бифуркации, катастрофы, синергетика, фракталы и нейронные сети в физических, биологических и экономических системах учебное пособие
1. Федеральное агентство связи
Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение
высшего профессионального образования
ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ
ЭЛЕКТРОННАЯ
БИБЛИОТЕЧНАЯ СИСТЕМА
Самара
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. 2
Антипов О.И., Неганов В.А.
Бифуркации, катастрофы, синергетика, фракталы и нейронные сети в
физических, биологических и экономических системах
Учебное пособие
Самара
2013
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4. 4
Введение
Во введении, в первую очередь, хотелось бы определить место дисциплины в
процессе обучения по специальности, и ее принадлежность к определенным
разделам отраслей наук и области применения изучаемых методов и
алгоритмов.
Данное учебное пособие написано для аспирантов, обучающихся дисциплине
«Бифуркации, катастрофы, синергетика, фракталы и нейронные сети в
физических, биологических и экономических системах» в очной и заочной
формах обучения по специальности 01.04.03 – Радиофизика. Специальность
Радиофизика имеет номер 01.04.03, согласно номенклатуре специальностей
научных работников, утвержденной приказом министерства образования и
науки Российской Федерации от 25 февраля 2009г. №59 (в ред. Приказа
Минобрнауки РФ от 11.08.2009 № 294) и относится к группе специальностей
ФИЗИКА (01.04.00) в ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ (01.00.00) отрасли наук.
Согласно формуле специальности, ее область определена следующим
образом: «Радиофизика – раздел физики, занимающийся изучением общих
закономерностей генерации, передачи, приема, регистрации и анализа
колебаний и волн различной физической природы и разных частотных
диапазонов, а также их применением в фундаментальных и прикладных
исследованиях. Общность изучаемых радиофизических закономерностей
излучения, распространения, взаимодействия и трансформации колебаний и
волн в различных средах, в том числе в неоднородных, нелинейных и
нестационарных, позволяет включить радиофизические методы как
универсальное средство исследования окружающей среды на самых различных
уровнях: от микромира до космического пространства.» Здесь курсивом мы
выделили ту часть формулы, которая имеет непосредственное отношение к
рассматриваемым в пособии областям.
Выбор отрасли наук, согласно номенклатуре научных работников, зависит от
конкретного приложения рассмотренных в пособии методов и алгоритмов. В
частности, цитируя номенклатуру, отметим, что работа относится к отрасли
технических наук «за разработку и создание приборов, установок,
теплотехнических процессов и за их применение в народном хозяйстве» и к
отрасли физико-математических наук «за исследования общефизического
характера». Здесь мы также курсивом отметили, к каким отраслям, и по каким
именно критериям относятся рассмотренные в пособии материалы.
Изложенные в работе материалы относятся к четвертому пункту паспорта
специальности 01.04.03 – Радиофизика в редакции от 18 января 2011г., который
гласит, что область исследования по специальности, в том числе, следующая:
«Исследование флуктуаций, шумов, случайных процессов и полей в
сосредоточенных и распределенных стохастических системах (статистическая
радиофизика). Создание новых методов анализа и статистической обработки
сигналов в условиях помех. Разработка статистических основ передачи
информации. Исследование нелинейной динамики, пространственно-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5. 5
временного хаоса и самоорганизации в неравновесных физических,
биологических, химических и экономических системах». Как и раньше,
курсивом мы выделили именно те области, которые рассмотрены в данном
учебном пособии.
Некоторые из освещенных в пособии вопросов входят в действующую
программу-минимум кандидатского экзамена по специальности 01.04.03 –
Радиофизика, утвержденного приказом Минобрнауки РФ от 08.10.2007 года
приказом № 274. В частности раскрыты следующие вопросы:
● Хаотические колебания в динамических системах. Понятие о хаотическом
(странном) аттракторе. Возможные пути потери устойчивости регулярных
колебаний и перехода к хаосу;
● Корреляционные и спектральные характеристики стационарных случайных
процессов. Теорема Винера—Хинчина. Белый шум и другие примеры спектров
и корреляционных функций;
● Модели случайных процессов: гауссовский процесс, узкополосный
стационарный шум, импульсные случайные процессы, дробовой шум;
● Марковские и диффузионные процессы. Уравнение Фоккера—Планка.
Также, частично рассмотрены новые аспекты вопросов:
○ Самовоздействие волновых пучков. Самофокусировка света. Приближения
нелинейной квазиоптики и нелинейной геометрической оптики. Обращение
волнового фронта. Интенсивные акустические пучки; параметрические
излучатели звука;
○ Случайные величины и процессы, способы их описания. Стационарный
случайный процесс. Статистическое усреднение и усреднение во времени.
Эргодичность. Измерение вероятностей и средних значений.
Как видно из вышеизложенного, научная тематика данного учебного пособия
посвящена объединению нескольких направлений в науке: бифуркаций в
нелинейных динамических (или детерминированных) системах, причем
внимание уделяется бифуркациям-кризисам, которые отождествляются с
катастрофами в синергетике – науке о самоорганизации в сложных системах,
где велика роль коллективных, кооперативных эффектов, возникновения
порядка – фрактальных структур в турбулентности (или хаосе). В синергетике
общим является принцип подчинения, который позволяет исключать большое
число переменных в сложных системах, и описывать в них сложные процессы.
Использование в роли одной из основных количественных характеристик
катастроф фрактального показателя Хѐрста связывает фракталы с
бифуркациями. Объединение этих четырех направлений позволяет упростить
проектирование прогнозирующих нейронных сетей, которое в настоящее время
отчасти является искусством.
Основы качественной теории и теории бифуркаций динамических систем
были заложены в трудах великого французского ученого Анри Пуанкаре,
который первым понял, что можно, не интегрируя дифференциальных
уравнений, представить все основные качественные особенности поведения его
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6. 6
решений [1]. В нашей стране его работы продолжил Александр Александрович
Андронов [2,3].
Основателями теории катастроф считают французского математика-тополога
Рене Тома и российского математика Владимира Игоревича Арнольда [4,5].
Основателем нового научного направления – синергетики, является
немецкий физик-теоретик Герман Хакен [6,7].
Основателем теории фракталов, как и автором самого термина «фрактал»,
является американский математик французского происхождения Бенуа
Мандельброт. На сегодняшний день существует много различных
математических моделей фракталов. Отличительной особенностью каждой из
них является то, что в их основе лежит какая-либо рекурсивная функция.
Сегодня бытует утверждение, что фракталы – уникальные объекты,
порожденные непредсказуемыми движениями хаотического мира [8].
Основателями нейросетевой архитектуры считаются американский
нейропсихолог и нейрофизиолог Уоррен Мак-Каллок и исследователь Уолтер
Питтс [9]. Вместе с ними, у истоков кибернетики стоял американский философ
и математик Норберт Винер. Первое обучаемое нейросетевое устройство для
распознания образов – персептрон (от англ. perception – восприятие),
разработал американский нейрофизиолог Фрэнк Розенблатт [10].
В нашей стране теорией фракталов занимается российский ученый
Александр Алексеевич Потапов [11], а прикладной нелинейной динамикой
занимаются российские ученые Анищенко Вадим Семенович [12], Сергей
Петрович Кузнецов и Александр Петрович Кузнецов [13]. Математическим
моделированием по хаотическим временным рядам занимаются российские
ученые Борис Петрович Безручко и Дмитрий Алексеевич Смирнов [14].
Проблемами моделирования хаотических временных рядов с помощью
нейронных сетей занимается белорусский ученый Владимир Адамович Головко
[15].
Приведенные выше ссылки в квадратных скобках отсылают читателей к
наиболее интересным трудам из области работ обозначенных ученых, с точки
зрения изучаемой в данном учебном пособии дисциплины.
В данном учебном пособии, кроме общеизвестных, приведены некоторые
фрактальные методы и алгоритмы их применения, разработанные авторами,
вошедшие в докторскую диссертацию, которую один из авторов пособия
защитил в конце 2011 года. Данная диссертация относилась к физико-
математической отрасли и была озаглавлена как «Фрактальные методы анализа
и прогнозирования для самоорганизованных технических, биологических и
экономических систем». Как видно, название диссертации совпадает с
соответствующим пунктом паспорта специальности. Многие приведенные
методы проиллюстрированы на конкретных примерах из исследований авторов
в данной области.
Разработанная авторская методика фрактального анализа, включенная в
пособие, позволяет анализировать хаотические временные ряды, порожденные
синергетическими системами. В качестве такой системы может выступать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7. 7
неравновесная, самоорганизованная физическая, экономическая или
биологическая система. Фрактальные величины, при определенных авторских
алгоритмах и методах их применения, дают интегральные характеристики,
которые реагируют на изменения стационарности этих системы и выявляют
изменения сложности процессов в них. Нахождение изменения сложности
процессов позволяет решить следующие задачи:
1. Получение временного лага и фазового сдвига для неравновесных
дискретно-нелинейных систем, позволяющих анализировать их фрактальные
характеристики и параметры устойчивости [16-22].
2. Позволяет путем выявления фрактальных количественных характеристик
сигналов от неравновесных систем, представленных в виде черного ящика, и
позволяющих строить на их основе математически обоснованные
прогнозирующие нейронные сети, которые, по сути, представляют собой
математические модели системы исследуемого черного ящика [23-28].
3. Позволяет выявить предкризисные состояния экономических систем
фьючерсных нефтяных рынков [29,30] и международных товарных рынков
драгоценных металлов [31].
4. Позволяет выявить нарушения функциональности желудочно-кишечного
тракта путем анализа электрогастроэнтерографического сигнала [32-34].
5. Позволяет выявлять уровни функциональности головного мозга путем
анализа электроэнцефалографического сигнала, что в свою очередь, помогает
неврологам выявить широкий спектр неврологических расстройств [35-37].
Данные методы и алгоритмы реализованы в программно-аппаратном
комплексе, на аппаратную часть которого заявлены права на интеллектуальную
собственность [38], и программная часть которого отмечена свидетельством о
государственной регистрации собственности [39].
Таким образом, предлагаемая фрактальная методика позволяет решить
широкий спектр прикладных задач из разных областей науки и техники.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
8. 8
Список используемых сокращений (аббревиатур)
АД – артериальное давление
БД – бифуркационная диаграмма
БДГ – быстрое движение глаз
ВД – время движения
ГИН – генератор с инерционной нелинейностью
ДС – динамическая система
ИСН – импульсный стабилизатор напряжения
ИСН-1 – импульсный стабилизатор понижающего типа
ИСН-2 – импульсный стабилизатор повышающего типа
ИСН-3 – импульсный стабилизатор инвертирующего типа
ЛХП – характеристический показатель Ляпунова
МЛБС – метод ложных ближайших соседей
МП – многослойный персептрон
НС – нейронные сети
ПНС – предсказывающая нейронная сеть
РАН – Российская академия наук
РБ – расслабленное бодрствование
РГ – ренормализационная группа
СНА – странный нехаотический аттрактор
ФБС – фаза быстрого сна
ФМС – фаза медленного сна
ХНА – хаотический нестранный аттрактор
ЧД – частота дыханий
ЧСС – частота сердечных сокращений
ЭМГ – электромиограмма
ЭОГ – электроокулограмма
ЭЭГ – электроэнцефалограмма
BC – нефть-сырец (Brent Crude)
Euro – единая европейская валюта
HO – отопительная нефть (Heating Oil)
LC – светлая нефть-сырец (Light Crude)
USD – американский доллар (United States dollar)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
9. 9
Глава 1. Бифуркации и кризисы нелинейных динамических систем
Основы динамического (детерминированного) описания эволюционных
процессов базируются на понятии динамической системы (ДС). ДС можно
представлять как объект любой природы, состояние которого изменяется во
времени в соответствии с некоторым динамическим законом, то есть как
результат действия детерминированного оператора эволюции. Таким образом,
понятие ДС является следствием определенной идеализации, при которой
пренебрегают влиянием случайных возмущений, присутствующих в любой
реальной системе.
При описании ДС особое внимание обычно уделяют анализу устойчивости
решений обыкновенных дифференциальных уравнений в линейном
приближении. Обсуждаются локальные и нелокальные бифуркации типичных
предельных множеств, приводится классификация аттракторов ДС.
Структура хаотических аттракторов определяет свойства режимов
хаотических колебаний ДС. Известно, что основой классических представлений
о динамическом хаосе в диссипативных системах является понятие грубого
гиперболического (странного) аттрактора. Помимо гиперболических
аттракторов существуют негиперболические аттракторы (квазиаттракторы).
Этот вид хаотических аттракторов в большей степени отражает свойства
детерминированного хаоса в реальных системах [40].
1.1. Основы динамического и статистического описания эволюционных
процессов в динамических системах [40]
Для описания ДС используют различные математические модели. Обычно
состояние ДС определяется набором некоторых величин или функций и
оператором эволюции, задающим соответствие между начальным состоянием
системы и единственным ее состоянием в каждый последующий момент
времени. Оператор эволюции может быть задан с помощью
дифференциальных, интегральных или интегро-дифференциальных уравнений,
отображения последования, а также в форме матриц, графов и т. д.
В зависимости от степени приближения и от конкретно изучаемой задачи в
соответствие одной и той же реальной физической системе могут быть
поставлены в соответствие принципиально различные математические модели,
например, маятник с трением и без трения.
Классификация ДС основана на способе задания мгновенного состояния, на
свойствах оператора эволюции и методах его описания. Состояние системы
определяется набором некоторых величин jx , 1,2,...,j N , или функций ( )jx r
,
M
r R
. Величины jx , называемые динамическими переменными,
непосредственно связаны с наблюдаемыми количественными
характеристиками ДС и в реальных системах могут быть измерены (ток,
напряжение, скорость, температура, концентрация вещества, численность
популяции и т.д.). Множество всех теоретически возможных состояний
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10. 10
системы называется ее фазовым пространством. Если jx являются
переменными, а не функциями, и их число конечно, то фазовое пространство
системы N
R имеет конечную размерность. Системы с конечномерным фазовым
пространством называются системами с сосредоточенными параметрами,
потому что их параметры не являются функциями пространственных
координат. Такие системы описываются обыкновенными дифференциальными
уравнениями или отображениями последования.
Однако имеется широкий класс систем с бесконечномерным фазовым
пространством. Если динамические переменные jx системы являются
функциями некоторых переменных kr , 1,2,...,k M , то размерность фазового
пространства системы бесконечна. Как правило, kr представляют собой
пространственные координаты, и, таким образом, параметры системы зависят от
точки пространства. Такие системы называются системами с распределенными
параметрами или просто распределенными системами.
Они часто описываются дифференциальными уравнениями в частных
производных или интегральными уравнениями.
Можно классифицировать ДС в зависимости от свойств оператора эволюции.
Если оператор эволюции удовлетворяет принципу суперпозиции, то
соответствующая система является линейной, в противном случае система
нелинейна. Если состояние системы и оператор эволюции определены в любой
момент времени, то говорят о системе с непрерывным временем. Если же
состояние системы определено только в отдельные (дискретные) моменты
времени, то мы имеем систему с дискретным временем (отображение
наследования или каскад). Для каскадов оператор эволюции обычно
определяется с помощью функции последования или отображения
последования. Если оператор эволюции, не зависит от времени явным образом,
то соответствующая система автономна, то есть не подвержена действию
каких-либо аддитивных пли мультипликативных внешних сил. В противном
случае мы имеем дело с неавтономной системой. Различают два важных класса
ДС: консервативные и неконсервативные. Для консервативной системы объем
фазового пространства сохраняется при действии оператора эволюции. Для
неконсервативной системы элемент объема обычно уменьшается с течением
времени. Сжатие фазового объема свидетельствует о потере энергии в системе.
Системы с потерями, в которых энергия уменьшается с течением времени,
называются диссипативными. Рост элемента фазового объема системы
означает подкачку энергии в систему. Такая система называется системой с
отрицательной диссипацией.
Среди широкого класса ДС особое место занимают системы, в которых
происходят колебания, то есть полностью или частично повторяющиеся
процессы. Колебательные системы, как и ДС в общем, подразделяются на
линейные и нелинейные, сосредоточенные и распределенные, консервативные и
диссипативные, автономные и неавтономные. Специальный класс составляют
так называемые автоколебательные системы.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
11. 11
Автоколебательными называются автономные нелинейные диссипативные
системы, в которых существуют незатухающие колебания, независящие в
определенных пределах от начальных условий. Соответственно, колебания в
таких ДС получили название автоколебаний. Математическим прообразом
автоколебаний служит аттрактор ДС, не являющийся точкой устойчивого
равновесия. Энергия, теряемая при диссипации в автоколебательной системе,
компенсируется из внешнего источника.
1.1.1. Фазовые портреты динамических систем [2,13]. В настоящее время
фазовые портреты являются общепринятыми для изучения различных
колебательных процессов. В этом случае анализируются колебания ДС с
помощью графического представления в фазовом пространстве.
Пусть изучаемая ДС описывается обыкновенными дифференциальными
уравнениями
1 2( , ,..., )j j Nx f x x x , (1.1)
где 1,2,...,j N , или в векторной форме
( )x F x
, (1.2)
где x
вектор с компонентами jx , индекс j принимает значения 1,2,...,j N , a ( )F x
– вектор-функция с компонентами ( )jf x
. Набор N динамических переменных jx
или N -мерный вектор x
определяет состояние системы, которому ставится в
соответствие точка в пространстве состояний. Эта точка называется
изображающей или фазовой точкой, а само пространство состояний N
R
называется фазовым пространством ДС. Движение фазовой точки
соответствует эволюции состояния системы с течением времени. Траектория
фазовой точки, стартующая из некоторого начального состояния 0 0( )x x t
и
отслеживаемая при t , представляет собой фазовую траекторию. Иногда
используется сходное понятие интегральной кривой. Интегральные кривые
описываются уравнениями 1 2/ ( , ,..., )j k Ndx dx x x x , 1,2,..., 1, 1,...,j k k N , где kx – одна
(любая) из динамических переменных. В большинстве случаев интегральные
кривые и фазовые траектории совпадают. Однако интегральные кривые,
проходящие через особые точки, состоят из нескольких фазовых траекторий.
Правая часть (1.2) задает векторное поле скоростей ( )F x
в фазовом
пространстве системы. Точки фазового пространства, для которых ( ) 0jf x
,
остаются неизменными с течением времени и называются неподвижными
точками, особыми точками или состояниями равновесия ДС. Множество
характерных фазовых траекторий в фазовом пространстве образует фазовый
портрет ДС.
Кроме размерности фазового пространства часто используется понятие числа
степеней свободы ДС. Под числом степеней свободы в теоретической механике
понимается число независимых координат и импульсов, характеризующих
движение n материальных точек. Движение каждой материальной точки
подчиняется второму закону Ньютона и описывается уравнением движения
второго порядка. Следовательно, число степеней свободы n связано с
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12. 12
размерностью ДС соотношением 2n N . Очевидно, для произвольной ДС (1.1)
число степеней свободы может быть нецелым (кратным 0.5).
Рассмотрим осциллятор. В линейном приближении его движение
описывается простейшим уравнением:
2
0 0x x . (1.3)
Его фазовый портрет показан на рис. 1.1,a и представляет собой семейство
концентрических эллипсов (в случае 0 1 – окружностей) на плоскости 1x x ,
2x x с центром в начале координат:
2 2 2
0 1 2
1 2( , ) const
2 2
x x
H x x . (1.4)
Каждому значению полной энергии 1 2( , )H x x соответствует свой собственный
эллипс. В начале координат расположено состояние равновесия, называемое
центром. Если к линейному осциллятору добавить трение, то фазовые
траектории, стартующие из любой точки фазовой плоскости, будут
приближаться к состоянию равновесия в пределе t . При слабой диссипации
фазовые траектории представляют собой спирали, закручивающиеся к началу
координат (рис. 1.1,б), а решения уравнений осциллятора с трением
соответствуют затухающим колебаниям. В этом случае состояние равновесия в
нуле координат называется устойчивым фокусом. С увеличением коэффициента
трения решения станут апериодическими. Соответствующий фазовый портрет
показан на рис. 1.1,в. В начале координат имеется состояние равновесия,
называемое устойчивым узлом.
а) б) в)
Рис. 1.1 – Фазовые портреты линейного осциллятора: без трения (а), с малым
трением (б) и с сильным трением (в)
Фазовый портрет для нелинейного консервативного осциллятора,
описываемого уравнением
( )
0
dU x
x
dx
,
качественно нетрудно построить с помощью потенциальной функции ( )U x .
Пример такого построения приводится на рис. 1.2. Минимумам потенциальной
функции соответствуют положения равновесия типа центр. В потенциальной
яме, существующей вблизи каждого центра, семейство замкнутых кривых
упорядочено в соответствии со значениями интеграла энергии ( , )H x x . В
непосредственной окрестности центра эти кривые имеют эллиптическую
форму, которая при удалении от центра постепенно деформируется.
Максимумам ( )U x соответствуют положения равновесия, называемые седлами.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
13. 13
Седла неустойчивы по отношению к произвольным возмущениям. Фазовые
траектории, входящие в седло Q (рис. 1.2) при t , называются устойчивыми
и неустойчивыми сепаратрисами седла Q . Пара траекторий, приближающихся
к седлу в прямом времени, образует его устойчивое многообразие S
QW , а пара
траекторий, стремящихся к седлу в обратном времени, составляет его
неустойчивое многообразие S
QW . Сепаратрисы делят фазовое пространство на
области с принципиально различным характером фазовых траекторий. В
некоторых случаях сепаратрисы могут замыкаться, образуя сепаратрисные
петли (контуры) (рис. 1.2).
Фазовые портреты неавтономных систем имеют некоторые особенности.
Одна из них состоит в следующем. Фазовые траектории неавтономной системы
при изменении времени t от до не остаются в пределах ограниченной
области фазового пространства, поскольку t в данном случае является одной из
фазовых координат. В случае периодического внешнего воздействия можно
построить фазовый портрет, сведя неавтономную систему к автономной.
Рис. 1.2 – Качественное построение фазового портрета нелинейного
консервативного осциллятора с помощью потенциальной функции
Для этого нужно ввести фазу воздействия ext и добавить к уравнениям ДС
еще одно уравнение: ex
. Однако если предполагать, что определена на
всей действительной оси, то новая переменная ничего не дает, и фазовые
траектории остаются неограниченным.
Рассмотрим нелинейный осциллятор Ван-дер-Поля
2 2
0( ) 0x x x x . (1.5)
Для 0 и t в автоколебательной системе (1.5), не зависит от выбора
начальных условий, устанавливаются периодические колебания. Этим
колебаниям в фазовом пространстве соответствует замкнутая изолированная
кривая, называемая предельным циклом Андронова-Пуанкаре [40]. Все фазовые
траектории (1.5), выходящие из различных точек фазовой плоскости, при t
стремятся к предельному циклу. Единственное исключение составляет
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
14. 14
состояние равновесия в начале координат. При малых предельный цикл по
форме близок к эллипсу, а состоянию равновесия в начале координат отвечает
неустойчивый фокус. Соответствующий фазовый портрет и форма колебаний
( )x t показаны в верхней части рис. 1.3. При увеличении предельный цикл
искажается и характер состояния равновесия меняется.
Рис. 1.3 – Фазовые портреты и форма колебаний для осциллятора Ван-дер-Поля
(1.5) с 0 1: вверху для 0.1 и внизу для 10 , 1x x , 2x x [40]
При 02 неустойчивый фокус превращается в неустойчивый узел, а
продолжительность переходного процесса значительно уменьшается, как
показано в нижней части рис. 1.3.
Фазовые портреты трехмерных систем не столь наглядны. В этом случае
разумно рассматривать сечение фазовых траекторий некоторой плоскостью или
поверхностью, выбранной таким образом, чтобы все траектории пересекали эту
поверхность под ненулевым углом. На секущей поверхности возникает
множество точек, соответствующих различным фазовым траекториям исходной
системы, которые могут дать нам представление о структуре фазового портрета
ДС. Обычно рассматриваются точки пересечения поверхности траекториями,
идущими в одном выбранном направлении, как показано на рис. 1.4. Оператор
эволюции однозначным (но не взаимнооднозначным) образом определяет
отображение секущей поверхности в себя, называемое отображением возврата
или отображением Пуанкаре [41]. Отображение Пуанкаре уменьшает
размерность исследуемого множества до 1N , что делает фазовый портрет
системы более наглядным. Конечные последовательности точек (периодические
орбиты или циклы отображения) соответствуют замкнутым кривым
(предельным циклам) исходной системы, а бесконечные последовательности
точек соответствуют апериодическим траекториям.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
15. 15
Рис. 1.4 – Сечение Пуанкаре
1.1.2. Устойчивость (линейное приближение) [40]. Задача анализа
устойчивости конкретного режима функционирования системы – одна из
наиболее важных в теории ДС. Эволюции ДС из некоторого заданного
начального состояния соответствует траектория в фазовом пространстве.
Необходимо исследовать устойчивость той или иной фазовой траектории по
отношению к малым возмущениям. Существует несколько различных
определений устойчивости, а именно: устойчивость по Ляпунову,
асимптотическая устойчивость, орбитальная устойчивость и устойчивость по
Пуассону. Исследуемая фазовая траектория *
( )x t
является устойчивой по
Ляпунову, если для любого произвольно малого 0 существует такое ( ) 0 ,
что для любой траектории ( )x t
, для которой *
0 0( ) ( )x t x t
для всех 0t t
выполняется неравенство *
( ) ( )x t x t
. Знак ... обозначает норму в N
R . Таким
образом, малое начальное возмущение устойчивых по Ляпунову фазовых
траекторий не возрастает с течением времени. Если малое возмущение со
временем уменьшается, то есть *
( ) ( ) 0x t x t
при t , то траектория обладает
более сильной устойчивостью, а именно, асимптотической устойчивостью.
Любая асимптотически устойчивая фазовая траектория устойчива по Ляпунову.
Обратное утверждение в общем случае неверно.
Определение орбитальной устойчивости несколько отличается от
определения устойчивости по Ляпунову. В последнем случае расстояние
между точками исследуемой и возмущенной фазовых траекторий
рассматривается в один и тот же момент времени. Орбитальная устойчивость
характеризует минимальное расстояние между фазовой точкой возмущенной
траектории в данный момент времени t и орбитой *
, соответствующей
исследуемому движению. Траектория, устойчивая по Ляпунову, всегда
орбитально устойчива. Обратное утверждение в общем случае несправедливо.
Самым слабым требованием является требование устойчивости фазовой
траектории *
( )x t
no Пуассону. Устойчивость по Пуассону предполагает, что
фазовая траектория не покидает ограниченной области фазового пространства
при t . Проведя бесконечно длительное время внутри этой области, фазовая
траектория неизбежно возвращается в сколь угодно малую окрестность
начальной точки. Времена возврата могут соответствовать периоду или
квазипериоду регулярного движения или представлять случайную
последовательность в режиме динамического хаоса.
Свойства устойчивости фазовых траекторий, принадлежащих пределам
множествам (например, аттракторам), имеют особую важность при
исследовании динамики систем. Изменение характера устойчивости того или
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
16. 16
другого предельного множества во многих случаях приводит к смене режима
функционирования системы.
Пусть состояние системы задается вектором 0x
в момент времени 0t и
вектором 0( ) tx t T x
в момент t , где tT – оператор эволюции на интервале 0t t t .
Предположим, что в фазовом пространстве ДС существуют два множества: V и
L V , где V – совокупность всех точек 0x
в фазовом пространства, для которых
( )x t L при t или t . В этом случае будем L называть предельным
множеством ДС.
Рассмотрим возможные типы предельных множеств диссипативной ДС,
которые могут существовать в ограниченной области фазового пространства.
Если все точки 0x V
стремятся к L в пределе t , то предельное множество
L является притягивающим и называется аттрактором. Соответственно, V –
бассейн притяжения аттрактора. Если точки V стремятся к L в пределе t ,
то множество L является отталкивающим и называется репеллером.
Множество V может состоять из двух подмножеств, s
W и u
W , причем точки,
принадлежащие s
W , стремятся к L в прямом времени, в то время как точки,
принадлежащие u
W , приближаются к L в обратном времени. В этом случае L
называется седловым предельным множеством или просто седлом. Множества
s
W и u
W являются, соответственно, устойчивым и неустойчивым
многообразиями седла. При инверсии времен, t t , регулярные аттракторы
системы становятся репеллерами и, наоборот, репеллеры преобразуются в
аттракторы, а многообразия седловых предельных множеств меняются ролями
[41].
Самым простым предельным множеством ДС является состояние
равновесия. Оно может быть аттрактором (устойчивый фокус, устойчивый
узел), репеллером (неустойчивый фокус, неустойчивый узел) или седлом
(простое седло или седло-фокус, который может существовать в фазовом
пространстве размерности 3N . Точка типа центр не является ни аттрактором,
ни репеллером, ни седлом, поскольку отсутствует какое-либо множество точек,
приближающихся к центру при движении в прямом или обратном времени.
Центр – это особый случай предельного множества, для которого V L .
Предельное множество в виде замкнутой кривой, предельный цикл, также
может быть аттрактором, репеллером или седлом. Подобным же образом
классифицируются тороидальные предельные множества, соответствующие
квазипериодическим колебаниям, и хаотические предельные множества.
1.1.3. Линейный анализ устойчивости. Устойчивость по Ляпунову и
асимптотическая устойчивость определяются эволюцией во времени малых
возмущений траектории, т. е. тем, будут ли эти возмущения уменьшаться, расти
или останутся ограниченными с течением времени. Малость рассматриваемых
возмущений позволяет линеаризовать оператор эволюции вблизи изучаемой
траектории и провести анализ ее устойчивости в линейном приближении.
В этом случае от автономной ДС вида
( , )x F x
, (1.6)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
17. 17
где N
x R
, и m
R
– вектор параметров для малого возмущения можно перейти к
уравнению
0
( ) ( )y x t x t
,
где 0
x
– частные решения
0 0
( ) ( )y F x y F x
. (1.7)
Приходим к следующему линеаризованному уравнению относительно y
:
( )y A t y
, (1.8)
где A
– матрица с элементами
0
,
( ) ( )
j
j k
k x t x t
f
a
x
, , 1,2,...,j k N , (1.9)
называемая матрицей линеаризации системы в окрестности решения 0
( )x t
, а jf –
компоненты функции F
. Матрица A
характеризуется собственными векторами
ie
и собственными значениями i :
i i iAe e
, 1,2,...,i N . (1.10)
Собственные значения i являются корнями характеристического уравнения
Det 0A E
, (1.11)
где E
– единичная матрица. Начальное возмущение, заданное в момент
времени *
t , меняется вдоль i -го собственного вектора следующим образом:
* *
( ) ( )exp ( )i i
iy t y t t t
. (1.12)
Увеличение или уменьшение величины возмущения ( )i
y t
определяется
знаком вещественной части i . В общем случае A
является матрицей, элементы
которой зависят от времени, и, следовательно, ее собственные значения и
собственные векторы тоже меняются с течением времени. При изменении *
t
показатель экспоненты i принимает различные значения. Следовательно,
возможна ситуация, когда малое возмущение 1( ) ( )N i
iy t y t
потенциально растет в
одних точках изучаемой траектории 0
( )x t
и уменьшается в других.
Рассмотрим эволюцию компоненты малого возмущения ( )y t
, направленной
вдоль i -гo собственного вектора матрицы A
. Устойчивость траектории вдоль
собственного вектора ( )i t
определяется характеристическим показателям
Ляпунова i
0 0
1 ( )
lim ln
( )
i
i it
y t
t t y t
, (1.13)
где черта сверху означает верхний предел. Если траектория 0
( )ix t
принадлежит
N -мерному фазовому пространству, линеаризованная матрица имеет
размерность N N и, таким образом, N собственных векторов. В этом случае
устойчивость траектории определяется набором из показателей Ляпунова.
Набор из N чисел, расположенных в убывающем порядке, 1 2 ... N , образует
так называемый спектр характеристических показателей Ляпунова (спектр
ЛХП) фазовой траектории 0
( )ix t
.
Показатели Ляпунова связаны собственными значениями матрицы
линеаризации i . Для этой цели рассмотрим (1.12) в начальный момент времени
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
18. 18
*
0t t , предполагая, что интервал 0t t t мал. Перейдем в точку 0( )x t t
и в
качестве начального возмущения возьмем
0 0 0( ) ( )exp ( )iy t t y t t t
.
Будем полагать, что, поскольку t мало, направление собственных векторов
ie
. почти не меняется в течение этого интервала времени, и можно считать, что
вектор 0( )i
y t t
направлен вдоль i -го собственного вектора. Полагаем, что
начальное возмущение 0( )i
y t
настолько мало, что оно остается малым и в
последующие моменты времени. Перемещаясь по кривой 0
( )ix t
с малым шагом
t , получаем каждый раз приближенное выражение, описывающее эволюцию
малого возмущения в направлении i -го собственного вектора:
0( ) ( )exp ( )i i
i k
k
y t y t t t
. (1.14)
Переходя к пределу 0( ) 0i
y t
и 0t получаем
00
1
lim Re ( ') '
t
i i
t
t
t dt
t t
. (1.15)
Таким образом, i -й показатель Ляпунова i можно понимать как
усредненную вдоль изучаемой траектории вещественную часть собственного
значения i матрицы линеаризации ( )A t
. Он показывает, что происходит с
соответствующей компонентой начального возмущения в среднем вдоль
траектории. Дивергенция потока и, следовательно, эволюция фазового объема
определяются суммой показателей Ляпунова. Можно показать, что
0
1 0
1
lim div ( ') '
tN
i
t
i t
F t dt
t t
. (1.16)
Если траектория 0
( )x t
устойчива по Ляпунову, то произвольное начальное
возмущение 0( )y t
, в среднем, вдоль траектории не растет. Для этого необходимо
и достаточно, чтобы спектр ЛХП не содержал положительных показателей.
Если произвольная ограниченная траектория 0
( )x t
автономной системы (1.6) не
является состоянием равновесия или сепаратрисой, то, по крайней мере, один
из показателей Ляпунова всегда равен нулю [40]. Действительно, малое
возмущение вдоль направления, касательного к траектории, в среднем остается
неизменным. Для фазовых траекторий, расположенных на аттракторе элемент
фазового объема должен сжиматься. В этом случае усредненная дивергенция
фазового потока ( ( ))F x t
диссипативной ДС отрицательна, и сумма показателей
Ляпунова удовлетворяет следующему неравенству:
1
0
N
i
i
. (1.17)
1.1.4. Устойчивость состояний равновесия. Если частное решение 0
( )x t
системы (1.6) является состоянием равновесия, то есть 0
( , ) 0F x
, то матрица
линеаризации A
рассчитывается только в одной точке фазового пространства и,
следовательно, является матрицей с постоянными элементами ,i ja . Собственные
векторы и собственные значения матрицы A
постоянны во времени, а
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
19. 19
показатели Ляпунова равны вещественным частям собственных значений:
Rei i .
Сигнатура спектра ЛХП показывает, является состояние равновесия
устойчивым или нет. Для анализа поведений фазовых траекторий в локальной
окрестности состояния равновесия необходимо знать также и мнимые части
собственных значений матрицы линеаризации.
Рис. 1.5 – Диаграмма состояний равновесия на плоскости (фазовые портреты
показаны в преобразованных координатах) [40]
На фазовой плоскости (случай 2N ) положение равновесия характеризуется
двумя собственными значениями матрицы A
: 1 и 2 . Возможны следующие
случаи: 1) 1 и 2 являются вещественными отрицательными числами. В этом
случае состояние равновесия представляет собой устойчивый узел. 2) 1 и 2 –
вещественные положительные числа. Состояние равновесия является
неустойчивым узлом. 3) 1 и 2 – вещественные числа, но с различными
знаками. Состояние равновесия в этом случае – седло. 4) 1 и 2 – комплексно-
сопряженные числа с 1,2Re 0 . Состояние равновесия – устойчивый фокус. 5) 1
и 2 – комплексно-сопряженные с 1,2Re 0 . Состояние равновесия –
неустойчивый фокус. 6) 1 и 2 – чисто мнимые числа: 1,2 i . Состояние
равновесия в этом случае является центром. На рис. 1.5 показана диаграмма
состояний равновесия, существующих на фазовой плоскости при различных
значениях детерминанта и следа матрицы A
(соответственно 1 2Det A
и
1 2Sp A
).
Помимо вышеупомянутых состояний равновесия, в пространстве с
размерностью 3N возможны и другие типы состояний равновесия, например,
неустойчивое по Ляпунову состояние равновесия, называемое седло-фокусом.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
20. 20
а) б)
Рис. 1.6 – Седло-фокусы в трехмерном фазовом пространстве: (а) 1 –
вещественно и отрицательно, 2,3 комплексно-сопряженные 2,3Re 0 ; (б) 1 –
вещественно и положительно, 2,3 – комплексно-сопряженные 2,3Re 0 [40]
На рис. 1.6 показаны два варианта состояния равновесия седло-фокусного
типа, реализуемые в 3
R . Они различаются размерностями их устойчивых и
неустойчивых многообразий.
Зная показатели Ляпунова, нетрудно определить, к какому типу предельных
множеств принадлежит исследуемое состояние равновесия. Положение
равновесия является аттрактором, если оно асимптотически устойчиво во всех
направлениях, т. е. его спектр ЛХП состоит только из отрицательных
показателей (устойчивый узел или фокус). Если состояние равновесия
неустойчиво во всех направлениях, то оно является репеллером (неустойчивый
узел или фокус). Если спектр ЛХЛ включает как положительные, так и
отрицательные показатели, то состояние равновесия принадлежит к седловому
типу (простое седло или седло-фокус). Кроме того, число показателей 0i и
0i определяет размерность неустойчивого и устойчивого многообразий.
Устойчивость периодических решений. Любое периодическое решение 0
( )x t
системы (1.6) удовлетворяет условию
0 0
( ) ( )x t x t T
. (1.18)
где T – период решения. Матрица линеаризации ( )A t
, вычисляемая в точках
траектории, соответствующей периодическому решению 0
( )x t
, также является
периодической:
( ) ( )A t A t T
. (1.19)
В этом случае уравнение для возмущений (1.8) представляет собой линейное
уравнение с периодическими коэффициентами. Устойчивость периодического
решения можно оценить, определив, как малое возмущение 0( )y t
меняется за
период T . Его эволюция может быть представлена следующим
0 0( ) ( )Ty t T M y t
, (1.20)
где TM
– постоянная матрица, называемая матрицей монодромии. Собственные
значения матрицы монодромии, то есть корни характеристического уравнения
0TDet M E , (1.21)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
21. 21
называются мультипликаторами периодического решения 0
( )x t
.
Мультипликаторы определяют устойчивость периодического решения. В самом
деле, действие оператора монодромии (1.20) за период T сводится к
следующему: компоненты разложения первоначального возмущения по
собственным векторам матрицы 0( )A t
умножаются на соответствующие
мультипликаторы i . Таким образом, для того, чтобы периодическое решение
0
( )x t
было устойчиво по Ляпунову, необходимо и достаточно, чтобы его
мультипликаторы удовлетворяли требованию 1i
, 1,2,..., .i N По крайней мере
один из мультипликаторов всегда равен 1 . Как собственно значения матрицы
монодромии, мультипликаторы удовлетворяют, условиям:
1
Sp
N
i T
i
M
,
1
Det
N
i T
i
M
. (1.22)
Мультипликаторы связаны с показателями Ляпунова для периодического
решения следующим образом:
1
lni i
T
. (1.23)
Нулевой показатель в спектре ЛХП предельного цикла соответствует
мультипликатору, равному единице. Предельный цикл является аттрактором,
если все другие показатели отрицательны. Если спектр ЛХП включает
показатели различного знака, то предельный цикл является седловым.
Размерность неустойчивого многообразия седлового цикла равна числу
неотрицательных показателей в спектре ЛХП, а размерность его устойчивого
многообразия равно числу показателей, для которых 0i . Если все 0i , то
предельный цикл является абсолютно неустойчивым (репеллером).
1.1.5. Устойчивость квазипериодических решений. Пусть частное решение
0
( )x t
системы (1.6) соответствует квазипериодическим колебаниям с k
независимыми частотами j , 1,2,...,j k . То есть справедливо следующее:
0 0
1 2
0
1 2
( ) ( ( ), ( ),..., ( ))
( ( ) 2 , ( ) 2 ,..., ( ) 2 ),
k
k
x t x t t t
x t m t m t m
(1.24)
где m – произвольное целое число, ( )j jt t , 1,2,...,j k . Устойчивость
квазипериодического решения характеризуется спектром ЛХП. Матрица
линеаризации 0( )A t
является квазипериодической, поэтому показатели Ляпунова
строго определены только в пределе t . В случае эргодических
квазипериодических колебаний периодичности решения по всем аргументам j
соответствует наличие k нулевых показателей в спектре ЛХП. Если все другие
показатели отрицательные, то k -мерная тороидальная гиперповерхность (мы
будем использовать для простоты термин «k -мерный тор»), на которой лежит
исследуемая квазипериодическая траектория, является аттрактором. Если все
отличные от нуля показатели положительны, то k -мерный тор будет
репеллером. Тор является седловым, если спектр ЛХП траекторий на торе
помимо нулевых показателей содержит как положительные, так и отрицательные
показатели.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
22. 22
Устойчивость хаотических решений. Хаотическая траектория, независимо от
того, принадлежит она хаотическому аттрактору, хаотическому тору или седлу,
всегда имеет хотя бы одно направление неустойчивости. Поэтому спектр ЛХП
хаотического решения всегда имеет по крайней один положительный
показатель Ляпунова. Неустойчивость фазовых траекторий на хаотическом
аттракторе и притягивающий характер предельного множества не противоречат
друг другу. Фазовые траектории, стартуют из близких начальных точек в
бассейне притяжения, стремятся на аттрактор и в то же время экспоненциально
расходятся на нем. Следовательно, хаотические траекторий на аттракторе
неустойчивы по Ляпунову, но устойчивы по Пуассону.
Для хаотических аттракторов типична сложная геометрическая структура, в
связи с чем они были названы странными. Примером странного аттрактора
может служить предельное множество, возникающее в так называемом
отображении подковы (отображении Смейла) [40]. Единичный квадрат
снимается по одному направлению и растягивается по другому, при этом
площадь уменьшается. Полученная лента изгибается в форме подковы и снова
вкладывается в первоначальный квадрат, как показано на рис. 1.7. Такая
процедура повторяется много раз. В пределе формируется множество с нулевой
площадью, которое не является счетным множеством точек или линий. Оно
имеет в своем сечении канторову структуру и характеризуется дробной
размерностью Хаусдорфа.
1.2. Бифуркации динамических систем [40]
Как было сказано выше, качественные преобразования фазового портрета ДС
называются бифуркациями, которые происходят при определенных условиях.
Число условий определяет коразмерность бифуркаций. Ниже рассмотрим
локальные бифуркации состояний равновесия.
Рис. 1.7 – Формирование странного аттрактора в отображении подковы [40]
1.2.1. Седло-узловые бифуркации коразмерности один. Бифуркация
коразмерности один может быть описана с использованием только одного
управляющего параметра . Предположим, что при *
система имеет два
состояния равновесия: устойчивый узел Q и седло S , показанные на рис. 1.8,а.
При *
узел и седло сливаются, образуя негрубое состояние равновесия
называемое седло-узлом (рис. 1.8,б). Оно исчезает при *
(рис. 1.8,в).
Поскольку аттрактор (узел) в результате бифуркации исчезает, границы
бассейнов притяжения качественно меняются. Следовательно, данная
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
23. 23
бифуркация является кризисом. Простейшей модельной системой для анализа
такой бифуркации служит уравнение первого порядка
2
x x . (1.25)
Считается, что оно описывает поведение точки на неустойчивом
многообразии седла, а устойчивое направление исключается из рассмотрения.
В такой одномерной модели седлу соответствует неустойчивое состояние
равновесия. При этом 0
1,2x координаты состояний равновесия, а 1,2 2 –
собственные значения матрицы линеаризации в точках равновесия. Таким
образом, 0
1x – устойчивое, а 0
2x – неустойчивое состояния равновесия. При 0
имеем 0 0
1 2 0x x , собственное значение в этой точке равно нулю. Единственное
бифуркационное условие – ( ) 0 .
1.2.2. Бифуркация коразмерности два – трехкратное равновесие. Эта
бифуркация состоит в слиянии трех состояний равновесия: двух узлов 1Q , 2Q и
седла 0Q , расположенного между ними. В результате остается один устойчивый
узел в точке 0Q (рис. 1.9). Коразмерность бифуркации равна двум, и для ее
рассмотрения требуется изменять два параметра. Модельная система для такой
бифуркации может быть записана в виде
3
1 2x x x . (1.26)
а) б) в)
Рис. 1.8 – Качественная иллюстрация седло-узловой бифуркации
коразмерности один [40]
а) б)
Рис. 1.9 – Иллюстрация бифуркации «трехкратное равновесие»: два устойчивых
узла и седло до бифуркации (а) и один устойчивый узел после бифуркации (б)
[40]
Анализ состояний равновесия показывает, что при 2 0, вне зависимости от
значения 1 0, у системы имеется единственное состояние равновесия 0Q с
собственным значением 0
0Q , которое является асимптотически устойчивым.
При 2 0 существует область значений параметра 1 (заштрихованная область
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
24. 24
на бифуркационной диаграмме, изображенной на рис. 1.10,а), в которой система
имеет три состояния равновесия: 0Q , 1Q и 2Q . Одно из них, 0Q , является
неустойчивым с 0
0Q
, а два других, 1Q и 2Q , устойчивы с 1,2
0Q
. Область
стабильности на бифуркационной диаграмме (рис. 1.10) ограничена линиями 1l и
2l , которые соответствуют седло-узловым бифуркациям узлов 1,2Q с седлом 2Q .
Линии 1l и 2l сходятся к точке 1 2( 0)A , называемой точкой сборки или
каспом. В этой точке одновременно выполняются два бифуркационных условия:
1 1 2( , ) 0Q и 2 1 2( , ) 0Q . Поэтому бифуркация трехкратного равновесия имеет
коразмерность два. В фазо-параметрическом пространстве системы (1.26) имеет
место структура, называемая сборкой (рис. 1.10,б) [4]. В области сборки верхний
и нижний листы бифуркационной диаграммы соответствуют устойчивым
состояниям равновесия, а центральный – неустойчивому.
а) б)
Рис. 1.10 – Иллюстрация бифуркации трехкратного равновесия:
бифуркационная диаграмма (а) и фазо-параметрическая диаграмма (б) [40]
1.2.3. Бифуркация Андронова-Хопфа. В ДС с размерностью 2N возможна
такая ситуация, когда пара комплексно-сопряженных собственных значений
положения равновесия типа «устойчивый фокус» пересекает мнимую ось. Это
означает, что выполнено бифуркационное условие 1,2Re 0 . Пусть при этом
1,2Im 0 . Этот случай отвечает бифуркации Андронова-Хопфа [41], иначе
называемой бифуркацией рождения (исчезновения) предельного цикла. Такая
бифуркация была впервые исследована А.А. Андроновым для случая 2N и
затем обобщена Е. Хопфом на системы с произвольным числом измерений N .
Существуют два различных вида бифуркаций Андронова-Хопфа:
суперкритическая или мягкая бифуркация и субкритическая или жесткая
бифуркация. Суперкритическая бифуркация является внутренней, а
субкритическая бифуркация соответствует кризису аттрактора. Бифуркация
Андронова-Хопфа определяется единственным бифуркационным условием и
поэтому имеет коразмерность один. Суперкритическая бифуркация Андронова-
Хопфа проиллюстрирована на рис. 1.11,а-в и состоит в следующем.
При *
существует устойчивый фокус F , который в точке бифуркации
*
превращается в центр и имеет пару чисто мнимых собственных значений
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
25. 25
1,2 0j . При *
фокус F становится неустойчивым ( 1,2Re 0 ), и вблизи него
рождается устойчивый предельный цикл 0C .
Субкритическая бифуркация Андронова-Хопфа происходит, когда при *
неустойчивый (в общем случае для 2N седловой) предельный цикл 0C
«стягивается» в точку фокуса F , который был устойчивым при *
. В
результате цикл исчезает, а фокус становится неустойчивым (рис. 1.11,г-е).
а) б) в)
г) д) е)
Рис. 1.11 – Суперкритическая (а-в) и субкритическая (г-е)
бифуркации Андронова-Хопфа [40]
Модельная система для бифуркации Андронова-Хопфа имеет следующий
вид:
2
0 1( )a j a L a a , 0 0 , 1 0L , (1.27)
где a – мгновенная комплексная амплитуда. Величина 1L называется первой
ляпуновской величиной состояния равновесия. Если 1 0L , бифуркация является
суперкритической. Если 1 0L , то бифуркация — субкритическая. Для
вещественной мгновенной амплитуды и мгновенной фазы колебаний из (1.27)
получаем
3
1A A L A , 0
, (1.28)
где A a и Arg( )a . Из уравнения для стационарной амплитуды 3
1 0A L A
получаем значения, соответствующие фокусу ( 0FA ) и предельному циклу
( 0 1A L ). Предельный цикл существует при условии, что 1 0L . Величина 0
определяет его период 02 /T . Анализ линеаризованного уравнения для
возмущения амплитуды позволяет найти собственные значения для решений
FA A и 0A A : 2
,0 1 ,03F FL A . Отсюда видно, что для 1 0L цикл существует и
устойчив при 0 , а фокус устойчив при 0 и неустойчив при 0 . В случае
1 0L при 0 существуют неустойчивый цикл и устойчивый фокус, тогда как
при 0 – только неустойчивый фокус. Характер бифуркации в особом
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
26. 26
(вырожденном) случае 1 0L нуждается в дополнительном анализе с учетом
высших степеней .
1.2.4. Бифуркации предельных циклов. Локальные бифуркации
коразмерности один невырожденного предельного цикла, у которого имеется
только один равный единице мультипликатор. Отбросим единичный.
мультипликатор и расположим оставшиеся мультипликаторы в порядке
убывания абсолютных значений. В этом случае бифуркации предельного цикла
связаны с одним действительным или двумя комплексно-сопряженными
старшими мультипликаторами 1,2 . Поскольку бифуркация коразмерности один
предполагает только одно бифуркационное условие соответствующее
равенству 1 1, то возможны лишь три различных типа бифуркаций: *
1 ( ) 1,
*
1 ( ) 1 и *
1,2 ( ) exp( )j , где *
– бифуркационное значение параметра. Для
анализа бифуркаций предельного цикла целесообразно использовать сечение
Пуанкаре. Неподвижные точки в отображении последоваиия характеризуются
теми же самыми мультипликаторами, что и исходный предельный цикл, а
переход к сечению делает анализ более удобным [40].
1.2.5. Седло-узловая бифуркация. При достижении параметром
бифуркационного значения *
мультипликатор 1 устойчивого цикла
становится равным +1. Рисунок 1.12 иллюстрирует эту бифуркацию для случая
трехмерного фазового пространства ( 3N ). При *
существуют два
предельных цикла: устойчивый цикл 1C и седловой цикл 2C (рис. 1.12,а). Им
отвечают устойчивая 1Q и неустойчивая 2Q неподвижные точки в сечении
Пуанкаре. Условие 1 1 определяет бифуркацию, подобную седло-узловой
бифуркации состояний равновесия, рассмотренной выше.
В бифуркационной точке *
происходит слияние циклов 1C и 0C , в
результате чего возникает негрубая замкнутая траектория C типа седло-узел
(см. рис. 1.12,б), которая исчезает при *
. Изменение параметра в
обратном направлении приводит к рождению пары циклов 1C и 2C из сгущения
фазовых траекторий.
1.2.6. Бифуркация удвоения периода. В бифуркационной точке *
.
мультипликатор *
1( ) становится равным 1 , причем */ 0d d . Бифуркация,
определяемая таким условием, называется бифуркацией удвоения периода. Эта
бифуркация может быть суперкритической (внутренней или субкритической
(кризисом).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
