Dokumen ini membahas tentang sistem bilangan riil dan sejarah perkembangannya, mulai dari bilangan asli, bulat, rasional, irasional hingga bilangan real. Bilangan real memiliki sifat sebagai medan yang tertutup terhadap operasi tambah dan kali, serta memenuhi sifat komutatif, asosiatif, dan distributif.

1. Kalkulus 1
Pendahuluan
Muhammad Ali Fahroni, S.Tr.T.,M.T.

2. Pendahuluan
1. Sistem Bilangan Riil
2. Desimal, Kerapatan, Kalkulator
3. Pertidaksamaan
4. Nilai Mutlak, Akar Kuadrat,
Kuadrat.
5. Sistem Koordinat Persegi-
panjang
6. Garis Lurus
7. Grafik Persamaan

3. Sejarah Perkembangan Bilangan Real
Bilangan Asli (N) Bilangan Bulat (Z)
Sifat-Sifatnya :
1. Tertutup terhadap operasi + dan x
2. Komunitatif terhadap operasi + dan x yaitu
A+ B = A + B
3. Asosiatif terhadap operasi + dan x yaitu
A + (B +C) = (A+B)+C
A x (BxC) = (AxB)xC
Sifat-Sifatnya :
1. Tertutup terhadap operasi + dan x
2. Komunitatif terhadap operasi + dan x
yaitu A+ B = A + B
3. Asosiatif terhadap operasi + dan x yaitu
A + (B +C) = (A+B)+C
A x (BxC) = (AxB)Xc
4. Elemen identitas 0 untuk + dan elemen
identitas 1 untuk x
5. Invers + yaitu – dan invers x yaitu
1
𝑎
, a ∈ Z

4. Bilangan Rasional (Q)
Bilangan yang dapat dinyatakan sebagai
perbandingan bilang bulat atau hasil bagi
bilangan bulat:
Q = 𝑋 𝑋 =
𝑎
𝑏
dengan a,b ∈ Z }
Contoh :
1
2
,
3
4
,
5
7
dan sebagainya.
Sifat-sifatnya :
1. Tertutup terhadap operasi + dan x
2. Komunitatif terhadap operasi + dan x
yaitu
A+ B = A + B
A X B = B X A
3. Asosiatif terhadap operasi + dan x yaitu:
A + (B + C) = (A+B)+C
A X (B X C) = (A X B) X C
4. Bilangan Irasional (Q’)
Bilangan real yang tidak rasional
Contoh , 𝟐 𝝅 , 𝑒 dan sebagainya.

5. Bilangan Real (R)
Sifat-sifatnya :
 Dapat Dinyatakan dalam sebuah garis
bilangan
 Menentukan sifat medan/lapangan/gelanggan
operasi + dan x
Sifat Medan Antara lain:
1. Terutuf terhadap operasi + dan x
2. Komunitatif terhadap operasi + dan x
yaitu
A+ B = A + B
A X B = B X A
3. Asosiatif terhadap operasi + dan x yaitu
A + (B+C) = (A+B)+C
A X (B X C) = (A x B) X C
4. Elemen identitas 0 untuk + dan elemen identitas
1 untuk x
5. Invers + yaitu -, dan invers x yaitu
𝟏
𝒂
, 𝒂 ∈ 𝒁
6. Distributif pada operasi x terhadap +
Contoh :
Misalkan a,b,c ∈ R, maka
A X (B +C) = (AXB) + (AXC)
(A + B) X C = (A X C) + (B X C)

6. Catatan :
1. Desimal dan Bilangan Real
Setiap bilangan real dapat
dinyatakan sebagai decimal tak
berakhir. Desimal dari bilangan
rasional
2
5
= 0.4 𝑑𝑎𝑛
1
3
= 0,333
Berdasarkan contoh diatas terlihat
bahwa hasil pembagiannya
menghasilkan decimal yang
memiliki angka berulang. Lain
halnya dengan bilangan irasional
seperti :
2

8. Selesai