1. Gradino di potenziale 1-d:
Classicamente, gli elettroni con 0 < E < ΔEc non oltrepassano x = 0, mentre quelli con E
> ΔEc non vedono il gradino.
In quanto meccanica, gli elettroni con 0 < E < ΔEc penetrano la barriera con una coda
esponenziale, e quelli con E > ΔEc hanno una probabilità finita di essere riflessi dal
gradino.

2. Barriera di potenziale 1-d (tunnel barrier):
Classicamente, gli elettroni con 0 < E < ΔEc non possono oltrepassare x = 0, mentre
quelli con E > ΔEc non vedono la barriera.
In quanto-meccanica, gli elettroni con 0 < E < ΔEc possono penetrare la barriera e una
certa frazione la attraversa, mentre una frazione di quelli con E > ΔEc viene riflessa dalla
barriera.

3. Tunneling attraverso una barriera rettangolare

4. Applicando le condizioni al contorno:
Sostituendo e moltiplicando le precedenti matrici:

5. Flusso incidente Flusso trasmesso
Coefficiente di
trasmissione
Limite di barriera
molto larga

6. Probabilità di trasmissione
Barriera rettangolare
T = 4 /{4 cosh2αd + [(α/k) - (k/α)]2sinh2αd}
Con k2 = 2m * (E - Ec )/ħ2 and α2 = 2m0 [ΔEc - (E - Ec)]/ ħ2

7. Barriera triangolare :
3 2⎤
⎡ − 4(2m*)1 2
{ΔE c − (E − E co )} ⎥
T = exp ⎢ con q|F| = dEc (x)/dx
⎣ 3qFh ⎦
Barriera trapezoidale :
⎤
⎡ − 4(2m*)1 2
{ΔE c − (E − E co )} − {ΔE c − (E − E co − qFd)}
T = exp ⎢
32 32
⎥
⎣ 3qFh ⎦

8. Riassunto effetto tunnel
Effetto tunnel (da singola
barriera)
Effetto tunnel rilevante nel
trasporto tra nanostrutture

9. Tunneling attraverso una doppia barriera
Matrice di trasferimento
Sistema combinato
La trasmissione attraverso la struttura ha risonanze che corrispondono ai casi in cui
l’energia della particella incidente coincide con gli “stati legati” della buca.
In risonanza le onde incidenti e riflesse nella buca interferiscono costruttivamente.
In risonanza, Ttot = 1.
Trasmissione minima : Ttot ~ T12/4.

10. Resonant tunneling barrier 1-d:
Classicamente, gli elettroni con 0 < E < ΔEc non possono passare da una parte all’altra,
mentre quelli con E > ΔEc non vedono le barriere.
In quanto-meccanica, gli elettroni con 0 < E < ΔEc con energie uguali a quelle dei livelli
energetici del quantum well attraversano la struttura senza essere attenuati; mentre una
frazione di quelli con E > ΔEc vengono riflessi dalle barriere.

11. Caso asimmetrico
Ci si aspetta un massimo in trasmissione quando il livello legato è allineato con i livelli
di source o drain. Per valori maggiori del potenziale, la trasmissione deve diminuire
nuovamente. Fuori risonanza la funzione d’onda decade esponenzialmente.
Resonant tunneling diode: risultato finale:
In risonanza:
Fuori risonanza: