CR plus model

1. ‫الرحیم‬ ‫الرحمن‬ ‫‌هللا‬‫م‬‫بس‬

2. CR+
‫تهران‬-‫ماه‬‫خرداد‬89

3. ‌‫ی‬‫اعتبار‬ ‫سبد‬ ‫یسک‬‫ر‬ ‫ی‬‫‌گیر‬‫ه‬‫ز‬‫اندا‬ ‫‌های‬‫ل‬‫مد‬
• CreditMetric by J. P. Morgan
• Portfolio Manager by KMV
‫شرکت‬ ‫ارزش‬ ‫بر‬ ‫مبتنی‬
• CreditPortfolio View by McKinsey & Company
‫اقتصادسنجی‬ ‫بر‬ ‫مبتنی‬
• CreditRisk+ by Credit Swiss First Boston
‫آمار‬ ‫بر‬ ‫مبتنی‬

4. ‫مدل‬ ‫توسعۀ‬ ‫مراحل‬CR+
‫سوم‬ ‫مرحلۀ‬
‫اعتباری‬ ‫سبد‬ ‫زیان‬ ‫تابع‬ ‫استخراج‬(Credit Portfolio Loss Distribution)
‫دوم‬ ‫مرحلۀ‬
‫اعتباری‬ ‫زیان‬ ‫مشترک‬ ‫احتمال‬ ‫مولد‬ ‫توزیع‬ ‫استخراج‬(Joint Probability Generating Function)
‫اول‬ ‫مرحلۀ‬
‫مخاطره‬ ‫بند‬ ‫هر‬ ‫موردانتظار‬ ‫نکول‬ ‫تعداد‬ ‫محاسبۀ‬(Exposure Bands)

5. ‌‫ل‬‫او‬ ‫مرحلۀ‬ ‫‌های‬‫م‬‫گا‬
‫مخاطره‬ ‫بند‬ ‫هر‬ ‫موردانتظار‬ ‫نکول‬ ‫تعداد‬ ‫محاسبۀ‬
•‫بدهکار‬ ‫هر‬ ‫مخاطرۀ‬ ‫محاسبۀ‬
•‫بدهکار‬ ‫هر‬ ‫موردانتظار‬ ‫زیان‬ ‫محاسبۀ‬
•‫مخاطره‬ ‫واحد‬ ‫حسب‬ ‫بر‬ ‫بدهکاران‬ ‫مخاطرات‬ ‫محاسبۀ‬
•‫مخاطره‬ ‫واحد‬ ‫حسب‬ ‫بر‬ ‫موردانتظار‬ ‫زیان‬ ‫محاسبۀ‬
•‫موردانتظار‬ ‫های‬‫زیان‬ ‫تجمیع‬(‫واحد‬ ‫حسب‬ ‫بر‬)‫مخاطره‬ ‫بند‬ ‫هر‬ ‫با‬ ‫متناظر‬
•‫گام‬ ‫حاصل‬ ‫تقسیم‬5‫متناظر‬ ‫بند‬ ‫شمارۀ‬ ‫بر‬

6. ‫بدهکار‬‫هر‬ ‫مخاطرۀ‬ ‫محاسبۀ‬
iii LGDEADE 
‫نکول‬ ‫معرض‬ ‫در‬ ‫مبلغ‬
‫نکول‬ ‫بر‬ ‫مشروط‬ ‫زیان‬

7. ‫بدهکار‬‫هر‬‫دانتظار‬‫ر‬‫مو‬ ‫یان‬‫ز‬ ‫محاسبۀ‬
iiii LGDEADEL 
‫نکول‬ ‫معرض‬ ‫در‬ ‫مبلغ‬
‫نکول‬ ‫بر‬ ‫مشروط‬ ‫زیان‬
‫نکول‬ ‫احتمال‬

8. ‫مخاطره‬ ‫واحد‬ ‫حسب‬‫بر‬ ‫ان‬‫ر‬‫بدهکا‬ ‫مخاطرات‬ ‫محاسبۀ‬
‫مخاطره‬ ‫بندهای‬ ‫ایجاد‬
(Exposure Bands)
‫مخاطره‬ ‫واحد‬ ‫انتخاب‬
(Exposure Unit)
‫مخاطره‬ ‫واحد‬(E)‫کافی‬ ‫اندازۀ‬ ‫به‬ ‫باید‬
‫ی‬ ‫کاهش‬ ‫بندها‬ ‫تعداد‬ ‫تا‬ ‫باشد‬ ‫بزرگ‬‫ابد‬
‫دق‬ ‫تا‬ ‫باشد‬ ‫کوچک‬ ‫کافی‬ ‫اندازۀ‬ ‫به‬ ‫و‬‫ت‬
‫نرود‬ ‫دست‬ ‫از‬ ‫زیادی‬E
Ei
j 
12

9. ‫مخاطره‬ ‫واحد‬ ‫حسب‬‫بر‬‫دانتظار‬‫ر‬‫مو‬ ‫یان‬‫ز‬ ‫محاسبۀ‬
E
ELi
i 
‫موردانتظار‬ ‫زیان‬
‫مخاطره‬ ‫واحد‬
),,2,1],[( Emjji 

10. ‫دانتظار‬‫ر‬‫مو‬ ‫‌های‬‫ن‬‫یا‬‫ز‬ ‫تجمیع‬‌(‫واحد‬ ‫حسب‬‫بر‬‌)‫مخاطره‬ ‫بند‬‫هر‬ ‫با‬‫متناظر‬
  

ji
ij 

11. ‫گام‬ ‫حاصل‬ ‫تقسیم‬5‫متناظر‬ ‫بند‬ ‫ۀ‬‫ر‬‫شما‬‫بر‬
 
 
 j
j
j


 
‫موردانتظار‬ ‫نکول‬ ‫تعداد‬
‫مخاطره‬ ‫بند‬ ‫هر‬

12. ‫دوم‬ ‫مرحلۀ‬ ‫‌های‬‫م‬‫گا‬
‫اول‬ ‫گام‬
•‫مخاطره‬ ‫بند‬ ‫هر‬ ‫زیان‬ ‫احتمال‬ ‫مولد‬ ‫تابع‬ ‫استخراج‬
‫دوم‬ ‫گام‬
•‫احتمال‬ ‫مولد‬ ‫توابع‬ ‫ضرب‬‫حاصل‬ ‫تابع‬ ‫استخراج‬

13. ‫مخاطره‬ ‫بند‬‫هر‬ ‫احتمال‬ ‫مولد‬ ‫تابع‬ ‫استخراج‬
 ][
][ ][][
exp)( j
j
v
jjL
zzG  

14. ‫احتمال‬ ‫مولد‬ ‫توابع‬ ‫‌ضرب‬‫ل‬‫حاص‬ ‫تابع‬ ‫استخراج‬












E
j
E
E
j
m
j
v
j
m
j
j
m
j
L
z
zGzG
1
][
1
][
1
][
][
exp
)()(


15. ‫احتمال‬‫بردار‬
‫تصادفی‬ ‫متغیر‬ ‫اگر‬X‫غیرمنفی‬ ‫صحیح‬ ‫اعدا‬ ‫بازۀ‬ ‫در‬
‫احتمال‬ ‫بردار‬ ‫با‬ ‫کامل‬ ‫طور‬‫به‬ ‫را‬ ‫آن‬ ‫توان‬‫می‬ ،‫شود‬ ‫تعریف‬‫زیر‬
‫کرد‬ ‫تشریح‬:
•‫بسادگی‬ ‫یا‬ ‫و‬
]2,1,0[
 )(,),2(),1(),0( Rfffff xxxxx 
 Rx fffff ,,,, 210 

16. ‫احتمال‬ ‫مولد‬ ‫تابع‬
‫تصادف‬ ‫متغیر‬ ‫احتمال‬ ‫مولد‬ ‫تابع‬‫ی‬X
‫شود‬‫می‬ ‫تعریف‬ ‫زیر‬ ‫صورت‬ ‫به‬:
)(
)( 3
3
2
1
1
0
X
z
zX
tE
tftftftftP

 

17. ‫مثال‬
‫اس‬ ‫زیر‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫متغیر‬ ‫این‬ ‫احتمال‬ ‫مولد‬ ‫تابع‬‫ت‬:
‫تصادفی‬ ‫متغیر‬K‫شود‬‫می‬ ‫تعریف‬ ‫زیر‬ ‫صورت‬ ‫به‬:
      3.03Pr3.02Pr4.01Pr  kkk
3
3
21
3.03.04.0)( ttttPK 

18. ‫مثال‬
‫اعتباری‬ ‫سبد‬I‫بادهکار‬ ‫یاک‬ ‫باا‬ ‫تنها‬ ‫را‬
‫اد‬‫ا‬‫بریری‬ ‫ار‬‫ا‬‫نظ‬ ‫در‬.‫ا‬‫ا‬‫احتم‬ ‫اد‬‫ا‬‫کنی‬ ‫ارض‬‫ا‬‫ف‬‫ال‬
‫سااا‬ ‫بدهکار‬ ‫این‬ ‫غیرشرطی‬ ‫نکول‬‫نه‬
8%‫است‬.‫متغیا‬ ‫احتماال‬ ‫مولاد‬ ‫تاابع‬‫ر‬
‫اس‬ ‫زیر‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫نکول‬ ‫تصادفی‬‫ت‬:
‫ساب‬ ‫ایان‬ ‫نکاول‬ ‫معارض‬ ‫در‬ ‫مبلغ‬ ‫اگر‬‫د‬
‫اعتباااااری‬10‫زیااااان‬ ‫و‬ ،‫باشااااد‬ ‫دار‬
‫نکاول‬ ‫بر‬ ‫مشروط‬100%‫تاابع‬ ‫باشاد‬
‫ارز‬ ‫اادفی‬‫ا‬‫تص‬ ‫ار‬‫ا‬‫متغی‬ ‫اال‬‫ا‬‫احتم‬ ‫مولاد‬
‫است‬ ‫زیر‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫اعتباری‬ ‫سبد‬:
10
08.092.0 ttPI 
100
92.008.0 ttPI 

19. ‫‌ها‬‫ع‬‫ی‬‫ز‬‫تو‬ ‫پیچیدن‬ ‫هم‬‫در‬
‫مستقل‬ ‫تصادفی‬ ‫متغیر‬ ‫دو‬ ‫کنید‬ ‫فرض‬N‫و‬K‫تعریف‬ ‫غیرمنفی‬ ‫صحیح‬ ‫اعداد‬ ‫بازۀ‬ ‫در‬
‫شوند‬‫می‬.‫اگر‬j=N+K‫احت‬ ‫توزیع‬ ،‫باشد‬ ‫تصادفی‬ ‫متغیر‬ ‫دو‬ ‫این‬ ‫مجموع‬ ‫نمایانگر‬‫مال‬
J‫توزیع‬ ‫تنیدن‬ ‫هم‬ ‫در‬ ‫از‬N‫و‬K‫شود‬‫می‬ ‫تعریف‬ ‫زیر‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫و‬ ‫آید‬‫می‬ ‫دست‬ ‫به‬.
     

J
n
njKnNjJ
0
PrPrPr

20. ‫مثال‬
‫احتمال‬j=5‫از‬ ‫است‬ ‫عبارت‬ ‫مشترک‬ ‫توزیع‬ ‫در‬:
‫تصادفی‬ ‫متغیر‬K‫شود‬‫می‬ ‫تعریف‬ ‫زیر‬ ‫صورت‬ ‫به‬:
‫تصادفی‬ ‫متغیر‬N‫شود‬‫می‬ ‫تعریف‬ ‫زیر‬ ‫صورت‬ ‫به‬:
      3.03Pr3.02Pr4.01Pr  kkk
      1.05Pr4.02Pr5.00Pr  knn
        12.05PrPr5Pr5Pr
5
0
 
nKnNKNj
n

21. ‫مشترک‬ ‫احتمال‬ ‫مولد‬ ‫تابع‬
‫متغیرهای‬ ‫مشترک‬ ‫احتمال‬ ‫مولد‬ ‫تابع‬
‫حاصل‬ ‫با‬ ‫است‬ ‫برابر‬ ،‫مستقل‬ ‫تصادفی‬‫ضرب‬
‫ها‬‫آن‬ ‫احتمال‬ ‫مواد‬ ‫تابع‬
 
   
)().(
.
)(
tPtP
tEtE
tEtP
KN
KN
KN
KN


 


22. ‫مثال‬
‫از‬ ‫است‬ ‫عبارت‬ ‫مشترک‬ ‫احتمال‬ ‫مولد‬ ‫تابع‬:
‫تصادفی‬ ‫متغیر‬K‫شود‬‫می‬ ‫تعریف‬ ‫زیر‬ ‫صورت‬ ‫به‬:
‫تصادفی‬ ‫متغیر‬N‫شود‬‫می‬ ‫تعریف‬ ‫زیر‬ ‫صورت‬ ‫به‬:
      1.05Pr4.02Pr5.00Pr  knn
      3.03Pr3.02Pr4.01Pr  kkk
8765432
03.003.004.001212.031.015.020.0 ttttttttPJ 

23. ‫از‬ ‫استفاده‬ ‫با‬ ‫‌ها‬‫ع‬‫ی‬‫ز‬‫تو‬ ‫پیچیدن‬ ‫هم‬‫در‬PGF
‫تصاادف‬ ‫متغیرهاای‬ ‫مشاترک‬ ‫احتماال‬ ‫توزیع‬‫ی‬
‫مولا‬ ‫تاابع‬ ‫از‬ ‫تاوان‬‫می‬ ‫راحتای‬ ‫باه‬ ‫را‬ ‫مستقل‬‫د‬
‫اساس‬ ‫بر‬ ‫و‬ ‫ها‬‫آن‬ ‫مشترک‬ ‫احتمال‬‫زیا‬ ‫رابطۀ‬‫ر‬
‫ازاری‬ ‫به‬t=0‫آورد‬ ‫دست‬‫به‬.
‫اداد‬‫ا‬ ‫ر‬ ‫اال‬‫ا‬‫احتم‬ ،‫اال‬‫ا‬ ‫م‬ ‫اوان‬‫ا‬‫عن‬ ‫اه‬‫ا‬‫ب‬J=5‫ارای‬‫ا‬‫ب‬
‫با‬ ‫است‬ ‫برابر‬ ‫قبل‬ ‫ال‬ ‫م‬:
 
!
)(
Pr
j
tP
dt
d
jJ
J
j






  12.05Pr J

24. ‫مثال‬
210
004.0122.0874.0)( ttttPI 

25. ‫مثال‬
‫اعتباری‬ ‫سبد‬I‫بریرید‬ ‫نظر‬ ‫در‬ ‫بدهکار‬ ‫دو‬ ‫با‬ ‫را‬.‫احت‬ ‫کنید‬ ‫فرض‬‫مال‬
‫ساانه‬ ‫بدهکاران‬ ‫از‬ ‫یکی‬ ‫غیرشرطی‬ ‫نکول‬8%‫دیرری‬ ‫و‬ ،5%
‫است‬.‫اولی‬ ‫نکول‬ ‫معرض‬ ‫در‬ ‫مبلغ‬ ‫اگر‬10‫دوی‬ ‫و‬ ‫دار‬5‫زیان‬ ‫و‬ ‫دار‬
‫دو‬ ‫هر‬ ‫نکول‬ ‫بر‬ ‫مشروط‬100‫احتمال‬ ‫مولد‬ ‫تابع‬ ،‫باشد‬ ‫درصد‬
‫زیر‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫اعتباری‬ ‫سبد‬ ‫ارز‬ ‫تصادفی‬ ‫متغیر‬ ‫مشترک‬‫است‬:
151050
874.0046.0076.0004.0)( tttttPI 

26. ‫مثال‬
‫اعتباری‬ ‫سبد‬I‫بریرید‬ ‫نظر‬ ‫در‬ ‫بدهکار‬ ‫دو‬ ‫با‬ ‫را‬.‫غیرشار‬ ‫نکاول‬ ‫احتماال‬ ‫کنید‬ ‫فرض‬‫طی‬
‫ساانه‬ ‫بدهکاران‬ ‫از‬ ‫یکی‬8%‫دیرری‬ ‫و‬ ،5%‫است‬.‫اولای‬ ‫نکاول‬ ‫معارض‬ ‫در‬ ‫مبلغ‬ ‫اگر‬
10‫دومی‬ ‫و‬ ‫دار‬5‫دو‬ ‫هر‬ ‫نکول‬ ‫بر‬ ‫مشروط‬ ‫زیان‬ ‫و‬ ‫دار‬100‫مولاد‬ ‫تاابع‬ ،‫باشاد‬ ‫درصد‬
‫است‬ ‫زیر‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫اعتباری‬ ‫سبد‬ ‫زیان‬ ‫تصادفی‬ ‫متغیر‬ ‫مشترک‬ ‫احتمال‬:

27. ‌‫ن‬‫پوآسو‬ ‫یع‬‫ز‬‫تو‬ ‫احتمال‬ ‫مولد‬ ‫تابع‬
‫پارام‬ ‫یک‬ ‫با‬ ‫تنها‬ ‫پوآسون‬ ‫توزیع‬‫به‬ ‫تر‬
‫شود‬‫می‬ ‫تشریح‬ ‫کامل‬ ‫طور‬.‫اثبات‬
‫این‬ ‫احتمال‬ ‫مولد‬ ‫تابع‬ ‫که‬ ‫شود‬‫می‬
‫است‬ ‫زیر‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫توزیع‬:
‫مشت‬ ‫احتمال‬ ‫مولد‬ ‫تابع‬ ‫بنابراین‬‫رک‬
‫تعداد‬m‫پوآسون‬ ‫تصادفی‬ ‫متغیر‬‫به‬
‫است‬ ‫زیر‬ ‫شرح‬:
)1(exp)(  ttPn )1(exp)(
1
 
ttP
n
j
jn 

28. ‫مثال‬(‌‫ل‬‫نکو‬ ‫تعداد‬ ‫یع‬‫ز‬‫تو‬)
‫وقوع‬ ‫احتمال‬0‫تا‬5‫توزیع‬ ‫اساس‬ ‫بر‬ ‫نکول‬
‫پوآس‬ ‫تصادفی‬ ‫متغیر‬ ‫دو‬ ‫این‬ ‫مشترک‬ ‫احتمال‬‫ون‬
‫از‬ ‫است‬ ‫عبارت‬:
‫اعتباری‬ ‫سبد‬I‫بریرید‬ ‫نظر‬ ‫در‬ ‫بدهکار‬ ‫دو‬ ‫با‬ ‫را‬.
‫از‬ ‫یکی‬ ‫غیرشرطی‬ ‫نکول‬ ‫احتمال‬ ‫کنید‬ ‫فرض‬
‫ساانه‬ ‫بدهکاران‬5%‫دیرری‬ ‫و‬ ،8%‫است‬.‫تابع‬
‫تعداد‬ ‫تصادفی‬ ‫متغیر‬ ‫مشترک‬ ‫احتمال‬ ‫مولد‬‫نکول‬
‫است‬ ‫زیر‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫اعتباری‬ ‫سبد‬:
)1(13.0exp)(  ttPn
n Probability
0 0.8780954
1 0.1141524
2 0.0074199
3 0.0003215
4 0.0000104
5 0.0000003

29. ‫مثال‬(‌‫ی‬‫اعتبار‬ ‫یان‬‫ز‬ ‫یع‬‫ز‬‫تو‬)
‫وقوع‬ ‫احتمال‬1‫تا‬5‫احتمال‬ ‫توزیع‬ ‫اساس‬ ‫بر‬ ‫زیان‬ ‫دار‬
‫اس‬ ‫عبارت‬ ‫پوآسون‬ ‫تصادفی‬ ‫متغیر‬ ‫دو‬ ‫این‬ ‫مشترک‬‫از‬ ‫ت‬:
‫اعتباری‬ ‫سبد‬I‫بریرید‬ ‫نظر‬ ‫در‬ ‫بدهکار‬ ‫دو‬ ‫با‬ ‫را‬.‫فرض‬
‫س‬ ‫بدهکاران‬ ‫از‬ ‫یکی‬ ‫غیرشرطی‬ ‫نکول‬ ‫احتمال‬ ‫کنید‬‫اانه‬
5%‫دیرری‬ ‫و‬ ،8%‫است‬.‫نکول‬ ‫معرض‬ ‫در‬ ‫مبلغ‬ ‫اگر‬
‫اولی‬1‫دومی‬ ‫و‬ ‫دار‬2‫هر‬ ‫نکول‬ ‫بر‬ ‫مشروط‬ ‫زیان‬ ‫و‬ ‫دار‬
‫دو‬100‫متغ‬ ‫مشترک‬ ‫احتمال‬ ‫مولد‬ ‫تابع‬ ،‫باشد‬ ‫درصد‬‫یر‬
‫است‬ ‫زیر‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫اعتباری‬ ‫زیان‬ ‫تصادفی‬:
jv
m
j
j
m
j
jm ttP  

11
exp)( 
Loss Probability
0 0.878095
1 0.043905
2 0.071345
3 0.003531
4 0.002898
5 0.000142

30. ‫تشکر‬ ‫با‬