Василь Черкач, вчитель математики Рожнівського НВК “Гуцульщина” ім.Ф. Погребенника НАУКМА Косівської районної ради Івано-Франківської області

1. Знаходження площі поверхні тіл обертання
Василь Черкач,
вчитель математики
Рожнівського НВК “Гуцульщина” ім.Ф. Погребенника НАУКМА
Косівської районної ради Івано-Франківської області
Цільова група:
• учні 11 класу.
Тривалість:
• 90 хв. (2 уроки по 45 хв.).
Мета:
• навчити розпізнавати тіла обертання (конус, циліндр, кулю);
• відпрацювати уміння знаходити площу поверхні тіл обертання (конуса, циліндра,
кулі);
• розвивати пізнавальний інтерес до предмету, креативне мислення, математичну мову;
• виховати культуру колективної взаємодії, формувати якості, необхідні для ефективної
роботи в групі.
Операційні цілі (завдання):
Після закінчення уроку учень
знає
• визначення та властивості тіл обертання;
• формули для знаходження площі поверхонь тіл обертання;
розуміє
• спосіб утворення тіл обертання;
вміє
• розрізняти тіла обертання, їхні елементи;
• обчислювати площі поверхонь тіл обертання;
може
• аналізувати проблемну ситуацію;
• визначати перешкоди досягнення результату;
• шукати оптимальні шляхи вирішення проблеми;
• планувати діяльність;
• генерувати пропозиції та робити висновки;
• виявляти ініціативу та уміння вести дискусію.
Методи і техніки:
• Мета-план;
• робота у малих групах.
Обладнання:
• маркери;
• аркуші А4;
• ватмани А2 – 4 штуки;
• циркулі, олівці, лінійки;
• клейка стрічка;
• кольоровий папір.
Допоміжні матеріали:

2. Додаток 1. Головні убори.
Додаток 2. Опис техніки «Мета-план».
Додаток 3. Схема побудови мета-плану.
Додаток 4. Рекомендації для вчителя (ведучого) дискусії.
Додаток 5. Теоретичний матеріал. Циліндр. Конус. Куля.
Додаток 6. Відомості про тканину для виготовлення головних уборів.
Додаток 7. Таблиця для презентації розрахунків.
Додаток 8. Критерії оцінювання роботи груп по етапам завдання.

3. Хід уроку 1:
1. Вступна частина.
1.1. Повідомте учням тему і мету уроків. Наголосіть, що найважливішим у цій темі є
уміння розпізнавати тіла обертання, розуміти спосіб їх утворення та уміти обчислювати
площу бічної поверхні. Тіла́ оберта́ння — це об'ємні тіла, що виникають при обертанні
плоскої фігури, обмеженої кривою, навколо осі, що лежить у тій же площині. Тіла
обертання широко використовуються в техніці. Наприклад, в автомобілебудуванні кулі
використовуються при перемиканні передач, у клапанних пристроях. У формі циліндра
виготовлені найважливіші складові частини автомобілів: генератор, конденсатор, фільтр,
тощо.
1.2. Змоделюйте для учнів ситуацію у вигляді проблемної задачі:
Для шкільної вистави необхідно виготовити такі предмети: шапку чарівника, капелюх “кіт
у чоботях”, каску солдата-піхотинця і шапку “знайка” (Додаток 1). Для цього треба
обчислити мінімальні витрати тканини на виготовлення кожного виробу. Націльте учнів
на те, що вони у малих групах цілком самостійно мають розв’язати дану задачу, прийти до
висновку: які вхідні дані їм необхідні, яких знань не вистарчає і представити результати.
2. Основна частина.
2.1. Для реалізації даного завдання і розробки плану дій запропонуйте учням
попрацювати над складанням мета плану, опираючись на існуючий у них життєвий та
математичний досвід.
2.2. Об’єднайте учнів у 4 групи і скажіть, щоб кожна група зайняла місце за окремим
столом. Прикріпіть на дошці зразки головних уборів (Додаток 1)- без розмірів. Роздайте
групам ватман, кольорові картки у формі кола, трикутника, овала і прямокутника, клейку
стрічку, маркери і схему мета-плану (Додаток 3).
Коротко поясніть суть вправи (Додаток 2) і її ціль – проаналізувати ситуацію в загальному
вигляді, зосередитися на пошуку способу розв’язання проблеми, виявити прогалини у
можливостях досягнення мети, скласти план дій і прийти до спільного рішення щодо
досягнення результату. Запропонуйте записати на «хмаринці» тему дискусії (Додаток 4) і
вибрати ведучого у кожній групі. Наголосіть, що неправильних думок немає. Націльте
ведучих дотримуватися схеми, залучати всіх учасників до процесу. Нагадайте учням про
культуру ведення дискусії, попередьте, що вправа триватиме 20 хвилин і дайте сигнал
починати. Пам’ятайте, що Ви повинні бути тільки пасивним спостерігачем –
прислухайтеся до обговорення, намагайтеся не поправляти учнів, втручайтеся тільки у
випадку суперечки або конфлікту.
2.3. Перейдіть до другої частини обговорення. Розмістіть усі плакати з планами на дошці.
Дайте можливість усім групам представити власне бачення проблеми. Приступіть до
обговорення спільного плану дій на основі плакатів. При потребі перекладайте картки,
міняйте їх місцями, звертайте увагу учнів на найбільш раціональні висновки. Якщо
вважаєте за необхідне, доповніть власними пропозиціями за зразком (Додаток 4).
3. Підсумкова частина.
3.1. Підведіть проміжний підсумок першого уроку. Наголосіть, що найважливішим із
висновків є усвідомлення потреби нових знань; що для обчислення площі поверхні тіл,
утворених шляхом обертання певних геометричних фігур, можна їх розгорнути у пласкі
фігури (викрійки) і знайти їх площу за раніше вивченими формулами. Якщо учні
самостійно дійшли такого висновку, то зверніть на це увагу, інакше скажіть, що на
наступному уроці вони про це дізнаються.
3.2. Відгукніться про свої враження від активності та креативності мислення учнів,
уміння давати пропозиції, планувати діяльність і робити висновки.

4. Хід уроку 2:
1. Вступна частина.
1.1. Нагадайте учням тему і мету заняття, а також проблемну задачу до вирішення якої
вони вже підійшли зовсім близько.
1.2. Зверніть їх увагу на мета-план на дошці, складений на попередньому уроці.
Нагадайте, з якою метою він складався і надалі учні мають дотримуватися напрацьованих
пропозицій і послідовності вирішення задачі. Скажіть, що на цьому уроці вони матимуть
змогу довести розв’язання задачі до логічного кінця і представити свої напрацювання.
2. Основна частина.
2.1. Попросіть учнів повернутися до своїх груп, з якими працювали на попередньому
уроці. Роздайте матеріали, яких згідно аналізу «мета-план» їм не вистарчало для розв’язку
задачі (Додатки 1, 5, 6). Запропонуйте самостійно ознайомитися з теоретичним
матеріалом (Додаток 5), підкреслити нові терміни. Через 10 хвилин запитайте в учнів, які
поняття чи визначення залишилися їм незрозумілі. Поясніть їх. Важливо: запитайте
наскільки прочитане співпадає з їхніми власними висновками про спосіб вирішення здачі.
2.2. Роздайте таблиці для обчислень(Додаток 7), папір, олівці, лінійки, циркулі і маркери.
Повідомте учнів, що вони можуть розпочинати вирішувати проблемну задачу,
користуючись схемою мета – плану і отриманими матеріалами. Відведіть на роботу 20 хв.
2.3. Вислухайте презентацію групами виконаної роботи. Заохочуйте інших учнів
висловлювати власну думку щодо коректності знайдених результатів. Особливо уважно
розберіть помилкові обчислення, попросіть учнів пояснити як вони мислили. Упевніться,
що учні усвідомили помилку.
3. Підсумкова частина.
3.1. Підведіть підсумки про спосіб обчислення площі поверхні тіл обертання, наголосіть
на важливості даної теми у повсякденному житті на прикладі вирішеної задачі, дайте усну
оцінку самостійній роботі учнів, підкресліть проявлену креативність, творчість,
організованість під час роботи у групі. Виставте оцінки, згідно критеріїв (Додаток 8)
3.2. На домашнє завдання запропонуйте підготувати презентації «Тіла, утворені
обертанням трикутників та чотирикутників».

5. Додаток 1
Головні убори
Зігнути по лінії
Головний убір
чарівника
окружність
голови 60 см,
висота ковпака
70 см
ширина полів 10
см
Шапка «Знайки»
окружність
голови 58 см,
сторона квадрата
50см, висота
шапки 55 см
Капелюх «Кіт в
чоботях»
окружність
голови 52 см,
довжина
окружності полів
100 см, висота
верхньої частини
42 см
Каска солдата-
піхотинця
окружність
голови 64 см

6. Додаток 2
Опис техніки «Мета-план»
Метаплан – це ілюстрація дискусії на задану тему. Дискусію ведуть учасники занять.
Під час дискусії в групах учасники створюють плакат, який скорочено ілюструє її перебіг.
Техніку метаплану використовують для обговорення суперечливих, важких справ та для
вирішення конфліктів. Головне завдання цієї техніки не полягає y тому, щоб показати, хто
правий, а y тому, щоб побачити якнайбільше аспектів даної проблеми-«правда завжди десь по
середині». Ціль метаплану – спокійний аналіз питання та зосередження на пошуку (не
обов’язково знайти!) спільного рішення. Учасники занять розглядають та аналізують
проблему, намагаються її оцінити, формулюють погляди та думки, пропонують різні рішення.
А. Спосіб проведення занять - робота в малих групах:
1. Ведучий подає тему дискусії.
2. Формує команди по 4-6 учасників.
3. Кожна команда отримує матеріали (ведучий повинен їх заздалегідь підготувати):
• один великий аркуш паперу,
• один кольоровий аркуш паперу формату а-4. На ньому учасники запишуть тему
дискусії
• кольорові карточки y формі трикутників, кругів (по 10 шт.) Та овалів (20 шт.).
Карточки необхідно вирізати з паперу ясних пастельних кольорів,
• приблизно 10 прямокутників, на яких учасники будуть записувати висновки. Папір
повинен бути іншого кольору,
• скоч або клей, кольорові фломастери.
4. Ведучий визначає час на виконання завдання (приблизно 30 хвилин). Під час дискусії
учасники виконують плакат за наступною схемою: на хмарі (вирізати з паперу а-4) записують
тему, тобто проблему, яку необхідно вирішити. Хмару треба приклеїти посередині аркуша. У
визначених на плакаті місцях (згідно з прикладом) записують питання:
• як є?
• як повинно бути?
• чому не є так, як повинно бути?
• у правому нижньому куті плакату пишемо: Висновки.
5. Всі написи на плакаті мають своє чітко визначене місце. Якщо потрібно, висновки
можна поділити на «те, що від нас залежить» і «те, що від нас не залежить». Все, що
записується на плакаті має бути узгоджено та прийнято усіма членами групи.
6. Представники груп демонструють плакати, відповідають на питання інших учасників,
пояснюють незрозумілі фрагменти. Під час обговорення можна змінювати плакат, записи на
деяких карточках можна сформулювати поіншому, змінити, карточки можна забирати або
переносити до іншої сфери. Під час презентації ведучий тільки стежить за тим, що
відбувається.
7. Етап підведення підсумків: ведучий разом із цілою групою збирає висновки з усіх
плакатів, обговорює результати роботи команд. Якщо це необхідно, можна зробити спільні
висновки з дискусії.
Б. робота з цілою групою:
1. Ведучий вішає на дошці великий аркуш паперу; записує тему (як в прикладі а) та
слово «висновки».
2. Учасники отримують кольорові картки (чотири різних кольори, кожного по 5-10
штук).
3. Учасники записують на карточках відповіді на задані питання мета-плану і по черзі
приклеюють їх на плакат. Ведучий голосно читає зміст всіх карточок.
4. Після цього учасники формулюють висновки таким самим чином приклеюють їх на
плакат.

7. Додаток 3
Схема побудови мета-плану
Як є? Як має бути?
Чому є не так, як повинно бути?
Висновки і пропозиції
Що від нас не залежить? Що від нас залежить?
Проблема, яку треба вирішити

8. Додаток 4
Рекомендації для вчителя або керівника дискусії
(напрямок ведення дискусії)
У малій групі вирішити проблему обчислення витрат матеріалів на виготовлення
вибраного головного убору
Як є? (Що дано?) Як має бути? (Що треба отримати?)
Який головний убір?
Якими даними, ресурсами (в тому числі
людськими) і матеріалами володіємо?
Зробити малюнок до задачі та намалювати
викрійку, обчислити площу витраченої
тканини.
Представити результат роботи групи на
плакаті, оптимально розмістити викрійку на
даному куску тканини, знайти площу та
вартість куска.
Чому є не так, як повинно бути? (Аналіз проблеми)
Не маємо розмірів виробу. Які вимірювання маємо провести? Яких початкових даних
потребуємо?
Не знаємо як обчислити площу бічної поверхні об’ємної фігури. Із скількох частин
складається виріб? Як об’ємне тіло розгорнути у пласку фігуру (зробити викрійку)? Які
фігури при цьому отримаємо?
Із яких ще плоских фігур складається даний виріб? Чи знаємо як обчислити площу усіх
плоских фігур?
Із якого матеріалу виготовити? Яка кількість матеріалу нам дана? Чи вистарчить даного
куска матеріалу?
Хто у групі буде здійснювати різні види діяльності? Хто представлятиме результати?
Висновки і пропозиції
Вибрати керівника групи. Розділити обов’язки між учасниками групи. Познайомитися з
теоретичним матеріалом для вирішення проблеми. Вияснити чи всім зрозумілим є
теоретичний матеріал. Здійснити виміри виробів. Обговорити і визначити тіло обертання.
Визначити інші пласкі фігури, з яких складається виріб. Створити до задачі малюнки тіл
обертання і їх розгортки (викрійки). Обчислити площі. Дізнатися, із яких тканин
виготовляють дані головні убори. Вибрати тканину для виробу. Дізнатися кількість
тканини, яку видано для виробу. Розмістити малюнки фігур на тканині. Обчислити площу
витраченої тканини і площу куска. Заповнити табличку результатів.
Презентувати роботу: пояснити з яких частин складається виріб, які тіла обертання
визначені групою, як обчислюється площа бічної поверхні встановлених тіл, як
створювали малюнки, як розміщували на тканині, що отримали, чи вистарчило тканини?

9. Хід уроку 1:
1. Вступна частина.
1.1. Повідомте учням тему і мету уроків. Наголосіть, що найважливішим у цій темі є
уміння розпізнавати тіла обертання, розуміти спосіб їх утворення та уміти обчислювати
площу бічної поверхні. Тіла́ оберта́ння — це об'ємні тіла, що виникають при обертанні
плоскої фігури, обмеженої кривою, навколо осі, що лежить у тій же площині. Тіла
обертання широко використовуються в техніці. Наприклад, в автомобілебудуванні кулі
використовуються при перемиканні передач, у клапанних пристроях. У формі циліндра
виготовлені найважливіші складові частини автомобілів: генератор, конденсатор, фільтр,
тощо.
1.2. Змоделюйте для учнів ситуацію у вигляді проблемної задачі:
Для шкільної вистави необхідно виготовити такі предмети: шапку чарівника, капелюх “кіт
у чоботях”, каску солдата-піхотинця і шапку “знайка” (Додаток 1). Для цього треба
обчислити мінімальні витрати тканини на виготовлення кожного виробу. Націльте учнів
на те, що вони у малих групах цілком самостійно мають розв’язати дану задачу, прийти до
висновку: які вхідні дані їм необхідні, яких знань не вистарчає і представити результати.
2. Основна частина.
2.1. Для реалізації даного завдання і розробки плану дій запропонуйте учням
попрацювати над складанням мета плану, опираючись на існуючий у них життєвий та
математичний досвід.
2.2. Об’єднайте учнів у 4 групи і скажіть, щоб кожна група зайняла місце за окремим
столом. Прикріпіть на дошці зразки головних уборів (Додаток 1)- без розмірів. Роздайте
групам ватман, кольорові картки у формі кола, трикутника, овала і прямокутника, клейку
стрічку, маркери і схему мета-плану (Додаток 3).
Коротко поясніть суть вправи (Додаток 2) і її ціль – проаналізувати ситуацію в загальному
вигляді, зосередитися на пошуку способу розв’язання проблеми, виявити прогалини у
можливостях досягнення мети, скласти план дій і прийти до спільного рішення щодо
досягнення результату. Запропонуйте записати на «хмаринці» тему дискусії (Додаток 4) і
вибрати ведучого у кожній групі. Наголосіть, що неправильних думок немає. Націльте
ведучих дотримуватися схеми, залучати всіх учасників до процесу. Нагадайте учням про
культуру ведення дискусії, попередьте, що вправа триватиме 20 хвилин і дайте сигнал
починати. Пам’ятайте, що Ви повинні бути тільки пасивним спостерігачем –
прислухайтеся до обговорення, намагайтеся не поправляти учнів, втручайтеся тільки у
випадку суперечки або конфлікту.
2.3. Перейдіть до другої частини обговорення. Розмістіть усі плакати з планами на дошці.
Дайте можливість усім групам представити власне бачення проблеми. Приступіть до
обговорення спільного плану дій на основі плакатів. При потребі перекладайте картки,
міняйте їх місцями, звертайте увагу учнів на найбільш раціональні висновки. Якщо
вважаєте за необхідне, доповніть власними пропозиціями за зразком (Додаток 4).
3. Підсумкова частина.
3.1. Підведіть проміжний підсумок першого уроку. Наголосіть, що найважливішим із
висновків є усвідомлення потреби нових знань; що для обчислення площі поверхні тіл,
утворених шляхом обертання певних геометричних фігур, можна їх розгорнути у пласкі
фігури (викрійки) і знайти їх площу за раніше вивченими формулами. Якщо учні
самостійно дійшли такого висновку, то зверніть на це увагу, інакше скажіть, що на
наступному уроці вони про це дізнаються.
3.2. Відгукніться про свої враження від активності та креативності мислення учнів,
уміння давати пропозиції, планувати діяльність і робити висновки.

10. Конус
Ко́нус (от др.-греч. Κώνος- “соснова шишка”) – геометричне тіло, отримане шляхом
об'єднання всіх променів, що виходять з однієї точки — вершини конуса, і таких що
проходять через довільну плоску поверхню. Іноді конусом називають частину такого тіла,
отриману об'єднанням усіх відрізків, що з'єднують вершину і точки
пласкої поверхні (яку в такому випадку називають основою конуса, а
конус називають таким, що спирається на дану поверхню). Також
можна сказати, що це тіло, отримане при обертанні прямокутного
трикутника навколо одного з його катетів.
Відрізок, опущений перпендикулярно з вершини на площину основи
(а також його довжина), називається висотою конуса. Якщо площа
основи має скінченне значення, то об'єм конуса також має скінченне
значення і дорівнює третині добутку висоти на площу основи. Таким
чином всі конуси, що спираються на дану основу, і мають вершину в
площині, паралельній цій основі, мають рівний об'єм, оскільки їх
висоти рівні. Якщо основою конуса є многокутник, тоді конус стає
пірамідою. Таким чином піраміди є підмножиною конусів.
Відрізок, що сполучає вершину конуса з точкою границі його основи називається твірною
конуса. Множина всіх твірних конуса називається бічною поверхнею конуса.
Площа поверхні конуса.
Повна площа прямого кругового конуса
,
де r та l – радіус кола основи та довжина твірної бічної поверхні відповідно.
Площа бічної поверхні прямого кругового конуса
,
де r та l – радіус кола основи та довжина твірної бічної поверхні відповідно.ток 3
Куля
Куля – тіло, утворене обертанням круга навколо його діаметра. Центром кулі називають центр
круга, обертанням якого її утворено. Відрізок, який сполучає центр кулі з довільною точкою її
поверхні, - радіус кулі. Відрізок, який сполучає дві довільні точки поверхні кулі, - її хорда.
Хорда кулі, яка проходить через центр, - діаметр кулі.
Ку́ля — це множина всіх точок простору, що перебувають від заданої точки на відстані, не
більшій за дану відстань . При цьому точка називається
центром, а — радіусом кулі. Будь-який відрізок, який сполучає
центр кулі з точкою кульової поверхні, також називається радіусом.
Поверхня кулі називається сферою. Також дуже часто кулею
називають частину простору, обмежену сферою.
Площу сфери, яка обмежує кулю з радіусом , можна підрахувати
за формулою
.
Площа поверхні кулі є найменшою серед площ поверхонь
стереометричних тіл з однаковим об'ємом.

11. Додаток 6
Відомості про тканину для виготовлення головних уборів
Назва
тканини
Розмір Ціна Опис
Сатин шириною
2м та
довжиною
1,2м
12,5
грн/м2
Сатин (фр. satin, від араб. Зайтун від стародавньої
арабської назви китайської гавані Цюаньчжоу, звідки
вивозилася ця тканина) — тканина сатинового
переплетення ниток з бавовняного або хімічного
волокна. Має гладку, шовковисту лицьову поверхню,
на якій переважають уточні нитки; досить щільна і
блискуча; випускається в основному
гладкофарбованою, набивною та вибіленою.
Застосовується для виготовлення суконь, чоловічих
сорочок, як підкладкова тканина, тощо.
Сатин виготовляється з крученої бавовняної нитки
подвійного плетіння. Давно було відмічено, що чим
більше скручена нитка, тим яскравіше блиск. Так
з'явився глянець — сатин, що нагадує шовк.
Білизна із сатину довговічна і витримує велику
кількість прання — 200—300, і лише через досить
довгий час матеріал починає трохи тьмяніти. Він
дешевший, ніж шовк, але дорожчий ніж інші
бавовняні тканини. З нього роблять білизну різного
дизайну для повсякденного застосування.
Шовк шириною
1,5м та
довжиною
2м
47
грн/м2
Шовк — натуральна текстильна нитка тваринного
походження — продукт виділення залоз
гусіні шовкопрядів при звиванні коконів. Довжина
шовкової нитки може досягати 800—1000 м. Вона
має трикутний переріз і подібно до призми відбиває
світло, завдяки чому має гарний блиск.
Найвідомішим застосуванням ниток шовку є
виготовлення шовкових тканин.
Вигодовуванням личинок шовкопряда і
виготовленням шовку займаєтьсяшовківництво.
У світовій практиці шовк натуральний має різні
позначення на етикетках: silk, seide, soie.
Оксамит шириною
0,9м та
довжиною
0,7м
34
грн/м2
Оксами́т (дав.-гр. ἑξάµιτον; лат. examitum; англ.
Velvet) — тканина з натурального шовку або
хімічного волокна з густим розрізним ворсом на
лицьовому боці. Довжина ворсу — звичайно 1—2
мм. Основа оксамиту, як правило, бавовняна.
Оксамит використовують для пошиття одягу, для
оздоблення та з декоративною метою.
Джерело:
http://uk.wikipedia.org/wiki

12. Додаток 7
Таблиця для презентації розрахунків
Група № ______ “Чарівник” “Знайка” “Капелюх” “Каска”
Тіло обертання
Формули площі
бічної поверхні тіла
Інші плоскі фігури
виробу
Обчислення площі
фігур
Розхід тканини
Вартість матеріалів

13. Додаток 8
Критерії оцінювання роботи груп по етапам завдання
№ Назва критерію Бали
1 Правильний вибір тіла обертання 10
2 Грамотне виконання малюнка до поставленої задачі 10
3 Правильний вибір початкових даних для використання в розрахунках формул 10
4 Правильність розрахунку площі бічної поверхні тіла обертання 10
5 Правильність розрахунку витраченої кількості тканини 10
6 Визначення мінімальної кількості куска тканини 10
46-60 балів – «високий рівень»
30- 45 балів – «достатній рівень»
16-30 балів – «середній рівень»
1-15 балів – «початковий рівень»