Many problems in information retrieval and related fields depend on a reliable measure of the distance or similarity between objects that, most frequently, are represented
as vectors. This paper considers vectors of bits. Such data structures implement entities as diverse as bitmaps that indicate the occurrences of terms and bitstrings indicating the presence
of edges in images. For such applications, a popular distance measure is the Hamming distance. The value of the Hamming distance for information retrieval applications is limited by the
fact that it counts only exact matches, whereas in information retrieval, corresponding bits that are close by can still be considered to be almost identical. We define a "Generalized
Hamming distance" that extends the Hamming concept to give partial credit for near misses, and suggest a dynamic programming algorithm that permits it to be computed efficiently.
We envision many uses for such a measure. In this paper we define and prove some basic properties of the :Generalized Hamming distance," and illustrate its use in the area of object
recognition. We evaluate our implementation in a series of experiments, using autonomous robots to test the measure's effectiveness in relating similar bitstrings.
(Paper) BalloonNet: A Deploying Method for a Three-Dimensional Wireless Netwo...Naoki Shibata
Aiming at fast establishment of a wireless network around a multi-level building in a disaster area, we propose an efficient method to determine the locations of network nodes in the air. Nodes are attached to balloons outside a building and deployed in the air so that the network can be accessed from anywhere in the building. In this paper, we introduce an original radio propagation model for predicting path loss from an outdoor position to a position inside a building. In order to address the three-dimensional deployment problem, the proposed method optimizes an objective function for satisfying two goals: (1) guarantee the coverage: the target space needs to be covered by over a certain percentage by wireless network nodes, (2) minimize the number of network nodes. For solving this problem, we propose an algorithm based on a genetic algorithm. To evaluate the proposed method, we compared our method with three benchmark methods, and the results show that the proposed method requires fewer nodes than other methods.
This talk is an overview of several species of agent-based models. The goal is to identify common aspects, and to frame questions about how statistical inference on such models might be done.
Articulo Científico "Energy Flow Algorithm for the improvement of the Energy ...CARMEN IGLESIAS
This note wroten by Carmen Iglesias Escudero explains the aplication of the Energy Flow algorithm in order to improve the energy resolution of the jets reconstructe by the fast simulation package of ATLAS namely Atlfast. The results are been calculated for different values of the cone, 0,4 and 0,7 and different range of Et of the generated QCD jets, in order to compare the behaviour of the algorithm whith the variation of these parameters. We can conclude, that considering the region of Et where the momentum resolution of the inner detector is better than the energy resolution of the hadronic calorimeter, below 140 GeV, the use of the Energy Flow Method give us an improvement in the energy resolution of the jet around 45-40% and 35-30% for R=0,7.
Many problems in information retrieval and related fields depend on a reliable measure of the distance or similarity between objects that, most frequently, are represented
as vectors. This paper considers vectors of bits. Such data structures implement entities as diverse as bitmaps that indicate the occurrences of terms and bitstrings indicating the presence
of edges in images. For such applications, a popular distance measure is the Hamming distance. The value of the Hamming distance for information retrieval applications is limited by the
fact that it counts only exact matches, whereas in information retrieval, corresponding bits that are close by can still be considered to be almost identical. We define a "Generalized
Hamming distance" that extends the Hamming concept to give partial credit for near misses, and suggest a dynamic programming algorithm that permits it to be computed efficiently.
We envision many uses for such a measure. In this paper we define and prove some basic properties of the :Generalized Hamming distance," and illustrate its use in the area of object
recognition. We evaluate our implementation in a series of experiments, using autonomous robots to test the measure's effectiveness in relating similar bitstrings.
(Paper) BalloonNet: A Deploying Method for a Three-Dimensional Wireless Netwo...Naoki Shibata
Aiming at fast establishment of a wireless network around a multi-level building in a disaster area, we propose an efficient method to determine the locations of network nodes in the air. Nodes are attached to balloons outside a building and deployed in the air so that the network can be accessed from anywhere in the building. In this paper, we introduce an original radio propagation model for predicting path loss from an outdoor position to a position inside a building. In order to address the three-dimensional deployment problem, the proposed method optimizes an objective function for satisfying two goals: (1) guarantee the coverage: the target space needs to be covered by over a certain percentage by wireless network nodes, (2) minimize the number of network nodes. For solving this problem, we propose an algorithm based on a genetic algorithm. To evaluate the proposed method, we compared our method with three benchmark methods, and the results show that the proposed method requires fewer nodes than other methods.
This talk is an overview of several species of agent-based models. The goal is to identify common aspects, and to frame questions about how statistical inference on such models might be done.
Articulo Científico "Energy Flow Algorithm for the improvement of the Energy ...CARMEN IGLESIAS
This note wroten by Carmen Iglesias Escudero explains the aplication of the Energy Flow algorithm in order to improve the energy resolution of the jets reconstructe by the fast simulation package of ATLAS namely Atlfast. The results are been calculated for different values of the cone, 0,4 and 0,7 and different range of Et of the generated QCD jets, in order to compare the behaviour of the algorithm whith the variation of these parameters. We can conclude, that considering the region of Et where the momentum resolution of the inner detector is better than the energy resolution of the hadronic calorimeter, below 140 GeV, the use of the Energy Flow Method give us an improvement in the energy resolution of the jet around 45-40% and 35-30% for R=0,7.
Patrick Merkel is a professional and personable individual with extensive experience in customer relations, organization, and administration. He has worked in various roles including bartender, material handler, forklift operator, lawn technician, mover, and sortmaster. Merkel has a passion for continued learning and strives to exceed goals, maintain integrity, and make a difference.
Video Campaign are an exciting and interactive way to engage your customers on YouTube and across the web. You can create and manage your Video campaigns right in Google AdWords,
The document discusses the benefits of exercise for mental health. Regular physical activity can help reduce anxiety and depression and improve mood and cognitive functioning. Exercise causes chemical changes in the brain that may help protect against mental illness and improve symptoms.
This document summarizes the conjugations of the verb "to be" in English. It has 3 forms in the present (am, is, are), 2 forms in the past (was, were), and 1 form each for the present participle (being) and past participle (been). It also discusses how possession is shown in English using apostrophes and explains the prepositions "in", "on", and "at" and their uses regarding place.
Izaka Restaurants Bar & Lounge Istanbul has a lot to offer : Three upscale theme restaurants offering only the finest quality foods and drinks, an exclusive bar & lounge, a beautiful terrace overlooking a 240 degrees panoramic Bosphorus view; Golden Horn, Topkapi Palace, Maiden Tower, Prince Islands, Asia Minor all the way through Bosphorus Bridge and beyond.
This document contains the resume of Prasad Narendra Chavan. It includes his personal details, qualifications, skills, and professional experience working in roles such as Cafe Manager, Restaurant Manager, and Front Office Executive in India and the UK. His qualifications include an HND in Hospitality Management from Perth College in Scotland and various diplomas. He has over 10 years of experience in customer service and hospitality roles, including currently working as Cafe Manager at Cafe Coffee Day in Vadodara, India.
The document analyzes two magazine advertisements for albums in the synthpop genre. It discusses common conventions seen across both ads, such as the use of black and white colors to connote darkness and mystery fitting for the genre. Key information like the artist's name, album name, and release date are prominently featured. Including track names with other popular artists can widen the target audience. Analyzing these ads helped the author understand typical features of music magazine advertisements, like font, text placement, and ratings, to inform planning their own ad.
This short document promotes the creation of presentations using Haiku Deck on SlideShare. It includes three stock photos without captions or context. The document suggests the reader may be inspired to create their own Haiku Deck presentation and share it on SlideShare by clicking a button labeled "GET STARTED".
best job provider,smartphone,google,android,intex,samsung,lenovo,karbon,nokia.ipod,apple,hp,toshiba,lemon.zen,sony,sony xperia,yahoo,you want to search all acessory,www.missionindiaconsultancy.com
Abdul-Wali Ahmed AL KHULAIDI is a Yemeni plant ecologist with over 30 years of experience studying flora, vegetation mapping, and land use analysis in Yemen. He has worked as an assistant professor at Al Baha University and Taiz University, and is a member of the Centre for Middle Eastern Plants in Edinburgh. He holds a PhD in plant ecology from the University of Edinburgh and has published extensively on Yemen's plants and protected natural areas.
Patrick Merkel is a professional and personable individual with extensive experience in customer relations, organization, and administration. He has worked in various roles including bartender, material handler, forklift operator, lawn technician, mover, and sortmaster. Merkel has a passion for continued learning and strives to exceed goals, maintain integrity, and make a difference.
Video Campaign are an exciting and interactive way to engage your customers on YouTube and across the web. You can create and manage your Video campaigns right in Google AdWords,
The document discusses the benefits of exercise for mental health. Regular physical activity can help reduce anxiety and depression and improve mood and cognitive functioning. Exercise causes chemical changes in the brain that may help protect against mental illness and improve symptoms.
This document summarizes the conjugations of the verb "to be" in English. It has 3 forms in the present (am, is, are), 2 forms in the past (was, were), and 1 form each for the present participle (being) and past participle (been). It also discusses how possession is shown in English using apostrophes and explains the prepositions "in", "on", and "at" and their uses regarding place.
Izaka Restaurants Bar & Lounge Istanbul has a lot to offer : Three upscale theme restaurants offering only the finest quality foods and drinks, an exclusive bar & lounge, a beautiful terrace overlooking a 240 degrees panoramic Bosphorus view; Golden Horn, Topkapi Palace, Maiden Tower, Prince Islands, Asia Minor all the way through Bosphorus Bridge and beyond.
This document contains the resume of Prasad Narendra Chavan. It includes his personal details, qualifications, skills, and professional experience working in roles such as Cafe Manager, Restaurant Manager, and Front Office Executive in India and the UK. His qualifications include an HND in Hospitality Management from Perth College in Scotland and various diplomas. He has over 10 years of experience in customer service and hospitality roles, including currently working as Cafe Manager at Cafe Coffee Day in Vadodara, India.
The document analyzes two magazine advertisements for albums in the synthpop genre. It discusses common conventions seen across both ads, such as the use of black and white colors to connote darkness and mystery fitting for the genre. Key information like the artist's name, album name, and release date are prominently featured. Including track names with other popular artists can widen the target audience. Analyzing these ads helped the author understand typical features of music magazine advertisements, like font, text placement, and ratings, to inform planning their own ad.
This short document promotes the creation of presentations using Haiku Deck on SlideShare. It includes three stock photos without captions or context. The document suggests the reader may be inspired to create their own Haiku Deck presentation and share it on SlideShare by clicking a button labeled "GET STARTED".
best job provider,smartphone,google,android,intex,samsung,lenovo,karbon,nokia.ipod,apple,hp,toshiba,lemon.zen,sony,sony xperia,yahoo,you want to search all acessory,www.missionindiaconsultancy.com
Abdul-Wali Ahmed AL KHULAIDI is a Yemeni plant ecologist with over 30 years of experience studying flora, vegetation mapping, and land use analysis in Yemen. He has worked as an assistant professor at Al Baha University and Taiz University, and is a member of the Centre for Middle Eastern Plants in Edinburgh. He holds a PhD in plant ecology from the University of Edinburgh and has published extensively on Yemen's plants and protected natural areas.
10. ÈÖ
ÜÔÐÓÖ Ò Ø ÓÙÒ Ö × Ò Û Ò ×× × Ó Ø ÓÖ × × Ò ÒØÖ Ù Ò Ó ÙÔ Ø ÓÒº
Ì Ø ÓÖÝ Ó ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑÔÐ Ü ØÝ × Ò Ü ÑÔÐ Ó Ø ×¸ × Ò Ø Ò ÓÙÒØ Ö×
Ø Ð Ñ Ø Ø ÓÒ× Ó ÓÙÖ ÑÓ Ð Ó ÓÑÔÙØ Ø ÓÒº ÅÝ ÓÛÒ × Ò Ø ÓÒ ÓÖ Ø × ×Ù Ø
ØÓ Ø Ö Û Ø ÑÝ Ú ×ÓÖ³× ÒØ Ö ×Ø Ð Ù× ØÓ ×ØÙ Ý ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ× Ò
Ø Ð Ó ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑ ØÖݺ ÅÝ Ñ Û × ØÓ Ø Ô ÙÒ Ö×Ø Ò Ò Ó
Ø Ö º Ì × ÛÓÙÐ Ò ÐÙ ÒØ Ò ÔÖ Ø Ð ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ׸
ÔÖÓ Ð Ñ Ð ×× Ø ÓÒ Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ ÔÔÖÓÜ Ñ Ð Øݸ Ò Ø Ò ÕÙ × Ù× ÓÖ
ÔÖÓÚ Ò Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ð ØÝ Ö ×ÙÐØ׺ Ê Ð Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ× Ö Û ÑÝ ØØ ÒØ ÓÒ Ð×Ó
ØÓ ÓÒÐ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ׸ ÐØ ÓÙ ×ÓÑ Ó ÑÝ Ö ×ÙÐØ× Ó Ø Ò Ò Ø × Ö ÓÙÐ
Ú Û × ÐÝ Ø ÓÖ Ø Ðº
Ì Ø × × ×Ô Ò× Û Ö Ò Ó ×Ù Ø× Ò ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑ ØÖݺ ÁØ ×
Ú ÒØÓ Ø Ö Ô ÖØ׸ ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò ØÓ Ö × Ö ÔÖÓ Ø Ó Ø× ÓÛÒº
ÇÒ ØÛÓ Ó × ÓÒ× Á Ú Ö ÖÓÑ ÑÝ Ò Ö Ð Ñº ÁÒ ÔØ Ö ¿ Û ÔÓ ÒØ ÓÙØ
Ò ÖÖÓÖ Ò ÔÖ Ú ÓÙ× Ü Ø Ð ÓÖ Ø Ñ× ÓÖ ÓÑÔÙØ Ò × ÓÖØ ×Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ ×º
ÁÒ Ø ÐÐÝ ÓÛ Ú Ö¸ ÓÙÖ ÒØ ÒØ ÓÒ Û × ØÓ Ú Ò ÒØ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ
ÓÖ Ø Ø ÔÖÓ Ð Ñº Ú Ò Ø ÑÔÓÖØ Ò Ó Ø Ö ×ÙÐØ Ò Ø× ÑÔÐ Ø Ö Ð Ø ÓÒ
ØÓ ÝÔÓØ Ø Ð ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ¸ Á Ó× ØÓ Ò ÐÙ Ø Ò Ø Ø × ×º
Ì × ÓÒ Ö ×× ÓÒ × Ò ÔØ Ö ¸ Û Ö Û ÓÒ× Ö Ò ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ó
Ø Ê¹ØÖ º Ì × × Ý ÒÓ Ñ Ò× Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ¸ ÙØ Ø × ÖÚ × ×
ÓÓ ÓÑÔ Ò ÓÒ ØÓ Ø × ÓÒ ÔØ Ö Ò È ÖØ ÁÁÁº
Á Ö ØÓ × Ý Ø Ø Á Ú ÜÔ Ö Ò ×ÓÑ Ó Ø ×Ø ÑÓÑ ÒØ× Ò ÑÝ Ð ×
È ¹×ØÙ ÒØ Ø ÄÙÒ ÍÒ Ú Ö× Øݺ Á ÛÓÙÐ Ð ØÓ Ø Ò ×ÓÑ Ô ÓÔÐ ¸ Û Ø ÓÙØ
Û ÓÑ ÑÝ Ø × × ÛÓÙÐ Ú Ò ÓÐÓÙÖÐ ×׺ Ö×Ø Ó ÐÐ Á Ø Ò ÑÝ Ú ×ÓÖ Ò
Ö Ò Ò Ø Âº Æ Ð××ÓÒº Á Ð Ö Ø × Ù Ò Ò Ò ÖÓÙ× ÓÑÑ ØÑ Òظ Ò
Á Ú ÐÙ ÓÙÖ ÓÐÐ ÓÖ Ø ÓÒ Ò Ø Û Ý Ø × Ò ÓÒ Ù Ø º Ë ÓÒ Ðݸ Á Ø Ò
ÓÙÖ ÔÖÓ ××ÓÖ Ò ÖÞ Ä Ò ×º ÑÓÒ ÓØ Ö Ø Ò ×¸ Á Ø Ò Ñ ÓÖ Ø Ò Ò Ð
×ÙÔÔÓÖØ Ø Ø × Ô ÖÑ ØØ Ñ ØÓ ØÖ Ú Ð ÖÓÙÒ Ø ÛÓÖÐ Ò Ñ Ø Ñ ÒÝ Ô ÓÔÐ
Û Ø Ò ÑÝ Ð º ËÓÑ Ó Ø Ñ Á Ú Ø Ö Ø ÔÐ ×ÙÖ ØÓ ÛÓÖ Û Ø ¸
Ò ×Ô Ð Ø Ò × Ó ØÓ Ø Ñº Á Ñ ÐÝ Ò Ø ØÓ ÑÝ Ó¹ ÙØ ÓÖ× Å Ö
Ö ¸ ÖÒ ÖÓ Ò¸ ÂÓ Ñ Ù ÑÙÒ ××ÓÒ¸ Å Ö Ú Ò ÃÖ Ú Ð Ø¸ Ò Ø Âº
Æ Ð××ÓÒ¸ Å Ö ÇÚ ÖÑ Ö׸ Ò ËÚ Ò Ë Ù Ö Ö ÓÖ Ø Ö ÒÚ ÐÙ Ð ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ×
ØÓ Ø × Ø × ×º ×Ô ÐÐݸ Á Ø Ò Å Ö Ö ÓÖ ÒÚ Ø Ò Ñ ØÓ ÍØÖ Ø
11. ÍÒ Ú Ö× ØÝ Ò Ø ÐÐ Ó ½ º Á Ð×Ó Ø Ò ÇØ Ö ÓÒ ÓÖ × ÒÚ Ø Ø ÓÒ ØÓ
Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑ ØÖÝ ÓÒ Ö Ò Ò ÀÓÒ ÃÓÒ º ÂÓ Ñ Ù ÑÙÒ ××ÓÒ¸
Ò ÖÞ Ä Ò ×¸ ÝØ ËÞÝÑ × ¸ Ò ÒÒ ×ØÐ Ò Ö ÔÖ Ú ÓÙ× Ú Ö× ÓÒ Ó
Ø ÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ò Á ÔÔÖ Ø Ø Ö Ú ÐÙ Ð ÓÑÑ ÒØ׺
Ì ÒÓØØÝ Ò ØÛÓÖ Ó Ö Ò × Ø Ø Á Ú Ò ÄÙÒ Ò Ð× Û Ö × Ñ ÒØ
ÐÓØ ØÓ Ñ º Ì Ö ×ÙÔÔÓÖØ Ò Ø Ö Ö Ø Ú Ñ Ò × Ú ×Ù×Ø Ò Ñ ¸ Ò ÔØ
Ñ ÑÓÚ Ò ØÓÛ Ö × Ø × Ó Ðº Å ÒÝ Ø Ñ × ÔÖÓ Ö ×× ×ÔÖÙÒ ÓÙØ Ó ÓÙÖ ÑÓÙ×
Ó Ö × Á Ñ Ö Ø ÙÐ ØÓ Ø Ó× Û Ó ÙÒ Ö×Ø Ò Ø Ú ÐÙ Ó Ø Ó× Ö ×º
Ì Ö ÓÖ ¸ Á Ø Ò Ø ÒÐ Ø Ò ÓÒ × Û Ó Ö ÙÐ ÖÐÝ × Ö ÙÔ Ó Ó
Û Ø Ñ Ò Ö ×¸ ÒÒ ¸ ÒÒ ¸ Ò Ø¸ ÖÒ¸ ÝØ ¸  ×Ô Ö¸ ÂÓ Ñ¸ Å ¸
È Ö¸ ËÚ Ò¹ÇÐÓ ¸ Ò Ì ÓÖ º
Ò ÐÐݸ Á × Ò Ø ÓÙ Ø ØÓ ÑÝ Ñ ÐÝ Ò ÐÓÚ ¸ Û Ó ÓÒØ ÒÙÓÙ×ÐÝ Ö Ò
Ð Ø ØÓ Ø Ô Ø Á ØÖ Ú Ðº ÅÝ Ú ÖÝ ×Ô Ð Ø Ò × Ó ØÓ ÑÝ Ô Ö ÒØ׺ Ì Ý ÐÛ Ý×
×Ø Ò Ý Ñ ¸ Ò × Ò ×× × Û ÐÐ × Ò ÐØ º
Å Ð À ÑÑ Ö
ÄÙÒ ¾¼¼½
Ü
12. Ä ×Ø Ó ÈÙ Ð Ø ÓÒ×
Ì Ñ Ø Ö Ð ÔÖ × ÒØ Ò Ø × Ø × × × × ÓÒ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ô Ô Ö׺
• º ÖÓ Ò¸ ź À ÑÑ Ö¸ º º Æ Ð××ÓÒº Ù Ö Ò Ä Ò × Ò ¾¹Ä Ò
ÈÓÐÝ ÓÒ× × À Ö º Ì Ò Ð Ê ÔÓÖØ ÒÓº ½ ¸ Ä͹ ˹ÌÊ ¾¾ º ÁÒ ´ÒÓÒ¹
Ö Ö µ ÔÖÓ º ½¿Ø Ò Ò ÓÒ Ö Ò ÓÒ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑ ØÖݸ
¾¼¼½¸ Ô × ¹ ¸ ¾¼¼½º
• º ÖÓ Ò¸ ź À ÑÑ Ö¸ º º Æ Ð××ÓÒº Ì Ñ Ô Ò ÒØ ÌÖ Ú Ð Ò
Ë Ð ×Ñ Ò ÈÖÓ Ð Ñ Û Ø Ì Ñ ÓÒ ×º Ì Ò Ð Ê ÔÓÖØ ÒÓº ½ ¸ Ä͹ ˹
ÌÊ ¾¾¿¸ ÄÙÒ ÍÒ Ú Ö× Øݸ ¾¼¼½º ËÙ Ñ ØØ ØÓ ÇÔ Ö Ø ÓÒ× Ê × Ö º
• ź Ö ¸ º Ù ÑÙÒ ××ÓÒ¸ ź À ÑÑ Ö¸ ź ÇÚ ÖÑ Ö׺ ÇÒ
R¹ØÖ × Û Ø ÐÓÛ ×Ø Ò ÒÙÑ Öº ÁÒ ÔÖÓ º Ø ÒÒÙ Ð ËÝÑÔÓ× ÙÑ ÓÒ
Ð ÓÖ Ø Ñ׸ Ë ¾¼¼¼¸ ÚÓÐÙÑ ½ Ó Ä ØÙÖ ÆÓØ × Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ¸
Ô × ½ ½ º ËÔÖ Ò Ö Î ÖÐ ¸ ¾¼¼¼º
• º Ù ÑÙÒ ××ÓÒ¸ ź À ÑÑ Ö¸ ź Ú Ò ÃÖ Ú Ð º À Ö ÇÖ Ö ¹
Ð ÙÒ Ý ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ׺ ÔØ ÓÖ ÔÙ Ð Ø ÓÒ Ý ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑ ¹
ØÖÝ Ì ÓÖÝ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ׸ ¾¼¼½º Ð×Ó Ò ÔÖÓ º Ø ÒÒÙ Ð ËÝÑÔÓ× ÙÑ
ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ׸ Ë ¾¼¼¼¸ ÚÓÐÙÑ ½ Ó Ä ØÙÖ ÆÓØ × Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë ¹
Ò ¸ Ô × ¾¿¾ ¾ ¿º ËÔÖ Ò Ö Î ÖÐ ¸ ¾¼¼¼º
• ź À ÑÑ Ö¸ º º Æ Ð××ÓÒº ÓÒ ÖÒ Ò Ø Ì Ñ ÓÙÒ × Ó Ü ×Ø Ò
Ë ÓÖØ ×Ø Ï Ø Ñ Ò ÊÓÙØ Ð ÓÖ Ø Ñ׺ ÁÒ ÔÖÓ º ½½Ø ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ËÝѹ
ÔÓ× ÙÑ ÓÒ ÙÒ Ñ ÒØ Ð× Ò ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ì ÓÖݸ ̳ ¸ ÚÓÐÙÑ ½¾
Ó Ä ØÙÖ ÆÓØ × Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ¸ Ô × ¾½¼ ¾¾½º ËÔÖ Ò Ö Î ÖÐ ¸
½ º
• ź À ÑÑ Ö¸ º º Æ Ð××ÓÒº ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ê ×ÙÐØ× ÓÖ Ã Ò Ø Î Ö ÒØ×
Ó ÌËȺ ÔØ ÓÖ ÔÙ Ð Ø ÓÒ Ý × Ö Ø Ò ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Óѹ
ØÖݸ ¾¼¼½º Ð×Ó Ò ÔÖÓ º ¾ Ø ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ÓÐÐÓÕÙ ÙÑ ÓÒ ÙØÓÑ Ø ¸
Ä Ò Ù ×¸ Ò ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò ¸ Á Äȳ ¸ ÚÓÐÙÑ ½ Ó Ä ØÙÖ ÆÓØ ×
Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ¸ Ô × ¿ ¾ ¼½º ËÔÖ Ò Ö Î ÖÐ ¸ ½ º
• ź À ÑÑ Ö¸ º º Æ Ð××ÓÒ¸ ˺ Ë Ù Ö Öº È Ö ÐÐ Ð Ë Ö Ò ÓÒ m
Ê Ý׺ ÈÙ Ð × Ò ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑ ØÖÝ Ì ÓÖÝ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ×
½ ¸ Ô × ½¾ ½¿ ¸ ¾¼¼½º Ð×Ó Ò ÔÖÓ º ½ Ø ÒÒÙ Ð ËÝÑÔÓ× ÙÑ ÓÒ Ì ¹
ÓÖ Ø Ð ×Ô Ø× Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ¸ ËÌ Ë³ ¸ ÚÓÐÙÑ ½ ¿ Ó Ä ØÙÖ
ÆÓØ × Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ¸ Ô × ½¿¾ ½ ¾º ËÔÖ Ò Ö Î ÖÐ ¸ ½ º
• ź À ÑÑ Ö¸ º º Æ Ð××ÓÒ¸ ˺ Ë Ù Ö Öº ÁÑÔÖÓÚ ÜÔÐÓÖ Ø ÓÒ Ó
Ê Ø Ð Ò Ö ÈÓÐÝ ÓÒ׺ Ì Ò Ð Ê ÔÓÖØ ÒÓº ½ ¸ Ä͹ ˹ÌÊ ¾¾¾¸ ÄÙÒ
ÍÒ Ú Ö× Øݸ ¾¼¼½º ËÙ Ñ ØØ ØÓ ÆÓÖ ÂÓÙÖÒ Ð Ó ÓÑÔÙØ Ò º
Ü
14. ÔØ Ö ½
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ
ÈÓÒ Ö Ø Ô Ø Ó Ø Ý Ø¸ Ò Ð Ø ÐÐ Ø Ý Û Ý× ×Ø Ð × º
ÈÖÓÚ Ö × ¾ ¸ Ì ÀÓÐÝ Ð
´Ã Ò Â Ñ × Î Ö× ÓÒµ
Ü Ø ÓÔØ Ñ Ð Ð ÓÖ Ø Ñ× Ò ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑ ØÖÝ Ö ÐÓ× Ò ÖÓÙÒ Ñ ÒÐÝ
ÓÖ ØÛÓ Ö ×ÓÒ׺ Ö×Ø Ó Ðи × Ñ Ò ÐÝ ÓÖÖ Ø ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ× Ó Ü Ø Ð Ó¹
Ö Ø Ñ× Ñ Ý ×ÔÐ Ý Ò×Ø Ð ØÝ ÔÖÓ Ð Ñ׺ Ë ÓÒ Ðݸ Ñ ÒÝ ÔÖÓ Ð Ñ× Ö ÓÑÔÙ¹
Ø Ø ÓÒ ÐÐÝ ÙÐØ Ò Ø Ó×Ø Ó ÓÔØ Ñ Ð ØÝ Ò ÜØÖ Ñ ÐÝ º
Ì Ò×Ø Ð ØÝ × Ù× Ý Ø × Ö Ô Ò Ý ØÛ Ò Ø ×Ø Ò Ö ÓÑ ØÖ
ÑÓ Ð Ó ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ¸ Û Ö Û ÐÐÓÛ ÓÙÖ× ÐÚ × ÑÑ Ø ×× ØÓ ÒÝ ÔÓ ÒØ
Ò Rn
¸ Ò Ø ØÙ Ð Ö Û Ö Ó ÓÑÔÙØ Ö¸ Ø Ø ×Ù Ö× Ø Ð Ñ Ø Ø ÓÒ× Ó
× Ö Ø ÛÓÖÐ º Ì × × Ö Ô Ò Ý Ý Ð × ÒÓØ ÓÒÐÝ ÙÒ×Ø Ð Ð ÓÖ Ø Ñ׸ Ø Ñ Ý
Ú Ò ÔÖÓ Ø Ü Ø ×ÓÐÙØ ÓÒ× Ú Ò Ø Ø Ñ ÓÒ×ØÖ ÒØ× Ö ÒØ Ý Ø ÓÑ Ø¹
Ö ÑÓ Ð Ó ÓÑÔÙØ Ø ÓÒº ÌÖÝ ÓÖ Ü ÑÔÐ ØÓ ×Ø Ò Ù × ØÛ Ò π/n Ò
π/(n+1) Ò ÓÒ×Ø ÒØ Ø Ñ Ù× Ò ÓÑÔÙØ Öº ÓÖ Ð Ö Ú ÐÙ × Ó n Ø Ý Ö ¹
Ø Ö Ò ×Ø Ò Ù × Ð ÓÖ Ø ÖÙÒÒ Ò Ø Ñ × Ô Ò ÒØ ÓÒ nº Ì Ò × Ð ØÝ Ó
Ø × Ü ÑÔÐ ×Ù ×Ø× Ø Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ× Ó Ø Ò Ö Ò ×× ÖÝ Ò ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð
ÓÑ ØÖݺ
ÐÓ Ø Ò ÔÓ ÒØ Ö Ø Ñ Ø × ÓÒØÖ Ú Ö ×ÓÒ Ð Ö ÙÑ ÒØ ØÓ ×ØÙ Ý ÔÔÖÓܹ
Ñ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ׺ ÀÓÛ Ú Ö¸ Ø ÓÖ ÑÓ×Ø Ö ×ÓÒ ØÓ ÒØÖÓ Ù ×Ù Ð ÓÖ Ø Ñ×
ÔÔ Ö× Û Ò Û ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ÐÐÝ ÙÐØ ÔÖÓ Ð Ñ׺ ÁÒ Ñ ÒÝ × × ÓÔ¹
Ø Ñ Ð ØÝ × ÒÓØ ÛÓÖØ Ð Ò Ò ØÓ Û Ò Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ò×Û Ö × ÓÓ ÒÓÙ
Ò ×Ý ØÓ Ò º Ò ÒØ Ö ×Ø Ò ××Ù × ØÓ Ø ÖÑ Ò Û Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Õ٠й
ØÝ × Ú Ð º ÆÓØ Ø Ø Ø Ø ÓÖÝ Ó × ÒÓØ ÐÐÓÛ Ò ×ÓÐÙØ Ñ ×ÙÖ ÓÒ
ÒØÖ Ø Ð Øݸ × Ò Û Ó Ø Ò Ò ØÓ Ö ÐÝ ÓÒ ÙÒÔÖÓÚ Ò ÝÔÓØ × × Ð È=ÆÈ
Ò Ù Ò Ø ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó ÔÖÓ Ð Ñº Ì ×Ù Ø Ò Ò Ø× Ú Ò ÑÓÖ
ÒÚÓÐÚ Û Ò Û ÓÒ× Ö Ø ××Ù Ó ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒº ÀÓÛ Ú Ö¸ × Û × ÐÐ ×
Ò Ø Ò ÜØ × Ø ÓÒ¸ Û Ó Ú ×ÓÑ ØÓÓÐ× ØÓ Ò ÐÝ× Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ð ØÝ Ó
ÔÖÓ Ð Ñº
15. ¾ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ
ÇÔØ Ñ Ð ØÝ Ò Ð×Ó ØÖÙÐÝ ÙÒ Ú Ð º Á Ø ÓÑÔÐ Ø Ô ØÙÖ × ÒÓØ
ÒÓÛÒ Ò Ú Ò ¸ º º Ø ÙØÙÖ × ÙÒ ÒÓÛÒ¸ Ø Ò Û Ñ Ø ÒÓØ ÒÓÛ Û Ø
× ÓÒ× ØÓ Ñ º Ì ×Ø ×ÓÐÙØ ÓÒ × ÒÓØ Ó Ø Ò Ð Û Ø ÖØ ÒØÝ Ò Ô¹
ÔÖÓÜ Ñ Ø ×ÓÐÙØ ÓÒ× ÓÑ Ò ×× Øݺ
ÁÒ Ø × Ø × × Û Ó Ù× ÓÒ Ò Ò ÙÔÔ Ö Ò ÐÓÛ Ö ÓÙÒ × ÓÒ Ø ÔÔÖÓÜ Ñ ¹
Ð ØÝ Ó ×ÓÑ ÒØ Ö ×Ø Ò ÓÑ ØÖ Ð ÔÖÓ Ð Ñ׺ ÇÙÖ ÚÓØ ÓÒ × Ñ ÒÐÝ Ö Ð Ø
ØÓ Ø × ÓÒ Ò Ø Ö Ü ÑÔÐ × Ö ÓÚ ¸ ÐØ ÓÙ Ø Ö×Ø Ü ÑÔÐ ×
ÐÛ Ý× Ó Ò ØÓ ÙÒØ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑ Ø Ö Ö ÐÝ Ò ÓÒ Ø ×Ø Ò Ö Ó¹
Ñ ØÖ ÑÓ Ð Ó ÓÑÔÙØ Ø ÓÒº
½º½ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ×
Ñ ÓÖ Ô ÖØ Ó Ø Ø × × Ð× Û Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ× Ò Ö Ò ×× Ó
ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒº ÌÓ ÙÒ Ö×Ø Ò Ø × ØÓÔ ×¸ Ø Ö Ö × ×ÙÔÔÓ× ØÓ Ú ×Ù ¹
ÒØ ÒÓÛÐ Ó × Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ø ÓÖݺ × ÓÖØ ÜÔÐ Ò Ø ÓÒ
Ó Ø ÓÒ ÔØ Ó ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ × Ú Ò ÐÓÛº Ò Ø ÓÒ× Ò Ø ÓÖ Ñ× ÓÐÐÓÛ
Ø ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ Ò Ù× ÐÐÓ Ø Ðº Ò ÒÝ ÓÒ ÔØ ÙÒ Ò × ÓÒ× Ö
Ô ÖØ Ó Ð ×× Ð ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ø ÓÖÝ ¾ º
Ò Ø ÓÒ ½º½ Ò ÓÔØ Ñ × Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Π × Ö Ø Ö × Ý Ø ÕÙ ÖÙÔÐ
IΠ¸ SΠ¸ MΠ¸ Ò GΠ Û Ö
• IΠ × Ø × Ø Ó ÒÔÙØ Ò×Ø Ò × Ó Π¸
• SΠ × ÙÒ Ø ÓÒ ××Ó Ø Ò ÒÝ ÒÔÙØ Ò×Ø Ò x ∈ IΠ Û Ø Ø × Ø Ó
× Ð ×ÓÐÙØ ÓÒ× Ó x¸
• MΠ × Ø Ñ ×ÙÖ ÙÒ Ø ÓÒ Ó Πº ÓÖ x ∈ IΠ Ò y ∈ SΠ(x)¸ MΠ(x, y) ∈
Q × Ø Ú ÐÙ Ó Ø × Ð ×ÓÐÙØ ÓÒ y¸
• GΠ ∈ {ÅÁÆ, Å } ×Ô × Û Ø Ö Π × Ñ Ò Ñ × Ø ÓÒ ÓÖ Ñ Ü Ñ × Ø ÓÒ
ÔÖÓ Ð Ñº
Ì Ñ ×ÙÖ ÙÒ Ø ÓÒ × Ð×Ó ÒÓØ CΠ Π × Ñ Ò Ñ × Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ ´Ø
Ó×ص Ò PΠ Π × Ñ Ü Ñ × Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ ´Ø ÔÖÓ Øµº Ì × Þ Ó Ò ÒÔÙØ
Ò×Ø Ò x ÓÖ ×ÓÐÙØ ÓÒ y Ö ÒÓØ |x| Ò |y| Ö ×Ô Ø Ú Ðݺ
Ï Ð Ø ÇÈÌ(x) ÒÓØ Ø ÓÔØ Ñ Ð ×ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø ÒÔÙØ Ò×Ø Ò x¸ º º¸
MΠ(x, ÇÈÌ(x)) = GΠ{v|v = MΠ(x, z) ∧ z ∈ SΠ(x)}.
ËÓÑ Ø Ñ × Û ×Ð ØÐÝ Ù× Ø ÒÓØ Ø ÓÒ Ò Ù× ÇÈÌ(x) ØÓ ÒÓØ Ø ÓÔØ Ñ Ð
×ÓÐÙØ ÓÒ³× Ñ ×ÙÖ º
16. ½º½ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ× ¿
Ò Ø ÓÒ ½º¾ Ï Ø Ú ÖÝ ÓÔØ Ñ × Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Π Û ××Ó Ø Ø Ö ÓÖÖ ¹
×ÔÓÒ Ò ÔÖÓ Ð Ñ×
ÓÒ×ØÖÙ Ø Ú ÈÖÓ Ð Ñ´ΠCµ Ú Ò Ò Ò×Ø Ò Ó Π¸ Ö Ú Ò ÓÔØ Ñ Ð ×Ó¹
ÐÙØ ÓÒ Ò Ø× Ñ ×ÙÖ º
Ú ÐÙ Ø ÓÒ ÈÖÓ Ð Ñ´ΠEµ Ú Ò Ò Ò×Ø Ò Ó Π¸ ÓÑÔÙØ Ø Ñ ×ÙÖ Ó
Ò ÓÔØ Ñ Ð ×ÓÐÙØ ÓÒº
× ÓÒ ÈÖÓ Ð Ñ´ΠDµ Ä Ø x ∈ IΠ Ò ÔÓ× Ø Ú ÒØ Ö K Ú Òº Á G =
Å Ø Ò Ø ÔÖÓ Ð Ñ × ØÓ Û Ø Ö
M(x, ÇÈÌ(x)) ≥ K. ´½º½µ
Á ´½º½µ × ØÖÙ Û × Ý Ø Ø x × ÔÓ× Ø Ú Ò×Ø Ò ØÓ Ø × ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñº
ÇØ ÖÛ × ¸ Û × Ý Ø Ø x × Ò Ø Ú Ò×Ø Ò º Á G = ÅÁÆ Ø Ò Ø
ÔÖÓ Ð Ñ × ØÓ Û Ø Ö
M(x, ÇÈÌ(x)) ≤ K, ´½º¾µ
Ò ÔÓ× Ø Ú Ò Ò Ø Ú Ò×Ø Ò × Ö Ò Ò ÓÖ Ò Û Ø ´½º¾µº
ÁÒ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ¸ Û Ò Ø Ð ×× Ó ÒÓÒ Ø ÖÑ Ò ×Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ
ÓÔØ Ñ × Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ× ´ÆÈǵº Ì Ò Ø ÓÒ × ÐÓ× ÐÝ Ö Ð Ø ØÓ Ø Û Ðй
ÒÓÛÒ Ð ×× Ó ÒÓÒ Ø ÖÑ Ò ×Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ × ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ× ´Æȵ Ø Ø
Û ØÓÙ ÙÔÓÒ Ò Ø ÒØÖÓ Ù Ø ÓÒº
Ò Ø ÓÒ ½º¿ Ò ÓÔØ Ñ × Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Π ÐÓÒ × ØÓ Ø Ð ×× ÆÈÇ
• IΠ × Ö Ó Ò × Ð Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ ¸
• Ø Ö Ü ×Ø× ÔÓÐÝÒÓÑ Ð q ×Ù Ø Ø¸ Ú Ò x ∈ IΠ Ò ÓÖ ÒÝ y ∈ SΠ(x)¸
|y| ≤ q(|x|)º ÁÒ Ø ÓÒ¸ ÓÖ ÒÝ y ×Ù Ø Ø |y| ≤ q(|x|) Ø × Ð Ò
ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ Û Ø Ö y ∈ SΠ(x)¸
• MΠ × ÓÑÔÙØ Ð Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ º
Ò Ø ÓÒ ½º ÓÖ ÒÝ Ò×Ø Ò x Ó Ò ÓÔØ Ñ × Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Π Ò ÓÖ ÒÝ
× Ð ×ÓÐÙØ ÓÒ y Ó x¸ Ø Ô Ö ÓÖÑ Ò Ö Ø Ó Ó y Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ x × Ò ×
ÈÊ(x, y) = max
M(x, y)
M(x, ÇÈÌ(x))
,
M(x, ÇÈÌ(x))
M(x, y)
.
Ï × Ý Ø Ø Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ä ÓÖ Π × r¹ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ¸ Ú Ò
ÒÝ ÒÔÙØ Ò×Ø Ò x Ó Π¸ Ø Ô Ö ÓÖÑ Ò Ö Ø Ó Ó Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ×ÓÐÙØ ÓÒ
Ä (x) × ÓÙÒ Ý rº Ì Ò ÑÙÑ ÓÚ Ö ÐÐ r ×Ù Ø Ø Ä × r¹ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø
17. ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ
× ÐÐ Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ö Ø Ó Ó Ä º Ò ÓÔØ Ñ × Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Π × ÐÐ
r¹ ÔÔÖÓÜ Ñ Ð Ø Ö Ü ×Ø× ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ r¹ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Πº
Á ÒÓ ×Ù Ð ÓÖ Ø Ñ Ü ×Ø× Û × Ý Ø Ø Π × Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ð Û Ø Ò ØÓÖ Ó r¸
ÓÖ × ÑÔÐÝ r¹ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ð º
Ò Ø ÓÒ ½º È × Ø Ð ×× Ó ÔÖÓ Ð Ñ× Ò ÆÈÇ Ø Ø¸ ÓÖ ×ÓÑ ÓÒ×Ø ÒØ
r ≥ 1¸ Ö r¹ ÔÔÖÓÜ Ñ Ð º
Ò Ø ÓÒ ½º Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ä × × ØÓ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ ÔÔÖÓÜ Ñ ¹
Ø ÓÒ × Ñ ´ÈÌ Ëµ ÓÖ ÔÖÓ Ð Ñ Π Ò ÆÈÇ ¸ ÓÖ ÒÝ Ò×Ø Ò x Ó Π Ò ÒÝ
Ö Ø ÓÒ Ð Ú ÐÙ r > 1¸ Ä ÓÒ ÒÔÙØ (x, r) ÖÙÒ× Ò Ø Ñ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ò |x|¸ Ò
Ä (x, r) × Ò r¹ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ×ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ xº
Ì Ð ×× Ó ÐÐ ÔÖÓ Ð Ñ× Ò ÆÈÇ Ø Ø Ñ Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ ÔÔÖÓÜ Ñ ¹
Ø ÓÒ × Ñ × ÐÐ ÈÌ Ëº ÁØ × ÒÓÛÒ Ø Ø¸ ÙÒÐ ×× È Æȸ
ÈÌ Ë ⊂ È ⊂ ÆÈÇ.
ÌÓ ÔÖÓÚ Ø Ø ÔÖÓ Ð Ñ × Ö ØÓ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ¸ º º¸ Ø Ø Ø Ó × ÒÓØ ÐÓÒ
ØÓ ÈÌ Ë ÙÒÐ ×× È Æȸ Û Ù× ×Ó ÐÐ Ô¹ÔÖÓ Ù Ò Ö Ù Ø ÓÒ׺ Ì Ø Ò ÕÙ
× Ò×Ô Ö Ý Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø ÓÖ Ñº
Ì ÓÖ Ñ ½º½ Ä Ø Π Ò Æȹ ÓÑÔÐ Ø × ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ð Ø Π Ò ÆÈÇ
Ñ Ò Ñ × Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñº Á Ø Ö Ü ×Ø ØÛÓ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ ÓÑÔÙØ Ð ÙÒ Ø ÓÒ×
f : IΠ → IΠ Ò c : IΠ → Q Ò δ > 0¸ ×Ù Ø Ø¸ ÓÖ ÒÝ Ò×Ø Ò x Ó Π ¸
ÇÈÌΠ(f(x)) ≤ c(x) x × ÔÓ× Ø Ú Ò×Ø Ò ¸
ÇÈÌΠ(f(x)) ≥ c(x)(1 + δ) ÓØ ÖÛ × ¸
Ø Ò ÒÓ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ r¹ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Π Û Ø r < 1+δ Ò Ü ×ظ
ÙÒÐ ×× È ÆȺ
Ç Ú ÓÙ×ÐÝ Û Ò Ú Ø × Ñ Ö ×ÙÐØ Ù× Ò Ò r¹ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ð ÓÔØ Ñ ¹
× Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ò×Ø Ó × ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ ´Ø Ø ×¸ r¹ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ð ÙÒ Ö
Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ø Ø È=Æȵº ÁÒ Ø × × Û ÐÖ Ý Ú Ô δ Ø Ø Û ØÖÝ ØÓ
ÔÖ × ÖÚ ÙÖ Ò Ø Ö Ù Ø ÓÒº ËÙ Ö Ù Ø ÓÒ× Ö ÐÐ Ô¹ÔÖ × ÖÚ Ò Ö Ù ¹
Ø ÓÒ׺
½º½º½ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ò Ø ÌÖ Ú ÐÐ Ò Ë Ð ×Ñ Ò ÈÖÓ Ð Ñ
Ì ØÖ Ú ÐÐ Ò × Ð ×Ñ Ò ÔÖÓ Ð Ñ¸ ÌËÈ ÓÖ × ÓÖظ × ÔÖÓ ÐÝ Ø ×Ø ÒÓÛÒ
ÒØÖ Ø Ð ÔÖÓ Ð Ñº Ì × ÑÔÐ ØÝ Ó Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ ØÓ Ø Ö Û Ø Ø
Ñ Ò Ø ×Ñ Ó Ø× ÒØÖ Ø Ð Øݸ Ñ ÌËÈ Ò ÚÓÐ ÒØ Ü ÑÔÐ Ø Ø ÐÐÙ×ØÖ Ø ×
×ÓÑ Ó Ø Ú Ò Ò Ø ÓÒ׸ Ö Ö Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ׺
18. ½º½ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ×
Ì ÔÖÓ Ð Ñ × × ÓÖ Ø × ÓÖØ ×Ø ÐÓ× ØÓÙÖ Ø Ø Ú × Ø× Ø Ú ÖØ × Ò
Ú Ò Û Ø ÓÑÔÐ Ø Ö Ô Ü ØÐÝ ÓÒ º Ì × ÔØ Ú ÐÝ × ÑÔÐ ÔÖÓ Ð Ñ
Ð × Ø Ø ÖØ Ó ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ÓÔØ Ñ × Ø ÓÒ Ò Ø × ×Ô ÛÒ Û ÐØ Ó
Ö × Ö Ò ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ø ÓÖÝ Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ× Ö × Ö × Ä ÛÐ Ö Ø Ðº ¿ º
ÌËÈ ÓÔØ Ñ × Ø ÓÒ × Ò × ÓÛÒ ØÓ Æȹ Ö ¸ Ú Ò ÓÖ Ö ×ØÖ Ø Ò¹
×Ø Ò ×º ËÔ ÐÐݸ Ø Ö Ô × Ñ ØÖ ÓÖ Ú Ò Ñ Ð Ò Ø Ù Ð Ò
ÔÐ Ò ¸ Ø ÔÖÓ Ð Ñ × Æȹ Ö ¾¸ ½ º
Ú Ò ÑÓÒ Æȹ Ö ÔÖÓ Ð Ñ׸ ÌËÈ × ÓÒ× Ö ØÓ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ÐÐÝ
ÙÐØ ÔÖÓ Ð Ñº ÁØ ÒÒÓØ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Û Ø Ò ÒÝ ÓÒ×Ø ÒØ ØÓÖ Ý
ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ Ð ÓÖ Ø Ñ¸ ÙÒÐ ×× È ÆÈ ½¼¼ º Ì ÔÖÓÓ × × Ò Ø Ò ÐÝ × ÑÔÐ
Ò Ñ × Ô Ö Ø Ü ÑÔÐ Ó ÓÛ Ø Ô¹ÔÖÓ Ù Ò Ø Ò ÕÙ Ò Ù×
ØÓ × ÓÛ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ð ØÝ Ö ×ÙÐØ׺
Ì Ö Ù Ø ÓÒ × ÖÓÑ Ø À Ñ ÐØÓÒ Ý Ð ÔÖÓ Ð Ñ¸ Ò Û Û × ØÓ
Û Ø Ö Ö Ô ÓÒØ Ò× À Ñ ÐØÓÒ Ý Ð ¸ º º¸ Ö Ù Ø Ø Ø Ô ×× × Ø ÖÓÙ
Ú ÖÝ Ú ÖØ Ü Ò Ø Ö Ô Ü ØÐÝ ÓÒ º Ì × × ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ × ÒÓÛÒ ØÓ
Æȹ ÓÑÔÐ Ø ¿ º Ì Ö Ù Ø ÓÒ Ó × × ÓÐÐÓÛ׺ Ä Ø G = (V, E) ÒÓØ Ò
Ò×Ø Ò Ó Ø À Ñ ÐØÓÒ Ý Ð ÔÖÓ Ð Ñ¸ Û Ø |V | = nº Ì × Ø Ó ×ÓÐÙØ ÓÒ× ØÓ
Ø × Ò×Ø Ò × Ó ÓÙÖ× Ø × Ø Ó ÐÐ À Ñ ÐØÓÒ Ý Ð × Ò Gº Ï ÓÒ×ØÖÙ Ø Ò
Ò×Ø Ò Ó Ø ØÖ Ú ÐÐ Ò × Ð ×Ñ Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÖÓÑ G¸ Ù× Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò × Ö Ø
ÙÒ Ø ÓÒ
d(vi, vj) =
1 (vi, vj) ∈ E¸
1 + nr ÓØ ÖÛ × º
Ï Ð Ø f Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ø Ø¸ Ú Ò Ò Ò×Ø Ò G Ó Ø À Ñ ÐØÓÒ Ý Ð ÔÖÓ Ð Ñ¸
ÓÒ×ØÖÙ Ø× ÓÑÔÐ Ø Û Ø Ö Ô G = (V, E ) Ý ÔÔÐÝ Ò Ø ÙÒ Ø ÓÒ d
ØÓ Ú ÖÝ Ô Ö Ó Ú ÖØ × Ò Gº Ï Ø c(G) = n Û Ú Ø Ø
ÇÈÌ(f(G)) = c(G) G × ÔÓ× Ø Ú Ò×Ø Ò ¸
ÇÈÌ(f(G)) ≥ c(G)(1 + r) ÓØ ÖÛ × ¸
Ò Û Ò ÔÔÐÝ Ì ÓÖ Ñ ½º½ ØÓ × ÓÛ Ø Ø Ø ØÖ Ú ÐÐ Ò × Ð ×Ñ Ò ÔÖÓ Ð Ñ ×
(r + 1)¹ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ð º Ë Ò r Û × Ó× Ò Ö ØÖ Ö ÐÝ Ø ÓÐÐÓÛ× Ø Ø Ò Ò Ö Ð¸
Ø ØÖ Ú ÐÐ Ò × Ð ×Ñ Ò ÔÖÓ Ð Ñ × ÒÓØ ÔÔÖÓÜ Ñ Ð Û Ø Ò ÒÝ ÓÒ×Ø ÒØ ØÓÖº
ÓÖ Ñ ØÖ Ö Ô × Ø × ØÙ Ø ÓÒ × ØØ Öº Ö ×ØÓ × ¿¾ ÔÖ × ÒØ× ÔÓÐݹ
ÒÓÑ Ð Ø Ñ
3
2 ¹ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ¸ ÙØ ØØ Ö Ø Ò ÓÒ×Ø ÒØ ØÓÖ Ô¹
ÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ × ÒÓØ ÔÓ×× Ð Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ ÙÒÐ ×× È ÆÈ º
ÖÓÖ Ò Ò Ô Ò ÒØÐÝ Å Ø ÐÐ ¸ Ò Ø Ö × Ñ Ò Ð Ô Ô Ö׸ × ÓÛ
Ø Ø Ø Ö Ü ×Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ × Ñ × ÓÖ ÌËÈ Û Ò Ø Ö Ô
× Ñ Ò Ø Ù Ð Ò ÔÐ Ò º Ê ÒØÐݸ ÖÙÒÒ Ò Ø Ñ × Ó ÈÌ Ë³× ÓÖ d¹
Ñ Ò× ÓÒ Ð Ù Ð Ò ÌËÈ Ú Ò × Ò ÒØÐÝ ÑÔÖÓÚ ¸ º
19. ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ
Ö Ý Ø Ðº ¾ ÔÖÓÚ Ø Ø Ø Ù Ð Ò ØÖ Ú ÐÐ Ò × Ð ×Ñ Ò ÔÖÓ Ð Ñ × Æȹ
Ö Ý Ö Ù Ø ÓÒ ÖÓÑ Ø Æȹ ÓÑÔÐ Ø ÔÖÓ Ð Ñ ¿ ´ Ü Ø ÓÚ Ö Ý ¿¹× Ø×µº
Ï Ñ ÜØ Ò× Ú Ù× Ó Ø Ö ÓÒ×ØÖÙ Ø ÓÒ Ò Ø × Ø × ×º Ì ÔÖÓÔ ÖØÝ Û
ÜÔÐÓ Ø × × Ö Ö Ýº ÓÖ ÑÓÖ Ð ÓÖ Ø × Ö ÔØ ÓÒ Ó Ø × Ò×Ø Ò Ø
Ö Ö × Ú × ØÓ ÓÒ×ÙÐØ ÔØ Ö º
Ü Ø ÓÚ Ö Ý ¿¹× Ø× × Ò × ÓÐÐÓÛ×
Ú Ò Ñ ÐÝ F = {F1, F2, . . . , Fr} Ó 3¹ Ð Ñ ÒØ ×Ù × Ø× Ó × Ø U
Ó 3k Ð Ñ ÒØ× ´Ö ÔÖ × ÒØ Ý ÒØ Ö× 1, . . . , 3kµ¸ Ó × Ø Ö Ü ×Ø
×Ù Ñ ÐÝ F ⊆ F Ó Ô ÖÛ × × Ó ÒØ × Ø× ×Ù Ø Ø F ∈F F = U
Ö Ý Ø Ðº ÔÖÓÚ Ø Ø Ø Ó×Ø Ó Ò ÓÔØ Ñ Ð ØÓÙÖ × Ð ×× ÓÖ ÕÙ Ð ØÓ ×ÓÑ
×Ô Ú ÐÙ L∗
Ò Ü Ø ÓÚ Ö Ü ×Ø× ÓÖ Ø ¿ ¹ Ò×Ø Ò º Á Ø Ö × ÒÓ
Ü Ø ÓÚ Ö¸ Ø Ò Ø × Ø Ð ×Ø Ø Ó×Ø L∗
+1º ÇÒ Ò¸ ÌËÈ Ö Ú Ð× Ò
Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ð ØÝ Ô¸ ÐØ ÓÙ Ú ÖÝ Ø Òݸ Ò Ø × ÔÖÓÔ ÖØÝ Û ÐÐ ÔÖÓ Ø ÐÝ
Ù× Ò ÔØ Ö º
½º¾ ÇÒÐ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ×
Ú ÖÝ Ý Ô ÓÔÐ Ö ÓÖ ØÓ Ñ × ÓÒ× × ÓÒ Ñ Ö ÐÝ Ô ÖØ Ð ÓÖ × ÑÔÐÝ
ÒÓ ÒÓÛÐ ÓÙØ Ø ÙØÙÖ º ÌÓ Ò Ð Ø × × ØÙ Ø ÓÒ׸ Û Ø Ò ØÓ ÒÚ ÒØ
×ØÖ Ø × Ø Ø Ñ ×Ø Ñ Ø ÓÒ× Ó Ø ÙØÙÖ × ÓÒ Ô ØØ ÖÒ× ÓÙÒ Ò Ø
Ô ×غ Ï ÐÐ ×Ù ×Ø Ñ Ø ÓÒ× ÓÒÐ Ò ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ× Ò ×ØÖ Ø × Ø Ù× Ö Ø
Ö ÐÐ ÓÒÐ Ò ×ØÖ Ø × ÓÖ ÓÒÐ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ׺ ÐØ ÓÙ Ñ ÒÝ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð
ÔÖÓ Ð Ñ× Ö Ò ØÙÖ ÐÐÝ ÓÒÐ Ò ¸ Ø ÓÒ ÔØ Ó ÓÒÐ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ× × ÒÓØ Ö Ú
Ø ÔÓ× Ø ÓÒ Ø × ÖÚ × Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ø ÓÖݸ ÓÚ Ö× ÓÛ × Ø × Ý Ð ×× Ð
Ö × Ð ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ò Ö Ô Ø ÓÖݺ × Ø Ò Û Ó Ò ÓÖ¹
Ñ Ø ÓÒ Ø ÒÓÐÓ Ý ÒØ Ö× Ú ÖÝ Ý Ð Ó ÑÓ ÖÒ Ú Ð × Ø ÓÒ¸ Û Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ
Û Ý× Ò Ø ÁÒØ ÖÒ Ø × Ö × Ò ×Ø Ö׸ Ø Ø ÓÖÝ Ó ÓÒÐ Ò ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ×
ÔÖ Ø ØÓ Ú Ö ÐÐ ÒØ ÙØÙÖ ¿ º
ÇÖ Ò ÐÐݸ Ø ÔÔÖÓ ØÓ ÓÒÐ Ò ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Û × ÓÑÔÐ Ø ÐÝ ÔÖÓ Ð ×Ø ¸
Û Ø Ú Ö × Ò ÐÝ× × ÓÒ ÝÔÓØ × × Ú ÒØ ×ØÖ ÙØ ÓÒº ÙØ Ø × Ñ¹
ÔÐ ØÝ Ó ÛÓÖ×Ø × Ò ÐÝ× ×¸ Ø ÓÑ Ò Ø Ò Ñ Ø Ó Ò ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ø ÓÖݸ Û ×
ÔÔ Ð Ò ØÓ Ø ÓÑÔÙØ Ö × Ò ÓÑÑÙÒ Øݸ Ò Ò Ø Ð Ø Ò Ò Ø Ò Ø ×
Ø ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò Ø ÓÖÝ Ó ÓÑÔ Ø Ø Ú Ò ÐÝ× × Û × ÓÒ Ú º ÁÒ Ø × Ø ÓÖݸ
Ø ÕÙ Ð ØÝ Ó Ò ÓÒÐ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ × ÓÑÔ Ö ØÓ Ø ÓÔØ Ñ Ð Ó Ò Ð ÓÖ Ø Ñº
Ì Ñ Ò Ò Ó Ó Ò Ö × Ø Ø Ó ÓÑÒ × Ò ¸ º º¸ ÓÑÔÐ Ø ÒÓÛÐ Ó
ÙØÙÖ Ú ÒØ׺ ÓÖÓ Ò Ø Ðº ¾¿ × ÐÝ Ö ÓÑÑ Ò Ð Ø ÜØ ÓÓ ÓÒ Ø
×٠غ
20. ½º¿ ÓÑ ØÖ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö ×
½º¾º½ ÓÑÔ Ø Ø Ú Ò ÐÝ× × Ò Ñ Ì ÓÖÝ
Ò ÓÒÐ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ä Π ÓÖ ÔÖÓ Ð Ñ Π × ÐÐ c¹ ÓÑÔ Ø Ø Ú Ø Ö ×
ÓÒ×Ø ÒØ α ×Ù Ø Ø ÓÖ ÐÐ Ò Ø ÒÔÙØ Ò×Ø Ò × I¸
Ä Π(I) ≤ c · ÇÈÌΠ(I) + α.
Á α ≤ 0 Û × Ý Ø Ø Ä Π × ×ØÖ ØÐÝ c¹ ÓÑÔ Ø Ø Ú º ÁÒ Ø × × Ä Π ×
ÒÓØ ÓÒÐÝ c¹ ÓÑÔ Ø Ø Ú ¸ Ø × Ð×Ó c¹ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø º ÁÒ Ø × Ø × × Û Ö Ñ Ö ÐÝ
ÒØ Ö ×Ø Ò ÓÒÐ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ׺ Ì Ö ÓÖ ¸ Û Ò c¹ ÓÑÔ Ø Ø Ú
ÓÒÐ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ× Ö Ò × Ù×× ¸ Û ÐÛ Ý× Ö Ö ØÓ ×ØÖ ØÐÝ ÓÑÔ Ø Ø Ú
Ð ÓÖ Ø Ñ׺ Ì ÓÑÔ Ø Ø Ú Ö Ø Ó R( Ä Π) × Ø Ò ÑÙÑ ÓÚ Ö ÐÐ Ú ÐÙ × Ó c
×Ù Ø Ø Ä Π × c¹ ÓÑÔ Ø Ø Ú Ò Ø ÓÑÔ Ø Ø Ú Ö Ø Ó Ó Ò ÓÒÐ Ò ÔÖÓ Ð Ñ
Π × Ò ×
RΠ = min
Ä Π
R( Ä Π).
ÌÓ Ò ÐÝ× ÓÒÐ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ× Û Ö ×ÓÖØ ØÓ Ñ Ø ÓÖݺ Ì ÓÑÔ Ø Ø Ú Ö Ø Ó
× Ó Ø Ò Ø ÖÓÙ ØÛÓ ÔÐ Ý Ö Ñ ØÛ Ò Ø ÓÒÐ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ò × Ù×
ÔØÓÖº Ì ÓÒÐ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ × ÔÖ × ÒØ Û Ø Ò ÒÔÙØ × ÕÙ Ò ÓÒ×ØÖÙ Ø
Ý Ø × Ñ Ð ÓÙ× Ú Ö× Öݺ Ì Ú Ö× ÖÝ ØÖ × ØÓ Ö Ú Ð Ø ÓÑÔ Ø Ø Ú Ö Ø Ó
Ó Ø ÓÒÐ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ý ÓÒ×ØÖÙ Ø Ò Ò Ò×Ø Ò ÓÒ Û Ø ÓÒÐ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ
Ú × ÐÝ × ÓÑÔ Ö ØÓ Ø ÓÔØ Ñ Ð Ó Ò Ð ÓÖ Ø Ñº Ì ÑÓ×Ø Ñ Ð ÓÙ×
Ú Ö× ÖÝ ÒÓÛ× Ø Ü Ø Ú ÓÙÖ Ó Ø ÓÒÐ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ¸ Ò Ò Ø Ö Ý
ÓÒ×ØÖÙ Ø ÛÓÖ×Ø × ÒÔÙØ Ò×Ø Ò Ø Ø Ñ Ü Ñ × × Ø Ô Ö ÓÖÑ Ò Ö Ø Óº
Ì Ö Ö ÓØ Ö ØÝÔ × Ó Ú Ö× Ö × Û Ø Ö ×ØÖ Ø Ð Øݸ ÙØ Ò Ø × Ø × × ÓÙÖ
Ñ × ØÓ ÜÔÓ× Ø ÛÓÖ×Ø × Ú ÓÙÖ Ó ÓÙÖ Ð ÓÖ Ø Ñ׸ ÓÖ Û ¸ Ó ÓÙÖ× ¸
Ø ÑÓ×Ø Ú Ð Ú Ö× ÖÝ × Ò º
½º¿ ÓÑ ØÖ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö ×
ÓÖ Û Ò ×Ø ÖØ ÓÙÖ ÓÙÖÒ Ý¸ Û Ò ØÓ Ò ×ÓÑ ÓÒ ÔØ× Ò ÓÑ ØÖÝ
Ù× Ø ÖÓÙ ÓÙØ Ø Ø × ×º Ì Ö Ö × ÓÙÐ Ñ Ð Ö Û Ø Ø Ø ÓÖÝ
Ó Ù Ð Ò Ò ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑ ØÖݺ Ï ××ÙÑ Ø Ö Ð Ê Å ÑÓ Ð
Ó ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ¸ Ò ÓÙÖ × Ù×× ÓÒ× Ñ ÒÐÝ ÓÒ ÖÒ ÔÖÓ Ð Ñ× Ò Ò Ø
Ù Ð Ò ÔÐ Ò º
ÁÒ ÔØ Ö× ¾ Û Ö ÓÒ× Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ× Ö Ð Ø ØÓ Ù Ö Ò Ò ÜÔÐÓÖ¹
Ò ÔÓÐÝ ÓÒ׺ Ì Ö ÓÖ ¸ × ÓÖØ ÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ØÓ Ø × ÓÑ ØÖ Ð Ó Ø × Ú Ò
Ò Üغ Ï Ð×Ó ÔÖ × ÒØ ×ÓÑ × ÔÖÓÔ ÖØ × Ó Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ ×¸ ÓÒ ÔØ Ù×
Ò Ù Ö Ò Ø ÓÖݺ
21. ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ
½º¿º½ ÈÓÐÝ ÓÒ× Ò ×ÓÑ Ó Ø Ö ÈÖÓÔ ÖØ ×
Ï Ö ×ØÖ Ø ÓÙÖ ØØ ÒØ ÓÒ ØÓ × ÑÔÐ ÔÓÐÝ ÓÒ׸ º º¸ ÒÓÒ¹ Ò Ö Ø ÔÓÐÝ ÓÒ× Û Ø ¹
ÓÙØ ÓР׺ Ï ×Ø Ò Ù × ØÛ Ò Ò Ö Ð ÔÓÐÝ ÓÒ× Ò Ö Ø Ð Ò Ö ÔÓÐÝ ÓÒ׺
Ì Ò Ø ÛÓÖ Ö Ø Ð Ò Ö Ð Ø Ö ÐÐݸ ÓÒ ÛÓÙÐ ÜÔ Ø ÐÐ ÔÓÐÝ ÓÒ× ØÓ Ö ¹
Ø Ð Ò Öº ÙØ ØÙ ÐÐݸ Ö Ø Ð Ò Ö Ò Ø × × × ÓÑ ×ÝÒÓÒÝÑÓÙ× ØÓ Ü ×
Ô Ö ÐРи Ò Ö Ø Ð Ò Ö ÔÓÐÝ ÓÒ× Ö Ø Ó× Û Ø ÓÒÐÝ Ü × Ô Ö ÐРР׺
Ä Ø P × ÑÔÐ ÔÓÐÝ ÓÒ Û Ø n ׺ ××ÙÑ Ø Ø P × Ö ÔÖ × ÒØ Ý
Ð ×Ø Ó Ø × Ó P × Ø Ý Ö Ò ÓÙÒØ Ö ÙÖ Ò ÐÓ Û × × Ò Ó Ø
ÓÙÒ ÖÝ Ó Ø ÔÓÐÝ ÓÒº Ú ÖØ Ü Ó ÔÓÐÝ ÓÒ × Ö Ü¸ Ø ÜØ Ö ÓÖ Ò Ð
× Ð ×× Ø Ò π¸ ÓØ ÖÛ × Ø × × ØÓ ÓÒÚ Üº ÌÛÓ ÔÓ ÒØ× p Ò q Ö Ú × Ð
ÖÓÑ ÓØ Ö¸ Ø Ð Ò × Ñ ÒØ [p, q] × ÓÒØ Ò Ò Pº Ï Ð×Ó × Ý Ø Ø p
Ò q × ÓØ Öº ÓÖ ÔÓ ÒØ p Ò P Û ÒÓØ Ý VP(p) Ø × Ø Ó ÔÓ ÒØ×
Ó P Ø Ø Ö Ú × Ð ÖÓÑ pº VP(p) × ÐÐ Ø Ú × Ð ØÝ ÔÓÐÝ ÓÒ Ó pº
Ò Ø ÓÒ ½º P × ÓÒÚ Ü ¸ ÓÖ Ú ÖÝ Ô Ö Ó ÔÓ ÒØ× p, q ∈ P¸ Ø Ð Ò × Ñ ÒØ
[p, q] ∈ Pº
Ò Ø ÓÒ ½º P × ×Ø Ö × Ô Ø Ö × ÔÓ ÒØ p ∈ P ×Ù Ø Ø VP(p) = Pº
Ò Ø ÓÒ ½º P × Ð Ò Ñ Ø Ö k k × Ø Ñ Ò ÑÙÑ ÒØ Ö Ú ÐÙ ×Ù
Ø Ø ÓÖ ÐÐ ÔÓ ÒØ× x, y ∈ P Ø Ö Ü ×Ø× Ô Ø ÖÓÑ x ØÓ y Ø Ø Ó × ÒÓØ ÖÓ××
Ø ÓÙÒ ÖÝ Ó P Ò Ø Ø ÓÒ× ×Ø× Ó k ×ØÖ Ø Ð Ò × Ñ ÒØ׺ Ï × Ý Ø Ø
ÔÓÐÝ ÓÒ × k¹Ð Ò Ø × Ð Ò Ñ Ø Ö kº
ÆÓØ Ø Ø ÓÒÚ Ü ÔÓÐÝ ÓÒ× Ú Ð Ò Ñ Ø Ö ÓÒ ¸ Û Ö × ×Ø Ö × Ô ÔÓÐݹ
ÓÒ× Ú Ð Ò Ñ Ø Ö Ø ÑÓ×Ø ØÛÓº
Ï Ò ÓÙÖ ÕÙ Ö ÒØ× Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ ÔÓ ÒØ p ∈ Pº Ì Ó× Ö Ø
Ö ÓÒ× Ó Ø Ò Ý ÙØØ Ò P ÐÓÒ Ø ØÛÓ Ñ Ü Ñ Ð Ü × Ô Ö ÐÐ Ð Ð Ò × Ñ ÒØ×
Ò× P Ø Ø Ô ×× Ø ÖÓÙ pº Ì ÓÙÖ ÕÙ Ö ÒØ× Ö ÒÓØ Q1(p)¸ Q2(p)¸
Q3(p)¸ Ò Q4(p) Ò ÓÙÒØ Ö ÐÓ Û × ÓÖ Ö ÖÓÑ Ø ØÓÔ Ö Ø ÕÙ Ö ÒØ ØÓ Ø
ÓØØÓÑ Ö Ø ÕÙ Ö ÒØ × ÙÖ ½º½´ µº
Á e × Ò Ó P Û Ø Ö Ü Ú ÖØ Ü v¸ Ø Ò Ø Ñ Ü Ñ Ð Ð Ò × Ñ ÒØ Ò P
ÓÐÐ Ò Ö ØÓ e¸ Û Ø ÓÒ Ò ÔÓ ÒØ Ò v × ÐÐ Ò ÜØ Ò× ÓÒ × ÙÖ × ½º½´ µ
Ò ½º¾´ µº Ì ÜØ Ò× ÓÒ × Ø × Ñ Ö Ø ÓÒ × Ø eº ÁÒ Ø Ö Ø Ð Ò Ö
× Û Ù× Ø ÓÙÖ ÓÑÔ ×× Ö Ø ÓÒ× north¸ west¸ south¸ Ò east ØÓ ÒÓØ
Ø Ö Ø ÓÒ Ó Ò ÜØ Ò× ÓÒº ÆÓØ Ø Ø Ú ÖÝ Ö Ü Ú ÖØ Ü × ××Ó Ø Û Ø
ØÛÓ ÜØ Ò× ÓÒ׺ Ï × Ý Ø Ø Ò ÜØ Ò× ÓÒ c ÓÑ Ò Ø × ÒÓØ Ö ÜØ Ò× ÓÒ c ¸
ÐÐ ÔÓ ÒØ× Ò P ØÓ Ø Ö Ø Ó c¸ Ð×Ó Ð ØÓ Ø Ö Ø Ó c º Ò ×× ÒØ Ð ÜØ Ò× ÓÒ
× Ò ÜØ Ò× ÓÒ Ø Ø × ÒÓØ ÓÑ Ò Ø Ý ÒÝ ÓØ Ö ÜØ Ò× ÓÒ × ÙÖ × ½º½´ µ
Ò ½º¾´ µº
22. ½º¿ ÓÑ ØÖ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö ×
Q1(p)
Q2(p)
Q3(p)
Q4(p)
´ µ ´ µ
ÜØ Ò× ÓÒ×
p
e e
p
e ÓÑ Ò Ø × e
e × Ð Ø ÜØ Ò× ÓÒ
ۺֺغ p
´ µ
ÙÖ ½º½ ÁÐÐÙ×ØÖ Ø Ò ×ÓÑ Ò Ø ÓÒ× Ö Ö Ò Ö Ø ¹
Ð Ò Ö ÔÓÐÝ ÓÒ׺
00110000
0000
0000
0000
1111
1111
1111
1111
c × ×× ÒØ Ð Ö ×Ô Ø ØÓ p
c ÓÑ Ò Ø × c ÓÖÒ Ö Û ØÜØ Ò× ÓÒ×
p
´ µ´ µ´ µ
c c
ÙÖ ½º¾ ÁÐÐÙ×ØÖ Ø Ò ×ÓÑ Ò Ø ÓÒ× Ö Ö Ò × ÑÔÐ
ÔÓÐÝ ÓÒ׺
23. ½¼ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ
Á ÔÓ ÒØ p Ð × ØÓ Ø Ð Ø Ó Ò ÜØ Ò× ÓÒ¸ Ø Ò Ø Ø ÜØ Ò× ÓÒ × ÐÐ
Ð Ø ÜØ Ò× ÓÒ Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ pº Ä Ø c1, c2, . . . , ck Ø ×× ÒØ Ð Ð Ø ÜØ Ò× ÓÒ×
Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ ×ÓÑ ÔÓ ÒØ pº Ì × ÜØ Ò× ÓÒ× Ö Ò Ü × Ø ×Ø ÖØ Ò
ÔÓ ÒØ× Ó Ø ÜØ Ò× ÓÒ× Ö ÓÙÒ Ò ÐÓ Û × × Ò Ó Ø ÓÙÒ ÖÝ Ó Pº
ÓÖÒ Ö Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ p × Ñ Ü Ñ Ð ×Ù × Ø Ó ÓÒ× ÙØ Ú ×× ÒØ Ð Ð Ø
ÜØ Ò× ÓÒ× cj, cj+1, . . . , cm Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ p ×Ù Ø Ø ci ÒØ Ö× Ø× ci+1 ÓÖ
j ≤ i < m × ÙÖ ½º¾´ µº ÜØ Ò× ÓÒ Ò ÓÖÒ Ö × Ú Ý Ø
ÜØ Ò× ÓÒ ÒØ Ö× Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ× ÒØÓ Ø ÑÓ×Ø m × Ñ ÒØ׺ Ì × × Ñ ÒØ× Ö
ÐÐ Ö Ñ ÒØ׺ Ö Ñ ÒØ f ÓÑ Ò Ø × Ò ÜØ Ò× ÓÒ c¸ f Ð × ØÓ Ø Ö Ø
Ó ¸ ÓÖ ÓÒ¸ cº
½º¿º¾ Ï Ø Ñ Ò ÊÓÙØ × Ò ×ÓÑ Ó Ø Ö ÈÖÓÔ ÖØ ×
Á C × ÔÓÐÝ ÓÒ Ð ÙÖÚ ¸ Ø Ò Ø Ð Ò Ø Ó C¸ ÒÓØ length(C)¸ × Ò ×
Ø ×ÙÑ Ó Ø ×Ø Ò × ØÛ Ò ÓÒ× ÙØ Ú Ô Ö× Ó × Ñ ÒØ Ò ÔÓ ÒØ× Ò Cº
Ì Ú × Ð ØÝ ÔÓÐÝ ÓÒ VP(C) Ó C × Ò Ý VP(C) = p∈C VP(p)º
Ä Ø p ÔÓ ÒØ ×ÓÑ Û Ö Ò× Pº Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ Ø ÖÓÙ p × Ò
ØÓ ÐÓ× ÙÖÚ C Ø Ø Ô ×× × Ø ÖÓÙ p Û Ø VP(C) = Pº Ì × ÓÖØ ×Ø
Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ Ø ÖÓÙ p × ÒÓØ Ý SWRpº ÁØ Ò × ÓÛÒ Ø Ø Ø
× ÓÖØ ×Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ Ò × ÑÔÐ ÔÓÐÝ ÓÒ × ÐÓ× ÔÓÐÝ ÓÒ Ð ÙÖÚ ¿¼¸ ¿½ º
Ä ÑÑ ½º½ Ò Ò ÆØ Ó× ¿½ ÐÓ× ÙÖÚ × Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ ¸ Ò
ÓÒÐÝ Ø ÙÖÚ × Ø Ð ×Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ ØÓ Ø Ö Ø Ó ¸ ÓÖ ÓÒ¸ ×× ÒØ Ð
ÜØ Ò× ÓÒº
Ä ÑÑ ½º¾ Ò Ò ÆØ Ó× ¿½ Ì Ö × × ÓÖØ ×Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ Ø Ø
Ú × Ø× Ø ÓÖÒ Ö× Ò Ø ÓÖ Ö Ò Û Ø Ý ÔÔ Ö ÓÒ Ø ÓÙÒ ÖÝ Ó Pº
Ú Ò Ø Ò Ø ÓÒ× Ò Ë Ø ÓÒ ½º¿º½ Û Ò ÒÓÛ Ú ÓÖÑ Ð Ò Ø ÓÒ Ó
Ø × ÓÖØ ×Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ ÔÖÓ Ð Ñ ¿½¸ ¸ ½¼ ¸ ½¼ º
Ú Ò ÔÓÐÝ ÓÒ P Ò ÔÓ ÒØ p ÓÒ Ø× ÓÙÒ Öݸ ÓÑÔÙØ Ø × ÓÖع
×Ø ÐÓ× ÔÓÐÝ ÓÒ Ð ÙÖÚ Ø Ø ÒØ Ö× Ø× ÐÐ ×× ÒØ Ð Ð Ø ÜØ Ò× ÓÒ×
Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ pº
Ï ÐÐ Ð ÓÖ Ø Ñ× ×ÓÐÚ Ò Ø × ÔÖÓ Ð Ñ ËÏʹ Ð ÓÖ Ø Ñ׺
½º Ì Å Ò Ö Ò È Ø
Ì Ø × × × Ú ÒØÓ Ø Ö Ô ÖØ׸ Ô ÖØ ÓÒ× Ö× Ö ÒØ ØÓÔ × Ò
ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑ ØÖݺ ÀÓÛ Ú Ö¸ Ø Ö Ö Ð Ò × ØÛ Ò Ø Ö ÒØ Ö ×
ÔÖ × ÒØ ¸ ÓØ Ö Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ× Ò ÔÖÓÓ Ø Ò Õ٠׺ ÐØ ÓÙ
24. ½º Ì Å Ò Ö Ò È Ø ½½
Ø Ø × × ÓÒØ Ò× ÒØ ÒÙÑ Ö Ó ÔÓ× Ø Ú Ö ×ÙÐØ׸ Ø ÓÔ × Ø Ø Ø
ÙØ ÓÖ³× × Ò Ø ÓÒ ÓÖ Ø ÙÒ ÒÓÛÒ Ò Ø Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ð × ÜØ Ò× Ú ÐÝ ×¹
ÔÐ Ý Ø ÖÓÙ ÓÙØ Ø Ø × ×º
½º º½ Ù Ö Ò ¸ ÜÔÐÓÖ Ò ¸ Ò Ë Ö Ò
Ù Ö Ò Ò ÜÔÐÓÖ Ò ÈÓÐÝ ÓÒ×
È ØÙÖ ÝÓÙÖ× Ð × Ø ÔÖ × ÒØ Ó Ø Ò Ø ÓÒ Ð ÑÙ× ÙÑ Ò ÝÓÙÖ ÓÙÒØÖÝ ÓÐ Ò
ÒÚ ÐÙ Ð ØÖ ×ÙÖ × Ó ×ØÓÖÝ Ò Öغ ÀÓÛ Ñ ÒÝ ×ÙÖÚ ÐÐ Ò Ñ Ö × ÛÓÙÐ
ÝÓÙ Ú Ò×Ø ÐÐ Ò Ø ÑÙ× ÙÑ ØÓ Ñ ÝÓÙ ×Ð Ô Ø Ø Ø Ò Ø Ò
× ÒØ ×Ø ÝÓÙ Ñ Ø ÓÑ ØÓ Ø ÓÒ ÐÙ× ÓÒ Ø Ø Ú ÖÝ Ô ÖØ Ó Ø ÐÐ ÖÝ ×
× Ò Ý Ø Ñ Ö ×¸ Ø × ÛÓÙÐ ÙÐ ÐÐ ÝÓÙÖ Ò ×º Ì Ò×Û Ö × ×ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ
Ø ÖØ ÐÐ ÖÝ ÈÖÓ Ð Ñ ¿ ¸ ¸ ¼ ÓÛ Ñ ÒÝ Ñ Ö × Ó Û Ò ØÓ Ù Ö
Ú Ò ÐÐ ÖÝ Ò ÓÛ Ó Û Û Ö ØÓ ÔÐ Ø Ñ Ì × ÔÖÓ Ð Ñ
Û × ÔÓ× Ý Î ØÓÖ ÃÐ Ò ½ ¿ Ò Ö ×ÔÓÒ× ØÓ ÕÙ ×Ø ÓÒ Ö × Ý Î
Ú Ø Ð ¾ º
ØÙ ÐÐݸ Û Ö ÒØ Ö ×Ø Ò Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ú Ö× ÓÒ Ó Ø ÖØ ÐÐ ÖÝ ÔÖÓ ¹
РѸ º º¸ Ò Ò Ò Ñ Ò ÑÙÑ ÒÙÑ Ö Ó Ù Ö × ÓÖ Ú Ò ÖØ ÐÐ Öݺ Ì ×
ÔÖÓ Ð Ñ × ÐÐ Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ù Ö ÓÚ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñº Ì ÔÖÓ Ð Ñ × ÒÓÛÒ
ØÓ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ÐÐÝ ÙÐØ ¿ Ò Ø × ×ØÖÓÒ ÐÝ Ö Ð Ø ØÓ Ø Ñ Ò ÑÙÑ × Ø
ÓÚ Ö ÔÖÓ Ð Ñº ÁÒ ÔØ Ö ¾ Û × ÓÛ Ø Ø Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ù Ö ÓÚ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ
× Ö Ú Ò ÓÖ 2¹Ð Ò ÔÓÐÝ ÓÒ Ò×Ø Ò ×º
ÒÓØ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ò × Ñ Ð Ö × ØØ Ò ÙØ ÓÑÔÐ Ø ÐÝ Ö ÒØ Ö Ö Ò Ø
ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ×Ô Ø× × Ø × ÓÖØ ×Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ò Ë ¹
Ø ÓÒ ½º¿º¾º ÁÒ ÔØ Ö ¿ Û × Ù×× Ø Ø Ñ ÓÙÒ × Ó ×ÓÑ Ó Ø ÖÐÝ ØØ ÑÔØ×
ØÓ ÓÑÔÙØ × ÓÖØ ×Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ × Û Ø ÔÖ ÓÖ ×Ô ×Ø ÖØ Ò ÔÓ ÒØ׺
Ö Ð Ø ØÓÔ × Ø Ø Ó ÜÔÐÓÖ Ò Ø ÒØ Ö ÓÖ Ó ÔÓÐÝ ÓÒ¸ × Ò Ø Ò
Ú Û × Ø ÓÒÐ Ò Ú Ö× ÓÒ Ó Ø × ÓÖØ ×Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ ÔÖÓ Ð Ñº Ì
ÜÔÐÓÖ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ × Ò ÑÔÓÖØ ÒØ Ò Û ÐÐ ×ØÙ ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÖÓ ÓØ ×º ÁÒ
Ñ ÒÝ Ö Ð ×Ø × ØÙ Ø ÓÒ× Ø ÖÓ ÓØ Ó × ÒÓØ ÔÓ×× ×× ÓÑÔÐ Ø ÒÓÛÐ ÓÙØ
Ø× ÒÚ ÖÓÒÑ Òظ ÓÖ Ò×Ø Ò ¸ Ø Ñ Ý ÒÓØ Ú Ñ Ô Ó Ø× ×ÙÖÖÓÙÒ Ò × ¾¾¸ ¾ ¸
¿ ¸ ¿ ¸ ¿ ¸ ½¸ ¸ ¼¸ ½¸ ¸ ¸ º
Ï Ö ÒØ Ö ×Ø Ò Ó Ø Ò Ò ÑÔÖÓÚ ÙÔÔ Ö ÓÙÒ × ÓÖ Ø ÓÑÔ Ø Ø Ú
Ö Ø Ó Ó ÜÔÐÓÖ Ò Ö Ø Ð Ò Ö ÔÓÐÝ ÓÒº Ò Ø Ðº ¿ × ÓÛ Ø ÖÑ Ò ×Ø
×ØÖ Ø Ý Ú Ò ÓÑÔ Ø Ø Ú Ö Ø Ó ØÛÓ ÓÖ Ø × ÔÖÓ Ð Ñ ×Ø Ò × Ñ ×ÙÖ
ÓÖ Ò ØÓ Ø L1¹Ñ ØÖ º ÃÐ Ò Ö ½ ÔÖÓÚ × ÐÓÛ Ö ÓÙÒ Ó 5/4 ÓÖ Ø
ÓÑÔ Ø Ø Ú Ö Ø Ó Ó ÒÝ Ø ÖÑ Ò ×Ø ×ØÖ Ø Ýº ÁÒ ÔØ Ö Û × ÓÛ ×ØÖ Ø Ý
Ó Ø Ò Ò ÓÑÔ Ø Ø Ú Ö Ø Ó Ó 5/3 ÓÖ ÜÔÐÓÖ Ò Ö Ø Ð Ò Ö ÔÓÐÝ ÓÒ Ò Ø
L1¹Ñ ØÖ º
25. ½¾ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ
ÓÑ ØÖ Ë Ö ÈÖÓ Ð Ñ× ÓÖ È Ö ÐÐ Ð Ê Ý×
ÌÓ × Ö ÓÖ Ø Ö Ø ÓÒ Ð Ò × Ð ×× Ò ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ø
Ø ÓÖÝ Ó ÓÑ ØÖ × Ö Ø Ø Ó × Ý Ø Ò Ñ Ì Ð Ò Ö × Ö ÔÖÓ Ð Ñ º
Ì ÔÖÓ Ð Ñ Û × Ö×Ø Ò ÐÝ× Ý º ½¾ Ò ½ ¿º ³× Ô Ö×Ô Ø Ú
Û × ÓÑÔÐ Ø ÐÝ ÔÖÓ Ð ×Ø Ò Ø Ñ Û × ØÓ Ñ Ò Ñ × Ø ÜÔ Ø ×Ø Ò
ØÖ Ú ÐÐ Ý × Ö Öº Ò ÓØ Ö× ÔÙ Ð × Ð Ö ÒÙÑ Ö Ó Ô Ô Ö×
ÓÒ ÖÒ Ò Ø × ÔÖÓ Ð Ñ ½¿¸ ½ ¸ ½ ¸ ¸ ¼ Ò Ø Ð ÙÐÑ Ò Ø Û Ø
ÑÓÒÓ Ö Ô Ý Ëº Ð ½ Ò ½ ¼ Ø Ø Ò ÐÙ × ÑÓÒ Ñ ÒÝ ÓØ Ö Ø Ò ×¸ Ò
ÓÔØ Ñ Ð ×ØÖ Ø Ý ÓÖ × Ö Ò m ÓÒ ÙÖÖ ÒØ Ö Ý× Ù× Ò × Ò Ð ÖÓ Óغ Ì ×
ÔÖÓ Ð Ñ Û × Ö × ÓÚ Ö Ò Ø Ð Ø Ò Ò Ø Ò Ø × Ò Ø ÐÓÛ Ö ÓÙÒ
Ø Ò ÕÙ × ÔÖÓÚ ØÓ Ú ÖÝ ÑÔÓÖØ ÒØ ØÓÓÐ ÓÖ × Ò Ò ÓØ Ö ÐÓÛ Ö ÓÙÒ
ÔÖÓÓ × ÓÖ × Ö Ò Ò ÒÙÑ Ö Ó Ð ×× × Ó × ÑÔÐ ÔÓÐÝ ÓÒ× ¿ ¸ ¿ ¸ ¼¸ ¸ º
Ì Ø Ò ÕÙ × Ù× Ò Ø Ö ÒØ ÖØ Ð × ÓÖ Ò Ø ÖÓÑ Ø Ð Ó Óѹ
Ô Ø Ø Ú Ò ÐÝ× × Ò ÓÒÐ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ׸ × Ò Ø Ð Ò Ö × Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ò
Ø ÓÙ Ø Ó × Ò ÓÒÐ Ò ÔÖÓ Ð Ñº Ý ÒØÖÓ Ù Ò ÓÑÔ Ø Ø Ú Ò ÐÝ× ×¸ Ø Ó¹
Ù× × Ø× ÖÓÑ ÜÔ Ø ØÖ Ú ÐÐ Ò ×Ø Ò Ò ÔÖÓ Ð ×Ø Ò ÐÝ× × ØÓ Ø Ø Ó
ÛÓÖ×Ø × Ò ÐÝ× ×º Ì × × ÑÔÐ × Ø Ò ÐÝ× × ÙØ Ø ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÔÖÓÓ × ×Ø ÐÐ
Ø Ú ÖÝ ÓÑÔÐ Ø Ò ÐÝ ÒÓÒ¹ØÖ Ú Ðº
ÁÒ ½ Þ ¹ Ø × Ò Ë ÓØØ ½¼ Ò Ö Ð × Ø Ð Ò Ö × Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ý
ÒØÖÓ Ù Ò × ÓÒ ÖÓ ÓØ Ò Ø Ö Ý Ô Ö ÐÐ Ð × Ò Ø ÔÖÓ Ð Ñº Ì Ý ÓÙÒ
ØÛÓ ×ØÖ Ø × ÓÖ Ø × × Ö ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø ÕÙ Ð Ô Ö ÓÖÑ Ò Ù Ö ÒØ × ´
ØÓÖ Ó Ò Ò ÖÓÑ Ø Ó Ò ÓÔØ ÑÙѵ ÙØ Ø Ý ÒÓØ Ú ÒÝ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ×
ØÓ ÔÖÓÚ Ø Ø Ø Ö ×ØÖ Ø × Û Ö ÓÔØ Ñ Ðº ÁÒ ÔØ Ö Û Ú Ñ Ø Ò
ÐÓÛ Ö ÓÙÒ × ÓÖ ØÛÓ Ð Ö Ð ×× × Ó ×ØÖ Ø × ÓÖ Ø Ò Ö Ð × Ð Ò Ö × Ö
ÔÖÓ Ð Ñº Ï Ð×Ó Ò Ö Ð × Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÙÖØ Ö Ý ÒØÖÓ Ù Ò m ÓÒ ÙÖÖ ÒØ
Ö Ý× Ò m ÖÓ ÓØ׸ Ù×Ø Ø ÐÓÛ Ö ÓÙÒ × ÓÖ Ø Ò Û × ØÙ Ø ÓÒ¸ Ò ÔÖÓÚ
Ø Ø Ø Ö Ö ×ØÖ Ø × Û Ø Ñ Ø Ò ÓÑÔ Ø Ø Ú Ö Ø Ó׺
½º º¾ Ì Ñ Ô Ò ÒØ ÌÖ Ú ÐÐ Ò Ë Ð ×Ñ Ò ÈÖÓ Ð Ñ×
ÁÒ È ÖØ ÁÁ Û Ö ØÙÖÒ ØÓ Ø ØÖ Ú ÐÐ Ò × Ð ×Ñ Ò ÔÖÓ Ð Ñ¸ ÐÖ Ý × Ù×× Ò
Ë Ø ÓÒ ½º½º½º Î Ö ÒØ× Ó Ø × Û Ðй ÒÓÛÒ ÓÔØ Ñ × Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ú ÔÔ Ö
Ò Ñ ÒÝ Ö ÒØ ÓÒØ ÜØ× Ò Ø Ô ×غ Ï ×ØÙ Ý ×ÓÑ Ò Ö Ð × Ø ÓÒ× Ó ÌËÈ
Ø Ø ÐÐÓÛ × Û Ø Ø Ñ Ô Ò ÒØ Û Ø׺ ×Ð Ø ÓÑÔÐ Ø ÓÒ × Ø Ø
ØÛÓ Ó Ø × ÔÖÓ Ð Ñ× Ö ÓØ ÒÓØ Ø Ø Ñ Ô Ò ÒØ ØÖ Ú ÐÐ Ò × Ð ×Ñ Ò
ÔÖÓ Ð Ñ ´Ì ÌËȵ Ò Ø Ð Ø Ö ØÙÖ º ÌÓ ×Ø Ò Ù × ØÛ Ò Ø ÔÖÓ Ð Ñ× Û
Ö Ò Ñ Ø Ñ ÔÔÖÓÔÖ Ø ÐÝ ÐÓÛº
Ì ÓÐÐÓÛ Ò ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ Ó Ì ÌËÈ × Ù ØÓ Å Ð Ò Ö Ò × Ò ¾ º
ÓÑÔÐ Ø Ö Ø Ö Ô G(V, E) × Ú Ò ØÓ Ø Ö Û Ø ÔÓØ Ú ÖØ Ü Ø Ø
Ø × Ð ×Ñ Ò ×Ø ÖØ× ÖÓѺ Ì Ö Ô × Ö ÔÖ × ÒØ Ý Ø Ñ Ô Ò ÒØ Ó×Ø
26. ½º Ì Å Ò Ö Ò È Ø ½¿
Ñ ØÖ Üº Ì × Ñ ØÖ Ü ××Ó Ø × (i, j) Ò E Û Ø Ø Ñ Ô Ò ÒØ Ó×Ø
ÙÒ Ø ÓÒ cij(t)º Ì Ó Ø Ú × ØÓ Ò À Ñ ÐØÓÒ Ý Ð Ó Ñ Ò ÑÙÑ Ó×Ø Ò Gº
Ï ÐÐ Ø × Ô ÖØ ÙÐ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ó×Ø Ô Ò ÒØ ÌËÈ ´ ÌËȵº
ÁÒ Ø ÖÐÝ ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ× Ó Ì ÌËÈ ¸ ¸ ¸ ¿¸ Ø × ××ÙÑ Ø Ø Ø
Ó×Ø Ó Ò Ô Ò × ÓÒ Ø× ÔÓ× Ø ÓÒ Ò Ø À Ñ ÐØÓÒ Ý Ð º Ì × Ú Ö× ÓÒ Ó
Ø ÔÖÓ Ð Ñ¸ Û Û Ö Ö ØÓ × Ø ×Ø Ô Ô Ò ÒØ ÌËÈ ´Ë ÌËȵ¸ × Ñ ÒÝ
ÔÔÐ Ø ÓÒ× Ò × ÙÐ Ò ½½¸ ¸ ¸ º ÓØ ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ× Ö Ù×Ù ÐÐÝ ×ÓÐÚ
Ù× Ò ÒØ Ö Ð Ò Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò ´ÁÄȵ Ø Ò Õ٠׸ ÓÖ Û ÒÓ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ
Ù Ö ÒØ × Ò Ú Òº Ë Ò ÓØ ÔÖÓ Ð Ñ× Ú Ø ØÖ Ú ÐÐ Ò × Ð ×Ñ Ò
ÔÖÓ Ð Ñ × ×Ô Ð × ¸ ÒÓ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ù Ö ÒØ × Ö ÔÓ×× Ð ÙØ Ø Ö
Ö ÒØ Ö ×Ø Ò Ö ×ØÖ Ø ÓÒ× ØÓ Ø × ÔÖÓ Ð Ñ× Ø Ø Ñ Ø Ö Ú Ð ÔÓ× Ø Ú Ö ×ÙÐØ׺
Ï Ú ×ØÙ Ö ×ØÖ Ø ÓÒ× ØÓ Å Ð Ò Ö Ø Ðº³× Ò Ö Ð Ì ÌËȺ Ì
Ò Ø ÌËÈ × ×Ù Ö ×ØÖ Ø ÓÒ Ò Û Ø Ú ÖØ × Ó Ø Ö Ô Ö Ö ÔÖ × ÒØ
× ÔÓ ÒØ× Ò Ø ÔÐ Ò Ò Ø Ó×Ø ÙÒ Ø ÓÒ× × Ö Ø Ó×Ø Ó ØÖ Ú ÐÐ Ò
ØÛ Ò ÔÓ ÒØ× Ò Ö ÑÓØ ÓÒº Ì × × Ò ØÙÖ Ð Ò ÓØ Ø ÓÖ Ø ÐÐÝ Ò
ÔÖ Ø ÐÐÝ ÑÔÓÖØ ÒØ Ò Ö Ð × Ø ÓÒ Ó ÌËÈ ´ º º × Ú Ö Ð × ÙÐ Ò ÔÖÓ Ð Ñ×
Ò Ö Ù ØÓ ×ÓÐÚ Ò Ú Ö ÒØ× Ó Ò Ø ÌËȵº ÁÒ ÔØ Ö Û × Ù×× Ø
ÓÑÔÐ Ü ØÝ ×Ø ØÙ× Ó Ø ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒº Ï ÔÖÓÚ Ø
ÓÐÐÓÛ Ò Ö ×ÙÐØ׺
½º Á Ø ÔÓ ÒØ× ÐÐ ÑÓÚ Û Ø Ø × Ñ ×Ô Ò Ò Ø × Ñ Ö Ø ÓÒ Ø Ò
Ø Ö × ÈÌ Ë ÓÖ Ø Ò Ø ÌËȺ
¾º Ì Ò Ø ÌËÈ ÒÒÓØ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Û Ø Ò ØÓÖ Ó ØÛÓ Ò ÔÓÐݹ
ÒÓÑ Ð Ø Ñ ÙÒÐ ×× È Æȸ Ú Ò Ø Ö Ö ÓÒÐÝ ØÛÓ ÑÓÚ Ò ÔÓ ÒØ× Ò Ø
Ò×Ø Ò º
¿º Ä Ø n ÒÓØ Ø ÒÙÑ Ö Ó ÔÓ ÒØ× Ò Ø ÒÔÙØ Ò×Ø Ò º Ì Ò Ø
ÌËÈ ÒÒÓØ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Û Ø Ò ØÓÖ Ó 2Ω(
√
n)
Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ
ÙÒÐ ×× È Æȸ Ú Ò Ø Ñ Ü ÑÙÑ ×Ô × ÓÙÒ º
Ý ÒØÖÓ Ù Ò Ø ÓÒ ÔØ Ó Ø Ñ ÒØ ÖÚ Ð× ÓÖ Ø Ñ ÞÓÒ ×¸ Å Ð Ò Ö Ø
к Ö ×ØÖ Ø Ø Ö ÔÖÓ Ð Ñ ÜØ Ò× Ú ÐÝ ØÓ ÐÐÓÛ Ò ÒØ Ö Ð Ò Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ ÓÖ¹
ÑÙÐ Ø ÓÒ¸ Ò Ø × Ö ×ØÖ Ø ÓÒ Ó × ÒÓØ ÓÚ Ö Ø Ò Ø ÌËȺ ÁÒ ÔØ Ö Û
×ØÙ Ý Ë ÌËÈ Ò ÌËÈ Ò Ò ÓÒÐ Ò × ØØ Ò º Ï ÙÖØ Ö Ú ÐÓÔ Ø ÒÓØ ÓÒ
Ó Ø Ñ ÞÓÒ × Ò Ù× Ø × ÓÒ ÔØ ØÓ Ö ×ØÖ Ø Ø ÔÖÓ Ð Ñ× Ú Ò ÑÓÖ º Í× Ò
Ø ÓÒÐ Ò Ú Ö× ÓÒ× Û ÓÒ×ØÖÙ Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ× Ø Ø ÖÙÒ Ò ÔÓÐÝÒÓ¹
Ñ Ð Ø Ñ º Ì × ÛÓÖ × Ò×Ô Ö ÙÖØ Ö Ö × Ö Ò Ø Ö º ÆÓØ Ð × Ò
ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ø Ø Ñ Ô Ò ÒØ ÓÖ ÒØ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ú Ò Ý
ÓÑ Ò Ø Ðº ¿ º Ì ÓÖ ÒØ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ × Ö Ð Ø ØÓ ÐÓÒ ×Ø Ô Ø ÔÖÓ Ð Ñ
Ø Ø Û ÐÐ Ò Ò × Ù×× Ò ÔØ Ö º
27. ½ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ
½º º¿ Ó Ö Ô ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ ËÝ×Ø Ñ×
ÁÒ Ø Ð ×Ø Ô ÖØ Ó Ø Ø × × Û ÓÒ× Ö ØÛÓ ÔÖÓ Ð Ñ× Ö Ð Ø ØÓ Ø ×ØÖÙ ØÙÖ ×
Ò Ó Ö Ô Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ×Ý×Ø Ñ× ´ Á˵º
Ì Ö×Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ð× Û Ø ÒØ Ø ×ØÖÙ ØÙÖ × ÓÖ ÓÑ ØÖ Ø º ÌÝÔ¹
ÐÐݸ Ø Ø × Ø× Ö ÑÑ Ò× ¸ Ñ Ò Ò ×Ø Ð ÓÖ Ø Ñ× Û Ø Ð Ò Ö ×ØÓÖ º
ÁÒ ÔØ Ö Û Ò ÐÝ× Ø R¹ØÖ ¸ Û Ðй ÒÓÛÒ ÓÙÒ Ò ¹ÚÓÐÙÑ Ö Ö Ý
Ø Ø × ×Ù Ø Ð ÓÖ ×ØÓÖ Ò ÓÑ ØÖ Ø ÓÒ × ÓÒ ÖÝ Ñ ÑÓÖݺ ÍÒ ÓÖØÙÒ Ø Ðݸ
ÒÓ ÓÓ Ò ÐÝ× × Ó Ø× ÕÙ ÖÝ Ø Ñ Ü ×Ø׺ Ï × Ö Ò Û Ð ÓÖ Ø Ñ ØÓ
ÓÒ×ØÖÙ Ø Ò Ê¹ØÖ ÓÖ × Ø Ó ÔÐ Ò Ö Ó Ø× Ø Ø × ÔÖÓÚ ÐÝ ÓÓ ÕÙ ÖÝ
ÓÑÔÐ Ü ØÝ ÓÖ ÔÓ ÒØ ÐÓ Ø ÓÒ ÕÙ Ö × Ò Ö Ò ÕÙ Ö × Û Ø Ö Ò × Ó ×Ñ ÐÐ
Û Ø º ÓÖ ÖØ Ò ÑÔÓÖØ ÒØ ×Ô Ð × ×¸ ÓÙÖ ÓÙÒ × Ö ÓÔØ Ñ Ðº Ï Ð×Ó
× ÓÛ ÓÛ ØÓ ÙÔ Ø Ø ×ØÖÙ ØÙÖ ÝÒ Ñ ÐÐݸ Ò Û Ò Ö Ð × ÓÙÖ Ö ×ÙÐØ× ØÓ
Ö¹ Ñ Ò× ÓÒ Ð ×Ô ×º
Ì × ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ó Ö Ô Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ×Ý×Ø Ñ× ÒÚÓÐÚ × Ø ×ØÖÙ ¹
ØÙÖ × ÓÖ Ø ÖÖ Ò ÑÓ ÐÐ Ò º ÁØ ÓÒ ÖÒ× ÙØÓÑ Ø Ö ÑÓÚ Ð Ó ÖØ Ð ÖØ Ø×
Ò Ø ÖÖ Ò× ÓÑÔÙØ Ù× Ò × ÑÔÐ ÔÓ ÒØ׸ Ò Ò Ö Ð × × Ø Ø ÓÖÝ Ó Ð ÙÒ Ý
ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ׺ Ì ÛÓÖ ¸ ÔÖ × ÒØ Ò ÔØ Ö ¸ × Ô Ö ÐÐ Ð ØÓ Ø kØ ÓÖ Ö
ÎÓÖÓÒÓ Ö Ñ¸ Û Ò ØÙÖÒ × Ò Ö Ð × Ø ÓÒ Ó Ø ÎÓÖÓÒÓ Ö Ñº ÓÖ
× Ø P Ó ÔÓ ÒØ× Ò Ø ÔÐ Ò ¸ Û ÒØÖÓ Ù Ð ×× Ó ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ× Ø Ø × Ò
ÜØ Ò× ÓÒ Ó Ø Ð ÙÒ Ý ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒº ÁÒ×Ø Ó Ö ÕÙ Ö Ò Ø Ø ÓÖ ØÖ Ò¹
Ð Ø Ö Ð Ø ÖÓÙ Ø× Ú ÖØ × ÓÒØ Ò× ÒÓ ÔÓ ÒØ× Ó P Ò× ¸ Û Ö ÕÙ Ö Ø Ø
Ø ÑÓ×Ø k ÔÓ ÒØ× Ö Ò× Ø Ö Ð º ËÙ ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ × ÐÐ k¹ÓÖ Ö
Ð ÙÒ Ý ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒº Ë Ò Ø Ö Ö Ñ ÒÝ Ö ÒØ ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ× Ó Ø Ø
×ÓÖØ ÓÖ ÔÓ ÒØ × Ø¸ ÓØ Ö Ù× ÙÐ Ö Ø Ö ÓÖ ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ× Ò Ò ÓÖÔÓÖ Ø
Û Ø ÓÙØ × Ö Ò Ø Û ÐÐ¹× Ô Ò ×× ØÓÓ ÑÙ º ÔÔÐ Ø ÓÒ× Ò ÐÙ × Ü ÔØ
ÓÖ Ö Ð ×Ø Ø ÖÖ Ò ÑÓ ÐÐ Ò Ð×Ó Ñ × Ò Ö Ø ÓÒ ÓÖ Ò Ø Ð Ñ ÒØ Ñ Ø Ó ×º
30. ÔØ Ö ¾
Ù Ö Ò Ä Ò × Ò ¾¹Ä Ò
ÈÓÐÝ ÓÒ×
ÇÒ Ö Ò Ò ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑ ØÖÝ ÓÒ ÖÒ× Ø ×Ó ÐÐ ÖØ ÐÐ ÖÝ ÔÖÓ ¹
РѺ ÁÒ Ò ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ Ó Ó ×Ø Ð ×¸ Û Û × ØÓ ÔÓ× Ø ÓÒ ×ÙÖÚ ÐÐ Ò Ñ Ö ×
´ÓÖ Ù Ö ×µ Ò ×Ù Û Ý Ø Ø Ø ÓÐÐ Ø Ú × Ø Ó Ñ Ö × ÓÚ Ö Ú ÖÝØ Ò Ò
Ø ÒÚ ÖÓÒÑ Òغ Ì ÔÖÓ Ð Ñ Û × ÔÓ× Ý Î ØÓÖ ÃÐ Ò ½ ¿ Ò Ö ×ÔÓÒ× ØÓ
ÕÙ ×Ø ÓÒ Ö × Ý Î Ú Ø Ð ¾ º Ì Ð ØØ Ö × ÓÛ Ò ½ Ø Ø n/3
Ñ Ö × Ö ×Ù ÒØ Ò ×ÓÑ Ø Ñ × Ò ×× ÖÝ ØÓ Ù Ö ÒÝ ÐÐ ÖÝ Ö ÔÖ × ÒØ
× ØÛÓ Ñ Ò× ÓÒ Ð × ÑÔÐ ÔÓÐÝ ÓÒ ¿¿ º
Ì Ð ÓÖ Ø Ñ Ú Ö× ÓÒ Ó Ø × ÔÖÓ Ð Ñ × ØÓ Ò Ñ Ò ÑÙÑ ÒÙÑ Ö Ó
Ù Ö × ÓÖ Ú Ò ÖØ ÐÐ Öݺ Ì × × ÐÐ Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ù Ö ÓÚ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ
Ò Û × × ÓÛÒ ØÓ Æȹ Ö Ý ÖÛ Ð ¿ Ò Ä Ò Ä Ò º Ì × ×
ØÙ ÐÐÝ ÔÓÐÝ ÓÒ ÓÑÔÓ× Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñº Ì Ú × Ð ØÝ ÔÓÐÝ ÓÒ ÖÓÑ ÔÓ ÒØ
× ×Ø Ö × Ô º Ì × Ñ × Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ù Ö ÓÚ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÒØ Ð ØÓ
Ø Ø Ó Ò Ò Ñ Ò ÑÙÑ ×Ø Ö ÓÚ Ö Ó ÔÓÐÝ ÓÒº Ì ÔÖÓ Ð Ñ × ÒÓÛÒ ØÓ
ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ÐÐÝ ÙÐØ ¿ Ò Ø × ×ØÖÓÒ ÐÝ Ö Ð Ø ØÓ Ø Ñ Ò ÑÙÑ × Ø
ÓÚ Ö ÔÖÓ Ð Ñº
ÁÒ ½ ÂÓ× Ô Ëº º Å Ø ÐÐ Ö × Ø ÕÙ ×Ø ÓÒ Ó ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò ØÛ Ò
Ð Ò Ñ Ø Ö Ò Ù Ö Ð ØÝ Ó × ÑÔÐ ÔÓÐÝ ÓÒ׺ 1¹Ð Ò ÔÓÐÝ ÓÒ× Ö ÓÒÚ Ü
Ò Ò ØÖ Ú ÐÐÝ Ù Ö Ð Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ º Ì ÓÖ Ò Ð Æȹ Ö Ò ××
ÔÖÓÓ × ¿¸ ÑÑ Ø ÐÝ Ú Æȹ Ö Ò ×× ÓÖ ÔÓÐÝ ÓÒ× Û Ø Ð Ò Ñ Ø Ö
Ø Ð ×Ø ÓÙÖº Æ Ð××ÓÒ ÔÖÓÚ Ø Æȹ Ö Ò ×× ÓÖ 3¹Ð Ò ÔÓÐÝ ÓÒ× º Ì ×
Ð Ú × Ø ÓÑÔÐ Ü ØÝ ÕÙ ×Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ù Ö ÓÚ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ 2¹
Ð Ò ÔÓÐÝ ÓÒ× ÓÔ Òº ÆÓØ Ø Ø Ð Ö Ð ×× Ó 2¹Ð Ò ÔÓÐÝ ÓÒ× Ö ×Ø Ö × Ô
Ò Ø Ö ÓÖ Ù Ö Ð Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ º ÁÒ Ø × ÔØ Ö Û × Ø ÓÙØ ØÓ Ò×Û Ö
Ø ÓÑÔÐ Ü ØÝ ÕÙ ×Ø ÓÒ ÓÖ 2¹Ð Ò ÔÓÐÝ ÓÒ׺ ÁÒ Ó Ò ×Ó Û Ò ÐÝ× Ö Ð Ø
ÔÖÓ Ð Ñ ÐÐ Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ð Ò ÓÚ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ Û × ÒØ Ö ×Ø Ò Ò Ø×
ÓÛÒ Ö Øº Ï Ú ×Ù Ò Ø Ö Ù Ø ÓÒ ÖÓÑ Å 2Ë Ì ÔÖÓÚ Ò Ø Ø Ø
Ð Ò ÓÚ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ × Ö ØÓ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø º × Ñ Ð Ö Ö ×ÙÐØ Û × Ð Ñ Ý
31. ½ Ù Ö Ò Ä Ò × Ò ¾¹Ä Ò ÈÓÐÝ ÓÒ×
ÃÙÑ Ö Øº к ¾ ÙØ ÓÙÖ ÓÒ×ØÖÙ Ø ÓÒ Ú × Ò ÜÔÐ Ø ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÓÒ Ø
ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ö Ø Óº
ÖÓÑ Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ð Ò ÓÚ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ö × ×ØÖ Ø ÓÖÛ Ö Ô ÔÖ ¹
× ÖÚ Ò Ö Ù Ø ÓÒ ØÓ Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ù Ö ÓÚ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ¸ Ø Ø Ø Å Ø ÐÐ
Ò ÃÓÒ Ò Ð×Ó Ú Ó × ÖÚ º
¾º½ ÈÖÓ Ð Ñ ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ
ÓÖ Û ÔÖÓÚ ÓÙÖ Ð Ñ Û Ú ÓÖÑ Ð Ò Ø ÓÒ× Ó Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ù Ö ÓÚ¹
Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ð Ò ÓÚ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñº
Ì Å Ò ÑÙÑ Ù Ö ÓÚ Ö Ò ÈÖÓ Ð Ñ ´Å ȵ
ÁÒ×Ø Ò ÔÓÐÝ ÓÒ Pº
ËÓÐÙØ ÓÒ Ñ Ò ÑÙÑ × Ø Ó ÔÓ ÒØ× Ò P ÖÓÑ Û Ø ÒØ Ö ÔÓÐÝ ÓÒ¸ ÒØ Ö ÓÖ
Ò ÓÙÒ ÖÝ Ò × Òº ÌÛÓ ÔÓ ÒØ× x, y ∈ P × ÓØ Ö Ø ×ØÖ Ø
Ð Ò × Ñ ÒØ xy ⊂ Pº
Ì Å Ò ÑÙÑ Ä Ò ÓÚ Ö Ò ÈÖÓ Ð Ñ ´ÅÄ Èµ
ÁÒ×Ø Ò × Ø L Ó ÒÓÒ¹Ô Ö ÐÐ Ð Ð Ò × Ò Ø ÔÐ Ò º
ËÓÐÙØ ÓÒ Ñ Ò ÑÙÑ × Ø P Ó ÔÓ ÒØ× ×Ù Ø Ø Ø Ö × Ø Ð ×Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ Ò P
ÓÒ Ð Ò Ò Lº
Ì Ñ Ò ÑÙÑ Ù Ö ÓÚ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ × ØÖ Ú Ð ÓÖ 1¹Ð Ò ÔÓÐÝ ÓÒ× × Ò Ø ×
ÔÓÐÝ ÓÒ× Ö ÓÒÚ Üº Ì ÓÖ Ò Ð Æȹ Ö Ò ×× ÔÖÓÓ × Ó Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ù Ö
ÓÚ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ×ØÖÙ Ø× ÔÓÐÝ ÓÒ Ò×Ø Ò Ú Ò Ð Ò Ñ Ø Ö 4 ¿¸
Ò Ø × Û × ×ØÖ Ò Ø Ò ØÓ 3¹Ð Ò ÔÓÐÝ ÓÒ× Ý Æ Ð××ÓÒ º ÁÒ Ø Ò ÜØ × Ø ÓÒ
Û ÔÖÓÚ Ø Ø Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ð Ò ÓÚ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ × Ö ØÓ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø º Ì ×¸
Ò ØÙÖÒ¸ Ð × Ù× ØÓ Ø Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ð ØÝ Ö ×ÙÐØ ÓÖ Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ù Ö ÓÚ Ö Ò
ÔÖÓ Ð Ñ Ò 2¹Ð Ò ÔÓÐÝ ÓÒ Ò×Ø Ò ×¸ ×ØÖ Ò Ø Ò Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ× Ö ×ÙÐØ׺
¾º¾ Ì Ê Ù Ø ÓÒ
Ì Ö Ù Ø ÓÒ × Ñ ÖÓÑ ×Ô Ð × Ó Å Ë Ì Û Ö Ð Ù× ÓÒ¹
Ø Ò× ØÛÓ Ð Ø Ö Ð× Ò Ð Ø Ö Ð Ó ÙÖ× Ø ÑÓ×Ø ØÛ º
Å 2Ë Ì´2ĵ
ÁÒ×Ø Ò × Ø U Ó Ú Ö Ð × Ò ÓÐÐ Ø ÓÒ C Ó × ÙÒ Ø Ú Ð Ù× × Û Ø
Ü ØÐÝ ØÛÓ Ð Ø Ö Ð׺ Ð Ø Ö Ð Ò ÔÔ Ö Ø ÑÓ×Ø ØÛ Ò Cº Ð Ø Ö Ð ×
Ú Ö Ð ÓÖ Ò Ø Ú Ö Ð Ò Uº
32. ¾º¾ Ì Ê Ù Ø ÓÒ ½
BA
CD
a
c
b
d
ÙÖ ¾º½ Ì ÓÒ× ×Ø Ò Ý Øº
ËÓÐÙØ ÓÒ ØÖÙØ ×× ÒÑ ÒØ ÓÖ U Ø Ø × Ø × × × Ñ ÒÝ Ð Ù× × × ÔÓ×× Ð
Ò Cº
Å 2Ë Ì´2ĵ × È ¹ Ö ¸ ÓÒ× ÕÙ Ò Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ð ÑÑ
Ä ÑÑ ¾º½ ÖÑ Ò ² à ÖÔ Ò× ½ ÓÖ Ú ÖÝ > 0¸ Ø × Ö ØÓ ÔÔÖÓÜ ¹
Ñ Ø 3¹Ç ¹Å 2Ë Ì Û Ø Ò ØÓÖ 2012/2011 − º
À Ö 3¹Ç ¹Å 2Ë Ì × Ø Å 2Ë Ì ÔÖÓ Ð Ñ Û Ö Ú Ö Ð Ò
Ó ÙÖ Ø ÑÓ×Ø Ø Ö Ø Ñ × ×Ô Ð × Ó Å 2Ë Ì´2ĵº
Ì Ö Ù Ø ÓÒ × Ú ÒØÓ ØÛÓ Ô ÖØ׺ Ì Ö×Ø Ô ÖØ Ö Ù × Ò Ö ØÖ ÖÝ
Å 2Ë Ì´2ĵ Ò×Ø Ò ØÓ Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ð Ò ÓÚ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ ´ÅÄ Èµº Ì
× ÓÒ Ô ÖØ Ö Ù × Ø ÅÄ È ØÓ Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ù Ö ÓÚ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ 2¹
Ð Ò ÔÓÐÝ ÓÒ Ò×Ø Ò ×º ÆÓØ Ø Ø Ø Ò×Ø Ò × ÓÚ Ö Ý Ø ÅÄ È ÐÐ ÓÒ× ×Ø×
Ó ÒÓÒ¹Ô Ö ÐÐ Ð Ð Ò ×º Ì × × ÑÔÓÖØ ÒØ Ò Ø × ÓÒ Ô ÖØ Ó Ø Ö Ù Ø ÓÒ¸ × Ò
Û Ò ÓÒ×ØÖÙ Ø 2¹Ð Ò ÔÓÐÝ ÓÒ ÖÓÑ ×Ù Ò ÖÖ Ò Ñ Òغ
¾º¾º½ Ì Ê Ù Ø ÓÒ ØÓ ÅÄ È
Ä Ø (U, C) Å 2Ë Ì´2ĵ Ò×Ø Ò º Ï ×Ø ÖØ Ø Ö Ù Ø ÓÒ Ý Ö Ø Ò ¸
ÓÖ Ú Ö Ð xi ∈ U¸ × Ø Li Ó Ø Ð Ò × Û Ø ÒØ Ö× Ø ÓÒ× × Ò ÙÖ ¾º½º
× Ø Li ÓÖÑ× ÓÒ× ×Ø Ò Ý Ø Ò Ø Ý Ö Ù ÐØ ×Ó Ø Ø ÒÓ ØÛÓ Ð Ò ×
Ö Ô Ö ÐРк ÙÖØ ÖÑÓÖ ¸ Ø Ö Ö ÒÓ ÒØ Ö× Ø ÓÒ× ØÛ Ò Ø Ö Ð Ò × Ü ÔØ
Ø Ó× ÜÔÐ ØÐÝ × Ö º ÆÓØ Ø Ø Ø Ð Ò × Ò ÙÖ ¾º½ Ø Ø ÔÔ Ö ØÓ
Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÐÐÝ Ö ÒÓغ ÁÒ Li Ø Ð Ò × a Ò c Ö ÔÖ × ÒØ Ø Ð Ø Ö Ð xi¸ Ò
Ø Ð Ò × b, d Ø Ð Ø Ö Ð ¬xiº Ï ÐÐ Ø × Ð Ò × Ð Ø Ö Ð Ð Ò ×º
33. ¾¼ Ù Ö Ò Ä Ò × Ò ¾¹Ä Ò ÈÓÐÝ ÓÒ×
xi
xj
xi ¬xi ¬xi
¬xj
xj
xj
¬xj
(¬xi, xj)
xi
ÙÖ ¾º¾ Ï Ö Ø Ð Ò × ÖÓÑ Ø Ð Ø Ö Ð× Ò Ð Ù× ÖÓ×× Ø Ð Ò ÓÖ Ø Ø
Ð Ù× Û Ò Û Ð Ò º
ÓÖ Ð Ù× (li, lj) ∈ C Û Ö Ø Ð Ò ¸ ÒÓØ Ð Ù× Ð Ò Ø Ø ÒØ Ö× Ø×
ÐÐ ÓØ Ö Ð Ò × Ò Ø ÓÒ×ØÖÙ Ø ÓÒº
ÙÖØ ÖÑÓÖ ¸ ÓÖ Ð Ø Ö Ð Ò Ð Ù× Û Ö Ø Ò Ø ÓÒ Ð Ð Ò º
Ì × Ð Ò Ô ×× × Ø ÖÓÙ Ø ÒØ Ö× Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ ØÛ Ò Ø Ð Ù× Ð Ò Ò Ø
Ð Ø Ö Ð Ð Ò Ó Ø ÓÒ× ×Ø Ò Ý Ø Ö ÔÖ × ÒØ Ò Ø ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò Ú Ö Ð ×
ÙÖ ¾º¾º Ì Ö Ö ØÛÓ ÔÓ×× Ð Ð Ø Ö Ð Ð Ò × ØÓ ÓÓ× ÖÓÑ Ò Ð Ø Ö Ð Ò
Ø Å 2Ë Ì´2ĵ Ò×Ø Ò Ò Ó ÙÖ Ò Ø ÑÓ×Ø ØÛÓ Ð Ù× ×º Ì Ù׸ Ø Ö ×
ÐÛ Ý× Ö Ð Ø Ö Ð Ð Ò ØÓ ÓÓ× ÖÓÑ Ø ÒÝ Ø Ñ Ò Ø ÓÒ×ØÖÙ Ø ÓÒº ÆÓØ
Ø Ø Ø ÓÒ×ØÖÙ Ø ÓÒ ÓÒØ Ò× ÒØ Ö× Ø ÓÒ× Ó ØÛÓ Ò Ø Ö Ð Ò × ÓÒÐݸ Ò Ø Ø
ÒÓ Ð Ò × Ö Ô Ö ÐРк Ì ÓÒ×ØÖÙ Ø ÓÒ ÓÒØ Ò× ØÓØ Ð Ó 8|U| Ð Ò × Ò ÓÒ× ×Ø Ò Ý
Ø× Ò 3|C| Ø ÓÒ Ð Ð Ò × ÓÖ Ø Ð Ù× ×¸ ÓÖ ØÓØ Ð Ó 3|C| + 8|U| Ð Ò ×º
Ä Ø L Ø × Ø Ó Ð Ò × Ø Ù× ÓÒ×ØÖÙ Ø º
Ò ÒØ Ö ×Ø Ò × Ø S ÓÖ L × Ñ Ü Ñ Ð × Ø Ó ÔÓ ÒØ× ×Ù Ø Ø Ú ÖÝ ÔÓ ÒØ
x ∈ S × Ø ÒØ Ö× Ø ÓÒ Ó Ø Ö Ð Ò × Ò L Ò Ú ÖÝ Ð Ò Ò L ÓÒØ Ò× Ø ÑÓ×Ø
ÓÒ ÔÓ ÒØ ÖÓÑ Sº ÇÒ Ú ÖÝ Ð Ù× Ð Ò Ø Ö Ö ØÛÓ ÒØ Ö× Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ× Ø Ø
ÓÙÐ Ò ÐÙ Ò Ò ÒØ Ö ×Ø Ò × Ø Ò Ò Ú ÖÝ ÓÒ× ×Ø Ò Ý Ø Ø Ö Ö
ÓÙÖ ÒØ Ö× Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ׺ ÆÓ ÓØ Ö ÔÓ ÒØ× Ò Ò ÐÙ º
Ä ÑÑ ¾º¾ Ì × Þ Ó ×ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø ÅÄ È ÓÒ×ØÖÙ Ø ÓÒ ×
3|C| + 8|U| − |S|
2
,
Û Ö S × Ø Ñ Ü ÑÙÑ ÒØ Ö ×Ø Ò × Ø Ò Ø ×ÓÐÙØ ÓÒº
ÈÖÓÓ º Ï Ò Ú Û Ø ×ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø ÅÄ È × ÓÐÐÓÛ׺ Ú ÖÝ ÔÓ ÒØ Ò Ø
Ñ Ü ÑÙÑ ÒØ Ö ×Ø Ò × Ø ÓÚ Ö× Ø Ö Ð Ò ×º Ì Ö Ñ Ò Ò ÔÓ ÒØ× Ò Ø ×ÓÐÙØ ÓÒ
34. ¾º¾ Ì Ê Ù Ø ÓÒ ¾½
Ò ÓÚ Ö Ø ÑÓ×Ø ØÛÓ Ð Ò × º Ì ØÓØ Ð ÒÙÑ Ö Ó Ð Ò × Ò Ø ÓÒ×ØÖÙ Ø ÓÒ
× 3|C| + 8|U| ×Ó Ø ×ÓÐÙØ ÓÒ³× × Þ ×
3|C| + 8|U| − 3|S|
2
+ |S| =
3|C| + 8|U| − |S|
2
.
2
Ï Ù× Ø ÒØ Ö ×Ø Ò × Ø ØÓ × Ö ØÖÙØ ×× ÒÑ ÒØ ØÓ Ø ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò
Å 2Ë Ì´2ĵ Ò×Ø Ò Ò ØÓ ÓÙÒØ Ø ÒÙÑ Ö Ó Ð Ù× × × Ø × Ý Ø
×× ÒÑ Òغ Ì ÒØ Ö ×Ø Ò × Ø Ö ×ØÖ Ø ØÓ ÓÒ× ×Ø Ò Ý Ø × × Þ ÒÓ
Ð Ö Ö Ø Ò ØÛÓ × ÙÖ ¾º½º Ì × Ñ Ü Ñ Ð × Ø× Ö {A, C} Ò {B, D}º
Ï Ò Ø Ý Ó ÙÖ Ò Ò ÒØ Ö ×Ø Ò × Ø Ø Ý Ö ÔÖ × ÒØ Ø Ú ÐÙ Ð× ´{A, C}µ
ÓÖ ØÖÙ ´{B, D}µ Ó Ø ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò Ú Ö Ð º Ï × Ý Ø Ø Ø ÓÒ× ×Ø Ò Ý
Ø Ò Ø × × × × Ø Ø Ö ØÓ Ð× ÓÖ ØÖÙ ´ Ý Ø ÒØ Ö ×Ø Ò × Øµº ÁØ ×
ÑÔÓÖØ ÒØ ØÓ ÒÓØ Ø Ø Ø Ö ¹Û Ý ÒØ Ö× Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ× Ò Ö ÒØ ÓÒ× ×Ø Ò Ý
Ø× Ö Ò Ô Ò ÒØ Ó ÓØ Ö Ò Ø × Ò× Ø Ø ÐÐ ÓÒ× ×Ø Ò Ý Ø×
Ò × Ø Ö ØÖ Ö ÐÝ ØÓ Ø Ö ØÖÙ ÓÖ Ð× Û Ø ÓÙØ Ú ÓÐ Ø Ò Ø Ò Ø ÓÒ Ó
ÒØ Ö ×Ø Ò × Ø׺ ÀÓÛ Ú Ö¸ Ø Ý Û ÐÐ ÔÙØ Ö ×ØÖ Ø ÓÒ× ÓÒ Ø Ö ×Ø Ó Ø ÔÓ ÒØ× Ò
Ø ÒØ Ö ×Ø Ò × Øº Ì × ÔÓ ÒØ× ÐÐ Ð ÓÒ Ð Ù× Ð Ò × Ò Û Ù× Ø Ñ ØÓ ÓÙÒØ
Ø ÒÙÑ Ö Ó Ð Ù× × × Ø × Ý Ø ØÖÙØ ×× ÒÑ Òغ Ä Ø Ù× ××ÙÑ Ø Ø
Ø ÒØ Ö ×Ø Ò × Ø ÓÒØ Ò× × Ö ÔØ ÓÒ Ó ØÖÙØ ×× ÒÑ Òظ Ø Ø ×¸ Ú ÖÝ
ÓÒ× ×Ø Ò Ý Ø × × Ø ØÓ ×ÓÑ Ú ÐÙ º Ý Ø Ò Ø ÓÒ Ó ÒØ Ö ×Ø Ò × Ø Ø Ö
Ò Ø ÑÓ×Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ Ò S ÓÒ Ð Ù× Ð Ò º Ì × ÔÓ ÒØ Ö ÔÖ × ÒØ× Ð Ø Ö Ð
Ø Ø × Ø × × Ø Ð Ù× º ÁØ Ò Ò ÐÙ Ò Ø ÒØ Ö ×Ø Ò × Ø Ò ÓÒÐÝ Ø
ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò ÓÒ× ×Ø Ò Ý Ø × × Ø ØÓ Ú ÐÙ Ø Ø Ñ × Ø Ð Ø Ö Ð × Ø × Ý
Ø Ð Ù× × ÙÖ ¾º¿º Ì × ÑÔÐ × Ø Ø Ø ØÖÙØ ×× ÒÑ ÒØ × Ö Ý
Ø ÒØ Ö ×Ø Ò × Ø × Ø × × c Ð Ù× × Ó Ø Ò×Ø Ò Ò ÓÒÐÝ Ø × Ø ÓÒØ Ò×
c ÔÓ ÒØ× ÖÓÑ Ø Ð Ù× Ð Ò ×¸ º º Ø × Þ Ó Ø ÒØ Ö ×Ø Ò × Ø × 2|U| + c¸ ×Ø ÐÐ
ÙÒ Ö Ø ××ÙÑÔØ ÓÒ Ø Ø Ú ÖÝ ÓÒ× ×Ø Ò Ý Ø × × Ø ØÓ ×ÓÑ Ú ÐÙ º
ÌÓ ÓÑÔÐ Ø Ø Ö Ù Ø ÓÒ Û Ò ØÓ ÔÖÓÚ Ø Ø Ø Ö × ÐÛ Ý× Ñ Ü ÑÙÑ
ÒØ Ö ×Ø Ò × Ø ÓÒ× ×Ø ÒØ Û Ø ØÖÙØ ×× ÒÑ ÒØ Ó Ø Ú Ö Ð ×º Á Ø × ×
ØÖÙ Ø Ò Û Ú Ö Ø ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò ØÛ Ò Ø × Þ Ó Ø ÓÚ Ö Ò
Ø ÒÙÑ Ö Ó × Ø × Ð Ù× ×º ××ÙÑ Ø Ø Ø Ö × ÒÓ Ñ Ü ÑÙÑ ÒØ Ö ×Ø Ò
× Ø Ø Ø ÓÖÖ ×ÔÓÒ × ØÓ ØÖÙØ ×× ÒÑ Òغ ÓÒ× Ö Ø Ñ Ü ÑÙÑ ÒØ Ö ×Ø Ò
× Ø¸ S¸ Ø Ø ÓÒØ Ò× Ø Ð Ö ×Ø ÒÙÑ Ö Ó ÔÓ ÒØ× ÖÓÑ Ø ÓÒ× ×Ø Ò Ý Ø׺
Ì Ö × Ø Ð ×Ø ÓÒ ÓÒ× ×Ø Ò Ý Ø G Ø Ø × ÒÓØ × Ø¸ º º¸ Ø ÓÒØ Ò× Ð ×× Ø Ò
ØÛÓ ÔÓ ÒØ× Ò Sº Ë Ø Ø Ø G Ý Ü Ò ÓÒ ÓÖ ØÛÓ ÔÓ ÒØ× ÔÔÖÓÔÖ Ø Ðݺ Ä Ø
p ∈ G ÓÒ Ó Ø × ÔÓ ÒØ׺ Ì Ö ×ÓÒ ÓÖ p ÒÓØ Ò Ò S × Ø Ø Ø Ð Ø Ö Ð
Ð Ò Ø Ø ÓÒØ Ò× p Ð×Ó ÓÒØ Ò× ÔÓ ÒØ q ∈ Sº Á Û Ö ÑÓÚ q ÖÓÑ S Ø Ò Û
Ò Ò ÐÙ p Ò S¸ Ø Ö Ý ØØ Ò Ò Û ÒØ Ö ×Ø Ò × Ø S Û Ø |S| = |S | ÙØ
Û Ø ÓÒ ÑÓÖ ÔÓ ÒØ ÖÓÑ Ø ÓÒ× ×Ø Ò Ý Ø׺ Ì × ÓÒØÖ Ø× ÓÙÖ Ó
35. ¾¾ Ù Ö Ò Ä Ò × Ò ¾¹Ä Ò ÈÓÐÝ ÓÒ×
ÙÖ ¾º¿ Ì ÒØ Ö× Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ ÓÒ Ø Ð Ù× Ð Ò Ò Ò ÐÙ Ò Ø ÒØ Ö¹
×Ø Ò × Ø Ò ÓÒÐÝ Ø ÓÒ× ×Ø Ò Ý Ø × × Ø ´ØÓ ØÖÙ Ò Ø × Ü ÑÔÐ µº
Ó S × Ø Ñ Ü ÑÙÑ × Ø Ò Ò ÓÙÖ ××ÙÑÔØ ÓÒ Ø Ø Ø Ö × ÒÓ Ñ Ü ÑÙÑ
ÒØ Ö ×Ø Ò × Ø ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò ØÓ ØÖÙØ ×× ÒÑ Òغ
Ì Ø ÓÖÓÙ Ö Ö ÒÓØ × Ø Ø Ø Ö × ÓÒ ÑÓÖ Ø Ò ØÓ ÔÖÓÚ ÓÖ
Û Ò ÓÒ ÐÙ Ø Ø Ø Ö Ù Ø ÓÒ Ò ÓÒ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ ¸ º º¸ Ø Ø
Ø × Ö ÔØ ÓÒ Ó Ø Ð Ò × × ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ò Ø × Þ Ó Ø 3¹Ç ¹Å 2Ë Ì
Ò×Ø Ò º ÌÓ × Ø × Û Ú × Ö ÔØ ÓÒ Ó ÓÛ Ø Ð Ò × Ö ÔÐ Ò Ø
ÔÐ Ò º Ö×Ø Ø ÓÒ× ×Ø Ò Ý Ø× Ö ÔÐ Ú ÒÐÝ ×Ô × Ò ÙÖ ¾º¾º
Æ ÜØ Û ÖÓØ Ø Ø Ö×Ø Ø 45/|U| Ö ×¸ Ø × ÓÒ ÓÒ ØÛ × ÑÙ ¸
Ø Ø Ö ÓÒ Ø Ö Ø Ñ × × ÑÙ Ò ×Ó ÓÖØ º Ë Ò Ø Ò Ð ØÛ Ò ØÛÓ
Ð Ò × Ò Ø ÓÒ× ×Ø Ò Ý Ø × ÒÓ Ð ×× Ø Ò 45 Ö × Ø × Ñ Ò× Ø Ø ÐÐ
Ð Ò × ÒØ Ö× Øº Ï ÔÐ Ø |C| Ð Ù× Ð Ò × Ò ×Ù Û Ý Ø Ø ÒÓ ØÛÓ Ð Ò ×
Ö Ô Ö ÐРк Ì × Ò ÓÒ × Ðݺ ÆÓÛ¸ Û ÔÐ Ø ÜØÖ Ð Ò × Ø Ø
ÒØ Ö× Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ× ØÛ Ò Ø Ð Ù× Ð Ò × Ò Ø Ö Ð Ú ÒØ Ð Ø Ö Ð Ð Ò ×º Ì ×
Ð ÖÐÝ Ú × ÔÓÐÝÒÓÑ Ð × Ö ÔØ ÓÒ Ó Ø Ð Ò ×º Ï Ú ÔÖÓÚ Ø ÓÐÐÓÛ Ò
Ø ÓÖ Ñº
Ì ÓÖ Ñ ¾º½ ÓÖ Ú ÖÝ δ > 0¸ Ø × Ö ØÓ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÅÄ È Û Ø Ò ØÓÖ
Ó 28169/28168 + δº
ÈÖÓÓ º Ú Ò Ò Ò×Ø Ò ØÓ Å 2Ë Ì´2ĵ¸ Ð Ø c ÒÓØ Ø Ñ Ü ÑÙÑ ÒÙÑ Ö
Ó Ð Ù× × × Ø × Ð º Ï Ò ÓÙÒ Ø ÒÙÑ Ö Ó Ú Ö Ð × ØÓ |U| ≤ 2|C|¸
× Ò Ð Ù× ÓÒØ Ò× 2 Ð Ø Ö Ð׺ ÖÓÑ Ä ÑÑ ¾º½¸ Ò Ä ÑÑ ¾º¾ Ò Ø×
ÓÐÐÓÛ Ò × Ù×× ÓÒ Û Ò Ö Ø Ø Ø Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ð ØÝ Ö Ø Ó ×
3|C| + 6|U| − 2011c/2012 +
2
3|C| + 6|U| − c
2
≥ 28169/28168 + δ,
× Ò Ø ÛÓÖ×Ø × Ó ÙÖ× Û Ò c = |C|º Ì δ Ô Ò × ÓÒ º
2
36. ¾º¿ ÓÒ ÐÙ× ÓÒ ¾¿
ÙÖ ¾º Ì × Ø Ó Ð Ò × Ö Ñ Ò× Ö Ø Ò Ð º Ï Ö Ø Ö ×ÙÐØ Ò
Ð Ò × Ñ ÒØ× Ñ Ø Ø ÓÙÒ ÖÝ Û Ö Ø Ò ÖÖÓÛ ×Ô º
¾º¾º¾ Ì Ê Ù Ø ÓÒ ØÓ Å È
ÁÒ Ø × ÓÒ Ô ÖØ Ó Ø Ö Ù Ø ÓÒ Û Ö Ú Ò Ò ÖÖ Ò Ñ ÒØ Ó ÒÓÒ¹Ô Ö ÐÐ Ð
Ð Ò ×º Ö Ø Ò Ð R ×Ù ÒØÐÝ Ð Ö ØÓ ÓÒØ Ò ÐÐ ÒØ Ö× Ø ÓÒ× ØÛ Ò Ð Ò × Ò
L × Ö Ø º ÓÒ× Ö Ð Ò × Ñ ÒØ Ò R ∩ Lº Ø ÓÒ Ò ÔÓ ÒØ Û ÔÙØ ×Ô
Ò Ø Ö Ø Ò Ð × ¾º º Ì ÓÒ × Ú × Ð ÖÓÑ ÒÝ ØÖ ÔÐ Ø Ó ×Ô × × ÓÙÐ
ÒØ Ö× Ø Ò ÓÒÐÝ Ø ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò Ð Ò × Ñ ÒØ× ÖÓ×׺ Á Ø × Ö Ø Ö ÓÒ
× Ñ Ø Ø Ò Ø ÒØ Ö× Ø ÓÒ× ØÛ Ò Ð Ò × Ñ ÒØ× Û ÐÐ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ØÓ Ö × Ò
Ø × ÔÓÐÝ ÓÒº Ì Ù׸ ÖÓÑ Ù Ö × Ø Ò Ø ÔÓÐÝ ÓÒ Û Ø ÔÓ ÒØ × Ø Ò Ø
ÅÄ Èº Ì Ø ×¸ Û Ò ×ÓÐÚ Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ù Ö ÓÚ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ò Û
ÑÑ Ø ÐÝ Ø ×ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø ÅÄ Èº
Ì ÓÖ Ñ ¾º¾ Ì Ñ Ò ÑÙÑ Ù Ö ÓÚ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ × ÒÓØ Ò Ø Ð ×× ÈÌ Ëº
¾º¿ ÓÒ ÐÙ× ÓÒ
Ï Ú ÔÖÓÚ Ø Ø Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ù Ö ÓÚ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ö ×ØÖ Ø ØÓ 2¹Ð Ò
ÔÓÐÝ ÓÒ× × Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ð º ÁÒ Ø ÓÒ Û Ú Ò ÜÔÐ Ø ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÓÒ Ø
ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ö Ø Ó Ó Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ð Ò ÓÚ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñº ÆÓØ Ø Ø Ø ×Ø
ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ù Ö ÓÚ Ö Ò Ð ÓÖ Ø Ñ × Ð Ò Ö
ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ö Ø Óº Ì Ù׸ Ò ÓÙØ×Ø Ò Ò ÓÔ Ò ÔÖÓ Ð Ñ × ØÓ Ò ÖÖÓÛ Ø Ô
ØÛ Ò Ø ×Ø ÙÔÔ Ö Ò ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÒÓÛÒ ÓÖ Ø ÔÖÓ Ð Ñº
38. ÔØ Ö ¿
ÓÒ ÖÒ Ò Ø Ì Ñ ÓÙÒ × Ó
ËÏʹ Ð ÓÖ Ø Ñ×
Ä Ø Ù× ×Ø Ý Û Ø Ø ÖØ ÐÐ ÖÝ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ Ð ØØÐ Û Ð º ÁÒ Ø ÔÖ Ú ÓÙ× ÔØ Ö
Û ÒÓÛÐ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÔÐ Ò ×ÙÖÚ ÐÐ Ò Ñ Ö × ´ÓÖ Ù Ö ×µ Ò Ò
ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ Ö ÔÖ × ÒØ Ý × ÑÔÐ ÔÓÐÝ ÓÒº ÁÒ Ø × ÔØ Ö Û ×ØÙ Ý Ø
Ö Ð Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÔÐ Ò ÓÒ ÑÓ Ð Ù Ö Ò Ø ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ Ò ×Ø Ð ×
Ø × ÓÖØ ×Ø ÐÓ× ÙÖÚ ÐÓÒ Û Ø Ù Ö ÑÙ×Ø ØÖ Ú Ð Ò ÓÖ Ö ØÓ ×
Ú ÖÝØ Ò º Ì × ÙÖÚ × ÐÐ Ø × ÓÖØ ×Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ º
ÁÒ ÔÓÐÝ ÓÒ× Û Ø ÓÐ × Ò Ò Ø Ö ¹ Ñ Ò× ÓÒ Ð ÔÓÐÝ Ö ¸ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ó
Ò Ò × ÓÖØ ×Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ × ÒÓÛÒ ØÓ Æȹ Ö ¿¼ º
ÍÒ Ö Ø Ö ×ØÖ Ø ÓÒ Ø Ø ×Ø ÖØ Ò ÔÓ ÒØ × Ú Ò¸ Ò Ò ÆØ Ó× ¿½
ÔÖ × ÒØ Ø Ö×Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ×ÓÐÚ Ò Ø × ÓÖØ ×Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ
× ÑÔÐ ÔÓÐÝ ÓÒ׺ Ì ×Ø ÖØ Ò ÔÓ Òظ Û × ÓÙÐ ÐÓ Ø ×ÓÑ Û Ö ÓÒ Ø
ÓÙÒ ÖÝ Ó Ø ÔÓÐÝ ÓÒ¸ × ×ÓÑ Ø Ñ × ÐÐ Ø ÓÓÖ Ò Û ÒÓØ Û Ø Ñ Ò
ÖÓÙØ × Û Ø ÔÖ ÓÖ ×Ô ÓÓÖ× × Ü Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ × Û Ð Û Ø Ñ Ò
ÖÓÙØ × Û Ø ÓÙØ ×Ô ÓÓÖ× Ö ÒÓØ Ó Ø Ò Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ ×º Ì × Ð¹
ÓÖ Ø Ñ Û × Ð Ñ ØÓ Ú Ø Ø Ñ ÓÙÒ O(n4
)º
Ä Ø Ö¸ ØÛÓ Ò Û Ð ÓÖ Ø Ñ× ÓÖ Ø × ÓÖØ ×Ø Ü Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ ÔÖÓ Ð Ñ
Û Ö ÔÙ Ð × º Ö×ظ ×ÙÔÔÓ× O(n3
) Ð ÓÖ Ø Ñ Û × ÔÖ × ÒØ Ý Ì Ò¸ À Ö Ø
Ò ÁÒ ½¼ Ò Ø Ò Ò ÑÔÖÓÚ Ñ ÒØ Ó Ø × Ð ÓÖ Ø Ñ Û × ÔÖ × ÒØ Ý
Ì Ò Ò À Ö Ø ½¼ º Ì Ò Û Ð ÓÖ Ø Ñ Ö × × Ø Ø Ñ ÓÙÒ Ó Ø
× ÓÖØ ×Ø Ü Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ ÔÖÓ Ð Ñ Ý Ð Ò Ö ØÓÖº
ÓÖ Ø × ÓÖØ ×Ø Ó Ø Ò Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ö × Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Û Ø
Ø ×ÙÔÔÓ× Ø Ñ ÓÙÒ O(n4
) ¾ ¸ º Ì × Ð ÓÖ Ø Ñ Ö×Ø Ò × Ø × ÓÖØ ×Ø
Ü Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ × ÓÖ × Ø Ó ÓÓÖ׺ Ì Ò¸ Ý ÐÓ ÐÐÝ Ù×Ø Ò Ü
Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ ÖÓÙÒ Ø× ÓÓÖ¸ × ÓÖØ ×Ø Ó Ø Ò Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ × ÓÙÒ º
ÁÒ Ø × ÔØ Ö¸ Û × ÓÛ Ø Ø Ø Ö Ü ×Ø× Ò Ò×Ø Ò Ó Ø Ü Û Ø Ñ Ò
ÖÓÙØ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ Û Ø Ð ÓÖ Ø Ñ× Ñ ÒØ ÓÒ ÓÚ Ú ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐÝ
Ò Ø Ñ º ÁÒ Ø Ò ÜØ × Ø ÓÒ¸ Û ÔÖ × ÒØ ×ÓÑ Ò Ø ÓÒ× Ò ÔÖ Ð Ñ Ò ÖÝ Ö ×ÙÐØ׺
39. ¾ ÓÒ ÖÒ Ò Ø Ì Ñ ÓÙÒ × Ó ËÏʹ Ð ÓÖ Ø Ñ×
c
δ
ψ
δ × Ø Ò ÓÑ Ò Ò Ð
ψ × Ø ÓÙØ Ó Ò Ò Ð
R
ÓÙØ Ó Ò × Ñ ÒØ
Ò ÓÑ Ò × Ñ ÒØ
ÙÖ ¿º½ Ê Ü ÓÒ ÓÒ ÜØ Ò× ÓÒ׺
ÁÒ Ë Ø ÓÒ ¿º½ × ÓÖØ ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø Ü ×Ø Ò × ÓÖØ ×Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ Ð¹
ÓÖ Ø Ñ× × Ú Òº ÁÒ Ë Ø ÓÒ ¿º¾ Û × ÓÛ Ø Ø Ø Ò ÐÝ× × Ó Ø ÔÖ Ú ÓÙ×
Ð ÓÖ Ø Ñ× ¿½¸ ½¼ Ö ÖÖÓÒ ÓÙ׺
¿º½ × Ö ÔØ ÓÒ Ó ÖÐÝ ËÏʹ Ð ÓÖ Ø Ñ×
ÌÝÔ ÐÐݸ ËÏʹ Ð ÓÖ Ø Ñ ×Ø ÖØ× Ý ÓÑÔÙØ Ò Ò Ò Ø Ð Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ º
Ý Ó Ò ÒÙÑ Ö Ó Ù×ØÑ ÒØ× ÓÒ Ø Ò Ø Ð Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ ¸ Ø × ÓÖØ ×Ø
Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ Ô ×× Ò Ø ÖÓÙ Ø ÓÓÖ × ÓÙÒ º Ì Ù×ØÑ ÒØ× Ö Ñ
Ø Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ× ØÛ Ò Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ Ò Ø ×× ÒØ Ð Ð Ø ÜØ Ò× ÓÒ×
Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ dº ÜØ Ò× ÓÒ× Û Ø Û Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ Ñ × Ö Ø ÓÒ
ÓÒØ Ø× Ö ÐÐ Ø Ú º Ì Ö Ñ ÒØ× ÓÒØ Ò Ò Ø Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ× Ó
Ø Ø Ú ÜØ Ò× ÓÒ× Ö ÐÐ Ø Ø Ú Ö Ñ ÒØ× Ò Ø × Ø ÓÒØ Ò Ò ÐÐ
Ø Ú Ö Ñ ÒØ× × ÐÐ Ø Ø Ú Ö Ñ ÒØ × Øº Ì Ö Ñ ÒØ × Ø Ó Ø Ò Ø Ð
Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ × ÐÐ Ø Ò Ø Ð Ö Ñ ÒØ × Øº Ì Ò Ø Ð Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ ×
Ø × ÓÖØ ×Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ Ö Ø Ò ÓÒ Ø Ö Ñ ÒØ× Ò Ø Ò Ø Ð Ö Ñ ÒØ
× Øº
Ì Ö×Ø Ð Ò × Ñ ÒØ Ó Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ R Ø Ø ÒØ Ö× Ø× Ò ÜØ Ò× ÓÒ c ×
ÐÐ Ø Ò ÓÑ Ò Ð Ò × Ñ ÒØ Ó R Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ c Ò Ø Ð ×Ø Ð Ò × Ñ ÒØ
Ó R Ø Ø ÒØ Ö× Ø× c × ÐÐ Ø ÓÙØ Ó Ò Ð Ò × Ñ ÒØ Ó R Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ c
× ÙÖ ¿º½º Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ Ñ Ý ÖÓ×× Ò ÜØ Ò× ÓÒ ÑÓÖ Ø Ò ÓÒ ÙØ
Ø × ÓÒÐÝ Ø Ò ÓÑ Ò Ò Ø ÓÙØ Ó Ò Ð Ò × Ñ ÒØ× Ø Ø Ö Ó ÒÝ ÒØ Ö ×Ø
ØÓ Ù׺ Ì Ò ÓÑ Ò Ò Ð Ó R Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ c × Ø Ò Ð ØÛ Ò c Ò
Ø Ò ÓÑ Ò Ð Ò × Ñ ÒØ Ó R Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ cº Ì ÓÙØ Ó Ò Ò Ð Ó R Û Ø
Ö ×Ô Ø ØÓ c × Ø Ò Ð ØÛ Ò Ø ÓÙØ Ó Ò Ð Ò × Ñ ÒØ Ó R Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ
c Ò Ø ÜØ Ò× ÓÒ c × ÙÖ ¿º½º
Ä Ø f Ò Ø Ú Ö Ñ ÒØ ÓÒ Ò ÜØ Ò× ÓÒ c Ò Ð Ø r Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ
40. ¿º½ × Ö ÔØ ÓÒ Ó ÖÐÝ ËÏʹ Ð ÓÖ Ø Ñ× ¾
´ µ
−1¹ Ù×ØÑ ÒØ 0¹ Ù×ØÑ ÒØ +1¹ Ù×ØÑ ÒØ +1¹ Ù×ØÑ ÒØ
+1¹×Û Ø
´ µ
´ µ´ µ ´ µ
Ï Ø Ñ Ò ÖÓÙØ Ø Ö Ø Ù×ØÑ ÒØ
Ø Ú Ö Ñ ÒØ Ø Ö Ø Ù×ØÑ ÒØ
Ï Ø Ñ Ò ÖÓÙØ ÓÖ Ø Ù×ØÑ ÒØ
Ø Ú Ö Ñ ÒØ ÓÖ Ø Ù×ØÑ ÒØ
ÙÖ ¿º¾ Ì ÔÓ×× Ð ØÝÔ Ó Ù×ØÑ ÒØ׺
Ó Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ R¸ ÐÝ Ò ÓÒ Ø Ð Ø ´Ö ص Ò ÔÓ ÒØ Ó fº Ì Û Ø Ñ Ò
ÖÓÙØ × Ù×Ø Ð ÐÓÒ c ´½µ Ø Ò ÓÑ Ò Ò Ð Ó R Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ c ×
×Ñ ÐÐ Ö ´Ð Ö Öµ Ø Ò Ø ÓÙØ Ó Ò Ò Ð º ´¾µ R × ×Ø ÐÐ Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ Ø
Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ × ÑÓÚ ØÓ Ø Ð Ø ´Ö ص¸ Ø Ú Ø Ò fº
Ø Ö Ù×ØÑ Òظ Ø × ÓÖØ ×Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ ¸ Ö Ø Ò ÓÒ Ø Ö ¹
Ñ ÒØ× Ó Ø Ö ×ÙÐØ Ò Ö Ñ ÒØ × Ø × ÓÑÔÙØ Ù× Ò Ø ÔÖÓ ×× Ó ÙÒÖÓÐÐ Ò
ÔÓÐÝ ÓÒ× ¿¼¸ ¿½ º Ì Ø Ñ ÓÙÒ Ó Ø × ÔÖÓ ×× × O(n)º
Ì Ó Ø Ù×ØÑ ÒØ× × ØÓ Ò Ø Ø Ú Ö Ñ ÒØ × Ø ×Ó Ø Ø
Ø × ÓÖØ ×Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ Ö Ø Ò ÓÒ Ø Ö Ñ ÒØ× Ò Ø Ò Û Ø Ú Ö ¹
Ñ ÒØ × Ø × × ÓÖØ Ö Ø Ò Ø × ÓÖØ ×Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ Ö Ø Ò ÓÒ Ø Ö ¹
Ñ ÒØ× Ò Ø ÓÐ Ø Ú Ö Ñ ÒØ × Øº Ì Ö Ü ×Ø Ø Ö ØÝÔ × Ó Ù×ØÑ ÒØ׺
−1¹ Ù×ØÑ ÒØ Ñ × Ø ÒÙÑ Ö Ó Ø Ú Ö Ñ ÒØ× Ö × Ý ÓÒ × ¹
ÙÖ ¿º¾´ µº Ì Ù×ØÑ ÒØ × × ØÓ ÐÓÒ Ø ÜØ Ò× ÓÒ c¸ Ø Ù×Ø
Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ Ð × ÓÒ c ÓØ ÓÖ Ò Ø Ö Ø Ù×ØÑ Òغ 0¹ Ù×ØÑ ÒØ
Ö ÔÐ × ÓÒ Ö Ñ ÒØ Ò Ø Ø Ú Ö Ñ ÒØ × Ø Û Ø ÒÓØ Ö Ö Ñ ÒØ × ¹
ÙÖ ¿º¾´ µº Ò ÐÐݸ Ø +1¹ Ù×ØÑ ÒØ Ò Ø +1¹×Û Ø Ñ Ø ÒÙÑ Ö Ó
Ö Ñ ÒØ× Ò Ö × Ý ÓÒ × ÙÖ ¿º¾´ µ¹´ µº Ì +1¹ Ù×ØÑ ÒØ Ø × Ö
Ó Ø × ØÙ Ø ÓÒ Û Ö Ø Ö Ø ÓÒ ÓÒØ Ø Ó Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ ×ÔÐ Ø× ÒØÓ
ØÛÓ ÓÖ Ø Ö Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ׺
ÓÒ× Ö ØÛÓ ÒØ Ö× Ø Ò ÜØ Ò× ÓÒ× ci Ò cj Ò Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ Ö ¹
Ø Ò ÓÒ Ø × ÜØ Ò× ÓÒ× Ø Ø ÒØ Ö× Ø ÓÒ ÔÓ Òغ Ä Ø δi Ò δj ÒÓØ Ø
Ò ÓÑ Ò Ò Ð × Ó Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ Ø ØÛÓ ÜØ Ò× ÓÒ× Ò
Ð Ø ψi Ò ψj ÒÓØ Ø ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò ÓÙØ Ó Ò Ò Ð ×º ÙÖØ ÖÑÓÖ ¸ Ð Ø ξ
Ø Ò Ð ØÛ Ò Ø ØÛÓ ÒØ Ö× Ø Ò ÜØ Ò× ÓÒ׺
41. ¾ ÓÒ ÖÒ Ò Ø Ì Ñ ÓÙÒ × Ó ËÏʹ Ð ÓÖ Ø Ñ×
Ä ÑÑ ¿º½ ´½µ −1¹ Ù×ØÑ ÒØ ÐÓÒ ci Ø × ÔÐ Ò ÓÒÐÝ ψj < δi −ξº
´¾µ −1¹ Ù×ØÑ ÒØ ÐÓÒ cj Ø × ÔÐ Ò ÓÒÐÝ ψj > δi + ξº
´¿µ +1¹ Ù×ØÑ ÒØ Ø × ÔÐ Ò ÓÒÐÝ ψj < ξ − δiº
ÈÖÓÓ º Ý Ò Ø ÓÒ¸ −1¹ Ù×ØÑ ÒØ ÐÓÒ ci Ò −1¹ Ù×ØÑ ÒØ ÐÓÒ cj Û ÐÐ
Ñ ÒØ Ò Ú × Ð Øݺ ÁØ ÓÐÐÓÛ× Ø Ö ÓÖ ÖÓÑ Ø Ò Ø ÓÒ Ó Ù×Ø Ð ØÝ Ø Ø
−1¹ Ù×ØÑ ÒØ ÐÓÒ ci Ø × ÔÐ Ò ÓÒÐÝ ψi < δi Ò −1¹ Ù×ØÑ ÒØ
ÐÓÒ cj Ø × ÔÐ Ò ÓÒÐÝ ψj > δjº ÆÓØ Ð×Ó Ø Ø ψj = ψi − ξ Ò
δj = δi + ξº Ï Ø Ø × Ð Ö Ø ÓÒ׸ ´½µ Ò ´¾µ ÓÐÐÓÛ× ØÖ Ú ÐÐÝ
´½µ ψj < δi − ξ ⇔ ψi − ξ < δi − ξ ⇔ ψi < δiº
´¾µ ψj > δi + ξ ⇔ ψj > δjº
´¿µ Ì Ø Ö ÕÙ Ú Ð Ò × ×ÓÑ Û Ø ÑÓÖ ÙÐØ ØÓ ÔÖÓÚ × Ò Ø Ö Ð Ø ×
ØÓ Ø ÔÖÓ ×× Ó ÙÒÖÓÐÐ Ò ÔÓÐÝ ÓÒ׺ Ç × ÖÚ Ø Ø Ø +1¹ Ù×ØÑ ÒØ
ØÝÔ × ÒÓØ ÓÒ× ÕÙ Ò Ó Ø Ù×Ø Ð ØÝ Ò Ø ÓÒ × Ø ØÛÓ ØÝÔ ×
Ó −1¹ Ù×ØÑ ÒØ× Ö º Ê Ø Ö¸ Ø × ØÓ × Ò × ÓÑÔÐ Ñ ÒØ ØÓ Ø Ø
Ò Ø ÓÒº Ì Ö ÓÖ ¸ Û ÒÒÓØ Ö Ú Ø ÓÒ Ø ÓÒ ÖÓÑ Ø Ò Ø ÓÒ
Ó Ù×Ø ÐØÝ ÐÓÒ º
ÙÖ ¿º¿´ µ × Ö × × ØÙ Ø ÓÒ Ò Û Ø ÓÙØ ÓÑ × +1¹ Ù×ØÑ Òغ
Ç × ÖÚ Ø Ø ÓØ δi Ò ψj Ö ×Ñ ÐÐ Ö Ø Ò ξ ×Ó Ø Ð ×Ø ÒÓ −1¹ Ù×ØÑ ÒØ
× ÔÓ×× Ð Ö º ÁÒ ÙÖ ¿º¿´ µ Û Ú Ö Ð Þ Ø +1¹ Ù×ØÑ ÒØ Ò
ÖÓÐÐ ÓÙØ Ø Ô ÖØ Ó Ø ÔÓÐÝ ÓÒ ÓÒØ Ò Ò ÓÙÖ ÜØ Ò× ÓÒ׺ Ì ×
Ð Ò × Ñ Ö Ø ÓÐ ÖÓÙØ ¸ ÒÓØ R Ò Ø ÙÖ ¸ × Ú Û Ø Ö Ø ¹
Ù×ØÑ ÒØ Ò Ø ×ØÖ Ø Ð Ò ØÛ Ò s Ò e × Ø Ò Û ÖÓÙØ ¸ ÒÓØ
R º Ð ÖÐݸ Ø Ò Û ÖÓÙØ × × ÓÖØ Ö Ø Ò Ø ÓÐ ÖÓÙØ Ò Ø Ò Û ÖÓÙØ
ÖÓ×× × ÓØ ci Ò cj¸ º º Ø Ö Ø Ù×ØÑ Òظ Ø ÖÓÙØ Ö Ø× ÓÒ ÓØ
ÜØ Ò× ÓÒ׺ Ì Ö Ø Ð Ó × ÖÚ Ø ÓÒ ØÓ Ñ Ö × Ø ÓÐÐÓÛ Ò º Ä Ø
Ù× ÜØ Ò Ø Ò ÓÑ Ò Ð Ò × Ñ ÒØ ÛºÖºØº ci ´E Ò Ø ÙÖ µº Á Ø
ÖÓÙØ × ØÓ ÖÓ×× ÓØ ci Ò cj Ø ÑÙ×Ø Ð ÓÚ E ´Ù× Ò Ø ÓÓÖ Ò Ø
×Ý×Ø Ñ ÑÔÐ Ø Ò Ø ÙÖ µº Ì Ø ×¸ Ø ÓÙØ Ó Ò Ò Ð ÛºÖºØº cj ÓÖ
Ø +1¹ Ù×ØÑ ÒØ ÑÙ×Ø ×Ñ ÐÐ Ö Ø Ò Ø Ò Ð ØÛ Ò E Ò cjº
ÆÓÛ¸ Ø Ò Ð ØÛ Ò E Ò cj × ξ − δiº Ì Ù׸ ψj < ξ − δi Ò Ø
Ð Ñ × ÔÖÓÚ Òº
2
Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ × ÒÓØ Rk
Û Ö k × Ø ÒÙÑ Ö Ó Ù×ØÑ ÒØ× Ø Ø
Ú Ò Ñ × Ò Ø Ò Ø Ð Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ R0
Û × ÓÑÔÙØ º Û Ø Ñ Ò
ÖÓÙØ Û Ø ÒÓ Ù×Ø Ð Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ× × × ØÓ ÒÓÒ¹ Ù×Ø Ð ¸ Û Ö ×
Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ Ø Ø ÓÒØ Ò× ÓÒÐÝ ÓÒ Ù×Ø Ð Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ × ÐÐ
ÓÒ ¹ÔÐ ¹ Ù×Ø Ð Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ º
42. ¿º½ × Ö ÔØ ÓÒ Ó ÖÐÝ ËÏʹ Ð ÓÖ Ø Ñ× ¾
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
cj
s
e
ξ
R
s
ci
ξ
ψj
e
δi
α
´ µ ´ µ
α = δi × Ò Ø Ý Ö ÐØ ÖÒ Ø Ò Ð ×º
E
ci
cj
R
R
cj
ÙÖ ¿º¿ ÁÐÐÙ×ØÖ Ø Ò Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ó +1¹ Ù×ØÑ Òغ
Ò Ò ÆØ Ó× ¿½ ÔÖÓÚ Ø Ø Ø Ö × ÓÒÐÝ ÓÒ ÒÓÒ¹ Ù×Ø Ð Ü Û Ø ¹
Ñ Ò ÖÓÙØ Ò ÔÓÐÝ ÓÒ Ò Ø Ø Ø × ÖÓÙØ × Ø × ÓÖØ ×Ø Ü Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ
Ò Ø ÔÓÐÝ ÓÒº
ÓÒ× Ö Ò Ò Ø Ð Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ R0
ÔÖ ÓÑÔÙØ Ý ×ÓÑ Ñ Ø Ó º Ì ×
ÖÓÙØ Ñ Ý Ú × Ú Ö Ð Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ× Ø Û Ù×ØÑ ÒØ× Ò Ñ º Ò
Ù×ØÑ ÒØ ÙÖ ×Ø × ÖÙÐ Ø Ø Ø ÖÑ Ò × Ø ÓÖ Ö Ò Û Ù×ØÑ ÒØ×
Ö ØÓ Ñ º ÙÖØ ÖÑÓÖ ¸ × ÕÙ ÒØ Ð Ù×ØÑ ÒØ ÙÖ ×Ø × Ò Ù×ØÑ ÒØ
ÙÖ ×Ø Ø Ø ÐÛ Ý× Ù×Ø Ø Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ× Ò × ÕÙ Ò ÖÓÑ ×ÓÑ ×Ø ÖØ Ò
ÔÓ ÒØ v¸ Ò×ÙÖ Ò Ø Ø Ø Ô ÖØ Ó Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ ØÛ Ò v Ò Ø Ó× Ò
Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ × ÒÓÒ¹ Ù×Ø Ð ¸ º º Ø Ø Ø ÓÒØ Ò× ÒÓ Ù×Ø Ð Ö Ø ÓÒ
ÔÓ ÒØ׺
Ì ÓÖ Ò Ð ËÏʹ Ð ÓÖ Ø Ñ Ó Ò Ò ÆØ Ó× ¿½ Ù× × × ÕÙ ÒØ Ð ¹
Ù×ØÑ ÒØ ÙÖ ×Ø ÐÐ Ø Ö×Ø Ó Ù×ØÑ ÒØ ÙÖ ×Ø ¸ Ø Ø Ù×Ø× Ø
Ø Ö×Ø Ù×Ø Ð Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ Ò ÓÙÒØ Ö ÙÖ Ò ÐÓ Û × Û Ð Ó Ø
Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ ¸ ×Ø ÖØ Ò Ø Ø ÓÓÖº Í× Ò Ø × Ù×ØÑ ÒØ ÙÖ ×Ø ¸ Ò
Ò ÆØ Ó× ÖÖÓÒ ÓÙ×ÐÝ Ó Ø Ò Ø Ø Ñ ÓÙÒ O(n4
) ÓÖ Ø Ö Ð ÓÖ Ø Ñº
Ì Ò¸ À Ö Ø Ò ÁÒ Ð Ñ Ø Ø Ø ÑÓ×Ø Ð Ò Ö ÒÙÑ Ö Ó Ù×ØÑ ÒØ×
× Ò ØÓ Ñ ÓÒ ¹ÔÐ ¹ Ù×Ø Ð Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ ÒÓÒ¹ Ù×Ø Ð Ù× Ò
ÒÝ Ù×ØÑ ÒØ ÙÖ ×Ø ½¼ º × ÓÒ Ø × Ö ×ÙÐØ Ø Ý ÓÒ×ØÖÙ Ø Û Ø Ñ Ò
ÖÓÙØ Ð ÓÖ Ø Ñ Ø Ø Ò Ö Ñ ÒØ ÐÐÝ ÓÑÔÙØ × ×Ó ÐÐ Û Ø Ñ Ò Ô Ø × ØÛ Ò
d Ò ×× ÒØ Ð Ð Ø ÜØ Ò× ÓÒ Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ dº Ú Ò ÒÓÒ¹ Ù×Ø Ð
Û Ø Ñ Ò Ô Ø Pi ØÛ Ò d Ò Ø ÜØ Ò× ÓÒ ci Ò Û Û Ø Ñ Ò Ô Ø P0
i+1
ØÛ Ò d Ò ci+1 × ÓÑÔÙØ º Ì × Û Ø Ñ Ò Ô Ø × ÓÒ ¹ÔÐ ¹ Ù×Ø Ð
Ò Ù× Ò Ø Ö Ð Ñ¸ Ø Ò Ù×Ø ÒØÓ Ø ÒÓÒ¹ Ù×Ø Ð Û Ø Ñ Ò
Ô Ø Pi+1 Û Ø Ð Ò Ö ÒÙÑ Ö Ó Ù×ØÑ ÒØ׺ Ì × Ò Ö Ñ ÒØ Ð Ð ÓÖ Ø Ñ Û ×
43. ¿¼ ÓÒ ÖÒ Ò Ø Ì Ñ ÓÙÒ × Ó ËÏʹ Ð ÓÖ Ø Ñ×
ÔÖÓÔÓ× ØÓ Ú Ø Ø Ñ ÓÙÒ O(n3
)º
Ì Ú ¹ Ò ¹ ÓÒÕÙ Ö Ð ÓÖ Ø Ñ ½¼ Ú × Ø Ò Ø Ð Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ
ÒØÓ ÒÓÒ¹ Ù×Ø Ð ×Ù ÖÓÙØ ×¸ ÐÐ Ô ÖØ Ð Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ ×º Ô ÖØ Ð Û Ø ¹
Ñ Ò ÖÓÙØ Rst × Û Ø Ñ Ò Ô Ø ØÛ Ò ØÛÓ ÔÓ ÒØ× s Ò t¸ ÐÓ Ø ÓÒ Ø Ü¹
Ø Ò× ÓÒ× ci Ò cj Ö ×Ô Ø Ú Ðݺ È Ö× Ó ÒÓÒ¹ Ù×Ø Ð Ô ÖØ Ð Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ ×
Ö Ñ Ö ÒØÓ ÓÒ ¹ÔÐ ¹ Ù×Ø Ð Ô ÖØ Ð Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ ×º Ì × ÖÓÙØ × Ö
Ø Ò Ù×Ø ÒØÓ ÒÓÒ¹ Ù×Ø Ð Ô ÖØ Ð Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ × Ù× Ò Ø Ø Ò ÕÙ
Ú ÐÓÔ ÓÖ Ø Ò Ö Ñ ÒØ Ð Ð ÓÖ Ø Ñº Ì Ô ÖØ Ð Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ × Ö Ô Ö¹
Û × Ñ Ö ÙÒØ Ð × Ò Ð ÒÓÒ¹ Ù×Ø Ð Ô ÖØ Ð Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ Ö Ñ Ò׺ Ì ×
ÖÓÙØ × ÕÙ Ð ØÓ Ø × ÓÖØ ×Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ Ó Ø ÔÓÐÝ ÓÒº
Ä ÑÑ ¿º¾ Ì Ò Ò À Ö Ø ½¼ Ì Ø Ñ ÓÙÒ Ó Ø Ú ¹ Ò ¹ ÓÒÕÙ Ö
Ð ÓÖ Ø Ñ × O(n2
)¸ ÔÖÓÚ Ø Ø Ø Ø × O(j − i) Ù×ØÑ ÒØ× ØÓ Ò Ø
× ÓÖØ ×Ø Ô ÖØ Ð Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ ÖÓÑ Ø ÓÒ ¹ÔÐ ¹ Ù×Ø Ð ÖÓÙØ Rst¸ Û Ø
s ÐÝ Ò ÓÒ Ø ÜØ Ò× ÓÒ ci Ò t ÐÝ Ò ÓÒ Ø ÜØ Ò× ÓÒ cjº
ÍÒ ÓÖØÙÒ Ø Ðݸ × Û Û ÐÐ × ÓÛ Ò Ø Ò ÜØ × Ø ÓÒ¸ Ø ÙÖ ×Ø × Ù× ØÓ
× ÓÖØ Ò Ù×Ø Ð ÖÓÙØ × Ò Ü Ø ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÖÙÒÒ Ò Ø Ñ º Ì × ×ÔÖÓÚ ×
Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ ÓÙÒ × Ð Ñ Ò ¿½¸ ½¼ ¸ ½¼ º
¿º¾ Ì Ñ ÓÙÒ × Ó ÖÐÝ ËÏʹ Ð ÓÖ Ø Ñ×
ÙÖ ¿º × Ö × Ø ÑÔ Ø ÓÒ Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ Ù× Ý −1¹ Ò
+1¹ Ù×ØÑ Òغ × Û Ò × ¸ Ø Ò ÓÑ Ò Ð Ò × Ñ ÒØ Ó Ø Û Ø Ñ Ò
ÖÓÙØ Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ Ø × ÓÖÒ Ö Ó× ÐÐ Ø × Ù× Ó Ø × Ù×ØÑ ÒØ׺ Ì ×
Ó× ÐÐ Ø ÓÒ Ò × Ø Ö Ø ÓÒ Ò Û Ø Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ× ÓÒ Ø ÖÐ Ö Ü¹
Ø Ò× ÓÒ× Ö ÑÓÚ º Á Û Ö ÒÓØ Ö Ùи Ø × Ò Ò Ö Ø ÓÒ Ñ Ý Ö ×ÙÐØ
Ò Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ Ø Ø Ó× ÐÐ Ø × ÓÚ Ö Ö Ñ ÒØ Ò ÔÓ Òغ Ý ÐÐÓÛ Ò Ó× Ð¹
Ð Ø ÓÒ× ÓÚ Ö Ö Ñ ÒØ Ò ÔÓ ÒØ׸ Ø ÒÙÑ Ö Ó Ù×ØÑ ÒØ× Ò ØÓ Ò Ø
× ÓÖØ ×Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ Ñ Ý ÓÑ ÜÔÓÒ ÒØ Ðº Ì Ö ÓÖ ¸ ÐÐ Ù×ØÑ ÒØ
× ËÏʹ Ð ÓÖ Ø Ñ× ØÖÝ ØÓ ÚÓ ÓÖ ÓÒØÖÓÐ Ø × Ó× ÐÐ Ø ÓÒ׺ Ç × ÖÚ Ø Ø
Ø −1¹ Ù×ØÑ ÒØ Ò ÙÖ ¿º Û × ÐÓÒ ci Ò×Ø Ó cj¸ Ø Ò Ø ÓÙØ Ó Ò
Ð Ò × Ñ ÒØ Ó Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ Ø × ÓÖÒ Ö ÛÓÙÐ Ó× ÐÐ Ø º
Ì Ö ÓÖ ¸ Ø × ÒÓØ ÔÓ×× Ð ØÓ ÚÓ Ó× ÐÐ Ø ÓÒ× Ó Ø Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ׺
Ò Ø ÓÒ ¿º½ Ö Ø Ð Ù×ØÑ ÒØ Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ × ÕÙ ÒØ Ð Ù×ØÑ ÒØ
ÙÖ ×Ø × Ò Ù×ØÑ ÒØ Ø Ø Ù× × Ø Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ× Ò Ø Ù×Ø Ô ÖØ
Ó Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ ØÓ Ó× ÐÐ Ø º
Ö Ø Ð Ù×ØÑ ÒØ× ÔØÙÖ Ø ÒÓØ ÓÒ Ø Ø Ø Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ× Ò Ø ¹
Ù×Ø Ô ÖØ Ó Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ ×Û Ô× Ò ÓÖØ ÐÓÒ ÜØ Ò× ÓÒ׸ º º¸
44. ¿º¾ Ì Ñ ÓÙÒ × Ó ÖÐÝ ËÏʹ Ð ÓÖ Ø Ñ× ¿½
01 01
00001111 Critical point
ci
´ µ
cj
s
cj r
s
r pij
ci
r pij r
ÓÖ Ù×ØÑ ÒØ
Ø Ù×ØÑ ÒØ
Ø Ö Ù×ØÑ ÒØ
´ µ
ÙÖ ¿º ÌÛÓ ØÝÔ × Ó Ö Ø Ð Ù×ØÑ ÒØ׺
ÒÓ Ö Ø Ð Ù×ØÑ ÒØ× Ó ÙÖ¸ Ø Ò Ø Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ× Ò Ø Ù×Ø Ô ÖØ Ó
Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ Û ÐÐ ÐÛ Ý× ÑÓÚ Ò Ø × Ñ Ö Ø ÓÒ¸ Ò Ò ¸ Ö ¹
Ñ ÒØ Û ÐÐ Ò Ú Ö Ø Ú ÑÓÖ Ø Ò ÓÒ º Á Û Ó ÐÐÓÛ Ö Ø Ð Ù×ØÑ ÒØ׸
Ø ÓÒ× ÕÙ Ò × Ö Ú ×Ø Ø Ò × Û ÒÓÛ × ÐÐ × º
Ú Ò × ÕÙ ÒØ Ð Ù×ØÑ ÒØ ÙÖ ×Ø ¸ Ø Ö Ö ØÛÓ ØÝÔ × Ó Ö Ø Ð ¹
Ù×ØÑ ÒØ׸ ÓÒ +1¹ Ù×ØÑ ÒØ Ò ÓÒ −1¹ Ù×ØÑ Òغ Ä Ø Ù× ××ÙÑ Ø Ø Ø
Ô ÖØ Ð Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ Rsr × Ø Ù×Ø Ô ÖØ Ó Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ ÓÖ
Ö Ø Ð Ù×ØÑ ÒØ Ò Rsr Ø × Ñ Ô ÖØ Ø Ö Ø Ù×ØÑ ÒØ × ¹
ÙÖ ¿º º Ì Ù×Ø Ð Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ× Ó Rsr Ö Ø Ö×Ø Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ×
ØÓ Ù×Ø Ø Ö Ø Ö Ø Ð Ù×ØÑ ÒØ Ù×Ø Ñ º Ì ÔÓ×× Ð Ö Ø Ð ¹
Ù×ØÑ ÒØ× Ø pij Ö Ø −1¹ Ù×ØÑ ÒØ ÐÓÒ cj¸ × × Ö Ò ÙÖ ¿º ´ µ
Ò Ø +1¹ Ù×ØÑ ÒØ Ø Ø ÒØÖÓ Ù × Ò Û Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ ÓÒ ci¸ × × ÓÛÒ Ò
ÙÖ ¿º ´ µº
Ú Ò Ö Ø Ð Ù×ØÑ ÒØ Ø Ø ÜØ Ò× ÓÒ× ci Ò cj¸ Ö Ø Ð ÔÓ ÒØ ÓÒ
Ø Ö ÜØ Ò× ÓÒ × ÔÓ ÒØ Ø Ø Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ ×Û Ô× ÓÚ Ö ÓØ ÓÖ
Ò Ø Ö Ø Ö Ø Ð Ù×ØÑ Òغ Ö Ø Ð ÔÓ ÒØ × Ø Ù× Ô ×× ØÛ Ý Ø
Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ º Á Ò Ù×ØÑ ÒØ × Ñ ×ÓÑ Û Ö ÓÒ Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ
× Ø × Ô ×× Ò Ø ÖÓÙ Ö Ø Ð ÔÓ Òظ Ø Ò Ø × Ù×ØÑ ÒØ Û ÐÐ ÙÒÑ
Ø × ÓÒ Ø Ñ Ø Ø Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ Ô ×× × Ø ÖÓÙ Ø Ö Ø Ð ÔÓ ÒØ º º¸
Ò Ó× ÐÐ Ø ÓÒ ÓÚ Ö Ö Ñ ÒØ Ò ÔÓ ÒØ Û ÐÐ Ó ÙÖº
Ì Ò¸ À Ö Ø Ò ÁÒ ½¼ Ð Ñ Ø Ø¸ Û Ð Ù×Ø Ò Ô ÖØ Ð Û Ø Ñ Ò
ÖÓÙØ Rst Ù× Ò ÒÝ Ù×ØÑ ÒØ ÙÖ ×Ø ¸ Ò Ø Ú ÜØ Ò× ÓÒ ÓÑ × Ò Ø Ú ¸
Ø Ò Ø Ø ÜØ Ò× ÓÒ Û ÐÐ ÒÓØ ÓÑ Ø Ú Òº Ì × Ñ Ò× Ø Ø −1¹
Ù×ØÑ ÒØ Ø × ÔÐ Ø Ò ÒØ Ö× Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ p ØÛ Ò Ø ÜØ Ò× ÓÒ× ci Ò
cj¸ Ø Ò ÒÓ +1¹ Ù×ØÑ ÒØ Û ÐÐ Ñ Ø p¸ ÓÖ Ú Ú Ö× º Ï Ð Ñ Ø Ø Ø
45. ¿¾ ÓÒ ÖÒ Ò Ø Ì Ñ ÓÙÒ × Ó ËÏʹ Ð ÓÖ Ø Ñ×
Ö×Ø Ó Ù×ØÑ ÒØ ÙÖ ×Ø Ñ Ý ÓÓ× ØÓ Ô Ö ÓÖÑ Ö Ø Ð Ù×ØÑ ÒØ
Ø Ò ÒØ Ö× Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ p Ø Ø Ù× × Ö Ø Ð +1¹ Ù×ØÑ ÒØ ØÓ Ñ Ø
ÒÓØ Ö ÒØ Ö× Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ pº Ì × +1¹ Ù×ØÑ ÒØ Ò ÓÒ×ØÖÙ Ø ×Ó Ø Ø Ø
× Ø ÒÚ Ö× Ó ÔÖ Ú ÓÙ×ÐÝ Ô Ö ÓÖÑ Ö Ø Ð −1¹ Ù×ØÑ Òظ Ø Ù× Ñ Ò
Ø Ú Ø ÜØ Ò× ÓÒ Ø Ú Òº Ç Ú ÓÙ×Ðݸ Ö Ø Ð Ù×ØÑ ÒØ× Ñ Ý Ó ÙÖ
Ù× Ò Ø Ö×Ø Ó Ù×ØÑ ÒØ ÙÖ ×Ø º Ì Ù׸ Ø × Ö ×ÙÐØ ÓÒØÖ Ø× Ø
Ð Ñ Ó Ì Ò Ò À Ö Ø º
Ï × ÐÐ ÒÓÛ ÔÖÓÚ ÓÙÖ Ð Ñº Ì Ö ÓÖ ¸ Ð Ø Ù× ××ÙÑ Ø Ø Ö Ø Ð Ù×ع
Ñ ÒØ × Ø Ò ÔÐ Ø Ø ÒØ Ö× Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ p ØÛ Ò ØÛÓ ÜØ Ò× ÓÒ× ck Ò
cl Ò Ð Ø q Ö Ø Ð ÔÓ ÒØ Ú Ò Ý Ø × Ö Ø Ð Ù×ØÑ Òغ Ï Û ÐÐ Ù Ð
ÓÖÒ Ö ÔÖ Ú ÓÙ× ØÓ ck Ò cl¸ ÓÒ× ×Ø Ò Ó Ø ÜØ Ò× ÓÒ× ci Ò cjº Ì × ÓÖÒ Ö
× ØÓ ÔÐ ×Ó Ø Ø Ø Ö Ø Ð Ù×ØÑ ÒØ× Ø ÔÐ Ø Ø ÒØ Ö× Ø ÓÒ
ÔÓ ÒØ p ØÛ Ò ci Ò cjº Ì × × Ú Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Û Ýº ××ÙÑ Ø Ø
Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ × Ö Ø Ò Ø p Ò Ø Ø Ø × ÒÓÒ¹ Ù×Ø Ð ØÛ Ò Ø
×Ø ÖØ Ò ÔÓ ÒØ s Ò p¸ Û ÒÓØ Ø Ø Ô ÖØ Ó Ø ÖÓÙØ Ý Rspº Ì ÓÖÒ Ö ×
ØÓ ÓÒ×ØÖÙ Ø Ò ×Ù Û Ý Ø Ø¸ Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ ÓÒØ ÒÙ × ÖÓÑ p ØÓ
q¸ Ø Ò Ö Ø Ð +1¹ Ù×ØÑ ÒØ × ØÓ Ñ Ø pº ÇÒ Ø ÓØ Ö Ò ¸ Ø
Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ ÓÒØ ÒÙ × ÖÓÑ p ØÓ p ¸ Ø Ò Ö Ø Ð −1¹ Ù×ØÑ ÒØ × ØÓ
Ñ º Ä Ø δ Ø Ò ÓÑ Ò Ò Ð Ó Rsp Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ ci Ò Ð Ø ψq Ò ψp
Ø ÓÙØ Ó Ò Ò Ð × Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ cj Ó Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ × Rpq Ò Rpp
Ö ×Ô Ø Ú Ðݺ ÙÖØ ÖÑÓÖ ¸ Ð Ø ξ Ø Ò Ð ØÛ Ò Ø ÜØ Ò× ÓÒ× ci Ò cjº
Ö Ø Ð +1¹ Ù×ØÑ ÒØ Ó ÙÖ× Ø p ψq < ξ −δ ´½µ Ò Ö Ø Ð −1¹ Ù×ØÑ ÒØ
Ø × ÔÐ Ø p ψp > ξ + δ ´¾µ¸ ÓÖ Ò ØÓ Ä ÑÑ ¿º½º Ì Ù׸ Ø Ò Ð
ØÛ Ò Ø ÓÙØ Ó Ò Ð Ò × Ñ ÒØ× pp Ò pq × ϕ = ψp −ψq > 2δ ´¿µº Ç × ÖÚ
Ø Ø Û Ò ÓÓ× Ø Ö Ø ÓÒ Ó Ø ÜØ Ò× ÓÒ× ci Ò cj Ý Ø ÖÑ Ò Ò Ø
Ò Ð × ψq¸ ψp ¸ δ Ò ξº Ä Ø ψp = 5ψq¸ δ = ψq Ò ξ = 3ψqº ÆÓÛ ´½µ¸ ´¾µ Ò
´¿µ Ö ÐÐ × Ø × ¸ ×Ó Ø ÓÒ×ØÖÙ Ø ÓÖÒ Ö Ü Ø× Ø Ó× ÐÐ Ø Ò ØÙÖ
× Ö ÓÚ × ÙÖ ¿º ´ µ¹´ µº
Ä Ø Ù× ÐÐ ÓÖÒ Ö× Ü Ø Ò Ø Ó× ÐÐ Ø Ò ØÙÖ ¸ Ó× ÐÐ Ø Ò ÓÖÒ Ö׺ ÌÓ
ÓÒ×ØÖÙ Ø ÔÓÐÝ ÓÒ ÓÒØ Ò Ò ×Ù ÓÖÒ Ö × ØÖ Ú Ð Ò Ý ÔÐ Ò × Ú Ö Ð
Ó× ÐÐ Ø Ò ÓÖÒ Ö× Ò × ÕÙ Ò ¸ Û Ò Ö Ø ×Ô Ö Ð ÔÓÐÝ ÓÒ Ø Ø × ÒØÖ Ø Ð
ÓÖ ËÏʹ Ð ÓÖ Ø Ñ Ù× Ò Ø Ö×Ø Ó Ù×ØÑ ÒØ ÙÖ ×Ø º
Ä Ø Ø Ó× ÐÐ Ø Ò ÓÖÒ Ö Ó ÙÖ ¿º Ø Ð ×Ø ÓÖÒ Ö Ò × ÕÙ Ò Ó h
Ó× ÐÐ Ø Ò ÓÖÒ Ö׺ Ä Ø Ù× ××ÙÑ Ø Ø Û Ö Ù× Ò Ø Ò Ö Ñ ÒØ Ð Ð ÓÖ Ø Ñ
Û Ø Ø Ö×Ø Ó Ù×ØÑ ÒØ ÙÖ ×Ø ØÓ Ò Ø × ÓÖØ ×Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ
Ò Ø ÔÓÐÝ ÓÒ Ø Ø ÓÒØ Ò× Ø × × ÕÙ Ò Ó Ó× ÐÐ Ø Ò ÓÖÒ Ö׺ Ø Ø ×Ø
Ó Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ô ØÙÖ Ò ÙÖ ¿º ´ µ¸ Ø ÓÙØ Ó Ò Ò Ð Ó Ø Û Ø Ñ Ò
ÖÓÙØ Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ cj ÑÓÚ × ÖÓÑ q ØÓ Ø ÒØ Ö× Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ p Ò Û Ö
ÓÙØ ØÓ Ô Ö ÓÖÑ Ø Ö Ø Ð Ù×ØÑ ÒØ Ø p º ÓÖ Û Ò Ó Ø Ø ÓÛ Ú Ö¸
Ø Ö×Ø Ó Ù×ØÑ ÒØ ÙÖ ×Ø ÓÖ × Ù× ØÓ Ù×Ø Ø Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ× ÓÒ
46. ¿º¾ Ì Ñ ÓÙÒ × Ó ÖÐÝ ËÏʹ Ð ÓÖ Ø Ñ× ¿¿
p
cj
p
´ µ
ci
q
ci
cj
p
´ µ
s p
ξ
qp
p
cj
q
ci
δ
´ µ
s
ξ
ψp
ψq
ÙÖ ¿º Ç× ÐÐ Ø Ò ÓÖÒ Ö ÛºÖºØº Ò Ù×ØÑ ÒØ Ø p º
Ø ÖÐ Ö ÜØ Ò× ÓÒ× Ø Ø Ñ Ù×Ø Ð Ù× Ó Ø Ø ÑÓÚ Ñ Òغ ÁÒ
Ô ÖØ ÙÐ Ö¸ Ø ÓÖÒ Ö ÓÒØ Ò Ò Ø ÜØ Ò× ÓÒ× ci Ò cj × Ò ÓÒ×ØÖÙ Ø
×Ó Ø Ø Ö Ø Ð −1¹ Ù×ØÑ ÒØ ÒÓÛ Û ÐÐ Ø ÔÐ Ø pº Ä Ø Ù× ××ÙÑ Ø Ø
Ø × Ù×ØÑ ÒØ Ù× Ah Ù×ØÑ ÒØ× ÓÒ ÖÐ Ö ÜØ Ò× ÓÒ׺ × Û Ô Ö ÓÖÑ Ø
Ö Ø Ð Ù×ØÑ ÒØ ÓÒ p ¸ Ø Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ× ÓÒ Ø ÖÐ Ö ÜØ Ò× ÓÒ× Ò
Ö Ø ÓÒ Ò × Ò Ø ÓÙØ Ó Ò Ð Ò × Ñ ÒØ Ó Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ Û Ø Ö ×Ô Ø
ØÓ cj ÑÓÚ × ÖÓÑ p ØÓ q¸ Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ ÓÑ × Ù×Ø Ð ÓÒ Ò Ø
pº Ì × Ø Ñ ¸ Ö Ø Ð +1¹ Ù×ØÑ ÒØ × Ñ Ø pº Ë Ò Ø Ø Ù×ØÑ ÒØ ×
Ø ÒÚ Ö× Ó Ø ÔÖ Ú ÓÙ× Ù×ØÑ ÒØ Ø p¸ Ø Û ÐÐ Ð×Ó Ù× Ah Ù×ØÑ ÒØ× ÓÒ
Ø ÖÐ Ö ÜØ Ò× ÓÒ׺ Ì Ù׸ Ø Ö Ø Ð Ù×ØÑ ÒØ Ø p Ù× × Ah+1 = 2Ah +1
Ù×ØÑ ÒØ× ÓÒ Ø ÖÐ Ö ÜØ Ò× ÓÒ׺ Ì Ó× ÐÐ Ø Ò ÓÖÒ Ö× Ö ÐÐ ÓÒ×ØÖÙ Ø
×Ó Ø Ø Ö Ø Ð Ù×ØÑ ÒØ Ø Ø i Ø ÓÖÒ Ö Û ÐÐ Ù× 2Ai−1 + 1 Ù×ØÑ ÒØ×
ÓÒ Ø ÖÐ Ö ÜØ Ò× ÓÒ׺ ËÓÐÚ Ò Ø × ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖ × ÕÙ Ò Ó h Ó× ÐÐ Ø Ò
ÓÖÒ Ö׸ Û Ø Ah+1 = 2h
Ù×ØÑ ÒØ× ÓÒ Ø ÖÐ Ö ÜØ Ò× ÓÒ׺ Ì ÔÓÐÝ ÓÒ
Ò ÓÒ×ØÖÙ Ø ×Ó Ø Ø h = Ω(n)º
Ì Ø Ó Ø Ö Ø Ð Ù×ØÑ ÒØ Ø p × Ô ØÙÖ Ò ÙÖ ¿º ´ µº ×
Ø ÓÙØ Ó Ò Ð Ò × Ñ ÒØ Ó Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ cj ÑÓÚ × ÖÓÑ
q ØÓ p Ö Ø Ð −1¹ Ù×ØÑ ÒØ Ø × ÔÐ Ø pº Ì × Ù×ØÑ ÒØ Ñ × Ø
Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ ÓÒ Ø ÔÖ Ú ÓÙ× ÓÖÒ Ö Ó× ÐÐ Ø ÓÚ Ö Ö Ñ ÒØ Ò ÔÓ Òغ
Ì Ú ¹ Ò ¹ ÓÒÕÙ Ö Ð ÓÖ Ø Ñ Ù× × Ø × Ñ Ù×ØÑ ÒØ ÙÖ ×Ø × Ø
Ò Ö Ñ ÒØ Ð Ð ÓÖ Ø Ñ ÙÖ Ò Ø Ñ Ö Ò ÔÖÓ ×׸ ×Ó Ø × ØÙ Ø ÓÒ × Ö
ÓÚ Ò Ð×Ó Ó ÙÖ ÓÖ Ø Ú ¹ Ò ¹ ÓÒÕÙ Ö Ð ÓÖ Ø Ñº
47. ¿ ÓÒ ÖÒ Ò Ø Ì Ñ ÓÙÒ × Ó ËÏʹ Ð ÓÖ Ø Ñ×
¿º¿ Ä Ø ×Ø Ú ÐÓÔÑ ÒØ× Ò Ø Ð
Ì × ÖØ Ð Û × ÔÖ × ÒØ Ø Ø Ì ÓÒ Ö Ò Ò ½ º Ä Ø Ö Ò ½ ¸
Ò Û Ü ËÏʹ Ð ÓÖ Ø Ñ × ÓÒ ÝÒ Ñ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò Û × Ú Ò Ý Ì Ò¸
À Ö Ø Ò ÁÒ ½¼ º Ì ÖÙÒÒ Ò Ø Ñ Ó Ø Ò Û Ð ÓÖ Ø Ñ × O(n4
)º Ì ×
ÑÔÐ × Ø Ø Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ × ÓÖØ ×Ø Ó Ø Ò Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ × Ý ÖÐ××ÓÒ Ø
к ¾ ¸ × ÖÙÒÒ Ò Ø Ñ Ó O(n6
)º Ê ÒØÐÝ Ì Ò ½¼ ÔÖÓÚ Ø Ø Ø
× ÓÖØ ×Ø Ó Ø Ò Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ ØÙ ÐÐÝ × ÙÒ ÕÙ ÓÖ ÐÐ ÒØ Ö ×Ø Ò × ×¸ Ò
× ÓÒ Ø × Ö ×ÙÐØ Ñ Ò ØÓ Ú Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ØÓ ÓÑÔÙØ Ø × ÓÖØ ×Ø
Ó Ø Ò Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ Ò O(n5
) Ø Ñ º
48. ÔØ Ö
ÁÑÔÖÓÚ ÜÔÐÓÖ Ø ÓÒ Ó
Ê Ø Ð Ò Ö ÈÓÐÝ ÓÒ×
Ë Ö Ò Ò Ò ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ × Ò ÑÔÓÖØ ÒØ Ò Û ÐÐ ×ØÙ ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÖÓ ÓØ ×º
ÁÒ Ñ ÒÝ Ö Ð ×Ø × ØÙ Ø ÓÒ× Ø ÖÓ ÓØ Ó × ÒÓØ ÔÓ×× ×× ÓÑÔÐ Ø ÒÓÛÐ
ÓÙØ Ø× ÒÚ ÖÓÒÑ Òظ ÓÖ Ò×Ø Ò ¸ Ø Ñ Ý ÒÓØ Ú Ñ Ô Ó Ø× ×ÙÖÖÓÙÒ ¹
Ò × ¾¾¸ ¾ ¸ ¿ ¸ ¿ ¸ ¿ ¸ ½¸ ¸ ¼¸ ½¸ ¸ ¸ º
Ì × Ö Ó Ø ÖÓ ÓØ Ò Ú Û × Ò ÓÒÐ Ò ÔÖÓ Ð Ñ × Ò Ø ÖÓ Óس×
× ÓÒ× ÓÙØ Ø × Ö Ö × ÓÒÐÝ ÓÒ Ø Ô ÖØ Ó Ø× ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ Ø Ø Ø
× × Ò ×Ó Öº Ï Ù× Ø Ö Ñ ÛÓÖ Ó ÓÑÔ Ø Ø Ú Ò ÐÝ× × ØÓ Ñ ×ÙÖ Ø
Ô Ö ÓÖÑ Ò Ó Ò ÓÒÐ Ò × Ö ×ØÖ Ø Ý S ½¼ º Ì ÓÑÔ Ø Ø Ú Ö Ø Ó Ó S ×
Ò × Ø Ñ Ü ÑÙÑ Ó Ø Ö Ø Ó Ó Ø ×Ø Ò ØÖ Ú ÐÐ Ý ÖÓ ÓØ Ù× Ò S
ØÓ Ø ÓÔØ Ñ Ð ×Ø Ò Ó Ø × Ö º
ÁÒ Ø¸ Ø × × Ö ÔÖÓ Ð Ñ× ÓÑ Ò × ÐÐÝ ØÛÓ ÚÓÙÖ׺ ÁÒ ×ÓÑ × ×
Û Û ÒØ ØÓ × Ö ÓÖ Ø Ö Ø Ò Ø ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ¿ ¸ ¿ ¸ ¸ ¼¸ ½¸ º Ì
Ø Ö Ø × Ù×Ù ÐÐÝ ÑÓ ÐÐ × ÔÓ ÒØ Ò Ø ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ Ø Ø × ØÓ Ö
Ý Ø ÖÓ Óغ ÒÓØ Ö ÔÖÓ Ð Ñ ØÝÔ × Ø Ø Ó ÜÔÐÓÖ Ò Ò ÒÚ ÖÓÒÑ Òظ º º¸
Û Ø ÓÙØ ÔÖ ÓÖ ÒÓÛÐ Ó Ø ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ Ð Ø ÖÓ ÓØ ÓÒ×ØÖÙ Ø Ñ Ô Ó
Ø ¿ ¸ ½¸ ½ º
Ï Ö ÒØ Ö ×Ø Ò Ó Ø Ò Ò ÑÔÖÓÚ ÙÔÔ Ö ÓÙÒ × ÓÖ Ø ÓÑÔ Ø Ø Ú
Ö Ø Ó Ó ÜÔÐÓÖ Ò Ö Ø Ð Ò Ö ÔÓÐÝ ÓÒº Ì × Ö × ÑÓ ÐÐ Ý Ô Ø ÓÖ
ÐÓ× ØÓÙÖ ÓÐÐÓÛ Ý ÔÓ ÒØ × Þ ÖÓ ÓØ Ò× Ø ÔÓÐÝ ÓÒ¸ Ú Ò ×Ø ÖØ Ò
ÔÓ ÒØ ÓÖ Ø × Ö º Ì ÓÒÐÝ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø Ø Ø ÖÓ ÓØ × ÓÙØ Ø× ×ÙÖÖÓÙÒ ¹
Ò ÔÓÐÝ ÓÒ × Ø Ô ÖØ Ó Ø ÔÓÐÝ ÓÒ Ø Ø Ø × × Ò ×Ó Öº Ò Ø Ðº ¿
× ÓÛ Ø ÖÑ Ò ×Ø ×ØÖ Ø Ý Ú Ò ÓÑÔ Ø Ø Ú Ö Ø Ó ØÛÓ ÓÖ Ø × ÔÖÓ Ð Ñ
×Ø Ò × Ñ ×ÙÖ ÓÖ Ò ØÓ Ø L1¹Ñ ØÖ º ÃÐ Ò Ö ½ ÔÖÓÚ × ÐÓÛ Ö
ÓÙÒ Ó 5/4 ÓÖ Ø ÓÑÔ Ø Ø Ú Ö Ø Ó Ó ÒÝ Ø ÖÑ Ò ×Ø ×ØÖ Ø Ýº Ï Û ÐÐ
× ÓÛ ×ØÖ Ø Ý Ó Ø Ò Ò ÓÑÔ Ø Ø Ú Ö Ø Ó Ó 5/3 ÓÖ × Ö Ò Ö Ø Ð Ò Ö
ÔÓÐÝ ÓÒ Ò Ø L1¹Ñ ØÖ º
Ì ÔØ Ö × ÓÖ Ò × × ÓÐÐÓÛ׺ ÁÒ Ø Ò ÜØ × Ø ÓÒ Û ÔÖ × ÒØ ×ÓÑ