1. Analytische meetkunde
Bijeenkomst 4

2. Inhoud
1) Enkele opgaven week 3
2) Hoofdstuk 4: Cirkels
i. 4.4: Raaklijnen uit een punt buiten de cirkel (opgave 4.11)
ii. 4.5: Pool en poollijn (opgave 4.12 t/m 4.14)
iii. 4.6: De macht van een punt ten opzichte van een cirkel (opgave 4.15 t/m 4.20)
iv. 4.7: Gemengde opgaven (opgave 4.23 en 4.24)

3. Opgaven week 3
Opgave 4.2 (hint)
Twee mogelijkheden:
(i) Drie punten invullen in vergelijking van cirkel, dan ontstaan er drie
vergelijkingen voor de drie onbekenden 𝑎, 𝑏 en 𝑟.
(ii) Of middelpunt uitrekenen met behulp van de stelling: Middelloodlijnen van
een driehoek van koorden snijden elkaar in het middelpunt van de cirkel.
Opgave 4.3 (hint; een goede schets is hier wel handig)
Nuttige stelling: middelpunt van ingeschreven cirkel is snijpunt van de deellijnen.
Bepaal het middelpunt van de cirkel als snijpunt van twee deellijnen (ieder
tweetal kan hiervoor gekozen worden).
De straal volgt vervolgens als afstand van middelpunt tot een zijde (iedere zijde
kan gekozen worden). Gebruik hiervoor bv. de formule uit paragraaf 2.6.

4. Opgaven week 3
Opgave 4.5c) (hint)
Dit kan formeel door de vergelijking van de lijn in de vergelijking van de cirkel in
te vullen. Dan ontstaat er een kwadratische vergelijking waarvan het aantal
nulpunten met behulp van de discriminant is te bepalen.
Opgave 4.8
Zie dia 8 van week 3.
Opgave 4.10
‘Eerlijk delen’ toepassen (zie evt. dia 9 van week 3).

5. Raaklijnen uit een punt buiten de cirkel
Uitgangspunt
Een cirkel 𝐶: 𝑥 − 𝑎 2
+ 𝑦 − 𝑏 2
= 𝑟2
en een punt 𝑃(𝑥0, 𝑦0).
Doel
Bepaal de raaklijnen aan 𝐶 door het punt 𝑃.
Strategie
i. Vergelijking raaklijn: 𝑦 = 𝑚 𝑥 − 𝑥0 + 𝑦0 (𝑚 onbekend).
ii. Substitueer deze vergelijking in vergelijking van cirkel en er ontstaat een
kwadratische vergelijking in 𝑥.
iii. Stel discriminant van deze kwadratische vergelijking gelijk aan nul en los
hieruit 𝑚 op.
Alternatieve strategie
Los 𝑚 op uit
|𝑚𝑎−𝑏−𝑚𝑥0+𝑦0|
𝑚2+1
= 𝑟. (waarom is dit correct?)

6. Een raaklijn in een gegeven punt (herhaling)
Uitgangspunt
Cirkel met vergelijking 𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2 = 𝑟2 en een punt 𝑃(𝑥0, 𝑦0).
Doel
Bepaal de raaklijn aan de cirkel door het punt 𝑃(𝑥0, 𝑦0).
Oplossing (eerlijk delen)
(𝑥0−𝑎)(𝑥 − 𝑎) + (𝑦0−𝑏)(𝑦 − 𝑏) = 𝑟2

7. Poollijn
Definitie
Gegeven een cirkel 𝐶: 𝑥 − 𝑎 2
+ 𝑦 − 𝑏 2
= 𝑟2
en een punt 𝑃(𝑥0, 𝑦0) buiten de
cirkel. De poollijn van punt 𝑃 ten opzichte van 𝐶 is de lijn door de punten waar de
raaklijnen uit 𝑃 de cirkel raken. Het punt 𝑃 heet de pool van de lijn ten opzichte
van 𝐶.
Stelling
De poollijn heeft vergelijking (𝑥0−𝑎)(𝑥 − 𝑎) + (𝑦0−𝑏)(𝑦 − 𝑏) = 𝑟2
.
Bewijs
Laat 𝐴(𝑥1, 𝑦1) en 𝐵(𝑥2, 𝑦2) de snijpunten zijn van de cirkel met de poollijn. Voor
beide punten volgt uit de vergelijking van de raaklijnen aan de cirkel dat
(𝑥1−𝑎)(𝑥0 − 𝑎) + (𝑦1−𝑏)(𝑦0 − 𝑏) = 𝑟2
(𝑥2−𝑎)(𝑥0 − 𝑎) + (𝑦2−𝑏)(𝑦0 − 𝑏) = 𝑟2
Kennelijk voldoen beide punten de gegeven vergelijking. Dit betekent dat deze
vergelijking hoort bij de lijn door 𝐴 en 𝐵.

8. Poollijn
Stelling (opgave 4.14)
Als het punt 𝑄 op poollijn van 𝑃 ten opzichte van 𝐶 ligt, dan ligt 𝑃 op de
poollijn van 𝑄 ten opzichte van 𝐶.
Bewijs
De poollijn van 𝑃(𝑥0, 𝑦0) heeft vergelijking
(𝑥0−𝑎)(𝑥 − 𝑎) + (𝑦0−𝑏)(𝑦 − 𝑏) = 𝑟2
Omdat 𝑄 𝑥1, 𝑦1 hierop ligt geldt dus
(𝑥0−𝑎)(𝑥1 − 𝑎) + (𝑦0−𝑏)(𝑦1 − 𝑏) = 𝑟2
Ofwel
(𝑥1−𝑎)(𝑥0 − 𝑎) + (𝑦1−𝑏)(𝑦0 − 𝑏) = 𝑟2
Maar hier staat nu juist dat 𝑃 ligt op de poollijn van 𝑄.

9. De macht van een punt ten opzichte van een cirkel
Definities
Gegeven een punt 𝑃 en een cirkel met middelpunt 𝑀 en straal 𝑟, dan heet
het getal 𝑃𝑀 2 − 𝑟2 de macht van 𝑃 ten opzichte van de cirkel.
De verzameling punten die dezelfde macht hebben ten opzichte van twee
cirkels heet de machtlijn van de twee cirkels (opgave 4.18 en 4.19)
Het punt waarvoor de machten ten opzichte van drie cirkels gelijk zijn heet
het machtpunt van de drie cirkels.