2. 2
ЗМІСТ
ВСТУП ………………………………………………………………………….. 3
РОЗДІЛ 1. Досконалі числа …………………………………………………… 5
1.1 Історія виникнення досконалих чисел……………………… 5
1.2 Зв’язок досконалих чисел і чисел Марсенна………………. 6
РОЗДІЛ 2. Досконалі геометричні фігури……….…………………………….10
2.1 Виникнення досконалих геометричних фігур……………………10
2.2 Досконалі трикутники ……………………………………………..11
2.3 Досконалі чотирикутники………………………………………….17
2.4 Коло описане навколо досконалих фігур………………………....21
РОЗДІЛ 3. Досконалі числа і геометрія…………………………..……………24
ВИСНОВКИ ……………………………………………………………………. 28
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ …. …………………………………. 31
ДОДАТОК А…………………………………………………………………….32
ДОДАТОК Б…………………………………………………………………….33
3. 3
ВСТУП
Часто звичайні речі ховають в собі багато загадковості. Виникнення
чисел та геометричних фігур у житті не випадковість. Важко уявити собі
спілкування без використання чисел, будівництво споруд – без геометричних
фігур. Числа, різні предмети, фігури, якими користуємося щодня, стали
настільки звичайними, що часом не замислюємося як і коли вони виникли,
пишуться, читаються, зображуються так, а не інакше.
В шкільному курсі геометрії ми знайомимося з числами,
геометричними фігурами та їх властивостями. Читаючи додаткову
математичну літературу ми знаходимо, що вони всі розбиті на групи за
певною характеристикою. Одними із цих груп є досконалі числа та досконалі
фігури.
У словниках української мови досконалість тлумачиться як те, що не
має жодної вади, чому властива повнота необхідних позитивних якостей:
викінчений і досконалий у такому розумінні.
Із давніх давен до нас прийшли числа. Досконалі числа – це такі
натуральні числа, в яких сума дільників, строго менших самого числа
дорівнює цьому числу, наприклад: 6, 28, 496, 8128, 33550336, 85899869056…
Досконалими можуть бути не тільки числа, а й фігури. До таких
прийнято відносити многокутники , які володіють наступними ознаками:
1) всі їх сторони – цілі числа,
2) їх площа дорівнює периметру.
Саме досконалі числа і фігури ми розглянимо в своїй роботі з теми
«Досконалість в математиці».
Метою роботи є: дослідження параметрів, за яких числа,
многокутники будуть досконалими.
Об`єктом дослідження стали числа, многокутники , а предметом –
такі характеристики чисел, як прості дільники та для фігур -площа,
периметр, , які визначають досконалість фігур.
4. 4
Висунули гіпотезу, що із обраних типів геометричних фігур та
чисел не всі можуть бути досконалими.
Сформулювали наступні задачі для дослідження:
- ознайомитися з історією виникнення досконалих чисел та
досконалих геометричних фігур;
- з’ясувати зв'язок простих чисел Марсенна з досконалими числами;
- дослідити параметри досконалих геометричних фігур;
- обчислити радіуси вписаних кіл для знайдених досконалих
геометричних фігур;
- визначити радіуси описаних кіл для знайдених досконалих фігур;
- встановити зв'язок досконалих чисел та досконалих геометричних
фігур;
- зробити висновки, узагальнення отриманих даних у вигляді таблиць
для досконалих чисел та фігур.
Під час виконання роботи користувалися методами аналізу
літератури, метод побудови геометричних фігур, порівняння різних методів
доведення існування довершених фігур, чисел, узагальнення отриманих
даних.
Актуальність дослідження зумовлена прагненням поглиблювати
знання про геометричний світ через дослідження історії виникнення чисел,
фігур.
Архітектурні витвори мистецтва без геометрії не були б такими
досконалими. Завдяки математиці споруди набувають досконалості та краси.
5. 5
РОЗДІЛ 1 Досконалі числа
1.1.Історія виникнення досконалих чисел.
Невідомо коли люди вперше заговорили про досконалі числа. Але
вже в IX книзі «Начал» Евкліда» було описано метод , за допомогою якого
можна було отримати такі числа і обчислити тільки парні досконалі числа , за
формулою [5,c.32] .Було показано , що вираз повинен
бути простим числом. І почали шукати прості числа ,числа Марена
Марсенна за даною формулою , так як саме він першим винайшов їх. Це був
французький математик , який жив в період з 1588-1648 рік .
Знаменитий швейцарський , німецький і російський математик
Леонард Ейлер (1707-1783 р.) довів , що всі парні досконалі числа мають
вигляд , визначений Евклідом. А коли ж були обчислені ці числа? Відомо ,
що Нікомах Гераський, який жив у першій половині ІІ сторіччя нашої ери ,
знайшов перші чотири досконалі числа для показника степеня р=2 ,3,5,7.
Цими числами були 6, 28, 496, 8128.
Відшукання подальших досконалих чисел цим способом здавалося
справою важкою. Микола Геразський (I століття н. е.) писав: досконалі числа
красиві. Але відомо, що красиві речі рідкісні і нечисленні, потворні ж
зустрічаються в достатку. Надлишковими і недостатніми є майже всі числа, в
той час як досконалих чисел небагато.
Довгий час ці числа не дуже цікавили математиків. Аж в XV столітті
німецький математик і астролог Йоганн Мюллер знайшов наступне
досконале число при p=13. Цим числом було 33550336.
Ще один німецький математик та астроном Йоганн–Ефраїм Шейбель
(1736-1809 р), порахував досконалі числа при р=17 та р=19. І отримав такі
числа , як: 8589869056, 137438691322.
6. 6
Деякий час досконалим числам не надавали великого значення. Тільки
на початку ХХ століття були знайденні ще 3 досконалі числа для р=89, 107,
127. Ці числа дуже великі.
У 1876 році французький математик Е. Люка вказав метод, що
дозволяє перевірити простоту числа без виконання поділу його на прості
дільники. Він же встановив, що число 2127
—1 є простим числом. Цей
результат був правильно передбачений Мерсенном, однак в інших випадках
він помилився. Було встановлено, що показники p= 67 і p = 257 всупереч
вказівці Мерсенна не дають досконалих чисел, але їх дають не зазначені
Мерсенном показники 61, 89 і 107.
Знову розвиток цих чисел призупинився на довгий час і тільки з
появою електронно-обчислювальних машин в серединні минулого століття
почався бунт у пошуку досконалих чисел.
На кінець 2018 року було відомо уже 50 простих чисел Марсена та 50
досконалих чисел.
До сих пір невідома, по-перше ,скінчена множина досконалих чисел
чи нескінчена , по-друге всі вони парні чи не парні. Цими питаннями почали
займатися два проекта. Парні досконалі числа шукають за проектом
розподільних обчислень- GIMPS, а не парні числа знаходять за іншим
проектом сайту OddPerfect.
Відомо тільки, якщо досконале число не парне існує, то воно має
бути дуже великим , більшим за і мати дуже велику кількість дільників
більше, ніж 101.
1.2. Зв’язок досконалих чисел і чисел Марсенна
Першими досконалими числами є:числа 6 , 28 ,496 .Тому
6=1+2+3
28=1+2+4+7+14
7. 7
496=1+2+8+16+31+62+124+248
Можна сказати, що подвійне досконале число дорівнює сумі своїх
дільників. Ці числа можна продовжити і далі але всі вони одержуються від
чисел друзів – чисел Марсенна. [8, c.20]
Розглянемо ряд натуральних чисел і за допомогою формули
знайдемо числа Марсенна.
Таблиця 1.1
P(натуральне
число)
P(натуральне
число)
1 1 8 255
2 3 9 511
3 7 10 1023
4 15 11 2047
5 31 12 4095
6 63 13 8191
7 127 … …
Ці твердження не працюють в оберненому випадку, але якщо
подивитися, то можна побачити зв’язок чисел Марсенна: 3, 7, 31, 127...
Наприклад: 8191=127*64=127*
Таким чином всі досконалі парні числа мають один дільник із ряда
чисел Марсенна. Так знаходять всі досконалі числа.
Доведемо зв’язок досконалих чисел і чисел Марсенна.
8. 8
Таблиця 2.1
Ряд простих
чисел Марсенна
Досконалі числа Сума всіх
дільників числа
2*( )
3 *3 6 2*6
7 *7 28 2*14
31 *31 496 2*248
127 *127 8128 2*4064
8191 *8191 33550336 2*16775168
… … … …
Яка ж закономірність в формулі ? Представимо
2= 16=
4= 32=
8= 64= і т.д.
Тобто показники 1,2,3,4,5… на одиницю менше за прості числа.
Доведемо, що цей принцип працює.
Розглянемо на прикладі досконалого числа 496.
496=1+2+4+8+16+31+62+124+248.
496= 1+2+4+8+16+31(1+2+4+8+16)=(1+2+4+8+16)(1+31)= 32*31=992
Це і є подвоєний добуток 496*2.
Тепер ми все це приведемо до загального вигляду, а саме
і ми покажемо, якщо скласти усі дільники, то отримаємо формулу
10. 10
РОЗДІЛ 2
Досконалі геометричні фігури
2.1 Виникнення досконалих геометричних фігур
Відома теорема Евкліда : «Число, – парне і досконале,
якщо число– просте.» ,дала поштовх для знаходження досконалих
геометричних фігур.
Піфагорійці активно займалися пошуками досконалих
прямокутників, і це їм вдалося. Наприклад, до довершених належать квадрат
зі стороною a=4, Sкв.=16 (кв.од.), Р=16(од.)
Перейдемо до прямокутників і знайдемо сторони всіх досконалих
прямокутників зі сторонами a і b – цілі числа, причому .
Використаємо властивість доскональності геометричних фігур,
тобто площа дорівнює периметру прямокутника, тоді
Sпр.=Pпр.
Розкладемо многочлен на множники додавши до обох частин рівності
чотири, маємо:
Добуток правої частини дорівнює чотири, якщо
1) b-2=4 b=6
a-2=1 a=3
2) b-2=1 b=3
a-2=4 a=6, але , тому a=3, b=6
11. 11
3) a-2=2 a=4
b-2=2 b=4
4) a-2=-2 a=0
b-2=-2 b=0, що неможливо.
Перевіримо умову досконалості для знайдених прямокутників:
При a=3, b=6
S1=6*3=18 (од.кв.), P1=2*(6+3)=18 (од.)
При a=b=4
S2=4*4=16 (од. кв.), P2=2*(4+4)=16 (од.)
Отже, досконалими є квадрат зі стороною 4 одиниці, та прямокутники
зі стороною 3*6 та 4*4.
Площі шуканих прямокутників дорівнюють 16 і 18, в силу чого
піфагорійці вважали ці числа «хорошими», а розташоване між ними число 17
– «поганим». (Мабуть дарма, адже число 17 не таке вже й погане. [10 c.13] У
всякому разі, Карл Фрідріх Гаус прославив його на вічність, доказавши
можливість побудови циркулем і лінійкою правильного 17-кутника.)
2.2 Досконалі трикутники
Для знаходження довжин сторін досконалих трикутників користаємося
формулою S = pr, де r - радіус вписаного кола, p - півпериметр. Тоді умова
досконалості і можна записати у вигляді:
(a + b + c) = ½(a + b + c)*r,
1 = ½r,
r = 2.
Таким чином, досконалими є ті і тільки ті трикутники, які:
- описані навколо кола радіуса 2;
- довжини їх сторін виражаються цілими числами.
Розглянемо трикутник АВС і вписаний в нього коло, де M, L, K - точки
12. 12
дотику сторін трикутника ABC. За властивістю дотичних проведеної з точки
поза колом, маємо:
|AM| = |AK| = l; |MB| = |BL| = k; |LC| = |KC| = m.
Рис. 1
З рівностей k + m = a; l + m = b; k + l = c (рис. 1) отримуємо, що:
k = ( a - b + c)/2,
l = (-a + b + c)/2,
m = ( a + b - c)/2;
Таким чином, кожне з чисел k, l і m є натуральним, або раціональним
дробом зі знаменником 2.
A
B
C
M
L
K
O
k k
l
l
m
m
2
2
2
13. 13
Розглянемо ΔA'B'C`, подібний ΔABC з коефіцієнтом 2. Тоді в нього
вписане коло r= 4, і його площа більша периметра в 2 рази.
Рис.2
l`, m`, k` - цілі числа, та k`=2k, l`=2l, m`=2m
Звідси видно, що хоча б одне з чисел k`, l`, m` повинно бути парним.
Але це означає, що хоча б одне з чисел k, l, m є натуральним (рис.2).
Нехай це буде число k. Тоді з рівності k + l = c отримуємо, що, т. к. k і c -
натуральні, то і l повинно бути натуральним. Аналогічно з k + m = a
з'ясовується, що і m - натуральне число. Таким чином,
klm/4 = k + l + m (1)
З рівняння (1) видно, що хоча б одне з чисел k, l, m ділиться на 4 або
хоча б два з них парні. Розлянемо варіанти:
1). Нехай число k ділиться на 4.
При k = 4 маємо: lm = 4 + l + m;
lm-m=4+l
m=(4+l) / ( l-1), ( l ≥ 6)
Розв’язання в натуральних числах: l = 6, m = 2 .Тоді
С=(k + l) = 4 + 6 =10, в= (m + l) = 2 + 6 = 8, а=(k + m) = 4 + 2 = 6.
Трикутник зі сторонами (10, 8, 6) є досконалим, бо
A`
B`
C`
M`
L`
K`
O`
k` k`
l`
l`
m`
m`
4
4
4
14. 14
Р=10+8+6=24(см) ,
S=Р*r=12*2=24(кв.cм) .
При k = 8 маємо: 8lm/4=8+l+m .
m=(_8+ l) /(2 l-1) , ( l ≥ 9)
якщо l=9 ,то m=(8+9)/(18-1)=1
l = 9, m = 1 це натуральні числа, тому сторони трикутника:
С=(k + l) = 8 + 9 = 17, в= (m + l) = 1 + 9 = 10, а=k + m) = 8 + 1 = 9.
Наступним досконалим трикутником є трикутник (17, 10, 9), бо в ньому
P= 17+10+9=36(од.)
S=18*2=36.(кв.од.)
При k=12 12lm/4=12+l+m .
3lm-m=12+l a
m=(12+l)/ (3l-1).
В даній рівності не існує натуральних розв’язків l і m.
При k=16 16lm/4=16+l+m
4lm-m=16+l
m= (16+l)/(4l-1).
Підставляючи натуральні значення l не знайшли натуральних значень m.
При k=20 20lm/4 = 20+l+m
5ml-m=20+l
m=(20+l) /(5l-1).
Знову рівняння немає розв’язків в натуральних числах.
При k=24 24lm=24+m+l,
m=(24l)/(6l-1)
Якщо l=1, m=25/5=5 ,то
a=k+m=24 +5=29
b=m=l=5+1=6
c=k+l=24+1=25.
Знайдено ще один досконалий трикутник, в якому
Р=29+6+25=60(од.), та
15. 15
S=3*2=60(кв.од.)
2)Нехай числа l і m будуть кратні 2 ,тоді формула (1) прийме вид:
l=2g , m=2p і (k*2g*2p )/4=k+2g+2p
k*g*p=k+2g+2p.
Після перетворень:
(qp - 1)(kp - 2) = 2(1 + p2)
Нехай p = 1. Тоді (q - 1)(k - 2) = 4. Добуток може дорівнювати 4 в трьох
випадках:
1) k - 2 = 1, k = 3,
q - 1 = 4; q = 5.
Тоді k = 3, l = 2, m = 10. Отримуємо
a=k+m=3+10=13 .
b=m+l=2+10=12 .
c=k+l=3+2=5
Це другий досконалий прямокутний трикутник зі сторонами 13 ,12, 5.
В ньому S= 15*2=30 (кв.од.) ,
P=13+12+5=30 (од.).
2) k - 2 = 4, k = 6,
q - 1 = 1; q = 2.
Тоді k = 6, l = 2, m = 4.
Отримуємо трикутник зі сторонами 10, 8, 6. Він вже був отриманий нами.
3) k - 2 = 2, k = 4,
q - 1 = 2; q = 3.
Тоді k = 4, l = 2, m = 6.
Отримуємо вкотре трикутник зі сторонами 10, 8, 6.
Нехай p = 2. Тоді (2q - 1)(k - 1) = 5.
Можливі випадки:
1) 2q - 1 = 5, q = 3,
k - 1 = 1; k = 2.
Тоді k = 2, l = 4, m = 6.
16. 16
Отримуємо знову трикутник зі сторонами(10, 8, 6).
2) 2q - 1 = 1, q = 1,
k - 1 = 5; k = 6.
Тоді k = 6, l = 4, m = 2.
Знову те ж саме.
Нехай p = 3. Тоді (3q - 1)(3k - 2) = 20.
Можливі випадки:
1) 3q - 1 = 4, 3q = 5,
3k - 2 = 5; 3k = 7,- немає розв'язків у натуральних числах.
2) 3q - 1 = 5, q = 2,
3k - 2 = 4; k = 2.
Тоді k = 2, l = 6, m = 4- знайдений трикутник зі сторонами ( 6 ,8 ,10 ).
3) 3q - 1 = 2, q = 1,
3k - 2 = 10; k = 4.
Тоді k = 4, l = 6, m = 2. -отримуємо трикутник зі сторонами ( 6,8 ,10 ).
4) 3q - 1 = 10, 3q = 11,
3k - 2 = 2; 3k = 4. - розвязків немає ,бо k .g -не цілі числа.
5) 3q - 1 = 1, 3q = 2,
3k - 2 = 20; 3k = 22. - розвязків немає аналогічно.
6) 3q - 1 = 20, q = 7,
3k - 2 = 1, k = 1.
Тоді k = 1, l = 6, m = 14.
а=k+m=1+14=15 .
b=m+l=14+6=20 .
c=k+l=1+6=7 .
Отримуємо трикутник зі сторонами (7, 20, 15).
Перевіримо умову досконалості P =7+20+15=42 (од.),
S=21*2=42 (кв.од.)
Це останній досконалий трикутник.
Таким чином, з однієї формули (1) знайдені всі досконалі трикутники
17. 17
і доведено, що інших не існує. Радіус вписаного кола r=2 – є постійним для
знайдених досконалих трикутників. Додаток А.
2.3 Досконалі чотирикутники
Розглянемо чотирикутники та знайдемо за тієї ж самої умови
досконалі чотирикутники. Самі прості з них — прямокутники . Їх вивчили
піфагорійці та довели, що досконалих серед паралелограмів нескінченна
кількість.
Візьмемо довільний прямокутник, в якого площа більша периметра.
Деформуючи його (змінюючи будь-який кут), ми можемо добитися того, що
площа стане більш близька до нуля. В процесі безперервної деформації
площа зрівняється з периметром. Навіть можна сказати, що який повинен
бути гострий кут паралелограма: arcsin .
Особливої цікавості ця відповідь, звісно, не викличе: дуже «гнучка»
фігура паралелограм. Означає, що для довільного трикутника ситуація схожа.
Тому має сенс вивчити більш «жорсткі» чотирикутники: наприклад,
прямокутні і рівнобедрені трапеції [6, c.32].
Для прямокутної чи рівнобедреної трапеції потрібен ще один
параметр (наприклад, дві основи і висота). Перевіримо це твердження.
Почнемо з прямокутної трапеції. Розглянемо трапецію як
прямокутник, до якого «приєднався» прямокутний трикутник.
Рис.3
18. 18
Нехай ширина прямокутника дорівнює а, висота h, а у «приєднаного»
прямокутного трикутника один із катетів збігається зі стороною
прямокутника, другий катет дорівнює b, а гіпотенуза дорівнює с (рис.3). З
«досконалості» трапеції слідує, що всі значення - цілі числа. Разом з тим,
відомо, що катети і гіпотенуза будь-якого прямокутного трикутника з цілими
сторонами можуть мати вигляд 2 kmn, k (m2
- n2
) і k (m2
+m2
) при деяких
натуральних k, m, n, де m >n (звідки m ≥ 2 - цей факт нам згодом буде
потрібний). Тому, мають місце дві можливості:
Нехай h = 2kmn, b = k (m2
- n2
), c = k (m2
+ n2
).
Тоді площа трапеції дорівнює:
S=(a+a+b) /2*h=(2a+b) /2*h
S=(2a+k(m2
- n2
))/2*2kmn=2a+ k2
mn (m2
- n2
)
h 2а + b = 2kmn 2a + k (m2
- n2
) = 2kmna + k2
mn (m2
- n2
)
периметр її дорівнює:
P=h+2a+c+b
P = 2а + k (m2
- n2
) + 2kmn +k (m2
+ n2
) - 2а + 2km (m + n).
і тому:
2kmna +k2
mn (m2
- n2
) = 2а + 2km (m + n).
Оскільки k, m, n - натуральні числа, де m≥ 2, тоді перший вираз в
лівій частині 2kmna більше першого виразу правої частини 2а. Тому для
здійснення твердження потрібно, щоб другий вираз лівої частини був менше
другого виразу правої частини, тобто:
k2
mn (m2
- n2
) < 2km (m + n),
звідки:
kn (m- n) < 7.
Отже, k = n = 1, і m = 2. . Підставивши їх в рівняння, знайдемо а :
2 1 2 1 а +12
2 1 (22
-12
) = 2а + 2 1 2 (2 + 1),
4a+b=2a+12,
2a=6,
а = 3.
19. 19
k = 2 1 2 1= 4,
h = 1- (22
-1) = 3,
с=1 (22
+12
) =5.
Першу досконалу прямокутну трапецію знайдено. ЇЇ основами є 3 і
3 + 3= 6 та висота 4.
Обчислимо її площу та периметр :
S=( 3+6)/2*4=18(кв.од.),
P=3+6+4+5=18(од.).
2. Нехай, h= k(m2
- n2
), b = kmn, с = k(m2
+ n2
). Тоді площа трапеції
дорівнює:
S =k(m2
- n2
)-2а +2kmn = k(m2
-n2
)а +k2
mn (m2
-n2
), а
периметр її дорівнює:
P =2a + 2kmn +k(m2
- n2
) +k(m2
+ n2
) =2а + 2km(m + n).
Маємо: k(m2
-n2
)а + k2
mn(m2
- n2
) = 2а + 2km(m+ n).
Аналогічно скільки k, m, n- натуральні, де m > 2 , тоді перший вираз
лівої частини більше першого виразу правої частини. Тому, другий вираз
лівої частини повинний бути менше другого виразу правої частини, тобто:
k2
mn(m2
- n2
)< 2km(m + n).
Отримали таку ж саму нерівність, яка була вище. Тому висновок
такий же: k = n = 1, m = 2 . Підставивши ці значення в рівняння, отримуємо:
1 (22
-12
) а + 12
2 1 (22
-12
) = 2а + 2 1 (2 + 1), та
3а+6=2а+12
а = 6.
h = 1-(22
-12
) = З,
b = 212-1 =4,
с = 1-(22
+ І2
) = 5.
Отже, друга досконала прямокутна трапеція має основи 6 та 6 + 4 = 10
і висоту 3. Її площа і периметр :
S=(6+10)/2*3=24(кв.од),
P=6+10+5+3=24(од.).
20. 20
Застосовуючи такий же підхід, можна знайти і всі
досконалі рівнобедрені трапеції. Також розглянемо два випадки.
При h = 2kmn, b = k (m2
- n2
), c = k (m2
+ n2
).
S=(2a+2b )/2*h=ah+bh,
P=2a+2b+2c,тоді якщо S=P ,то ah+bh=2a+2b+2c.
2akmn-2a=2k(m2
+ n2
)+2k (m2
- n2
) - 2 k2
mn(m2
- n2
)
Підставивши m=2, n=k=1 в рівняння, знайдемо а:
a*2*1*2*1-2а=2*(4+1)+2*(4-1)-4*(4-1)
4а-2а=10+6-12
2а=4
а=2
b=1*(4-1)=3, тобто нижня основа 3+3+2=8
h=2*1*1*2=4
с=5, тоді S=(2+8)/2*4=20 (кв. од.)
Р=5+5+2+8=20 од
При h= k(m2
- n2
), b = kmn, с = k(m2
+ n2
)
ah+bh=2c+2b+2a
21. 21
ak(m2
-n2
)+2 k2
mn (m2
- n2
) = 2 k(m2
+ n2
)+ 2 k2
mn (m2
- n2
) +2a
Знову підставляючи значення k=n=1,m=2 маємо
4a-a+16-8=8+2+4+2a
а=6, b=2*1*2*1=4, тоді нижня основа трапеції 4+4+6=14
h=4-1=3
S = (6+14)/2 *3=30 (кв.од)
P= 5+5+6+14=30 (од)
Тобто, є дві досконалі прямокутні трапеції і дві рівнобедрені. Тільки в
рівнобедреній трапеції можна вписати коло r=2. Додаток Б.
2.4 Коло описане навколо досконалих фігур
А чи можна навколо цих досконалих трикутників, чотирикутників
описати коло?
Описати коло навколо будь-якого трикутника можливо і центр цього
кола буде лежати на перетині серединних перпендикулярів до двох сторін
трикутника.
А якого радіусу? Перевіримо цю умову для досконалих знайдених
трикутників.
1) Умова досконалості : P∆=S∆.
2)Р∆ = a+b+c , S∆= , де R- радіус описаного кола
=
22. 22
Очевидно, що радіус описаного кола буде не постійним числом.
Перевіримо це для досконалих знайдених трикутників:
(6;8;10) R= = = 5
(5;12;13) R= = =6,5
(9;10;17) R= = =10,625
(6;25;29) R= = =18.125
(15;20;7 ) R= = =12.5
Отже, ми бачимо що для знайдених досконалих трикутників радіус
описаного кола не є константою і не є цілим числом.
Навколо досконалих знайдених квадрата та прямокутника можна
описати коло і центр його буде знаходитися на перетині діагоналей. Для
досконалого квадрата радіус описаного кола R= , а для прямокутника -
R= , але вони є раціональними числами.
Коло можна описати навколо трапеції тоді, коли вона є рівнобічною.
Центром кола є точка перетину серединних перпендикулярів до сторін.
Або коло описане навколо рівнобедреної трапеції АВСD,
якщо воно описане навколо трикутника АКВ.
Обчислимо радіус описаного кола для трапеції з основами 14 і 6 та висотою
3. Тоді трикутник АКВ – єгипетський і АВ=СD=5.
S∆АСD=1/2 *АD*ВК
23. 23
S∆АСD=1/2 *14*3=21 (кв.од.)
З ∆ ВКD за теоремою Піфагора ВD= √100+9=√109
Радіус описаного кола знайдемо з формули:
R=
За анлогічними міркуваннями знайдемо радіус описаного кола для
трапеції з основами 2 і 8 та висотою 4.
АС= √25+16=√41
Тобто навколо двох знайдених прямокутних трапецій зі сторонами
3,6, h=4 та 6; 10; h=3 не можна описати кола, а для рівнобедрених досконалих
трапецій зі сторонами 6; 14,h= 3 та 6;8;4 можна описати коло з раціональним
радіусом.
24. 24
РОЗДІЛ 3.
Досконалі числа і геометрія
Протягом сторіч автори, які писали про досконалі числа, цікавилися
більше забобонами і фантазіями, пов’язаними з цими числами, ніж їх
математичною природою. Наприклад, в діалогах Платона число «6» займає
особливе місце. У римлян на бенкетах найпочеснішим місцем було шосте.
За релігійними переказами світ був створений за 6 днів. Англійський
богослов VIII століття Алкуїн вчив, що людство, що пішло після потопу від 8
осіб, які перебували у ковчезі Ноя, менш досконале, ніж до потопу, так як
«8» – число недосконале. У XII столітті церковники рекомендували вивчення
досконалих чисел для спасіння душі.
Мартін Гарднер вбачав у числі 28 особливий сенс. На його думку,
Місяць оновлюється за 28 діб, тому що число "28" - досконале. У Римі в 1917
році при підземних роботах було відкрито дивну споруду: навколо великого
центрального залу розташовані 28 келій. Це була будівля неопіфагорейскої
академії наук. У ній було 28 членів. До останнього часу стільки ж членів,
часто просто за звичаєм, причини якого давним-давно забуті, належало мати
у багатьох вчених суспільствах. [6, c.23]
Геометричним символом, відповідним числу 6, є шестикутна зірка -
гексаграма.
Многокутники також мають зв'язок з досконалими числами.
Якщо накреслити квадрат і провести в ньому діагоналі, то можна
помітити, що вершини квадрата з'єднані шістьма відрізками, але ж 6 - число
досконале.
25. 25
Квадрат.
4 сторони + 2 діагоналі = 6 – досконале
число
Куб
Тепер креслимо куб і проводимо всі можливі
діагоналі. Виходить 12 ребер, 12 діагоналей граней, 4 діагоналі куба. Їх сума
дорівнює 28.
Тетраедр
Якщо накреслити тетраедр, то його вершини з'єднані
шістьма ребрами.
Восьмикутник.
26. 26
8 сторін + 20 діагоналей = 28 – досконале число. У
восьмикутнику 20 діагоналей. додамо до них вісім сторін, отримаємо
досконале число 28.
Семикутна піраміда
У неї 7 ребер, 7 сторін , а біля основи 14 діагоналей. І все
це разом складає довершене число 28.
32-кутник має 32 сторони і 464 діагоналі, що в сумі дає досконале
число 496.
Розглянемо цю задачу в загальному вигляді. Число відрізків, що
з'єднують попарно n точок (в даному випадку вершин), так само n (n-1): 2.
Якщо число цих точок n = 2р, де р - просте число, 2р-1 теж просте, то
отримаємо 2р (2р-1): 2 або 2р-1 (2р-1). Це відома формула Евкліда для безліч
довершених парних чисел.
Таким чином, якщо в просторі або на площині розкидати 2р точок,
так що ні які три точки не лежать на одній прямій, то число відрізків, що
з'єднують попарно всі ці точки, буде числом досконалим.
Лише дві тисячі років по тому Ейлер довів, що формула Евкліда
містить всі парні досконалі числа. Формула Евкліда дозволяє без труднощів
доводити численні властивості досконалих чисел . Наприклад , всі досконалі
числа трикутні . Це означає, якщо взяти досконале число куль , ми завжди
зможемо скласти з них рівносторонній трикутник .
27. 27
З тієї ж формули Евкліда випливає інша цікава властивість
досконалих чисел: всі досконалі числа, крім 6 , можна представити у вигляді
часткових сум ряду кубів послідовних непарних чисел
Ще більш дивно, що сума величин, обернених всім дільникам
досконалого числа , включаючи його самого , завжди дорівнює 2 .
Наприклад, взявши дільники досконалих чисел 6 і 28 , отримаємо :
28. 28
ВИСНОВОК
В результаті дослідження істинність гіпотези підтвердилась, що не
всі числа і обрані типи геометричних фігур можуть бути досконалими.
1) Вивчивши наукову літературу, ми прийшли до висновку , що з давніх
давен вчених цікавили досконалі числа і фігури, і вони були знайдені ще
Евклідом.
2) Завдяки цій роботі з’ясували зв’язок простих чисел Марсенна з
досконалими числами.
Ряд
натуральних
чисел
Ряд Ряд
простих
чисел
Довершенні
числа
Сума всіх
дільників
числа
1 1
2 3 3 *3 6 2*6
3 7 7 *7 28 2*14
4 15
5 31 31 *31 496 2*248
6 63
7 127 127 *127 8128 2*4064
8 855
9 511
10 1023
11 2047
12 4095
29. 29
13 8191 8191 *8191 33550336 2*16775
… … … … … …
3) Виконуючи практичну роботу дослідили і знайшли сторони досконалих
фігур: трикутників, квадрата, прямокутників, трапецій та перевірили
умову досконалості в них.
Геометрична фігура Параметри Площа Периметр
Квадрат a=4 16 16
Прямокутник a=3
b=6
18 18
Трикутник
-прямокутні
-довільні
a=6, b=8, c=10
a=5, b=12, c=13
a=9,b=10, c=17
a=6, b=25, c=29
a=15, b=20, c=7
24
30
36
60
42
24
30
36
60
42
Трапеція
-прямокутна
-рівнобедрена
a=3, b=6, h=4
a=6, b=10, h=3
a=6,b=8,h=4
a=6, b=14, h=3
36
24
20
30
36
24
20
30
4) Довели, що радіуси вписаних кіл для знайдених досконалих фігур
дорівнює 2 (крім трапеції зі сторонами а=6, b=10, h=3, то а=6, b=14, h=3,
та куба зі стороною а=6)
5) Впевнились, що радіуси описаних кіл для цих фігур не є константою та не
є цілими числами.
30. 30
Геометричні фігури Параметри r R
Квадрат а=4 2
Прямокутник а=3, b=6 -
Трикутники
-прямокутні а=6,b=8,c=10
a=5,b=12,c=13
2
2
5
6,5
-довільні а=9,b=10,c=17
a=6,b=25,c=29
a=15,b=20,c=7
2
2
2
10,625
18,125
12,5
Трапеція
-прямокутна
-рівнобічна
a=3,b=6,h=4
a=6,b=10, h=3
a=2, b=8, h=4
a=6, b=14, h=3
2
-
2
-
-
-
≈4
≈8,7
6) Знайденні досконалі фігури закріплюють отриманні знання з шкільного
курсу геометрії і можуть використовуватися для практичних робіт.
7) З’ясували, що досконалі числа мають зв’язок з многокутниками.
Триває розвиток цивілізації, зроблено безліч відкритті, але відкриття
зроблені вченими і сьогодні актуальні.
31. 31
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ
1. Акуліч І. Немає границі довершеності. // Квант-№3,– 2008. – 56с
2. Бородін О.І. Історія розвитку поняття про число і системи
числення.– К.: Рад. школа, 1963.– 69с.
3. Глейзер Г.І. Історія математики в школі – Посібник для вчителів –
М.: Освіта, 1982г.-186с.
4. Даан-Дальмедіко А., Пейффер Ж. Шляхи і лабіринти. Нариси з
історії математики. М., 2001 – 270с.
5. Депман І. Доскогалі числа // Квант №4. 1975.- 56с.
6. Е. Карпеченко Таємниці чисел. Математика /Пріл. До газети "Перше
вересня" №13 2007. – 36с.
7. А. Н. Крилов. Числа і заходи. Математика/ Пріл. До газети "Перше
вересня"№7 1994 – 40с
8. Кушель О.В. Розвиток поняття про число. Ознаки подільності.
Досконалі числа.– К.: Вища школа, 1974.– 50 с.
9. Рибников К.А. Винекнення та розвиток математичної науки: Книга
для вчителя.– М.: Просвещение, 1987.– 86 с.
10.Юшкевич А.П. Історія математики в середні століття. М., 2002
