1. Tunneling attraverso barriera singola
Consideriamo la probabilità di tunneling attraverso una singola barriera di potenziale.
La barriera di potenziale è descritta da:
>
<<−
−<
=
ax
axaV
ax
xV
,0
,
,0
)(
Per valori dell’energia ε < V la funzione d’onda è:
>ε=+
<<−ε−=κ+
−<ε=+
=ψ
−
κκ−
−
axm2
1
k,GeFe
axa)V(m2
1
,DeCe
axm2
1
k,BeAe
)x(
1
xikxik
xx
1
xikxik
E
11
11
Imponendo la continuità della funzione e della sua derivata in x = –a si ottiene in forma matriciale
−
=
− −
−
−
−
D
C
ee
ee
B
A
eikeik
ee
aa
aa
aikaik
aikaik
κκ
κκ
κκ1
1
1
1
11
moltiplicando a sinistra per l’inversa della matrice M otteniamo:
+
−
−
+
=
−−−
+−+
D
C
e
k
i
e
k
i
e
k
i
e
k
i
B
A
aikaaika
aikaaika
1
1
1
1
1
1
1
1
11
11
2
1
κκ
κκ
κκ
κκ
Analogamente in x = a si ottiene
−
+
+
−
=
−−+−
−+
G
F
e
ik
e
ik
e
ik
e
ik
D
C
aikaaika
aikaaika
1111
1111
11
11
2
1
κκ
κκ
κκ
κκ
Infine sostituendo e moltiplicando le matrici si ha:
2.
κ
γ
−κκ
η
−
κ
η
κ
γ
+κ
=
− G
F
ea2sinh
2
i
a2cosh2sinh
2
i
a2sinh
2
i
ea2sinh
2
i
a2cosh
B
A
ak2i
ak2i
1
1
dove
κ
κ
γ 1
1
k
k
−= e
κ
κ
η 1
1
k
k
+=
Siamo ora in grado di calcolare i coefficienti di trasmissione e riflessione. Supponiamo che da
sinistra provenga un’onda di ampiezza A = 1 e che si ottenga un’onda riflessa di ampiezza B e
un’onda trasmessa di ampiezza F. In questo caso non ci sono onde che provengono da destra e
quindi G = 0.
Si ottiene allora:
1 = F(cosh2κa + iγ/2 sinh2κa)ei2k
1
a
B = -Fiη/2sinh2κa
e quindi ricordando che: cosh x = ½(ex
+ e-x
) e sinh x = ½(ex
- e-x
):
)2(
2
)2cosh(
12
asinh
i
a
e
F
aki
κ
γ
κ +
=
−
)2(
2
)2cosh(
)2(
2
12
asinh
i
a
easinh
i
B
aki
κ
γ
κ
κ
η
+
−
=
−
da cui osservando che 422
−η=γ segue:
T = |F|2
=
)2(
4
)2(cosh 2
2
2
asinha κ
γ
κ +
=
)2(
4
1
1
2
2
asinh κ
η
+
R = |B|2
=
)2(
4
)2(cosh
)2(
4
2
2
2
2
2
asinha
asinh
κ
γ
κ
κ
η
+
=
)2(
4
1
)2(
4
2
2
2
2
asinh
asinh
κ
η
κ
η
+
La condizione R + T = 1 è soddisfatta.
Ricordando che per definizione:
η2
=
)(
22
2
2
1
2
2
2
1
2
1
1
εεε
ε
ε
εκ
κ
κ
κ −
=+
−
+
−
=++=
+
V
VV
Vk
k
k
k
si ottiene:
3. T(ε) =
1
2
2
)2(
)(4
1
−
−
+ asinh
V
V
κ
εε
per ε < V
Nel limite V >> ε e κa >> 1 (barriera larga) dato che sinh(x) = ½[exp(x) – exp(-x)] → ½ exp(x) per
x → ∞ si ottiene
T(ε) ≈ 16 ε/V e-4κa
≈ 16 ε/V e-4a√(2mV/ħ)
Questo indica che il coefficiente di trasmissione decade esponenzialmente al crescere dello spessore
della barriera a come √V.
Nel caso ε > V la funzione d’onda è:
>ε=+
<<−−ε=+
−<ε=+
=ψ
−
−
−
ε
axm2
1
k,GeFe
axa)V(m2
1
k,DeCe
axm2
1
k,BeAe
)x(
1
xikxik
2
xikxik
1
xikxik
11
22
11
Utilizzando il risultato precedente, sostituendo a κ la quantità ik2 e utilizzando l’identità: sinh(ix) =
½ [exp(ix) – exp(-ix)] = i sin(x) si ottiene:
T(ε) =
1
2
2
2
)ak2(sin
)V(4
V
1
−
−εε
+
Quando ε > V la trasmissione aumenta rapidamente. T(ε) → 1 per ε → ∞ (si ha trasmissione
completa). Si ottiene trasmissione completa anche quando si verificano le condizioni di risonanza
(2k2a = nπ).
Matrici di trasferimento e di scattering
La formulazione precedente del calcolo della probabilità di transizione di una barriera è un esempio
del cosiddetto metodo della matrice di trasferimento. In 1D si possono raccogliere le ampiezze
dell’onda a sinistra (AN-1, BN-1) e quella a destra (AN, BN) e collegarle con una matrice detta matrice
di trasferimento MN-1,N
=
−
−
−
N
N
NN
N
N
B
A
M
B
A
,1
1
1
4. In un sistema che contiene N regioni di potenziale si può trovare la connessione fra le ampiezze
della prima e dell’ultima regione applicando successivamente le matrici di trasferimento fra
regioni vicine. Il risultato è:
1
1
B
A
= M1,2M2,3…. MN-2,N-1MN-1,N
N
N
B
A
= M
N
N
B
A
Questa formula può essere usata per calcolare il coefficiente di trasmissione per un potenziale
qualsiasi. Il potenziale dato viene approssimato con l’accuratezza voluta con N potenziali
costanti.
Nelle geometrie di scattering è spesso conveniente lavorare con le matrici di scattering invece che
con quelle di trasferimento. Le matrici di scattering collegano le ampiezze delle onde uscenti dalla
barriera (AN, B1) con quelle entranti (A1, BN)
=
N
N
B
A
S
B
A 1
1
