3. 1
1
1
+
+
=0
x2 y2 z2
Víi t =1 th×
V« lý
3
3
≥
VËy z = 2
2
4
z
Víi t = 2 th×
Nªn
(0,5®)
1
1
1
+ 2 =
2
x
y
2
⇒
x=y=z=t=2
1
1
1
1
+ 2 + 2 + 2 =1
2
x
y
z
t
1)T×m 4 sè nguyªn d¬ng x, y, z, t tho¶ m·n
1)
Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t , gi¶ sö : x ≥ y ≥ z ≥ t
4
(1) ⇒ 2 ≥ 1 ⇒ t = 1 , hoÆc t = 2
t
1
1
1
+ 2 + 2 =0
2
x
y
z
Víi t =1 th×
3
3
≥
VËy z = 2
2
4
z
x=y=z=t=2
Bµi 4: Cho B =
(1)
V« lý
Víi t = 2 th×
Nªn
(0,5®)
1
1
1
+ 2 =
2
x
y
2
⇒
a +6
a +1
a, T×m c¸c sè nguyªn a ®Ó B lµ sè nguyyªn.
b, Chøng minh r»ng víi a =
4
th× B lµ sè nguyªn.
9
c, T×m c¸c sè h÷u tû a ®Ó B lµ sã nguyªn.
Bµi 4:
a, M = 1 +
5
. §Ó M nguyªn th×
a +1
5
nguyªn .Ta biÕt r»ng khi a lµ sè nguyªn th×
a +1
a
hoÆc lµ
nguyªn. ( nÕu a lµ sè chÝnh ph¬ng). HoÆc lµ sè v« tØ ( nÕu a kh«ng lµ sè chÝnh ph¬ng). §Ó
sè nguyªn th× a kh«ng thÓ lµ sè v« tØ, do ®ã
suy ra : a + 1 lµ íc tù nhiªn cña 5 ta cã:
a +1
1
a
0
a
0
B
6
a
lµ sè nguyªn,
5
4
16
2
2
+6
4
3
= 4 (0,5®).
b, Víi a=
th× B =
2
9
+1
3
c, Ta cã : B = 1 +
§Æt
5
=n
a +1
Gi¶i ®iÒu kiÖn
Do n
N
a
∈
∈
5
. §Ó B lµ sè nguyªn th×
a +1
Z . Ta cã: n
5
ph¶i lµ sè nguyªn.
a +1
5 −n
a + n = 5 do ®ã
a =
(do n ≠ 0).
n
5 −n
≥ 0 Ta ®îc 0<n ≤ 5 .
n
1
Z nªn n ∈ { ;2;3;4;5} Ta cã
1
2
3
4
2
3
2
3
4
1
4
5
0
5
lµ
a +1
9. - LÇn lît thö víi y = 4; 7 ®Òu bÞ lo¹i
- LÇn lît thö víi y = 5; 6; 8 tháa m·n vµ t¬ng øng lµ c¸c nghiÖm:
(20; 5; 4; 2), (12; 6; 4; 2), (8; 8; 4; 2)
+) Víi z = 5 t¬ng tù nh trªn => y ≤ 20/3 => y = 5;6
- LÇn thö víi y = 6 bÞ lo¹i
- LÇn lît thö víi y = 5 tháa m·n vµ nghiÖm lµ: (10; 5; 5; 2)
+) Víi z = 6 t¬ng tù nh trªn => y ≤ 6 => y =6
- Thö víi y =6 tháa m·n vµ nghiÖm lµ : (6; 6; 6; 2) (0,5 ®iÓm)
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
3
*Víi t = 3 => x + y + z + 3 = 1
=> x + y + z = 3 ta l¹i thÊy x + y + z ≤ z hay z ≤ 9/2
v× z ≥ t => z = 3;4.
+) Víi z = 3 t¬ng tù nh trªn => y ≤ 6 => y = 3; 4;5;6.
- LÇn lît thö víi y = 3; 5 ®Òu bÞ lo¹i
- LÇn lît thö víi y = 4; 6 tháa m·n vµ t¬ng øng lµ c¸c nghiÖm:
(12; 4; 3; 3), (6; 6; 3; 3)
+) Víi z = 4 t¬ng tù nh trªn => y ≤ 24/5 => y = 4.
- Thö víi y = 4 tháa m·n vµ nghiÖm lµ : (6; 4; 4; 3) (0,5 ®iÓm)
1
1
1
1
1
1
1
3
1
1
1
3
* Víi t = 4 => x + y + z + 4 = 1
=> x + y + z = 4 ta l¹i thÊy x + y + z ≤ z hay z ≤ 4
v× z ≥ t => z = 4
+) Víi z = 4 t¬ng tù nh trªn => y ≤ 4 => y = 4.
- Thö víi y = 4 tháa m·n vµ nghiÖm lµ : (4; 4; 4; 4)
(0,5 ®iÓm)
Ph¬ng tr×nh ®· cho cã c¸c nghiÖm nguyªn d¬ng lµ:
(42; 7; 3; 2), (24; 8; 3; 2), (18; 9; 3; 2), (15; 10; 3; 2), (12; 12; 3, 2). (20; 5; 4; 2),
(12; 6; 4; 2), (8; 8; 4; 2) (10; 5; 5; 2) (6; 6; 6; 2) (12; 4; 3; 3), (6; 6; 3; 3) (6; 4; 4; 3)
(4; 4; 4; 4) cïng víi c¸c hoµn vÞ cña chóng.
Bµi 26:. Ta cã: x + xy + y = 4
x + xy + y + 1 = 5 (x + 1)(y + 1) = 5 (1)
V× x , y nguyªn nªn tõ (1) suy ra c¸c trêng hîp sau:
x+1=5
x+1=1
x + 1 = -1
x + 1 = -5
y+1=1
y+1=5
y + 1 = -5
y + 1 = -1 (0,25 ®)
Gi¶i vµ t×m ®îc c¸c nghiÖm (4;0); (0;4); (-6;-2); (-2;-6)
Bµi 27: Ta cã: x3-344=x3-343-1=(x3-73)-1 (x-7)
x
⇔1 ( x − 7) (do x 3 − 7 3 x − 7 ∀ ∈Z , x ≠ 7 )
x − 7 = 1
x = 8 ∈ Z
⇔
⇔
VËy x ∈{6;8} th× x3-344 chia hÕt cho x-7
x − 7 = −1
x = 6∈Z
4
Bµi 28 : Ta cã: x ≡ 0,1 (mod 16) ∀x ∈Z ThËt vËy: §Æt x=2k+r (k ∈ Z; r=0;1)
⇒ x 4 = (2k + r ) 4 = 16 M + r 2 ⇒ x 4 ≡ r 4 (mod 16) hay x 4 ≡ 0;1 (mod 16) (®pcm)
4
4
4
Nh vËy: x1 + x 2 + ... + x14 ≡ m (mod 16) víi 0 ≤ m ≤ 14; m ∈ Z
Mµ 1919 ≡ 15 (mod 16) => ph¬ng tr×nh ®· cho kh«ng cã nghiÖm nguyªn
Bµi 29: Ta cã x3-8x2+2x=x(x2+1)-8(x2+1)+x+8 x2+1 => x+8 x2+1
=> x2-64 x2+1=> - 65 x2+1 => x2+1 ∈ ¦(65) mµ x2+1 ≥ 1 ∀ ∈ Z =>x2+1 ∈ {1;5;13}
x
x 2 +1 = 1
x 2 = 0
x = 0 ∈ Z
2
2
⇒ x +1 = 5 ⇒ x = 4
⇒ x = 2 ∈ Z
x 2 +1 = 13
x 2 = 12(loai )
x = −2 ∈ Z
Thö l¹i ta ®îc x ∈{0;2} th× x 3 − 8 x 2 + 2 x x 2 + 1
1 1
1
1
Bµi 30: x + y + 6 xy = 6 ⇔ 6 y + 6 x + 1 − xy = 0
10. ⇔ ( x − 6)( y − 6) = 37 mµ x nguyªn d¬ng => x-6 ≥ -5 => x-6 ∈ {-1;1;37}
lËp b¶ng
x-6
-1
1
37
y-6
-37
37
1
x
5
7 (TM)
43(TM)
y
-31(lo¹i)
43(TM)
7(TM)
VËy tËp nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh ®· cho lµ:S={(7;43);(43;7)}
Bµi 31: Ph¬ng tr×nh ®· cho t¬ng ®¬ng víi: ( x + 3) ( y 2 −1) = 15 ⇒y 2 −1 ∈{1;3;5;15} →y 2 ∈{2;4;6;16}
Nhng y 2 lµ sè chÝnh ph¬ng nªn y 2 ∈{4;16}
* Víi y 2 = 4 ⇒ ( x = 2; y = 2) lµ nghiÖm
* Víi y 2 = 16 ⇒ x = −2 (lo¹i) KÕt luËn:...........
Bµi 32: Gi¶ sö cÆp sè nguyªn ( x ; y ) tho¶ m·n ph¬ng tr×nh : x4+(x+1)4=y2+(y+1)2(*)
- Ta cã ph¬ng tr×nh (*) t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh :( x2 + x + 1 )2 = y2 + y + 1 (1)
- Do x ; y ∈ Z nªn vÕ tr¸i cña (1) lµ sè chÝnh ph¬ng , do ®ã vÕ tr¸i cña (1) còng lµ sè chÝnh ph¬ng .
- NÕu y > 0 ta cã : y2 < y2 + y + 1 < ( y + 1 )2 (2) Kh«ng tån t¹i sè nguyªn y nµo tho¶ m·n (2)
- NÕu y < -1 ; ta cã :
( y + 1 ) 2 < y2 + y + 1 < y 2
(3)
Còng kh«ng tån t¹i sè nguyªn y nµo tho¶ m·n (3)
- Suy ra y = 0 hoÆc y = -1 . Tõ ®ã ta cã
( x 2 + x + 1 )2 = 1
suy ra
x2 + x + 1 = 1 hoÆc x2 + x + 1 = - 1 ; Nhng x2 + x + 1>0 , do ®ã x2 + x + 1 = 1 ;
suy ra x( x + 1 ) = 0 ; suy ra x = 0 hoÆc x = -1 ; tõ ®ã suy ra y = 0 hoÆc y = -1.
KÕt luËn :TÊt c¶ c¸c nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh ®· cho lµ:(0;0) ; ( 0 ; -1 ) ;
( -1 ; 0 ) ; ( -1 ; -1 ) .
Bµi 33:
x 4 − 16
( x 2 + 4)( x 2 − 4)
( x 2 + 4)( x + 2)( x − 2)
P= 4
=
=
=
x − 4 x 3 + 8 x 2 − 16 x + 16 ( x 4 − 16 − 4 x 3 + 8 x 2 ) − (16 x − 32)
( x 2 + 4)( x 2 − 4) − 4 x 2 ( x − 2) − 16( x − 2) }
{
=
( x 2 + 4)( x + 2)( x − 2)
( x 2 + 4)( x + 2)
( x 2 + 4)( x + 2) x + 2
4
= 3
= 2
=
= 1+
3
2
2
2
( x − 2)( x + 2 x + 4 x + 8 − 4 x − 16) x − 2 x + 4 x − 8 ( x + 4)( x − 2) x − 2
x−2
4
ta thÊy §Ó p nhËn gi¸ trÞ nguyªn khi cho biÕn x gi¸ trÞ nguyªn
x−2
th× x – 2 ph¶i chia hÕt cho 4 tøc x – 2 ph¶i nhËn mét trong c¸c gi¸ trÞ ± 1; ± 2; ± 4.
Do ®ã x ph¶i lÊy gi¸ trÞ thuéc tËp hîp M = { - 2; 0; 1; 3; 4; 6 }
3( x + 3)
6x
x( x − 3)
3x + 9 + 6 x + x 2 − 3x
+ 2
+ 2
Bµi 34: a) (2 ®iÓm) A = 2
=
x −9 x −9
x −9
x2 − 9
Tõ biÓu thøc: p = 1 +
x 2 + 6x + 9
( x + 3) 2
x +3
=
=
2
x −3
( x − 3)( x + 3)
x −9
x +3 x −3+6
6
=
=1+
b) (2 ®iÓm) Ta cã: A =
x −3
x −3
x −3
A=
Do ®ã A nhËn gi¸ trÞ nguyªn khi x - 3 lµ íc cña 6.
=> x - 3 = ± 1; ± 2; ± 3; ± 6. (0, 5®iÓm) . VËy x vµ A nhËn c¸c gi¸ trÞ nh sau:
x-3
-1
1
2
-2
3
-3
6
-6
x
2
4
5
1
6
0
9
-3
A
-5
7
4
-2
3
-1
2
0
Bµi 35
Ta cã:
x 2 + y 2 + z2 < xy + 3y + 2z - 3
11. x 2 + y 2 + z 2 - xy - 3 y - 2 z + 3 < 0; x 2 + y 2 + z 2 - xy - 3 y - 2 z + 31(v × x, y, zZ )
y2
y2
+ 3( - y + 1) + z 2 - 2 z + 10
4
4
y
y
y
y
( x - ) 2 + ( -1) 2 + ( z -1) 2 0;( x - = 0; -1 = 0; z -1 = 0)
2
2
2
2
( x = 1, y = 1, z = 1)
x 2 - xy +
VËy (x = 1, y = 1, z = 1)
Bµi 36:ViÕt B vÒ d¹ng:
4
ph¶i lµ sè nguyªn khi a lµ sè nguyªn th×
a −2
+ Lý luËn ®Ó B lµ sè nguyªn th×
tØ, do ®ã
a
lµ sè nguyªn. Suy ra
+ XÐt trêng hîp t×m ®îc a
a
a −2
a
§Ó M lµ sè nguyªn th×
lµ sè nguyªn
nhiªn cña 5 .
=> a +1 lµ íc tù
a +1
5
ph¶i lµ sè nguyªn. §Ó
a +1
1
5
0
4
A
0
16
M
6
2
a
(a −1)( 2a − 3)
(a 2 −1)(a 2 − 8)
2
Bµi 38: B =
b) B =
2a 2 −16 +1
a 2 −8
2
=2+
2
⇒ B = 2a2 − 3 víi a ≠ ± 1 vµ a ≠ ± 2
a −8
13
13
⇒ B nguyªn khi 2
nguyªn
a −8
a −8
2
a 2 − 8 = 1 ⇒ a 2 = 9 ⇒ a = ± 3(TMDK )
2
2
a − 8 = − 1 ⇒ a = − 7(loai )
⇒
2
2
a − 8 = 13 ⇒ a = 21(loai)
a 2 − 8 = − 1 ⇒ a 2 = − 5(loai)
VËy víi a = ± 3 th× B
∈
Z
kh«ng thÓ lµ sè v«
lµ íc nguyªn lín h¬n hoÆc b»ng –2 cña 4.
kh«ng thÓ lµ sè v« tØ
Do ®ã
a
∈ {0;1;9;16;36}
5
a +1
Bµi 37: Ta cã: M = 1 +
th×
4
a −2
B=1+
2
5
lµ sè nguyªn
a +1
