старі ідеї головоломки крос суми

1. СТАРІ ІДЕЇ цікавого початку
ПО-НОВОМУ
Квадріціус Л.В. – учитель
інформатики, математики
Станіславська ЗОШ І-ІІІ ступенів ім. К.Й. Голобородька
ГОЛОВОЛОМКИ КРОС-СУМИ
Logіc wіll get you from A to B. Іmagіnatіon wіll take you anywhere.
Логіка може привести вас від пункту А до пункту Б,
а уява - куди завгодно...
Альберт Ейнштейн

2. Теоретична частина
Числа і фігури можуть об'єднатися,
наприклад, у таку композицію. Дев'ять чисел
натурального ряду розставлені в клітинках
квадрата.
Чи можна відразу сказати, що це красиво?
Навряд чи. Краса тут не зовнішня, а змістовна,
внутрішня.
Щоб її зрозуміти, потрібно порахувати суми
трьох чисел у кожному рядку, у кожному
стовпці і по кожній із двох діагоналей.
Виявляється, сума у всіх восьми випадках
дорівнює 15.

3. Теоретична частина
Виходить у величезній кількості різних розташувань дев'яти чисел у клітках квадрата можна
знайти таке дивовижне за своїм змістом. Від хаосу різних, нічим не примітних варіантів
розташування – до своєрідного і рідкісного упорядкування.
Історія походження подібних квадратів іде в глиб тисячолітньої історії людства. Природно,
у ті давні часи, коли навіть окремим числам приписувалися магічні властивості, подібні
числові побудови не могли назвати інакше як чарівні або магічні квадрати. До магічних
квадратів повернемося окремо, а поки розглянемо більш прості, але і більш різноманітні
розташування чисел з постійними сумами.
Саме в цій області існує велика кількість цікавих задач простих за умовою і корисних для
розуму. Для пересічних рядів чисел з однаковими сумами вітчизняний математик і
популяризатор науки Борис Анастас’євич Кордемський увів визначення кроса-суми, за
аналогією з кросвордами (від англійського cross - перетинатися,схрещуватися). Таким
чином, кроса-суми – це пересічні ряди чисел з однаковими сумами. Можна було б назвати
їх: числові перетинання з однаковими сумами, але виходить більш громіздко.

4. Теоретична частина
Нарешті, як це використовувати? Варіантів багато і вони залежать від конкретної
ситуації.
• Хтось буде розв’язувати як кросворд у газеті, вписуючи простим олівцем числа і
стираючи їх, якщо не підходять.
• Учитель виготовить великий малюнок і фішки з числами до нього, щоб можна
було розв’язувати на демонстраційній магнітній дошці.
• Людина, яка трепетно відноситься до книг, перемалює зображення на листок
зошита, і буде розв’язувати на ньому.
• Можна використовувати барила від гри лото з готовими цифрами. Їх можна
розставляти, пересувати на будь-якій плоскій поверхні.
• І ще одне зауваження. Можна взяти п'ять задач, до кожної придумати довгу і
захоплюючу літературну історію, дати назва, що запам'ятовується, і відвести на
них кілька сторінок книги.
• Тут прийняте інше рішення: показати максимум варіантів, не п'ять, а п'ятдесят
або більше, але забрати зайві слова – тільки номер задачі і її умова.

5. Розставте числа
від 1 до 9 так,
щоб суми чисел у
вершинах будь-
якого квадрата, із
шести
представлених на
малюнку, були
рівні між собою.

6. Розставте числа від
1 до 16 таким
чином, щоб сума
п'яти чисел кожного
ряду
(2-х вертикальних і
2-х горизонтальних)
дорівнювала 41
(або 42, або 43,
або 44).

7. Розставте в
кружечки числа
від 1 до 6 так,
щоб сума чисел
уздовж кожної
сторони
трикутника
дорівнювала 12.

8. Розставте
числа від 1 до
9 у кружечки
фігури так,
щоб сума
трьох чисел по
кожній прямій
складала 15

9. 34 34 34 34
Магічний квадрат Дюрера
• Сума чисел по горизонталі
однакова — і дорівнює 34.
• По вертикалі сума чисел
теж 34.
• По діагоналі так само: 16,
10, 7, 1 — буде 34; 4, 6, 11,
13 — теж 34.
34
34
34
34
34
34

10. Використовувати схеми за принципом Дюрера.
Задавати початкове положення найменшого числа
у квадраті
Починати з будь-якого натурального числа
(меншого 100).

11. • це квадратна таблиця nn,
заповнена n2 числами, таким
чином, що сума чисел у
кожному рядку, кожному
стовпці
і на обох діагоналях
виявляється однаковою.
 Нормальним називається магічний квадрат,
заповнений цілими числами від 1 до n2.
2 7 6
9 5 1
4 3 8
15
15
15
15 15 15 1515

12. Сума чисел у кожному
рядку, стовпці і на
діагоналях, називається
магічною константою, M.
Магічна константа
нормального чарівного
квадрата залежить тільки від
n і визначається формулою
n M(n)
3 15
4 34
5 65
6 111
7 175
8 260
9 369
10 505
11 671
12 870
13 1105
Перші значення магічних констант

13. • Ло Шу (кит. трад. ,
спрощ. , пинь інь luò
shū)
• Єдиний нормальний
магічний квадрат 3×3. Був
відомий ще в Древньому
Китаї, перше зображення
на панцирі черепахи
датується 2200р. до н.е.
Зображення квадрата
Ло Шу у книзі епохи
Мін
4 9 2
3 5 7
8 1 6

14. • Самий ранній
унікальний магічний
квадрат виявлений у
записах XІ століття в
індійському місті
Кхаджурахо.
• Це перший магічний
квадрат, що
відноситься до
різновиду так званих
"диявольських"
квадратів
7 12 1 14
2 13 8 11
16 3 10 5
9 6 15 4

15. У 13 ст. математик Ян Хуей зайнявся
проблемою методів побудови магічних
квадратів. Ян Хуей розглядав магічні
квадрати не тільки третього, але і
більших порядків.
Деякі з його квадратів були досить
складні, однак він завжди пояснював
правила їх побудови.
Він зумів побудувати магічний квадрат
шостого порядку, причому останній
виявився майже асоціативним (у ньому
тільки дві пари центрально-
протилежних чисел не дають в сумі 37 )
27 29 2 4 13 36
9 11 20 22 31 18
32 25 7 3 21 23
14 16 34 30 12 5
28 6 15 17 26 19
1 24 33 35 8 10

16. • Магічний квадрат 4×4,
зображений на
гравюрі Альбрехта
Дюрера "Меланхолія
І", вважається самим
раннім у
європейському
мистецтві. Два
середніх числа в
нижньому ряді
вказують дату
створення картини
(1514)

17. • Якщо в квадратну
матрицю n×n заноситься
не строго натуральний ряд
чисел, то даний магічний
квадрат - нетрадиційний.
До вашої уваги два таких
магічних квадрати,
заповнені в основному
простими числами.
• Ці квадрати були створені
на початку двадцятого
століття
Квадрат
Дьюдені
Квадрат
Джонсона
67 1 43
13 37 61
31 73 7
3 61 19 37
43 31 5 41
7 11 73 29
67 17 23 13

18. 17 89 71
113 59 5
47 29 101
1 823 821 809 811 797 19 29 313 31 23 37
89 83 211 79 641 631 619 709 617 53 43 739
97 227 103 107 193 557 719 727 607 139 757 281
223 653 499 197 109 113 563 479 173 761 587 157
367 379 521 383 241 467 257 263 269 167 601 599
349 359 353 647 389 331 317 311 409 307 293 449
503 523 233 337 547 397 421 17 401 271 431 433
229 491 373 487 461 251 443 463 137 439 457 283
509 199 73 541 347 191 181 569 577 571 163 593
661 101 643 239 691 701 127 131 179 613 277 151
659 673 677 683 71 67 61 47 59 743 733 41
827 3 7 5 13 11 787 769 773 419 149 751
Великий квадрат
примітний тим, що він
складений з 143
послідовних простих чисел
за винятком двох
моментів: використана
одиниця, що не є простим
числом, і єдине парне
просте число 2 випущене

19. • Диявольський магічний квадрат -
магічний квадрат, у якому також з
магічною константою збігаються суми
чисел по ламаних діагоналях
(діагоналі, що утворяться при
згортанні квадрата в тор) в обох
напрямках.
• Такі квадрати називаються ще
пандіагональними.
• Існує 48 диявольських магічних
квадратів 4×4 з точністю до поворотів
і відображень. Якщо взяти до уваги
ще і їхню додаткову симетрію -
торичні рівнобіжні переноси, то
залишиться тільки 3 істотно різних
квадрати
1 8 13 12
14 11 2 7
4 5 16 9
15 10 3 6
1 12 7 14
8 13 2 11
10 3 16 5
15 6 9 4
1 8 11 14
12 13 2 7
6 3 16 9
15 10 5 4

20. • непарного порядку n>3,
• для будь-якого порядку подвійної парності
n=4k (k=1,2,3...)
• і не існують для порядку одинарної
парності n=4k+2 (k=1,2,3...).
Пандіагональні
квадрати існують для
• Досконалих пандіагональних квадратів
непарного порядку не існує.
• Серед пандіагональних квадратів
подвійної парності вищої 4 є досконалі.
Пандіагональні
квадрати четвертого
порядку
маютьдодаткові
властивості, за які їх
називають
досконалими.
• З урахуванням торичних рівнобіжних
переносів є 144 різних пандіагональних
квадратів.
Пандиагональных
квадратів п'ятого
порядку 3600.
1 15 24 8 17
9 18 2 11 25
12 21 10 19 3
20 4 13 22 6
23 7 16 5 14

21. • Якщо
пандіагональний
квадрат ще й
асоціативний, то він
називається
ідеальним
21 32 70 26 28 69 22 36 65
40 81 2 39 77 7 44 73 6
62 10 51 58 18 47 57 14 52
66 23 34 71 19 33 67 27 29
4 45 74 3 41 79 8 37 78
53 55 15 49 63 11 48 59 16
30 68 25 35 64 24 31 72 20
76 9 38 75 5 43 80 1 42
17 46 60 13 54 56 12 50 61

22. Використовувати схеми за принципом Дюрера.
Задавати початкове положення найменшого числа
у квадраті
Починати з будь-якого натурального числа
(меншого 100).

23. Використано інформацію з:
• Української енциклопедії.
• Електронної енциклопедії “Кирила та
Мефодія”.
• Інтернет-енциклопедії “Вікепедія”
• Газети “Завуч”, № 16, 2002 р.