1. U.5: Proporcionalitat
aritmètica

2. Raó i proporcionalitat
S’anomena raó de nombres a i b (b≠0) , el quocient
d’aquests dos nombres
a
b
100 200 250
= =
4 8 10
En efectuar el quocient de les raons anteriors,
obtenim sempre el mateix resultat = 25
La igualtat anterior s’anomena proporció
Es llegeix 100 és a 4 com 200 és a 8

3. Obtenció dels termes d’una
proporció
Si coneixem tres termes d’una proporció sempre és possible
de calcular el terme que hi falta
Quart _ proporcional _ de _ 4,7i12
4 12 7·12
= → 4 x = 7·12 → x = = 21
7 x 4
Tercer _ proporcional : 2 _ termes _ es _ repeteixen
x 5 25
= → 10 x = 5·5 → x = = 2.5
5 10 10
Mitjà _ proporcional : no _ coneixem _ 2 _ termes
3 x 2
= → 48·3 = x → x = 144 = 12
x 48

4. Magnituds directament
proporcionals
La Sandra fa feina per hores donant classes particulars
Per cada hora que treballa li paguen 20 €. Quant li
pagaran si treballa 2h? I si treballa 3h? I 4h?
•
Com que les magnituds (temps-diners) són directament
proporcionals, es compleix que:
•
El nombre 20 s’anomena constant o raó de proporcionalitat

5. Representació gràfica
Podem representar gràficament els
valors.
Eix de les abscisses (x) temps
Eix ordenades (y) metres
Temps (s) Metres (m)
2 10
4 20
6 30
8 40 En representar en un sistema de
coordenades els valors dues magnituds
10 50 directament proporcionals, sempre
obtenim una recta que passa per
l’origen de coordenades (0,0)

6. Posa’t a prova

7. Regla de tres directa
Quan tenim tres nombres coneguts i ens falta trobar el
quart nombre, sabent que són proporcionals utilitzarem
la REGLA DE TRES DIRECTA
Exemple:
Si 4 entrades del cine ens han costat 8€, quant ens
costaran 10 entrades?

8. Regla de tres directa
He comprat 30 llapis per 7,50€. Quant em costaran si
en compro 46?

9. Reducció a la unitat

10. Repartiment directament
proporcionals
Exemple:
Tres amics han anat a comprar DVDs. Un dels amics n’ha comprat
dos, un altre tres i el tercer cinc. Quant han de pagar si el lot
complet val 120€ , si tots els DVD costen el mateix?
€ x y z x y z x + y + z 120
= = = = = 12
DVD 2 3 5
2 3 5 2 + 3 + 5 10
x
= 12 → x = 12·2 = 24
2
y
= 12 → y = 12·3 = 36
3
z
= 12 → z = 12·5 = 60
5
L’amic que ha comprat 2DVDs ha de pagar 24€, el que ha comprat
3DVDs 36€ i el que ha comprat 5DVDs ha de pagar 60€

11. Magnituds inversament
proporcionals
Dues magnituds són inversament proporcionals, si en
multiplicar un valor d’una de les magnituds per una
constant, el valor de l’altra queda dividit per la mateixa
constant
Exemple:
Les magnituds velocitat –
temps són magnituds
inversament proporcionals.
Quan multipliquem (o en
dividim) una per un nombre,
l’altra queda multiplicada (o
dividida ) pel mateix nombre.

12. Exemples de magnituds
inversament proporcionals
10 nàufrags tenen menjar per 30 dies. Si només
hi ha un nàufrag, per quants dies tindrà menjar?
10·30=1· x
X=300 dies
Si un cotxe va a 60km/h i triga 5 hores a fer una
distància. Quant trigaria si anés a 20km/h?
60·5=20·x
x= 15 hores
Treballant 3 hores cada dia s'acaba un treball en
6 dies . Si treballem 2 hora cada dia, quants dies
trigarem? 3·6=2·x
x=9 dies

13. Regla de tres inversa
Un grup de 23 alumnes han participat en un concurs i han guanyat un
premi de 1400€, si haguessin participat 14 alumnes, quants euros
s’haguessin repartit?

14. Reducció a la unitat

15. Percentatges
Què en sabem?

16. Percentatges
Un percentatge o tant per cent (%) és una
proporció expressada com una quantitat de cada
100 unitats
El 15% dels tirs llançats han entrat. Significa que 15 tirs de
cada 100 han entrat. I el 15% de 600?

17. També podem expressar el tant per u
7
7% = = 0,07
100
Tota fracció la podem convertir en percentatge
3
= 0,375 ·→ 37,5%
100
8
Per fer % amb calculadora

18. Diferents càlculs
Exemple 1: Exemple 2:

19. Augments percentuals
Un augment és una quantitat que s'afegeix a un valor
determinat
Hi ha dos mètodes per fer càlculs d’augment percentual
1.Pas a pas
2.Directament. Calcular l’índex de variació (I.V.)
Exemple: El preu d’una bicicleta era de 240 euros. A aquest
preu se li ha d’afegir el 16% d’ IVA. Quin és el preu final?

20. Augments percentuals
Exemple 1: Quina quantitat resulta en augmentar el 16% a
45?
16·45
16%de45 = = 7,2
100
45 + 7,2 = 52,2
O multiplicar 1,16 a 45, és a dir calcular 116% de 45
116
1,16·45 = ·45 = 52,2
100

21. Disminucions percentuals
Una disminució és una quantitat que restem a un valor
determinat
Hi ha dos mètodes per fer càlculs de disminució
percentual
1.Pas a pas
2.Directament. Calcular l’índex de variació (I.V.)
Exemple: El preu d’un ordinador era de 1200 euros, però
m’han fet un 15% de descompte. Quin és el preu final?

22. Calculeu què hem de pagar:
Botiga A: 92,12€
Botiga B: 95,04€
Botiga C: 93,67€

23. Exemples 1 de percentatges
En comprar un regal per un amic , la Irene ha rebut un
5% de descompte. Si el descompte va ascendir a 2,8€.
Quin és el preu del regal? Quant va haver de pagar?
x = preu _ del _ regal
5
x· = 2,8
100
5 x = 2,8·100
5 x = 280
280
x= = 56€ preu _ regal
5
56€ − 2,8€ = 53,2€ pagats

24. Exemple 2 de percentatges
El preu d’un article sense IVA és de 21,25€ i amb IVA
24,65€. Determina el % d’IVA.
x = IVA
x
21,25 + 21,25· = 24,65
100
2125 + 21,25 x = 2465
21,25 x = 2465 − 2125
340
x= = 16 → 16%
21,25

25. Exemple 3 de percentatges
El preu d’un llibre és de 23€. En el transcurs d’un any
augmenta un 25€, i després a les rebaixes, disminueix
un 20%. Quin és el preu del llibre a les rebaixes?
23 + 25% =
25
23 + 23· = 23 + 5,75 = 28,75
100
20
28,75 − 20% = 28,75 − 28,75· = 28,75 − 5,75 = 23
100

26. Interès simple
Quan ingressem una quantitat a un banc, al cap d’un temps ens
tornen la quantitat ingressada incrementada en un interès abonat pel
banc.
Els interessos produïts són directament proporcionals al capital
ingressat i al temps.
I= c · i · n
Conceptes:
Capital inicial (c): És la quantitat inicial que s’ingressa o es presta.
Interès (I). Són els interessos produïts.
Interès unitari (i): És l’interès que proporciona el banc
Anys (n): Anys que ha durat l’operació bancària
cantida

27. Exemple 1 - interès simple
Una entitat financera ofereix un 4,5% anual pel dipòsit
d’un capital. Si disposem de 13500€, quin interès ens
produirà al cap de 3 anys?
Pas a pas:
Calculem l’interès en una any:
4,5% de 13500 = 0,045 · 13500 = 607,5€
En tres anys:
607,7 · 3 = 1822,5€
Fórmula:
I = c · i ·n
I = 13500 · 0.045 · 3 =1822,5€

28. Exemple 2 - interès simple
Dipositem un capital de 3000€ en una entitat financera al
4% anual. Quants anys han de passar perquè es
converteixi en 3360€?
Interessos: 3360 – 3000=360€ interessos obtinguts
I = c·i·n
I 360
n= = =3
c·i 3000·0,04
Han de passar 3 anys

29. Exemple 3 - interès simple
Ens queden per pagar 1500€ d’un préstec que venç al cap
de 90 dies. Si el tipus d’interès és del 10% anual, quant
ens descomptaran si el paguem avui mateix? Quant hem
de pagar?
90 dies= 90:365= 0,247 anys
Calculem els interessos que hauríem de pagar per 90
dies (0,246 anys)
I= c · i ·n
I = 1500 · 0,1 · 0,247 = 37€
La quantitat que hauríem de pagar= 1500 – 37 = 1463€