プログラマのための線形代数再入門2 〜要件定義から学ぶ行列式と逆行列

1. プログラマのための線形代数再入門 2 ∼要件定義から学ぶ行列式と逆行列∼ @taketo1024 2015/03/27 第2回プログラマのための数学勉強会

2. 今回の目標ただの計算地獄だった行列式と逆行列をシステム開発の文脈で説明し直し、プログラマが納得して使えるようになること。

3. 行列式 (determinant)

4. 行列式 (determinant) A = ✓ 1 2 3 4 ◆

5. 行列式 (determinant) A = ✓ 1 2 3 4 ◆ detA = 1 2 3 4 = 1 · 4 2 · 3

6. 行列式 (determinant) A = ✓ 1 2 3 4 ◆ detA = 1 2 3 4 = 1 · 4 2 · 3 +

7. 行列式 (determinant) A = ✓ 1 2 3 4 ◆ detA = 1 2 3 4 = 1 · 4 2 · 3 -

8. 行列式 (determinant) A = ✓ 1 2 3 4 ◆ detA = 1 2 3 4 = 1 · 4 2 · 3 = 2

9. 行列式 (determinant) A = 0 @ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 A

10. 行列式 (determinant) A = 0 @ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 A detA = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 1 · 5 · 9 + 2 · 6 · 7 + 3 · 4 · 8 3 · 5 · 7 2 · 4 · 9 1 · 6 · 8

17. 行列式 (determinant) A = 0 @ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 A detA = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 1 · 5 · 9 + 2 · 6 · 7 + 3 · 4 · 8 3 · 5 · 7 2 · 4 · 9 1 · 6 · 8 = 0

18. 行列式 (determinant) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

19. 行列式 (determinant) = 1 · 6 · 11 · 16 1 · 6 · 12 · 15 + 1 · 7 · 12 · 14 1 · 7 · 10 · 16 + 1 · 8 · 11 · 14 1 · 8 · 10 · 15 +2 · 5 · 12 · 15 2 · 5 · 11 · 16 + 2 · 7 · 9 · 16 2 · 7 · 12 · 13 + 2 · 8 · 11 · 13 2 · 8 · 9 · 15 +3 · 5 · 10 · 16 3 · 5 · 12 · 14 + 3 · 6 · 12 · 13 3 · 6 · 9 · 16 + 3 · 8 · 9 · 14 3 · 8 · 10 · 13 +4 · 5 · 10 · 15 4 · 5 · 11 · 14 + 4 · 6 · 9 · 15 4 · 6 · 11 · 13 + 4 · 7 · 10 · 13 4 · 7 · 9 · 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 !?

20. 人間がやるべき計算じゃない  （コンピュータのある時代でよかった）

21. 計算は機械がやればいいが、これが何なのかは分かっておきたい。

22. プログラマの「理解」の３層構造 • 要件が分かる：何のためのものなのか • 仕様が分かる：何を与えると何が返ってくるのか • 実装が分かる：どのように動いているのかプログラマはこの３つがってはじめて「分かった」と言える。

23. 1. 行列式の「要件」

24. (復習) 行列は線形変換の定量表現 ✓ x y ◆ x ✓ 1 0 ◆ y ✓ 0 1 ◆ f y ✓ bx by ◆ x ✓ ax ay ◆ f ✓ x y ◆ = ✓ ax bx ay by ◆ ✓ x y ◆

25. (復習) 等倍・偏倍変換 A = ✓ a 0 0 b ◆ ✓ 1 0 ◆ ✓ 0 1 ◆ f ✓ a 0 ◆ ✓ 0 b ◆

26. (復習) 回転 A = ✓ cos✓ sin✓ sin✓ cos✓ ◆ ✓ 1 0 ◆ ✓ 0 1 ◆ f ✓ cos ✓ sin ✓ ◆ ✓ sin ✓ cos ✓ ◆

27. (復習) 反転 A = ✓ 1 0 0 1 ◆ ✓ 1 0 ◆ ✓ 0 1 ◆ f ✓ 0 1 ◆ ✓ 1 0 ◆

28. (復習) 正射影 A = ✓ 1 0 0 0 ◆ ✓ 1 0 ◆ ✓ 0 1 ◆ f ✓ 1 0 ◆

29. ✓ 1 0 ◆ ✓ 0 1 ◆ ✓ a 0 ◆ ✓ 0 b ◆ ✓ cos ✓ sin ✓ ◆ ✓ sin ✓ cos ✓ ◆ ✓ 0 1 ◆ ✓ 1 0 ◆ ✓ 1 0 ◆ f 変換の特徴を表す 1次元の量を考えたい特に潰れるかどうかを判別したい

30. 潰れると元に戻せない！ ✓ 1 0 ◆ ✓ 0 1 ◆ ✓ 1 0 ◆ f ✓ 1 0 ◆ ✓ 0 1 ◆ f f 1 ？同じように潰れてしまう復元できない！

31. 行列式の「要件」 • n次元の線形変換は n次正方行列 (n2 個の数) で表される。 • 線形変換の特徴を 1次元の量によって表したい。 • 特に「潰れてしまう」かどうかを判別したい。 n次正方行列 A detAの行列式A （1次元の量）

32. 2. 行列式の「仕様」

33. 変換後の面積と向きに注目！

34. ✓ 1 0 ◆ ✓ 0 1 ◆ ✓ a 0 ◆ ✓ 0 b ◆ ✓ cos ✓ sin ✓ ◆ ✓ sin ✓ cos ✓ ◆ ✓ 0 1 ◆ ✓ 1 0 ◆ ✓ 1 0 ◆ f 面積 ab 倍面積同じ面積同じ面積 0

35. ✓ 1 0 ◆ ✓ 0 1 ◆ ✓ a 0 ◆ ✓ 0 b ◆ ✓ cos ✓ sin ✓ ◆ ✓ sin ✓ cos ✓ ◆ ✓ 0 1 ◆ ✓ 1 0 ◆ ✓ 1 0 ◆ f 表向き表向き裏向き向きなし

36. ✓ 1 0 ◆ ✓ 0 1 ◆ ✓ a 0 ◆ ✓ 0 b ◆ ✓ cos ✓ sin ✓ ◆ ✓ sin ✓ cos ✓ ◆ ✓ 0 1 ◆ ✓ 1 0 ◆ ✓ 1 0 ◆ f detA = ab detA = 1 detA = -1 detA = 0

37. detA ＝「面積の倍率向き」 ✓ x y ◆ x ✓ 1 0 ◆ y ✓ 0 1 ◆ f y ✓ bx by ◆ x ✓ ax ay ◆ f ✓ x y ◆ = ✓ ax bx ay by ◆ ✓ x y ◆

38. 3次元（さらに高次元）の場合、 det A = 体積の倍率向き f 0 @ ax ay az 1 A 0 @ bx by bz 1 A 0 @ cx cy cz 1 A 右手系 → 左手系の場合 detA < 0

39. 行列式の「仕様」 detA > 0 = 0 < 0 … 向きを保ち、体積 detA 倍 … 潰れる … 向きを変えて、体積 -detA 倍

40. 3. 行列式の「実装」

41. 「n2 次元 → 1次元」の関数を一発で出すのは難しい

42. 複雑なものは簡単なものの組み合わせに（設計の基本！）

43. 1) det E = 1 ✓ 1 0 ◆ ✓ 0 1 ◆ ✓ 1 0 ◆ ✓ 0 1 ◆ E = ✓ 1 0 0 1 ◆ id detE = 1 1 0 0 1 = 1

44. 2) det(b, a) = -det(a, b) ✓ 1 0 ◆ ✓ 0 1 ◆ ✓ 1 0 ◆ ✓ 0 1 ◆ A = ✓ 0 1 1 0 ◆ 裏向き f det(b, a) = det(a, b) 0 1 1 0 = 1 0 0 1 = 1

45. det(a1 + a2, b) = det(a1, b) + det(a2, b), det(k・a, b) = k・det(a, b) ✓ 1 0 ◆ ✓ 0 1 ◆ f 3) det(ka, b) = k · det(a, b) A = ✓ 2 0 0 1 ◆ ✓ 0 1 ◆ ✓ 2 0 ◆ 2 0 0 1 = 2 · 1 0 0 1 = 2 det(a1 + a2, b) = det(a1, b) + det(a2, b)

46. 実はこれが行列式の全て！ detE = 1 det(b, a) = det(a, b) det(ka, b) = k · det(a, b) 1) 2) 3) (交代性) (多重線形性) det(a1 + a2, b) = det(a1, b) + det(a2, b)

47. 1) ∼ 3) から導かれる便利な性質 4) 5) det(a, a) = 0 det(a kb, b) = det(a, b)

48. 計算してみよう！

49. 1 2 3 4

50. 1 2 3 4

51. 1 2 3 4 = 1 2 0 4 + 0 2 3 4 3)

52. 1 2 3 4 = 1 2 0 4 + 0 2 3 4

53. 1 2 3 4 = 1 2 0 4 + 0 2 3 4 = 1 2 0 0 + 1 0 0 4 + 0 2 3 0 + 0 0 3 4 3)

54. 1 2 3 4 = 1 2 0 4 + 0 2 3 4 = 0 = 0 = 1 2 0 0 + 1 0 0 4 + 0 2 3 0 + 0 0 3 4 4)

55. 1 2 3 4 = 1 2 0 4 + 0 2 3 4 = 1 2 0 0 + 1 0 0 4 + 0 2 3 0 + 0 0 3 4 = 4 1 0 0 1 + 2 · 3 0 1 1 0 3)

56. 1 2 3 4 = 1 2 0 4 + 0 2 3 4 = 1 2 0 0 + 1 0 0 4 + 0 2 3 0 + 0 0 3 4 = 4 1 0 0 1 + 2 · 3 0 1 1 0 = 4 1 0 0 1 2 · 3 1 0 0 1 2)

57. 1 2 3 4 = 1 2 0 4 + 0 2 3 4 = 1 2 0 0 + 1 0 0 4 + 0 2 3 0 + 0 0 3 4 = 4 1 0 0 1 + 2 · 3 0 1 1 0 = 4 1 0 0 1 2 · 3 1 0 0 1 = 1 = 11)

58. 1 2 3 4 = 1 2 0 4 + 0 2 3 4 = 1 2 0 0 + 1 0 0 4 + 0 2 3 0 + 0 0 3 4 = 4 1 0 0 1 + 2 · 3 0 1 1 0 = 4 1 0 0 1 2 · 3 1 0 0 1 = 2

59. 1 2 3 4 5 6 7 8 9

60. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 1 · 5 · 9 1 0 0 0 1 0 0 0 1 + 1 · 6 · 8 1 0 0 0 0 1 0 1 0 +2 · 4 · 9 0 1 0 1 0 0 0 0 1 + 2 · 6 · 7 0 1 0 0 0 1 1 0 0 +3 · 4 · 8 0 0 1 1 0 0 0 1 0 + 3 · 5 · 7 0 0 1 0 1 0 1 0 0

61. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 1 · 5 · 9 1 0 0 0 1 0 0 0 1 + 1 · 6 · 8 1 0 0 0 0 1 0 1 0 +2 · 4 · 9 0 1 0 1 0 0 0 0 1 + 2 · 6 · 7 0 1 0 0 0 1 1 0 0 +3 · 4 · 8 0 0 1 1 0 0 0 1 0 + 3 · 5 · 7 0 0 1 0 1 0 1 0 0 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1

62. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 1 · 5 · 9 1 0 0 0 1 0 0 0 1 + 1 · 6 · 8 1 0 0 0 0 1 0 1 0 +2 · 4 · 9 0 1 0 1 0 0 0 0 1 + 2 · 6 · 7 0 1 0 0 0 1 1 0 0 +3 · 4 · 8 0 0 1 1 0 0 0 1 0 + 3 · 5 · 7 0 0 1 0 1 0 1 0 0 = 1 · 5 · 9 1 · 6 · 8 +2 · 6 · 7 2 · 4 · 9 +3 · 4 · 8 3 · 5 · 7 = 0

63. 行列式計算のアルゴリズム 1. 各行から列が重複しないように成分を取り出して掛ける 2. 残った 0, 1 だけの行列式を計算する（偶数回の交代で単位行列になる場合 1、奇数回の場合 -1） 3. これらの取り出し方の全パターンを足し合わせる

64. アルゴリズムを数式にすると… detA = X 2Sn Y i ai, (i) . . . . . . . . .

65. detA = X 2Sn Y i ai, (i) . . . . . . . . . アルゴリズムを数式にすると… A の i 行から取り出した成分

66. detA = X 2Sn Y i ai, (i) . . . . . . . . . 各行に渡る成分の積アルゴリズムを数式にすると…

67. detA = X 2Sn Y i ai, (i) . . . . . . . . . 残った 0, 1 だけの行列式アルゴリズムを数式にすると…

68. detA = X 2Sn Y i ai, (i) . . . . . . . . . 並べ替えの全パターンの総和アルゴリズムを数式にすると…

69. アルゴリズムを数式にすると… detA = X 2Sn Y i ai, (i) . . . . . . . . .

70. detA = X 2Sn Y i ai, (i) . . . . . . . . . = X 2Sn Y i ai, (i)sgn( ) アルゴリズムを数式にすると… 並べ替えの「符号」（偶数回: 1, 奇数回: -1）

71. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 1 · 5 · 9 1 0 0 0 1 0 0 0 1 + 1 · 6 · 8 1 0 0 0 0 1 0 1 0 +2 · 4 · 9 0 1 0 1 0 0 0 0 1 + 2 · 6 · 7 0 1 0 0 0 1 1 0 0 +3 · 4 · 8 0 0 1 1 0 0 0 1 0 + 3 · 5 · 7 0 0 1 0 1 0 1 0 0 detA = X 2Sn Y i ai, (i)sgn( ) 同じ式に見えるかな？

72. これが行列式の「定義」として数学の本に出てくる

73. 理解すべき原理はこっち： detE = 1 det(b, a) = det(a, b) det(ka, b) = k · det(a, b) 1) 2) 3) (交代性) (多重線形性) det(a1 + a2, b) = det(a1, b) + det(a2, b)

74. 出発点はシンプルな方が良い

75. 宿題: 行列と行列式を好きな言語で実装してみましょう

76. 行列式の展開

77. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 1 · 5 · 9 1 0 0 0 1 0 0 0 1 + 1 · 6 · 8 1 0 0 0 0 1 0 1 0 +2 · 4 · 9 0 1 0 1 0 0 0 0 1 + 2 · 6 · 7 0 1 0 0 0 1 1 0 0 +3 · 4 · 8 0 0 1 1 0 0 0 1 0 + 3 · 5 · 7 0 0 1 0 1 0 1 0 0

78. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 1 · 5 · 9 1 0 0 0 1 0 0 0 1 + 1 · 6 · 8 1 0 0 0 0 1 0 1 0 +2 · 4 · 9 0 1 0 1 0 0 0 0 1 + 2 · 6 · 7 0 1 0 0 0 1 1 0 0 +3 · 4 · 8 0 0 1 1 0 0 0 1 0 + 3 · 5 · 7 0 0 1 0 1 0 1 0 0

79. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 1 0 @5 · 9 1 0 0 0 1 0 0 0 1 + 6 · 8 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 A +2 0 @4 · 9 0 1 0 1 0 0 0 0 1 + 6 · 7 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 A +3 0 @4 · 8 0 0 1 1 0 0 0 1 0 + 5 · 7 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 A

80. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 1 0 @5 · 9 1 0 0 0 1 0 0 0 1 + 6 · 8 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 A +2 0 @4 · 9 0 1 0 1 0 0 0 0 1 + 6 · 7 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 A +3 0 @4 · 8 0 0 1 1 0 0 0 1 0 + 5 · 7 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 A

81. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 1 ✓ 5 · 9 1 0 0 1 + 6 · 8 0 1 1 0 ◆ 2 ✓ 4 · 9 1 0 0 1 + 6 · 7 0 1 1 0 ◆ +3 ✓ 4 · 8 1 0 0 1 + 5 · 7 0 1 1 0 ◆

82. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 1 ✓ 5 · 9 1 0 0 1 + 6 · 8 0 1 1 0 ◆ 2 ✓ 4 · 9 1 0 0 1 + 6 · 7 0 1 1 0 ◆ +3 ✓ 4 · 8 1 0 0 1 + 5 · 7 0 1 1 0 ◆

83. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 1 ✓ 5 · 9 1 0 0 1 + 6 · 8 0 1 1 0 ◆ 2 ✓ 4 · 9 1 0 0 1 + 6 · 7 0 1 1 0 ◆ +3 ✓ 4 · 8 1 0 0 1 + 5 · 7 0 1 1 0 ◆ = 1 5 6 8 9 2 4 6 7 9 + 3 4 5 7 8

84. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 1 ✓ 5 · 9 1 0 0 1 + 6 · 8 0 1 1 0 ◆ 2 ✓ 4 · 9 1 0 0 1 + 6 · 7 0 1 1 0 ◆ +3 ✓ 4 · 8 1 0 0 1 + 5 · 7 0 1 1 0 ◆ = 1 5 6 8 9 2 4 6 7 9 + 3 4 5 7 8 … 第1行で展開

85. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 1 · 5 · 9 1 0 0 0 1 0 0 0 1 + 1 · 6 · 8 1 0 0 0 0 1 0 1 0 +2 · 4 · 9 0 1 0 1 0 0 0 0 1 + 2 · 6 · 7 0 1 0 0 0 1 1 0 0 +3 · 4 · 8 0 0 1 1 0 0 0 1 0 + 3 · 5 · 7 0 0 1 0 1 0 1 0 0 くくり出し方を変えれば、任意の行・列で展開できる = 2 4 6 7 9 + 5 1 3 7 9 8 1 3 4 6

86. n次行列式は (n-1) 次行列式の和に展開できる → 再帰呼び出しでも実装できる（宿題）

87. そして逆行列

88. ✓ 1 0 ◆ ✓ 0 1 ◆ ✓ a 0 ◆ ✓ 0 b ◆ ✓ cos ✓ sin ✓ ◆ ✓ sin ✓ cos ✓ ◆ ✓ 0 1 ◆ ✓ 1 0 ◆ ✓ 1 0 ◆ f 逆行列：逆変換に対応する行列 f 1 A 1 = ✓ cos( ✓) sin( ✓) sin( ✓) cos( ✓) ◆ A 1 = ✓ 1/a 0 0 1/b ◆ A 1 = ✓ 1 0 0 1 ◆ 逆変換なし！

89. A = 0 @ 1 2 3 1 0 1 2 1 2 1 A

90. A = 0 @ 1 2 3 1 0 1 2 1 2 1 A 0 @ x y z 1 A 0 @ x + 2y + z x z 2x + y 2z 1 A A 1 det A 0 であれば、逆行列 A-1 は取れるはず。 A 1 A = E AA 1 = E

91. やってみましょう。（トリッキーなことをします）

92. 1 2 3 1 0 1 2 1 2 = 1 0 1 1 2 2 1 1 2 2 + 3 1 0 2 1 = 4 第1行で展開

93. 1 2 3 1 0 1 2 1 2 = 1 0 1 1 2 2 1 1 2 2 + 3 1 0 2 1 = 4 1 0 1 1 0 1 2 1 2 = 1 0 1 1 2 0 1 1 2 2 1 1 0 2 1 2行目を1行目にコピペ

94. 1 2 3 1 0 1 2 1 2 = 1 0 1 1 2 2 1 1 2 2 + 3 1 0 2 1 = 4 1 0 1 1 0 1 2 1 2 = 1 0 1 1 2 0 1 1 2 2 1 1 0 2 1 = 0

95. 1 2 3 1 0 1 2 1 2 = 1 0 1 1 2 2 1 1 2 2 + 3 1 0 2 1 = 4 1 0 1 1 0 1 2 1 2 = 1 0 1 1 2 0 1 1 2 2 1 1 0 2 1 = 0 同じ行が並んでいるので計算するまでもなく 0

96. 1 2 3 1 0 1 2 1 2 = 1 0 1 1 2 2 1 1 2 2 + 3 1 0 2 1 = 4 1 0 1 1 0 1 2 1 2 = 1 0 1 1 2 0 1 1 2 2 1 1 0 2 1 2 1 2 1 0 1 2 1 2 = 2 0 1 1 2 1 1 1 2 2 2 1 0 2 1 = 0 = 03行目を1行目にコピペ

97. 1 2 3 1 0 1 2 1 2 = 1 0 1 1 2 2 1 1 2 2 + 3 1 0 2 1 = 4 1 0 1 1 0 1 2 1 2 = 1 0 1 1 2 0 1 1 2 2 1 1 0 2 1 2 1 2 1 0 1 2 1 2 = 2 0 1 1 2 1 1 1 2 2 2 1 0 2 1 = 0 = 0

98. 1 2 3 1 0 1 2 1 2 = 1 0 1 1 2 2 1 1 2 2 + 3 1 0 2 1 = 4 1 0 1 1 0 1 2 1 2 = 1 0 1 1 2 0 1 1 2 2 1 1 0 2 1 2 1 2 1 0 1 2 1 2 = 2 0 1 1 2 1 1 1 2 2 2 1 0 2 1 = 0 = 0 Aの要素が並んでいる…

99. 1 2 3 1 0 1 2 1 2 = 1 0 1 1 2 2 1 1 2 2 + 3 1 0 2 1 = 4 1 0 1 1 0 1 2 1 2 = 1 0 1 1 2 0 1 1 2 2 1 1 0 2 1 2 1 2 1 0 1 2 1 2 = 2 0 1 1 2 1 1 1 2 2 2 1 0 2 1 = 0 = 0 縦には同じ行列式…これは…！

100. ドーン！ 0 @ 1 2 3 1 0 1 2 1 2 1 A 0 B B B B B B B B B B @ 0 1 1 2 1 1 2 2 1 0 2 1 1 C C C C C C C C C C A = 0 @ 4 0 0 1 A

101. 同じことを第2行、第3行でもやる。

102. ドドーン！ 0 @ 1 2 3 1 0 1 2 1 2 1 A 0 B B B B B B B B B B @ 2 3 1 2 1 3 2 2 1 2 2 1 1 C C C C C C C C C C A = 0 @ 0 4 0 1 A 0 @ 1 2 3 1 0 1 2 1 2 1 A 0 B B B B B B B B B B @ 2 3 0 1 1 3 1 1 1 2 1 0 1 C C C C C C C C C C A = 0 @ 0 0 4 1 A

103. 全部合わせて… 0 @ 1 2 3 1 0 1 2 1 2 1 A 0 B B B B B B B B B B @ 0 1 1 2 1 1 2 2 1 0 2 1 1 C C C C C C C C C C A = 0 @ 4 0 0 1 A 0 @ 1 2 3 1 0 1 2 1 2 1 A 0 B B B B B B B B B B @ 2 3 1 2 1 3 2 2 1 2 2 1 1 C C C C C C C C C C A = 0 @ 0 4 0 1 A 0 @ 1 2 3 1 0 1 2 1 2 1 A 0 B B B B B B B B B B @ 2 3 0 1 1 3 1 1 1 2 1 0 1 C C C C C C C C C C A = 0 @ 0 0 4 1 A

104. Enter the Matrix… 0 @ 1 2 3 1 0 1 2 1 2 1 A 0 B B B B B B B B B B @ 0 1 1 2 2 3 0 1 2 3 0 1 1 1 2 2 1 3 2 2 1 3 1 1 1 0 2 1 1 2 2 1 1 2 1 0 1 C C C C C C C C C C A = 0 @ 4 0 0 0 4 0 0 0 4 1 A

105. 両辺 detA = 4 で割れば… 0 @ 1 2 3 1 0 1 2 1 2 1 A 0 B B B B B B B B B B @ 0 1 1 2 2 3 0 1 2 3 0 1 1 1 2 2 1 3 2 2 1 3 1 1 1 0 2 1 1 2 2 1 1 2 1 0 1 C C C C C C C C C C A = 0 @ 4 0 0 0 4 0 0 0 4 1 A detA = 4

106. できあがり！ 0 @ 1 2 3 1 0 1 2 1 2 1 A · 1 detA 0 B B B B B B B B B B @ 0 1 1 2 2 3 0 1 2 3 0 1 1 1 2 2 1 3 2 2 1 3 1 1 1 0 2 1 1 2 2 1 1 2 1 0 1 C C C C C C C C C C A = 0 @ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 A = A 1 = 1 4 0 @ 1 7 1 0 8 4 1 3 2 1 A

107. n次行列の場合も全く同じ（宿題ってことで）

108. 高次元の計算にはもっと効率的な方法がある • 余因子行列による方法 … O(n3) • 掃き出し法 … O(n2) • LU分解 … O(n2) • …

109. まとめ • 行列式は線形変換の特徴を表す1次元の量 • detA 0 のとき、逆変換が作れる • 計算は機械に任せよう（仕組みが分かってれば良い）

110. 行列式の原理： detE = 1 det(b, a) = det(a, b) det(ka, b) = k · det(a, b) 1) 2) 3) (交代性) (多重線形性) det(a1 + a2, b) = det(a1, b) + det(a2, b)

111. 線形変換は多変数の変換のうち最も単純なもの。ホントは逆変換が一発で求められること自体ありがたい。

112. プログラマのための線形代数再入門 3 ∼基底変換、固有値、そしてその先∼ 次回予告：

113. Thanks! Twitter: @taketo1024  Blog: http://taketo1024.hateblo.jp 0 @ 1 2 3 1 0 1 2 1 2 1 A · 1 detA 0 B B B B B B B B B B @ 0 1 1 2 2 3 0 1 2 3 0 1 1 1 2 2 1 3 2 2 1 3 1 1 1 0 2 1 1 2 2 1 1 2 1 0 1 C C C C C C C C C C A = 0 @ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 A

プログラマのための線形代数再入門2 〜要件定義から学ぶ行列式と逆行列

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