1. Методическое пособие «Мазмұнды есептерді шешу әдістемесі»

1. Мазмұнды есептерді
шешу әдістері
Әдістемелік нұсқау .
Авторы: Саденов Қаныш Айтбайұлы
1

2. Түсініктеме
Мазмұнды есептерді немесе мәселе есептерді теңдеулер
көмегімен шешу,теңдеулер жүйелерін құру арқылы шешу
элементар математиканың ең негізгі бөлімі болып
табылады.Негізгі бағдарлама бойынша бұл тақырыпқа
бөлінген сағаттың аздығынан бұл бөлімге аса көңіл
бөлінбейді.Жоғарғы оқу орындарына түсушілерге көмекші
құрал ретінде берілген оқулықтарда,жазбаша емтихан
жұмыстарының нұсқаларында және ұлттық бірыңғай тест
тапсырмаларында мазмұнды есептер немесе сөз есептер жиі
беріледі.
8-9 сыныптарда бұл тақырып сондағы берілген
сызықтық,квадраттық теңдеулерді шешумен тығыз
байланысты.
Бұл көмекші құралдың мақсаты, сөз есептердің шартына
байланысты теңдеу,теңдеулер жүйесін құрып,оны шешуді
үйрету.
мазмұнды есептер бірнеше топтарға бөлінеді:
-қозғалысқа берілген есептер
-жұмысқа және еңбек өнімділігіне берілген есептер.
-пайыздық және концентрациялыққа берілген есептер.
-арифметикалық амалдардың компоненттері арасындағы
байланысқа берілген есептер.
-пайызға берілген есептер.
2

3. Бағдарлама
1.Қозғалысқа берілген есептер (2 сағат).
2.Жұмысқа және еңбек өнімділігіне берілген есептер (4
сағат).
3.пайыздық және концентрациялыққа берілген есептер (2
сағат)
4.арифметикалық амалдардың компоненттері арасындағы
байланысқа берілген есептер (3 сағат).
5.пайызға берілген есептер (3 сағат).
6.Есептер шығару (2 сағат).
3

4. Мазмұнды
есептерді шешу әдістері.
Сөз есептерді шешуде оқушылардың қиналатындығы
сөзсіз.Мұндай есептерді шешудің стандартты әдісі жоқ,
бірақ төменде келтірілген схеманы ұстауға тура келеді.
1.Белгісізді таңдау.
Көп жағдайда есеп нені сұраса, соны белгісіз
ретінде алуға болады.Бұл нұсқаны бірінші қарастыру
керек, бірақ бұл ережені қатаң түрде сақтау қажет емес,
кейде теңдеуді қарапайым түрде құрастыруға
болады.Содан кейін ең соңғы жауап, есептің сұрауына
қайта оралып, дұрыс жауап беру керек. Ең маңыздысы,
белгісіздер саны, белгісіз неғұрлым көп болса, солғұрлым
теңдеу құруға оңай болады, немесе теңсіздік құруға
болады, бірақ оны шешу қиынырақ болады.Егер белгілі
бір кірістірілген шамамен қарапайым түрде өрнектелетін
болса, онда жаңа белгісізді енгізудің қажеті жоқ.
2.Теңдеу құру (мүмкін теңсіздік).
Теңдеулер жүйесін құру барысында есептің барлық
шартын қолдану керек.Теңдеулер саны белгісіздер
санымен бірдей болу керек.
3.Қажетті белгісізді немесе қажетті белгісіздер
комбинациясын табу.
Егер шешім кезінде кейбір түбірді алып тастау
қажет болса, онда оны есеп шартына байланысты
қарастыру керек.
4

5. Сөз есептерді төмендегідей топтарға бөліп алған
қолайлы.
- қозғалысқа берілген есептер.
- жұмысқа және еңбек өнімділігіне берілген
есептер.
- пайыздық және концентрациялыққа берілген
есептер.
- арифметикалық амалдардың компоненттері
арасындағы байланысқа берілген есептер.
- пайызға берілген есептер
§ 1. Қозғалысқа берілген есептер.
Осы типтегі есептердің негізгі компоненттері:
S-жүрілген жол; V-жылдамдық; t-уақыт;
S =V t. V=S : t. t = S :V.
Шешу жоспары:
1.Белгісіз ретінде әдетте ара қашықтықты (егер ол
берілмеген болса) немесе қозғалыс жылдамдығы
таңданылады.
2.Мұндай есептердің теңдеулер құру үшін, әдетте
келесі ұйғарымдар қолданылады.
а) екі обьект бір уақытта қарама-қарсы қозғалатын
болса, онда олардың кездескенге дейінгі уақыты
S:(V1 + V2) тең болады.
б) егер обьектілер әр түрлі уақытта қозғалысты
бастайтын болса, онда кездесу моментіне дейінгі уақыт
қозғазғалысты ерте бастаған обьектінікі көп болады.
в) егер обьектілер бірдей арақашықтық жүрсе, онда
осы арақашықтық есептің ортақ белгісі ретінде
қабылдаған қолайлы.
г) обьектілер бір бағытта қозғалған жағдайда (V1>V2)
біріншісі екіншісін қуып жету уақыты S:(V1 - V2) тең
болады.
5

6. Түзу сызықты бір қалыпты қозғалыс.
1. Арақашықтығы 500км болатын екі қаладан бір
уақытта қарама-қарсы трактор мен жүк машинасы
шықты.Егер жүк машинасының жылдамдығы трактордың
жылдамдығынан 4 есе артық болса және олар 4 сағ.
Кейін кездессе, онда трактор жылдамдығы неге тең?
Шешуі:
Трактор жылдамдығы: х (км/сағ)
Жүк машинасының жылдамдығы 4х(км/сағ)
Қарсы қозғалысты ескеріп; теңдеу құрамыз (х+4х) 4=500;
5х=125; х=25.
Жауабы: 25 км/сағ.
1. Ауылдан қалаға адам 205 сағат жүрді. Қайту жолында ол
велосипедпен 0,5 сағат жол жүрді. Жаяу адамның
жылдамдығы велосипед жылдамдығына қарағанда 14
км/сағатқа кем екендігі белгілі. Жаяу адамның
жылдамдығын табыңдар.
Шешуі:
х км/сағ – жаяу адам жылдамдығы;
(х+14) км/сағ – велосипед жылдамдығы
5,21 ⋅= xS км – жаяу адамның жолы
( ) 5,0142 ⋅+= xS км – велосипед жолы
Жүріп өткен жолдары бірдей: 21 SS =
( ) 5,3145,05,2 =⇒+⋅=⋅ xxx
Жауабы: жаяу адам жылдамдығы 3,5 км/сағ
2. А айлағынан В айлағына дейінгі қашықтықты моторлы
қайық ағыс бойымен 1,3 сағатта өтеді. Қайту жолында
ағысқа қарсы ол 1,9 сағат жұмсайды. Өзеннің ағыс
6

7. жылдамдығы 2,4 км/сағ. Көлдегі, яғни, ағыс жоқ кездегі
қайықтың меншікті жылдамдығын табыңдар.
Шешуі:
х км/сағ – қайықтың меншікті жылдамдығы;
(х+2,4) км/сағ – қайықтың ағыс бойымен жылдамдығы
(х-2,4) км/сағ – қайықтың ағысқа қарсы жылдамдығы
( ) 3,14,21 ⋅+= xS км – қайықтың ағыс бойымен жүрген жолы
( ) 9,14,21 ⋅−= xS км – қайықтың ағысқа қарсы жүрген жолы
Жүріп өткен жолдары бірдей: 21 SS =
( ) ( ) 8,129,14,25,03,14,2 =⇒⋅−⋅=⋅+ xxx
Жауабы: Қайықтың меншікті жылдамдығы 12,8 км/сағ
3. А пунктінен ағыс бойымен сал жіберілген. Мұның соңынан 5 сағат 20
минут өткеннен кейін әлгі пункттен катер шығып, 20 км жүзіп өтіп, салды
қуып жеткен. Егер катер салдан 12 км/сағ тезірек жүзетін болса, бір сағатта
қанша километр жүзген?
Шешуі:
х км/сағ – салдың жылдамдығы;
(х+12) км/сағ – катердің жылдамдығы
x
20
- салдың жүріп өткен уақыты
12
20
+x - катердің жүріп өткен уақыты
Есептің шарты бойынша:
катер салдан 5 сағат 20 минут= 3
16
сағат
3
3
16
12
2020
=⇒=
+
− x
xx сағат
Жауабы: катер 3 сағатта жүзіп өтті.
4. Ара қашықтығы 270 км екі қаладан бір мезгілде бір-біріне қарсы екі поезд
шығып, олар 3 сағаттан соң кездесті. Бірінші поезд екінші поезға қарағанда
барлық жолға 1 сағ 21 мин уақыт көп жұмсады. Поездың әрқайсысының
жылдамдығын тап:
Шешуі:
х км/сағ – бірінші поездың жылдамдығы;
у км/сағ – екінші поездың жылдамдығы
7

8. x
270
- бірінші поездың жүріп өткен уақыты
y
270
- екінші поездың жүріп өткен уақыты
Есептің шарты бойынша:
Бірінші поезд екіншіге қарағанда 1 сағат 21 минут көп
уақыт жұмсады
1 сағат 21 минут= 20
27
20
7
1 = сағат
40,50
20
27270270
270
==⇒





=−
=+
yx
yx
yx
Жауабы: бірінші поездың жылдамдығы 50 км/сағат, екінші
поездың жылдамдығы 40 км/сағат.
2.Ара қашықтығы 900км болатын екі қаладан бір-
біріне қарама-қарсы екі поезд шықты, олар жол
ортасында кездесті.Егер бірінші поезд екінші поездан 1
сағ-қа кеш шықса және жылдамдығы екіншіден 5км/сағ-
қа артық болса, онда әр поездің жылдамдығы қандай
болады?
Шешуі:
Екінші поездің жылдамдығы х-деп белгілейік х (км/сағ) х
> 0.
шамалар қозғалыс жалпы
1 поезд 2поезд
S км
V (км/сағ).
t=S:V (сағ).
450
х+5
450 / (х+5)
450
х
450 / х
900
8

9. Теңдеу құрып, оны шешу: 450:х-450:(х+5)=17
450(х+5)-450х=х(х+5)
х2
+5х-2250=0
х1=-50; х2=45
х1=-50 есеп шартын қанағаттандырмайды.
Жауабы: 50 км/сағ; 45 км/сағ.
3.Реактивті ұшақ 0,5 сағ-та моторлы ұшақтың 1-
сағатта ұшқанынан 200км артық ұшты.Егер реактивті
ұшақтың жылдамдығы моторлы ұшақтың
жылдамдығынан 3 есе артық болса, әр ұшақтың
жылдамдығын табыңыз.
Шешуі: моторлы ұшақтың жылдамдығы х(км/сағ) х > 0
шамалар қозғалыс
реактивті моторлы
S =V t (км)
V (км/сағ).
t (сағ).
1,5х
3х
0,5
х
х
1
Теңдеу құрып, шешеміз:
1,5х - х = 200
0,5х = 200
х = 400.
Жауабы: 400км/сағ; 1200км/сағ.
4. Поезд семафор 16 мин. кешікті, және жылдамдығын
10км/сағ-қа арттыра отырып 192км жол
жүріп,белгіленген кесте бойынша уақытында келді.Кесте
бойынша поезд жылдамдығы қандай?
9

10. Шешуі: Кесте бойынша поезд жылдамдығын х (км/сағ) х
> 0 белгілейміз.
16мин=16:60=4:15сағ.
Теңдеу құрып шешеміз:
192:х-192:(х+10)=4:15;
48:х-48:(х+10)=1:15
х2
+10х-7200=0
х1 = 80
х2 = -90 есеп шартын қанағаттандырмайды.
Жауабы: 80км/сағ.
5.Жолаушы берілген жол бөлігіндегі поезд жылдамдығы
40км/сағ-қа тең екендігін біледі.Терезеден қарсы поезд
көріне бастаған кезде жолаушы секундамер қойды
да,қарсы поездің терезе жанынан 3с өткендігін байқады.
Егер қарсы поездің ұзындығы 75 м екендігі болса, оның
жылдамдығын анықтаңыз.
Шешуі: Қарсы поездің жылдамдығы х(км/сағ), х > 0.
Байқап отырған жолаушының жанынан өткен кездегі
қарсы поездің жылдамдығы х+4 км/сағ. Жолаушы
жанынан өтетін поезд уақыты 0,075:х+40(сағ).
3с = 3 : 3600 = 1 : 1200 сағ. Теңдеу құрып, шешеміз.
шамалар қозғалыс
Кесте б/ша шын мыні
S (км)
V (км/сағ).
T=S :V (сағ).
192
х
192:х
192
х+10
192:(х+10)
10

11. Жауабы: 50км.
6.Турист қайықпен 90 км өзенде жүзді, сосын жаяу 10км
жүрді.Сонымен бірге өзенмен жүзсе, сонша уақыт жаяу
жүрсе, ал қанша уақыт өзенмен жүзсе, сонша уақытта
жаяу жүрсе, онда арақашықтық тең болар еді.Ол қанша
уақыт жаяу жүрді және қанша уақыт өзенмен жүзді?
Шешуі: Өзендегі қозғалыс жылдамдығы х (км/сағ), ал
жаяу жүргендегі қозғалыс жылдамдығы у (км/сағ), х>0,
y>0 деп белгілейміз.
шамалар Қозғалыс
өзен б-ша жаяу өзен б-ша жаяу
S=V t (км)
V (км/сағ)
t=S:V(сағ)
90
х
90:х
10
у
10:у
10:у х
х
10:у
90:х у
у
90:х
Жүйе құрып, оны шешеміз:



=
=−
⇒



=
=−
⇒



=
=−
ух
уу
ух
хуху
хуух
ух
3
05
9
41090
:90:10
4:10:90 2
22
у1=5; у2=0-есеп шартын қанағаттандырмайды.Егер у=5;
x=15.
Жауабы: 2сағ, 6 сағ.
11

12. 7. Екі жүгіруші бірінен соң бірі 2 мин интервалымен
жүгіруді бастады.Екінші жүгіруші бірінші жүгірушіні
бастапқы нүктеден 1км қашықтықта қуып жетті, ал
бастапқы нүктеден 5км жүгіріп, кейін бұрылып бірінші
жүгірушімен кездесті.Бұл кездесу бірінші жүгірушінің
жүгіруін бастағаннан кейін 20мин өткен соң
болды.Екінші жүгірушінің жылдамдығын табыңыз.
Шешуі: Жүгірушілердің жылдамдықтарын х, у (км/сағ)
у>x>0.деп белгілейік
шамалар Қозғалыс
1-
жүгіруші
2-
жүгіруші
1-
жүгіруші
2-
жүгіруші
S=V t (км)
V (км/сағ)
t=S:V(сағ)
90
х
90:х
10
у
10:у
10:у х
х
10:у
90:х у
у
90:х
2мин=1:30сағ. Жүйе құрып, шешеміз:



−=
=+
⇒



−=
=−
⇒



−+=
=−
ух
уух
ху
хуху
ху
ух
930010
30)30(
103009
)(30
)3:15(510:3
10:1:1:1
у+30:10=30у:300-9у
у2
+30у-1000=0
у=20.
х=12
12

13. Жауабы: 20 км/сағ.
8.Ара қашықтығы 2200км тең А и В екі аэродромнан бір
уақытта 2 ұшақ ұшып, 2сағ тан кейін кездесті.Екінші
ұшақтың А пункт ұшып келгеніне қарағанда В пунктіне
ұшып келген 1-ші ұшақ 4сағ 35мин-қа ерте
қонды.Ұшақтардың жылдамдығын табыңыздар.
Шешуі: Ұшақтардың жылдамдықтарын х (км/сағ)
у(км/сағ) х,у>0.
шамалар қозғалыс Жалпы
шамалар
S=V t км
V км/сағ
t= S:V сағ
1ұшақ 2ұшақ
2200
х
2200:х
2200
у
2200:у
2200
х+у
2
4сағ 35мин= 12
7
4 сағ екенін ескере отырып теңдеулер
жүйесін шешеміз.



−=−
−=
⇒



=+
=+
⇒



=−
=⋅+
)1100()11002(480
1100
)(480
1100
12:47:2200:2200
22002)(
ххх
ху
хуух
ух
ху
ух
х2
-140х-480 1100=0
х2
-140х-800 660=0
х1=800
х2=-660 есеп шартын қанағаттандырмайды.
х=800, у=300
Жауабы: 800км/сағ, 300км/сағ.
13

14. 9.Жеңіл машинаның 2сағ ішінде жүретін жолы жүк
машинасының 3сағ ішінде жүретін жолына тең.Бірақ
егер жеңіл машинаның жылдамдығын 30км/сағ кемітсе,
онда ол 1 сағатта жүк машинасына қарағанда 10км кем
жүреді.Олардың жылдамдықтарын табыңдар.
Шешуі: Жеңіл машинаның жылдамдығын х (км/сағ), ал
жүк машинасының жылдамдығы у (км/сағ) х,у>0 деп
белгілейік.
шамалар Қозғалыс
жеңіл жүк жеңіл жүк
S=V t (км)
V (км/сағ)
t=S:V(сағ)
2х
х
2
3у
у
3
Х-30
Х-30
1
у
у
1
Жүйе құрып, шешеміз:



=
=
⇒



−=+−
=−
⇒



−=+−
=−
⇒



=−−
=
60
40
4022
032
2:20
032
10)30(
32
х
у
ух
ух
ух
ух
ху
ух
Жауабы: 60км/сағ, 40км/сағ.
10. А-дан В-ға және В-дан А-ға бір уақытта 2 жаяу адам
шықты.1-ші жаяу адам жолдың жартысын жүргеннен
14

15. кейін, 2-шіге 24км жол жүру керек, ал 2-ші жолдың
жартысын жүргеннен кейін, 1-шіге 15км жол жүру керек
болады.1-ші жаяу адам жүріп болғанда, 2-ші адамға қанша
жол жүру керек болады:
Шешуі: А мен В арақашықтығы S(км), ал 1-ші жаяудың
жылдамдығы х (км/сағ),2-шінің жылдамдығын у(км/сағ)
S,x,y> 0 деп белгілі.
Есеп шарты Теңдеу
1-ші жолдың жартысын жүріп
болғанда,
2-шіге жол соңына дейін 24км қалды.
2-ші жолдың жартысын жүргеннен
кейін, жол соңына дейін 2-шіге 15км
қалды.
S:2x=(S-24):y
S:2y=(S-15):x
Жүйе құру керек:
302:
482
1:152:
242:
:)15(2:
:)24(2:
−=
−=⋅
=
⇒



−=⋅
−=⋅
⇒



−=
−=
StS
StS
xy
алмастыру
SxYS
SyxS
хSyS
ySxS
Теңдеулерді көбейтіп,
S2
=(2S-48)(2S-30) теңдеуін аламыз.
S2
-52S+480=0
S1;2=40;12. 12 есеп шартын қанаттандырмайды.
15

16. S>24
t=(2S-48):S=(2 40-48):40=32:40=4:5; y:x=4:5=0,8
S-S: x y=40-40 4:5=8
Жауабы: 8км.
Шеңбер бойымен қозғалыс.
Аталған тақырыпта берілген есептерді шешу үшін
мыналарды еске алу қажет:
а) егер бір уақытта бір нүктеден екі дене шеңбер
бойымен қозғалып, бірі екіншіні қуып жетсе, онда
олардың осы моменттегі жүрген жолы шеңбер
ұзындығына тең.
б) егер екі дене радиусы R болатын шеңбер бойымен
V1 жәнеV2 тұрақты жылдамдықпен қарама-қарсы бағытпен
қозғалса, онда олардың кездесу уақыты
2π R:( V1 +V2) формуласымен есептеледі.
в) егер екі дене радиусы R болатын шеңбер
бойымен V1 және V2 тұрақты жылдамдықпен бір бағытта
қозғалса, онда олардың кездесу уақыты
2π R:( V1 -V2), (V1>V2) тең.
11.Ұзындығы 60м болатын шеңбер бойымен бірқалыпты
және бір бағытта екі нүкте қозғалады.Біреуі толық
айналымды екіншіге қарағанда 5с тез жасайды.Сонымен
қатар нүктелердің беттесуі ылғида 1мин-тан кейін
болады.Нүктелер жылдамдығын тап.
Шешуі: Бірінші нүкте толық айналымды х(с), екінші
нүкте-(х+5)(с); х>0 болсын
16

17. V1>V2
Нүктелер шеңбер бойымен бір бағытта қозғалатынын
ескере отырып, теңдеу құрамыз:
60:х-60:(х+5)=60
x(x+5):60 5=1
x2
+5x-300=1
x1=-20 есеп шартын қанағаттандырмайды.
х2=15
Бірінші нүктенің жылдамдығы V1=60:15=4(м/с), ал екінші
нүктенің жылдамдығы V2=60:20=3(м/с)
Жауабы: 4(м/с); 3(м/с)
12.Екі велосипедшілер бір бағытта ұзындығы 1350 м
болатын шеңбер бойымен жүріп келеді.Біріншісі
екіншісін әр 27 мин-та қуып жетеді.Қарама-қарсы
қозғалыста олар әрбір 3 мин-та кездеседі.
Велосипедшілердің жылдамдығын табыңдар.
Шешуі: Велосипедшілердің жылдамдықтары х км/сағ, у
км/сағ; x>y>0.Демек, шеңбер бойымен қозғалғандағы
уақытқа байланысты формулаларын пайдаланып, мынадай
теңдеулер жүйесін құрамыз:
шамалар қозғалыс
1 нүкте 2нүкте
S (м)
V=S: t (м/с).
t (с).
60
60:х
х
60
60:х+5
х+5
17

18. 


=
=
⇒



=−
=+
⇒



−=
+=
12
15
3
27
)(:35,120:9
)(:35,120:1
у
х
ух
ух
ух
ух
Жауабы: 15км/сағ; 12км/сағ.
Өзен ағысы бойымен қозғалыс
Өзен ағысы бойымен қозғалысқа берілген есептерде
мыналарды еске алу керек.
Vағ.б.= Vм.+Vағ. Vм.=Vағ.б+Vағ.қ.:2
Vағ.қ =Vм.-Vағ. Vағ.=Vағ.б.+Vақ.қ.:2
Vсал =Vағ.
13.Параход ағыс бойымен қозғалғанда 3сағ, ал ағысқа
қарсы 5сағ уақыт жіберді.Ағыс жылдамдығы 5
км/сағ.Параходтың тынық судағы жылдамдығы қандай?
Шешуі: Тынық судағы параход жылдамдығын х(км/сағ)
х>5 деп белгілейік.
шамалар өзен бойымен қозғалыс
Ағыс бойымен Ағысқа қарсы
S =V t (км)
V (км/сағ).
t (сағ).
3(х+5)
х+5
3
5(х-5)
х-5
5
Теңдеу құрамыз:
3(х+5)=5(х-5); 2х=40; х=20.
Жауабы: 20км/сағ.
18

19. 14.Моторлы қайық ағысқа қарсы 12 км және ағыс
бойымен 12км жүзеді.Ағысқа қарсы жүргендегі уақыты
ағыс бойымен жүргендегі уақытынан 1сағ-қа артық.Егер
қайықтың тынық судағы жылдамдығы 9км/сағ болса,
ағыстың жылдамдығын табыңдар.
Шешуі: Ағыс жылдамдығын х(км/сағ) 0<x<9 деп
белгілейік.
Теңдеу құрып, шешеміз:
12: (9-х)-12:(9+х)=1
х2
+24х-81=0
х1;2=-27;3 шартты қанағаттандырмайды.
Жауабы: 3км/сағ.
15.Моторлы қайық ағыс бойымен 40 мин және ағысқа
қарсы 1 сағ жүрді, және осы уақыт ішінде 37 км жол
жүрді.Егер ағыс жылдамдығы 1,5 км/сағ болса, қайықтың
тынық судағы жылдамдығын табыңдар.
Шешуі: Қайықтың тынық судағы жылдамдығын
х(км/сағ); х>1,5 деп белгілейміз.
шамалар өзен бойымен қозғалыс Ортақ шама
S=V t км
V км/сағ
t= S:V сағ
Ағыспен Ағысқа қарсы
2/3(х+1,5)
х+1,5
40мин=2:3сағ
Х-1,5
Х-1,5
1
37
Кестенің бірінші жолынан теңдеу құрамыз:
2:3(х+1,5)+(х-1,5)=37;
2:3х+1+х-1,5=37
19

20. 5:3х=37,5
х=22,5
Жауабы:22,5 км/сағ.
16.Моторлы қайық 28 км ағыс және ағысқа қарыс 25 км
қозғалады.Осының барлығына жіберген уақыты тынық
суда 54 км жолды жүруге кеткен уақытпен бірдей
болады.Егер ағыс жылдамдығы 2 км/сағ болса, онда
қайықтың тынық судағы жылдамдығын анықтаңдар.
Шешуі: Қайықтың тынық судағы жылдамдығы х(км/сағ);
х>2.
шамалар Өзен бойымен
S (км)
V (км/сағ)
t= S:V сағ
ағысқа қарсы ағыс бойымен Тынық судағы
25
х-2
25:(х-2)
28
х+8
28:(х+2)
54
х
24:х
Теңдеу құрып, шешеміз:
25:(х-2)+28:(х+2)=54:х
-х2
-6х+216:х(х-2)(х+2)=0
х2
+6х-216=0
х1=-186 есеп шартын қанағаттандырмайды.
Х2=12.
Жауабы: 12 км/сағ
17.Катер төмен қарай ағыс бойымен А-дан В-ға дейін
және кейін қарай 96 км жолды 14 сағат ішінде
жүреді.Бір уақытта А-дан катермен бірге сал
шығады.Катер қайтып келе жатқанда А-дан 24 км
қашықтықта салды кездестіреді.Катердің тынық судағы
жылдамдығын және ағыс жылдамдығын анықтаңдар.
20

21. Шешуі: Катердің тынық судағы жылдамдығы
х(км/сағ),ағыс жылдамдығын у(км/сағ); х,у>0 деп
белгілейік.
шамалар Өзен бойымен қоз-с жалпы өзен бойымен қоз-с
ағыс
бойы
ағыс қарсы ағыс б-
мен
ағыс
қарсы
сал
S (км)
V (км/сағ)
t= S:V сағ
96
х+у
96:(х+у)
96
х-у
96:(х-у)
14
96
х+у
96:(х+у)
72
х-у
72:(х-у)
24
у
24:у
Теңдеулер жүйесін құрамыз:



=−++
−++
⇒



=−++
−++
уухух
ухух
уухух
ухух
:1)(:48)(:4
)(:48)(:48
:24)(:72)(:96
)(:96)(:96
4у(х-у)+3у(х+у)-(х2
-у2
)=0 х1=0 қанағаттандырмайды
7ху-х2
=0 х(х-7у)=0 х2=7у



=
=
⇒



=
=
⇒



=+
=
.14
2
7:14
7
76:488:48
7
х
у
у
ух
уу
ух
Жауабы: 14км/сағ: 2км/сағ.
21

22. Арифметикалық жолмен шешу жолы
Кейбір есептерді алгебралық жолмен шешкеннен гөрі
арифметикалық жолмен шешкен тиімді болады.17- есепті
арифметикалық әдіспен шешкен қолайлы.
Катер салға жақындай ма, жоқ салдан алыстай ма,
байланысты болмағандықтан, оның жылдамдығы салға
қатысты катердің тынық судағы жылдамдығына тең, тек
жылдамдықтың бағыты ғана өзгереді.Осыдан катердің
салдан алшақтау уақыты мен оның оған жақындау
уақытына тең, яғни 96 км жолдан А-дан В-ға дейін
жүрген уақыты В-дан 72 км қашықтықтағы салмен
кездескенге дейінгі уақытымен бірдей.Катердің ағыс
бойымен қозғалғандағы жылдамдығының ағысқа қарсы
жылдамдығына қатынасы 96:72=4:3. А-дан В-ға дейін
және кері жүруге кеткен уақыт 14 сағ.Баруға және
қайтуға кеткен уақытты анықтау үшін, 14 сағ-ты екі
бөлікке бөлу керек, 3:4 қатынасындай етіп.
Сонда катер А-дан В-ға дейін 6 сағ, кері 8сағ
жүрген.Ағыспен қозғалғандығы жылдамдық 96:6=12
км/сағ.Катер жылдамдығы (16+12):2=14 км/сағ. Ағынның
жылдамдығы 2 км/сағ.
Жауабы: 14 км/сағ, 2 км/сағ.
5-есепті амалдап шығарамыз:
1)75:3=25 м/с=25 3600:1000=90 км/сағ жалпы жылдамдық.
2)90-40=50 км/сағ-қарсы поездің жылдамдығы.
Жауабы: 50 км/сағ.
18.Теплоход белгілі бір жылдамдықпен 72 км жолды
өзен бойымен жүру керек.Жолдың бірінші жарты
бөлігін белгіленген жылдамдықтан 3 км/сағ кем
жылдамдықпен жүрді де, екінші жартысын 3 км/сағ
22

23. артық жылдамдықпен жүрді.Теплоход барлық жолға 5
сағ уақыт жіберді.Ол неше минутқа кешікті.
Шешуі: Кесте бойынша теплоходтың жылдамдығы
х(км/сағ) х>0болсын.
шамалар Қозғалыс
S(км)
V (км/сағ)
t= S:V сағ
Кесте б-ша 1-ші жарты жол 2-ші жарты жол
72
х
72:х
36
х-3
36:(х-3)
36
х+3
36:(х+3)
Теңдеу құрып, шешеміз:
36:(х-3)+36:(х+3)=5
36(х+3+х-3)=5(х2
-9)
5х2
-72х-45=0
х1=15 х2=-3:5-шартты қанағаттандырмайды.
Кесте бойынша уақыт: 72:15=4,8(сағ)
Теплоход 5-4,8=0,2 сағ-қа кешікті.
0,2сағ=1:5 сағ=12 мин.
Жауабы: 12 мин.
19.С.станциясынан Д бағытына қарай сағатына 70 км
жүретін жедел поезд шықты, ал бір сағаттан соң Д
станциясынан С бағатына қарай 45 км/сағ жылдамдықпен
жүк поезд шықты.Егер С мен Д-ң арақашықтығы 530 км
болса,Д-дан қандай қашықтықта поездар кездесті.
Шешуі:
1)530-70=460 км поездан қарама-қарсы жүрді.
2)460:70+45=460:115=4 сағ кездескенге дейін.
3)45 5=180 км Д-дан осындай қашықтық.
Жауабы: 180 км.
23

24. Жұмысқа және еңбек
өнімділігіне байланысты есептер:
Бұл типтегі есептердің негізгі компоненттері: А-жұмыс,t-
уақыт, N-еңбек өнімділігі (уақыт бірлігіндегі істелінген
жұмыс): А=N t.
Жұмысқа жоспар бойыша трактор бригадасы жерді 14-
күнде жыртады.Бригада күніне белгіленген 5 га жерді
артық жыртып, 12 күнде бітірді. Неше га жер жыртылды?
Шешуі: Бригаданың еңбек өнімділігін кесте бойынша х
(га/күн); х>0 деп белгілейік.
Шамалар жырту
А=N t (га)
N (га/күн)
t күн
Жоспар бойынша Шын мәнінде
14х
х
14
12(х+5)
х+5
12
Теңдеу құрып, шешеміз:
14х=12(х+5)
2х=60;
х=30.
Жоспар бойынша еңбек өнімділігі 30 га/күн , сонда
өңделген жердің ауданы 30 14=420 га.
Жауабы: 420 га.
2.Токарь 120 тетік қайрау керек.Жаңа құралды қолданып,
сағатына 4 тетікті артық қайрай отырып, берілген
тапсырманы 2 сағ 30 мин-қа белгіленген уақытынан ерте
бітірді.Жаңа құралды қолданып, токарь сағатына неше
тетікті қайрады?
24

25. Шешуі: Токарьдің алғашқы еңбек өнімділігін х
(тетік/сағ); х>0деп белгісіз.
шамалар Дайындау Теңдеу құрып
шешеміз
А тетік
N тетік/сағ
T=A:N сағ
Ескі құрал Жаңа құрал
120
х
120:х
120
х+4
120:х+4
120:х-120:х+4=2
2
1
х2
+4х-192=0
х1=-16, есеп
шартын қан.-
майды
х2=12
Жаңа құралды қолданып істегендегі еңбек өнімділігі 16
тетік/сағ.
Жауабы: 16 тетік.
3.Екі бригада орындықтар жасады, сонда бірінші бригада
65 орындық, ал екінші бригада 66 орындық
жасады.Бірінші бригада бір күнде екіншіден екі
орындық артық, бірақ одан бір күн кем жұмыс істеді.Екі
бригада бірлесе отырып, бір күнде қанша орындық
жасады?
Шешуі: 2-ші бригаданың еңбек өнімділігін х (ор/күн), 1-
ші бригаданікі –(х+2);х>0.
Шамалар дайындық
1-бригада 2-бригада
A орынд
N ор/күн
T=A:N күн
65
х+2
65:х+2
66
х
66:х
25

26. Теңдеу құрып, шешеміз:
66:х-65:(х+2)=1
х2
+х-132=0
х1=-12 қанағат-майды.
х2=11
2-ші бригаданың еңбек өнімділігі 11 ор/күн.
1-ші бригаданікі-13 ор/күн.
Жауабында екеуінің қосындысынын көрсетеміз.
Жауабы: 24 орындық.
4.Зауод жоспар бойынша белгілі уақытқа 180 станок
дайындау керек еді.Күндік мөлшерді 2 станокқа артық
орындап, зауод тапсырманы белгіленген уаққыттан 1күнге
ерте бітірді.Зауод жоспарды неше күнде орындады?
Шешуі: Жоспар бойынша күн санын х1х>0 деп
белгілейміз.
Шамалар дайындау
A ст.
N=A:t ст/к
T күн
жоспар шын мәні
180
180:х
х
180
180:х-1
х-1
Теңдеу құрып, шешеміз:
180:х-1-180:х=2
х2
-х-90=0
х1=10
х2=-9-қанағаттадырмайды.
Жауабы: 10күн
26

27. 5.Жұмысшы белгілі бір уақытқа бірнеше тетік дайындау
керек.Егер ол күніне 10 тетік артық жасаса, онда
тапсырманы 4,5 күнге ерте бітірер еді, ал егер күніне 5
тетікті кем жасаса, онда 3 күнге кешігер еді.
Жұмысшы неше күнде, неше тетік жасады.
Шешуі: Тетік санын-х; ал дайындау күшін-у; х,у>0 деп
белгілейміз.
шамалар Тетік дайындау
жоспар 1-ші шарты 2-ші шарты
А тетік
N тетік/күн
T=A:N күн
х
х:у
у
х
х:у+10
у-4,5
х
х:у-5
у+3
Теңдеу құрып, шешеміз:



=−+−
=−−
⇒



+=−
−=+
⇒



+=−
−=+
2/01535
0455,410
35:
5,410:
35::
5,410::
2
2
уху
уху
уухху
уухху
уухх
уухх
1,5х-75у=0
х=50у
Егер у=27, х=1350
Жауабы: 1350 тетік, 27 күн
Бірлесіп істелген жұмысқа берілген күрделірек есептерді
шешу жоспары мынадай болады:
а) міндетті түрде орындалатын жұмысты 1 деп
қабылдаймыз.
27

28. б) әр жұмысшының еңбек өнімділігін жеке-жеке
табамыз, яғни 1/t; мұндағы t-уақыт, барлық жұмысты
жұмысшының жеке орындауы.
в) жұмысшылардың жеке орындағандағы барлық
жұмыстың бөлігі.
г) жұмысшылардың жеке-жеке орындаған жұмыс
бөліктерін қосып, оны бірге теңестіре отырып, (егер есеп
шартында бірлесіп жұмыс істегенде жұмыс толық бітсе)
теңдеу құрамыз.
6.Бір жұмысшы жұмысты 12күнде, ал екіншісі осы
жұмысты 6 күнде бітіреді.Бірге істеп неше күнде
бітіреді
Шешуі:
1.Барлық жұмыс көлемін бір деп аламыз.
2. 1-ші жұмысшының еңбек өнімділігі 1/12.
2-ші жұмысшының еңбек өнімділігі 1/6
3. t=1/N=1/ (1/6 +1/12)=4 күн
Жауабы: 4күн
7.Бес адам берілген жұмысты орындайды.1-ші, 2-ші, 3-ші
бірігіп жұмыс істесе барлық жұмысты 7,5сағ; ал 1-ші,3-
ші және 5-ші бірігіп, барлық жұмысты 5сағ,1-ші,3-ші, 4-
ші бірігіп-6сағ,2-ші,4-ші,5-ші-4 сағатта орындайды.Барлық
бесеуі бірігіп істесе, осы жұмысты неше күнде бітіреді.
Шешуі:
Барлық жұмысты 1 деп аламыз.Әр бір бес
жұмысшының еңбек өнімділігі х1,х2,х3,х4,х5 болсын.
Теңдеулер жүйесін құрып, теңдеуді шешеміз:



=⋅++
=⋅++
15)(
15,7)(
531
321
ххх
ххх ( )
( )


=⋅++
=⋅++
14
16
342
431
ххх
ххх
28

29. 






=++
=++
=++
=++
4:1
6:1
5:1
15:2
542
431
531
321
ххх
ххх
ххх
ххх
Соғы теңдеуді 2-ге көбейтіп, барлық теңдеулерді
қосамыз. Сонда 3(х1+х2+х3+х4+х5)=1
Осыдан 5 адам осы жұмысты 3 сағ бітірді.
Жауабы: 3 сағ.
Қолданылған әдебиеттер
1. Алгебра 8сынып-Шыныбеков Ә.Н.
2. Алгебра 9 сынып-Шыныбеков Ә.Н.
3. Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочное пособие по
методам решение задач по математике для средней
школы.М.,Наука 1983
4. Сборник задач по математике с решениями 8-11
классы. Под редакцией М.И.Сканави
29

30. Мазмұны
1. Түсініктеме___________________________________1
2. Бағдарлама____________________________________2
3. Сөз есептерді шешу әдістері_____________________3
4. Қозғалысқа берілген есептер____________________4
5. Түзу сызықты бір қалыпты қозғалыс____________4
6. Шеңбер бойынша қозғалыс_____________________9
7. Өзен ағысы бойымен қозғалыс_________________11
8. Арифметикалық жолмен шешу жолы___________15
9. Жұмысқа және еңбек өнімділігіне байланысты
есептер______________________________________17
10.Қолданылған әдебиеттері______________________22
11.Мазмұны____________________________________23
30

31. 31