Agent-Based Models: A New Challenge for Statistics

1. Òع × ÅÓ Ð×
Æ Û ÐÐ Ò ÓÖ ËØ Ø ×Ø
×
Ú Ò ×
Duke Uniffirsity
½

2. ½º À ×ØÓÖÝ Ó Òع × ÅÓ Ð× ´ Å×µ
Å× Ö × Ò
ÓÑÔÙØ Ö ÜÔ Ö Ñ ÒØ× Ò Û
Ø × ÔÓ×× Ð ØÓ Ò ÒØ Ö
Ø ÓÒ×
ÐÓ
ÐÐÝ ÓÖ
Òظ Ò Ø Ò × ÑÙÐ Ø Ñ Ö ÒØ Ú ÓÖ Ø Ø Ö × × ÖÓÑ Ø
Ò× Ñ Ð Ó ÐÓ
Ð
× ÓÒ׺
Ü ÑÔÐ × Ò
ÐÙ
• Ï Ø Ö ÓÖ
×Ø Ò ¸ Ò Û
ÒØ ×
Ù
ÐÓÑ Ø Ö Ó ØÑÓ×Ô Ö ¸ Ò
Ø ÐÓ
Ð ÒØ Ö
Ø ÓÒ× Ö Ü
Ò Ó ÔÖ ××ÙÖ ¸ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ¸ Ò ÑÓ ×ØÙÖ º
• Ù
Ø ÓÒ׸ × Ò ÓÓ ÓÖ ÓÓ Ð ¸ ØÓ Ø ÖÑ Ò Û
× Ö × ÓÛÒ ØÓ Ù× Ö׺
• ÌÖ
ÓÛ ÑÓ Ð׸ × Ò ÌÊ ÆËÁÅ˸ Û Ö ÒØ× ´ Ö Ú Ö×µ ×Ô
Ø Ñ× ÐÚ ×
ÓÖ Ò ØÓ Ø
Ø ÓÒ× Ó ÓØ Ö Ö Ú Ö׸ Ò Ñ ÖÓÙØ
Ó
× × ÓÒ
ÓÒ ×Ø ÓÒ ÚÓ Ò
º
• Ò Ø
Ð ÓÖ Ø Ñ׺
Ç Ø Ò Ø ÐÓ
Ð Þ Ø ÓÒ × Ó Ö Ô
¸ ÙØ Ø × × ÒÓØ ×× ÒØ Ðº Ì Ù
Ø ÓÒ Ü ÑÔÐ
× ÒÓ ×Ô Ø Ð
ÓÑÔÓÒ Òغ
¾

3. Å× Ò Ò Ø ½ ¼×¸ Û Ø × Ý ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒ Ò ÍÐ Ñ Ö Ð Ø Ò ØÓ
ÐÐÙÐ Ö
ÙØÓÑ Ø ´Ó
Ø× Û
¸ ÙÒ Ö Ü × Ø Ó ÖÙР׸ ÔÖÓ Ù
ÓØ Ö Ó
Ø׸ Ù×Ù ÐÐÝ ÓÒ
Ô Ô Ö Ö × Ø ÑÓ×Ø ÑÓÙ× Ü ÑÔÐ × Âº Àº Ϻ Àº ÓÒÛ Ý³× Ñ Ó Ä µº
Ì × Ð ØÓ Ñ Ø Ñ Ø
Ð Ø ÓÖ × Ó ÒØ Ö
Ø Ú Ô ÖØ
Ð ×Ý×Ø Ñ× ´ Ö Ò ËÔ ØÞ Ö¸
Ú Ö Ø µ¸ Û
Ù× Ñ Ø Ó × ÖÓÑ ×Ø Ø ×Ø
Ð Ñ
Ò
× ØÓ ×ØÙ Ý ÔÖÓ Ð Ñ×
Ö Ð Ø ØÓ Ô ×
Ò × Ò ×Ý×Ø Ñ ÝÒ Ñ
׺
× Ø ÒØ× Ú ÐÓÔ ÑÓÖ
ÓÑÔÐ Ü ÖÙÐ × ÓÖ ÒØ Ö
Ø ÓÒ¸ Ò × Ø ÔÔÐ
Ø ÓÒ×
Ñ ÑÓÖ ØÙÒ ØÓ × ÑÙÐ Ø ÓÒ ×ØÙ × Ó Ó × ÖÚ Ð Ô ÒÓÑ Ò ¸ Ø Ð ÑÓÖÔ
Û Ý ÖÓÑ Ñ Ø Ñ Ø
× ÒØÓ
ÓÒÓÑ
׸ ×Ó
Ð ×
Ò
¸ Ò Ô Ý×
׺
Ì × ÑÓ Ð× Ö ÔÓÔÙÐ Ö
Ù× Ø Ý Ò ÓÝ
ÖØ Ò
¹Ú Ð Øݸ Ò
Ù× Ø Ý
Ö Ó Ø Ò ×Ý ØÓ ÔÖÓ Ö Ñº
¿

4. Å× Ö
ÓÑÔÙØ Ö¹ ÒØ Ò× Ú ¸ Ò ×Ó ÒÓØ
ÓÑ Û ÐÝ Ù× ÙÒØ Ð Ø ½ ¼×º
Ñ ÓÖ ÑÔ ØÙ× Û × ÖÓÛ Ò ÖØ
Ð ËÓ
Ø ×¸ Ý ÂÓ× Ù Ô×Ø Ò Ò ÊÓ ÖØ ÜØ ÐÐ
´½ ¸ ÅÁÌ ÈÖ ××µº Ì × ÓÓ × ÓÛ ÓÛ × ÑÔÐ Ò ÒØ ÖÔÖ Ø Ð ÖÙÐ × ÓÖ ÒØ×
ÓÙÐ × ÑÙÐ Ø Ú ÓÖ Ø Ø Û × ÒØ Ö ×Ø Ò Ò ÑÓ Ö Ô Ý¸ ÒØ ÖÓÔÓÐÓ Ý¸ ×Ó
ÓÐÓ Ý¸
Ò
ÓÒÓÑ
׺
Ì Ö ÔÔÖÓ
Û × ØÓ ÔÓ× Ø ×Ù Ö×
Ô ¸ ÔÐ Ò ÓÒ Û
¸ Ø
Ö ÔÓ Òظ
×Ù Ö Ö Û Ø
ÓÒ×Ø ÒØ Ö Ø º ÒØ× ÐÓ
Ø ÓÒ× ÓÒ Ø ×Ù Ö×
Ô ¸ Ò
ÓÒ×ÙÑ Ø ×Ù Ö Ø Ø Ö ÐÓ
Ø ÓÒ ÙÒØ Ð Ø Û × Ü Ù×Ø ¸ Ò Ø Ò ÑÓÚ ØÓ Ò Û
ÐÓ
Ø ÓÒ ´ Ò Ø Ö
Ø ÓÒ Ó Ñ Ü ÑÙÑ ×Ù Ö¸ Û Ø ÓÙØ ÓÒ Ð ÑÓÚ ×¸ Û Ø Ñ Ò ÑÙÑ
ØÖ Ú Ð Ò ÔÖ Ö Ò
ØÓ Ò Ö ÔÖ Ú ÓÙ× ÐÓ
Ø ÓÒ×µº
Ì × × ÑÔÐ ×Ý×Ø Ñ Ó ÖÙÐ × Ð ØÓ
Ö
ÙÐ Ö Ñ Ö Ø ÓÒ Ô ØØ ÖÒ׺ Ì × Ô ØØ ÖÒ× Ö
×ÙÔÔÓ× ØÓ × Ñ Ð Ö ØÓ Ø Ó× Ó × ÖÚ Ò ÙÒØ Ö¹ Ø Ö Ö ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ׺

5. ÅÓÖ ÖÙÐ ×
Ö Ø Ø ÓÒ Ð
ÓÑÔÐ Ü Øݺ Ô×Ø Ò Ò ÜØ ÐÐ × Ü¸ Ò Û Ò
Ø Ö Û × ×Ù
ÒØ ×Ù Ö¸ Ø ÒØ× ÛÓÙÐ Ö ÔÖÓ Ù
º Ì × Ð ØÓ ÔÝÖ Ñ ×¸
ÖÖÝ Ò
Ô
Øݸ ØÖ Ð ÖÓÛØ Û Ø
Ó¹ÑÓÚ Ñ ÒØ Ò ×× ÓÒ¸ Ò ÓØ Ö ÑÓ Ö Ô
ØÙÖ ×º
Ì Ý ×Ô
¸ ×
ÓÒ Ö ×ÓÙÖ
× Ñ Ð Ö ØÓ ×Ù Ö¸ Ò × ÑÔÐ ÖÙÐ × Ð ØÓ ÖØ Ö
ÓÒÓÑ ×º
Ì Ý Ø × ¸ Û
Ö × Ö Ò ØÖ ÙÒ Ö Ñ ÓÖ ØÝ ÖÙÐ º Ì × Ø × Ñ Ñ
ÙÐØÙÖ Ð Ñ Ñ ×¸ Ò Ö ØÖ Ò×Ñ ØØ Ò
ÓÒ× ÖÚ º Ï Ò Ø × Ö ××Ó
Ø Û Ø
×ÙÖÚ Ú Ð Ò Ö ÔÖÓ Ù
Ø Ú ×Ù
×׸ Ø ØÖ × × ÓÛ ËÔ Ò
Ö Ò
ÙÐØÙÖ Ð ÚÓÐÙØ ÓÒº
Ë Ñ Ð Ö ÖÙÐ × Ð ØÓ
ÓÑ Ø¸ Ú × ÓÒ Ó Ð ÓÖ¸ × × ØÖ Ò×Ñ ×× ÓÒ¸ Ò ÓØ Ö
ÚÓ
Ø Ú Ö ×ÙÐØ׺

6. ËÔ
Ò Ó ÒØ׸ ×Ù
× ÛÓÙÐ Ó
ÙÖ Û Ø ÙÒØ Ö¹ Ø Ö Ö׺

7. Ö Ô
Ø Ø ÔÙÖÔÓÖØ× ØÓ × ÓÛ
ÓÒ
Ø ÓÒ Ø ×Ù Ö×
Ô º

8. ÙÖÖ ÒØÐݸ Å× ØÝÔ
ÐÐÝ ÒØ Ð
½º Å ÒÝ ÒØ׸ Ó Ø Ò Û Ø Ö ÒØ Ø ÖÓÐ × Ò Ø Ù× ÒØ ÖÙÐ × Ø׺
¾º ÊÙР׸ Û
Ñ Ý
ÓÑÔРܺ ËÓÑ Ø Ñ × Ø ÖÙÐ × Ö ÙÖ ×Ø
¸ ×ÓÑ Ø Ñ × ÓÒ
× Ö Ò ÓÑ Þ ÖÙР׺
¿º Ä ÖÒ Ò Ò ÔØ Ø ÓÒº ÒØ× Ð ÖÒ ÓÙØ Ø Ö ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ´ Ò
ÐÙ Ò ÓØ Ö
ÒØ×µº ´ Ü ÐÖÓ ³× ÈÖ ×ÓÒ Ö³× Ð ÑÑ × Ò Ü ÑÔÐ ºµ
º Ò ÒØ Ö
Ø ÓÒ ØÓÔÓÐÓ Ýº Ì × Ò × Û
ÒØ×
Ø
ÓØ Ö Ù×Ù ÐÐÝ Ø ×
× ÑÓ Ð Ó ÔÖÓÔ ÒÕÙ Øݸ ÙØ ÓÖ Ù
Ø ÓÒ× Ø × ×Ø Ö¹ Ö Ô º
º ÒÓÒ¹ ÒØ ÒÚ ÖÓÒÑ Òغ Ì × Ñ Ý Ò
ÐÙ Ò Ø Ð
ÓÒ Ø ÓÒ׸ Ò »ÓÖ
ÖÓÙÒ
ÔÖÓ
×× ×º
Ë Ò
Ø ½ ¼×¸ ÑÓ×Ø × ÑÙÐ Ø ÓÒ× Ù× ×Ñ ÖØ ÒØ× Û Ø ÑÙÐØ ÔÐ ÖÓР׺ ÙÖÖ ÒØ
ÛÓÖ × ÜÔÐÓÖ Ò ÓÛ Û ÐÐ ÒØ× Ø Ø ÑÔÐ Ñ ÒØ ÑÓ Ð× ÓÖ ÙÑ Ò
Ó Ò Ø ÓÒ ´ º º¸
ÓÙÒ Ö Ø ÓÒ Ð Øݵ
Ò Ö ÔÖÓ Ù
ÑÔ Ö
Ð
ÓÒÓÑ
Ú ÓÖº

9. ¾º Ã Ù Ñ Ò³× ÅÓ Ð
ËØ ÒÐ Ý Ã Ù Ñ Ò Û ÒØ ØÓ ÒÓÛ ÓÛ Æ
ÓÙÐ Ú Ö × ØÓ Ø ÒÙÑ Ö Ó Ö ÒØ
Ø ××Ù ØÝÔ × Ø Ø Ö Ó × ÖÚ Ò ÓÖ Ò ×Ñ׺ À Ô Ö ÓÖÑ Ò Å ÜÔ Ö Ñ ÒØ
×
Ö Ò Å Ø ÓÐ
ËØ Ð ØÝ Ò Ô Ò × × Ò Ê Ò ÓÑÐÝ ÓÒ×ØÖÙ
Ø Ò Ø
Æ Ø× º
ÁÒ Ã Ù Ñ Ò³× ÑÓ Ð¸
ÒØ × Ò º
Ò × Ø Ö Ó ÓÖ ÓÒ¸ ¼ ÓÖ ½¸
Ô Ò Ò ÙÔÓÒ Ø ÒÔÙØ× Ø Ö
Ú × ÖÓÑ ÓØ Ö Ò ×º Ò × Ö
Ú ÒÔÙØ× ÖÓÑ
ÓØ Ö Ò ×¸
Ð
ÙÐ Ø ÓÓÐ Ò ÙÒ
Ø ÓÒ¸ Ò × Ò Ø Ö ×ÙÐØ ØÓ ÓØ Ö Ò ×º
Á Ò Ö
Ú × k ÒÔÙØ׸ Ø Ò Ø Ö Ö 2k
ÔÓ×× Ð Ú
ØÓÖ× Ó ÒÔÙØ׺ Ò ÓÖ
Ú Ò Ú
ØÓÖ Ó ÒÔÙØ׸ Ø Ö Ö ØÛÓ ÔÓ×× Ð ÓÙØÔÙØ׸ ¼ ÓÖ ½º ËÓ Ø ÒÙÑ Ö Ó
ÔÓ×× Ð ÙÒ
Ø ÓÒ× Ø Ø Ñ Ô {0, 1}k
→ {0, 1} × 22k
º

10. Ò ØÛÓÖ Ó Ø ÒÓ ×¸ Ò Û
Ò × Ú Ö ÒØ ÒÙÑ Ö× Ó ÒÔÙØ× Ò
ØÖ Ò×Ñ Ø ØÓ Ö ÒØ ÒÙÑ Ö× Ó Ò ×º Ò Ö
Ú × ÒÔÙØ ÖÓÑ Ò × ¿¸ Ò
´ Ø× Ð µ¸ Ò × Ò × ØÓ Ò× ¸ ¸ Ò º
½¼

11. ½½

12. Ú Ò Ò ØÛÓÖ Ó n Ò × Ø Ø Ö Ö Ò ÓÑÐÝ
ÓÒÒ
Ø Ò ÓÖ Û
Ò ×
Ö Ò ÓÑÐÝ
Ó× Ò ÓÓÐ Ò ÙÒ
Ø ÓÒ¸ Ø ØÙÖÒ× ÓÙØ Ø Ø Ø ×Ý×Ø Ñ ÑÙ×Ø ÐÛ Ý× Ú ÐÓÔ
Ý
Р׺ Ì ÓÒ¹Ó Ô ØØ ÖÒ× Û ÐÐ ØÝÔ
ÐÐÝ ÑÓÚ Ø ÖÓÙ × Ø Ó ØÖ Ò× ÒØ ×Ø Ø ×¸ Ò
ÙÐØ Ñ Ø ÐÝ × ØØÐ ÙÔÓÒ
Ý
Ð ¸ Û
×
ÐÐ Ò ØØÖ
ØÓÖº
Ì ÒÙÑ Ö Ó ØØÖ
ØÓÖ× × ØÝÔ
ÐÐÝ ÓÙØ ÕÙ Ð ØÓ
√
nº Ï
ØØÖ
ØÓÖ ÓÒ Ò ×
ÙÔ Ò Ô Ò × ÙÔÓÒ Ø Ò Ø Ð
ÓÒ Ø ÓÒ׺
ÓÐÓ
ÐÐݸ ÓÒ
Ò Ñ Ò Ø Ø
ØØÖ
ØÓÖ
ÓÖÖ ×ÔÓÒ × ØÓ Ø ××Ù ØÝÔ º
Ô ÖØ
ÙÐ Ö × ÕÙ Ò
Ó Ò Ö ÙÐ Ø ÓÒ¸ ØÙÖÒ Ò ×Ô
Ò × Ó Ò ÓÒ Ò Ö ÙÐ Ö
Ý
Ð ¸ Ø ÖÑ Ò × Û Ø Ö Ø
ÐÐ × Ò ÖÚ
ÐÐ ÓÖ × Ò
Ðк
Ì × ×Ò³Ø ØÖÙ ¸ Ó
ÓÙÖ× ¸ ÙØ Ø × ×Ù ×Ø Ú ÑÓ Ð ÓÖ ÓÛ Ø × Ñ Æ
Ò
ÔÖÓ Ù
Ö ÒØ ÓÙØ
ÓÑ ×º
½¾

13. × ÑÔÐ ØØÖ
ØÓÖº À Ö Ø Ø ÖÑ Ö Ò Ó Ò × ÔÖÓ ÐÝ Ñ ×Ù× º
ÒÓ
Ö ÔÖ × ÒØ× Ò ÒØ Ö ×Ø Ø Ó Ø ×Ý×Ø Ñ¸ Ú
ØÓÖ Ó n Þ ÖÓ × Ò ÓÒ ×º
½¿

14. ½

15. ÁÒØ Ö ×Ø Ò Ðݸ Ö Ò ÓÑ Ò ØÛÓÖ × Ø Ò ØÓ ÖÓ Ù×غ Á ÓÒ Ö Ò ÓÑÐÝ Ô ÖØÙÖ × Ø
Ò ØÛÓÖ Ý ÔÔ Ò ¼ ØÓ ½¸ ÓÖ ½ ØÓ ¼¸ Ø Ò Ò ÖÐÝ ÐÛ Ý× ÝÓÙ Ò ÝÓÙÖ× Ð ÙÔÓÒ
ØÖ Ò× ÒØ Ø Ø Ð ×
ØÓ Ø ÓÖ Ò Ð ØØÖ
ØÓÖº
Ç
ÓÙÖ× ¸ Û Ø ×Ñ ÐÐ ÔÖÓ Ð Øݸ ×ÓÑ Ø Ñ × ÔÔ Ø ÓÖ ØÛÓ Û ÐÐ ÔÙØ ÓÒ ÓÒ
ØÖ Ò× ÒØ Ô Ø Ø Ø Ð × ØÓ Ö ÒØ ØØÖ
ØÓÖº Ì × × × Ñ Ð Ö ØÓ Û Ø ÔÔ Ò× Ò
ÓÐÓ Ý¸ Û Ö ×ÓÑ Ø Ñ × ÓÒ Ò × ÖÖ ÒØ Ø ××Ù ØÝÔ × Ò Ø ÛÖÓÒ ÓÖ Òº
Ç
ÓÙÖ× ¸ Ò ÓÐÓ Ý¸ Ò ØÙÖ Ð × Ð
Ø ÓÒ ÓÔ Ö Ø × ÓÒ Ø ÔÖÓ
×× ×Ó Ø Ø Ø Ò × Ö
ÒÓØ Ö Ò ÓÑÐÝ
ÓÒÒ
Ø Ò Ó ÒÓØ Ú Ö Ò ÓÑ ÓÓÐ Ò ÙÒ
Ø ÓÒ׺ ÁÒ×Ø ¸ Ø Ö
ÛÓÙÐ × Ð
Ø ÓÒ ÓÖ
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ× Ø Ø Ö ×Ø Ð Ò Ú Ñ ÒÝ ÓÑ Ò× Ó
ØØÖ
Ø ÓÒº
½

16. Ì Ú ÖØ
Ð Ü × × ÓÛ× Ø ÒÙÑ Ö Ó ØØÖ
ØÓÖ× Ò ÒÙÑ Ö Ó
ÐÐ ØÝÔ ×¸ Ò Ø
ØÓÔ ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ü × × ÓÛ× Ø ÒÙÑ Ö Ó ÒØ× Û Ð Ø ÓØØÓÑ ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ü ×
× ÓÛ× Ø ÑÓÙÒØ Ó Æ º
½

17. ½

18. ¿º Î Ö
Ø ÓÒ Ò Î Ð Ø ÓÒ
Ì Ú Ð Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ × ØÓ Ø ÖÑ Ò Û Ø Ö Ø ÔÖÓ Ö Ñ × ×Ù
ÒØÐÝ
Ø ÙÐ ØÓ Ö Ð Øݺ Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ ÑÓ Ð× Ñ Ñ ÒÝ Ö ÒØ Ò × Ó ××ÙÑÔØ ÓÒ× Ò
ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ׸ Ò Ó Ø Ò Ø Ö ×ÙÐØ ×
ÓÑÔÐ Ø ÐÝ ÙÒ×ÓÙÒ ¸ Ú Ò Ø
Ó ×
ÖÖÓÖ¹ Ö º ÌÓ Ñ Ø Ò × ÑÓÖ
ÙÐظ Ó Ø Ò ÓÒ × Ú ÖÝ Ð ØØÐ Ø ÖÓÑ Ø Ö Ð
ÛÓÖÐ Ò×Ø Û
ØÓ
ÓÑÔ Ö Ø ÑÓ Ðº
ÁÒ Ø ×
ÓÒØ Üظ Ø Ú Ö
Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ × ØÓ Ø ÖÑ Ò Û Ø Ö Ø
Ó Ò Ø
ÑÓ Ð × ÖÖÓÖ¹ Ö º ÁØ × ÑÔÓ×× Ð ØÓ
Ú ÖÝ Ð Ò Ó
Ó ¸ Ò ÓÒ
Ò ×× ÒØ ÐÐÝ
Ù Ö ÒØ Ø Ø Ò ÔÖÓ Ö Ñ× Û Ø Ñ ÐÐ ÓÒ× Ó Ð Ò ×¸ ÛÖ ØØ Ò Ý ÙÒ Ö × Ó Ô ÓÔÐ ÓÚ Ö
׸ ×ÓÑ Ó Ø
Ó Û ÐÐ ÛÖÓÒ º
ÓØ Ó Ø × ÔÖÓ Ð Ñ× Ö Ð Ö ÐÝ ÒØÖ
Ø Ð º ÙØ Ø Ò ÓÖ ÑÓ Ð Ò × Ö Ø¸
Ò Ó Ø Ò Ø ×ÓÐÙØ ÓÒ × ÖÐÝ ÖÓ Ù×Ø Û Ø Ò Ö ÓÒ× Ø Ø Ô ÓÔÐ
Ö ÓÙغ Ò
×Ø Ø ×Ø
× × ×ÓÑ Ô ÖØ Ð ×× ×Ø Ò
Ø
Ò Ó Öº
½

19. ¿º½ Î Ð Ø ÓÒ ËØÖ Ø ×
Ì Ö × Ñ ØÓ Ú Ñ Ò ÔÔÖÓ
×
• È Ý×
×¹ × ÑÓ Ð Ò
• ÁÒØ ÐÐ ÒØ × Ò
•
¹Ú Ð ØÝ
• ÓÑÔ Ö ×ÓÒ ØÓ ÒÓØ Ö ÑÓ Ð
• ÓÑÔ Ö ×ÓÒ ØÓ Ø ÛÓÖÐ
Ê Ö ØØ Ðݸ ÒÓÒ Ó Ø × × ÙÐÐÝ × Ø ×
ØÓÖݺ
Ê
ÒØ ×Ø Ø ×Ø
Ð ÛÓÖ × ÓÒ ÑÓ Ð ÓÖ ×
Ö Ô Ò
Ý Ú ÐÓÔ Ý Ã ÒÒ Ý Ò
dzÀ Ò ´ Ý × Ò Ð Ö Ø ÓÒ Ó ÓÑÔÙØ Ö ÅÓ Ð׸ Ö Ô Ô Ö Ò ÂÓÙÖÒ Ð Ó Ø
ÊÓÝ Ð ËØ Ø ×Ø
Ð ËÓ
Øݸ Ë Öº ¸ ¿¸ ¾ ¹ µ Ñ Ý Ó Ö Ù× ÙÐ Ô Ø ÓÖÛ Ö Ò
×ÓÑ × ØÙ Ø ÓÒ׺
½

20. ¿º½º½ È Ý×
×¹ × ÅÓ Ð Ò
Ì × Ñ Ø Ó ×
ÓÑÑÓÒÐÝ Ù× Ò Ø Ö ×
Ò
׺ È ÓÔÐ Ù Ð × ÑÙÐ Ø ÓÒ Ø Ø
Ò
ÓÖÔÓÖ Ø × ÐÐ Ó Ø Ô Ý×
Ð Ð Û× Ò ÒØ Ö
Ø ÓÒ× Ø Ø Ø Ý
Ò Ø Ò Ó ¸ Ò Ø Ò
Ð
ÓÒ ÒØ Ø Ø Ø Ö ÑÓ Ð × Ø ÙÐ ØÓ Ö Ð Øݺ
Ì ×
Ò ÛÓÖ ÓÒ ×Ñ ÐÐ Ö ÔÖÓ Ð Ñ× Û Ö ÐÐ Ñ
Ò ×Ñ× Ö ÙÐÐÝ ÙÒ Ö×ØÓÓ º
Ü ÑÔÐ × Û Ö Ø × Ö Ù ÐÝ ×Ù
×× ÙÐ Ò
ÐÙ ÔÐ Ò Ø ÖÝ ÑÓØ ÓÒ׸ Ø × ÑÙÐ ØÓÖ׸
Ò Ú ÖØÙ Ð ÑÓ
¹ÙÔ× Ó × Ñ
ÓÒ Ù
ØÓÖ Ñ ÒÙ
ØÙÖ Ò ÔÖÓ
×× ×
ÙØ Ø Ø Ò × ØÓ Ö ÓÛÒ × Ø ×ØÓ
×Ø
ØÝ Ó Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ò
Ö × ×º Ò Ø
Ñ
ÖÓ¹Ð Ú Ð × ÑÙÐ Ø ÓÒ× Ó Ø Ò Ø Ú ÖÝ ÐÓÒ Ø Ñ ØÓ ÖÙÒº
¾¼

21. ¿º½º¾ ÁÒØ ÐÐ ÒØ × Ò
Ì × × Ø ÑÓ×Ø
ÓÑÑÓÒº ÜÔ ÖØ× Ø Ò Ø ÖÓÙ Ø × ÑÙÐ Ø ÓÒ
Ö ÙÐÐݸ Ù Ð Ò
Ò ÓÖ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ò ÐÐ Ø
Ø× Ø Ý Ø Ò Ö ×Ù ×Ø ÒØ Ðº Ì Ò Ø Ý ÓÔ Ø Ø
Ø Ý³Ú Ò ×Ñ ÖØ ÒÓÙ Ò Û Ø ØÓ × Ø Ö Ö ×ÙÐØ× ÛÓÖ Û ÐÐ ÒÓÙ º
Ì × × ÔÖÓ ÐÝ Ø
× Û Ø ÑÓ×Ø × ÑÙÐ Ø ÓÒ× Ø Ø Ö ÒÓØ Ñ ×× ÓÒ¹
Ö Ø
к
ÁÒØ ÐÐ ÒØ × Ò
Ò Ò Ð ÑÓÖ
ÓÑÔÐ
Ø × ØÙ Ø ÓÒ× Ø Ø Ø Ô Ý×
×¹ ×
ÑÓ Ð׸ ÙØ Ø Ö × ÒÓ ØÖÙ Ú Ð Ø ÓÒº
ÅÙ
Ó Ø
Ó ÛÖ ØØ Ò Ý ÓÚ ÖÒÑ ÒØ
ÓÒØÖ
ØÓÖ× × × Ò Ø × Û Ý¸ Ð Ö ÐÝ
Ù× Ö Ð Ú Ð× Ó Ú Ð Ø ÓÒ Ø ×Ø Ò Ö ÜÔ Ò× Ú Ò Ö Ð Ò
× Ö
Ö ÐÙ
Ø ÒØ ØÓ Ô Ý ÓÖ Øº
Ë Ò
Ø Ø Ó٠عÔÖÓ
×× × × Ñ Ð Ö ØÓ ×Ó ØÛ Ö × Ò¸ Ø Ö ×ÙÐØ× Ö ÔÖÓ ÐÝ ÓÙØ
× Ù Ý ×
Ó º
¾½

22. ¿º½º¿
¹Î Ð ØÝ
Ì × × Ø Ö×Ø
× Û Ø ØÖÙ Ú Ð Ø ÓÒ ÔÖÓØÓ
Óк Ì × Ò Ö Ø ×Ø× Ø × ÑÙÐ Ø ÓÒ
Ý Ù× Ò × Ð
Ø ÒÔÙØ× ØÓ ÜÔÐÓÖ Ø ÓÙØÔÙØ Ú ÓÖº
Ç Ø Ò Ø × Ð
Ø ÒÔÙØ× Ö
Ó× Ò
ÓÖ Ò ØÓ ×Ø Ø ×Ø
Ð × Ò¸ ×Ù
× Ä Ø Ò
ÝÔ Ö
Ù º Ì × × Ø ÑÓÖ
Òغ ÐØ ÖÒ Ø Ú Ðݸ ÓÒ
Ò ØÖÝ ØÓ × Ð
Ø Ú ÐÙ × ÓÖ
Ø ÒÔÙØ× Ø Ø
ÓÖÖ ×ÔÓÒ ØÓ ÜÔ
Ø Ú ÓÖ׺
Ì × × Ò×Ù
ÒØ Û Ò Ø Ô Ö Ñ Ø Ö ×Ô
× Ð Ö Ò Ø Ö Ö Ñ ÒÝ ÒØ Ö
Ø ÓÒ׺
Ùظ ØÓ Ú ÖÝ Ò Ö ×¸ Ø × Ù× ÓÖ ×Ý×Ø Ñ× ×Ù
× ÈÁËÁÅË Ò Ø ØØÐ Ð
× ÑÙÐ Ø ÓÒ× ÔÖÓ Ù
Ø ÅËǺ
¹Ú Ð ØÝ ×× ××Ñ ÒØ Ö ÕÙ Ö × × Ò
ÒØ Ò¹ ÓÙ× ÜÔ ÖØ × Û Ø ÓØ Ø ×Ó ØÛ Ö
Ò Ø ÔÔÐ
Ø ÓÒº
¾¾

23. ¿º½º ÓÑÔ Ö ×ÓÒ ØÓ ÒÓØ Ö ÅÓ Ð
Ì × × ÒÓØ ÓÒ Ó Ø Ò ÒÓÙ ¸ ÙØ Ø × Ø ÔÓØ ÒØ Ð ØÓ ÔÓÛ Ö ÙÐ ØÓÓÐ ÓÖ
Ú Ð Ø ÓÒº Ì Ú ÒØ × Ö Ø Ø ÓÒ
Ò ØØ Ö ÜÔÐÓÖ Ø ÙÐÐ Ö Ò Ó ÑÓ Ð
Ú ÓÖº
ÇÒ ××Ù × Ø Ø Ø × Ö ØÓ
Û Ò ÓÒ × ÑÙÐ Ø ÓÒ × Ò ÖÐÝ ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ
ÒÓØ Ö¸ ÓÖ Ô Ö Ô× × ×Ù × Ø Ó Ø ÓØ Öº Ò Ø
Ò ×Ô
ÐÐÝ ÑÔÓÖØ ÒØ ÓÒ
Ó Ø × ÑÙÐ Ø ÓÒ× ÖÙÒ× Ú ÖÝ ÑÙ
×Ø Ö Ø Ò Ø ÓØ Ö ÓÖ Ü ÑÔÐ ¸ ÓÒ
Ò Ù× Ø
×ÐÓÛ ÓÒ Ø Ø × ÔÓ×× ÐÝ ÑÓÖ
ÙÖ Ø × Ò Ò
ÓÖ ÓÖ
Ð Ö Ø Ò Ò ×Ø ÓÒ º
ËÙ
ÓÑÔ Ö Ø Ú Ú Ð Ø ÓÒ
Ò Ö × Û Ò Ü Ñ Ò Ò Ø Ê ¹ ÖÓ×Ø Ö ÒØ Ð
ÕÙ Ø ÓÒ× ÓÖ × × ×ÔÖ Ò×ظ × Ý¸ Ò ÒØ × ÑÓ Ðº
¾¿

24. ¿º½º ÓÑÔ Ö ×ÓÒ ØÓ Ø ÏÓÖÐ
ÓÖ Ñ ÒÝ × ØÙ Ø ÓÒ׸ ×Ù
× Û Ø Ö ÓÖ
×Ø Ò Ò Ø À ÍË ÓÓ Ñ
ÑÓ Ð¸ Ø Ù× Ö×
Ò
ÓÑÔ Ö ÔÖ
Ø ÓÒ× Û Ø Û Ø Û × Ð Ø Ö Ó × ÖÚ º
ÐØ ÓÙ Ø × × ÔÖÓ ÐÝ Ø ×ØÖÓÒ ×Ø ÓÖÑ Ó Ú Ð Ø ÓÒ¸ Ø × ×Ø ÐÐ Ò ÕÙ Ø º ÇÒ
Ó × ÒÓØ Ú
ÓÒ Ò
Ò Ø Ð ØÝ Ó Ø × ÑÙÐ Ø ÓÒ Ò Ö Ñ × Ø Ø Ú ÒÓØ Ò
ÔÖ Ú ÓÙ×ÐÝ Ó × ÖÚ ¸ Ò Ø × × Ó Ø Ò Ø
ÓÒØ ÜØ Û Ò Ø Ö × Ø Ö Ø ×Ø ÒØ Ö ×غ
Ð×Ó¸ Û Ò Ø Ö × Ö Ò ÓÑÒ ×׸ Ø ×
ÙÐØ ØÓ ÕÙ ÒØ Ý Ø ×ØÖ Ò Ø Ó ×ÙÔÔÓÖØ
Ó Ø Ò Ý
ÓÖÖ
Ø ÓÖ Ò
ÓÖÖ
Ø ÔÖ
Ø ÓÒ׺
¾

25. ¿º¾ Î Ö
Ø ÓÒ
Ò Ò Ø Ù × Ò
Ó × Ò ÒØ Ö ÐÝ Ö ÒØ ÙØ Ú ÖÝ
ÙÐØ ÔÖÓ Ð Ñº
ÇÒ ÔÔÖÓ
× ØÓ
Ú ÖÝ Ö Ò
ÔÓ ÒØ Ò Ø ÔÖÓ Ö Ñ ØÓ Ò×ÙÖ Ø Ø Ø ÐÓ
×
×ÓÙÒ º ËÓ ØÛ Ö ÕÙ Ð ØÝ Ò Ò Ö×
ØÙ ÐÐÝ Ó Ø ×º
È Ö Ô× Ð ××
Ó×ØÐÝ × ØÓ Ö ØÛÓ Ô ÓÔÐ ØÓ Ò Ô Ò ÒØÐÝ ÛÖ Ø
Ó Û Ø ÔÖ ×
Ö
ÑÓ ÙÐ Ö Øݸ Ø Ò × Ø ÐÓØ Ó Ð ØØÐ ÒØ ÖÒ Ð ×¸ Ò Ø Ò ÖÙÒ ÒÔÙØ× ØÓ × Û Ö Ø
× × Ö º Ï Ò Ø Ø ÔÔ Ò׸ ÓÒ Ó Ø ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö× × Ñ Ò ÖÖÓÖº ´Ç
ÓÙÖ× ¸ Ø × ÑÓÖ Ø Ò ÓÙ Ð × Ø ÙÔ ÖÓÒØ
Ó×Ø Ó
Ó ÔÖÓ Ù
Ø ÓÒºµ
Ê × Ö
Ø Ø ËÓ ØÛ Ö Ò Ò Ö Ò ÁÒ×Ø ØÙØ ×Ù ×Ø× ×ÓÑ ×Ù Ô ÖØ× Ó
ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò Ø × × Ö ×Ô
ÐÐÝ ÖÖÓÖ¹ÔÖÓÒ ¸ Ò ×ÓÑ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö× Ö ÔØ ØÓ
ÖØ Ò Ò × Ó ÖÖÓÖ× ´Ï ØØ× ÀÙÑÔ Ö Ý¸ Ñ ÒÝ Ë Á Ö ÔÓÖØ×µº
Å Ø Ñ Ø
Ò× Ú Ú ÐÓÔ Ø ÓÖÝ Ó ÔÖÓÚ ÐÝ
ÓÖÖ
Ø
Ó ¸ ÙØ × ÒÓØ ÔÖ
Ø
к
¾

26. ÇØ Ö Ô ÓÔÐ Ú Ù×
Ð Ú Ö ×Ø Ø ×Ø
Ð × Ò× ØÓ ÐÔ Ò×ÙÖ Ú Ö× Ø ×Ø Ò Û Ø ÓÙØ
Ø
Ó×Ø Ó Ü Ù×Ø Ú Ø ×Ø Ò ´ º º¸ Ð Ð Ò Å ÐÐÓÛ× ´Ì
ÒÓÑ ØÖ
׸ ¼¸ ¾¿ ¹¾ ¿µº
ÒÓØ Ö Ô Ô Ö Ý Ð Ð Ò Å ÐÐÓÛ× ´Â Ë ¸ ¿¸ ¾¹ ¼µ × Ú Ò ØØ Öº Ì × Ù× ×
ÝÒ Ñ
ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò ¸ Ø
Ó×Ø Ó Ø Ù × Ø Ø Ú Ò ÓÙÒ ¸ Ø
Ó×Ø Ó Ø ×Ø Ò
´ Ò
ÐÙ Ò ÓÔÔÓÖØÙÒ ØÝ
Ó×Ø× ÖÓÑ Ð Ý Ö Ð × µ Ò Ø Ð Ò Ø Ó Ø Ñ × Ò
Ò Ò
Ø Ð ×Ø Ù ØÓ Ò Ø ÓÔØ Ñ Ð Ø Ñ ØÓ ×ØÓÔ Ø ×Ø Ò º
Ì ÒØÙ Ø ÓÒ ×
Ð Ö Ø × Ò ÐÓÒ Ø Ñ × Ò
ÝÓÙ Ð ×Ø ÓÙÒ Ò ÜÔ Ò× Ú
Ù ¸ Ø Ò
Ð Ö Ø
Ó Ö Ý ÓÖ Ñ Ö Øº
ÆÓÒ Ó Ø × Ñ Ø Ó × × ÙÐÐÝ × Ø ×
ØÓÖÝ ÓÖ Ð ¹ÓÖ¹ Ø
Ó º Ì × Ö Ò×
ØÓ Ð Ñ ÒØ ÖÝ ×Ø Ø ×Ø
× ÝÓÙ
ÒÒÓØ ÔÖÓÚ Ø ÒÙÐÐ ÝÔÓØ × × Ø Ø Ø
Ó × ÓÓ ¸
ÝÓÙ
Ò ÓÒÐÝ ×ÔÖÓÚ Øº
¾

27. º È Ö Ñ Ø Ö Þ Ø ÓÒ
ÌÓ ÑÔÖÓÚ Ú Ð Ø ÓÒ¸ Û Ò ØÓ ÙÒ Ö×Ø Ò Ø Ô Ö Ñ Ø Ö ×Ô
º ÐÐ × ÑÙÐ Ø ÓÒ×
Ú Ô Ö Ñ Ø Ö׸ ÙØ Ø × Ö Ó Ø Ò
Ó× Ò ÓÖ × Ó Ú ÐÓÔÑ ÒØ Ö Ø Ö Ø Ò ÓÖ
Ø ×Ø Ò Ò
ÓÑÔ Ö ×ÓÒº
• ÓÖ Ñ Ø Ñ Ø
Ð ÑÓ Ð׸ Ø Ô Ö Ñ Ø Ö× Ö Ø
Ó
ÒØ× Ò Ø × ×º
• ÓÖ Òع × ÑÓ Ð׸ Ø Ö Ö Ô Ö Ñ Ø Ö× ÓÖ
Òظ Ö ÔÖ × ÒØ Ò Ø
ÖÙÐ × Ø Ø ÒØ ÓÐÐÓÛ׺
• ÓÖ Ö ¹Ø Ñ Ò ¸ Ø Ô Ö Ñ Ø Ö× Ö Ø Ò Ø Ð Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò Ø Ø ÑÔ Ö Ñ ÒØ×
Ó Ø Ô ÖØ
Ô ÒØ׺
Ë Ñ Ð ÖÐݸ Ø Ô Ö Ñ Ø Ö ×Ô
Ó Ø Ö Ð¹ÛÓÖÐ Ô ÒÓÑ ÒÓÒ Ò × ØÓ ÙÒ Ö×ØÓÓ º
Ç Ø Ò Ø Ú ÓÖ Ó ÒØ Ö ×Ø × ÐÓ ÐÐÝ ¹ Ñ Ò× ÓÒ Ð ÙØ ÐÓ
ÐÐÝ ÐÓÛ¹ Ñ Ò× ÓÒ Ðº
¾

28. º½ ËÁÊ ÅÓ Ð×
ÓÒ× Ö Ò ÓÐ ¹ × ÓÒ Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ× ÑÓ Ð ÓÖ × × ×ÔÖ º Ì
à ÖÑ
¹Å
Ã Ò Ö
ÑÓ Ð ××ÙÑ ×
dI
dt
= λIS − γI
dS
dt
= −λIS
dR
dt
= γI
À Ö I(t) × Ø ÒÙÑ Ö Ó Ò
Ø Ô ÓÔÐ ¸ S(t) × Ø ÒÙÑ Ö Ó ×Ù×
ÔØ Ð Ô ÓÔÐ ¸
Ò Ê´Øµ × Ø ÒÙÑ Ö Ó Ô ÓÔÐ Û Ó Ú Ö
ÓÚ Ö Ò Ö ÑÑÙÒ º Ì λ × Ø
Ò
Ø ÓÒ Ö Ø Ò γ × Ø Ö
ÓÚ ÖÝ Ö Ø º
Ì × ×
ÓÑÔ ÖØÑ ÒØ Ð ÑÓ Ð Û Ø Ø Ö
ÓÑÔ ÖØÑ ÒØ× Ò
Ø ¸ ×Ù×
ÔØ Ð ¸ Ò
Ö
ÓÚ Ö º Ì ÑÓ Ð Ó × ÒÓØ Ø Ø ×Ô
ÐÐÝ Û Ðи ÙØ Ø Ö ÔÖ × ÒØ× ×Ø Ò Ö
ÔÔÖÓ
ÓÖ ×
Ö Ò × ÑÔÐ
ÓÒØ
Ø ÔÖÓ
×׺
¾

29. ÁØ ×
Ð Ö Ø Ø Ø ÒØÖ Ò×
Ñ Ò× ÓÒ Ó Ø Ã ÖÑ
¹Å
Ã Ò Ö
ÑÓ Ð × ¾º
ÃÒÓÛ Ò Ø × Ò Ð × Ò ÐÝ×Ø× ØÓ ÜÔÐÓÖ Ø × ÑÙÐ Ø ÓÒ ×Ô
Ý Ú ÖÝ Ò Ø × ØÛÓ
Ô Ö Ñ Ø Ö׸ λ Ò γ¸ Ò ×ØÙ Ý Ò ÓÛ Ø Ö ×ÔÓÒ× ´× ݸ ÙÖ Ø ÓÒ Ó Ø Ô Ñ
µ
Ô Ò × ÓÒ Ø × Ú Ð٠׺
ÁÒ
ÓÒØÖ ×ظ Ñ ÒÝ Å × ÑÙÐ Ø ÓÒ× Ú Ò Ú ÐÓÔ ÓÖ Ø × ÔÔÐ
Ø ÓÒº ÒØ×
Û Ð ÖÓÙÒ ×Ô
¸ Ò
Ø Ò
ÓØ Ö Û Ø
ÖØ Ò ÔÖÓ Ð Øݸ Ò Ò ÐÝ×Ø×
Ü Ñ Ò Ø ÙÖ Ø ÓÒº
Ì Å × ÑÙÐ Ø ÓÒ × ÒÓØ
ÓÑÔÐ Ø ÐÝ ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ Ø Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ
ÑÓ Ð Ø × ×
Ò ÙÖÒ ÓÙØ ÓÖ Ø ÒØ Ö ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ ×
ÓÒØÖ
Ø Øº
ÆÓÒ Ø Ð ×׸ ÕÙ Ð Ø Ø Ú Ðݸ Ø ØÛÓ ÑÓ Ð× Ö ÜØÖ Ñ ÐÝ × Ñ Ð Öº
Å Ù× Ö× Ó ÒÓØ Ö Ð Þ Ø Ø Ø Ö ÑÓ Ð × ×× ÒØ ÐÐÝ ØÛÓ¹ Ñ Ò× ÓÒ Ðº
¾

30. º¾ ×Ø Ñ Ø Ò ÁÒØÖ Ò×
Ñ Ò× ÓÒ Ð ØÝ
Ì Ñ Ò× ÓÒ Ð ØÝ Ó ÑÓ Ð × Ý ÔÖÓÔ ÖØÝ Ø Ø Ö Ú × Ò Ö Ò
Ò ÓÚ ÖÒ×
ÓÑÔÐ Ü Øݺ ÁÒ Ò Ö Ð¸ Ò Å Ò ÐÝ× × Ó × ÒÓØ ÒÓÛ Ø ÒØÖ Ò×
Ñ Ò× ÓÒ Ó Ø
Ø º ÁØ × Ö Ð Ø ØÓ Ø ÖÙÐ × Ø¸ ÙØ Ø Ø Ö Ð Ø ÓÒ× Ô × Ù×Ù ÐÐÝ ÙÒ
Ð Öº
ÇÒ ÛÓÙÐ Ð Û Ý ØÓ ×Ø Ñ Ø Ø ÒØÖ Ò×
Ñ Ò× ÓÒ Ó Ò Åº ÓÖ Ø × ×
ØÖ Ò×Ñ ×× ÓÒ Ü ÑÔÐ ¸ Ø Ô Ö Ñ Ø Ö ×Ô
× ÁÊ
+
× ÁÊ
+
¸ ÙØ Ò ÑÓÖ
ÓÑÔÐ Ü
ÔÔÐ
Ø ÓÒ× Ø ×Ô
Û ÐÐ ÑÓÖ
ÓÑÔÐ Ü ´Ó Ø Ò ÖØ × Ò ÔÖÓ Ù
Ø Ó ÒØ ÖÚ Ð×
Ò ÒÓÑ Ò Ð Ú ÐÙ ×µº
Ï Ò Ø ÒØÖ Ò×
Ô Ö Ñ Ø Ö ×Ô
×
ÓÒÚ Ü ×Ù × Ø Ó Ù
Ð Ò ×Ô
¸ Ø Ò
ÓÒ
Ò ÔÖÓ ÐÝ ×Ø Ñ Ø Ø Ñ Ò× ÓÒ Ð ØÝ Ý ÔÖ Ò
Ô Ð
ÓÑÔÓÒ ÒØ× Ö Ö ×× ÓÒ
´È ʵº ÓÖ Ü ÑÔÐ ¸ ÓÒ ×Ø ÖØ× Ø Å Û Ø Ñ ÒÝ Ö ÒØ Ú ÐÙ × ÓÖ ÑÓÚ Ñ ÒØ
Ò × × ØÖ Ò×Ñ ×× ÓÒ¸ Ö
ÓÖ × Ø ÙÖ Ø ÓÒ Ó Ø Ô Ñ
¸ Ò Ø Ò Ó × È Ê
ØÓ Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó
ÓÑÔÓÒ ÒØ× Ö ÕÙ Ö ØÓ ÜÔÐ Ò ×Ù ×Ø ÒØ Ð Ö
Ø ÓÒ Ó Ø
Ú Ö Ð ØÝ Ò Ø Ö ×ÔÓÒ× º
¿¼

31. ÀÓÛ Ú Ö¸ Ø ÒØÖ Ò×
Ô Ö Ñ Ø Ö ×Ô
× ÔÖÓ ÐÝ ÒÓØ Ù×Ù ÐÐÝ
ÓÒÚ Ü ×Ù × Ø
Ó Ù
Ð Ò ×Ô
º ÙØ Ø Ñ Ý ×Ø ÐÐ ÔÓ×× Ð ØÓ Ø Ò ×Ø Ñ Ø Ó Ø ÐÓ
Ð
Ñ Ò× ÓÒ Ð ØÝ Ó Ø Åº
ÊÙÒ Ø Å Ñ ÒÝ Ø Ñ ×º Ä Ø yi Ø ÓÙØÔÙØ Ó ÒØ Ö ×Ø ÓÖ ÖÙÒ i¸ × Ý Ø ÙÖ Ø ÓÒ
Ó Ø Ô Ñ
º Ò Ð Ø xi ∈ ÁÊ
p
ÐÐ Ø ØÙÒ Ð Ô Ö Ñ Ø Ö× Ò Ø Å ´ º º¸
Ò
Ø ÓÙ×Ò ×׸ Ñ Ü Ò ¸ Ñ ÐÝ × Þ ×¸ Ø
ºµº Ì Ò Ø Ö Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò ×Ø Ô× M Ø Ñ ×º
½º Ë Ð
Ø Ö Ò ÓÑ ÔÓ ÒØ X∗
m Ò Ø
ÓÒÚ Ü ÙÐÐ Ó x1, . . . , xn¸ ÓÖ m = 1, . . . , M
¾º Ò ÐÐ
ÒØ Ö Ø X∗
Ø Ø
ÓÒØ Ò× Ü
ØÐÝ k ÔÓ ÒØ× ´× Ý k = 4pµº
¿º È Ö ÓÖÑ ÔÖ Ò
Ô Ð
ÓÑÔÓÒ ÒØ× Ö Ö ×× ÓÒ ÓÒ Ø k ÔÓ ÒØ× Û Ø Ò Ø Ðк
º Ä Ø cm Ø ÒÙÑ Ö Ó ÔÖ Ò
Ô Ð
ÓÑÔÓÒ ÒØ× Ò ØÓ ÜÔÐ Ò Ü
Ô Ö
ÒØ ´× Ý ¼±µ Ó Ø Ú Ö Ò
Ò Ø yi Ú Ð٠׺
Ì Ú Ö Ó c1, . . . , cM Ñ Ý Ù× ÙÐ ×Ø Ñ Ø Ó Ø Ú Ö ÐÓ
Ð Ñ Ò× ÓÒ Ó
Ø Å ÑÓ Ðº
¿½

32. Ì × ÙÖ ×Ø
ÔÔÖÓ
××ÙÑ × ÐÓ
ÐÐÝ Ð Ò Ö ÙÒ
Ø ÓÒ Ð Ö Ð Ø ÓÒ× Ô ÓÖ ÔÓ ÒØ×
Û Ø Ò Ø Ðк Ì Ì ÝÐÓÖ × Ö × ÑÓØ Ú Ø × Ø ×¸ ÙØ Ø Ñ Ø Ó Û ÐÐ Ö ÓÛÒ ÓÖ
×ÓÑ Ô Ø ÓÐÓ
Ð ÙÒ
Ø ÓÒ× ÓÖ Ø Ø Ö ØÓÓ ×Ô Ö× º
ÌÓ Ø ×Ø Ø ÔÔÖÓ
¸ Ò × Ò ÇÐ×Þ Û× ´¾¼¼¿ ËØ Ø ×Ø
Ð Ø Å Ò Ò Ò
ÃÒÓÛÐ ×
ÓÚ Öݸ ¾ ¹ ¸ ÔÑ Ò ² À Ðе Ô Ö ÓÖÑ × ÑÙÐ Ø ÓÒ ÜÔ Ö Ñ ÒØ
Ò Û
Ö Ò ÓÑ × ÑÔÐ × Û Ö Ò Ö Ø ÖÓÑ q¹
Ù ×Ù Ñ Ò ÓÐ × Ò ÁÊ
p
¸ Ò Ø
ÔÔÖÓ
×
Ö ÓÚ Û × Ù× ØÓ ×Ø Ñ Ø qº
q¹
Ù Ò ÁÊ
p
× Ø q¹ Ñ Ò× ÓÒ Ð ÓÙÒ ÖÝ Ó p¹ Ñ Ò× ÓÒ Ð
Ù º Ì Ù×
• ½¹
Ù Ò ÁÊ
2
× Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Ó ×ÕÙ Ö ¸
• ¾¹
Ù Ò ÁÊ
3
Ö Ø
× Ó
Ù ¸
• ¿¹
Ù Ò ÁÊ
3
× Ø ÒØ Ö
Ù º
¿¾

33. Ì ÓÐÐÓÛ Ò ÙÖ × ÓÛ× ½¹
Ù Ò ÁÊ
3
¸ Ø ÐØ ½¼ Ö × ÖÓÑ Ø Ò ØÙÖ Ð Ü × Ò
ÓÓÖ Ò Ø º
¿¿

34. Ì ÓÐÐÓÛ Ò ÙÖ × ÓÛ× ½¹
Ù Ò ÁÊ
10
¸ Ø ÐØ ½¼ Ö × ÖÓÑ Ø Ò ØÙÖ Ð Ü × Ò
ÓÓÖ Ò Ø º
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.10.20.30.40.50.60.7
ÓÒ × Ò Ö Ñ Ò ´½ ÒÒ Ð× Ó ËØ Ø ×Ø
׸ ½¾¸ ¿¹ ½ µ × ÓÛ Ø Ø Ò
¹ Ñ Ò× ÓÒ׸ Ò ÖÐÝ ÐÐ ÔÖÓ
Ø ÓÒ× ÐÓÓ ÒÓÖÑ Ðº
¿

35. Ì × ÑÙÐ Ø ÓÒ ×ØÙ Ý Ò Ö Ø 10 ∗ 2q
ÔÓ ÒØ× Ø Ö Ò ÓÑ ÓÒ
Ó Ø 2p−q p
q
× × Ó q¹
Ù Ò ÁÊ
p
º Ì Ò N(0, .25I) ÒÓ × Û × ØÓ
Ó × ÖÚ Ø ÓÒ Ò
Ø ÔÖ Ò
Ô Ð
ÓÑÔÓÒ ÒØ× ÔÔÖÓ
Û × Ù× ØÓ ×Ø Ñ Ø q ÓÖ ÐÐ Ú ÐÙ × Ó q ØÛ Ò
½ Ò p ÓÖ p = 1, . . . , 7º
Ì ÓÐÐÓÛ Ò Ø Ð × ÓÛ× Ø Ø Ø Ñ Ø Ó Û × Ö ×ÓÒ ÐÝ ×Ù
×× ÙÐ Ò ×Ø Ñ Ø Ò
Ø ÐÓ
Ð Ñ Ò× ÓÒº Ì ×Ø Ñ Ø × Ö × ¸ × Ò
Ø ÔÖ Ò
Ô Ð
ÓÑÔÓÒ ÒØ×
Ò ÐÝ× × ÒØ Ø ÒÙÑ Ö Ó Ð Ò Ö
ÓÑ Ò Ø ÓÒ× Ò ØÓ ÜÔÐ Ò ÓÒÐÝ ¼± Ó
Ø Ú Ö Ò
º ÇÒ × ÓÙÐ ÔÖÓ ÐÝ Ó ×ÓÑ Ò Ó ×
ÓÖÖ
Ø ÓÒ ØÓ
ÓÙÒØ ÓÖ Ø
ÙÒ Ö ×Ø Ñ Ø º
ÆÓØ Ì × Ü ÑÔÐ Ó × ÔÖ Ò
Ô Ð
ÓÑÔÓÒ ÒØ× Ò ÐÝ× × Ö Ø Ö Ø Ò ÔÖ Ò
Ô Ð
ÓÑÔÓÒ ÒØ× Ö Ö ×× ÓÒ¸ ÙØ Ø
ÓÒ
ÔØ × ×ØÖ Ø ÓÖÛ Ö º
ÆÓØ ÁØ × Ñ× ÙÒÐ ÐÝ Ø Ø Ø Ñ Ô ÖÓÑ Ø Å ÖÙÐ × Ø ØÓ Ø ÒØÖ Ò×
Ô Ö Ñ Ø Ö ×Ô
ØÓ Ø ÓÙØÔÙØ × Ú ÖÝÛ Ö ¹ Ñ Ò× ÓÒ Ðº Á Ø ×¸ Ø Ò Ø Ö ×
ÔÖÓ ÐÝ ÒÓØ ÑÙ
Ò× Ø ØÓ Ò º
¿

36. q
º¼¿
º¾ º¾¿
¿º ¿º ¿º
¾º ¾º ¼ ¿º¼ ¿º½
¿ ¾º¼ ¾º¾ ¾º¿ ¾º ¼ ¾º
¾ ½º ¿ ½º ½º ½ ½º ¼ ½º ¿ ½º
½ º ¼ º º ¾ º º º º
p ½ ¾ ¿
Ì Ú ÐÙ Ó p Ò
Ø × Ø ÔÔ Ö ÒØ Ñ Ò× ÓÒ¸ Û Ð q × Ø ØÖÙ Ñ Ò× ÓÒ Ó Ø
Ø º
ÒØÖÝ × Ò ×Ø Ñ Ø Ó q¸ Ò Ø Ð Ö ×Ø ×Ø Ò Ö ÖÖÓÖ Ò Ø Ø Ð × º¼¿º
¿

37. º¿ Ì Ë
×Ô
Ð Ò Ó Ô Ö Ñ Ø Ö × Ø × ¸ Û
× Ö × × Ò ÐÐ
ÓÑÔÙØ Ö × ÑÙÐ Ø ÓÒ×
ÓÖ Û
Ö Ò ÓÑÒ ×× Ó
ÙÖ׺
Ì × Ö Ú × Ø Ö Ò ÓÑ ÒÙÑ Ö Ò Ö ØÓÖ¸ Ò Ø Ò Ö ØÓÖ ×
Ó× Ò ØÓ
ÜØÖ Ñ ÐÝ × Ò× Ø Ú ØÓ Ø × º ÇÒ Û ÒØ× ×Ñ ÐÐ
Ò × Ò Ø × ØÓ
Ù× Ð Ö
Ò × Ò Ø × ÕÙ Ò
Ó Ò Ö Ø Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð ×º ´ÁÒ
Ó× Ø ÓÖݸ Ø × ×
ÐÐ
× Ò× Ø Ú Ô Ò Ò
ØÓ Ò Ø Ð
ÓÒ Ø ÓÒ× ÓÖ Ø ÙØØ Ö Ý
غµ
Ì × ÜØÖ Ñ × Ò× Ø Ú ØÝ Ñ × ×ÓÑ ÔÓÖØ ÓÒ× Ó Ø Ú Ð Ø ÓÒ ÑÓÖ
ÙÐغ ÌÛÓ
×Ù
×× Ú ÖÙÒ× Ñ Ø ´ÔÖÓÔ ÖÐݵ Ú Ò×Û Ö× Ø Ø Ö Û Ð ÐÝ Ö Òغ ÙØ ÓÖ
Ú Ð Ø ÓÒ¸ Ø × ØØ Ö ØÓ Ú ×ÑÓÓØ Ô Ò Ò
ÓÒ Ø × ¸ ×Ó Ø Ø ÓÒ
Ò
• ÑÓÖ ÕÙ
ÐÝ ÜÔÐÓÖ Ø × Ø Ó ÓÙØ
ÓÑ ×
•
ÒØÐÝ ×Ø Ñ Ø Ø
Ò
Ó Ú Ò ÓÙØ
ÓÑ º
¿

38. º È Ö Ñ Ø Ö Þ Ø ÓÒ ËÙÑÑ ÖÝ
Î Ð Ø ÓÒ × × ×Ø Û Ò Ø Ô Ö Ñ Ø Ö × Ø ÓÖ Ø × ÑÙÐ Ø ÓÒ ×
•
ÓÒÚ Ü ×Ù × Ø Ó Ù
Ð Ò ×Ô
¸
• ×ÑÓÓØ ÐÝ Ö Ð Ø ØÓ Ø ÓÙØÔÙØ×
• ÐÓÛ¹ Ñ Ò× ÓÒ Ðº
Ì Ö×Ø ØÛÓ
ÓÒ Ø ÓÒ× Ò Ð ÓÒ ØÓ ÜÔÐÓÖ Ø Ö ×ÔÓÒ× × ÙÒ
Ø ÓÒ Ó Ø ÒÔÙØ
×Ô
º Á ÓÒ Ø× ÙÒ Ð Ú Ð Ö ×ÔÓÒ× ×¸ Ø Ò Ø Ö × Ú Ð Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñº
Ì Ð ×Ø
ÓÒ Ø ÓÒ Ö Ö× ØÓ Ø ÙÖ× Ó Ñ Ò× ÓÒ Ð Øݺ Á Ø ØÖÙ
Ö Ð Ø ÓÒ× Ô ØÛ Ò Ø Ô Ö Ñ Ø Ö ×Ô
Ò Ø ÓÙØ
ÓÑ Ó ÒØ Ö ×Ø × Ú ÖÝÛ Ö
¹ Ñ Ò× ÓÒ Ð¸ Ø Ò ÓÒ
Ò Ò Ú Ö ÓÔ ØÓ Ó × ÖÚ ÒÓÙ Ø ØÓ
Ð ÖÐÝ Ú Ð Ø
Ô Ö ÓÖÑ Ò
º ÙØ Ó Ø Ò Ø Ö Ð Ø ÓÒ× Ô × ÐÓ
ÐÐÝ ÐÓÛ¹ Ñ Ò× ÓÒ Ðº
× Ö Ð Ø ÔÓ Òظ ÓÒ
Ò Ø ÖÑ Ò Û Ø Ö ÙÒ ÓÖÑ Ñ ×ÙÖ ÓÒ Ø
ÓÒÚ Ü × Ø
×× Ò×
ÓÖÖ
Ø ÔÖÓ Ð Ø × ØÓ Ø ÓÙØ
ÓÑ ×º Á ÒÓظ ØÙÒ Ò × Ò º
¿

39. º ÓÑÔ Ö Ò ÅÓ Ð×
Á ØÛÓ ÑÓ Ð× Ú ØÖÙ Ô Ö Ñ Ø Ö ×Ô
× Û Ø Ö ÒØ Ñ Ò× ÓÒ׸ Ø Ò Ø Ý Ö
ÒÓØ ÕÙ Ú Ð Òغ ÙØ ÓÒ ÑÓ Ð Ñ Ø ×Ù × Ø Ó Ø ÓØ Öº
ÀÓÛ
Ò ÓÒ Ø ÖÑ Ò Ø ØÖÙ Ñ Ò× ÓÒ ÇÒ ÔÔÖÓ
× ØÓ Ù× ÔÖ Ò
Ô Ð
ÓÑÔÓÒ ÒØ× Ö Ö ×× ÓÒº Ë ÑÔÐ Ø ÒÔÙØ× Ø Ö Ò ÓѸ Ò Ù× È Ê ØÓ Ø Ø ÓÙØÔÙØ׺
Ì ÒÙÑ Ö Ó
ÓÑÔÓÒ ÒØ× Ò ØÓ ÜÔÐ Ò ± Ó Ø Ú Ö Ø ÓÒ × Ñ ×ÙÖ Ó Ø
Ñ Ò× ÓÒº
Ú Ò ÔÖ Ú ÓÙ×
ÓÑÑ ÒØ× ÓÙØ ÐÓ
ÐÐÝ ÐÓÛ¹ Ñ Ò× ÓÒ Ð Ö Ð Ø ÓÒ× Ô׸ ÔÖÓ ÐÝ ÓÒ
Ò × ØÓ Ó Ø × × Ô Ö Ø ÐÝ Û Ø Ò Ö ÒØ ×Ñ ÐÐ Ö ÓÒ× Ó Ø ÒÔÙØ ×Ô
º
ÙØ Ø × Ñ ×ÙÖ ÓÚ ÖÐÓÓ × ÒÓÒÐ Ò Ö ØÝ Ò ÒØ Ö
Ø ÓÒ׸ ÓØ Ó Û
Ö Ý ØÓ
ÑÔÓÖØ ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ׺ Á ×Ù×Ô
Ø Ê Ò ÓÑ ÓÖ ×Ø× Ñ Ý Ó Ö Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú º
¿

40. ËÙÔÔÓ× ÓÒ × ØÛÓ × ÑÙÐ ØÓÖ׸ ÓØ Ó Û
ÔÖÓ Ù
Ø × Ñ × Ø Ó ÓÙØ
ÓÑ ×º ÓÖ
Ø × Ñ ÓÙØ
ÓÑ ¸ Ò ÔÖ Ò
ÔÐ ÓÒ
ÓÙÐ ÐÓÓ Ø Ø ÔÖ Ñ × Ò Ø Ô Ö Ñ Ø Ö
×Ô
ÓÖ ÓØ º Á × Ø× Ó ÔÖ Ñ × Ú Ö ÒØ ØÓÔÓÐÓ ×¸ Ø Ò Ø × ÑÙÐ ØÓÖ× Ú
ØÓ Ö Òغ
Ï Ò Ø × ÑÙÐ ØÓÖ× Ö ×ØÓ
×Ø
¸ Ø Û ÐÐ Ú Ò ÑÓÖ
ÙÐØ ØÓ Ò Ø
ÔÖ Ñ × ´ÓÒ × ÓÙÐ Ö Ö Ø × × Ô Ö Ñ Ø Öµº Ì × Ñ Ý Ð ØÓ ÔÖÓ Ð ×Ø
×Ø Ø Ñ ÒØ× ÓÙØ Ø Ö Ó × Ñ Ð Ö ØÝ ØÛ Ò ØÛÓ × ÑÙÐ ØÓÖ׺
ÁÒ ÔÖ
Ø
¸ Ñ ÒÝ × ÑÙÐ ØÓÖ× Ö ÛÖ ØØ Ò Ò ÑÓ ÙÐ Ö ÙÒ Ø׺ ËÓÑ Ø Ñ × ÓÒ Ñ Ø
Ð ØÓ ÔÔÐÝ Ú Ð Ø ÓÒ ×ØÖ Ø × ØÓ
ÑÓ ÙÐ × Ô Ö Ø Ðݸ Ò Ø Ò Ú Ð Ø ÓÖ
Ñ ×× ¹Ô ×× Ò Ò ØÛÓÖ ØÛ Ò Ø ÑÓ ÙР׺
¼

41. º ÅÓ Ð Ð Ö Ø ÓÒ
ÏÓÖ Ò
Ð Ñ Ø ÓÖ
×Ø Ò Ø Æ Ê Ò ÜÔÐÓ× ÓÒ × ÑÙÐ Ø ÓÒ Ø Ä ÆÄ × Ð ØÓ
Ò Û ÔÔÖÓ
ØÓ
Ð Ö Ø Ò
ÓÑÔÙØ Ö ÑÓ Ð׺ Ì × ×
ÐÓ× ÐÝ Ö Ð Ø ØÓ Ú Ð Ø ÓÒ¸
Ò Ø Ò Û Ø ÓÖÝ × Ô ÖØ Ò ÒØ ØÓ Å׺
Ì
Ð Ö Ø ÓÒ ÔÔÖÓ
× Ù× ÙÐ Û Ò ÓÒ ×
ÓÑÔÐ Ü Å Ø Ø Ø × ÐÓÒ
Ø Ñ ØÓ ÖÙÒ¸ ÙØ Ø Ö × ×ÓÑ Ö Ð¹ÛÓÖÐ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð Ø Û
Ò Ù× ØÓ
ØÙÒ Ø ÑÓ Ðº
Ì Ó Ð× Ö ØÓ
• Ù× Ø ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð Ø ØÓ ÑÔÖÓÚ Ø
Ð Ö Ø ÓÒ Ô Ö Ñ Ø Ö× ´ º º¸ Ø ÖÙÐ
× Ø×µ
• Ñ ÔÖ
Ø ÓÒ× ´Û Ø ÙÒ
ÖØ ÒØݵ Ø Ò Û ÒÔÙØ Ú ÐÙ ×
• ×Ø Ñ Ø ×Ý×Ø Ñ Ø
×
Ö Ô Ò
× ØÛ Ò Ø Å Ò Ø ÛÓÖÐ º
½

42. ËÙÔÔÓ× Ø Ø Ø Ú Ö ÓÙ× × ØØ Ò × Ó Ø ÖÙÐ ¹ × ÒÔÙØ Ú ÐÙ × x1, . . . , xn ÓÒ
Ò
Ó × ÖÚ Ö Ð ÛÓÖÐ Ö ×ÔÓÒ× × y1, . . . , ynº Ä Ø
yi(xi) = ψ(xi) + ǫ(xi)
Û Ö ψ(xi) ÒÓØ × Ø Ö Ð ÓÖ ÜÔ
Ø Ö ×ÔÓÒ× Ó Ø ÛÓÖÐ Ò ǫ(xi) ÒÓØ ×
Ñ ×ÙÖ Ñ ÒØ ÖÖÓÖ ÓÖ Ö Ò ÓÑ ×ØÙÖ Ò
º
Ì Ó × ÖÚ Ø Ö Ø Ò ÑÓ Ð ×Ø Ø ×Ø
ÐÐÝ Ù× Ò Ø × ÑÙÐ ØÓÖ η(xi, θ) Ø Ø
×Ø
Ð Ö Ø ÓÒ Ú ÐÙ θ ×
y(xi) = η(xi, θ) + δ(xi) + ǫ(xi)
Û Ö Ø Ö Ò ÓÑ Ø ÖÑ δ(xi)
ÓÙÒØ× ÓÖ Ø ×
Ö Ô Ò
Ý Ò Ø × ÑÙÐ ØÓÖ Ò θ ×
Ø ×ظ ÙØ ÙÒ ÒÓÛÒ¸ × ØØ Ò Ó Ø
Ð Ö Ø ÓÒ ÒÔÙØ× tº
¾

43. Ø ÓÒ ÐÐݸ ÓÒ Ð×Ó × ×ÙÔÔÐ Ñ ÒØ ÖÝ Ø Ò Ø ÓÖÑ Ó × ÑÙÐ Ø ÓÒ Ö ×ÙÐØ×
η(x∗
j , t∗
j )¸ ÓÖ j = 1, . . . , mº ÌÝÔ
ÐÐÝ Ø Å
Ó Ø × ÐÓÒ Ø Ñ ØÓ ÖÙÒ¸ ×Ó m ×
×Ñ Ðк
Ì Ã ÒÒ Ý¹Ç³À Ò ÔÔÖÓ
×
Ð × ÐÐ ÒÔÙØ× ØÓ Ø ÙÒ Ø ÝÔ Ö
Ù º Ì Ò Ø
Ý × Ò Ú Ö× ÓÒ Ù× × Ù×× Ò ÔÖÓ
×× ØÓ ÑÓ Ð Ø ÙÒ ÒÓÛÒ ÙÒ
Ø ÓÒ η(·, ·)º
ÁÒ ÑÓ×Ø Ó Ø ÛÓÖ ×Ó Ö¸ Ø Ù×× Ò ÔÖÓ
×× ×
ÓÒ×Ø ÒØ Ñ Ò ÙÒ
Ø ÓÒ Ò
ÔÖÓ Ù
Ø
ÓÚ Ö Ò
Û Ø ÔÓÛ Ö ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÓÖѺ ´Ë À ÓÒ Ø Ðº¸ Â Ë ¾¼¼ ºµ
ÓÚ[(x, t), (x′
, t′
)] = λ−1
η R((x, t), (x′
; ρη)
Û Ö λη
ÓÒØÖÓÐ× Ø Ñ Ö Ò Ð ÔÖ
× ÓÒ Ó η(·, ·) Ò ρη
ÓÒØÖÓÐ× Ø ×ØÖ Ò Ø Ó
Ô Ò Ò
Ý Ò
ÓÑÔÓÒ ÒØ Ó x Ò tº
ÁØ × Ó Ø Ò Ù× ÙÐ ØÓ Ð ØØÐ Û Ø ÒÓ × ØÓ Ø
ÓÚ Ö Ò
ÑÓ Ð ØÓ
ÓÙÒØ ÓÖ
×Ñ ÐÐ ÒÙÑ Ö
Ð Ù
ØÙ Ø ÓÒ× ´ ÖÓѸ × Ý¸ ÔØ Ú Ñ × Ò ÓÖ
ÓÒÚ Ö Ò
ØÓÐ Ö Ò
×µº
¿

44. Ì ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ Ó Ø ÔÖ ÓÖ ×
ÓÑÔÐ Ø Ý ×Ô
Ý Ò Ò Ô Ò ÒØ ÔÖ ÓÖ× ÓÖ Ø
Ô Ö Ñ Ø Ö×
ÓÒØÖÓÐÐ Ò η(·, ·) Ø µ¸ λη¸ Ò ρηº
× Ñ Ð Ö Ù×× Ò ÔÖÓ
×× ÑÓ Ð × Ù× ÓÖ Ø ×
Ö Ô Ò
Ý Ø ÖÑ δ(x)º Ì × ×
Ñ Ò Þ ÖÓ Ò
ÓÚ Ö Ò
ÙÒ
Ø ÓÒ
ÓÚ(x, x′
) = λδR((x, x′
); ρδ).
Ì × × Ø Ø Ð Ø
¸ Ò ÓÒ Ñ Ø ÛÓÒ Ö Û Ø Ö Ø ÔÔÖÓ
×
ØÙ ÐÐÝ ÙÝ Ò
ÒÝ Ö Ù
Ø ÓÒ Ò Ø ÓÚ Ö ÐÐ
Ó×Ø Ó × ÑÙÐ Ø ÓÒ ÓÖ ÙÒ
ÖØ ÒØÝ ÓÙØ Ø
ÓÑÔÙØ Ö
ÑÓ Ðº ÙØ Ø × ×ØÖÙ
ØÙÖ ÐÐÓÛ× ÓÒ ØÓ Ó Å Ö ÓÚ
Ò ÅÓÒØ ÖÐÓ × ÑÔÐ Ò ØÓ
×Ø Ñ Ø Ø ÔÓ×Ø Ö ÓÖ ×ØÖ ÙØ ÓÒº

45. ÁÒ Ô ÖØ
ÙÐ Ö¸ ÓÒ Ø× ÔÓ×Ø Ö ÓÖ ×ØÖ ÙØ ÓÒ× ÓÖ
• Ø η(x, t)¸ Û
× Ø Ö ¹ØÓ¹ ÒÓÛ ÑÔÐ
Ø ÙÒ
Ø ÓÒ
Ð
ÙÐ Ø Ý Ø Å
• Ø ÓÔØ Ñ Ð
Ð Ö Ø ÓÒ Ô Ö Ñ Ø Ö θ
• Ø
Ð Ö Ø × ÑÙÐ ØÓÖ η(x, θ)
• Ø Ô Ý×
Ð ×Ý×Ø Ñ ψ(x) Ò
• Ø ×
Ö Ô Ò
Ý ÙÒ
Ø ÓÒ δ(x)º
Ì Ð ØØ Ö¸ Ó
ÓÙÖ× ¸ × ÑÓ×Ø ÒØ Ö ×Ø Ò ÖÓÑ Ø ×Ø Ò ÔÓ ÒØ Ó ÑÓ Ð Ú Ð Ø ÓÒº
Ï Ò Ò Û Ö Ø × × Ð Ö ÔÓ ÒØ× ÙÔ Ñ ×× Ò ×ØÖÙ
ØÙÖ ÓÖ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ׺
ÁÒ Ô ÖØ
ÙÐ Ö¸ Ø Ö Ø ÔÔÐ
Ø ÓÒ Ó Ø × Ñ Ø Ó × ÓÙÐ Ô ÖÑ Ø ×Ù
×× Ú ×Ø Ñ Ø ÓÒ
Ó Ø ×
Ö Ô Ò
Ý ÙÒ
Ø ÓÒº ÇÒ Û Ò × ÙÔ Û Ø Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ØÓ Ø Å Ò
Ø ÖÑ× Ó × ÑÔÐ ÙÒ
Ø ÓÒ׸ Ò Ø
ÙÖ
Ý Ó Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ
Ò ÑÔÖÓÚ ØÓ
Ø Ö Ö ÕÙ Ö º

46. º ÍÒ
ÖØ ÒØÝ ×× ××Ñ ÒØ
ÇÒ Û ÒØ× ØÓ Ð ØÓ Ñ ÔÖÓ Ð ØÝ ×Ø Ø Ñ ÒØ× ÓÙØ Ø ÓÙØÔÙØ Ó Ò Åº
ÓÖ Ü ÑÔÐ ¸ Ø Å ÔÖ
Ø× Ø Ø ¸¼¼¼ Ô ÓÔÐ Û ÐÐ Ó Ø Ù Ò ¾¼½¼¸ Ø ×
ÐÔ ÙÐ ØÓ Ú ×ÓÑ ÖÖÓÖ Ö׺
ÓÖØÙÒ Ø Ðݸ Ø × ×Ô
Ø Ó Å× Ñ Ý ÖÐÝ ×ØÖ Ø ÓÖÛ Ö º × Ò ØÖ Ø ÓÒ Ð
×Ø Ø ×Ø
Ð × ÑÙÐ Ø ÓÒ׸ ÓÒ ÔÙØ× ×Ù
Ø Ú ×ØÖ ÙØ ÓÒ ÓÚ Ö
Ó Ø ÒÔÙØ
Ô Ö Ñ Ø Ö× ´ Ò Ø Å
× ¸ Ø × Ö Ø ØÙÒ Ð Ú ÐÙ × Ò Ø ÖÙÐ ×µº Ì Ò
ÓÒ Ñ × ÑÙÐØ ÔÐ ÖÙÒ׸ Ò Ù× × Ø ×Ø Ò Ö Ú Ø ÓÒ Ó Ø Ö ×ÙÐØ× ØÓ Ñ
ÙÒ
ÖØ ÒØÝ ×Ø Ø Ñ ÒØ׺
ÀÓÛ Ú Ö¸ Ø × Ö ×× × ÓÒÐÝ Ô ÖØ Ó Ø ÙÒ
ÖØ ÒØÝ Ò Ò Å Ø ÔÓÖØ ÓÒ Ø Ø
Ö Ð Ø × ØÓ Ø ØÙÒ Ð Ô Ö Ñ Ø Ö׺ ÁØ Ó × ÒÓØ Ö ×× ÑÓ Ð ÙÒ
ÖØ ÒØݺ

47. ÅÓ Ð ÙÒ
ÖØ ÒØÝ × ×Ø Ò Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ò ×Ø Ø ×Ø
Ð Ò Ö Ò
º ÓÖ Å׸
ÑÓ Ð ÙÒ
ÖØ ÒØÝ Ö Ð Ø × ØÓ Û
ÖÙÐ × ÒØ× × ÓÙÐ ÓÐÐÓÛ¸ Ö Ø Ö Ø Ò ØÙÒ Ð
Ô Ö Ñ Ø Ö× Ñ Ò Ø ÖÙÐ º
ÌÓ
Ð Ö¸ Ò Ø
ÓÒØ ÜØ Ó × × ¸ ÓÒ Ñ Ø Ú ÖÙÐ Ø Ø ÒØ×
ÓÒØ
Ø
ÈÓ ××ÓÒ ÒÙÑ Ö Ó Ô ÓÔÐ Ô Ö Ý¸ Û Ø Ø Ñ Ò Ó Ø ÈÓ ××ÓÒ Ò ØÙÒ Ð
Ô Ö Ñ Ø Öº
ÙØ ÓÒ Ñ Ø
ÓÒ× Ö Ò Ò Ø ÓÒ Ð ÖÙÐ × Ý Ø Ø Ô ÓÔÐ ÒØ Ö
Ø
ÔÖ Ö ÒØ ÐÐÝ Û Ø Ò ×Ó
Ð Ò ØÛÓÖ ¸ Ö Ø Ö Ø Ò Ñ Ø Ò Ô ÓÔÐ Ø Ö Ò ÓѺ ÅÓ Ð
ÙÒ
ÖØ ÒØÝ Ô ÖØ Ò× ØÓ Û Ø Ö ÓÖ ÒÓØ Ø × ÖÙÐ × ÓÙÐ Ò
ÐÙ Ò Ø Åº
Ì Ù×Ù Ð Ü × ØÓ Ù× Ò Ò× Ñ Ð ¸ Ò Û
Ø Ö Ö Ñ ÒÝ Ö ÒØ ÑÓ Ð׸ Ò
Ø Ö ÔÖ
Ø ÓÒ× Ö Û Ø
ÓÖ Ò ØÓ Ø Ö ÔÖ
Ø Ú
ÙÖ
Ý Ò ÑÙØÙ Ð
ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ׺ ÓÑÔ Ö ØÓ ×Ø Ò Ö ÔÔÐ
Ø ÓÒ׸ Å× Ñ Ý Ú Ò Ú ÒØ Ò
Ø Ø Ò
Ö × Ò
ÓÑÔÐ Ü ØÝ × Ò ×Ø ¸ Ò ÓÚ ÖÐÝ
ÓÑÔÐ Ü ÖÙÐ × Û ÐÐ ÒÓØ
Ø Ø
ÔÖ
Ø ÓÒº

48. º ÓÒ
ÐÙ× ÓÒ×
• Å× Ö Ò ÑÔÓÖØ ÒØ Ò Û ØÓÓÐ Ò × ÑÙÐ Ø ÓÒ ×Ø ÖØ Ò Ò Ø ½ ¼×¸ Ø Ý Ú
ÓÑ ×Ø Ò Ö Ø
Ò ÕÙ º
• ËØ Ø ×Ø
Ð Ø ÓÖÝ ÓÖ Å× × ÐÑÓ×Ø ÒÓÒ¹ Ü ×Ø Òغ Ï Ò ØÓ Ô Ý ØØ ÒØ ÓÒ ØÓ
Ø ×¸ Ò Û Ú ØÓÓÐ× Ø Ø Ñ Ý ÑÔÖÓÚ Å Ñ Ø Ó ÓÐÓ Ýº
• Ý ×Ø Ô Ò ÓÖÑ Ð Å Ø ÓÖÝ × ØØ Ö ÙÒ Ö×Ø Ò Ò Ó Ø
Ô Ö Ñ Ø Ö Þ Ø ÓÒº ÈÖÓ ÐÝ ÓÒ Û ÒØ× Ñ Ô ÖÓÑ ÁÊ
p
ØÓ Ø ÒÔÙØ ×Ô
¸ Û
Ø × ÑÙÐ ØÓÖ Ø Ò Ñ Ô× ØÓ Ø ÓÙØÔÙØ ×Ô
º ÙØ Ø Ö×Ø Ñ Ô Û ÐÐ Û Ö º
• ×
ÓÒ Ý ×Ø Ô × Ø Ú ÐÓÔÑ ÒØ Ó
Ð Ö Ø ÓÒ Ñ Ø Ó × ÓÖ Å× Ö Ø
ÒÓÛ¸ Ù× Ö× Ö ÐÝ ÙÔÓÒ
Ú Ð Øݸ Ò
Ò Ñ ×× ÑÔÓÖØ ÒØ ×ØÖÙ
ØÙÖ º
• Ø Ö Ý ×Ø Ô × ÙÒ
ÖØ ÒØÝ ÜÔÖ ×× ÓÒº ÐÐ × ÑÙÐ Ø ÓÒ× Ò
ÓÙÒØ Ö Ø ×¸ ÙØ
Å Ù× Ö× Ú Ò ×ÐÓÛ ØÓ Ö ×× Øº
• Ê Ð Ú ÒØ ×Ø Ø ×Ø
Ð Ø ÓÖÝ × Ò ÓÖ × Ò Ú ÐÓÔ º