλά και σε τρισδιάστατους τρούλους. Ας δούμε τα εργαλεία αυτά … Το πρώτο σχεδιαστικό εργαλείο είναι ένα παιχνίδι για τη συμμετρία. Μπορείς να σχεδιάσεις τριών ειδών αντικείμενα σε μορφή κυλίνδρου σε μορφή κώνου και τέλος σε επίπεδη επιφάνεια. Το μοτίβο που εμφανίζεται στην επιφάνεια που θα διαλέξεις παράγεται σε ένα grid πατώντας – χρωματίζοντας τα τετραγωνάκια του. Η τελική σύνθεση μπορεί να αποθηκευτεί καθώς επίσης με τους δρομείς που υπάρχουν να αλλάξει το μέγεθός της. Σου δίνεται επίσης η δυνατότητα να σβήσεις και να ξανασχεδιάσεις καθώς και να κάνεις zoom ώστε να επεξεργαστείς λεπτομέρειες. Το δεύτερο εργαλείο σχεδίασης παράγει στροφές – ροζέτες σε επίπεδη ή τρισδιάστατη σε σχήμα τρούλου επιφάνεια. Οι δρομείς σου δίνουν τη δυνατότητα να «πολλαπλασιάσεις» τις γραμμές που έχεις σχεδιάσει ώστε το τελικό αποτέλεσμα να γίνει πολύ πιο πλούσιο. Και στην εφαρμογή αυτή υπάρχει η δυνατότητα του zoom της διόρθωσης και της αποθήκευσης της εργασίας σου.
- 18. 11 Γ. Λαγουδάκος Με παρόμοιο τρόπο αναπτύσσονται και τα υπόλοιπα σχεδιαστικά εργαλεία . Παρακάτω παρουσιάζω κάποιες δυνατότητες … Κατά τη διάρκεια του παιχνιδιού ακούγεται μουσική που παραπέμπει στη κουλτούρα του αραβικού πολιτισμού Σίγουρα τα αποτελέσματα είναι θεαματικά. Κοστίζει περίπου 7 $ και η αγορά γίνεται ηλεκτρονικά με χρήση πιστωτικής κάρτας. Το παιχνίδι «τρέχει» σε pc σε περιβάλλον Windows ή Mac.
- 19. 12 Γ. Λαγουδάκος One touch drawing Για το συγκεκριμένο παιχνίδι θα ξεκινήσω λίγο ανάποδα, πρώτα θα σας μιλήσω για δύο πολύ όμορφες ιστορίες που αναφέρονται σε δύο σπουδαίους μαθηματικούς και μετά θα αναφερθώ στο παιχνίδι. Ιστορία 1η Οι γέφυρες του Κένιγκσμπεργκ Βρισκόμαστε στον 18ο αιώνα στην πόλη του Königsberg . Μια πόλη που την διέσχιζε ο ποταμός Pregel στον οποίο είχαν χτιστεί 7 γέφυρες για την επικοινωνία των κατοίκων της. Την εποχή εκείνη ήταν διαδεδομένο ένα παιχνίδι ανάμεσα στους κατοίκους, αλλά και στους επισκέπτες της πόλης. Να ξεκινούν από ένα σημείο της πόλης και περνώντας όλες τις γέφυρες μία μόνο φορά να περπατήσουν από τα όμορφα σοκάκια της πόλης και να επιστρέψουν στο σημείο από όπου ξεκίνησαν. Όλες όμως οι προσπάθειες κατέληγαν σε αποτυχία. Τελικά ήταν όντως αδύνατη μια τέτοια διαδρομή ή απλά δεν είχαν βρει την κατάλληλη διαδρομή; Το 1727 ο διάσημος Ελβετός μαθηματικός Leonhard Euler (1707- 1783) εργαζόταν στη Ρωσία προσκεκλημένος της αυτοκράτειρας Μεγάλης Αικατερίνης και πιθανότητα τότε ήταν που άκουσε για πρώτη φορά το «παράδοξο» πρόβλημα των 7 γεφυρών του Königsberg
- 20. 13 Γ. Λαγουδάκος Ο Euler σχεδίασε έναν χάρτη του Königsberg αντικαθιστώντας τις 4 περιοχές γης που συνδέονταν από τις γέφυρες με τέσσερα σημεία, Α,Β,Γ και Δ και τις γέφυρες με γραμμές που ένωναν τα σημεία αυτά. Το πρόβλημα λοιπόν του μοναδικού περιπάτου πάνω από όλες τις γέφυρες (και της μοναδικής λύσης στο πρόβλημα), ισοδυναμούσε με ένα πρόβλημα σχεδίασης στο χαρτί, μιας γραμμής – μονοκονδυλιάς , χωρίς να σηκωθεί το μολύβι από το χαρτί, αλλά και χωρίς να ζωγραφιστεί η ίδια γραμμή δύο φορές. Γιατί όμως ήταν αδύνατη μία τέτοια διαδρομή; O Euler συνειδητοποίησε ότι σε μία εφικτή διαδρομή, κάθε σημείο θα έπρεπε να είχε μία γραμμή να καταλήγει και μία να ξεκινάει από αυτό. Εάν επισκεπτόσουν αυτό το σημείο ξανά, θα έπρεπε να υπήρχε μία νέα γραμμή προς αυτό και από αυτό. Έτσι, θα έπρεπε να υπάρχουν μόνο ζυγοί αριθμοί γραμμών , που να ξεκινούν (καταλήγουν) από κάθε σημείο. Οι μόνες εξαιρέσεις του κανόνα αυτού είναι η αρχή και το τέλος της διαδρομής. Το σημείο εκκίνησης έχει μόνο μία γραμμή, που ξεκινάει από αυτό και το σημείο τερματισμού μία γραμμή που καταλήγει σε αυτό. Έτσι, για να είναι δυνατόν μία διαδρομή να σχεδιαστεί μονοκονδυλιά θα πρέπει , όχι παραπάνω από δύο σημεία – η αρχή και το τέλος – να έχουν μονό αριθμό γραμμών. Αν όμως δούμε τον χάρτη των 7 γεφυρών του Königsberg, κάθε σημείο έχει μονό αριθμό γεφυρών που ξεκινούν ή καταλήγουν σε αυτό. Έτσι η διαδρομή που τόσος κόσμος πάσχιζε να βρει είναι ανέφικτη.
- 21. 14 Γ. Λαγουδάκος Ιστορία 2η Ο Sir William Rowan Hamilton (1805-1865) ήταν Ιρλανδός μαθηματικός και καθηγητής Αστρονομίας στο Trinity College του Δουβλίνου και βασιλικός αστρονόμος της Ιρλανδίας. Εργάστηκε στα καθαρά μαθηματικά αλλά και στη φυσική. Μικρός χαρακτηρίστηκε ως παιδί θαύμα αφού σε ηλικία 7 ετών μιλούσε δώδεκα γλώσσες. Ο ίδιος πάντα θεωρούσε ως έργο ζωής την ανακάλυψη των quaternions το 1843 ως επέκταση των μιγαδικών σαν σημεία από το επίπεδο στον χώρο. Λέγεται ότι στις 16 Οκτωβρίου του 1843 ανακάλυψε πως θα μπορούσε να ορίσει την πράξη του πολλαπλασιασμού μεταξύ των στοιχείων της ομάδας των quaternions.Την ανακάλυψή αυτή την σημείωσε στην γέφυρα του Royal Canal του Δουβλίνου, έγραψε λοιπόν την εξίσωση 2 2 2 i j k i j k 1 = = = = − που ουσιαστικά πρόκειται για τις βασικές ιδιότητες του πολλαπλασιασμού μεταξύ των μοναδιαίων στοιχείων της ομάδας που κατασκεύασε. Σε ότι έχει να κάνει με το θέμα που εξετάζουμε στο βιβλίο αυτό αξίζει να αναφέρουμε ένα παιχνίδι που κατασκεύασε. Πρόκειται για το Icosian Game. To παιχνίδι αυτό εφευρέθηκε το 1857 και πούλησε τα δικαιώματά του για 25 λίρες. Σήμερα σώζονται μόνο τρία κομμάτια από το πρωτότυπο.
- 22. 15 Γ. Λαγουδάκος Το παιχνίδι σε μία άλλη εκδοχή του λέγεται και travelers dodecahedron (ταξιδιώτες του δωδεκάεδρου). Η πίστα στην οποία παίζουμε το παιχνίδι μπορεί να είναι δυνητικά ένα δωδεκάεδρο ή μία προβολή του στο επίπεδο που να αποδίδει τις κορυφές του στερεού ως 20 σημεία στο επίπεδο και τις ακμές του ως ευθύγραμμα τμήματα. Παίζεται από δύο παίκτες ο πρώτος τοποθετεί 5 πιόνια σε 5 θέσεις που αντιπροσωπεύουν 5 κορυφές του δωδεκαέδρου και ο δεύτερος παίκτης καλείται να τοποθετήσει τα υπόλοιπα 15 πιόνια ώστε να προσδιοριστεί μία κυκλική διαδρομή που να περνά από όλες τις κορυφές του δωδεκαέδρου από μία φορά και να καταλήγει στο σημείο εκκίνησης. Δεδομένου ότι έχουμε 20 κορυφές, είναι σαφές ότι υπάρχουν δυνητικά 20 × 19 = 380 διαφορετικά διαδρομές. Πολλές από αυτές είναι ίδιες λόγω των συμμετριών που υπάρχουν οπότε τελικά οι δυνατές διαδρομές μειώνονται σημαντικά σε 26.
- 23. 16 Γ. Λαγουδάκος Αντίστοιχα παιχνίδια μπορούν να αναπτυχθούν και για τα άλλα Πλατωνικά στερεά σε αντίστοιχες πίστες - προβολές στο επίπεδο, αλλά και σε πίστες που το χαρακτηριστικό τους είναι η συμμετρία. Διηγηθήκαμε τις δύο προηγούμενες ιστορίες για να αναφερθούμε σε ένα τομέα των μαθηματικών που θεμελιώθηκε από τους μαθηματικούς Euler και Hamilton. Πρόκειται για την θεωρία γράφων. Ας θεωρήσουμε στο φύλλο του χαρτιού μας ένα σύνολο από σημεία – τα οποία θα τα λέμε κόμβους (vertices) που συνδέονται με γραμμές (όχι κατά ανάγκη όλοι οι κόμβοι μεταξύ τους) – τις οποίες θα τις λέμε ακμές ( edge), Ως γράφο ή γράφημα ορίζουμε μία σειρά από κόμβους και ακμές που εναλλάσσονται μεταξύ τους. Υπάρχουν οι προσανατολισμένοι ή κατευθυνόμενοι γράφοι όπου οι ακμές απεικονίζονται διανυσματικά , οι σταθμισμένοι γράφοι αν η σύνδεση των ακμών έχουν κάποια αξία – βαρύτητα, e5 e3 e1 e6 e4 e2 v4 v3 v2 v5 v1 e7 e8
- 24. 17 Γ. Λαγουδάκος οι συνεκτικοί γράφοι αν δεν υπάρχει κάποιο μέρος του που είναι αποκομμένο από το υπόλοιπο σώμα σε αντιδιαστολή με τους μη συνεκτικούς γράφους. Το ερώτημα που τίθεται είναι : μπορούμε να σχεδιάσουμε τον γράφο ξεκινώντας από έναν κόμβο και περνώντας από όλες τις ακμές από μία φορά να καταλήξουμε από εκεί που αρχίσαμε ή σε κάποια άλλον κόμβο, χωρίς όμως να αφήσουμε καμιά ακμή έξω από τη διαδρομή μας; Προς τιμή του μεγάλου μαθηματικού Euler που ασχολήθηκε και τελικά έλυσε παρόμοια προβλήματα ονομάζουμε : Διαδρομή Euler (Euler circuit/cycle ) μία χάραξη που χρησιμοποιεί όλες τις ακμές από μία φορά και η αρχή και το τέλος της είναι ό ίδιος κόμβος. Ένας γράφος που περιέχει μία διαδρομή Euler λέγεται γράφος του Euler (Eulerian graph) . Πρόκειται για την γνωστή σε όλους μας μονοκονδυλιά. Μονοπάτι Euler ( Euler path) μία χάραξη που χρησιμοποιεί όλες τις ακμές από μία φορά αλλά η αρχή και το τέλος είναι διαφορετικός κόμβος. Ένας γράφος που περιέχει ένα μονοπάτι Euler λέγεται semi-Eulerian graph Αν όμως θέλουμε να περάσουμε από όλους τους κόμβους χωρίς κατά ανάγκη να χρησιμοποιήσουμε και όλες τις ακμές τότε προς τιμή του Hamilton θα μιλάμε Διαδρομή και Μονοπάτι Hamilton. Το παιχνίδι που σας καλώ να ανακαλύψετε και να παίξετε είναι το : One touch drawing Πρόκειται για ένα παιχνίδι που ο στόχος είναι με μονοκονδυλιά να ενώσεις όλα τα σημεία του σχήματος που η κάθε πίστα παρουσιάζει χωρίς όμως να περάσεις δύο ή περισσότερες φορές από την ίδια γραμμή που ενώνει τα σημεία – κόμβους.
- 25. 18 Γ. Λαγουδάκος Αν εφαρμόσει κανείς τις βασικές αρχές του Euler οι πίστες τελειώνουν η μία μετά την άλλη… Είναι ευκαιρία για σένα αναγνώστη να δοκιμάσεις τις δυνάμεις σου στο παιχνίδι αυτό, αφού η τεχνολογία δίνει τη δυνατότητα να δυσκολέψει το αρχικό βασικό πρόβλημα και να μας ανοίξει νέους δρόμους σκέψεις και αναζήτησης. Έτσι για να προκαλέσω δίνω μερικές από τις πίστες του παιχνιδιού, μερικές εύκολες άλλες πιο δύσκολες… Όπως οι δύο διπλανές … Η αυτή …όπου το βελάκι σου επιβάλει μία συγκεκριμένη φορά κίνησης ή αυτές τις δύο, όπου το κόκκινο χρώμα επιβάλει στον παίκτη να περάσει δύο φορές από τη συγκεκριμένη διαδρομή… Αν κατόρθωσα να προκαλέσω το ενδιαφέρον σου , δεν έχεις παρά να αναζητήσεις το παιχνίδι και να ασχοληθείς. Ποιος ξέρει , πιθανόν να μπορέσεις σαν άλλος Euler να βρεις έναν γενικό τρόπο επίλυσης οποιασδήποτε διαδρομής όσο ευφάνταστης δυσκολίας και αν έχει. Καλή επιτυχία …
- 26. 19 Γ. Λαγουδάκος Maze puzzles Η πλέον γνωστή αναφορά στη λέξη λαβύρινθος γίνεται στην Ελληνική μυθολογία ( ιστορία;) όπου περιγράφεται η θανάτωση του Μινώταυρου από τον Θησέα. Ο Βασιλάς της Κρήτης Μίνωας για να τιμωρήσει τους Αθηναίους επειδή σκότωσαν τον γιο του, ανάγκασε μετά από πόλεμο να του στέλνουν κάθε χρόνο 7 νέους και 7 νέες για να γίνονται βορά του μυθικού τέρατος Μινώταυρου. Ο πρίγκηπας της Αθήνας Θησέας γιος του Αιγαία πήρε τη θέση ενός από τους νέους με σκοπό να αντιμετωπίσει το τέρας. Η θυσία των νέων γινόταν πάντα σε ένα χώρο δαιδαλώδες γεμάτο αδιέξοδα και σπήλαια όπου όποιος έμπαινε εκεί δεν μπορούσε να βγει οπότε ήταν έρμαιο της βούλησης του Μινώταυρου. Η κόρη του Μίνωα, Αριάδνη αγάπησε τον Θησέα και του αποκάλυψε έναν τρόπο να μπορεί να βρίσκει την έξοδο του Λαβυρίνθου. Απλώς έπρεπε να στερεώσει κατά τη είσοδό του ένα νήμα που εκείνη του έδωσε ( Μίτος της Αριάδνης) και να το ξετυλίγει καθώς εισέρχεται βαθύτερα στο Λαβύρινθο. Ο Θησέας τελικά σκότωσε τον Μινώταυρο, παντρεύτηκε την Αριάδνη και ζήσαν αυτοί καλά και εμείς καλύτερα ! Υπάρχει ένα σχέδιο του λαβυρίνθου σε αρχαίο μινωικό νόμισμα. Το σχέδιο αυτό το συναντάμε σε πολλούς πολιτισμούς σε ολόκληρο τον κόσμο Υπάρχουν σχέδια - λαβύρινθοι που αποτυπώνονται σε τοίχους ή σε πατώματα αλλά και τρισδιάστατα με διάφορα υλικά από πέτρες, ξύλα, ψηφιδωτά ως και φυτά, σε όλον τον κόσμο και διαφόρων χρονικών περιόδων. Μωσαϊκό σε βίλα στην Ρωμαϊκή πόλη Conímbriga στην Πορτογαλία Hemet Maze Stone, ένα προϊστορικό πετρογλυφικό κοντά στη πόλη Hemet της Καλιφόρνια
- 27. 20 Γ. Λαγουδάκος Πέτρινος λαβύρινθος στο νησί Blå Jungfrun , Σουηδία Σκάλισμα που δείχνει πολεμιστή να μπαίνει στο chakravyuha (Λαβύρινθος) - ναός Hoysaleswara , Halebidu , Ινδία Διακοσμητικό σχέδιο τοίχου στον καθεδρικό ναό της Lucca , Ιταλία (12ος-13ος αιώνας) Λαβύρινθος ως διακοσμητικό στοιχείο στον καθεδρικό της πόλης Chartres, Γαλλία (11ος -12ος αιώνας) Λαβύρινθος – κήπος στο Breamore Mizmaze, Hampshire, Αγγλία
- 28. 21 Γ. Λαγουδάκος Το πρώτο ερώτημα που θα προσπαθήσουμε να απαντήσουμε στην σύντομη αναφορά μας είναι πως μπορούμε να επιλύουμε οποιονδήποτε λαβύρινθο. Ο μαθηματικός Leonhard Euler ήταν ένας από τους πρώτους που ασχολήθηκαν μαθηματικά με προβλήματα λαβυρίνθου. Οι λαβύρινθοι που δεν περιέχουν βρόχους (περίκλειστα διαμερίσματα) είναι γνωστοί ως "τυπικοί" ή "τέλειοι" λαβύρινθοι και είναι ισοδύναμοι με ένα δέντρο στη θεωρία γραφημάτων. Έτσι, πολλοί αλγόριθμοι επίλυσης λαβυρίνθου σχετίζονται στενά με τη θεωρία γραφημάτων . Διαισθητικά, αν κάποιος τραβήξει και τεντώσει τα μονοπάτια στο λαβύρινθο με τον σωστό τρόπο, το αποτέλεσμα θα μπορούσε να γίνει να μοιάζει με ένα δέντρο. Ας δούμε το γιατί με ένα παράδειγμα. Στο διπλανό λαβύρινθο ξεκινάμε από την είσοδο και θέλουμε να φθάσουμε στη θέση Μ. Σημειώνουμε με γράμματα κάθε φορά που συναντάμε αδιέξοδο ή διασταύρωση. Δηλαδή έχουμε κάτι σαν το διπλανό σχήμα … Ενώνουμε τις δυνατές διαδρομές σχηματίζοντας έναν γράφο. Τώρα η λύση είναι μία εύκολη υπόθεση. Παρατηρείστε ότι για τον συγκεκριμένο λαβύρινθο υπάρχουν δύο τρόποι για να φθάσει κάποιος στο σημείο στόχο. Ο τρόπος αυτός λειτουργεί να βλέπουμε τον λαβύρινθο από ψηλά τι γίνεται όμως όταν είμαστε μέσα του. Υπάρχει ασφαλής τρόπος να φθάσουμε στο σημείο στόχο;
- 29. 22 Γ. Λαγουδάκος Ένας τρόπος είναι να ακουμπάμε με το ένα χέρι μας δεξί ή αριστερό έναν τοίχο συνεχώς και μετά από μία μακρά διαδρομή θα βρεθούμε στην έξοδο. Ο αλγόριθμός αυτός δεν δουλεύει όταν το σημείο στόχος είναι εσωτερικό σημείο του λαβυρίνθου όπως στο παράδειγμά μας. Άλλος τρόπος είναι να χρησιμοποιήσουμε φιστίκια και πατατάκια ! Μπαίνουμε στον λαβύρινθο, οι φράκτες είναι υψηλοί και όλες οι διαδρομές και τα σημεία διακλαδώσεων φαίνονται ίδια. Τα φιστίκια και τα πατατάκια θα τα χρησιμοποιήσουμε ως δείκτες. Η μέθοδος που θα ακολουθήσουμε λέγεται αλγόριθμος του Trémaux και εφαρμόζεται σε όλους τους τύπους λαβυρίνθων. Κατ’ αρχήν σε κάθε λαβύρινθο υπάρχουν κάποια πολύ χαρακτηριστικά σημεία – κόμβοι. Η αρχή, το τέλος, τα αδιέξοδα και τα σημεία διασταύρωσης . 1ο Καθώς προχωράμε αφήνουμε πίσω μας φιστίκια και 2ο όποτε συναντάμε σημείο διασταύρωσης αφήνουμε ένα πατατάκι. 3ο Όταν φθάσουμε σε αδιέξοδο γυρνάμε πίσω (αφήνοντας μία δεύτερη σειρά από φιστίκια) μέχρι να φθάσουμε στο πρώτο πατατάκι που θα συναντήσουμε. 4ο Εκεί επιλέγουμε διαδρομή που δεν έχει σημειωθεί με φιστίκια. 5ο Κάθε φορά επιλέγουμε δεξιόστροφή ή αριστερόστροφη πορεία. Αν ακολουθήσουμε τις οδηγίες αυτές θα φθάσουμε τελικά στο τέλος του λαβυρίνθου. Ας δούμε τον αλγόριθμο με εικόνα σημειώνοντας τις διαδρομές – ίχνη από φιστίκια με πράσινα και κόκκινα διανύσματα και τα πατατάκια – σημεία διασταύρωσης με μπλε σημεία.
- 30. 23 Γ. Λαγουδάκος Το δεύτερο ερώτημα που θα ασχοληθούμε είναι πως μπορούμε να κατασκευάσουμε τον δικό μας λαβύρινθο. Κάτι σαν τον διπλανό το πλακάκι λαβύρινθο της Βαβυλώνας (πλάκα με αριθμό MS 3194, Νορβηγική Συλλογή Schøyen) Ας ξεκινήσουμε λοιπόν ! Σχεδιάστε ένα ορθογώνιο με αρχή και τέλος σε δύο απέναντι γωνίες. Χωρίστε το σε τρεις περιοχές, με ένα ακόμη άνοιγμα σε κάθε μία περιοχή. Σχεδιάστε μια μεταβλητή διαδρομή από το επάνω αριστερό σημείο εκκίνησης προς τη έξοδο της πρώτης περιοχής. Η διαδρομή χωρίζει την 1η περιοχή σε δύο μέρη. Ανοίγουμε από μία έξοδο στις δύο αυτές περιοχές για να δημιουργήσουμε αδιέξοδες διαδρομές. Συμπληρώνουμε την περιοχή με γραμμές και κενά στην τύχη έτσι και αλλιώς δεν οδηγούν πουθενά! . Συνεχίζουμε την διαδρομή – λύση του λαβυρίνθου μέσα από την 2η περιοχή.
- 31. 24 Γ. Λαγουδάκος Συμπληρώνουμε την 2η περιοχή με αδιέξοδα και κενά, με την ίδια τεχνική όπως δουλέψαμε στο 1ο διαμέρισμα. Συνεχίζουμε την διαδρομή λύση στο 3ο διαμέρισμα μέχρι την έξοδο. Συμπληρώνουμε με αδιέξοδα και κενά … Επιβεβαιώνουμε την λύση. Με λίγη εξάσκηση θα μπορέσετε να φτιάξετε αριστουργήματα όπως τα παρακάτω. Βέβαια υπάρχει και ο πιο εύκολος τρόπος. Να δημιουργήσετε το δικό σας λαβύρινθο στον παρακάτω ιστότοπο http://www.mazegenerator.net/ και μετά να προσπαθήσετε να τον λύσετε.
- 32. 25 Γ. Λαγουδάκος Tower of Hanoi Οι πύργοι του Hanoi είναι ένα λογικό πάζλ που κατασκευάσθηκε το 1883 από τον καθηγητή “Claus”, που στην πραγματικότητα πρόκειται για αναγραμματισμό του ονόματος του κ. Lucas!! Το πάζλ αυτό αποτελείται από τρεις στύλους και μία συλλογή από δίσκους διαφορετικών διαμέτρων, που μπορούν να τοποθετηθούν στους στύλους αυτούς. Το παιχνίδι ξεκινά έχοντας όλους τους δίσκους στο πρώτο στύλο, τοποθετημένους κατά σειρά διαμέτρων με το δίσκο που έχει μεγαλύτερο διάμετρο στη βάση. Ο στόχος του παιχνιδιού είναι να μεταφερθούν όλοι οι δίσκοι από τον πρώτο στύλο στον τελευταίο με την ίδια τοποθέτηση. Επιτρέπεται να μετακινούμε έναν δίσκο κάθε φορά σε όποιον στύλο θέλουμε, με την προϋπόθεση, αν υπάρξουν δύο ή περισσότεροι δίσκοι κάποια φορά σε ένα στύλο αυτοί θα πρέπει να είναι τοποθετημένοι κατά φθίνουσα σειρά σε σχέση με τη διάμετρό τους , συνθήκη που ισχύει πάντα στο παιχνίδι αυτό. Η πρόκληση του παιχνιδιού συνιστάται στο να το λύσουμε με όσο το δυνατό λιγότερες κινήσεις !!! Για εξάσκηση παίξτε το παιχνίδι στη διεύθυνση : https://marcin-chwedczuk.github.io/assets/apps/hanoi/index.html
- 33. 26 Γ. Λαγουδάκος Ανακαλύπτοντας Μαθηματικά !! Το καλό με τις διαδικτυακές εφαρμογές είναι ότι μπορείς να πειραματιστείς – να δοκιμάσεις. Αν έχουμε 1 μόνο δίσκο ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός κινήσεων ώστε να λυθεί το παιχνίδι; Μα προφανώς 1 κίνηση. Αν έχουμε 2 δίσκους ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός κινήσεων ώστε να λυθεί το παιχνίδι; Μα προφανώς 3 κινήσεις. Αν έχουμε 3 δίσκους ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός κινήσεων ώστε να λυθεί το παιχνίδι; Με λίγη εξάσκηση θα φθάσετε στο άριστο αποτέλεσμα των 7 κινήσεων. Αν έχουμε 4 δίσκους ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός κινήσεων ώστε να λυθεί το παιχνίδι; Εδώ τα πράγματα δυσκολεύουν, αλλά το ρεκόρ είναι 15 κινήσεις. Ανακαλύπτετε κάποια κρυμμένη μαθηματική σχέση ανάμεσα στους όρους της ακολουθίας 1 , 3 , 7 , 15 , … Σωστά το μαντέψατε ο κάθε όρος της ακολουθίας προκύπτει διπλασιάζοντας τον προηγούμενο και προσθέτοντας ένα, δηλαδή ισχύει ότι : ν ν 1 h 2 h 1 − = + . Βρείτε έναν γενικό τύπο που να αποδίδει τους όρους της ακολουθίας. Υπάρ χ ει μί α ομάδα μον αχ ών σ το μακ ρι ν ό Θι βέτ που σ το μον ασ τή ρ ι του ς υ πάρχ ει έν α τέτοι ο πάζλ που αποτελ εί ται από 64 χ ρ υσ ού ς δί σκ ου ς κ αι 3 δι αμαν τέν ι ου ς σ τύ λ ου ς. Σύ μφων α με το γ εν ι κ ό τύπο που θ α βρ εί τε υ πάρ χ ουν 64 2 1 − κ ι ν ή σ ει ς γι α ν α λ υ θ εί όσ ο το δυ ν ατό γρ ηγ ορ ότερ α έν α τέτοι ο πάζλ . Οι μον αχ οί σ υ ν εχ ώς, από τότε που φτι άχ τηκ ε το μον ασ τήρ ι , κ άν ουν κ αι από μί α κ ί ν ησ η κ άθ ε έν α δευ τερ όλ επτο. Υπάρ χ ει έν ας θ ρ ύλ ος που λ έει ότι όταν το πάζλ λ υθ εί τότε θ α έρ θ ει κ αι το τέλ ος του κ όσ μου . Μη ν αν ησ υ χ εί τε όμως σύ μφων α με του ς υ πολ ογ ισ μού ς μου χ ρ ει άζον ται 583.344.214.028 χ ρ όν ι α γ ι α ν α γ ίν ει κ άτι τέτοι ο κ αι το μον ασ τή ρι εί ν αι μόλ ι ς 1500 ετών …
- 34. 27 Γ. Λαγουδάκος Από τον αναδρομικό τύπο στον γενικό όρο: n n 1 n 2 2 n 2 2 n 3 3 2 n 3 n 1 n 2 2 1 n n 1 n 2 2 n h 2h 1 2(2h 1) 1 2 h 2 1 2 (2h 1) 2 1 2 h 2 2 1 ... 2 h 2 ... 2 2 1 2 1 2 2 ... 2 2 1 2 1 2 1 − − − − − − − − − = + = + + = + + = + + + = + + + = = + + + + + = − = + + + + + = = − − Υπάρχει στρατηγική – αλγόριθμος με βάση τον οποίο επιτυγχάνουμε την βέλτιστη λύση του παιχνιδιού για οποιοδήποτε αριθμό δίσκων ; Αν παίξουμε πολλές φορές πιθανόν να φθάσουμε στο σημείο να ανακαλύψουμε διάφορα μοτίβα κινήσεων που θα μας οδηγήσουν στην λύση. Υπάρχουν δύο αλγόριθμοι ο ένας χρησιμοποιεί αναδρομή και ο άλλος επανάληψη. 1. Ο επαναληπτικός αλγόριθμος Καταρχήν ας φανταστούμε τους στύλους να βρίσκονται σε κύκλο και όχι σε ευθεία και ας ορίσουμε τη μετακίνηση ενός δίσκου προς τα δεξιά ως θετική . Τότε ο επαναληπτικός αλγόριθμος συνίσταται στην επανάληψη των εξής δύο εντολών. Εντολή 1η : μετακίνησε το μικρότερο δίσκο μία θέση προς τα δεξιά. Εντολή 2η : κάνε την επόμενη επιτρεπτή κίνηση. Ο αλγόριθμός σταματά όταν όλοι οι δίσκοι έχουν μεταφερθεί σε άλλον στύλο από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο.
- 35. 28 Γ. Λαγουδάκος Παράδειγμα Για 2 δίσκους : 1 1 2 2 1 1 2 2 → → → − − − − − − Για 3 δίσκους : 1 2 2 1 1 3 3 1 3 1 2 3 2 3 2 1 2 2 1 3 2 1 3 3 → → → → → − − − − − → → − − − Για 4 δίσκους : 1 2 2 3 3 3 3 1 1 4 4 1 4 1 2 4 2 4 3 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 4 3 2 4 3 4 3 3 4 3 4 2 1 1 1 3 3 3 2 3 4 2 3 4 2 4 2 1 4 1 4 1 2 3 4 → → → → → − − − − → → → → → − − − − → → → → → − − − −
- 36. 29 Γ. Λαγουδάκος Θα παρατηρήσετε ότι όταν έχουμε 2 ή 4 δίσκους ο αλγόριθμος συγκεντρώνει τους δίσκους στον 3ο στύλο αν έχουμε όμως 3,5,… δίσκους ο αλγόριθμος τους συγκεντρώνει στον 2ο στύλο. 2. Ο αναδρομικός αλγόριθμος Για τις ανάγκες του αλγορίθμου συμβολίζουμε : με Δν τον ν-ιοστό – μεγαλύτερο - δίσκο και Δ(ν-1,ν-2,…,2,1) όλους τους υπόλοιπους και Α τον αρχικό στύλο, Τ τον τελικό και Β τον ενδιάμεσο βοηθητικό τότε η λογική του αλγορίθμου βασίζεται στην παρακάτω αναδρομική διαδικασία. Εντολή 1η : Μετακίνησε τους (1,2,...,ν 1) Δ − δίσκους από την Αρχική θέση στην Βοηθητική δηλαδή (1,2,...,ν 1),Α (1,2,...,ν 1),Β Δ Δ − − → Εντολή 2η : Μετακίνησε τον Δν δίσκο από την Αρχική θέση στην Τελική δηλαδή ν,Α ν,Τ Δ Δ → Εντολή 3η :Μετακίνησε τους (1,2,...,ν 1) Δ − δίσκους από την Βοηθητική θέση στη Τελική δηλαδή (1,2,...,ν 1),Β (1,2,...,ν 1),Τ Δ Δ − − → Παράδειγμα Για 2 δίσκους : 1,Α 1,Β 2,Α 2,Τ 1,Β 1,Τ Δ Δ Δ Δ Δ Δ → → → λύση σε 3 κινήσεις. Τις 3 αυτές κινήσεις ας τη συμβολίσουμε ως μία με (1,2),Α (1,2),Τ Δ Δ → Για 3 δίσκους : (1,2),Α (1,2),Β 3,Α 3,Τ (1,2),Β (1,2),Τ Δ Δ Δ Δ Δ Δ → → → παρατηρείστε ότι η 1η και η 3η κίνηση περιέχουν το πρόβλημα που αντιμετωπίσαμε των 2 δίσκων (αναδρομή) οπότε η επίτευξη μιας τέτοιας κίνησης εμπεριέχει 3 επιπλέον κινήσεις, άρα συνολικά η λύση του προβλήματος με 3 δίσκους απαιτεί 3+1+3=7 κινήσεις. Ολοκληρωμένη η λύση είναι η εξής :
- 37. 30 Γ. Λαγουδάκος 1,Α 1,Τ 2,Α 2,Β (1,2),Α (1,2),Β 1,Τ 1,Β 3,Α 3,Τ 3,Α 3,Τ 1,Β 1,Α 2,Β 2,Τ (1,2),Β (1,2),Τ 1,Α 1,Τ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ → → → → → → → → → → Για 4 δίσκους : (1,2,3),Α (1,2,3),Β 4,Α 4,Τ (1,2,3),Β (1,2,3),Τ Δ Δ Δ Δ Δ Δ → → → παρατηρείστε ότι το 1ο και το 3ο βήμα εμπεριέχουν το προηγούμενο πρόβλημα – αναδρομή. Αν σημειώσουμε ότι μία τέτοια διαδοχή κινήσεων αποτελείται από 7 κινήσεις τότε αντιλαμβανόμαστε ότι η λύση στη περίπτωση των 4 δίσκων επιτυγχάνεται με 7+1+7=15 κινήσεις. Ας δούμε αναλυτικά τη λύση. 1,Α 1,Β 2,Α 2,Τ 1,Β 1,Τ (1,2),Α (1,2),Τ 3,Α 3,Β (1,2,3),Α (1,2,3),Β 3,Α 3,Β 1,Τ 1,Α (1,2),Τ (1,2),Β 2,Τ 2 4,Α 4,Τ 4,Α 4,Τ (1,2),Β (1,2),Α (1,2,3),Β (1,2,3),Τ 3,Β 3,Τ (1,2),Α (1,2),Τ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ → → → → → → → → → → → → → → → → ,Β 1,Α 1,Β 4,Α 4,Τ 1,Β 1,Τ 2,Β 2,Α 1,Τ 1,Α 3,Β 3,Τ 1,Α 1,Β 2,Α 2,Τ 1,Β 1,Τ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ → → → → → → → → → Για περισσότερες πληροφορίες επισκεφθείτε τα sites … https://www.hackerearth.com/blog/developers/tower-hanoi- recursion-game-algorithm-explained/ http://photodentro.edu.gr/lor/r/8521/1010
- 38. 31 Γ. Λαγουδάκος Chess Το σκάκι προέρχεται από την Ινδία όπου τον 6ο αιώνα υπάρχει το παιχνίδι chaturanga με παρόμοια λογική με το σημερινό σκάκι. Την ίδια περίοδο συναντάμε στην Περσία το chat rang που μετά τη κατάκτηση της Περσίας από τους Άραβες ονομάζεται Shatranj . Η ισλαμική επέκταση φέρνει το παιχνίδι στην Δύση όπου το συναντάμε ως ajedrez στην Ισπανία, xadrez στην Πορτογαλία, ζατρίκιον (zatrikion) στα Ελληνικά. Στην Αγγλία επικράτησε αρχικά η ονομασία shah βασιλιάς, μετέπειτα η ονομασία check και τέλος η σημερινή ονομασία chess . Τα αρχαιότερα τεμάχια σκακιού από ελεφαντόδοντο βρέθηκαν στη Σαμαρκάνδη, στο Ουζμπεκιστάν και χρονολογούνται από το 760 μ.Χ. Το παλαιότερο γνωστό εγχειρίδιο σκακιού ήταν στα αραβικά και χρονολογείται από το 840-850 και γράφτηκε από τον al-Adli ar- Rumi (800-870), με τίτλο Kitab ash-shatranj. Στην Κίνα το σκάκι ονομάζεται xiangqi, εμφανίζεται σε ένα βιβλίο με τίτλο Xuán guaì lù που χρονολογείται περίπου στα 800. Μέχρι το 1000 m.X. το σκάκι έχει εξαπλωθεί σε ολόκληρη την Ευρώπη. Σώζεται ένα χειρόγραφο του 13ου αιώνα το libro de los juegos σχετικά με το shatranj . Περί το 1200, οι κανόνες του shatranj άρχισαν να τροποποιούνται στη νότια Ευρώπη, και γύρω στο 1475, πολλές σημαντικές αλλαγές κατέστησαν το παιχνίδι ουσιαστικά όπως είναι σήμερα γνωστό. Βιβλία για το σκάκι άρχισαν να εμφανίζονται από τον 15ο αιώνα χαρακτηριστικά αναφέρουμε το Repetición de Amores y Arte de Ajedrez εκδόθηκε στη Salamanca το 1497 από τον Luis Ramirez de Lucena.
- 39. 32 Γ. Λαγουδάκος Τον 18ο αιώνα, το κέντρο της ευρωπαϊκής ζωής σκακιού μεταφέρθηκε από τις χώρες της Νότιας Ευρώπης στη Γαλλία. Οι δύο σπουδαιότεροι Γάλλοι δάσκαλοι ήταν ο François-André Danican Philidor , και αργότερα ο Louis- Charles Mahé de La Bourdonnais. Οι χώροι που παιζόταν το σκάκι εκείνη την εποχή ήταν καφενεία σε μεγάλες ευρωπαϊκές πόλεις όπως το Café de la Régence στο Παρίσι και το Divan του Simpson στο Λονδίνο Στον 19ο αιώνα εμφανίστηκαν λέσχες, βιβλία και περιοδικά. Οι εφημερίδες παρουσίαζαν σε καθημερινή βάση προβλήματα για το σκάκι όπου οι Bernhard Horwitz , Josef Kling και ο Samuel Loyd συνέθεσαν μερικά από τα πιο σημαντικά προβλήματα. Το 1843 ο von der Lasa δημοσίευσε το Handbuch des Schachspiels το πρώτο ολοκληρωμένο εγχειρίδιο της θεωρίας του σκακιού . Την περίοδο αυτή αρχίζουν και οι πρώτοι αγώνες. Το πρώτο σύγχρονο τουρνουά σκακιού διοργανώθηκε από τον Howard Staunton , κορυφαίο αγγλικό σκακιστή στο Λονδίνο το 1851 που το κέρδισε ο Γερμανός Adolf Anderssen, ο οποίος χαιρετίστηκε ως ο κορυφαίος σκακιστής. Το 1924 ιδρύθηκε στο Παρίσι η Παγκόσμια Ομοσπονδία Σκακιού (FIDE) και από τότε καθιερώθηκε και ο τίτλος του παγκόσμιου πρωταθλητή στο παιχνίδι αυτό. Στο δεύτερο μισό του 20ου αιώνα εμφανίζονται οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές προγραμματισμένοι να μπορούν να συναγωνιστούν στο παιχνίδι ακόμα και παγκόσμιους πρωταθλητές. Είναι κλασική η μονομαχία ανάμεσα στον παγκόσμιο πρωταθλητή Garry Kasparov και του Η-Υ IBM Deep Blue το 1997 όπου για πρώτη φορά η μηχανή κατόρθωσε να νικήσει τον άνθρωπο Από τότε έχουν εμφανιστεί αρκετές εφαρμογές όπου δίνουν την δυνατότητα να παίξει κάποιος σκάκι με τον υπολογιστή, επιλέγοντας ακόμα και το επίπεδο ανταγωνισμού. Ένα πολύ καλό ντοκιμαντέρ για την ιστορία του σκακιού στην Ελλάδα από το αρχείο της ΕΡΤ παρουσιάζεται στην υπερ- σύνδεση … François-André Danican Philidor Garry Kasparov
- 40. 33 Γ. Λαγουδάκος Το σκάκι παίζεται σε ένα ταμπλό από 8Χ8=64 τετράγωνα. Κάθε παίκτης έχει 16 κομμάτια τον βασιλιά, την βασίλισσα, δύο ιππότες, δύο άλογα, δύο πύργους και 8 στρατιώτες. Ο στόχος του παιχνιδιού είναι να συλληφθεί ο αντίπαλος βασιλιάς. Υπάρχει όμως και η δυνατότητα το παιχνίδι να λήξει ισόπαλο. Οι κινήσεις του κάθε κομματιού είναι : Ο βασιλιάς μπορεί να κινηθεί ένα τετράγωνο προς οποιαδήποτε κατεύθυνση. Ο πύργος μπορεί να μετακινηθεί οριζόντια ή κατακόρυφα απεριόριστα αλλά δεν μπορεί να πηδήσει πάνω από άλλα κομμάτια. Ο αξιωματικός μπορεί να μετακινηθεί διαγώνια απεριόριστα, αλλά δεν μπορεί να πηδήσει πάνω από άλλα κομμάτια. Η βασίλισσα συνδυάζει τις κινήσεις του πύργου και του αξιωματικού, γι’ αυτό είναι και το πολυτιμότερο κομμάτι του παιχνιδιού. Το άλογο μετακινείται κάνοντας το σχήμα “L” δύο τετράγωνα κάθετα και ένα τετράγωνο οριζόντια, ή δύο τετράγωνα οριζόντια και ένα τετράγωνο κατακόρυφα. To άλογο είναι το μόνο κομμάτι που μπορεί να πηδήσει πάνω από άλλα κομμάτια. Ο στρατιώτης μπορεί να προχωρήσει μπροστά ένα τετράγωνο. Στην πρώτη κίνησή του μπορεί να προχωρήσει, αν ο παίκτης θέλει, δύο τετράγωνα. Ο στρατιώτης μπορεί επίσης να κινηθεί και ένα τετράγωνο μπροστά διαγώνια στην περίπτωση όπου υπάρχει αντίπαλο κομμάτι οπότε με την κίνηση αυτή το εξουδετερώνει. Εκτός από το σκάκι που όλοι γνωρίζουμε υπάρχουν και διάφορες παραλλαγές του που ουσιαστικά διαφέρουν ως προς το ταμπλό που εξελίσσεται το παιχνίδι, τους κανόνες, αλλά και τον αριθμό των κομματιών που εμπλέκονται στο παιχνίδι. Παίκτες σκακιού στο Κάιρο Stanisław Chlebowski(1835-1884)
- 41. 34 Γ. Λαγουδάκος Κλασικά μαθηματικά προβλήματα που σχετίζονται με το σκάκι! Independence problems Είναι προβλήματα τοποθέτησης του μέγιστου αριθμού ενός κομματιού π.χ. αξιωματικός, άλογο, βασίλισσα στην σκακιέρα ώστε κανένα κομμάτι να μη απειλεί το άλλο. Το πιο διάσημο από αυτά τα προβλήματα είναι αυτό των 8 βασιλισσών. Δηλαδή να τοποθετήσουμε το μέγιστο αριθμό από βασίλισσες στη σκακιέρα ώστε καμιά να μην απειλείται από τις υπόλοιπες. Ο μέγιστος αριθμός βασιλισσών σε μια σκακιέρα 8Χ8 είναι 8. Το ερώτημα που γεννιέται είναι σε μία σκακιέρα 10Χ10 ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός; Γενικά σε μία σκακιέρα νΧν ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός; Στα παρακάτω σχήματα δίνονται οι λύσεις στις περιπτώσεις όπου έχουμε βασιλιάδες, αξιωματικούς και βασίλισσες. Domination problems Πρόκειται για προβλήματα όπου το ζητούμενο είναι να τοποθετήσουμε στη σκακιέρα το ελάχιστο δυνατό αριθμό κομματιών (αξιωματικούς, βασίλισσες, άλογα) ώστε όλα τα ελεύθερα τετράγωνα να απειλούνται από τα κομμάτια που έχουμε τοποθετήσει. Τα παρακάτω σχήματα δίνουν την λύση του προβλήματος για βασιλιάδες, βασίλισσες, άλογα και αξιωματικούς.
- 42. 35 Γ. Λαγουδάκος Knight’s Tour Στο πρόβλημα αυτό τοποθετούμε ένα άλογο σε ένα οποιαδήποτε τετράγωνο στη σκακιέρα και εκτελώντας την χαρακτηριστική L κίνησή του πρέπει να περάσει από όλα τα τετράγωνα της σκακιέρας από μία μόνη φορά.O μαθηματικός Alexander Chernov το 2014 υπολόγισε 19.591.828.170.979.904 λύσεις με το τετράγωνο εκκίνησης και το τετράγωνο κατάληξης να είναι διαφορετικά ( ανοικτός βρόγχος) Το παζλ πιστεύεται ότι ανακαλύφθηκε τον 9ο αιώνα στο Κασμίρ από ένα ποιητή με το όνομα Rudrata. Σε ένα επικό ποίημα 1008 στίχων με τίτλο Paduka Sahasram περιγράφεται μία κίνηση του ήρωα σε ένα χώρο που προσομοιάζεται με σκακιέρα 4Χ8. Η κίνηση που περιγράφεται αποδίδεται στο διπλανό σχήμα. Στη Δύση το πρόβλημα ήρθε ως μετάφραση από τα Αραβικά του χειρόγραφου «Nuzhat al-Arbab al-'aqulfi'sh- shatranj αal- manqul» (Η απόλαυση της ευφυίας , μια περιγραφή του σκακιού) που αποδίδεται στον επαγγελματία Άραβα παίκτη του σκακιού al- Adli ar-Rumi , που έζησε στη Βαγδάτη γύρω στο 840 μ.Χ. Ένας από τους πρώτους μαθηματικούς που διερεύνησαν το πρόβλημα ήταν ο Leonhard Euler στα τέλη του 1770 γι’ αυτό και το πρόβλημα αναφέρεται και ως Euler Chess & Knight.Στο διπλανό σχήμα παρουσιάζεται η λύση που έδωσε ο Euler. Πρόκειται για μία ανοικτή διαδρομή. Στον Euler αποδίδεται και η επίλυση του προβλήματος και σε μικρότερες σκακιέρες, όπως αυτές που παρουσιάζονται παρακάτω.
- 43. 36 Γ. Λαγουδάκος Στο διπλανό σχήμα δίνουμε μία κλειστή διαδρομή λύση του προβλήματος. Ο πρώτος αλγόριθμος επίλυσης ονομάστηκε Αλγόριθμος του Warnsdorf από τον μαθηματικό που τον ανέπτυξε το 1823. Στο video που δίνουμε μπορείτε να δείτε έναν αλγόριθμό επίλυσης του Puzzle με βάση το οποίο λύσαμε το puzzle. Οι βασικές αρχές του είναι να ξεκινά κάποιος από μία γωνία και να κινείται δεξιόστροφα προσπαθώντας πάντα να είναι κοντά στις πλευρές της τετράγωνης σκακιέρας. Με αφορμή το Knight’s Tour έχει φτιαχτεί το παιχνίδι Joust. Παίζεται σε μία σκακιέρα 8Χ8 από δύο παίκτες που έχουν από ένα άλογο διαφορετικού χρώματος. Τοποθετούν τα δύο άλογα σε δύο γωνίες και κινούνται εναλλάξ. Η κίνηση που κάνουν τα άλογα είναι η χαρακτηριστική L κίνηση. Όταν ένα άλογο αφήσει ένα τετράγωνο για να κινηθεί, το τετράγωνο αυτό γίνεται «καμένο» και δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί πλέον στο παιχνίδι από κανένα παίκτη. Καθώς τα δύο άλογα κινούνται, ολοένα και περισσότερα τετράγωνα «καίγονται» άρα λιγότερα τετράγωνα παραμένουν διαθέσιμα για κίνηση. Τελικά όταν κάποιος παίκτης δεν μπορεί να κινήσει το άλογο του χάνει. Σε Ολυμπιάδα των Μαθηματικών δόθηκε το εξής θέμα. Η Αλίκη και ο Βασίλης παίζουν το εξής παιχνίδι. Σε μία σκακιέρα 8Χ8 η Αλίκη τοποθετεί σε κάποιο τετράγωνο ένα άλογο. Με τη σειρά του ο Βασίλης μετακινεί το άλογο εκτελώντας την χαρακτηριστική L κίνηση σε μία θέση. Κάθε φορά όταν μετακινείται το άλογο το τετράγωνο που αφήνει θεωρείται καμένο και δεν επιτρέπεται κατά τη διάρκεια του παιχνιδιού να βάλουμε το άλογο σε αυτό. Οι δύο παίκτες παίζουν εναλλάξ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει σίγουρη στρατηγική νίκης για τον Βασίλη. Ποια είναι αυτή; Στο video που δίνουμε θα καταλάβετε τη στρατηγική.
- 44. 37 Γ. Λαγουδάκος Abstract strategy games Παιχνίδια αφηρημένης στρατηγικής 1η κατηγορία παιχνίδια σαν την γνωστή μας ντάμα … Η ντάμα (Jeu de dames) είναι επιτραπέζιο παιχνίδι στρατηγικής με πιόνια, που παίζεται με δύο παίκτες. Προέρχεται από την Ανατολή, έγινε γνωστή πρώτα στη Γαλλία την εποχή των μεγάλων σταυροφοριών και αργότερα σε όλη την Ευρώπη. Οι παίκτες τοποθετούν τα 20 πιόνια τους στα μαύρα τετράγωνα του ταμπλό ώστε οι δύο ομάδες να βρίσκονται αντιμέτωπες και παίζουν εναλλάξ έχοντας την δυνατότητα να προωθήσουν κάθε πούλι μπροστά διαγώνια δεξιά ή αριστερά μία μόνο θέση. Τα πούλια δεν μπορούν να μετακινηθούν πλάγια ή πίσω. Ο κάθε παίκτης μπορεί να "αιχμαλωτίσει" το πιόνι του αντιπάλου και να το βγάλει έξω όταν έχει την δυνατότητα να το πηδήξει. Αν υπάρχει η δυνατότητα μπορεί ένας παίκτης να κάνει πολλές συνεχόμενες κινήσεις πηδώντας διαδοχικά όσα πούλια του αντιπάλου μπορεί. Ένα πιόνι γίνεται ντάμα όταν φθάσει στην τελευταία γραμμή (πρώτη του αντιπάλου). Σε αυτήν την περίπτωση η ντάμα πλέον μπορεί να μετακινείται όσες θέσεις θέλει διαγωνίως (εμπρός και πίσω). Στο πούλι που μετατράπηκε σε ντάμα, τοποθετούμε ένα δεύτερο πούλι πάνω του, ώστε να ξεχωρίζει από τα υπόλοιπα. Το παιχνίδι τελειώνει όταν ένας από τους δύο παίκτες δεν έχει κανένα πούλι. Παραλλαγές της ντάμας υπάρχουν πολλές. Ενδεικτικά αναφέρουμε το Alquerque ή το Qirkat (Αραβία) Το παιχνίδι ήρθε στην Ευρώπη όταν οι Μαυριτανοί εισέβαλαν στην Ισπανία. Το παιχνίδι αυτό έφθασε στο Μεξικό από τους Ισπανούς και εξαπλώθηκε σε όλη την Αμερική.
- 45. 38 Γ. Λαγουδάκος 2η κατηγορία παιχνίδια που παίζονται σε ένα γήπεδο που μοιάζει με αυτό της γνωστής μας τρίλιζα Η τρίλιζα είναι αρχαίο παιχνίδι, ένα τέτοιο παιχνίδι έχει βρεθεί χαραγμένο στο ναό του Karnak στην Αίγυπτο και χρονολογείται από το 1400 π.χ. Ένα άλλο έχει βρεθεί σε νεκροταφείο της εποχής του Χαλκού στην Ιρλανδία, αλλά και στην Ακρόπολη της Αθήνας. Η τρίλιζα έφτασε στο απόγειο της δημοτικότητάς της στην Ευρώπη την Αναγέννηση. Ήταν γνωστό στους αρχαίους Έλληνες με την ονομασία «τριόδιν» και σήμερα λέγεται και εννιάδα ή εννιάρα ή εννιάπετρο. Το ταμπλό της τρίλιζας αποτελείται από τρία τετράγωνα το ένα μέσα στο άλλο και τέσσερις κάθετες, που ενώνουν τα μέσα των πλευρών των τετραγώνων. Ο κάθε παίκτης παίρνει εννέα πιόνια διαφορετικού χρώματος ή είδους από αυτά του αντιπάλου και το παιχνίδι ξεκινά με κλήρο για το ποιος θα παίξει πρώτος, ο οποίος έχει την δυνατότητα να επιλέξει τη θέση στην οποία θα τοποθετήσει το αρχικό πιόνι του. Μετά εναλλάξ γίνεται η (κατάλληλη) τοποθέτηση και των εννέα πεσσών των δύο παικτών. Μετά την αρχική τοποθέτηση ο κάθε παίκτης μπορεί να μετακινήσει κάποιο πιόνι του σε διπλανή κενή θέση. Αυτός που θα κατορθώσει να τοποθετήσει τρία πιόνια σε ευθεία γραμμή – να σχηματίσει μία τρίλιζα – έχει τη δυνατότητα να αφαιρέσει ένα πιόνι – ένα πεσσό – του αντιπάλου. Χαμένος τελικά ήταν ο παίκτης που μένει με δύο μόνο πιόνια. Υπάρχει και η απλούστερη εκδοχή που παίζεται σε ένα ταμπλό σαν το διπλανό. Το παιχνίδι αυτό είναι αρκετά διαδεδομένο σε ολόκληρο τον κόσμο με πολλές ονομασίες όπως Achi (Γκάνα) ή tic-tac-toe ή Nine Holes στην Ευρώπη και Αμερική. είναι ένα παιχνίδι ευθυγράμμισης. Κάθε παίκτης έχει τέσσερεις χάντρες διαφορετικού χρώματος για να πέσει. Στην αρχή οι παίκτες εναλλάξ τοποθετούν τις χάντρες στα σημεία του ταμπλό μετά κάθε παίκτης μπορεί να κινηθεί κατά μήκος μιας γραμμής σε ένα διπλανό κενό σημείο. Νικητής είναι ο πρώτος παίκτης που θα δημιουργήσει τριάδα οριζόντια κάθετα ή διαγώνια.
- 46. 39 Γ. Λαγουδάκος Σε όλο τον κόσμο υπάρχουν παιχνίδια «κυνηγιού» που παίζονται σε παρόμοια με την τρίλιζα ταμπλό και παρόμοιους κανόνες. Ενδεικτικά αναφέρουμε το Adugo . Είναι ένα παιχνίδι που προέρχεται από τη φυλή Bororo στην περιοχή Pantanal της Βραζιλίας . Στο παιχνίδι ο Jaguar ("adugo", στη γλώσσα του Bororo) κυνηγά τα σκυλιά. Το παιχνίδι είναι επίσης γνωστό ως Jaguar and Dogs . Στόχος του παιχνιδιού Ο ιαγουάρος προσπαθεί να συλλάβει τουλάχιστον πέντε σκυλιά για να σταματήσει το παιχνίδι ενώ τα σκυλιά προσπαθούν να περιβάλλουν τον ιαγουάρο και να μπλοκάρουν τις κινήσεις του. Κανόνες του παιχνιδιού Στην αρχή, ο ιαγουάρος βρίσκεται στο κεντρικό σημείο του γηπέδου και όλα τα σκυλιά στο μισό γήπεδο όπως στο διπλανό σχήμα. Ο ένας παίκτης θα είναι ο Ιαγουάρος και ο άλλος τα σκυλιά. Ο ιαγουάρος κινείται πρώτα. Οι παίκτες εναλλάσσονται και κινούν ή τον ιαγουάρο ή ένα σκυλί την φορά μετακινώντας τις χάντρες ένα διάστημα τη φορά πάνω στο μοτίβο που υπάρχει στο γήπεδο. Ο ιαγουάρος και τα σκυλιά μετακινούνται ένα διάστημα κάθε φορά ακολουθώντας το μοτίβο στο ταμπλό. Ο Ιαγουάρος συλλαμβάνει ένα σκυλί αν υπάρχει η δυνατότητα να το πηδήξει και να βρεθεί σε ελεύθερο σημείο. Τα σκυλιά δεν μπορούν να συλλάβουν. 3η κατηγορία παιχνίδια σαν το γνωστό μας Stratego Stratego είναι ένα επιτραπέζιο παιχνίδι για δύο παίκτες σε ένα ταμπλό 10Χ10 . Κάθε παίκτης έχει 40 κομμάτια που αντιπροσωπεύουν μεμονωμένους αξιωματικούς , στρατιώτες , τη σημαία, την βόμβα , τον κατάσκοπο κ.α. Όλη η ατμόσφαιρα παραπέμπει στους Ναπολεόντειους πολέμους. Ο στόχος του παιχνιδιού είναι κάποιος παίκτης να βρει και να συλλάβει τη σημαία του αντιπάλου ή να συλλάβει τόσα πολλά κομμάτια του εχθρού που ο αντίπαλος να μην μπορεί να κάνει άλλες κινήσεις. Το παιχνίδι είναι παραλλαγή του Γαλλικού παιχνιδιού L'Attaque . Βρίσκεται σε παραγωγή στην Ευρώπη από τον Δεύτερο Παγκόσμιο Πόλεμο και
- 47. 40 Γ. Λαγουδάκος τις Ηνωμένες Πολιτείες από το 1961. Δημιουργός του παιχνιδιού είναι ο Jacques Johan Mogendorff. Αρχικά οι εικόνες ήταν εκτυπωμένες σε χαρτί , αργότερα σε ξύλο και τέλος σε πλαστικό. Υπάρχουν πολλοί διαγωνισμοί Stratego σε όλο τον κόσμο. Το παιχνίδι είναι ιδιαίτερα δημοφιλές στις Κάτω Χώρες, τη Γερμανία , την Ελλάδα και το Βέλγιο , όπου διοργανώνονται παγκόσμια και εθνικά πρωταθλήματα. Παρόμοιο παιχνίδι είναι το Κινέζικο Luzhanqi όπου το πεδίο της μάχης περιλαμβάνει δρόμους βουνά και σιδηροδρόμους για ταχεία επίθεση. 4η κατηγορία σαν το γνωστό μας τάβλι Το τάβλι είναι ένα παιχνίδι για δύο παίκτες, παραλλαγή του οποίου είναι το δυτικό τάβλι (backgammon). Κάθε παίκτης κατέχει 15 πούλια, που κινούνται σε ειδικό ταμπλό σύμφωνα με τις ενδείξεις δυο ζαριών. Σκοπός του κάθε παίκτη είναι να μαζέψει πρώτος όλα τα πούλια από το ταμπλό. Ο παίκτης που ολοκληρώνει πρώτος το μάζεμα είναι και ο νικητής. Το ταμπλό του ταβλιού χωρίζεται σε τέσσερις περιοχές με κάθε περιοχή να περιλαμβάνει έξι θέσεις, συνολικά δηλαδή 24 θέσεων, όπως φαίνεται στην εικόνα. Κάθε παίκτης έχει μια περιοχή εκκίνησης και η απέναντί της περιοχή είναι η περιοχή μαζέματος του παίκτη. Τα πούλια τού παίκτη κινούνται κυκλικά από την περιοχή εκκίνησης
- 48. 41 Γ. Λαγουδάκος στην περιοχή μαζέματος. Όταν ένας παίκτης έχει όλα του τα πούλια στην περιοχή μαζέματος του επιτρέπεται να ξεκινήσει το μάζεμα. Υπάρχουν τρία βασικά παιχνίδια : οι Πόρτες, το Πλακωτό και το Φεύγα. Το τάβλι θεωρείται τυχερό παιχνίδι διότι η εξέλιξή του εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό από τις ενδείξεις των ζαριών. Από τα προηγούμενα παιχνίδια, το πλακωτό γενικά θεωρείται ότι έχει τον σχετικά μικρότερο παράγοντα τύχης. Σχετικά με το είδος των τεχνικών απαιτήσεων οι πόρτες έχουν κάπως περισσότερες απαιτήσεις τακτικής, το πλακωτό κάπως περισσότερες απαιτήσεις στρατηγικής και το φεύγα είναι περισσότερο ισορροπημένο τόσο σε απαιτήσεις τακτικής όσο και στρατηγικής. Το τάβλι είναι ίσως το αρχαιότερο παιχνίδι που επιζεί μέχρι και τις ημέρες μας, αφού η πρώτη του εμφάνιση μαρτυρείται στη Μεσοποταμία, την περίοδο περίπου 2900 με 1800 πΧ. Ένα παρόμοιο παιχνίδι το Senet ή "παιχνίδι των τριάντα τετραγώνων" παιζόταν και στην Αρχαία Αίγυπτο. Άλλο ένα αρχαίο παιχνίδι σχετικό με το τάβλι που είναι άξιο αναφοράς είναι το Tact Nard παιζόταν στην Περσία από το 1600 πΧ το όνομά του σήμαινε «Μάχη σε ξύλο» και μεταφέρθηκε στην Ευρώπη από τους Άραβες. Στην Αρχαία Ελλάδα υπάρχει παρόμοιο παιχνίδι με το όνομα Πεσσοί ενώ και στη Ρωμαϊκή Αυτοκρατορία με το όνομα Ludus Duodecim Scriptorum - παιχνίδι των δώδεκα γραμμάτων. Στο Μεσαίωνα , το παιχνίδι ήταν αρκετά γνωστό στην Ευρώπη, και είχε αποκτήσει δική του ονομασία και φήμη σε διάφορες ευρωπαϊκές χώρες. Μερικά από τα ονόματά του ήταν «Tables» (Αγγλία), «Tavola Reale» (Ιταλία), «Tablas Reales» (Ισπανία). Το τάβλι κατά περιόδους απαγορεύτηκε ή κατακρίθηκε από την Εκκλησία, καθώς έχει τον χαρακτήρα τυχερού παιχνιδιού. Ο Λουδοβίκος ο Θ' της Γαλλίας, το 1254 απαγόρευσε σε όλους τους υπηκόους του να παίζουν τάβλι. Το 1526 ο Άγγλος βασιλιάς Henry o 8ος διέταξε να καούν όλα τα ταμπλό του ταβλιού. Οι Άγγλοι παίκτες του παιχνιδιού σκέφτηκαν να
- 49. 42 Γ. Λαγουδάκος καμουφλάρουν το ταμπλό κατασκευάζοντάς το αναδιπλούμενο, για να μοιάζει χοντρικά με βιβλίο. Σε αυτή την ιδέα οφείλει το σημερινό ταμπλό τη μορφή. Το 1743 ο Edmund Hoyle, εξέδωσε μια "Πραγματεία πάνω στο παιχνίδι του ταβλιού" τυποποιώντας τους κανόνες του παιχνιδιού και υποδεικνύοντας τακτικές για βέλτιστο παιχνίδι, οι οποίες είναι γενικά παραδεκτές ως χρήσιμες, ακόμα και σήμερα. Το παιχνίδι έφτασε στην Αμερική ταυτόχρονα με την Ευρώπη. Οι λογαριασμοί εξόδων του Τόμας Τζέφερσον το 1776, περίπου τον καιρό που έγραφε την Διακήρυξη της Ανεξαρτησίας δείχνουν κέρδη και απώλειες από παιχνίδια ταβλιού. Σε αυτή την περίοδο το παιχνίδι πήρε και το σημερινό του διεθνές όνομα, το ονόμασαν «bac» (πίσω) - «gamen» (παιχνίδι), επειδή όταν ένα πούλι «πιάσει» ένα άλλο, αυτό επιστρέφει πίσω στην αρχή. Τα μαθηματικά που μπορούμε να συναντήσουμε στο τάβλι είναι απλές αρχές πιθανοτήτων και για να είμαι σαφέστερος ας δούμε ένα παράδειγμα …. Παίζουμε πόρτες και ο αντίπαλος σε έχει χτυπήσει, συγχρόνως έχει πιάσει τέσσερεις από τις έξι θέσεις, που μπορείς να μπεις. Η κατάσταση είναι τραγική, τα έχεις βάψει μαύρα. Όμως δεν είναι έτσι, τουλάχιστον αυτά λένε οι πιθανότητες… Έχεις συνολικά 36 δυνατούς συνδυασμούς ζαριών, από αυτούς σου κάνουν για να μπεις οι 20. Άρα έχεις πιθανότητα για να μπεις 20 55,5% 36 = . Ηθικό δίδαγμα, όταν έχεις τις μαύρες σου παίζοντας τάβλι δες το από την πλευρά των πιθανοτήτων…
- 50. 43 Γ. Λαγουδάκος Τέλος η πιο κλασική μαθηματική ιστορία που έχει να κάνει με σκακιέρα εξελίσσεται σε μακρινούς χρόνους στην Περσία. Ένας βασιλιάς θέλοντας να ευχαριστήσει τον Μαθηματικό που κατασκεύασε πρώτος για χάρη του το γνωστό σε όλους μας σκάκι, του πρότεινε να του κάνει ό,τι δώρο ήθελε. Τότε ο Μαθηματικός του ζήτησε κάτι πολύ απλό!!! Όπως είναι η σκακιέρα με τα 8Χ8 τετράγωνα, ο βασιλιάς να βάζει σπυριά ρυζιού στο κάθε τετράγωνο με έναν συγκεκριμένο τρόπο. Στο πρώτο τετράγωνο 1 σπυρί, στο 2ο τετράγωνο 2 σπυριά, στο 3ο τετράγωνο 2 2 σπυριά, στο 4ο τετράγωνο 3 2 σπυριά και ούτω καθεξής μέχρι και το 64ο τετραγωνάκι της σκακιέρας. Μόλις ο βασιλιάς θα τελείωνε, θα έδινε στον Μαθηματικό όλα τα σπυριά ρυζιού που θα ήταν στη σκακιέρα. Ο βασιλιάς, που από Μαθηματικά δεν θα ήξερε και πολλά, δέχθηκε. Πόσα σπυριά τελικά έπρεπε ο βασιλιάς να δώσει στον Μαθηματικό; Αν τα έχω υπολογίσει σωστά 18.446.744.073.709.551.615!!! Υποθέτοντας ότι κάθε σπυρί ρυζιού έχει βάρος περίπου 0,033gr, υπολογίστε πόσους τόνους ρυζιού θα έπρεπε να παραδώσει στον Μαθηματικό ο βασιλιάς. Για να επιβεβαιώσετε τους υπολογισμούς σας, σας δίνω την απάντηση 608.742.554.432 τόνους ρύζι !!!.
- 51. 44 Γ. Λαγουδάκος Go Σύμφωνα με τον μύθο, ο Κινέζος αυτοκράτορας Yao (2337-2258 π.Χ.), επινόησε το παιχνίδι αυτό, για τον γιό του, ελπίζοντας να του διδάξει πειθαρχεία, συγκέντρωση και ισορροπία. Άλλοι μύθοι περιγράφουν Κινέζους στρατηγούς που το χρησιμοποιούσαν για να εξασκούν διάφορες στρατηγικές επίθεσης. Το Go θεωρείτο το παιχνίδι των αριστοκρατών στην Κίνα. Ήταν μια από τις 4 τέχνες (Go, Καλλιγραφία, Ζωγραφική και Guqin μουσικό όργανο) που έπρεπε να γνωρίζει κάποιος για να θεωρηθεί μορφωμένος. Τον 7ο αιώνα το Go έρχεται στην Ιαπωνία. Στις αρχές του 20ου αιώνα, ιδρύεται η πρώτη ακαδημία για παίκτες του Go. Πρόκειται για ένα στρατηγικό επιτραπέζιο παιχνίδι, οι δυο παίκτες, άσπρος και μαύρος, προσθέτουν εναλλάξ πέτρες στο go-ban (ταμπλό), περικυκλώνοντας περιοχή, φυλακίζοντας πέτρες του αντιπάλου και προστατεύοντας τις δικές τους πέτρες. Οι κανόνες του Go είναι πολύ απλοί, αλλά η στρατηγική που ακολουθεί είναι περίπλοκη. Η τελική βαθμολογία αποτελείται από την περιοχή που ελέγχει ο κάθε παίκτης και τον αριθμό των πετρών που κατάφερε να φυλακίσει. Δυο παίκτες, ο μαύρος και ο άσπρος, τοποθετούν εναλλάξ μια πέτρα στα σημεία που τέμνονται οι γραμμές ενός πίνακα 19X19. Ο μαύρος παίζει πρώτος. Υπάρχει η δυνατότητα το παιχνίδι να εξελιχθεί σε πίνακα 9Χ9 ή 13Χ13 για να είναι πιο σύντομο. Οι πέτρες πρέπει να έχουν άδεια σημεία γύρω τους (ελευθερίες) για να παραμείνουν στον πίνακα. Όταν μια πέτρα (ή μια ομάδα πετρών) περικυκλώνεται από αντίπαλες πέτρες, έτσι ώστε να μην έχει ελευθερίες, φυλακίζεται και αφαιρείται από το παιχνίδι.