Summary of "Total transmission of inhomogeneous electromagnetic waves at planar interfaces". Tesi di laurea triennale, ingegneria elettronica, Università di Trieste.

1. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TRIESTE
Dipartimento di ingegneria e architettura
Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica e Informatica
Trasmissione totale di onde
elettromagnetiche non uniformi su
interfacce planari
Tesi di laurea triennale
Laureando: Relatore:
Marco PELLIZZONI Prof. Giulia BUTTAZZONI
ANNO ACCADEMICO 2019/2020

2. 1
Indice
1. Introduzione ............................................................................................................. 2
1.1 Onde piane......................................................................................................... 2
1.2 Angolo di Brewster.............................................................................................. 3
2. Lo studio................................................................................................................... 4
2.1 Mezzo 1 e mezzo 2 dissipativi ............................................................................. 4
2.2 Mezzo 1 dielettrico, mezzo 2 conduttore.............................................................. 5
3. I risultati sperimentali .............................................................................................. 7
4. Conclusioni............................................................................................................... 9
5. Riferimenti bibliografici........................................................................................... 10

3. 2
1. Introduzione
Quando un’onda elettromagnetica incontra una superficie di discontinuità materiale,
una parte di essa viene riflessa e l’altra viene rifratta.
In letteratura si è ampiamente dimostrato che, considerando l’interfaccia di separazione
tra due dielettrici puri, l’onda può essere totalmente trasmessa se è piana uniforme e se
incide con un angolo particolare detto angolo di Brewster.
Nell’articolo in esame [1], gli autori ricavano per via matematica una generalizzazione
dell’angolo di Brewster per un’onda piana non uniforme che si propaga attraverso due
tipologie di interfaccia: mezzo dissipativo – mezzo dissipativo, dielettrico puro – conduttore,
dimostrando poi la validità dei risultati ottenuti a mezzo di simulazioni.
Di seguito è presentata una breve descrizione del concetto di onda piana e come si può
ricavare l’angolo di Brewster “canonico”.
1.1 Onde piane [2]
Un’onda sinusoidale è definita onda piana se il luogo dei punti per cui la fase è costante
corrisponde a un piano. La sua espressione è
𝐸⃗ (𝑟, 𝑡) = 𝐸0
⃗⃗⃗⃗ 𝑒−α⃗⃗ ⋅𝑟
cos(ω𝑡 − β⃗ ⋅ 𝑟)
Il cui fasore vettoriale può essere definito come
𝐸⃗ (𝑟) = 𝐸0
⃗⃗⃗⃗ 𝑒 𝑖𝑘⃗ ⋅𝑟
Dove
𝑘⃗ = β⃗ + 𝑖α⃗⃗
- 𝑘⃗ è il vettore di propagazione, o vettore d’onda
- α⃗⃗ è il vettore di attenuazione, direzione di massima attenuazione dell’onda
- β⃗ è il vettore di fase, direzione di propagazione dell’onda.
Si dimostra che 𝐸⃗ (𝑟) può rappresentare un campo elettrico se e soltanto se soddisfa le
seguenti condizioni
𝑘⃗ ⋅ 𝑘⃗ = 𝜔2
μ𝜀 (Equazione di dispersione)
𝑘⃗ ∙ 𝐸⃗ (𝑟) = 0
Si definiscono due tipologie di onda piana:
• Piana uniforme, se 𝛼 ∥ 𝛽 , e nel caso di un dielettrico puro risulta 𝛼 = 0 e l’onda è
piana uniforme non attenuata.
• Piana non uniforme, se 𝛼 ∦ 𝛽, e nel caso di un dielettrico puro risulta 𝛼 ⊥ 𝛽 e l’onda
è detta evanescente.
Infine, un’onda piana si dice trasversa magnetica, o polarizzata p, quando il vettore campo
magnetico oscilla parallelamente all’interfaccia tra i due mezzi e perpendicolarmente al
piano di incidenza.

4. 3
1.2 Angolo di Brewster
Un’onda elettromagnetica piana uniforme polarizzata p, che incide sulla superficie di
separazione tra un mezzo dielettrico 1 e un mezzo dielettrico 2, può essere totalmente
trasmessa se il coefficiente di riflessione vale zero.
Il coefficiente di riflessione è definito come
𝛤 =
𝐸0 𝑟,𝑥
𝐸0 𝑖,𝑥
Il numeratore e il denominatore sono rispettivamente le
componenti tangenziali del campo elettrico riflesso e di
quello incidente.
Applicando la legge di Fresnel1
𝛤 =
𝑍2 − 𝑍1
𝑍2 + 𝑍1
=
√ 𝜀1 cos 𝜗𝑡 − √ 𝜀2 cos 𝜗𝑖
√ 𝜀1 cos 𝜗𝑡 + √ 𝜀2 cos 𝜗𝑖
e imponendo l’annullamento di Г si ottiene l’Angolo di Brewster
tan 𝜗𝑖,𝐵 = √
𝜀2
𝜀1
dove le permittività elettriche dei mezzi 𝜀1, 𝜀2 sono numeri reali.
1 𝑍1 e 𝑍2 sono le impedenze d’onda dei due mezzi

5. 4
2. Lo studio
Si considera un’onda elettromagnetica piana non uniforme in polarizzazione trasversa
magnetica, incidente sull’interfaccia planare tra un mezzo 1 e un mezzo 2 (Fig. 1). I due
mezzi hanno permeabilità magnetiche relative unitarie, mentre le permittività elettriche
relative sono in generale numeri complessi2:
𝜀1,2 = 𝜀′1,2 + 𝑖𝜀′′1,2
In figura 1 sono rappresentati i vettori di attenuazione
e di fase per l’onda incidente e trasmessa.
L’equazione di dispersione per questo problema,
scomposta nelle sue parti reale e immaginaria,
assume la forma
{
𝛽1
2
− 𝛼1
2
= 𝜔2
𝜇0 𝜀0 𝜀′1
2𝛼1 𝛽1 cos 𝜂1 = 𝜔2
𝜇0 𝜀0 𝜀′′1
L’angolo 𝜂1 = 𝜁1−𝜉1 è detto angolo di non uniformità.
Imponendo l’annullamento del coefficiente di
riflessione, si ricava la seguente espressione per la componente del vettore d’onda tangente
all’interfaccia
𝑘1𝑦 = 𝑘0√
𝜀1 𝜀2
𝜀1 + 𝜀2
= 𝑘0 𝛾
Dove 𝑘0 = 𝜔√ 𝜇0 𝜀0 è il numero d’onda per lo spazio vuoto, mentre 𝛾 = 𝛾′ + 𝑖𝛾′′ è un numero
complesso assegnato per comodità.
2.1 Mezzo 1 e mezzo 2 dissipativi
Dalla geometria del problema si evince che 𝑘1𝑦 = 𝛽1 sin 𝜉1 + 𝑖𝛼1 sin 𝜁1, quindi è possibile
scomporre l’equazione (1) nel seguente sistema
{
𝛽1 sin 𝜉1 = 𝑘0 𝛾′
𝛼1 sin 𝜁1 = 𝑘0 𝛾′′
Sostituendo la (2) e la (3) nell’equazione di dispersione si ottiene
{
𝛾′2
sin2 𝜉1
−
𝛾′′2
sin2 𝜁1
= 𝜀′1
𝛾′𝛾′′ =
𝜀′′1 sin 𝜉1 sin 𝜁1
2 cos 𝜂1
Con una serie di operazioni algebriche si ricavano due nuove espressioni per la (4) e la (5)
2 La parte immaginaria tiene conto degli effetti dissipativi
Fig. 1. Geometria del problema
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)

6. 5
{
cot2
𝜁1 =
𝛾′2
− (𝜀′1 − 𝛾′2
+ 𝛾′′2
) tan2
𝜉1
𝛾′′2 tan2 𝜉1
2𝛾′𝛾′′ cot 𝜁1 = (𝜀′′1 − 2𝛾′𝛾′′) tan 𝜉1
Elevando al quadrato la (7) e sostituendo la (6) in (7) si ottiene un’equazione biquadratica
[𝐼𝑚(𝜀1 − 𝛾2
)]2
tan4
𝜉1 + 4𝛾′2
𝑅𝑒(𝜀1 − 𝛾2
) tan2
𝜉1 − 4𝛾′4
= 0
Risolvendo l’equazione per tan 𝜉1 ed effettuando qualche passaggio algebrico si ottiene
l’angolo 𝜉 𝐵, che sostituito nell’equazione (6) fornisce il corrispondente angolo 𝜁 𝐵.
tan 𝜉 𝐵 = |
𝑛2
𝑛1
| √
2 cos 𝜙 𝛾
1 + cos 𝜙
tan 𝜁 𝐵 = |
𝑛2
𝑛1
| √
2 sin 𝜙 𝛾
1 − cos 𝜙
▪ 𝑛1,2 = √ 𝜀1,2 sono gli indici di rifrazione dei mezzi
▪ 𝜙 =
𝐼𝑚(𝜀1−𝛾2)
𝑅𝑒(𝜀1−𝛾2)
è la fase del numero complesso (𝜀1 − 𝛾2
)
▪ 𝜙 𝛾 =
𝛾′′
𝛾′
è la fase di 𝛾
A questo punto ci si chiede quale forma assumano le espressioni trovate se i mezzi sono
dielettrici puri. In tal caso 𝜀1, 𝜀2 e 𝛾 diventano reali, dunque le fasi 𝜙 e 𝜙 𝛾 risultano nulle.
Di conseguenza l’equazione (10) diventa indeterminata, mentre l’equazione (9) si riduce
all’espressione tan 𝜉 𝐵 =
𝑛2
𝑛1
= √
𝜀2
𝜀1
che è proprio l’angolo di Brewster “canonico”. In definitiva
la (9) può essere vista come una generalizzazione dell’angolo di Brewster, nel caso di mezzi
dissipativi.
Infine, data l’identità trigonometrica cot 𝜉 𝐵 − cot 𝜁 𝐵 =
sin(𝜁 𝐵−𝜉 𝐵)
sin 𝜉 𝐵 sin 𝜁 𝐵
, si ricava l’espressione
dell’angolo di non uniformità a partire dall’equazione (5).
tan 𝜂 𝐵 =
2𝛾′𝛾′′
𝜀′′1
(cot 𝜉 𝐵 − cot 𝜁 𝐵)
2.2 Mezzo 1 dielettrico, mezzo 2 conduttore
Ora si ipotizzi che il mezzo 1 sia un materiale dielettrico perfetto (𝜀1 𝜖 ℝ). Un’onda
elettromagnetica non uniforme che si propaga in un mezzo non dissipativo può essere solo
evanescente, quindi i vettori di attenuazione e di fase devono essere perpendicolari.
Imponendo 𝜂1 =
𝜋
2
all’equazione (3) si ottiene il sistema
{
𝛽1 sin 𝜉1 = 𝑘0 𝛾′
𝛼1 cos 𝜉1 = 𝑘0 𝛾′′
Da cui si ricava l’equazione
(
𝑘0 𝛾′
𝛽1
)
2
+ (
𝑘0 𝛾′′
𝛼1
)
2
= 1
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)

7. 6
Sostituendo l’equazione di dispersione, che in questo caso vale 𝛼1
2
= 𝛽1
2
−𝑘0
2
, nella (13),
si ha nuovamente un’equazione biquadratica la cui soluzione è
𝛽 𝐵 = 𝑘0
√
𝜀1 + |𝛾|2
2
√1 + √1 − 𝜀1 (
2𝛾′
𝜀1 + |𝛾|2)
2
Infine, dividendo membro a membro i termini delle equazioni (11) e (12) otteniamo
tan𝜉 𝐵 =
𝛼 𝐵
𝛽 𝐵
cot 𝜙 𝛾
I risultati ottenuti mostrano che anche per l’interfaccia dielettrico-conduttore esiste un
angolo di Brewster 𝜉 𝐵 , ma con una condizione aggiuntiva: il modulo del vettore di fase
deve essere pari a 𝛽 𝐵, che per questa ragione viene definito dagli autori Modulo di Brewster.
(14)

8. 7
3. I risultati sperimentali
A dimostrazione della bontà dei risultati matematici, vengono riportati i dati delle
simulazioni al computer effettuate per un’onda infrarossa (𝜆 = 7.7𝜇𝑚) su diversi tipi di
materiali.
Le figure 2, 3 rappresentano il modulo del coefficiente di riflessione in funzione dell’angolo
di incidenza.
In figura 2 si nota che, nel caso di un’onda
uniforme, il coefficiente di riflessione può solo
raggiungere un minimo, il cui corrispondente
angolo d’incidenza in letteratura è denominato
Pseudo-angolo di Brewster. Invece nel caso di
un’onda non uniforme il coefficiente si annulla in
corrispondenza dell’angolo di Brewster ricavato
matematicamente.
Lo stesso risultato si può vedere in figura 3, dove
in aggiunta si è posto il vettore di fase pari al
modulo di Brewster in accordo coi dati teorici.
In figura 5 viene rappresentata la parte reale del
campo per tre scenari differenti3:
a) Onda uniforme, interfaccia aria – altro dielettrico puro, angolo di incidenza di
Brewster canonico
b) Onda uniforme, interfaccia aria – oro, angolo di incidenza di Pseudo-Brewster
c) Onda non uniforme, interfaccia aria – oro, angolo di incidenza di Brewster
Quindi analizzando la regione a sinistra dell’interfaccia, possiamo notare che i piani
equifase nel caso b) risultano distorti in quanto l’onda viene in parte riflessa, mentre negli
altri due casi i piani rimangono inalterati, segno che la componente riflessa è assente.
3 In tutti e tre i casi il campo è polarizzato p.
Fig. 2. Confronto tra i coefficienti di riflessione di un’onda uniforme (linea continua) e un’onda non uniforme
(linea tratteggiata). A sinistra un’interfaccia oro – alluminio, a destra un’interfaccia mare – suolo argilloso.
Fig. 3. Interfaccia aria – oro.
Linea tratteggiata → onda uniforme,
linea continua → onda non uniforme

9. 8
Fig. 5. Il campo magnetico oscilla perpendicolarmente al piano xy e la sua intensità è rappresentata dai
colori. Lungo un piano equifase il colore è costante.

10. 9
4. Conclusioni
In questo articolo è stata proposta una generalizzazione del concetto di angolo di
Brewster. Si sono ricavate le espressioni dell’angolo per due tipologie di discontinuità
materiali: interfaccia tra due mezzi dissipativi ed interfaccia dielettrico – conduttore. I due
casi differiscono, oltre che per il valore che assume l’angolo di Brewster, anche per le
caratteristiche che deve avere l’onda incidente: nel primo caso è richiesto che l’angolo di
non uniformità sia pari a 𝜂 𝐵, nel secondo caso il modulo del vettore di fase deve essere pari
al Modulo di Brewster, 𝛽 𝐵.
Come puntualizzato dagli autori, queste due condizioni non sono solo necessarie, ma
costituiscono una proprietà intrinseca delle onde. Ciò comporta che solo un’onda piana
non uniforme avente queste caratteristiche potrà essere totalmente trasmessa per un certo
angolo di Brewster.
Un’onda piana non uniforme che si propaga in un dielettrico puro, è nota come leaky-
wave, ed è generata dalle omonime leaky-wave antennas [3]. Studi posteriori [4] hanno
rivelato che un’antenna leaky, sotto opportune condizioni, genera nella direzione
ortogonale all’interfaccia un aumento esponenziale dell’intensità dell’onda trasmessa (deap
penetration effect), conservando, tuttavia, un’onda riflessa.
Dati i numerosi campi di applicazione in cui questo fenomeno risulta utile, quali per
esempio l’imaging biomedicale o la ricerca di oggetti sommersi, potrebbe essere
interessante in uno studio futuro cercare un punto di incontro tra le condizioni che
generano trasmissione totale e quelle che generano penetrazione profonda, nell’ottica di
ottimizzare la potenza irradiata.

11. 10
5. Riferimenti bibliografici
[1] F. Frezza e N. Tedeschi, Total transmission of inhomogeneous electromagnetic waves
at planar interfaces, Phys. Rev. A 92, 053853 (2015).
[2] J. A. Stratton, Electromagnetic Theory (McGraw-Hill, New York, 1941), cap. 5.
[3] D. R. Jackson e A. A. Oliner, in Modern Antenna Handbook, redatto da C. Balanis (wiley,
New York, 2008), Cap. 7.
[4] P. Baccarelli, F. Frezza, P. Simeoni, N. Tedeschi, An Analytical Study of Electromagnetic
deep Penetration Conditions and Implications in Lossy Media through Inhomogeneous
Waves. Materials, 2018, 11, 1595.