Trabajo o Presentaciones de Matemática III, sobre la derivación e integración de funciones de varias variables.

1. Instituto Universitario Politécnico
“Santiago Mariño”
Sede Barcelona
Faculta de Arquitectura
Barcelona, Enero de 2021
DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Realizado por:
Leonardo E. Villalobos R.
C.I. N° V-24.800.767
Profesor:
Pedro Beltrán

2. INDICE
Limite y Continuidad de una Función en el Espacio R3
Derivación de Funciones de Varias Variables en R3
Derivadas Parciales
Diferenciación Total
Gradiente
Divergencia y Rotor
Plano Tangente y Recta Normal
1
2
3
4
5
6
7

3. INTRODUCCIÓN
En este apartado se estudia el concepto de límite de una función de varias variables y
algunas de las técnicas utilizadas en su cálculo. Después, basándose en este concepto,
se establece la definición de función continua y cómo estudiar la continuidad de una
función de varias variables. En principio se comienza con campos escalares y después se
extiende la definición a los campos vectoriales
Además de ser imprescindible en muchas otras materias, como la teoría de la
probabilidad, el análisis de Fourier, las ecuaciones diferenciales y funcionales, etc.
Además de los teoremas de integración reiterada y del cambio de variables para
integrales múltiples, se desarrollan otros temas, como la integración de funciones
dependientes de parámetros y las integrales de línea y superficie. Con el fin de adecuar
los temas a los conocimientos de los alumnos a los que va dirigido el libro, se
compaginan los conceptos teóricos con las demostraciones prácticas, reelaborando
muchas de las pruebas y distribuyendo los temas de forma que sean más cómodos de
estudiar.

4. LIMITES Y CONTUINIDAD DE UNA FUNCIÓN EN EL ESPACIO
R3
Antes de comenzar con los campos escalares conviene recordar la definición de límite en
Un punto de una función real de variable real y = f (x) de la forma:
f :D⊂ ℝ→ℝ
donde D=(a,b) es un intervalo abierto.
En este contexto se dice que dado x0 ∈D∪ {a,b} el límite de la función y = f (x), cuando x tiende a 0
x , es L si ∀ε > 0 existe δ > 0 tal que ∀x ∈D con 0 x ≠ x y tal que | − |< δ 0
x x se tenga
que | f (x) − L |< ε .
Durante el presente tema, consideraremos ℝ 3 con sus correspondientes métricas euclídeas 𝑑 que ya
hemos introducido en el primer tema de la asignatura:
𝑑 ∶ ( ‫ܠ‬
,
‫ܡ‬
)
∈
ℝ
3
×
ℝ
3
⟶ 𝑑( ‫ܠ‬
,
‫ܡ‬
)
=
‖
‫ܠ‬
−
‫ܡ‬
‖
=
√
(
‫ݔ‬
1
−
‫ݕ‬
1
)
2
+
(
‫ݔ‬
2
−
‫ݕ‬
2
)
2
+
(
‫ݔ‬
3
−
‫ݕ‬
3
)
1

5. PROBLEMAS
NOTAS:
1ª. Se destaca que esta definición de límite está basada en la idea “topológica” de
proximidad, entre los valores de la variable x con 0 x y los de la función f (x) con L.
2ª. También es valioso darse cuenta de que esta definición no proporciona ningún
método para calcular el límite de una función en un punto. La definición sirve, no
obstante, para verificar si dicho límite tiene un valor de terminado.
3ª. También se debe destacar que en el límite de una función en un punto 0 x no influye
el valor ( ) 0 f x de la función en dicho punto.
Para extender este concepto a un campo escalar es necesario ampliar la idea de
proximidad en el conjunto ℝ al espacio ℝ𝑛 Para ello se introduce la definición de bola
abierta en ℝ𝑛 (que equivale al concepto de entrono de un punto en ℝ)

6. Casos Particulares:
Si n = m = 1, f : A ⊂ R → R es una función real de variable real.
Si n > 1, m = 1, f : A ⊂ R n → R es una función real de n variables o de variable vectorial.
Si n = 1, m > 1, f : A ⊂ R → R m es una función vectorial de variable real.
Si n > 1, m > 1, f : A ⊂ R n → R m es una función vectorial de variable vectorial.
Si n = m = 1, f : A ⊂ R → R Gráfica de f : (x, y) ∈ R 2/y = f(x)
Si n > 1, m = 1, f : A ⊂ R n → R Gráfica de f : (x1, x2, · · · , xn, y) ∈ R n+1/y = f(x1, x2,
· · · , xn) n = 2: (x, y, z) ∈ R 3/z = f(x, y)
DEF. Se dice que f : A ⊂ R n → R m es continua en ~a ∈ A si:
1 ~a ∈ Ais(A) ⊂ A o 2 ~a ∈ A ′ tal que:
existe lim ~x→~a f(~x) =~l
~l = f(~a)
PROP. Se dice que f : A ⊂ R n → R m es continua en ~a ∈ A si sus m funciones componentes lo son.
EJERCICIOS

7. DERIVACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES EN
R3
2
Antes de comenzar con la derivación de funciones de varias variables conviene recordar este
concepto en el contexto de las funciones reales de una variable real. Así, dada una función de la
forma f :I⊂ ℝ→ℝ , donde I⊂ℝ es un intervalo abierto, y x0 ∈ I un punto de dicho intervalo, se define
la derivada de f en 0 x como el límite:
F´ (X0) = lim
h
Desde el punto de vista geométrico, f’ (𝑥0) corresponde a la pendiente de la recta tangente a la
gráfica de la función f (x) en el punto,( 𝑥0 𝑓 𝑥0 ) por tanto, mide la mayor o menor inclinación de la
gráfica de la función en ese punto. La pendiente de la recta tangente es el valor de
la tangente del ángulo que forma con la horizontal.
f (X0 + h) – f (X0)
h 0

8. DERIVADAS PARCIALES
3
En cálculo diferencial, una derivada parcial de una función de diversas variables, es la derivada
respecto a cada una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas
parciales son útiles en cálculo vectorial, geometría diferencial, funciones analíticas, física,
matemática, etc.
La derivada parcial de una función f respecto a la variable x se representa con cualquiera
de las siguientes notaciones equivalentes:
∂ f , ∂
∂ x ∂ x
f , ∂ x f, f 'x ó f x .

9. DERIVADAS PARCIALES
Al realizar esta derivada obtenemos la expresión que nos permite calcular la pendiente de la recta
tangente a dicha función A en un punto dado. Esta recta es paralela al plano formado por el eje de la
incógnita respecto a la cual se ha hecho la derivada con el eje que representa los valores de la función.
Analíticamente el gradiente de una función es la máxima pendiente de dicha función en la dirección que
se elija. Mientras visto desde el álgebra lineal, la dirección del gradiente nos indica hacia donde hay
mayor variación en la función.
Incluso si todas las derivadas parciales existen en el punto a, la función no necesariamente es continua
en ese punto. Sin embargo, si todas las derivadas parciales existen alrededor de a y son continuas,
entonces la función no sólo es continua sino además diferenciable cerca de a. En este caso, f es una
función C1.
De la definición propuesta se infiere que las reglas para calcular las derivadas parciales son las
mismas que se usan para hallar la derivada de las funciones de una variable, es necesario , solo, tener
en cuenta , respecto a qué variable se plantea la derivada.

10. EJERCICIOS
Calcula las derivadas parciales segunda de la función:
Solución:
Hallamos las derivadas parciales:
;
Derivando repetidamente obtenemos:
;
;

11. DIFERENCIACIÓN TOTAL
4
En análisis matemático, la diferencial total de una función real de diversas variables reales
corresponde a una combinación lineal de diferenciales cuyos componentes (coeficientes) son los
del gradiente de la función.
Formalmente el diferencial total de una función es una 1-forma o forma pfaffiana y puede ser
tratada rigurosamente como un elemento de un espacio vectorial de dimensión n, donde n es el
número de variables dependientes de la función. Por ejemplo, si z=z (x,y) una función
diferenciable entonces el diferencial total de z es:
dz = dx + dy ∈ ∧ ( )
∂ x
∂ z
∂ y
∂ z
2
1

12. DIFERENCIACIÓN TOTAL
En cálculo vectorial, la diferencial total de una función f: R R se puede representar de la
siguiente manera:
d f = ∂ f dx
∂ x
donde f es una función f = f ( X , X , . . . . , X )
La derivada total viene de derivar una función f que tiene variables (x,y,z) que dependen de otras
variables x= x(t), y=y(t), z= z(t). En ese caso, se puede derivar la función respecto a t, y se obtiene
que:
d f ∂ f ∂ f ∂ f
d t ∂ x ∂ y ∂ z
n
n
i =1
i
n
1 2
= x + y + z
1
1
1

13. EJERCICIOS
Calcula la diferencial total de la siguiente función:
Solución:
Hallamos las derivadas parciales:
;
Por consiguiente:

14. GRADIENTE
5
En análisis matemático (cálculo avanzado), particularmente en análisis vectorial, el gradiente o
también conocido como vector gradiente, denotado 𝛻𝑓 de un campo escalar 𝑓, es un campo
vectorial. El vector gradiente de 𝑓 evaluado en un punto genérico 𝑥 del dominio de 𝑓, 𝛻𝑓(𝑥) indica
la dirección en la cual el campo 𝑓 varía más rápidamente y su módulo representa el ritmo de
variación de 𝑓 en la dirección de dicho vector gradiente.
El gradiente se representa con el operador diferencial nabla 𝛻 seguido de la función (atención a
no confundir el gradiente con la divergencia, esta última se denota con un punto de producto
escalar entre el operador nabla y el campo). También puede representarse mediante 𝛻𝑓, o usando
la notación 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓 .
La generalización del concepto de gradiente para funciones vectoriales de varias variables es el
concepto de matriz Jacobiana.

15. EJERCICIOS
Como en nuestro caso una función f: R R el vector gradiente será de orden 1x2, y sus
elementos vienen dado por:
f ( x,y ) = ∂ f ∂f
∂x ∂y
Calculamos los elementos del vector gradiente
∂ f ∂ f
∂x ∂y
De este modo el vector gradiente de nuestra función f es:
Solución: f ( x,y ) = ( 9x y 6 x y )
2
= 3.3x y = 9x y 2
2
2
2 = 3 x 2y = 6x y
3 1 3
F ( x,y ) = ∂ f ∂f
∂x ∂y
= ( 9x y 6 x y )
3
2 2
3
2
2

16. DIVERGENCIA Y ROTOR
6
Se entiende por rotacional al operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a inducir rotación
alrededor de un punto. También se define como la circulación del vector sobre un camino cerrado del borde
de un área con dirección normal a ella misma cuando el área tiende a cero (Ecuación 1).
1
rot (B) = x B = Lim B . dr
S
Aquí, 𝛻𝑠 es el área de la superficie apoyada en la curva C , que se reduce a un punto. El resultado de este
límite no es el rotacional completo (que es un vector), sino solo su componente según la dirección normal a 𝛻
𝑠 y orientada según la regla de la mano derecha. Para obtener el rotacional completo deberán calcularse tres
límites, considerando tres curvas situadas en planos perpendiculares.
El rotacional de un campo se puede calcular siempre y cuando este sea continuo y diferenciable en todos sus
puntos.
S 0

17. DIVERGENCIA
La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una
superficie que encierra un elemento de volumen dV . Si el volumen elegido solamente contiene fuentes o
sumideros de un campo, entonces su divergencia es siempre distinta de cero.
La divergencia de un campo vectorial en un punto es un campo escalar, que se define como el flujo del campo
vectorial por unidad de volumen conforme el volumen alrededor del punto tiende a cero, para el caso del
campo magnético la divergencia viene dada por la ecuación
Div (B) = . B = Lim 1 B .dS = 0
v
donde S es una superficie cerrada que se reduce a un punto en el límite, B es el campo magnético, V es el
volumen que encierra dicha superficie S y 𝛻 es el operador nabla, que se calcula de la siguiente forma:
= x + y + z
V 0
S
∂x ∂y ∂z
∂ ∂ ∂

18. EJERCICIO
Sea el campo vectorial su rotacional.
F ( x, y, z ) = (0, cos (xz ), - sen ( xy ))
determine
Solución. Al aplicar la definición del rotacional se obtiene el siguiente vector que lo representa
rot F 
 
sen xy 

cos xz 
iˆ
 
0 

sen xy  ˆj
 
cos xz 

 ˆ
 xcosxy xsenxziˆ y cosxy ˆj zsenxzkˆ
 xsenxz cosxyiˆ y cosxy ˆj zsenxzkˆ
 
 y z  z x y
0  k
   

19. PLANO TANGENTE Y RECTA NORMAL
7
- Plano Tangente es una superficie en un punto P de la misma, al plano que contiene todas las
tangentes a las curvas trazadas sobre la superficie por el punto P.
- Recta normal es una superficie a la recta que pasa por un punto P y es perpendicular al plano
tangente.
- Si la superficie está definida de manera implícita por la ecuación F(x,y,z)=0, entonces la
ecuación del plano tangente en un punto de la superficie viene definido por la ecuación:
- y la recta normal por:

20. PLANO TANGENTE Y RECTA NORMAL
- Si la ecuación de la superficie está definida de manera explícita z = f(x,y) entonces la ecuación
del plano tangente en el punto viene definida por:
- y la ecuación de la recta normal:
La ecuación del plano tangente se puede utilizar para calcular el valor aproximado de una función.
Gráficamente significa medir el valor de la función sobre el plano tangente y no sobre la
superficie.

21. EJERCICIOS
 Halla la ecuación del plano tangente y de la recta normal a la superficie de ecuación
en el punto P(1,2,3).
 Solución:
Hallamos las derivadas parciales:
En el punto P(1,2,3) las derivadas parciales son:
Luego la ecuación del plano tangente en el punto P(1,2,3) es:
, o bien, simplificando
y la ecuación de la recta normal es:

22. CONCLUSIÓN
 Al concluir este trabajo de investigación sobre la deliberación y integración de
funciones variables pudimos analizar sus diversas definiciones y las formulas que
normalmente son utilizadas en estos tipos de problemas, con el objetivo de un
futuro podamos utilizar estas herramientas que nos brindo la información
recolectada de diversas paginas, podamos realizar estos tipos de ejercicios y todo
lo relacionado con estos problemas matemáticos.
 La derivación e integración representan cálculos de importancia para todo el que
quiera ahondar en algún problema matemático, para ello se parte por el tema pasado
de funciones de varias variables, esta vez se incluyo el tema de limites de dichas
funciones y su resolución, por otra parte también se tomo en cuenta la continuidad
de esos limites así como su derivada, secuencialmente también se estudio lo que es
derivadas parciales, diferencial total, gradiente, rotacional, divergencia, plano
tangente y recta normal.

23. ANEXOS
 https://www.youtube.com/watch?v=b5RPjR56_ w0&t=29s
 https://www.youtube.com/watch?v=zDeeJBKiAfI
 https://www.youtube.com/watch?v=tb00qQBYm48
 https://www.youtube.com/watch?v=Vnbi1S7x6Qg
 https://www.youtube.com/watch?v=43QjP3dKTmE&pbjreload=101

24. BIBLIOGRAFIA
 Wilfred Kaplan. "Cálculo Avanzado". CECSA, impreso en
México, editado en 1983.
 Watson Fulks. "Cálculo Avanzado". Editorial Limusa S.A, México, impreso en 1973
 Serge Lang. "Cálculo II". Fondo Educativo Interamericano. México, publicado en
1976
 https://es.wikipedia.org/wiki/Gradiente
 https://es.wikipedia.org/wiki/Diferencial_total
 http://quintans.webs.uvigo.es/recursos/Web_electromagnetismo/
magnetismo_rotacionalydivergencia.htm