Лінійна алгебра

1. Задачі прикладного змісту до модуля №1 «Лінійна та векторна алгебра.
Аналітична геометрія»
Модель міжгалузевого планування потреб і пропозицій
1. У таблиці задані показники взаємних потреб і пропозицій між різними
галузями промисловості
Галузеві
пропозиції
Галузеві
потреби
Потреби
інших
галузей
Кількість
усіх
пропозицій1 2 3
1 20 48 18 14 100
2 30 12 54 24 120
3 30 36 36 72 180
Витрати
праці
20 24 72
1) Визначити матрицю потреб-пропозицій А. 2) Припускаючи, що через 3
роки потреби інших галузей зростуть до 24, 33 та 75 (показники для галузей
1, 2, 3 відповідно), визначити скільки продукції повинна виробити кожна
галузь, щоб задовольнити ці потреби?
Розв’язання: 1) Елементи шуканої матриці потреб-пропозицій А дорівнюють
відношенню потреб і-тої галузі до загальної кількості пропозицій цієї галузі.
Тому для знаходження елементів і-го стовпця ( і =1, 2, 3 ) матриці А треба
поділити потреби і-тої галузі, вказаної в таблиці на загальну кількість
пропозицій цієї галузі.
Таким чином, одержуємо матрицю потреб-пропозицій вигляду






























2,03,03,0
3,01,03,0
1,04,02,0
180
36
120
36
100
30
180
54
120
12
100
30
180
18
120
48
100
20
A
2) Нехай Е – одинична матриця третього порядку, D – матриця-стовпець
нових потреб,
Х – матриця нових пропозицій, що відповідають новим потребам:

2. 










75
33
24
D ; DBX  1
, де




































8,03,03,0
3,09,03,0
1,04,08,0
2,03,03,0
3,01,03,0
1,04,02,0
100
010
001
AEB
Для обчислення майбутніх пропозицій Х залишилося знайти 1
B .











332313
322212
312111
1
det
1
BBB
BBB
BBB
B
B ,
де 336,0det B , а алгебраїчні доповнення елементів матриці В: 63,011 B ,
33,012 B ; 36,013 B ; 35,021 B ; 61,022 B ; 36,023 B ; 21,031 B ; 27,032 B ;
6,033 B – пропонується самостійно впевнитись в тому , що останні
обчислення виконані вірно.
Отже, обернена матриця має вигляд











6,036,036,0
27,061,033,0
21,035,063,0
336,0
11
B
Визначаємо Х – матрицю нових пропозицій. DBX  1

































195
75,143
25,126
75
33
24
6,036,036,0
27,061,033,0
21,035,063,0
336,0
1
X
Відповідь: таким чином першій галузі треба виробити 126,25 одиниць
продукції, другій галузі – 143,75, а третій потрібно виробити 195 одиниць
продукції.
Системи лінійних нерівностей і лінійне програмування.
Алгоритм симплексного методу:
1. Обирається направляючий стовпець j*
з максимальної за
абсолютною величиною від’ємною оцінкою (при розв’язанні задачі на
максимум), або за максимальною оцінкою (при рішенні задачі за
мінімумом) рядка *Big M. На певному етапі розв’язку задачі рядок
*Big M повинен зникнути (він існує доти, поки в „Базис” входять штучні
змінні), тоді стовпчик вибирається аналогічно по оцінках рядка C(j)-Z(j).
2. Обирається направляючий рядок i* за мінімальною часткою від
ділення елементів стовпчика вільних членів Bi на додатні елементи
направляючого стовпчика Aij*. Якщо у направляючому стовпчику немає

3. додатних елементів, то задача не має рішення. На перетині направляючого
стовпчика і направляючого рядка знаходиться генеральний елемент Ai*j*.
3. Заповнюється нова симплексна таблиця.
3.1. Змінна, яка стоїть у направляючому рядку, виводиться із Базису, а
змінна, що стоїть у направляючому стовпці, вводиться у Базис, інші змінні
залишаються на своїх місцях.
3.2. Заповнюється рядок нової таблиці, який стоїть на місці
направляючого. Для цього елементи направляючого рядка діляться на
генеральний елемент
**
*
*
ji
jinov
ji
A
A
A  .
3.3. Заповнюється стовпчик нової таблиці, який стоїть на місці
направляючого. Для цього всі елементи направляючого стовпця
заповнюються 0-ми (стовпчик можна не заповнювати, якщо у ньому стояла
штучна змінна).
3.4. Інші елементи нової таблиці розраховуються за правилом
прямокутника:
**** / jijiijij
nov
ij AAAAA 
елементйгенеральни
стовпчикупоелемент
йвідповідни
рядкупоелемент
йвідповідни
елемент
старийелементНовий



























3.5. Стовпчик, що відповідає штучній змінній, не розраховується з того
моменту, як ця змінна виводиться з „Базису”.
4. Перевіряється умова оптимальності: задача має оптимальне рішення,
коли в індексному рядку C(j)-Z(j) не існує від’ємних елементів при рішенні
задач на максимум, не існує додатних елементів при рішенні задач на
мінімум. Якщо умова оптимальності не виконується, слід перейти до пункту
1.
Загальна постановка транспортної задачі:
Для запису моделі транспортної задачі приймємо такі позначення:
аі – наявність вантажу у постачальників A1, A2, … , Am (i = 1,2,3,…, m);
bj– кількість вантажу, необхідне споживачу B1, B2, … , Bh (j = 1,2,3,…,
h);
Хij – кількість вантажу, перевезеного від і–го постачальника до j–го
споживача;

4. Cij – вартість перевезення одиниці вантажу від і–го постачальника до j–
го споживача або відстань між пунктами перевезення.
Задача зводиться до того, щоб відшукати невід’ємні значення Хіj, при
яких цільова функція F(Х) прийме мінімальне значення.
 

m
i
h
j
ijij XCXF
1 1
min)(
За умовою:
1)

h
j
iij AX
1
(кількість вантажу, призначеного для доставки від i-го
постачальника всім споживачам, дорівнює запасу вантажу у цього
постачальника).
2) 

m
i
jij BX
1
( кількість вантажу, призначеного для Bj-го споживача,
завезеного від будь якого постачальника, дорівнює потребі у вантажу цього
пункту призначення).
Розвязання транспортної задачі можливо тільки при дотриманості
рівності загальних запасів та потреб. Така модель задачі називається
закритою.
  

m
i
h
j
ji BA
1 1
Якщо баланс ресурсів не дотримується, то модель називається
відкритою.
  

m
i
h
j
ji BA
1 1
В такому випадку задачу спочатку треба привести до закритого виду
шляхом введення в таблицю рядка фіктивного постачальника або стовпчика
фіктивного споживача.
Клітини з фіктивним споживачем (постачальником) заповнюються в
останню чергу, порушення умови оптимальності в цих клітинах
розглядається лише після того, як в основних клітинах порушення умови
оптимальності не спостерігається.
Першу транспортну таблицю заповнимо методом північно-західного
кута: першою заповнюється верхня ліва клітина Х11, в яку заноситься або всі
запаси А1, або вся потреба В1 в залежності від того, що менше. На кожному
наступному кроці розглядається перший з тих, що залишилися, пункт
призначення або пункт відправлення:

5. - якщо це пункт призначення, то потреба його визначається
за правилом: Хij = ai - вивезений вантаж з Ai;
- якщо це пункт відправлення, то запаси його визначається за
правилом: Хij = bj - завезений вантаж в Bj.
Так заповнюються всі клітини таблиці з Х11 по Хmh (це заповнення має
вигляд східців по діагоналі таблиці).
Для перевірки плану на оптимальність використовують систему оцінок
(потенціалів) рядків і стовпчиків, що розраховуються за правилом: для будь-
якої заповненої клітинки сума потенціалів відповідного рядка і стовпчика
повинна дорівнюватися оцінці (вартість перевезення одиниці вантажу або
відстань) цієї клітини.
Ui +Vj =Cij, де: Cij – оцінка клітинки; i – рядки (i = 1, 2, … , m), j –
стовпчики ( j = 1, 2, … , h); Ui - оцінка i-го рядка (i = 1, 2, ... m); Vj – оцінка j-
го стовпця (j = 1, 2, ... h).
Тобто, якщо відомий потенціал Ui , то Vj=Cij – Ui, а якщо відомий Vj, то
Ui=Cij – Vj . При цьому один з рядків або один з стовпчиків отримує довільну
оцінку, а оцінки останніх рядків і стовпчиків треба розрахувати за вказаними
формулами.
Якщо даний план перевезень не є оптимальним, треба перейти до
наступного плану. Для цього вибирається клітина, в якій сума потенціалів
найбільш перевищує оцінку і вона називається клітиною перерахунку.
Починаючи з клітини перерахунку будується по зайнятим клітинам
фігура перерахунку (замкнутий контур, вершини якого знаходяться в
зайнятих клітинах), яка може мати вигляд (деякі варіанти фігури):
Клітини, які ввійшли до фігури перерахунку позначаються по черзі
знаками “+”, “–”,”+”, “–”, ... , починаючи з клітини перерахунку.
Заповнюється нова транспортна таблиця:
- кількість вантажу в клітинах, які не ввійшли до фігури
перерахунку переноситься в нову таблицю без змін;
- для клітин фігури перерахунку: кількість вантажу в
клітинках зі знаком “+” збільшується, а в клітинках зі знаком “-“
зменшується на одну і ту ж величину, а саме, на найменшу кількість
вантажу у клітинках, позначених знаком “–“.

6. Виправлений таким чином план перевезень записується у відповідну
таблицю і досліджується на оптимальність, як і попередній
1. Абонент має купити пакет послуг мобільного телефонного зв’язку.
Оператор “КиївСтар GSM” пропонує два види пакетів, поданих у таблиці 1.3,
що різняться умовами оплати. Потрібно вибрати найбільш економний пакет
відповідно до планованої витрати часу на телефонні розмови в межах від
однієї до двох годин на місяць.
Розв’язання:
Із таблиці 8 випливає, що вартість ( yi) кожного пакету має постійну складову –
абонентську плату (ai) і змінну складову, що визначається вартістю однієї
хвилини розмови (bi) і витратою часу на телефонні розмови (x). Запишемо
рівняння для розрахунку вартості кожного пакета:





,
,
222
111
xbay
xbay






,223,81
,6,208,27
2
1
xy
xy






.23,812
,08,276,2
xy
xy
Рівняння вартості пакетів виявилися рівняннями прямих ліній, що
мають точку перетинання A(x,y), де вартості пакетів збігаються:
y1 = y2 = y. Ліворуч точки перетинання вартість першого пакета(y1)
менше, праворуч – більше.
Таблиця 8.
Умови оплати пакетів послуг оператора телефонного
зв’язку
№ з/п Пакет послуг
Вартість, грн
Абонентської
плати
Однієї хвилини розмови
1 “Економ” 27,08 2,6
2 “Стандарт” 81,23 2
Позн. Ціна: yi ai bi
Знайдемо координати точки перетинання прямих ліній, розв’язавши
систему отриманих раніше рівнянь вартості кожного пакета:
6,0
21
6,21



 ;
223,81
6,208,27


 y = 157,038; 
23,811
08,271
x
54,15;
73,261
6,0
038,157




y
y ; 25,90
6,0
15,54



 xx .

7. Отже, якщо витрата часу на телефонні розмови буде меншою ніж
півтори години (x  90,25 хв), то варто купити перший пакет послуг
(“Економ”), у іншому випадку – другий (“Стандарт”) (рис.6).
2. Міст Тсінь Ма у Гонконзі. Один з шести найдовших - 2,2
кілометра - підвісних мостів у світі, який би як магістральний, так і
залізничне сполучення, є частиною інфраструктури міжнародного
аеропорту Гонконгу і одним з найвідоміших місцевих орієнтирів.
Будівництво Тсінь Ма обійшлося в 900 мільйонів доларів, після 5 років
робіт міст відкрився в 1997 році. 49000 тонн сталі пішли на будівництво
платформи, в той час як на кожну вежу 205 метрів заввишки знадобилося
65000 тонн бетону. Міст Тсінь Ма - одна з найголовніших визначних
пам'яток Гонконгу, особливо красиво він виглядає при нічній
підсвічуванні (рис.7).
Рис. 7. Міст Тсінь Ма у Гонконзі
300
50
100
150
200
250
20 40 60 80 100 120 x, хв
y, грн
0
A(x,y)
Рис. 6. Графічне розв’язання системи лінійних рівнянь
y2 = a2 + b2 x
y1 = a1 + b1 x
27,08
81,23
90,25
261,73

8. Канат підвісного моста має приблизно форму параболи. Скласти її рівняння
відносно вказаних на кресленні вісей, якщо прогин каната ОА a , а довжина
прольоту 2BC b .
Розв’язання:
Рівняння параболи з вершиною у початку координат і віссю симетрії,що
співпадає з додатним напрямом вісі Oy ,має вигляд 2
2x py . Визначимо
параметр p , враховуючи,що точка  ;C b a належить параболі. Підставляючи
її координати в рівняння параболи,знайдемо:
2
2
2
2
b
b pa p
a
  
.
Отже,рівняння параболи має вигляд
2
2 b
x y
a
 .
3. Дзеркальна поверхня прожектора утворена обертанням параболи
навколо її вісі симетрії (рис.8). Діаметр дзеркала 80 см, а глибина 10 см.
На якій відстані від вершини параболи слід розмістити джерело
світла,якщо для відбиття променів паралельним пучком він має
знаходитися в фокусі параболи?
Рис.8. Дзеркальна поверхня прожектора
Розв’язання:
Виберемо систему координат,як показано на рисунку. Канонічне
рівняння заданої параболи 2
2y px . Характеристика дзеркала (діаметр і
глибина) дають змогу зробити висновок,що парабола проходить через точку
 10;40A . Отже, 1600 2 10 2 160p p    .

9. Координати фокуса ;0
2
p
F
 
 
 
. Тоді з останньої рівності знаходимо: 40
2
p

см. Таким чином, джерело світла необхідно розмістити на відстані 40 см від
вершини параболи.
Рис.9. Прожектори на морських судах
Відомі вектори заробітної плати шести робітників за лютий та березень
 500;700;900;450;800;600a та  580;950;800;550;400;300b . У квітні цим
робітникам надали відпустку, заплативши їм за середнім заробітком за лютий
та березень. Знайти вектор c - вектор заробітної плати цих робітників за
квітень і довести, що вектори a , b і c - лінійно залежні.
Розв’язання:
Оскільки середній заробіток за два місяці (лютий та березень) обирався
як середнє арифметичне оплати праці у ці місяці, то вектор c - заробітної
плати за квітень є вектором лінійних дій над векторами a і b :
2
ba
c

 .





 

2
580500
;
2
950700
;
2
800900
;
2
550450
;
2
400800
;
2
300600
c
 ;540;850;500;600;450c .
Оскільки babac 21
2
1
2
1
  є лінійною комбінацією векторів a і b ,
то вектори a , b і c - лінійно залежні, бо згідно теоремі, вектори є лінійно
залежні тоді і тільки тоді, коли один із них є лінійною комбінацією інших.
Завдання для самостійного виконання
4. Снаряд вилетів із ствола гармати зі швидкістю V під кутом α до
горизонту. Скласти рівняння траекторії руху снаряда і сформулювати

10. умову влучання в ціль, що розміщена на відстані α від вогневої точки О.
Опором повітря знехтувати (рис.7).
Рис.7
5. Промінь світла спрямований уздовж прямої 2 3 5 0x y   .
Дійшовши до прямої 5 2 1 0x y   , промінь, дотримуючись законів
геометричної оптики, відбився від неї. Скласти рівняння прямої, уздовж
якої лежить відбитий промінь.
6. Вивести рівняння кривої, утвореної провисанням лінії передачі
струму високої напруги за даними ескізу,зображеного на рисунку, де
Р=1м-стріла провису, 100l  м- довжина прольоту, 24h  м-різниця висот
точок підвісу дроту. Знайти абсциси нижньої точки 1x кривої і точки 2x її
перегину з віссю Ox (рис.8).

11. Рис.8.
7. Сила тяги вертольота утворює із напрямком вітру кут у .
Відношення швидкості вертольота до швидкості вітру дорівнює 6.
Знайти кут між напрямком руху вертольота і напрямком вітру.
8. Два тягачі, що рухаються із сталою швидкістю берегами
прямолінійного каналу, тягнуть баржу за допомогою двох канатів. Сили
натягу канатів дорівнюють , кут між канатами дорівнює . Вважаючи,що
баржа рухається паралельно до берегів, визначити силу опору води , якої
зазнає баржа.
9. Літак має летіти строго на північ. Відносно Землі він розвиває
швидкість =950 км/год. У напрямку з південного сходу на північний
захід дме вітер зі швидкістю =64,8км/год. З якою швидкістю треба
летіти літаку і під яким кутом до меридіана слід тримати курс, щоб
переміщення здійснювалося в заданому напрямі?
10. Промінь світла спрямований уздовж прямої 2 5 0x y   .
Дійшовши до прямої 3 2 7 0x y   , промінь, дотримуючись законів
геометричної оптики, відбився від неї. Скласти рівняння прямої, уздовж
якої лежить відбитий промінь.
11. Промінь світла спрямований уздовж прямої
2
4
3
y x  .
Дійшовши до осі абсцис, він відбився від неї. Визначити точку дотику
променя з віссю й скласти рівняння відбитого променя. Побудувати
обидва промені.
12. Обчислити роботу, що виконується силою (1;2;3)F  при
прямолінійному переміщенні матеріальної точки з положення (1;0;0)B в
положення (10;1;2)C .
13. Силу (3;2;1)F  прикладено до точки (2;0;1)A . Визначити
момент М цієї сили відносно початку координат.
14. Земля рухається по еліптичній орбіті, в одному з фокусів
якої знаходиться Сонце. Обчислити ексцентриситет земної орбіти точка
(перигелій) знаходиться на відстані 147 млн. км від Сонця, а найбільш
віддалена від Сонця точка орбіти (афелій) на відстані 152 млн. км від
нього.
15. Канат підвісного моста має форму параболи (див. мал.).
Треба скласти її рівняння відносно вказаних на малюнку осей координат,
якщо прогин каната 10|| OA , а довжина моста 60|| BC .

12. 16. Між пунктами А і В проходить шосейна дорога. На плані
місцевості вказані пункти мають координати (0;18) і (12;9) (розміри
задані у км.). Завод С, що має в тій самій системі координати (5;3),
потрібно зєднати із шосе найкоротшою дорогою. Знайти на шосе точку
входження в нього споруджуваної дороги та її довжину (рис.9).
Рис.9.
17. В пунктах відправлення А1, А2, А3 знаходиться однорідний вантаж в
кількості a1, а2, а3 відповідно, який необхідно перевезти в пункти
призначення В1, В2, В3, В4, потреба кожного з яких становить b1, b2, b3, b4.
Відома відстань між пунктами перевезень (оцінки). Маємо три постачальника
з такими запасами вантажу: А1 = 26 т, А2 = 3 т, А3 = 45 т; і чотири споживача
з потребою на цей вантаж: В1 = 14 т, В2 = 19 т, В3 = 20 т, В4 = 5 т. Відома
відстань між пунктами перевезень.
Відстань між пунктами перевезень, км (Сij).
Постачальники
Споживачі
B1 B2 B3 B4
A1 6 4 15 19

13. A2 13 17 28 3
A3 5 20 6 10
Необхідно знайти кількість вантажу, який повинен отримати кожен
споживач від того або іншого постачальника, щоб загальна кількість тонно-
кілометрів була мінімальною.
17. Кооператив витрачає на заробітну плату робітникам та
оренду приміщення 20 000 державних одиниць (д. од.) на тиждень
незалежно від виробленої продукції. Виготовлення одного виробу
обходиться кооперативу у 20 д. од., а продається він за 25 д. од. Знайти
точку рівноваги, тобто кількість виробів, яку потрібно виготовити на
тиждень, щоб кооператив не мав ні збитків ні прибутку