Системний аналіз та імітаційне моделювання.ppt

Інститут комп’ютерних інформаційних технологій
Кафедра комп’ютеризованих систем управління
Навчальна дисципліна
«СИСТЕМНИЙ АНАЛІЗ
ТА ІМІТАЦІЙНЕ МОДЕЛЮВАННЯ»
Напрям підготовки
6.050102 «Комп’ютерна інженерія»
Курс 3 Семестр 6
Лекцій – 18 годин
Лабораторних занять – 36 годин
Самостійна робота – 72 години
Всього – 126 годин
Домашнє завдання 2 (6 семестр)
Диференційований залік 6 семестр

Рейтингова система оцінювання знань
Модуль №1 Модуль №2
Вид
навчальної роботи
Мах
кількіст
ь
балів
Вид
навчальної роботи
Мах
кількість
балів
Мах
кількість
балів
Виконання та захист
лабораторної роботи
№1.1
5 Виконання та захист
№2.1
5
№1.2
№2.2
5
№1.3
№2.3
5
№1.4
№2.4
5
домашнього завдання
№1
домашнього завдання
№2
12
Виконання модульної
контрольної роботи №1
12 Виконання модульної
контрольної роботи №2
12
Усього за модулем №1 44 Усього за модулем №2 44
Семестровий диференційований залік 12
Усього за 6 семестр 100

ЗМІСТ ДИСЦИПЛІНИ
1. Основні положення системного аналізу
2. Основні поняття теорії моделювання
3. Моделювання випадкових явищ
4. Технологія імітаційного моделювання
5. Обробка результатів імітаційного
моделювання

Мета викладання дисципліни: засвоєння основ системного
аналізу та методів імітаційного моделювання складних систем.
Студент повинен знати:
● основні принципи системного аналізу;
● методи імітаційного моделювання випадкових явищ;
● принципи побудови моделюючих алгоритмів;
● методи обробки та інтерпретації результатів імітаційних
експериментів.
Студент повинен вміти:
● формалізувати процес функціонування складних систем;
● обчислювати кількісні характеристики випадкових явищ;
● обробляти результати імітаційних експериментів;
● розраховувати необхідну кількість реалізацій моделюючого
алгоритму.

ЛІТЕРАТУРА
1. Рыжиков Ю.И. Имитационное моделирование.
Теория и технологии. – СПб.: Корона принт. – М.: Альтек
– А, 2004. – 384 с.
2. Советов В.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем:
Учебник для вузов. – М.: Высшая школа, 1985. – 271 с.
3. Прицкер А. Введение в имитационное
моделирование и язык СЛАМ П. – М.: Мир, 1987. – 646 с.
4. Бусленко Н.П. Моделирование систем. – М.: Наука,
1978. – 400 с.
5. Литвиненко А.Е. Моделирование производственных
процессов в автоматизированных системах управления
гражданской авиации: Учебное пособие. – Киев: КИИГА,
1988. – 72 с.

ГЛОБАЛЬНА ПРОБЛЕМА

ПІДХОДИ ДО ВИРОБЛЕННЯ РІШЕНЬ
Основа:
• Математична модель задачі прийняття
рішень (ЗПР);
• Імітаційна модель керованого процесу
(системи);
• Експертна модель прийняття рішень.

ВИРОБЛЕННЯ РІШЕНЬ НА ОСНОВІ
МАТЕМАТИЧНОЇ МОДЕЛІ

ІМІТАЦІЙНОЇ МОДЕЛІ

ЕКСПЕРТНОЇ МОДЕЛІ

1. ПРИНЦИПИ СИСТЕМНОГО АНАЛІЗУ
• дослідження реальних об'єктів як
систем;
• послідовний перехід від загального до
окремого;
• в основі дослідження об'єкту лежить
його мета;
• функціонування об'єкту розглядається у
взаємодії із зовнішнім середовищем.

ВИЗНАЧЕННЯ
• Система
• Цілісність
• Зовнішнє середовище
• Стан системи
• Функціонування системи
• Структура системи

ВЛАСТИВОСТІ СИСТЕМИ
• Система є щось ціле, що не зводиться до
простої сукупності елементів.
• Будь-яка система є елементом масштабнішої
системи - метасистеми.
• Кожен елемент досліджуваної системи є
системою нижчого рівня.
• Найбільш суттєві властивості системи як
цілого визначаються її структурою.

СИСТЕМНІ ОБ‘ЄКТИ
• цілі функціонування системи;
• процеси, що призводять до досягнення
цілей, які стоять перед системою;
• входи і виходи системи;
• функції системи;
• критерії оцінки ефективності
функціонування системи.

ФОРМАЛЬНИЙ ОПИС СИСТЕМИ (1)
Час: T
t  ; }
{
min
0 T
t
t 

Поточний стан системи:
Z
t
z
t
z
t
z
t
z n 
 ))
(
...,
),
(
),
(
(
)
( 2
1
Початковий стан системи:
)
,...,
,
( 0
02
01
0 n
z
z
z
z  ; n
j
t
z
z j
j ,
1
);
( 0
0 

Вхідний сигнал:
X
t
x
t
x
t
x
t
x m 
 ))
(
,
...
),
(
),
(
(
)
( 2
1
Збурюючі дії:
V
t
v
t
v
t
v
t
v k 
 ))
(
,
...
),
(
),
(
(
)
( 2
1
Внутрішні (власні) параметри:
H
t
h
t
h
t
h
t
h l 
 ))
(
,
...
),
(
),
(
(
)
( 2
1

ФОРМАЛЬНИЙ ОПИС СИСТЕМИ (2)
Стан системи в момент часу T
t 
*
; 0
*
t
t  :
*
0
]
)
(
),
(
),
(
,
,
[
)
( 0
* t
t
t
v
t
h
t
x
z
t
F
t
z 
Вихідний сигнал:
Y
t
y
t
y
t
y
t
y r 
 ))
(
,
...
),
(
),
(
(
)
( 2
1
*
0
]
)
(
),
(
),
(
,
,
[
)
( 0
* t
t
t
v
t
h
t
x
z
t
G
t
y 
*
0
]
)
(
,
[
)
( t
t
t
z
t
G
t
y 
Формальна модель системи:
)
,
,
,
,
,
,
,
( G
F
Y
Z
V
X
H
T
M 
ЗАДАЧА ІМІТАЦІЙНОГО МОДЕЛЮВАННЯ:
побудова функцій )
(t
z та )
(t
y , T
t  .

ДЕТЕРМІНОВАНІ МОДЕЛІ
]
)
(
[
)
,
1
:
( 0
0 const
t
z
z
n
j
j j
j 


 ;
)
0
(
)
,
1
:
( 

 i
v
k
i
i ;
)
(
,
...
),
(
),
( 2
1 t
h
t
h
t
h l – const або змінюються за відомими
законами;
Оператори F та G – детерміновані:
)
,
,
,
,
,
,
( G
F
Y
Z
X
H
T
M 

СТОХАСТИЧНІ МОДЕЛІ
n
z
z
z 0
02
01 ,...,
, – випадкові величини;
)
(
,
...
),
(
),
( 2
1 t
v
t
v
t
v k – випадкові функції;
)
(
,
...
),
(
),
( 2
1 t
h
t
h
t
h l – випадкові функції;
F та G – випадкові оператори:


 F
F 

 )
(
: ; 

 G
G 

 )
(
: ;
...}
,
,
,
{ 3
2
1 



 .

Структура кібернетичної системи
Зовнішнє середовище
Управляюча
підсистема
Керована
підсистема
1
5
3
2
4
6

Властивості кібернетичних
систем
• наявність управляючої та керованої
підсистем;
• наявність зворотних зв'язків;
• використання інформації для
вироблення управлінських рішень.

2. Основні поняття теорії моделювання
• Модель - опис об'єкту на формальній мові, що
дозволяє виводити судження про його властивості і
поведінку за допомогою формальних процедур.
• Моделювання - вивчення властивостей реальних
об'єктів шляхом побудови і дослідження їх моделей.
• Адекватність
• Види моделювання:
- аналітичне;
- імітаційне.

МЕТОДИ ДОСЛІДЖЕННЯ
АНАЛІТІЧНИХ МОДЕЛЕЙ
• Аналітичний:
)
,
( y
x
F
M   )
(x
f
y M
 ,
x – незалежні змінні;
y – шукані змінні.
• Чисельний:
)
(
)
( y
x c
y
c
x 

 ,
x
c і y
c – значення змінних x і y .
• Якісний:
)
(
)
( Y
y
X
x 



 ,
X  і Y – підмножини значень змінних x и y :
X
X 
 ; Y
Y 
 ;
X і Y – повні множини таких значень.

ІМІТАЦІНЕ МОДЕЛЮВАННЯ
– реалізація моделюючого алгоритму, який формально
відтворює процес функціонування реального об'єкту.
Елементарні явища, що становлять цей процес,
імітуються із збереженням логічної структури їх
взаємодії і послідовності протікання в часі.
Випадкові явища імітуються за допомогою
випадкових чисел з необхідними імовірнісними
характеристиками.
Отримання об'єктивних і стійких характеристик
модельованого процесу потребує його багатократне
відтворення для різних початкових даних з наступною
статистичною обробкою отриманих результатів.

ПРИКЛАД ІМІТАЦІЙНОГО МОДЕЛЮВАННЯ
Процес, що моделюється – виконання рейсу за
маршрутом 3
2
1 A
A
A 
 .
Вхідні дані:
H
t – час початку рейсу;
23
12,
 – тривалість польоту на дільницях )
( 2
1 A
A  та
)
( 3
2 A
A  ;
2
s – тривалість стоянки в аеропорту 2
A ;
П
B
П
B
p
p
p
p 3
2
2
1 ,
,
, – вірогідності того, що аеропорти будуть
закриті у потрібний час для зльоту )
( B
i
p або посадки
)
( П
i
p ;
П
B
П
B
d
d
d
d 3
2
2
1 ,
,
, – тривалість закриття аеропортів для
зльоту )
( B
i
d або посадки )
( П
i
d .
Визначити час завершення рейсу K
t .

СХЕМА МОДЕЛЮЮЧОГО АЛГОРИТМУ
(ПОЧАТОК)

СХЕМА МОДЕЛЮЮЧОГО АЛГОРИТМУ
(кінець)

ГАЛУЗІ ЗАСТОСУВАННЯ
МЕТОДІВ МОДЕЛЮВАННЯ
• Структура
• Параметри
• Початковий
стан
• Умови
функціонування
 АНАЛІЗ 
Функціональні
характеристики:
• ефективність;
• надійність тощо.
• Функціональні
характеристики
(вимоги)
• Умови
функціонування
 СИНТЕЗ 
• Структура
• Параметри

3. Моделювання випадкових явищ
Імовірнісні характеристики випадкової величини  ,
рівномірно розподіленої в інтервалі [0, 1]:








1
0
,
0
1
0
,
1
)
(
x
або
x
якщо
x
якщо
x
f










1
,
1
1
0
,
0
,
0
)
(
x
при
x
при
x
x
при
x
F
 

1
0 2
1
)
(
)
( dx
x
f
x
M 
12
1
)
(
)]
(
[
)
( 2
1
0


  dx
x
f
M
x
D 

3
2
1
)
(
)
( 

 

 D

f(x)
x
F(x)
x
0
0 1
1
1
1
Рис. 3.1
Рис. 3.2

ПРЕДСТАВЛЕННЯ ЗНАЧЕНЬ
випадкової величини ]
1
,
0
[


в цифрових обчислювальних системах
n
n
z
z
z 









 2
...
2
2 2
2
1
1
 ;
n – кількість двійкових розрядів;
}
1
,
0
{

k
z з вірогідністю ½; n
k ,
1
 .
1
2 
 n
i
m
x ;
}
1
2
,
...
,
2
,
1
,
0
{ 
 n
m ; ...
,
2
,
1

i ; n
i
p
2
1
 .

ІМОВІРНІСНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ
дискретної випадкової величини , квазірівномірно
розподіленої в інтервалі [0, 1]:






1
2
0
/
2
1
1
2
)
(
n
m
n
n
m
M  ;




N
m
N
N
m
1 2
)
1
(

2
1
)
( /


M ;












1
2
0
2
/
2
1
1
2
2
1
)
(
n
m
n
n
m
D  ;
6
)
1
2
)(
1
(
1
2 




N
N
N
m
N
m

1
2
1
2
12
1
)
( /



 n
n
D  ;
1
2
1
2
3
2
1
)
( /


 n
n

 .

СПОСОБИ
формування послідовностей випадкових чисел,
рівномірно розподілених в інтервалі [0,1]
- апаратний (фізичний);
- табличний (файловий);
- алгоритмічний (програмний):
)
,
...
,
,
( 0
1
1 x
x
x
x i
i
i 
 

АЛГОРИТМІЧНІ МЕТОДИ
формування послідовностей
псевдовипадкових чисел в інтервалі [0,1]
• мультиплікативний метод (метод
вирахувань);
• метод підсумовування;
• метод усікання;
• метод перемішування.

МУЛЬТИПЛІКАТИВНИЙ МЕТОД
)
(mod
1 M
X
X i
i 

 ;
)
(mod
1 M
X
X i
i 
 

 ;
M
X
x i
i
1
1

  ;
1

 n
q
M ; 3
8 
 
 ,
q – основа системи числення, прийнятої в комп'ютері;
n – кількість цифрових розрядів в машинному слові;
 – ціле позитивне число;
 – ціле позитивне непарне число;
0
X – ціле позитивне непарне число.
Період послідовності: 11
6
10
10  .

ІЛЮСТРАЦІЯ МУЛЬТИПЛІКАТИВНОГО
МЕТОДУ

МЕТОД ПІДСУМОВУВАННЯ
r
i
M
X
X
r
j
j
i
j
i 

 


 ;
)
(mod
0
1 
 ;
M
X
x i
i
1
1

  ;
M
X
r i
j ,
,
,
, 
 – цілі позитивні числа;
0
1 ,
...
,
, X
X
X r
r  – випадкові числа з діапазону )
,
0
( M .
Період послідовності: 17
9
10
10  .

ІЛЮСТРАЦІЯ МЕТОДУ
ПІДСУМОВУВАННЯ

МЕТОД УСІКАННЯ
).
2
(mod
]
2
[
]
2
)}
2
(mod
[{
;
2
)}
2
(mod
)
2
(mod
{
;
2
)}
2
(mod
)
2
(mod
{
2
2
2
2
2
2
1
1
3
1
1
2
3
2
1
k
k
i
k
k
i
i
k
k
i
i
k
i
i
i
k
k
i
k
i
i
C
X
C
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X















k
2 – кількість двійкових розрядів;
const
C  ;
[…] – ціла частина числа;
 – знак порозрядного складання двійкових чисел.
1
22
1
1

 
 k
i
i
X
x

ІЛЮСТРАЦІЯ МЕТОДУ УСІКАННЯ (1)

ІЛЮСТРАЦІЯ МЕТОДУ УСІКАННЯ (2)

ПРОГРАМНІ ЗАСОБИ
формування послідовностей
псевдовипадкових чисел
C++:
double result=min+double(rand()) / RAND_MAX * (max - min);
C#:
double result=min+randomNumber.NextDouble()*(max-min);
Java:
double result=min+Math.random()*(max-min);

ПЕРЕВІРКА ЯКОСТІ
послідовностей псевдовипадкових чисел,
отриманих алгоритмичними методами
• Тест частот – перевірка рівномірності
розподілу псевдовипадкових чисел в
інтервалі [0, 1].
• Тест пар – перевірка незалежності
псевдовипадкових чисел.

ТЕСТ ЧАСТОТ (1)
)
,
1
;
( N
i
xi  – послідовність псевдовипадкових
чисел;
m – кількість рівних напіввідкритих інтервалів на
відрізку (0, 1).
j
N – емпірічна частота m
j ,
1
 .
Вірогідність попадання числа i
x в j-й інтервал:
m
pj
1
 ; m
j ,
1
 .
Теоретична частота:
m
j
m
N
N
p
N j
j ,
1
;
*


 .

ТЕСТ ЧАСТОТ (2)
Критерій Пірсона:
 
 










m
j
m
j
j
j
j
j
m
N
N
N
m
N
N
N
1 1
2
*
2
*
2
)
(
 .
Гіпотеза приймається, якщо
)
,
(
2
2
k
кр 

  ,
k – кількість ступенів свободи розподілу
2
 : 1

 m
k ;
 – рівень значущості.

КРИТИЧНІ ТОЧКИ РОЗПОДІЛУ
2

Рівень значущості 
Число
ступенів
свободи
k
0,01 0,025 0,05 0,95 0,975 0,99
1 6,6 5,0 3,8 0,0039 0,00098 0,00016
2 9,2 7,4 6,0 0,103 0,051 0,02
3 11,3 9,4 7,8 0,352 0,216 0,115
.
.
.
29 49,6 45,7 42,6 17,7 16,0 14,3
30 50,9 47,0 43,8 18,5 16,8 15,0

ТЕСТ ПАР
Способи формування пар псевдовипадкових чисел:
...
);
,
(
);
,
(
);
,
( 6
5
4
3
2
1 x
x
x
x
x
x ;
Кількість пар 2
/
N
 .
...
);
,
(
);
,
(
);
,
( 4
3
3
2
2
1 x
x
x
x
x
x ;
Кількість пар N
 .

ТЕСТ ПАР (1 спосіб)
jl
N – емпірічна частота попадання пар чисел в
клітини квадратної таблиці розмірності m
m ; m
j ,
1
 ;
m
l ,
1
 .
Вірогідність попадання пари чисел в )
,
( l
j -у клітину
таблиці:
2
1
m
p jl  ; m
l
m
j ,
1
;
,
1 
 .
Теоретична частота попадання пар чисел в клітини
таблиці:
2
2
*
2
2
1
2 m
N
N
m
N
p
N jl
jl 



 .
 
  

  











m
j
m
j
m
l
jl
m
l jl
jl
jl
m
N
N
N
m
N
N
N
1 1
2
1
2
2
1
*
2
*
2
2
2
 .
Кількість ступенів свободи розподілу
2
 :
)
1
( 
 m
m
k .
)
,
(
2
2
k
кр 

  .

ТЕСТ ПАР (2 спосіб)
Теоретична частота попадання пар чисел в клітини
таблиці:
2
2
* 1
m
N
N
m
N
p
N jl
jl 



 .
 











m
j j
j
j
m
l jl
jl
jl
m
j N
N
N
N
N
N
1
*
2
*
1
*
2
*
1
2
)
(


 

 
















m
j
j
m
j
m
l
jl
m
N
N
N
m
m
N
N
N
m
1
2
1
2
1
2
2
.
Кількість ступенів свободи розподілу
2
 :
)
1
( 
 m
m
k .
)
,
(
2
2
k
кр 

  .

МОДЕЛЮВАННЯ ВИПАДКОВОЇ ПОДІЇ
Дано: вірогідність p настання випадкової події A.
Вважатимемо, що подія A сталася, якщо
p
xi  .
Доведення:
  



p p
i p
dx
dx
x
f
p
x
P
0 0
)
(
)
( .

МОДЕЛЮВАННЯ ГРУПИ ВИПАДКОВИХ ПОДІЙ
Дано: вірогідності n
j p
p
p
p ,
...
,
,
...
,
, 2
1 настання
неспільних випадкових подій n
j A
A
A
A ,
...
,
,
...
,
, 2
1 , що
утворюють повну групу:
1
1



n
j
j
p .
Відрізок (0, 1) розбивається на n напіввідкритих
інтервалів, довжина яких дорівнює вірогідностям
n
j
p j ,
1
,  .
Межі j -го відрізку:
n
j
p
l
l
j
r
j
j ,
1
;
;
0
1
0 

 

.
Вважатимемо, що сталася подія m
A , якщо m
i
m l
x
l 

1 .
Доведення:
m
l
l
m
m
m
i
m p
l
l
dx
x
f
l
x
l
P
m
m





 



1
1
1 )
(
)
(

МОДЕЛЮВАННЯ ЗАЛЕЖНИХ ВИПАДКОВИХ ПОДІЙ
(спосіб 1)
Дано: вірогідності )
(A
p і )
(B
p настання залежних
випадкових подій A і B; умовна вірогідність )
/
( A
B
p .
1. Перевіряється справедливість нерівності
)
(A
p
xi  . (3.1)
2. Якщо (3.1) виконується, перевіряється
справедливість нерівності
)
/
(
1 A
B
p
xi 
 .
3. Якщо (3.1) не виконується, визначається умовна
вірогідність )
/
( A
B
p , виходячи з формули повної
вірогідності
)
/
(
)
(
)
/
(
)
(
)
( A
B
p
A
p
A
B
p
A
p
B
p 
 :
)
(
1
)
/
(
)
(
)
(
)
/
(
A
p
A
B
p
A
p
B
p
A
B
p


 .
4. Перевіряється справедливість нерівності
)
/
(
1 A
B
p
xi 
 .

МОДЕЛЮВАННЯ ЗАЛЕЖНИХ ВИПАДКОВИХ ПОДІЙ
(спосіб 2)
Складні події AB , B
A , B
A і B
A розглядаються як
неспільні випадкові події, що становлять повну групу.
Вірогідність їх настання:
,
]
)
/
(
1
)][
(
1
[
)
(
;
)
/
(
)]
(
1
[
)
(
)];
/
(
1
)[
(
)
(
);
/
(
)
(
)
(
A
B
p
A
p
B
A
p
A
B
p
A
p
B
A
p
A
B
p
A
p
B
A
p
A
B
p
A
p
AB
p








причому
1
)
(
)
(
)
(
)
( 


 B
A
p
B
A
p
B
A
p
AB
p .
Застосовується процедура моделювання неспільних
подій, що становлять повну групу.

МОДЕЛЮВАННЯ МАРКІВСЬКИХ ЛАНЦЮГІВ (1)
Дано:
1) вектор вірогідностей початкових станів системи
)
,
1
),
0
(
( n
k
pk  :



n
k
k
p
1
1
)
0
( ;
2) матриця переходів:













nn
n
n
n
n
p
p
p
p
p
p
p
p
p
P
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
1
2
22
21
1
12
11
;
n
j
p
n
k
jk ,
1
;
1
1




.

МОДЕЛЮВАННЯ МАРКІВСЬКИХ ЛАНЦЮГІВ (2)
1. Визначення початкового стану системи.
Розбиття відрізка (0,1) на n напіввідкритих інтервалів:





k
r
r
k n
k
p
l
l
1
0 ,
1
;
)
0
(
;
0 .
Якщо *
*
1 k
i
k
l
x
l 


, вважаємо, що початковим станом
системи є *
)
0
( k
z
z  .
2. Визначення наступних станів системи.
Фіксація номеру рядка матриці переходів: *
*
k
j  .
Розбиття відрізка (0,1) на n напіввідкритих інтервалів:





k
r
r
j
k
j
j
n
k
p
l
l
1
,
,
0
,
,
1
;
;
0 *
*
* .
Якщо *
*
*
*
,
1
, k
j
m
i
k
j
l
x
l 
 

, вважаємо, що станом системи
на m-у етапі моделювання є *
)
( k
z
m
z  .

МОДЕЛЮВАННЯ ВИПАДКОВИХ
ВЕЛИЧИН
Дано: послідовність випадкових чисел )
( i
x – значень
випадкової величини  , розподіленої з постійною
щільністю )
(x
f в інтервалі [0, 1].
Визначити: послідовність значень )
( j
y випадкової
величини  , розподіленої з функцією щільності )
(y
f на
відрізку числової осі )
,
( b
a .

МОДЕЛЮВАННЯ ДИСКРЕТНИХ
ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН
 – випадкова величина, яка може набувати
значень n
y
y
y ,
...
,
, 2
1 з вірогідністями n
p
p
p ,
...
,
, 2
1 :



n
j
j
p
1
1.
Визначення її значень зводиться до моделювання
групи неспільних подій n
A
A
A ,
...
,
, 2
1 .
Подія j
A полягає в тому, що випадкова величина 
набуває значення j
y ; n
j ,
1
 .

МЕТОДИ МОДЕЛЮВАННЯ БЕЗПЕРЕРВНИХ
ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН
• прямого перетворення (зворотній
функції);
• кускової апроксимації функції щільності;
• відсіювання (виключення);
• моделювання умов граничних теорем
теорії вірогідностей.

МЕТОД ПРЯМОГО ПЕРЕТВОРЕННЯ
Теорема: якщо випадкова величина  має щільність
розподілу )
(y
f , то розподіл випадкової величини





 dy
y
f )
(
є рівномірним в інтервалі числової осі (0,1).
Чергове число j
y обчислюється шляхом
розв’язання відносно верхньої межі інтегрування
рівняння




j
y
i
x
dy
y
f )
(

ПРИКЛАД ЗАСТОСУВАННЯ
МЕТОДУ ПРЯМОГО ПЕРЕТВОРЕННЯ
0
;
)
( 
 
y
e
y
f y

 .
 

j
y
i
y
x
dy
e
0

 ;
i
y
y
x
e
j







 
0
1 

 ;
i
y
x
e j



1 ;
)
1
ln(
1
i
j x
y 



або i
j x
y ln
1


 .

МЕТОД КУСКОВОЇ АПРОКСИМАЦІЇ
Відрізок )
,
( b
a розбивається на n частин ]
,
( 1

k
k a
a :




1
,
1
;
1
)
(
k
k
a
a
n
k
n
dy
y
f .
На кожному напіввідкритому інтервалі ]
,
( 1

k
k a
a
функція щільності )
(y
f апроксимується постійною або
лінійною функцією )
(y
k
 , n
k ,
1
 .
j
k
j z
a
y j

 ;
 
i
j x
n
k 
 ; j
j k
k
j a
a
z 

 1
0 ;
 

j
j
z
i
k x
dy
y
0
1
)
(
 .

КУСКОВО-ПОСТІЙНА АПРОКСИМАЦІЯ

ОБЧИСЛЕННЯ j
z
ПРИ КУСКОВО-ПОСТІЙНІЙ АПРОКСИМАЦІЇ
n
k
const
a
a
y
k
k
k
k ,
1
;
1
)
(
1
*







 ;
 



j
z
i
k
k
x
dy
a
a
0
1
1
1
;
1
0
1




i
z
k
k
x
a
a
y
j
; 1
1




i
k
k
j
x
a
a
z
;
1
1 )
( 
 
 i
k
k
j x
a
a
z j
j
.
1
1 )
( 
 

 i
k
k
k
j x
a
a
a
y j
j
j
.

КУСКОВО-ЛІНІЙНА АПРОКСИМАЦІЯ

ОБЧИСЛЕННЯ j
z
ПРИ КУСКОВО-ЛІНІЙНІЙ АПРОКСИМАЦІЇ
n
k
y
y k
k
k ,
1
;
)
( 

 

 ;
k
k
k
k
k
a
a
f
f





1
1
 ; )
(
2
1
1
*
k
k
k
k f
f 

 

 , )
( k
k a
f
f  ;
 


j
z
i
k
k x
dy
y
0
1
)
( 
 ;
1
0
2
2


 i
z
k
k
x
y
y
j


; 0
2
1
2


 
i
j
k
j
k
x
z
z 

;
1
2
2
1




 i
k
k
k
k
j x
z j
j
k
j
j
j





.
1
2
2
1




 i
k
k
k
k
k
j x
a
y j
j
k
j
j
j
j





.

МЕТОД ВІДСІЮВАННЯ (1)
i
j x
a
b
a
y )
( 


 ;
1
max 


 i
j x
f
y .
Якщо
j
j y
y
f 


 )
( ,
то число j
y включається до послідовності значень )
( j
y
випадкової величини  .

Доведення:
]
)
(
[
)
( j
j
j y
y
f
d
y
c
P
d
c
P 








 ,
a
c  ; b
d  .
A – випадкова подія: j
j y
y
f 


 )
( ;
B – випадкова подія: d
y
c j 

 .
)
/
(
)
(
)
( A
B
p
A
p
AB
p 
 ;
)
(
)
(
)
/
(
A
p
AB
p
A
B
p  .
)
(
1
1
)
(
]
)
(
[
max
)
(
0
1
0 max a
b
f
y
d
f
y
d
y
f
y
y
f
P
y
f a
b
j
j













  
 
;





d
c
j dy
y
f
d
y
c
P )
(
)
( .








 ]
)
(
[ j
j y
y
f
d
y
c
P













]
)
(
[
)]
)
(
(
&
)
[(
y
y
f
P
y
y
f
d
y
c
P







d
c
d
c
dy
y
f
a
b
f
a
b
f
dy
y
f
)
(
)
(
1
)
(
1
)
(
max
max

МОДЕЛЮВАННЯ НОРМАЛЬНОГО РОЗПОДІЛУ (1)
Сформувати послідовність випадкових чисел )
( j
y ,
що мають нормальний розподіл з математичним
очікуванням a і середнім квадратичним відхиленням
 :





 

 2
2
2
)
(
exp
2
1
)
(



a
y
y
f .
Центральна гранична теорема: якщо n


 ...,
,
, 2
1 –
незалежні однаково розподілені випадкові величини,
що мають математичне очікування )
(
a і середнє
квадратичне відхилення )
(
 , то сума



n
i
i
1


асимптотично нормальна з математичним очікуванням
)
(
)
( 
 a
n
a 

і середнім квадратичним відхиленням
)
(
n
)
( 


 
 .

ФОРМУВАННЯ НОРМОВАНОЇ ВЕЛИЧИНИ
Якщо n
i
xi
i ,
1
; 

 , то:
2
2
1
)
(
n
n 



 ;
3
2
3
2
1
)
(
n
n 



 .
Якщо n
i
xi
i ,
1
;
1
2 


 , то:
0
1
2
1
2
)
( 



i
a  ;
3
1
3
2
1
2
)
( 


i

 ;
0
0
)
( 

 n

 ;
3
3
1
)
(
n
n 



 .
Нормована величина:
)
1
2
(
3
)
( 1


 

n
i
i
x
n
u



;
0
)
( 
u
a ; 1
)
( 
u
 .

МОДЕЛЮВАННЯ НОРМАЛЬНОГО РОЗПОДІЛУ (2)
a
u
y j
j 

  ;

















 







n
x
n
x
n
u
n
m
m
i
i
n
m
m
i
i
j
j
j
j
j 1
1
2
3
)
1
2
(
3
;
)
3
(
20
1 3
j
j
j
j u
u
n
u
v 


 ;
)
15
10
(
13440
41 3
5
2 j
j
j
j
j u
u
u
n
u
v 




 .

МОДЕЛЮВАННЯ РОЗПОДІЛУ ПУАССОНА
Сформувати послідовність випадкових чисел )
( j
y , що
мають закон розподілу Пуассона з математичним
очікуванням a.
Теорема Пуассона: якщо p – вірогідність настання
випадкової події A при одному випробуванні, то
вірогідність настання k подій в n незалежних
випробуваннях при 

n , 0

p і a
np 
асимптотично рівна

 
 e
k
k
P
k
n
!
)
( .
Чергове число:
k
y j  .
Рекомендовано: 2
,
0
/ 
n
a .

МОДЕЛЮВАННЯ ВИПАДКОВИХ ВЕКТОРІВ (1)
Сформувати послідовність наборів значень координат
випадкового вектору )
,
,
( 

 , заданого спільною
функцією щільності  
z
y
w
f ,
, .
.
)
/
(
)
(
)
,
,
(
)
,
/
(
;
)
(
)
,
,
(
)
/
(
;
)
,
,
(
)
(
2
1
3
1
2
1
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
z
y
f
z
f
z
y
w
f
z
y
w
f
dw
z
f
z
y
w
f
z
y
f
dy
dw
z
y
w
f
z
f





 










Випадковий вектор )
,
1
( n
i
z
z i 
 , заданий
кореляційною матрицею
ij
k
K  , n
j
n
i
k
k ji
ij ,
1
;
,
1
; 


з математичними очікуваннями компонентів n
i
ai ,
1
;  .
 
   
      .
...
.....
..........
..........
..........
..........
..........
..........
;
;
2
2
1
1
2
2
22
1
12
2
1
1
11
1
n
n
nn
n
n
n a
a
y
c
a
y
c
a
y
c
z
a
a
y
c
a
y
c
z
a
a
y
c
z

















)
,
1
;
( n
i
yi  – послідовність некорельованих
випадкових чисел з математичним очікуванням a і
середнім квадратичним відхиленням  ;
ij
c – коефіцієнти, послідовно визначувані з рівнянь
n
j
j
i
c
c
k
i
r
rj
ri
ij ,
1
;
,
1
;
1
2


 

 .
Приклад:
 
 
 
.
..........
..........
..........
..........
;
;
;
;
;
;
2
33
2
23
2
13
2
33
23
22
13
12
2
23
13
11
2
13
2
22
2
12
2
22
12
11
2
12
2
11
2
11
c
c
c
k
c
c
c
c
k
c
c
k
c
c
k
c
c
k
c
k

















МОДЕЛЮВАННЯ ВИПАДКОВИХ ФУНКЦІЙ (1)
КОРЕЛЯЦІЙНИЙ ПІДХІД
Дано: )
,
1
;
( n
i
ti  – послідовність моментів часу;
]
,
1
;
)
(
[
)
( n
i
t
m
t
m i 
 – вектор математичних очикувань
випадкової функції )
(t
z в кожний з цих моментів;
ij
k
K  – кореляційна матриця, де ij
k характеризує
залежність значень випадкової функції )
(t
z в моменти
часу i
t і n
i
t j ,
1
;  ; n
j ,
1
 .
Необхідно визначити значення випадкової функції )
(t
z
в моменти часу n
i
ti ,
1
;  .
Розв’язання задачі: моделювання випадкового вектору
]
,
1
;
)
(
[
)
( n
i
t
z
t
z i 
 .

МОДЕЛЮВАННЯ ВИПАДКОВИХ ФУНКЦІЙ (2)
КАНОНІЧНЕ РОЗКЛАДАННЯ
)
(
)
(
)
(
1
i
j
r
j
j
i
i t
v
t
m
t
z 



 ; n
i ,
1
 ;
)
( i
t
m – математичне очікування випадкової функції )
(t
z
у момент часу i
t ;
j
v – коефіцієнти розкладання випадкової функції
[некорельовані випадкові величини з довільними
законами розподілу, 0
)
( 
j
v
M ]; n
i ,
1
 ;
)
(t
j
 – координатні (елементарні детерміновані)
функції; n
i ,
1
 .

МОДЕЛЮВАННЯ СТАЦІОНАРНИХ
ВИПАДКОВИХ ФУНКЦІЙ (1)
const
t
m 
)
( ;
   
t
t
K
t
t
K 






, .
,
...
)
(
..
..........
..........
..........
..........
..........
;
...
)
(
.
..........
..........
..........
..........
..........
;
...
)
(
;
...
)
(
1
2
1
2
1
1
1
2
1
1
3
2
2
1
2
2
2
1
1
1






















n
n
n
n
n
i
n
n
i
i
i
n
n
n
n
y
c
y
c
y
c
t
s
y
c
y
c
y
c
t
s
y
c
y
c
y
c
t
s
y
c
y
c
y
c
t
s
i
y – некорельовані випадкові числа з математичним
очікуванням 0
)
( 
i
y
M і дисперсією 2
 ; 1
2
,
1 
 n
i ;
i
c – детерміновані коефіцієнти.

МОДЕЛЮВАННЯ СТАЦІОНАРНИХ
ВИПАДКОВИХ ФУНКЦІЙ (2)
Обчислення коефіцієнтів:








1
1
1
2
1 )
(
i
n
j
j
i
j
i c
c
t
t
K  ; n
i ,
1
 .
Приклад:
   
   
   .
;
;
3
1
2
1
1
2
2
1
3
3
2
2
1
2
2
1
1
2
1
2
2
3
2
2
2
1
2
3
1
2
2
1
1
c
c
c
c
t
t
K
c
c
c
c
c
c
t
t
K
c
c
c
c
t
t
K
j
j
j
j
j
j
j
j



























4. ТЕХНОЛОГІЯ ІМІТАЦІЙНОГО
МОДЕЛЮВАННЯ
ЕТАПИ ІМІТАЦІЙНОГО МОДЕЛЮВАННЯ
• побудова математичної моделі процесу
функціонування об'єкту;
• комп’ютерна реалізація моделюючого
алгоритму;
• статистична обробка результатів
моделювання.

ПОБУДОВА МАТЕМАТИЧНОЇ МОДЕЛІ
• постановка задачі моделювання;
• вибір незалежних і залежних змінних, характеристик станів і
шуканих характеристик процесу функціонування системи;
• підбір необхідної інформації про систему і зовнішнє
середовище, визначення параметрів системи і обурюючих дій,
оцінка їх впливу на процес функціонування системи;
• висунення гіпотез про властивості і характеристики системи;
прийняття припущень, що дозволяють спростити математичну
модель відповідно до вибраного рівня моделювання;
апроксимація реальних процесів, що протікають в модельованій
системі;
• формалізація функціональних залежностей між змінними,
параметрами і характеристиками станів системи; виведення
співвідношень для шуканих характеристик модельованого
процесу як функцій характеристик станів, змінних і параметрів
системи.

КОМП’ЮТЕРНА РЕАЛІЗАЦІЯ
МОДЕЛЮЮЧОГО АЛГОРИТМУ
• побудова логічної схеми моделюючого
алгоритму;
• програмування моделюючого
алгоритму;
• визначення необхідної кількості
реалізацій моделюючого алгоритму, що
забезпечують необхідну точність і
достовірність результатів моделювання;
• проведення робочих розрахунків.

ПРИНЦИПИ ПОБУДОВИ
МОДЕЛЮЮЧИХ АЛГОРИТМІВ
• принцип t
 ;
• принцип особливих станів (принцип z
 ).

ПРИНЦИП t

Процес
))
(
...,
),
(
),
(
(
)
( 2
1 t
z
t
z
t
z
t
z n
 ; T
t  .
Алгоритм
1. Визначення початкового стану:
)
,...,
,
( 0
02
01
0 n
z
z
z
z  ; n
j
t
z
z j
j ,
1
);
( 0
0 
 .
2. Приріст аргументу часу:
t
k
t
t
t
t k
k 





  0
1 ; ...
,
3
,
2
,
1

k
3. Визначення характеристик наступного стану:
n
j
t
z
t
t
z
t
z k
j
k
j
k
j ,
1
;
)
(
)
(
)
( 1
1 



 
 .

ПРИНЦИП z

Алгоритм
1. Визначення початкового стану:
)
,...,
,
( 0
02
01
0 n
z
z
z
z  ; n
j
t
z
z j
j ,
1
);
( 0
0 
 .
2. Визначення часу настання чергового особливого
стану k
t .
3. Визначення характеристик наступного (особливого)
стану:
n
j
t
z
t
z k
j
k
j ,
1
;
)
(
)
( 1 

 .

5. ОБРОБКА РЕЗУЛЬТАТІВ ЕКСПЕРИМЕНТУ
Оцінка вірогідності випадкової події
N
m
p  ,
N – кількість експериментів;
m – кількість випадків настання випадкової події.
Оцінка вірогідності можливих значень випадкової
величини (закону її розподілу)
N
m
p k
k  ; n
k ,
1
 .
k
m – кількість попадань значень випадкової величини в
k -й інтервал.

Оцінка середнього значення випадкової
величини



N
i
i
x
N
x
1
1
i
x – значення випадкової величини  , яке вона
прийняла в i-му експерименті.
Оцінка дисперсії випадкової величини
2
)]
(
[
)
( 

 M
M
D 






N
i
i x
x
N
D
1
2
)
(
1
1
2
1 1
2
)
1
(
1
1
1
 
 










N
i
N
i
i
i x
N
N
x
N
D

Оцінка кореляційного моменту двох випадкових
величин
)
(
)
(
1
1
1
y
y
x
x
N
K i
N
i
i 


 







 



N
i
i
N
i
i
i
N
i
i y
x
N
N
y
x
N
K
1
1
1 )
1
(
1
1
1

x і y – середні значення випадкових величин  і 
відповідно.

Оцінка математичного очікування випадкового
процесу



N
i
k
i
k t
Z
N
t
Z
1
)
(
1
)
( ; r
k ,
1

k
t – фіксований момент часу; t
k
tk 

 , r
k ,
1
 ;
)
( k
i t
Z – значення випадкового процесу у i-й його
реалізації для k
t -го моменту часу; N
i ,
1
 .
Оцінка кореляційної функції випадкового процесу
)]
(
)
(
[
)]
(
)
(
[
1
1
)
,
(
1
t
Z
t
Z
t
Z
t
Z
N
t
t
K i
N
i
i












 


 

 













N
i
i
N
i
N
i
i
i
i t
Z
t
Z
N
N
t
Z
t
Z
N
t
t
K
1
1 1
)
(
)
(
)
1
(
1
)
(
)
(
1
1
)
,
( ;
}
,
1
,
{
, r
k
t
t
t k 



 .

Оцінка математичного очікування стаціонарного
випадкового процесу, що має ергодичну
властивість


 
T
dt
t
Z
T
Z
T
.
)
(
1
lim
0




r
k
k
t
Z
T
t
Z
1
)
(

Оцінка кореляційної функції стаціонарного випадкового
процесу, що має ергодичну властивість






 

T
Z
dt
t
Z
t
Z
T
K
T
,
)
(
)
(
1
lim
)
( 2
0




де t
t 




 ; )
,
0
(
, T
t
t 


 .









l
r
k
k
k Z
t
Z
t
Z
T
t
K
1
2
)
(
)
(
)
( 

 ,
де
t
l




7.2 Перевірка статистичних гіпотез




m
j j
j
j
N
N
N
1
*
2
*
2
)
(

m – кількість рівних напіввідкритих інтервалів
діапазону спостережуваних значень випадкової
величини  ;
j
N – емпірична частота; m
j ,
1
 ;
*
j
N – теоретична частота; m
j ,
1
 ;
Кількість ступенів свободи:
1


 r
m
k .
Рівень значущості:



 
 ]
)
,
(
[ 2
2
k
P кр
)
,
(
2
2
k
кр 

  ,
де )
,
(
2
k
кр 
 – критична точка.

Оцінка точності результатів
експериментальних досліджень
Точність:


 x
a
Достовірність:

 

 )
( x
a
P
)
(x
D
t
 
Квантіль нормального розподілу:
)
2
(
1 




t
Функція Лапласа:
dz
e
y
y z




0
2
2
2
1
)
(

2
)
(

 
 t

РОЗРАХУНОК КІЛЬКОСТІ ЕКСПЕРИМЕНТІВ
1. При визначенні вірогідності p випадкової події A
Кількість випадків настання події A у окремому
експерименті – випадкова величина  , що набуває
значення:
1
1 
z з вірогідністю p;
0
2 
z з вірогідністю )
1
( p
 .
Математичне очікування і дисперсія випадкової
величини:
p
p
z
p
z
M 


 )
1
(
)
( 2
1
 ;
)
1
(
)
1
(
]
)
(
[
]
)
(
[
)
( 2
2
2
1 p
p
p
M
z
p
M
z
D 





 

 .

ОЦІНКА ВІРОГІДНОСТІ
N
m
p 



N
i
i
m
1

де i
 – кількість випадків настання події A у i-му
експерименті; }
1
,
0
{

i
 .



N
i
i
N
N
m
1
1


ОЦІНКА ДИСПЕРСІЇ
)
(x
D
t
  .
p
M
M
N
N
M
N
N
m
M
N
i
i 



 

)
(
)
(
1
)
(
1
)
(
1


 .
2-а властивості дисперсії:
)
(
)
( 2
X
D
K
X
K
D 


N
p
p
D
N
N
D
N
N
D
N
m
D
N
i
i
N
i
i
)
1
(
)
(
1
)
(
1
)
1
(
)
( 2
1
2
1





 







НЕОБХІДНА КІЛЬКІСТЬ ЕКСПЕРИМЕНТІВ
N
p
p
t
)
1
( 
 

2
2 )
1
(


p
p
t
N


На початковому етапі:
0
0
N
m
p  , 100
50 0 
 N

КІЛЬКІСТЬ ЕКСПЕРИМЕНТІВ
ПРИ ВІДНОСНІЙ ТОЧНОСТІ
p

 
2
2
2
2
2
2
2 1
)
1
(






p
t
p
p
t
p
p
p
t
N 




Рекомендовано:
)
10
(
)
10
( 1




 k
k
N
p

РОЗРАХУНОК КІЛЬКОСТІ ЕКСПЕРИМЕНТІВ
2. При визначенні середнього значення
випадкової величини  , що має математичне
очікування a і дисперсію 2

Оцінка математичного очікування:



N
i
i
x
N
x
1
1
.
За центральною граничною теоремою: при
великих N величина x матиме розподіл, близький до
нормального, з математичним очікуванням a
x
M 
)
( і
дисперсією N
x
D /
)
( 2

 :
a
M
N
N
x
M 

 )
(
1
)
(  ;
)
(
1
)
( 

 
 N
N
x ;
N
N
D
D
N
N
x
x
D
2
2
2 )
(
)
(
1
)
(
)
(



 






НЕОБХІДНА КІЛЬКІСТЬ ЕКСПЕРИМЕНТІВ
Точність оцінки x математичного очікування a:
N
t
N
t


 
 

2
.
Кількість експериментів:
2
2
2



t
N  .

Системний аналіз та імітаційне моделювання.ppt

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Системний аналіз та імітаційне моделювання.ppt

Similar to Системний аналіз та імітаційне моделювання.ppt (20)

Системний аналіз та імітаційне моделювання.ppt