1. Quantum wells, wires and dots
Dimensionalità (a) Quantum well (2d)
(b) Quantum wire (1d)
(c) Quantum dot (0d)
2. Densità degli stati (DOS) e dimensionalità
La dimensionalità governa l’andamento
della DOS ed influenza pesantemente le
proprietà fisiche (es. trasporto, proprietà
ottiche, etc.)
3. Quantum well:
In una buca infinita, i.e. ∆Ec = ∞, larga dx :
Funzione d’onda:
ψ(x,y,z) = An sin (nπx/dx) exp [±i(kyy + kzz)] per 0 ≤ x ≤ dx
=0 fuori la buca
Energia:
E -Ec = En + (ћ2/2m*)(ky2 + kz2) con En = π2h2n2/2m*dx2
Densità di stati:
ρ(E) = (m*/π2ћ) per E ≥ En per ogni n
4. Quantum wire:
In un filo infinito, i.e. ∆Ec = ∞, dx per dy:
Funzione d’onda:
ψ(x,y,z) = Anm sin (nπx/dx) sin (mπx/dy) exp [±i kzz)] per 0 ≤ x ≤ dx,
0 ≤ y ≤ dy
=0 fuori il filo
Energia:
E -Ec = En,m + (ћ2/2m*) kz2 con En,m = (π2ћ2 /2m*)(n2/dx2 + m2/dy2)
Densità di stati:
ρ(E) = {m*/[2ћ2π2(E - Ec - En,m)]}1/2 per ogni n,m
N.B.: combinazioni diverse di n e m possono dare la stessa energia
5. Quantum box:
In una scatola infinita, i.e. ∆Ec = ∞, dx per dy per dz:
Funzione d’onda:
ψ(x,y,z) = Anmsin(nπx/dx)sin(mπx/dy)sin(pπx/dz) per 0 ≤ x ≤ dx, 0 ≤ y ≤ dy , 0 ≤ z ≤ dz
=0 fuori la scatola
Energia:
E - Ec = En,m,p con En,m,p = (π2ћ2/2m*)(n2/dx2 + m2/dy2 + p2/dz2)
Densità di stati:
ρ(E) = uno per scatola per ogni combinazione di n, m, e p
N.B.: alcune combinazioni di n e m possono dare le stesse energie
6. Densità di stati DOS
1. Materiale di bulk
Volume nello spazio k per stato: (2π/L)3
Volume nello spazio k occupato da stati con energia inferiore a E:
2m
Vk = 4πk3/3 con k = E − Ec
2
h
Numero di stati elettronici in questo volume:
4πk / 3
32
L ⎛ 2m ⎞
3 3
N(E) = 2 = 2 ⎜ 2 ⎟ (E − E c )3 2
(2π / L) 3 3π ⎝ h ⎠
Densità di stati con energie fra E e E+dE per unità di volume:
32
1 ⎛ 2m ⎞
1 dN(E)
ρ(E )[eV −1m −3 ] = = 2 ⎜ 2 ⎟ (E − E c )1 2
2π ⎝ h ⎠
L3 dE
7. 2. Quantum well
Area nello spazio k 2-d (i.e., ky,kz) per stato: (2π/L)2
Area nello spazio k occupato da stati con energia inferiore a En:
2m
E − En − Ec
Ak = πk2 con k = 2
h Larghezza dk
π2h 2 n 2
En =
e
2m * d 2x
Numero di stati elettronici nella banda n:
πk 2 L2 m *
N n (E) = 2 = 2 2 (E − E n − E c )
( 2π / L) πh
2
Densità di stati nella buca fra E and E+dE per unità di area:
1 dN n (E) m *
−1 −2
ρ n (E)[eV m ] = 2 = 22 DOS costante
πh
L dE
8. 3. Quantum wire
Distanza nello spazio k per stato: 2p/L
Distanza nello spazio k occupato da stati con energia inferiore a En,m:
2m
E − E n ,m − E c
Lk = k con k = 2
h
π2h 2 ⎛ n 2 m 2 ⎞
⎟
⎜+
=
e E n ,m 2⎟
2m * ⎜ d x d y ⎠
2
⎝
Numero di stati elettronici nella banda n,m:
k L 2m *
N n ,m (E) = 2 = E − En − Ec
2π / L π h 2
Densità di stati fra E e E+dE per unità di lunghezza del filo:
1 dN n ,m (E) m* 1
−1 −1
ρ n ,m (E)[eV m ] = =
2π 2 h 2 E − E c − E n ,m
L dE
9. 3. Quantum box
La densità di stati è data dal numero di stati che è pari a 2 per ogni livello energetico
discreto possibile, En,m, p, per la degenerazione del livello, (ossia il numero di
combinazioni di n, m, e p che danno lo stesso valore di En,m, p).
π2h 2 ⎛ n 2 m 2 p 2 ⎞
+ 2⎟
⎜+
=
E n ,m ,p
2m * ⎜ d x d y d z ⎟
2
2
⎠
⎝
Riassunto: 32
1 ⎛ 2m ⎞
1 dN(E)
ρ(E )[eV −1m −3 ] = ⎟ (E − E c )
= 2⎜ 12
Bulk 2π ⎝ h ⎠
L3 dE
1 dN n (E) m *
Well ρ n (E)[eV −1m − 2 ] = = 22
πh
2
L dE
1 dN n ,m (E) m* 1
−1 −1
ρ n ,m (E)[eV m ] = =
Wire 2π 2 h 2 E − E c − E n ,m
L dE
10. Riassumendo : dipendenza della DOS dall’energia per diverse dimensionalità
d=1 : nanofilo,
d=2 : strato sottile
d=3 : cristallo di bulk
Per un quantum dot (d=0) la DOS ha un
comportamento a delta:
Energie permesse discrete
13. Eterostrutture
Le buche di potenziale confinano i portatori in 1
dimensione. Sono invece liberi nelle altre due.
Per essere “quantica” la buca deve essere
piuttosto sottile – in genere inferiori a alcune
decine di nm, difficilmente più di 100nm
14. Sistemi confinati: Proprietà Ottiche
Bandgap in un QW:
Eg = Ega + E1(elettrone) + E1(buca)
Il bandgap effettivo è più grande di quello
del materiale del QW. Inoltre può essere
modificato cambiando la larghezza del
pozzo Lz. Il blue shift del bandgap è detto
“quantum size effect”.
Proprietà ottiche:
• La diminuzione della dimensione del materiale nanostrutturato aumenta la
differenza di energia, ΔE, fra i livelli energetici permessi
• Quando un elettrone transisce da uno stato a energia superiore a uno stato a
energia inferiore, viene emesso un fotone di lunghezza d’onda, λ= hc/ΔE
• ΔE maggiori implicano lunghezze d’onda inferiori (“blue shift”)
16. Spettro di emissione
Eg = 2.55eV (10K)
Eg = 2.45eV (300K)
• L’energia di emissione cambia da Eg a
(Eg + Ee1 + Ehh1)
• λ viene modulata cambiando d
• Più intensa che nel bulk per il miglior
overlap elettrone-buca
• Usata nei laser a diodi e per i LED
17. Assorbimento 2-D
• Assorbimento ∝ densità di stati
• Densità di stati costante in 2-D: g2D(E) = m / πħ2
• Soglia ħω > (Eg + Een+ Ehn)
• Band edge spostato a (Eg + Ee1+ Eh1)
18.
19. Transizioni tra sottobande
• Energia di transizione ~ 0.1 eV (~ 10 µm, infrarosso)
• Assorbimento usato per detettori nell’infrarosso
• Emissione usata per laser nell’infrarosso (Quantum cascade
lasers)
