470.динамика цифровых колебательных систем учебное пособие

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Ю.А. БРЮХАНОВ
ДИНАМИКА
ЦИФРОВЫХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ
СИСТЕМ
Издание второе, переработанное и дополненное
Учебное пособие
Ярославль 2005
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

2
УДК 621.37 (075.5)
ББК 3841-01я73
Б 89
Рецензенты:
кафедра радиофизики Воронежского государственного университета; доктор
технических наук, профессор А.А. Ланнэ
Брюханов Ю.А. Динамика цифровых колебательных систем: учеб.
пособие / Ю.А. Брюханов; Яросл. гос. ун-т. – 2-е изд., перераб. и доп. –
Ярославль : ЯрГУ, 2005. – 153 с.
ISBN 5-8397-0405-9
Излагается теория цифровых колебательных систем первого и второго
порядков. Приводится математический аппарат, основанный на теории
одномерных точечных отображений. Рассматриваются линейные и нелинейные
свободные колебания и колебания при постоянном и гармоническом входных
воздействиях. Во 2-е издание включены новые разделы: «Свободные колебания
в нелинейных рекурсивных системах второго порядка» и «Динамика
рекурсивных систем первого порядка с учетом эффектов квантования».
Результаты анализа иллюстрируются траекториями движений, бифуркацион-
ными и вероятностными диаграммами.
Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по
специальности 01380 Радиофизика и электроника (дисциплина «Динамика
цифровых колебательных систем», блок ДС).
Может использоваться студентами, обучающимися по направлениям
подготовки дипломированных специалистов 654200 Радиотехника, 654400
Телекоммуникации и 653700 Приборостроение.
Ил. 100. Библиогр.:21 назв.
УДК 621.37 (075.5)
ББК 3841-01я73
 Ярославский
государственный
университет, 2005
ISBN 5-8397-0405-9  Брюханов Ю.А., 2005

3
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
После выхода в свет первого издания прошло девять лет. Они
отмечены новыми значительными результатами исследований в области
динамики цифровых систем, особенно в нелинейной ее части. Эти
достижения нашли свое отражение в данном издании, что обусловило
существенное изменение общего плана и объема книги.
Широко используемая при изложении материала теория одномерных
точечных отображений вынесена в самостоятельный первый раздел. Из
содержания второго раздела (бывшего первого) исключено рассмотрение
характеристики сумматора с насыщением, вместе с тем оно дополнено
анализом колебаний в линейной и нелинейной рекурсивной системе
первого полрядка при постоянном входном воздействии.
Материал второго и третьего разделов в данном издании объединен
в один третий раздел и подвергнут методической переработке с учетом
опыта преподавания соответствующей учебной дисциплины. При этом
исключен п.2.8, посвященный свободным колебаниям на границах зон
бифуркационного портрета.
С учетом новых достижений в области нелинейной динамики
цифровых систем в книгу включены новые четвертый и пятый разделы:
«Свободные колебания в нелинейных рекурсивных системах второго
порядка» и «Динамика рекурсивных систем первого порядка с учетом
эффектов квантования». В первом из них содержится материал о
колебательных процессах в автономных системах с двумя видами
нелинейности сумматора: с насыщением и пилообразной. В пятом разделе
изложены вопросы теории свободных колебаний и колебаний при
постоянном входном воздействии в системах, использующих целочислен-
ную арифметику с фиксированной запятой, прямым или обратным кодом,
с округлением результатов сложения. Рассмотрено квантование с
произвольным количеством уровней. Список литературы значительно
изменен и дополнен новыми источниками.
Автор признателен всем высказавшим суждения, замечания и
предложения по содержанию первого издания книги. Учет их
способствовал повышению научного и методического уровня данного
пособия.
г. Ярославль, 2005 Ю.А. Брюханов

4

5
ВВЕДЕНИЕ
Последнее десятилетие отмечено широким внедрением
компьютерных технологий в системы передачи информации. Основу этих
технологий составляют цифровые системы передачи сигналов и цифровые
методы обработки сигналов. В настоящее время они составляют основу
важнейших разработок в области физики, электроники и электротехники,
в особенности в системах связи, радиолокации, контрольно-
измерительных системах и системах автоматического управления.
Бурное развитие компьютерных технологий обусловлено
несколькими причинами: высокая эффективность цифровых методов
позволяет лучше обрабатывать и анализировать сигналы; при их
применении проявляется большая гибкость и имеется все возрастающая
возможность использования высокопроизводительных ЭВМ или
быстродействующих специализированных цифровых вычислителей,
стоимость которых постоянно снижается.
Основу устройств цифровой обработки сигналов составляют
цифровые цепи, широкий класс которых можно отнести к числу
колебательных систем дискретного времени. Теория колебаний
непрерывных систем изложена в классической монографии
А.А. Андронова, А.А. Витта и С.Э. Хайкина, а также в работах
С.П. Стрелкова, В.В. Мигулина, В.И. Медведева, Е.Р. Мустель и
В.Н. Парыгина. Классическая теория колебаний построена на базе теории
дифференциальных уравнений.
Сегодня активно разрабатывается теория колебаний цифровых
систем, включающая общие закономерности колебательных процессов в
различных динамических системах дискретного времени.
Разрабатываются эффективные методы анализа и расчета процессов,
изучаются закономерности их протекания в реальных системах с
использованием в каждом случае наиболее адекватных методов
рассмотрения. При этом многообразие цифровых колебательных систем
требует при изучении нахождения общих черт у различных систем и
объединения их по наиболее характерным признакам в определенные
классы и типы.
Как и аналоговые (непрерывные), цифровые системы можно
классифицировать по их параметрам, выделяя системы с параметрами, не
зависящими от их состояния (линейные системы с постоянными
параметрами, линейные системы с параметрами, зависящими от времени,
– параметрические), и с параметрами, зависящими от состояния системы
(нелинейные системы), а также по условиям воздействия, разделяя
системы на автономные и неавтономные.

6
Свойства цифровых цепей наиболее полно описаны в классической
монографии Л. Рабинера и Л. Гоулда, а также в работах А.В. Оппенгейма,
Р.В. Шафера, В. Каппелини, А.Дж. Константинидиса, П. Эмилиани и
автора данной книги. Значительные исследования в области нелинейной
динамики цифровых систем выполнены А. Дэвисом и М. Огорзалеком.
В настоящем пособии излагается теория рекурсивных цифровых
колебательных систем первого и второго порядков, на базе которых, как и
в системах непрерывного времени, строится большинство сложных
колебательных систем. Большое внимание уделяется одному из главных
вопросов теории колебаний – условию устойчивости динамической
системы. Рассматриваются режим свободных колебаний для различных
сочетаний параметров системы, построение бифуркационной диаграммы,
а также поведение системы под действием внешней силы (вынужденные
колебания) и частотные свойства. Полагается, что эффекты квантования
отсутствуют.
Первый раздел посвящен теории систем первого порядка.
Рассмотрены свободные колебания при линейной и нелинейной (с тремя
видами нелинейности) характеристиками сумматора, а также линейные
колебания под действием гармонической внешней силы.
Во втором и третьем разделах изложены вопросы теории свободных
и вынужденных колебаний в линейной системе второго порядка –
цифровом осцилляторе. Показаны траектории движения в сравнении с
фазовыми портретами непрерывных систем, определены условия
устойчивости и частотные свойства, приведен анализ резонансных
законов.
Математический аппарат, используемый в учебном пособии,
основан на теории разностных уравнений, классической теории колебаний
и методе точечных отображений (преобразований).
В основу пособия положен материал лекций, читающихся автором
студентам физического факультета Ярославского университета,
обучающихся по специальности «Радиофизика и электроника». Он
дополняет содержание традиционной дисциплины «Теория колебаний».
Автор признателен профессорам С.И. Баскакову, А.А. Ланнэ,
С.А. Кащенко, Н.В. Михееву и Л.Н. Казакову за творческие дискуссии,
конструктивные замечания и рекомендации, оказавшие большую
практическую поддержку. Большую помощь при подготовке материала
оказали коллеги по кафедре динамики электронных систем, особенно
доцент, к.т.н. А.Л. Приоров, старшие преподаватели, кандидаты наук В.В.
Хрящев, А.Н. Тараканов и заведующий лабораторией Ю.А. Лукашевич,
который выполнил компьютерный набор рукописи.

7
1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОДНОМЕРНЫХ
ТОЧЕЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
Метод точечных отображений (преобразований) является одним из
эффективных методов изучения динамики сильно нелинейных систем,
поведение которых описываются дифференциальными или разностными
уравнениями с кусочно-гладкими нелинейностями. Этот метод,
зарождение которого связано с именами А. Паункаре и Дж. Биркгофа, был
введен в теорию нелинейных колебаний А.А. Андроновым. Установив
связь между автоколебаниями и предельными циклами А. Пуанкаре и
опираясь на математический аппарат качественной теории
дифференциальных уравнений, А.А. Андронов существенно расширил
возможности метода «припасовывания» и сформулировал принципы,
которые легли в основу метода точечных отображений, что позволило
эффективно использовать этот метод при исследовании конкретных
систем автоматического регулирования и радиотехники.
Сущность метода заключается в следующем. Пусть задан отрезок
прямой ( )ba, и каждой точке x этого отрезка поставлена в соответствие
точка x этого же отрезка. Такое соответствие называется точечным
отображением отрезка ( )ba, в себя.
Любое точечное отображение может быть задано в виде функции
( )xfx = , (1.1)
называемой функцией последования, и, наоборот, любая функция
определяет, некоторое точечное отображение. Точки x и x называются
соответственно начальной и последующей, или точкой-оригиналом и
точкой-образом.
Пусть точечное отображение F отрезка ( )ba, в себя определяется
функцией последования (1.1), причем эта функция и отрезок таковы, что
для любого ( )bax ,∈ существует ( ) ( )baxf ,∈ . Возьмем на отрезке
( )ba, некоторую точку 0x и найдем ее последующую ( )01 xfx = .
Применив к точке 1x отображение F , получим точку
( ) ( )[ ]012 xffxfx == .
Отображение, переводящее точку 0x в точку 2x , представляет собой
произведение отображения F и F и записывается как степень
отображения F (т.е.
2
FFF =⋅ ). Применяя далее отображение F к
точке 2x , получим точку ( )23 xfx = , которая является результатом
применения отображения
3
F к точке 0x , причем ( )[ ]{ }03 xfffx = .

8
В общем случае этот процесс описывается следующим образом:
( )1−= nn xfx . (1.2)
Значение nx называется n-й итерацией начального значения 0x .
Точечное отображение отрезка прямой имеет наглядную
геометрическую интерпретацию в виде диаграммы Ламерея,
представляющую собой график функции последования ( )xfx = с
нанесенной на нем биссектрисой координатного угла xx = (рис. 1.1).
Итерационный процесс, порождаемый точечным отображением F ,
изображается на этой диаграмме лестницей Ламерея.
x*
x
x
x=f x( )
x=
x
x0
0
Рис. 1.1
Точка ∗x отрезка ( )ba, , являющаяся корнем уравнения
( ) 0=− xxf , (1.3)
т.е. отображающаяся сама в себя (поскольку ( )∗∗ = xfx ), называется
простой неподвижной (или инвариантной) точкой отображения F . На
диаграмме Ламерея простая неподвижная точка отображения F является

9
абсциссой точки пересечения графика функции последования ( )xf с
биссектрисой координатного угла xx = . Как видно из рис. 1.1,
неподвижная точка ∗x может являться пределом последовательности
(1.2).
Неподвижная точка ∗x точечного отображения F называется
устойчивой в малом, если существует хотя бы сколь угодно малая
окрестность этой точки, такая что любая последовательность (1.2),
начинающаяся в этой окрестности, сходится к точке ∗x . В противном
случае неподвижная точка ∗x называется неустойчивой. На рис. 1.1–1.4
приведены примеры точечных отображений, имеющих устойчивые и
неустойчивые простые неподвижные точки.
x
x
x=f x( )
x=x
0
Рис. 1.2

10
x
x
x=f x( )
*
x
x=x
0
x0
Рис. 1.3
x
x
x=f x( )
*
x
x=x
0
Рис. 1.4

11
Условие устойчивости в малом простой неподвижной точки
точечного отображения задается теоремой Кенигса: неподвижная точка
∗x точечного отображения F с функцией последования ( )xf устойчива,
если в сколь угодно малой окрестности этой точки выполняется условие
1<
∗=xxdx
df
, (1.3а)
и неустойчива, если
1>
∗=xxdx
df
. (1.3б)
Следует заметить, что эта теорема не решает вопроса об устойчивости
неподвижной точки в критическом случае, когда 1=dxdf . В этом
случае устойчивость определяется знаками старших производных
функции последования.
Вместе с тем итерационный процесс, порождаемый точечным
отображением, может сходиться не только к простой устойчивой
неподвижной точке. На рис. 1.5 приведен пример точечного отображения,
у которого последовательность итераций сходится к паре точек 1a и 1b ,
таких что
( ) ( ) 1111 , abfbaf == .
Такое инвариантное многообразие называется двукратным циклом
точечного отображения, или циклом периода 2, а точки 1a и 1b
называются двукратными неподвижными точками точечного
отображения F . Они находятся как корни уравнения:
( )[ ] 0=− xxff . (1.4)

12
x
x
x=f x( )
ca bx0 0
x=x
Рис. 1.5
Рассмотрим подобные многообразия в общем случае. Если функция
последования ( )xf , заданная на интервале ( )ba, , и сам интервал ( )ba,
таковы, что для любого ( )bax ,∈ имеет место ( ) ( )baxf ,∈ , то в этом
интервале можно построить последовательность следующих
итерированных функций:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ){ } ( ) ( )
0 0 1 1 2 2
3 3 1
, , ,
, ..., .n n n
x f x x x f x f x x f x f f x
x f x f f f x x f x f x −
= = = = = =   
= = = =  
(1.5)
Функция ( ) ( )1−= nn xfxf называется n-й итерацией функции
( )xf . Для натуральных итераций имеет место следующее основное
функциональное уравнение:
( )[ ] ( )xfxff mnmn += . (1.6)
Пусть N – минимальное число, при котором для некоторой точки
0x выполняется равенство

13
( ) 00 xxfN = . (1.7)
Тогда точка 0x называется N -кратной неподвижной (или инвариантной)
точкой точечного отображения F . Применяя к обеим частям равенства
(1.7) операцию f , получим, что одновременно с точкой 0x N -кратными
неподвижными будут и точки
( ) ( ) ( )011022011 ...,,, xfxxfxxfx NN −− === . (1.8)
Инвариантное множество (1.8) называется N -кратным циклом
точечного отображения F , или циклом периода N , и представляет
собой совокупность N точек, которые последовательно циклически
отображаются одна в другую. На диаграмме Ламерея кратные циклы
отображаются в виде замкнутых контуров, состоящих из отрезков
вертикальных и горизонтальных прямых (рис. 1.6).
x
x
x=f x( )
x=
x
0
Рис. 1.6
Очевидно, что при выполнении равенства (1.7) имеет место и
равенство
( ) 00 xxfkN = , (1.9)

14
где k – целое число. Нахождение N -кратных неподвижных точек
сводится к нахождению действительных корней уравнения
( ) 0=− xxfN , (1.10)
называемого уравнением N-кратных неподвижных точек.
Достаточное условие устойчивости в малом кратного точечного
отображения может быть сформулировано в виде следующей обобщенной
теоремы Кенигса: N -кратный цикл (цикл периода N ) устойчив, если для
сколь угодно малой окрестности некоторой инвариантной точки C
выполняется условие
1<
=Cx
N
dx
df
, (1.11)
и неустойчив, если
1>
=Cx
N
dx
df
. (1.12)
Задача исследования динамической системы методом точечных
отображений состоит в нахождении всех неподвижных точек,
исследовании их устойчивости и зависимости от параметров. Наиболее
сложной является задача нахождения многократных неподвижных точек.
При этом следует пользоваться критериями, позволяющими по свойствам
данного отображения судить о свойствах кратных ему отображений и, в
частности, о существовании кратных неподвижных точек.
Имеется 6 теорем о существовании и единственности кратных
циклов одномерного точечного отображения. Три теоремы со
следствиями, используемые ниже, даны в приложении.
Согласно следствию 1 теоремы 1 непрерывное отображение с
монотонно возрастающей функцией последования не имеет кратных
неподвижных точек и может иметь лишь простые неподвижные точки
чередующейся устойчивости (см. рис. 1.1 – 1.2).
Согласно следствию 2 теоремы 1 непрерывное отображение не
имеет кратных неподвижных точек, если во всей области определения
выполняется условие
1−>
dx
df
. (1.13)

15
При этом отображение имеет лишь простые неподвижные точки
чередующейся устойчивости (см. рис. 1.1 – 1.3).
На основании следствия 3 теоремы 1 непрерывное отображение,
удовлетворяющее во всей области его определения условию
1<
dx
dfN
, (1.14)
не имеет кратных неподвижных точек и может иметь лишь единственную
устойчивую простую неподвижную точку (см. рис. 1.1 и рис. 1.3).
В соответствии со следствием теоремы 2 непрерывное отображение
с монотонно убывающей функцией последования не может иметь
неподвижных точек кратности выше второй (смотри рис. 1.5).
Точечное отображение зависит от параметров, причем эта
зависимость носит только количественный характер за исключением
бифуркационных значений параметров, при которых происходит
качественное изменение отображения. Бифуркации точечного
отображения сводятся в основном к бифуркациям неподвижных точек и
циклов: их рождению, исчезновению, изменению устойчивости.
Одним из основных понятий в теории нелинейных колебаний
является устойчивость движения. Среди многих определений
устойчивости наиболее известны устойчивость по Ляпунову и орбитная
устойчивость. В отношении состояния равновесия эти определения
совпадают и для дискретного времени n состоят в следующем.
Определение 1. Состояние равновесия ∗= xx называется
устойчивым, если для любого числа 0>ε можно указать настолько малое
число )(εδ , что для любого другого движения )(nxx = с начальными
условиями, отличающимися от ∗x меньше, чем на δ, при всех
последующих значениях n выполняется неравенство
ε<ρ ∗)),(( xnx ,
где )),(( ∗ρ xnx – расстояние между изображающими точками с
координатами )(nx и ∗x в пространстве состояний.
Определение 2. Состояние равновесия называется асимптотически
устойчивым, если оно устойчиво согласно определению 1 и в дополнение
к нему ρ стремится к нулю при неограниченном возрастании времени.

16
Применительно к динамическим системам дискретного времени
ниже также используются следующие понятия состояния равновесия.
Определение 3. Состояние равновесия ∗x называется суперустой-
чивым, если оно устойчиво по Ляпунову и выполняется равенство
Nn
xnx ≥∗ =ρ 0)),(( .
Определение 4. Состояние равновесия называется нейтрально
устойчивым, если устойчивым является любое состояние системы.
Определение 5. Состояние равновесия ∗x называется полуустой-
чивым, если характер равновесия (устойчивое или неустойчивое) зависит
от знака отклонения состояния )(nx от ∗x .
Для периодических движений понятия устойчивости по Ляпунову и
орбитной устойчивости различаются.
Определение 6. Периодическое движение )(nxx ∗= называется
устойчивым по Ляпунову, если для любого 0>ε можно указать такое
сколь угодно малое )(εδ , что для всякого другого движения )(nxx = , для
которого 0 0( ( ), ( ))x n x n∗ρ < δ, при всех 0nn > выполняется неравенство
ε<ρ ∗ ))(),(( nxnx .
Определение 7. Периодическое движение )(nxx ∗= называется
орбитно устойчивым, если для любого 0>ε можно указать такое сколь
угодно малое 0)( >εδ , что при выполнении неравенства δ<γρ )),(( 0nx
следует выполнение неравенства ε<γρ )),(( nx для всех значений 0nn > .
Здесь γ – замкнутая траектория движения, отвечающая периодическому
движению )(nxx ∗= , устойчивость которого исследуется, а
));0[()( ∞∈= nnxx – произвольная траектория движения.
Определениям 6 и 7 можно дать наглядную геометрическую
интерпретацию. Требование устойчивости по Ляпунову означает
(рис. 1.7), что изображающие точки, расстояние между которыми в
начальный момент времени не превышает δ, в дальнейшем будут
находиться друг от друга на расстоянии, меньшем ε. Требование
орбитной устойчивости несколько слабее (рис. 1.8): если в начальный
момент расстояние изображающей точки от замкнутой траектории
меньше δ, то в дальнейшем это расстояние не превышает ε. Итак,
орбитно устойчивое движение может быть неустойчивым по Ляпунову,
однако периодическое движение, устойчивое по Ляпунову, всегда орбитно
устойчиво.

17
δ
ε
x n( )
x n( )
0
x n( )*
Рис. 1.7
δ
ε
x n( )
x n( )
0
x n( )*
γ
0
x n( )*
Рис. 1.8

18
2. ДИНАМИКА ЦИФРОВЫХ РЕКУРСИВНЫХ СИСТЕМ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Цифровые системы (цепи) первого порядка широко распространены
в системах передачи информации. Они используются самостоятельно в
качестве фильтров нижних (ФНЧ) и верхних (ФВЧ) частот, а также в
совокупности с цепями второго порядка при каскадной (или
последовательной) и параллельной формах реализации цифровых
фильтров высокого порядка.
Структурная схема рекурсивной системы первого порядка
изображена на рис. 2.1. Здесь ( )1+nx – входное воздействие, ( )11 +ny –
реакция системы,
1−
z – элемент задержки, 1b – умножитель с
коэффициентом 1b , блок ( )ϕf определяет вид характеристики сумматора.
Здесь и ниже тип этой характеристики (линейный или нелинейный)
определяет тип динамической системы.
y n+( 1)x n+( 1)
y n( )
1
1
b1
z-1
f( )
Рис. 2.1
Линейной характеристике сумматора соответствует равенство
( ) ϕ=ϕf . Нелинейная характеристика бывает двух видов – с насыщением
и пилообразная.
Полагаем, что характеристика с насыщением описывается функцией
( )
( )
при 1,
signпри 1.
f
ϕ ϕ <
ϕ =
ϕ ϕ ≥
(2.1)
График ее изображен на рис. 2.2.

19

f( )
1
-1
0 1 2-1-2
Рис. 2.2
Пилообразная характеристика описывается функцией
( ) ( ) 1)2(mod1 −+ϕ=ϕf , (2.2)
а график ее показан на рис. 2.3.

f( )
1
-1
0 1 2 3-1-2-3
Рис. 2.3
Заметим, что функции (2.1) и (2.2) соответствуют использованию в
цифровых фильтрах арифметики с фиксированной запятой и чисел,
выровненных слева.
Колебания в рекурсивной системе первого порядка в общем случае
описываются разностным уравнением

20
( ) ( ) ( )( )11 111 ++=+ nxnybfny . (2.3)
Реальные цифровые динамические системы нелинейны. Рассмотрение
линейных систем связано с определенной идеализацией, в частности, в
цифровой системе это идеализация характеристики сумматора. Вместе с
тем изучение линейных систем позволяет установить ряд
фундаментальных практически важных свойств динамических реальных
систем, таких как устойчивость, частота собственных колебаний,
частотные свойства и.т.п. Заметим, что идеализация (линейность)
характеристики сумматора во многих случаях справедлива. Рассмотрим
свободные колебания и колебания при внешнем воздействии в линейной и
нелинейной системах.
2.1. Свободные колебания в линейной системе
Изучение свободных колебаний линейной динамической системы
играет большую роль, поскольку оно дает сведения об устойчивости
системы, позволяет установить влияние параметров системы на ее
основные динамические характеристики. Полагаем, что характеристика
сумматора линейна, т.е. справедливо равенство ( ) ϕ=ϕf .
Известно, что свободные колебания динамической системы
описываются однородным уравнением. В линейной цифровой
рекурсивной системе первого порядка таковым является разностное
уравнение
( ) ( )nybny 111 1 =+ (2.4)
при ненулевом начальном условии ( ( ) 001 ≠y ). Введем функцию
( ) ( )112 += nyny , тогда уравнение примет вид
( ) ( )nybny 112 = . (2.5)
Исследование динамических процессов в рассматриваемой системе
удобно проводить методом одномерных точечных отображений. В данном
случае отображение задается функцией последования
112 yby = . (2.6)

21
Точки ( )ny1 и ( )11 +ny называются соответственно начальной и
последующей, или точкой-оригиналом и точкой-образом. Точка ( )ny1
называется n-й итерацией начального значения ( )01y .
Точка
∗
1y , являющаяся корнем уравнения 0111 =− yyb , т.е.
отображающаяся сама в себя (
∗∗
= 111 yby ), является простой неподвижной
точкой отображения. На диаграмме Ламерея она является абсциссой точки
пересечения графика функции последования с биссектрисой
координатного угла. Как видно из рис. 2.4, неподвижная точка может
являться пределом последовательности (2.4).
y
y
y =b y
2
1 1
1
y (0)1
2
0
y=y2
1
Рис. 2.4
Обратимся к упомянутым в разделе 1 теоремам о существовании и
единственности кратных циклов одномерного точечного отображения и
их следствиям. Следствию 1 теоремы 1 (согласно которому непрерывное
отображение с монотонно возрастающей функцией последования не имеет
кратных неподвижных точек и может иметь лишь простые неподвижные
точки чередующейся устойчивости) удовлетворяет функция (2.6) при
01 >b . Это отображение имеет простую неподвижную точку в начале
координат (см. рис. 2.4).

22
Следствию 2 теоремы 1 (согласно которому непрерывное
отображение не имеет кратных неподвижных точек, если во всей области
определения выполнено условие (1.13), и может иметь лишь простые
неподвижные точки чередующейся устойчивости) удовлетворяет функция
(2.6) при 11 −>b . В этих условиях рассматриваемое отображение не
имеет кратных неподвижных точек.
Следствию 3 теоремы 1 (согласно которому непрерывное
отображение, удовлетворяющее во всей области его определения условию
(1.14), не имеет кратных неподвижных точек и может иметь лишь
единственную устойчивую простую неподвижную точку) удовлетворяет
функция (2.6) при 11 <b . При этом рассматриваемое отображение имеет
единственную устойчивую простую неподвижную точку – начало
координат (см. рис. 2.4 и 2.5).
y
y
y =b y
2
1 1
1
y (0)1
2
y
=-y
2
1
y=y2
1
Рис. 2.5
Следствию теоремы 2 (согласно которому непрерывное отображение
с монотонно убывающей функцией последования не имеет неподвижных
точек кратности выше второй) удовлетворяет функция (2.6) при 01 <b .
Следовательно, при 01 <b нет неподвижных точек кратности выше
второй. При 11 −=b отображение (2.6) имеет нейтрально устойчивый
цикл периода 2 (см. рис. 2.6).

23
y
y
y=-y
2
1 1y (0)1
2
y
=y
2
1
Рис. 2.6
Отметим, что при 11 =b отображение (2.6) имеет нейтрально
устойчивые неподвижные точки (соответственно рекурсивная система
имеет нейтрально устойчивые состояния равновесия) (см. рис. 2.7).
y
y
y =y
2
1
1
y (0)1
2
y (0)1
y (0)1
y (0)1
0
Рис. 2.7

24
Если 11 >b , то отображение имеет единственную неподвижную
точку в начале координат. Согласно теореме Кенигса (1.3б) она
неустойчива (см. рис. 2.8 и 2.9).
y
y
1
2
y (0)1
y=by
2
1
1
0
y=y2
1
Рис. 2.8
y
y
y=by
2
11
1
2
y=y2
1
y (0)1
y =-y
2
1
Рис. 2.9

25
Зависимость точечного отображения от параметров можно
изобразить в виде бифуркационных диаграмм состояний равновесия и
периодов колебаний динамической системы. Выполненные рассуждения
позволяют построить бифуркационную диаграмму состояний равновесия
рассматриваемой системы в виде рис. 2.10а.
b
y
1
1
0 1-1
1
-1
а)
b
T
1
0 1-1
1
2
б)
Рис. 2.10

26
Здесь и ниже обозначено: – устойчивость, – неустойчивость,
– нейтральная устойчивость. Состояние покоя системы ( 01 =y )
устойчиво при 11 b . Если 11 =b , система
нейтрально устойчива при всех значениях 1y .
Бифуркационная диаграмма периодов колебаний (рис. 2.10б)
показывает зависимость периода возникающих колебаний (с указанием
его устойчивости) от параметра (коэффициента) системы 1b . В
зависимости от величины 1b в рассматриваемой системе возможны
устойчивое или неустойчивое состояние покоя ( 0=T ), нейтрально
устойчивые колебания с периодом 1=T или 2=T .
Колебательную систему, описываемую уравнением (2.4), можно
исследовать и таким образом. Решение уравнения (2.4) имеет вид
( ) n
bCny 111 = , где ( )011 yC = . Состояние равновесия системы
определяется равенством 111 yby = .
Возможны следующие варианты:
1. 11 ≠b . Имеется единственное состояние равновесия в точке ( )01y
(состояние покоя).
2. 11 =b . Имеется бесконечное множество состояний равновесия,
устойчивых нейтрально.
3. 11 −=b . Существует бесконечное множество нейтрально
устойчивых циклов периода 2=T .
Метод точечных отображений дает больше информации о процессах
в динамической системе и более предпочтителен, особенно для изучения
нелинейных систем.
2.2. Свободные колебания в нелинейной системе
Свободные колебания в нелинейной рекурсивной системе первого
порядка описываются разностным уравнением
( ) ( )( )nybfny 111 1 =+ (2.7)
при ненулевом начальном условии ( ( ) 001 ≠y ). Ему соответствует
функция последования ( )112 ybfy = , где ( )ϕf – характеристика
сумматора.
Рассмотрим рекурсивную систему с двумя видами характеристики
сумматора – с насыщением и пилообразной, – которые описываются

27
функциями (2.1) и (2.2) соответственно. Исследование проводим методом
точечных отображений.
Если выполняется условие
1
d
d
1
01 1
<=
=
b
y
f
y
,
то в системе существует единственное состояние равновесия в начале
координат. Это состояние асимптотически устойчиво независимо от вида
характеристики. Остаются справедливы все приведенные в п. 2.1
рассуждения, относящиеся к случаю 11 =
=
b
y
f
y
.
При 1b >1 отображение имеет три простые неподвижные точки:
неустойчивую 01 =Y и две суперустойчивые { }1;11 −∈Y (см. рис. 2.11).
Свойства устойчивости вытекают из теоремы Кенигса, а отсутствие
кратных неподвижных точек обусловлено следствием 1 теоремы 1.
1
-1
0-1-2
1 2
y=y2
1
y =f b y( )2 1 1
y (0)1
y2
y1
Рис. 2.11

28
При 1b < -1 отображение имеет три неподвижные точки: простую
неустойчивую в начале координат (на основании теоремы Кенигса) и
двукратные суперустойчивые неподвижные точки { }1;11 −∈Y ,
образующие цикл периода 2=T (см. рис. 2.12).
1
-1
-1-2
1 2
y=y2
1
y =f b y( )2 1 1
y2
y1
y =-y
2
1
Рис. 2.12
Если 1b = 1, отображение имеет множество нейтрально устойчивых
простых неподвижных точек на отрезке ( )1;11 −∈y и нейтрально-
суперустойчивые простые точки { }1;11 −∈Y .
При 1b = -1 отображение имеет множество двукратных нейтрально
устойчивых неподвижных точек на отрезке ( )1;11 −∈y и двукратные
нейтрально-суперустойчивые неподвижные точки { }1;11 −∈Y , образую-
щие цикл периода 2=T .
Выполненные рассуждения позволяют построить бифуркационную
диаграмму состояний равновесия рассматриваемой системы в виде рис.
2.13а.
Здесь и ниже обозначено: – суперустойчивость. На
бифуркационной диаграмме периодов колебаний (рис. 2.13б) показана
зависимость возможных периодов, возникающих в системе свободных
колебаний (с указанием их устойчивости), от параметра 1b . В зависимости
от величины коэффициента 1b в рассматриваемой системе возможны
устойчивые или неустойчивые состояния покоя ( 0=T ); при 11 ≥b имеем
суперустойчивые, или нейтрально-суперустойчивые, или нейтрально
устойчивые колебания с периодом 1T = ; при 11 −≤b имеем

29
суперустойчивые, или нейтрально-суперустойчивые, или нейтрально
устойчивые колебания с периодом 2=T .
b
y
1
1
0 1-1
1
-1
а)
b
T
1
0 1-1
1
2
б)
Рис. 2.13

30
Пилообразная характеристика сумматора
В данном случае отображение является разрывным и может
порождать более сложные движения. Рассмотрим случай
1
d
d
1
01 1
>=
=
b
y
f
y
.
Пример графика функции последования при 11 >b показан на рис.
2.14. здесь функция терпит разрыв первого рода в точках a± , a3± и т.д.,
где 11 ba = . На интервале [ )aay ;1 −∈ функция последования имеет вид
112 yby = , на интервале [ )aay 3;1 ∈ имеем 2112 −= yby , а на интервале
[ )aay −−∈ ;31 имеем соответственно 2112 += yby .
2-2
a-a
y=y2
1y2
y1
y=by
2
1
1
y=by-2
2
1
1
y=by+2
2
1
1
Рис. 2.14
Это отображение имеет простую неподвижную неустойчивую точку
в начале координат и может порождать квазипериодические движения,
или, иначе, ограниченные непериодические движения. Таким движениям
на диаграмме Ламерея соответствует лестница Ламерея в виде ломаной
неограниченной длины, плотно заполняющей диаграмму в некоторой
ограниченной области. Пример такого движения представлен на рис. 2.14.
Данное отображение при 1b >1 может порождать и двукратные
неподвижные точки (циклы периода 2). Покажем это (см. рис. 2.15).

31
2-2
a-a
Y ( )01
Y ( )11
1
-1
y=y2
1
y2
y1
y=by
2
1
1
y=by-2
2
1
1
y=by+2
2
1
1
Рис. 2.15
Пусть стартовое состояние соответствует условию ( ) [ )1;01 ay ∈ , тогда
( ) ( ) 201 111 −= yby . Эта точка принадлежит области [ )aay −−∈ ;31 ,
следовательно, ( ) ( ) 212 111 += yby . Периоду 2=T соответствует
равенство ( ) ( )02 11 yy = . Откуда имеем ( ) ( ) ( ) =+== 2100 1111 ybYy
( )( ) ( ) 220220 11
2
1111 +−=+− bybybb . Следовательно,
( )
1
1
1
2
0
b
Y
+
= ,
соответственно
( ) ( ) ( )0
1
2
11 1
1
11 Y
b
Yy −=
+
−== .
С помощью обобщенной теоремы Кенигса ((1.11), (1.12)) определим
устойчивость двукратной неподвижной (инвариантной) точки ( )01Y
данного отображения. В нашем случае имеем == 2ffN 22 11
2
1 +− byb , а
производная
1
d
d
d
d 2
1
1
2
>== b
y
f
x
fN
.

32
Следовательно, точка ( )01Y , а вместе с ней и точка ( )11Y (а вместе с ними
и цикл периода 2) неустойчивые.
При 1b < -1, кроме простой неподвижной неустойчивой точки в
начале координат, отображение порождает еще несколько простых
неподвижных неустойчивых точек, например, абсциссы точек
пересечения биссектрисы с прямыми 2112 ±= yby (см. рис. 2.16).
2-2
a-a
1-1
1
-1
y=y2
1
y2
y1
y=by-2
2
11
y=by+2
2
11
Рис. 2.16
Значения этих абсцисс получаются из системы уравнений
2 1 1
2 1
2
,
y b y
y y
= ±

=
откуда следует
1
11
1
2
b
Yy
−
±
== .
Если 1b = 1, отображение имеет множество нейтрально устойчивых
простых неподвижных на отрезке [ )1;11 −∈y . При 1b = -1 отображение
порождает множество двукратных нейтрально устойчивых неподвижных
точек на отрезке ( ]1;11 −∈y , образующих цикл периода 2=T .

33
b
y
1
1
0 1-1
1
-1
а)
b
T
1
0 1-1
1
2
б)
Рис. 2.17
Проведенный анализ позволяет построить бифуркационные
диаграммы состояний равновесия и периодов колебаний рассматриваемой
системы. Они показаны на рис. 2.17а и б соответственно. В зависимости
от величины коэффициента 1b в рассматриваемой системе возможны
устойчивые или неустойчивые состояния покоя ( 0=T ). Если 11 =b ,

34
имеем нейтрально устойчивые колебания с периодом 1T = , а при 1 1b > –
неустойчивые колебания с периодом 2=T . В случае 11 −=b в системе
возникают нейтрально устойчивые колебания с периодом 2=T , а когда
11 −<b – неустойчивые колебания с периодом 1T = .
2.3. Колебания при постоянном входном воздействии
Одним из основных сигналов в цифровых системах передачи
информации является прямоугольный импульс. Изучение колебательных
режимов при постоянном внешнем воздействии позволяет определить
длительность переходного процесса, а также реакцию динамической
системы в установившемся режиме при включении импульса.
Колебания в рекурсивной цепи первого порядка при постоянном
внешнем воздействии A описываются вытекающим из (2.3) разностным
уравнением
( ) ( )( )Anybfny +=+ 111 1 . (2.8)
Полагаем, что коэффициент 1b выбирается в области устойчивости
линейной системы, т.е. 11 <b . Рассмотрим процессы в линейной и
нелинейной системах.
2.3.1. Колебания в линейной системе
Колебания в линейной системе описываются уравнением
( ) ( ) Anybny +=+ 111 1 , (2.9)
для решения которого можно воспользоваться методом одностороннего
z -преобразования. Выполним z -преобразование обеих частей (2.9):
( ) ( ) ( )
1
0 1111
−
+=−
z
Az
zYbzyzzY .
Изображение реакции имеет вид
( ) ( )
( )( )1
0
11
1
1
−−
+
−
=
zbz
Az
bz
zy
zY ,
а сама реакция системы выражается функцией

35
( ) ( )
1
1
1
11
11
0
b
A
b
b
A
yny n
−
+





−
−= . (2.10)
Поскольку 11 0 (цепь является ФНЧ), 0>A . Переходный процесс при
включении постоянного воздействия считается оконченным при Nn = ,
если выполняется равенство
( ) 111 1,0 YNyY =− .
После преобразований при нулевом начальном условии получим
1,01 =
N
b .
Искомая величина N находится логарифмированием обеих частей
последнего выражения и равна
1ln
3,2
b
N −≈ .
Это выражение справедливо для любых знаков 1b и A.
Колебания в линейной системе можно изучить и методом точечных
отображений. Для этого введем функцию ( ) ( )112 += nyny . Согласно
уравнению (2.9) функция последования имеет вид
Ayby += 112 .
На рис. 2.18 изображены диаграмма и лестница Ламерея при 01 >b ,
0>A . Координата простой неподвижной точки 1Y находится из (2.11).
Диаграмма состояний равновесия линейной системы при { }4,0;2,0∈A
приведена на рис. 2.19. Все состояния равновесия устойчивые.

36
-1
1
1
-1
y
2
y
1
y =b y +A
2 1 1
A
Y
1
y=y2
1
y (0)1
0
Рис. 2.18
b0 1
0,2 0,4 0,6 0,8-0,2-0,4-0,6-0,8-1
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
Y1
A=0,4 0,2
Рис. 2.19

37
2.3.2. Колебания в нелинейной системе
Рассмотрим процессы в рекурсивной системе с двумя видами
характеристики сумматора: с насыщением и пилообразной, которые
описываются функциями (2.1) и (2.2) соответственно. Используем метод
точечных отображений, имея в виду, что функция последования
выражается как ( )Aybfy += 112 .
В зависимости от значений 1b и A в системе возможен линейный
или нелинейный режимы.
Линейный режим
Пусть 1b >0 (система является ФНЧ). Линейный режим имеет
место, если определяемая из (2.11) величина 1Y удовлетворяет условию
11 ≤Y (см. рис. 2.18), т.е.
1
1 1
≤
− b
A
,
откуда следует
1 11 1b A b− ≤ ≤ − + . (2.12)
Область линейного режима ФНЧ показана заштрихованной на рис. 2.20.
-1
1
1
-1
1
b
A
0
Рис. 2.20

38
Пусть 1b <0 (система является ФВЧ). Пример диаграммы и
лестницы Ламерея при 0>A показан на рис. 2.21.
-1
1
1
-1
y
2
y
1
y =b y +A
2
1 1
A
y=y2
1
y =-y
2
1
Y
1y (0)1
Рис. 2.21
В линейном режиме модуль абсциссы точки пересечения графика
функции последования и биссектрисы второго и четвертого координатных
углов меньше или равен 1. Отсюда следует
1
1 1
≤
+ b
A
,
т.е.
1 11 1b A b− − ≤ ≤ + . (2.13)
Область линейного режима ФВЧ показана заштрихованной на рис. 2.20.
При выборе величин 1b и A за пределами показанной на рис. 2.20
области в колебательной системе возникает нелинейный режим. Характер
поведения системы в этом случае зависит от вида характеристики
сумматора.

39
Характеристика сумматора с насыщением
Пусть 1b >0. Пример диаграммы и лестницы Ламерея при 0>A
показан на рис. 2.22. При этом отображение имеет единственную
неподвижную суперустойчивую точку 11 =Y .
-1
1
1
-1
y=f b y +A
(
)
y
2
y
1
y (0)1
0
y=y2
1
1
1
Рис. 2.22
После включения постоянного воздействия до достижения
( ) ( ) 1122 == Nyny в цепи существует линейный режим. Функция ( )ny2
находится из (2.10) следующим образом:
( ) ( )
1
1
1
1
12
11
0
b
A
b
b
A
yny n
−
+





−
−= +
.
При ( ) 001 =y величина 1N выражается функцией
1
ln
1
ln
1
1
1 −

















 −
=
b
Y
A
N ,

40
где [ ]• – целая часть числа, а величина 1Y находится из (2.11).
В общем случае произвольного знака внешнего воздействия A при
( ) 001 =y имеем
1
ln
sign
1ln
1
1
1 −


















−
=
b
Y
A
N .
Далее имеет место режим с насыщением, а полная длительность
переходного процесса на 2 единицы больше, чем величина 1N .
Пусть 1b <0. Пример диаграммы и лестницы Ламерея при 0>A
показан на рис. 2.23. При этом отображение имеет единственную
неподвижную устойчивую точку с координатой 1Y , определяемой из
(2.11). Здесь начальное состояние ( )01y соответствует режиму с
насыщением, а при 1≥n система переходит в линейный режим,
описываемый уравнением (2.9). Такое сочетание режимов имеет место
при ( ) ( ) 11 10 bAy −< . В других случаях в системе существует только
линейный режим.
-1
1
1
-1
y
2
y
1
Y
1
y=f b y +A
(
)
y (0)1
y=y2
1
y =-y
2
1
1 1
Рис. 2.23

41
Если 0<A , а ( ) ( ) 11 10 bAy +−> , то также существуют режимы с
насыщением и линейный (при 1≥n ).
Бифуркационная диаграмма состояний равновесия системы,
сумматор которой имеет характеристику с насыщением, приведена на
рис. 2.24.
b0 1
0,2 0,4 0,6 0,8-0,2-0,4-0,6-0,8-1
0,2
0,4
0,6
0,8
Y1 A=0,4
0,2
Рис. 2.24
Пилообразная характеристика сумматора
В зависимости от знака коэффициента 1b в системе изменяется
характер движений.
Пусть 1b >0. В отличие от системы, имеющей сумматор с
насыщением, в системе с пилообразной характеристикой сумматора в
нелинейном режиме возникают периодические колебания. Установим
связь между периодом таких колебаний T , параметром 1b и величиной
внешнего воздействия A.
Рассмотрим процесс возникновения колебаний с периодом 2=T .
Диаграмма Ламерея при 1 0,6, 0,9b A= = изображена на рис. 2.25.
Функция последования терпит разрыв в точке ( )1 11 1/6y A b=− =.
Пусть система стартует из точки ( ) ( )00 11 Yy = . Тогда
( ) ( ) ( )1 1 1 11 1 0y Y bY A= = + . Согласно правилу отображения имеем
( ) ( ) 212 112 −+= Ayby .

42
-1
1
1
-1
y
2
y
1
Y (1)
1
Y ( )0
1
y =b y +A
2
1 1
y =b y +A-2
2
1 1
y=y2
1
0 0,4 0,8- ,40- ,80
0,4
0,8
- ,80
- ,40
Рис. 2.25
При 2=T для обеспечения инвариантности точек ( )01y и ( )11y
должно выполняться равенство ( ) ( )02 11 yy = , т.е.
( ) ( ) 200 11
2
11 −++= AAbyby . Откуда следует
( ) ( ) ( )
2
1
1
11
1
21
00
b
bA
Yy
−
−+
== . (2.14)
Соответственно
( ) ( )
2
1
11
1
1
21
1
b
bbA
Y
−
−+
= . (2.15)
Например, при 6,01 =b , 9,0=A имеем ( ) 875,001 −=Y , ( ) 375,011 =Y
(см. рис. 2.25).
Исследуем устойчивость цикла периода 2=T . С помощью
обобщенной теоремы Кенигса ((1.11), (1.12)) определим устойчивость
двукратной неподвижной (инвариантной) точки ( )01Y . В данном случае
имеем

43
211
2
12 −++== AAbybffN ,
а производная
1
d
d
d
d 2
1
1
2
<== b
y
f
x
fN
.
Следовательно, точка ( )01Y , а вместе с ней и точка ( )11Y (а вместе с ними
и цикл периода 2=T ) устойчивые.
Выражения (2.14) и (2.15) позволяют определить область параметров
( )Ab ,1 , соответствующую периоду 2=T . При 0>A нижняя граница
этой области находится из условия
( ) 101 −≥Y , (2.16)
а верхняя граница – из условия
( ) 111 <Y . (2.17)
Из выражений (2.14) и (2.16) получим
1
2
1
1
1
b
b
A
+
+
≥ ,
а из (2.15) и (2.17) имеем выражение для верхней границы
1
2
11
1
21
b
bb
A
+
−+
< .
На рис. 2.26 заштрихованной показана область, соответствующая
колебаниям с периодом 2=T . Вследствие специфики характеристики
сумматора верхняя граница этой области задается прямой 1=A .

44
0 0.2 0.4 0.6
0.6
0.7
0.8
0.9
A
0.8 b
A= -1 b
1
1
Рис. 2.26
Рассмотрим колебательный процесс с периодом 3=T . Диаграмма
Ламерея при 1 0,6, 0,7b A= = приведена на рис. 2.27.
-1
1
1
-1
y
2
y
1
Y ( )2
1
Y ( )0
1
y =b y +A
2
1 1
y =b y +A-2
2
1 1
Y (1)
1
y=y2
1
0 0,4 0,8- ,40
0,4
- ,80
0,8
- ,80
- ,40
Рис. 2.27

45
Пусть система стартует из точки ( ) ( )00 11 Yy = . Тогда
( ) ( ) ( ) AYbYy +== 011 1111 , ( ) ( )== 22 11 Yy ( )1 1 1b y A+ . Согласно правилу
отображений имеем ( ) ( ) 223 111 −+= Ayby .
При 3=T для обеспечения инвариантности точек ( )01y , ( )11y и
( )21y должно выполняться равенство ( ) ( )03 11 yy = , т.е.
( ) ( ) 200 1
2
11
3
11 −+++= AAbAbyby . Откуда следует
( ) ( ) ( )
3
1
1
2
1
11
1
21
00
b
bbA
Yy
−
−++
== . (2.18)
Соответственно
( ) ( )
3
1
11
2
1
1
1
21
1
b
bbbA
Y
−
−++
= .
Поскольку ( ) ( ) AAbyby ++= 11
2
11 02 , получим
( ) ( )
3
1
2
11
2
1
1
1
21
2
b
bbbA
Y
−
−++
= . (2.19)
Например, при 6,01 =b , 7,0=A имеем ( ) 801,001 −=Y , ( ) 219,011 =Y ,
( ) 832,021 =Y .
По аналогии со случаем 2=T нетрудно определить устойчивость
трехкратной неподвижной (инвариантной) точки ( )01Y . В данном случае
имеем
21
2
11
3
13 −+++== AAbAbybffN ,
а производная
33
1
1
d d
1
d d
Nf f
b
x y
= = < .

46
Следовательно, согласно обобщенной теорема Кенигса, точка ( )01Y , а
вместе с ней и точка ( )11Y и ( )21Y (а вместе с ними и цикл периода 3=T )
устойчивые.
С помощью выражений (2.16) и (2.17) определим область
параметров ( )Ab ,1 , соответствующую 3=T . Из (2.16) и (2.18) для
нижней границы получим
1
2
1
3
1
1
1
bb
b
A
++
+
≥ ,
из (2.17) и (2.19) имеем выражение для верхней границы этой области
1
2
1
3
1
2
1
1
21
bb
bb
A
++
−+
< .
На рис. 2.28 заштрихованной показана область, соответствующая
колебаниям с периодом 3=T .
0 0.2 0.4 0.6
0.6
0.7
0.8
0.9
A
0.8 b1
A= -b1 1
Рис. 2.28
Распространим установленные закономерности на случай
произвольного периода T . При этом должно выполняться равенство

47
( ) ( )011 YTY = ,
где ( ) ( ) 21111 −+−= ATYbTY , ( ) ( ) ∑
−
=
−
+=−
2
0
11
1
11 01
T
i
iT
bAYbTY .
Отсюда получим
( ) T
T
i
i
b
bA
Y
1
1
0
1
1
1
2
0
−
−
=
∑
−
=
, (2.20)
( ) T
T
i
Ti
b
bbA
TY
1
1
0
1
11
1
1
2
1
−
−
=−
∑
−
=
−
. (2.21)
Эти выражения позволяют определить область параметров ( )Ab ,1 ,
соответствующих периоду T . При 0>A нижняя граница этой области
задается условием (2.16), а верхняя граница – условием
( ) 111 <−TY . (2.22)
Из (2.16) и (2.22) для нижней границы получим
∑
−
=
+
≥ 1
0
1
11
T
i
i
T
b
b
A , (2.23)
из (2.21) и (2.22) имеем выражение для верхней границы этой области
∑
−
=
−
−+
< 1
0
1
1
1
121
T
i
i
TT
b
bb
A . (2.24)
На рис. 2.29а и б заштрихованными изображены рассчитанные по
формулам (2.23), (2.24) области параметров для { }5;4∈T
соответственно.

48
0 0.2 0.4 0.6 0.8 b1
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
A
A= -1 b1
b10.3 0.44
0.4
0.3
0.5
0.6
A
0.58 0.72 0.86
A= -1 b1
а) б)
Рис. 2.29
Вследствие симметричности характеристики сумматора в случае
0<A соответствующие области располагаются симметрично
относительно оси абсцисс областям, показанным на рис. 2.26, 2.28, 2.29.
Пусть 1b <0. Пример диаграммы Ламерея при 0>A показан на
рис. 2.30. В отличие от системы, имеющей сумматор с насыщением (см.
рис. 2.23), в данном случае графики функции последования и биссектрисы
12 yy = пересекаются в двух точках B и C. Им соответствуют простые
устойчивые неподвижные точки 11Y и 12Y отображений, определяемых
функциями последования ( )Aybfy += 112 и ( )2 1 1 2y f b y A= + −
соответственно. При 0>A координаты этих точек выражаются
следующим образом:
1
12
1
11
1
2
,
1 b
A
Y
b
A
Y
−
−
=
−
= .
В случае 0<A имеем

49
1
12
1
11
1
2
,
1 b
A
Y
b
A
Y
−
+
=
−
= .
Заметим, что режиму ФВЧ соответствует только точка B.
Приведенные на рис. 2.30 лестницы Ламерея показывают, что координата
неподвижной точки зависит от начального условия ( )01y . Режим
фильтрации верхних частот, который в линейной системе обеспечивается
при 01 A выполняется
условие ( )
1
1
1
0
b
A
y
−
> , а в случае 0<A имеем ( )
1
1
1
0
b
A
y
+
−< .
-1
1
1
-1
y
2
y
1
A
Y11
B
C
Y12
y =b y +A
2
1 1
y =b y +A-22 1 1
y ( )0
1
y ( )0
1
y=y
y =-y
2
2
1
1
Рис. 2.30
2.4. Колебания в линейной системе при гармоническом воздействии
Гармоническое воздействие имеет место, когда динамическая
система используется, например, в качестве фильтра. После окончания
переходного режима, обусловленного включением гармонического
сигнала, (режима свободных колебаний) в системе устанавливаются
вынужденные колебания. Исследование их дает сведения о частотной
характеристике системы, позволяет установить важные для практического

50
использования связи между параметрами системы и ее частотными
свойствами. Рассмотрим линейную систему с параметром 11 <b .
Колебания в цифровой линейной системе первого порядка (см. рис.
2.1) под действием внешней силы описываются разностным уравнением
( ) ( ) ( )11 111 +=−+ nxnybny , (2.25)
с начальным условием ( )01y . Считаем внешнее воздействие
гармоническим и имеющим вид ( ) ( )[ ]1cos1 +ω=+ nXnx .
Для нахождения вынужденных колебаний воспользуемся методом
комплексных амплитуд. Входное воздействие и реакцию системы
представим в комплексной форме
( 1)
( 1) ej n
x n X ω +
+ = , (2.26)
)1(
11 e)1( +ω
=+ nj
Yny  . (2.27)
Подставим выражения (2.26) и (2.27) в уравнение (2.25). Полагая
( )1 0 0y = , получим
)1(
11
)1(
1 eee +ωω+ω
=− njnjnj
XYbY  .
Сократив обе части этого выражения на
)1(
e +ω nj
, получим
XYbY j
=− ω−
e111
 .
Следовательно, комплексная амплитуда реакции системы
определяется соотношением
1e1 1
1 ω−
−
= j
b
X
Y (2.28)
и зависит от амплитуды и частоты внешнего воздействия и параметра
системы. Модуль этой функции равен

51
ω+ω−
=
22
1
2
1
1
sin)cos1( bb
X
Y .
Исследуем частотные свойства системы. Они характеризуются
функцией )e()e()e( 1
ωωω jjj
XYH  = , называемой частотной
характеристикой. Модуль ее есть амплитудно-частотная характеристика
(АЧХ), т.е. )()()( 1 ωω=ω XYH , а аргумент – фазочастотная
характеристика, т.е. )e(arg)( ω
=ωϕ j
H .
Работаем с функцией
ω+ω−
=ω 22
1
2
1
2
sin)cos1(
1
)(
bb
H .
Обозначим знаменатель ее функцией ( )ω2
f . После преобразований эта
функция примет вид
( ) ω−+=ω cos21 1
2
1
2
bbf .
Найдем ее производную по ω:
ω=
ω
ω
sin2
d
)(d
1
2
b
f
.
Исключительной особенностью цифровой системы является
периодичность частотной характеристики с периодом 2π, что
обусловливает необходимость выполнения требований однозначности.
Функция
ω−+
=ω
cos21
1
)(
1
2
1
2
bb
H
на интервале [ ]π∈ω 2;0 однозначна в диапазоне [ ]π∈ω ;0 , а
производная ее знаменателя обращается в нуль при { }π∈ω ,0 . Знак
производной совпадает со знаком параметра 1b . Следовательно, при

52
01 >b система является фильтром нижних частот, а при 01 <b –
фильтром верхних частот.
На практике удобно работать с нормированной АЧХ. Для ФНЧ
квадрат ее равен
ω−+
−
=
ω
cos21
)1(
)0(
)(
1
2
1
2
1
2
2
bb
b
H
H
,
а для ФВЧ
ω−+
+
=
π
ω
cos21
)1(
)(
)(
1
2
1
2
1
2
2
bb
b
H
H
.
В обоих случаях имеем
ω−+
−
=ω=
π
ω
=
ω
cos21
|)|1(
)(
)(
)(
)0(
)(
1
2
1
2
12
2
2
2
2
bb
b
H
H
H
H
H
H .
На рис. 2.31 представлены графики квадрата нормированной АЧХ для
двух значений параметра 1b .
0.2
0.4
0.6
0.8
0 0.2 0.4 0.6
-0.6
0.8 ω /π
H
b = 0.6
2
H
1
Рис. 2.31
Определим частоту среза фильтра cω , для этого воспользуемся
зависимостью

53
cbb
b
ω−+
−
=
cos21
|)|1(
2
1
1
2
1
2
1
.
Отсюда следует
1
2
11
2
1||4
cos
b
bb
c
−−
=ω ,
1
2
11
2
1||4
arccos
b
bb
c
−−
=ω .
Заметим, что при 01 =b функция cωcos не определена.
Установим зависимость частоты среза cω от параметра 1b . При
01 >b существует соотношение
1
2
11
2
14
cos
b
bb
c
−−
=ω . (2.29)
Найдем производную этой функции:
2
1
2
1
1 2
1
d
cosd
b
b
b
c −
=
ω
. (2.30)
Поскольку 11 <b , то производная положительна, а при 11 =b она
обращается в нуль. Зависимость (2.30) справедлива и для 01 <b , а при
11 −=b производная обращается в нуль.
Весьма важно, что понятие частоты среза имеет смысл только при
[ ]π∈ω ;0c . Определим интервалы значений параметра 1b , для которых
частота среза существует. Рассмотрим случай 01 >b . При 11 =b имеем
1cos =ωc , 0=ωc . Определим, при каком значении 1b справедливо
соотношение 1cos −=ωc , (т.е. π=ωc ). Из (2.29) получим квадратное
уравнение
016 1
2
1 =+− bb ,

54
корнями, которого являются 832,11 ±=b . Поскольку 11 <b , то имеем
172,0831 ≈−=b . Представляет интерес найти значение 1b , для
которого 0cos =ωc , 2π=ωc . Из формулы (2.29) получим квадратное
уравнение
014 1
2
1 =+− bb
с корнями 322,11 ±=b . По вышеуказанной причине имеем
268,0321 ≈−=b .
Выполнив аналогичные операции для 01 <b , получим
{ }0,2, ππ∈ωc соответственно при { }83,32,11 +−+−−∈b .
Графики зависимости ( )1bcω изображены на рис. 2.32.
0.2
0.4
0.6
0.8
0 0.2-0.2-0.6-1 0.6
c
b1
Рис. 2.32
Таким образом, линейная цифровая система первого порядка при
01 >b обладает свойствами фильтра нижних частот, а при 01 <b –
фильтра верхних частот. В отличие от аналоговых в цифровых фильтрах
нижних и верхних частот область существования частоты среза
ограничена.

55
3. ДИНАМИКА
ЛИНЕЙНОГО ЦИФРОВОГО ОСЦИЛЛЯТОРА
Цифровой осциллятор является рекурсивной колебательной
системой второго порядка. Роль его в цифровых системах передачи
информации аналогична роли колебательного контура в аналоговых
системах. Это основной элемент для построения сложных колебательных
систем.
Рассмотрим осциллятор с линейной характеристикой сумматора.
Структурная схема осциллятора изображена на рис. 3.1, где 1b и 2b –
умножители с коэффициентами 1b и 2b соответственно.
y n+( 2)x n+( 2)
1
b1
z-1
b2
z-1
y n+( )1
1
y n( )
1
Рис. 3.1
Колебания в такой системе описываются линейным разностным
уравнением второго порядка:
( ) ( ) ( ) ( )212 12111 ++++=+ nxnybnybny .
Исследуем устойчивость автономной системы, установим влияние
параметров на ее основные динамические характеристики. Проведем
анализ колебаний при гармоническом воздействии.

56
3.1. Свободные колебания
Свободные колебания описываются разностным уравнением
( ) ( ) ( )nybnybny 12111 12 ++=+
или
( ) ( ) ( ) 012 12111 =−+−+ nybnybny (3.1)
с начальными условиями ( ) ( )1,0 11 yy . Ему соответствует
характеристическое уравнение
021
2
=−− bqbq , (3.2)
корни которого равны
2
4 2
2
11
2,1
bbb
q
+±
= . (3.3)
Решение уравнения (3.1) выражается зависимостью
( ) 22111
nn
qCqCny += . (3.4)
Постоянные 1C и 2C находятся из начальных условий ( ) ( )1,0 11 yy и
корней характеристического уравнения следующим образом. Из (3.4)
имеем
1 1 2
1 1 1 2 2
(0)
(1) .
y C C
y C q C q
= +

= + ( )6.3
)5.3(
Определитель этой системы равен
.
11
12
21
qq
qq
−=
Находим выражения для 1C и 2C :
( )
( ) ( ) ( )
12
121
12
21
1
1
101
10
qq
yqy
qq
qy
y
C
−
−
=
−
= , (3.7)

57
( )
( ) ( ) ( )
12
111
12
11
1
2
011
01
qq
qyy
qq
yq
y
C
−
−
=
−
= . (3.8)
Запишем уравнение (3.1) в виде системы двух уравнений первой
степени. Обозначив
( ) ( )112 += nyny , (3.9)
получим
( ) ( )
( ) ( ) ( )


+=+
=+
nybnybny
nyny
21122
21
1
1
(3.10)
или в матричной форме
( ) ( ) [ ] ( )nYBnY
bb
nY =





=+
12
10
1 . (3.11)
Решение системы (3.10) выражается следующим образом:
( )
( )



+=
+=
++
.1
22
1
112
22111
nn
nn
qCqCny
qCqCny
(3.12)
Состояние равновесия системы (3.10) характеризуется
соотношениями
1 2
2 2 1 1 2 ,
y y
y b y b y
=

= +
или ( ) 2212 ybby += . Это равенство справедливо, если:
1) 012 == yy , при этом величины 2,1q находятся из (3.3),
2) 121 =+ bb , т.е. 12 1 bb −= . При этом из (3.3) имеем
( )
2
2
2
44 111
2
11
2,1
−±
=
−+±
=
bbbbb
q ,
т.е. 111 −= bq , 12 =q .

58
3) 01 =b , 2 1b = , при этом 122,1 ±=±= bq .
4) 11 =b , 02 =b , при этом 111 == bq , 02 =b и система второго
порядка вырождается в систему первого порядка.
Исследуем состояние равновесия в начале координат и характер
поведения фазовых траекторий вблизи его. Этот характер определяется
корнями (3.3) характеристического уравнения. Полагаем, что эти корни
разные.
3.1.1. Корни характеристического уравнения вещественные,
с модулем меньшим единицы
Рассмотрим случай вещественных корней и соотношения
1,1 21 << qq . (3.13)
Вещественность корней означает
04 2
2
1 >+ bb (3.14)
или 04 2
2
1 =+ bb , при этом 2121 bqq == (этот случай не
рассматривается). Из неравенств (3.13) следует условие
1
2
4 2
2
11
<
+± bbb
, (3.15)
или







<
+−
<
++
.1
2
4
1
2
4
2
2
11
2
2
11
bbb
bbb
( )
( )17.3
16.3
Работаем с неравенством (3.16). В данном случае имеем пересечение
двух неравенств:

59







−>
++
<
++
.1
2
4
1
2
4
2
2
11
2
2
11
bbb
bbb
(3.18)
Преобразуем эту систему неравенств следующим образом:
2
1 1 2
2
1 1 2
4 2
4 2,
b b b
b b b
 + + <

+ + > −
или




−−>+
−<+
.24
24
12
2
1
12
2
1
bbb
bbb ( )
( )20.3
19.3
Работаем с неравенством (3.19). Поскольку в левой части стоит
величина положительная (из-за вещественности корней 1q и 2q ), то
неравенство (3.19) справедливо при 21 <b . При этом условии обе части
(3.19) можно возвести в квадрат, т.е. получим ( )2
12
2
1 24 bbb −<+ ,
112 +−< bb . Проведем прямую 112 +−= bb на плоскости ( )21, bb (рис.
3.2). Граница вещественности описывается равенством
2
12
4
1
bb −= . (3.21)
Условиям (3.14) и (3.19) удовлетворяет заштрихованная область на
рис. 3.2.
Рассмотрим условие (3.20). Вследствие вещественности корней
характеристического уравнения это условие выполняется всегда при
21 −>b , так как при этом правая часть неравенства (3.20) отрицательна (с
учетом условия вещественности (3.14)). Покажем это на рис. 3.3
горизонтальной штриховкой. При 21 −+ , или 112 +> bb . Покажем это на рис. 3.3
вертикальной штриховкой.

60
b
b
b=-b+1
2
1
1
2
b=-
b
2
1
1
42
1 2
1
2
-1
-2
-3
-1-2-3
Рис. 3.2
b
b
b
=b
+1
2
1
1
2
b=-
b
2
1
1
42
1 2
1
2
-1
-2
-3
-1-2-3
Рис. 3.3

470.динамика цифровых колебательных систем учебное пособие

470.динамика цифровых колебательных систем учебное пособие

Recommended

Recommended

More Related Content

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to 470.динамика цифровых колебательных систем учебное пособие

Similar to 470.динамика цифровых колебательных систем учебное пособие (20)

More from ivanov15548

More from ivanov15548 (20)

470.динамика цифровых колебательных систем учебное пособие