Extended Summary di: F. Frezza, P. Simeoni and N. Tedeschi, “Analytical investigation on a new approach for achieving deep penetration in a lossy medium: The lossy prism”, Journal of Telecommunications and Information Technology (JTIT) - 3/2017.

1. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TRIESTE
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Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Laurea Triennale in Ingegneria Elettronica e Informatica
A.A. 2019-2020
Extended Summary of “Analytical
Investigation on a New Approach for Achieving
Deep Penetration in a Lossy Medium: The
Lossy Prism”
Laureando​:
Jeremy DELLA GIUSTINA
Relatore​:
prof. Giulia BUTTAZZONI
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2. Indice
Introduzione​……………..…………………………………………………………….…..….​2
Nozioni​……………..………………………………………………………………………….​2
1. Classificazione onde piane…………….………………………………………………2
2. Conservazione della componente tangenziale dei campi…………….………………..3
3. Condizione di penetrazione profonda…………....……………………………………3
Il prisma con perdite​……………..…………………………………………..……………....​4
Risultati​……………..…………………………………...……………………………………​6
Conclusioni​……………...…………………...………………………………………………..​6
Bibliografia​……………………………………………….……………..…………………....​6
1

3. Introduzione
La profondità di penetrazione delle onde elettromagnetiche in mezzi dissipativi è un
parametro molto importante in svariati ambiti dell’elettromagnetismo applicato, in particolare nelle
applicazioni Ground Penetrating Radar (GPR).
Una tecnica tipica per aumentare la penetrazione consiste nella riduzione della frequenza operativa,
ma ciò comporta effetti indesiderati come la perdita di risoluzione nelle applicazioni di imaging.
Studi recenti hanno evidenziato un metodo per raggiungere la penetrazione profonda in mezzi
dissipativi senza ricorrere alla riduzione della frequenza operativa, utilizzando onde elettromagnetiche
non uniformi. In particolare, le cosiddette onde Leaky si sono rivelate essere le più adatte.
Questa categoria di onde può essere generata da strutture radianti note come Leaky Wave Antennas
(LWA) e, in opportune condizioni definite in [2], garantiscono la penetrazione profonda se trasmesse
da un mezzo senza perdite ad un mezzo con perdite.
Nell’articolo in esame [1], viene proposto un approccio innovativo puramente teorico che
impiega una struttura dielettrica bidimensionale, denominata prisma con perdite, il quale è in grado di
generare un’onda piana non uniforme che soddisfa la condizione di penetrazione profonda.
Il principio di funzionamento si basa sulla conservazione della componente tangenziale del campo
elettromagnetico al confine planare tra due mezzi.
Lo studio è puramente teorico e mira a fornire idee di base e risultati preliminari utili per un
design di un'antenna Leaky innovativo.
Nozioni
1. CLASSIFICAZIONE DELLE ONDE PIANE
L’onda piana si trova come soluzione dell’equazione di Helmholtz nel caso omogeneo
(assenza di sorgenti), e può essere rappresentata come , dove è un vettore complessoeE = E 0
−jk·r E 0
costante, il vettore posizione e il vettore d’onda esprimibile come sovrapposizione di due vettorir k
reali e , rispettivamente vettore di attenuazione e vettore di fase: . Affinché sia unα β αk = β − j E
campo elettrico devono essere soddisfatte la condizione di separabilità e di divergenza nullak · k = γ2
. Dalla condizione di separabilità è possibile mostrare che il vettore d'onda può assumerek · E 0 = 0
solo determinate configurazioni a seconda della conducibilità del mezzo, ossia:
● Se , mezzo senza perdite:σ = 0
α = 0 onda piana uniforme non attenuata
⊥βα onda piana non uniforme
● Se , mezzo con perdite:σ > 0
// βα onda piana uniforme attenuata
e∦ βα αβ∡ < 2
π
onda piana non uniforme
2

4. 2. CONSERVAZIONE DELLA COMPONENTE TANGENZIALE DEI CAMPI
Nello studio della propagazione del campo elettromagnetico all’interfaccia tra due mezzi
diversi, è essenziale definire delle condizioni al contorno o di continuità, allo scopo di ricavare le
soluzioni del problema, applicando le equazioni di Maxwell in forma differenziale.
Dalle condizioni al contorno, considerando mezzi realistici, caratterizzati cioè da conduttività finita,
deriva l’importante proprietà nota come conservazione della componente tangenziale.
Da questa proprietà consegue che un’onda piana uniforme proveniente da un mezzo senza
perdite provoca un’onda in un mezzo con perdite il cui vettore di attenuazione è normale alla
superficie di separazione, perché non vi è nessuna componente tangenziale dell’onda incidente che
può essere conservata. Se invece l’onda incidente è non uniforme, allora esiste un vettore di
attenuazione la cui componente tangenziale all’interfaccia di separazione deve necessariamente
conservarsi.
3. CONDIZIONE DI PENETRAZIONE PROFONDA
La condizione di penetrazione profonda è stata definita dagli autori in [2], per un’onda Leaky
in arrivo da un mezzo senza perdite, e incidente un mezzo con perdite. In Figura 1 sono mostrati il
vettore d’onda dell’onda incidente e trasmessa , con e gli angoli cheαk1 = β1 − j 1 αk2 = β2 − j 2 ξ1 ζ2
e formano rispettivamente con la normale alla superficie.β1 α2
La teoria sviluppata dimostra che questa condizione si verifica quando il vettore di
attenuazione è parallelo alla superficie di separazione, cioè quando , ed asserisce che i0°ζ2 = 9
requisiti necessari siano:
1. onda incidente non uniforme proveniente da un mezzo senza perdite;
2. incidenza obliqua, in particolare ;5°ξ1 ≤ 4
3. ampiezza del vettore di fase (o del vettore di attenuazione maggiore o uguale a unβ1 )α1
dato valore minimo.
3

5. Il prisma con perdite
Il prisma con perdite è una struttura bidimensionale con due interfacce non parallele, planari e
infinite, il quale suddivide lo spazio in tre strati come rappresentato in Figura 2.
L’obiettivo è la generazione di un'onda piana non uniforme al di là della struttura, ottenuta
illuminando la prima interfaccia con un'onda piana uniforme, e tale da soddisfare i requisiti necessari
per la condizione di penetrazione profonda.
Il funzionamento è particolarmente semplice e si basa sulla conservazione della componente
tangenziale del campo elettromagnetico al confine planare tra due mezzi. Facendo riferimento alla
Figura 3, immaginiamo un’onda piana omogenea caratterizzata da un vettore di fase β1 = k1
proveniente dal mezzo 1 e che urti sull’interfaccia con il mezzo 2 con un angolo . Nel mezzo 2ξ1
(con perdite) l’onda è non uniforme e deve avere necessariamente il vettore di attenuazione α2
normale alla superficie di separazione, perché non vi è nessuna componente tangenziale dell’onda
incidente che può essere conservata. Quando quest’onda raggiunge la superficie di separazione con il
mezzo 3, una componente tangenziale del vettore di attenuazione deve esistere all’interfaccia e deve
essere conservata. Di conseguenza, l’onda trasmessa nel vuoto nel mezzo 3 è anch’essa non uniforme
e caratterizzata da un vettore di fase e un vettore di attenuazione .β3 α3
4

6. Il mezzo 3 non introduce perdite, quindi il valore massimo del vettore attenuazione siα3
ottiene quando è completamente conservato. Questo accade quando , in questo caso ,α2 0°χ = 9 α2
essendo normale alla prima superficie, sarà parallela alla seconda e di conseguenza completamente
conservata. Questa situazione risulta essere la più interessante ed è quella studiata nell’articolo.
Lo studio dimostra che i valori normalizzati dell’ampiezza del vettore di fase eβ3n = k0
β3
β3
del vettore di attenuazione possono essere espressi come:α3n = k0
α3
α3
k0
β3
= 1
√2
√1 +
√1 + [ 2σ2
ωε sin(2ξ )0 3
]
2
k0
α3
= 1
√2
√√1 + [ 2σ2
ωε sin(2ξ )0 3
]
2
− 1
dove è il numero d’onda. Si ha pertanto che l’onda non uniforme generata nel mezzo 3 ha valorik0
e maggiori per valori di più alti. Questo è un risultato importante, perché è sufficienteβ3 α3 σ2
aumentare il valore di per ottenere l’ampiezza desiderata.σ2 β3
Si dimostra inoltre che:
rcsinξ1 = a √ε cos(2ξ ) os ξr2 + β2
3n 3 − c 2
3
dove è la permittività relativa del prisma. Da questa espressione è facile far vedere che anche ilεr2
requisito per l’angolo di radiazione può essere raggiunto. Per questo valore si ottiene la5°ξ3 = 4
condizione , che vale per ogni tale che , quindi può esserercsinξ1 = a √ ε .5r2 − 0 εr2 .5 .50 ≤ εr2 ≤ 1
soddisfatta scegliendo opportunamente il materiale. In particolare se , l’angolo di incidenzaεr2 = 1
risulta essere proprio . In Figura 4 si mostra inoltre come l’angolo di radiazione dipenda5°ξ1 = 4 ξ3
da per valori di quando . Si osserva che all’aumentare di , l’angoloξ1 1.1, 1.8]β3n ∈ [ εr2 = 1 β3n
dipende sempre meno da .ξ3 ξ1
Si può quindi concludere che non rappresenta un problema e può essere sempre5°ξ3 = 4
trovato.
5

7. Fino ad ora sono sempre stati trascurati gli effetti delle
riflessioni prodotte all’interfaccia tra il mezzo 2 e il mezzo 3. Si
dimostra però che per lo scenario studiato il problema non
sussiste.
Facendo riferimento alla struttura di Figura 5,
considerando il caso di incidenza normale sul lato verticale, si
trova che le riflessioni interne, indicate dai percorsi e , e ild2 d3
percorso diretto , dipendono dall’angolo . In particolare sid1 χ
può dimostrare che se , non ritorna mai alla prima5°χ ≥ 4 d2
interfaccia.
È da notare però che maggiore è l’angolo , maggiore èχ
la distanza , quindi anche l’attenuazione dell'onda aumentad1
all’aumentare di . Ne consegue che il prisma deve essereχ
costruito utilizzando un materiale a bassa perdita.
Risultati
Il prisma con perdite ha evidenziato che un valore di conducibilità di pochi mS/m è
sufficiente a garantire una penetrazione maggiore di quella ottenuta con un LWA. In particolare si
dimostra che attraverso un mezzo avente S/m, ad una frequenza di 12 GHz, si ottiene.008σ2 = 0
un'onda non omogenea la cui ampiezza di fase è , mentre un LWA progettato eβ .002823n ≥ 1
ottimizzato per la penetrazione profonda su un mezzo con conducibilità S/m garantisce un.05σ2 = 0
valore di (valore considerato molto alto)..0028β1n = 1
Conclusioni
Sebbene non si possa escludere la possibilità di realizzare un LWA che possa fornire
ampiezze di attenuazione e vettori di fase ancora più elevati, l'approccio innovativo presentato dagli
autori promette di garantire una penetrazione più profonda rispetto a quella ottenibile con le
tradizionali antenne Leaky. In particolare, le ampiezze dei vettori di fase e di attenuazione possono
essere controllate non solo agendo sull'angolo del prisma, ma anche sulla sua conducibilità.
In questo studio preliminare, è stato ipotizzato come eccitazione un un’onda piana uniforme,
mentre studi futuri dovrebbero considerare una struttura di alimentazione o una guida realistica.
Bibliografia
[1] F. Frezza, P. Simeoni and N. Tedeschi, “Analytical investigation on a new approach for achieving
deep penetration in a lossy medium: The lossy prism”, Journal of Telecommunications and
Information Technology (JTIT) - 3/2017.
[2] F. Frezza and N. Tedeschi, “Deeply penetrating waves in lossy media”, Optics Lett., vol. 37, pp.
2616–2618, 2012.
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