D-кучи и их применение

D-кучи и их применение
Ражева Н.С., Цыганова А.О.
Кафедра математического обеспечения ЭВМ
Нижегородский государственный университет
им. Н.И. Лобачевского
Факультет Вычислительной математики и кибернетики

Содержание
 d-кучи
 Общие понятия
 Структура хранения
 Основные утверждения
 Реализация d-кучи
 Основные операции
 Применение d-куч
 Сортировка с использованием d-куч
 Результаты экспериментов
 Алгоритм Дейкстры
 Приоритетная очередь
 Обзор литературы

d-кучи: общие понятия…
 Куча – представление взвешенного множества в
виде корневого дерева, узлам которого ставятся во
взаимно однозначное соответствие элементы
рассматриваемого множества.
 Соответствие между узлами дерева и
элементами множества называется кучеобразным,
если: ключ элемента, приписанного узлу, не
превосходит ключей, приписанных его потомкам.

d-кучи: общие понятия…
 Завершенное d-арное дерево - корневое дерево.
 Свойства:
 Каждый внутренний узел имеет ровно d
потомков. Исключение - один узел,
имеющий от 1 до d - 1 потомков
 На глубине i ровно узлов ( ),
k - глубина дерева;
 Количество узлов глубины k в дереве
глубины k варьируется от 1 до .
i
d 11 −≤≤ nk
k
d

d-кучи: общие понятия
 Глубина дерева – наибольшая глубина его
узлов.
 Глубина узла – число ребер в кратчайшем
пути от корня до данного узла.
 Высота узла - расстояние от него до
наиболее далекого потомка.

d-кучи: структура хранения…
 Каждому узлу дерева приписываем по одному
элементу исходного массива
 Сохраняем кучеобразный порядок
 Номеруем узлы:
 Корень получает номер 0;
 Потомки узла с номером i получают номера
от до .
 Для узла в позиции i родительский узел
расположен в позиции div d.
ddi +⋅1+⋅ di
( )1−i

…… …
1 …
0
2 d
…
…… …
………
i i+1
Уровень 0
Уровень 1
Уровень j
Уровень j+1
…
…
i*d+1 i*d+2 i*d+d
(i-1)*d+d
0 n-1

1 …
…… …
0
2 d
…
…… …
………
i i+1
Уровень 0
Уровень 1
Уровень j
Уровень j+1
…
…
i*d+1 i*d+2 i*d+d
(i-1)*d+d
0
0
n-1

1 …
…… …
0
2 d
…
…… …
………
i i+1
Уровень 0
Уровень 1
Уровень j
Уровень j+1
…
…
i*d+1 i*d+2 i*d+d
(i-1)*d+d
0
0 1
n-1

1 …
…… …
0
2 d
…
…… …
………
i i+1
Уровень 0
Уровень 1
Уровень j
Уровень j+1
…
…
i*d+1 i*d+2 i*d+d
(i-1)*d+d
0
20 1
n-1

1 …
…… …
0
2 d
…
…… …
………
i i+1
Уровень 0
Уровень 1
Уровень j
Уровень j+1
…
…
i*d+1 i*d+2 i*d+d
(i-1)*d+d
0
20 1 … d
n-1

1 …
…… …
0
2 d
…
…… …
………
i i+1
Уровень 0
Уровень 1
Уровень j
Уровень j+1
…
…
i*d+1 i*d+2 i*d+d
(i-1)*d+d
0
20 1 … d i…
n-1

1 …
…… …
0
2 d
…
…… …
………
i i+1
Уровень 0
Уровень 1
Уровень j
Уровень j+1
…
…
i*d+1 i*d+2 i*d+d
(i-1)*d+d
0
20 1 … d i… i+1
n-1

1 …
…… …
0
2 d
…
…… …
………
i i+1
Уровень 0
Уровень 1
Уровень j
Уровень j+1
…
…
i*d+1 i*d+2 i*d+d
(i-1)*d+d
0
… … …20 1 … d … i+1 … i*d+1i
n-1

1 …
…… …
0
2 d
…
…… …
………
i i+1
Уровень 0
Уровень 1
Уровень j
Уровень j+1
…
…
i*d+1 i*d+2 i*d+d
(i-1)*d+d
0
20 1 … d … i+1 … i*d+1 i*d+2i
n-1

1 …
…… …
0
2 d
…
…… …
………
i i+1
Уровень 0
Уровень 1
Уровень j
Уровень j+1
…
…
i*d+1 i*d+2 i*d+d
(i-1)*d+d
0
20 1 … d … i+1 … i*d+1 i*d+2 i*d+d…i
n-1

1 …
…… …
0
2 d
…
…… …
………
i i+1
Уровень 0
Уровень 1
Уровень j
Уровень j+1
…
…
i*d+1 i*d+2 i*d+d
(i-1)*d+d
0 n-1
20 1 … d … i+1 … i*d+1 i*d+2 i*d+d…i … n-1

 Пример: n = 8, d = 3
key[n] = [2, 2, 4, 5, 5, 6, 6, 5]
2
2 4 5
5 6 6 5
0
1
5
2
4
3
76

d-кучи: основные утверждения
 Утверждение 1: Длина h пути из корня
завершенного d-арного дерева с n > 1 узлами в
любой лист удовлетворяет неравенствам:
 Утверждение 2: Количество узлов высоты h не
превосходит .
1log1log +<<− nhn dd
h
dn

2. Реализация d-кучи.
Основные операции

d-кучи: основные операции
 Основные операции над d-кучами:
 Всплытие
 Погружение
 Вставка
 Удаление
 Уменьшение ключа
 Окучивание

Основные операции: Всплытие(i)…
 Всплытие(i)
 Применяется для элемента x в узле i , нарушающего
кучеобразный порядок, т.е если ключ элемента меньше
ключа родителя.
Procedure Всплытие(i)
begin
p := (i-1)div d
while (i≠0) and (key[p]>key[i]) do
begin
tr(i,p);
i:= p; p:=(i-1)div d
end;
end;
Вычислительная сложность: )(log nO d

Пример: d = 3, n = 8
7
7 6 9
9 6 8 7
0
1
5
2
4
3
76

7
7 8 9
9 6 8 9
0
1
5
2
4
3
76
!!!

7
7 8 9
9 6 8 9
0
1
5
2
4
3
76

7
6 8 9
9 7 8 9
0
1
5
2
4
3
76

7
6 8 9
9 7 8 9
0
1
5
2
4
3
76
!!!

Основные операции: Всплытие(i)
6
7 8 9
9 7 8 9
0
1
5
2
4
3
76

Основные операции: Погружение(i)…
 Погружение(i)
 Применяется для элемента x в узле i , нарушающего
кучеобразный порядок, т.е если ключ элемента больше
ключа потомка.
Вспомогательная функция min_child(i):
Function min_child(i)
begin
if (i*d+1>=n) return 0;
else
begin
s:=i*d+1; min_key:=key[s]; last:=(i+1)*d;
if (last>=n) last:=n-1;
for j:=s+1 to j:=last do
begin
if (min_key > key[j]) min_key=key[j]; s=j;
return s;
end;
end;

Procedure Погружение(i)
begin
s:=min_child(i);
while (s≠0) and (key[i]>key[s])
begin
tr(i,s);
i:=s;
s:=min_child(i);
end;
end;
Вычислительная сложность: )log( ndO d⋅

8
7 6 9
9 7 8 7
0
1
5
2
4
3
76

8
7 6 9
9 7 8 7
0
1
5
2
4
3
76
!!!

6
7 8 9
9 7 8 7
0
1
5
2
4
3
76

6
7 8 9
9 7 8 7
0
1
5
2
4
3
76
!!!

Основные операции: Погружение(i)
6
7 7 9
9 7 8 8
0
1
5
2
4
3
76

Основные операции: Вставка(key_insert)
 Вставка(key_insert):
 Добавление n+1 узла с номером n;
 Применение операции Всплытие(n).
Procedure Вставка(key_insert)
begin
key[n]:=key_insert;
ВСПЛЫТИЕ(n);
n:=n+1;
end;

6
7 8 9
9 7 8
0
1
5
2
4
3
6

6
7 8 9
9 7 8
0
1
5
2
4
3
3
6
Пример: d = 3, n = 7 Добавление элемента:

6
7 8 9
9 7 8
0
1
5
2
4
3
3
76
n = n+1
Добавление элемента:

6
7 8 9
9 7 8
0
1
5
2
4
3
3
76
Пример: d = 3, n = 7 Всплытие:
!!!

6
7 8 9
9 7 8
0
1
5
2
4
3
3
76

6
7 3 9
9 7 8
0
1
5
2
4
3
8
76

6
7 3 9
9 7 8
0
1
5
2
4
3
8
76
!!!

3
7 6 9
9 7 8
0
1
5
2
4
3
8
76

Основные операции: Удаление(i)
 Удаление(i):
 Перенести последний элемент на место удаляемого
элемента с номером i;
 Если узел i имеет родителя с большим ключом, то
применяется операции Всплытие(i), иначе операция
Погружение(i)
Procedure Удаление(i)
begin
key[i]:=key[n-1]; n:=n-1;
if (i≠0) and (key[i]<key[(i-1)div d] then ВСПЛЫТИЕ(i)
else ПОГРУЖЕНИЕ(i);
end;
Вычислительная сложность: )log( ndO d⋅

6
7 8 9
9 7 8
0
1
5
2
4
3
3
76
Пример: d = 3, n = 8, i = 1

6
3 8 9
9 7 8
0
1
5
2
4
3
76
Пример: d = 3, n = 8, i = 1 Удаление:
n = n-1

6
3 8 9
9 7 8
0
1
5
2
4
3
6
Пример: d = 3, n = 8, i = 1 Всплытие:
!!!
n = n-1

6
3 8 9
9 7 8
0
1
5
2
4
3
6
n = n-1

3
6 8 9
9 7 8
0
1
5
2
4
3
6
n = n-1

Основные операции: Уменьшение_ключа(i,k)
 Уменьшение_ключа(i,k):
 Уменьшить ключ элемента в узле i на заданную
константу
k = const ;
 Выполнить операцию Всплытие(i).
Procedure Уменьшение_ключа(i,k)
begin
key[i]:=key[i]-k;
ВСПЛЫТИЕ(i);
end;

6
7 8 9
9 7 8
0
1
5
2
4
3
9
76
Пример: d = 3, n = 8, i = 2, k = 3
Уменьшение ключа:

6
7 5 9
9 7 8
0
1
5
2
4
3
9
76
Пример: d = 3, n = 8, i = 2, k = 3
!!!
Всплытие:

6
7 5 9
9 7 8
0
1
5
2
4
3
9
76
Пример: d = 3, n = 8, i = 2, k = 3
Всплытие:

5
7 6 9
9 7 8
0
1
5
2
4
3
9
76
Пример: d = 3, n = 8, i = 2, k = 3
Всплытие:

Основные операции: Окучивание
 Окучивание:
 Применение операции Погружение(i) по
очереди к узлам .
Procedure Окучивание
begin
for i:=(n-1)/d downto 0 do ПОГРУЖЕНИЕ(i);
end;
Вычислительная сложность: )(nO
0,,1 −n

 Утверждение 3. Вычислительная сложность операции
ОКУЧИВАНИЕ равна
 Доказательство.
1. Трудоемкость погружения с высоты i равна O(i);
2. Число узлов высоты i не превосходит
3. Суммарная трудоемкость окучивания:
, где - высота d-арного дерева с n узлами.
Основные операции: Окучивание
≤++





++++ hh
2
1
...
2
1
...
16
1
8
1
)(nO
i
dn
∑=
⋅
h
oi
i
d
n
i
 nh dlog=
=+++++=≤ ∑∑ ==
h
i
hi
h
oi
i
hi
d
i
0 2
...
8
3
4
2
2
1
0
2
+





++++





+++ hh
2
1
...
8
1
4
1
2
1
...
4
1
2
1
consth
=≤++++ −
2
2
1
...
4
1
2
1
1 1
Т.о.,
∑=
⋅
h
oi
i
d
n
i
( )nOn =≤ 2

3. Применение d-куч
3.1. Сортировка массива

Сортировка массива…
 Задача сортировки с использованием d-куч:
 Требуется упорядочить массив key[n] по неубыванию,
путем перестановки его элементов с использованием d-
кучи.
 На выходе требуется получить последовательность
key[1] ≤key[2] ≤… ≤key[n].

 Алгоритм сортировки с использованием d-куч:
 Применение операции Погружение(i) по очереди к
узлам (Окучивание);
 Обмен первого и последнего элемента кучи:
уменьшение размера кучи на 1;
 Применение операции погружения к первому элементу
кучи.
 Повторение описанных операций до тех пор, пока
размер кучи не будет равен 1.
0,),1( −n
 В результате к моменту выполнения всех операций
получаем массив упорядоченный по невозрастанию. Далее
массив следует упорядочить по неубыванию.

 Реализация сортировки с использованием d-куч:
Procedure Heap_Sort(n);
begin
ОКУЧИВАНИЕ;
k = n-1;
while (k > 0)
begin
tr(0, k); k = k - 1; ПОГРУЖЕНИЕ(0);
end;
for i:=0 to (n mod 2)do tr(i,n-1-i);
end;
Вычислительная сложность: )log( nnO d⋅

 Недостатки сортировки с помощью d-кучи
 Алгоритм является неустойчивым (меняет взаимное
расположение равных элементов)
 Алгоритм является неестественным (частичная
упорядоченность массива никак не учитывается)
 Достоинства сортировки с помощью d-кучи
 Не использует дополнительной памяти, размер которой
зависит от длины сортируемого массива
 Даже в среднем, а так же в лучшем и худшем случаях
сортировка имеет трудоемкость
Сортировка массива
)log( nnO d⋅

3.2. Результаты экспериментов

 Вычислительные эксперименты
 нижняя граница значений элементов q = 1
 верхняя граница значений элементов w = 10000
 размер массива с шагом
Вычислительный эксперимент…
110,1 6
+= n
4
10

Сортировка с помощью D-кучи
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1
50001
100001
150001
200001
250001
300001
350001
400001
450001
500001
550001
600001
650001
700001
750001
800001
850001
900001
950001
1000001
Количество элементов в массиве
Время,сек.
2-heap
3-heap
4-heap
5-heap
6-heap
7-heap
8-heap
9-heap
10-heap
11-heap

 Сравнение сортировок с помощью d-куч с Quick_Sort
Сортировка с помощью D-кучи и Quick_Sort
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1
50001
100001
150001
200001
250001
300001
350001
400001
450001
500001
550001
600001
650001
700001
750001
800001
850001
900001
950001
1000001
Количество элементов в массиве
Время,сек.
2-heap
3-heap
4-heap
5-heap
6-heap
7-heap
8-heap
9-heap
10-heap
11-heap
Quick Sort

График зависимости времени от d (при n= ).6
10

Анализ сортировки с помощью 7-кучи
7-heap
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
1
40001
80001
120001
160001
200001
240001
280001
320001
360001
400001
440001
480001
520001
560001
600001
640001
680001
720001
760001
800001
840001
880001
920001
960001
100000
7-heap

7-heap
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
1
40001
80001
120001
160001
200001
240001
280001
320001
360001
400001
440001
480001
520001
560001
600001
640001
680001
720001
760001
800001
840001
880001
920001
960001
100000
7-heap
ax+b
 Построение МНК с помощью прямой

 Проверим, является ли наша теоретическая
оценка о трудоемкости алгоритма сортировки с
помощью d-кучи верной на практике.
 Поделим полученное время на nn dlog⋅

x(n)/(n*logn)
0
0,00000002
0,00000004
0,00000006
0,00000008
0,0000001
0,00000012
0,00000014
30001
130001
230001
330001
430001
530001
630001
730001
830001
930001
x(n)/(n*logn)
С ростом длинны массива зависимость между x и у становится похожей на
линейную.

С использованием с = 1,05Е-7 получаем более точное приближение. Делаем
вывод, что зависимость между х и у n*logn.
7-heap
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
1
40001
80001
120001
160001
200001
240001
280001
320001
360001
400001
440001
480001
520001
560001
600001
640001
680001
720001
760001
800001
840001
880001
920001
960001
100000
7-heap
ax+b
c*nlogn

7-heap
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
1
40001
80001
120001
160001
200001
240001
280001
320001
360001
400001
440001
480001
520001
560001
600001
640001
680001
720001
760001
800001
840001
880001
920001
960001
100000
7-heap
c1*nlogn
c*nlogn
Было построено МНК приближение с помощью функции nn dlog⋅

Аппаратная часть

3.3. Алгоритм Дейкстры

Алгоритм Дейкстры…
 d-кучи используются для ускорения алгоритма
Дейкстры, который ищет минимальные пути в
графе. Этот алгоритм применим только к
взвешенным графам с неотрицательными весами.
 Алгоритм ищет кратчайший путь от вершины ко
всем вершинам.

 Алгоритм Дейкстры:
 Шаг 1.
Для каждой вершины введем метку, которую обозначим
.
Тогда для вершины положим и будем считать эту
метку постоянной. Для всех остальных вершин положим
и будем считать эти метки временными.
За обозначим текущую вершину и положим .

Шаг 2.
Для всех вершин являющихся смежными с р и метки
которых временные, изменить метки в соответствии со
следующим выражением:
Где - это вес дуги
Шаг 3.
Среди всех вершин с временными метками найти такую,
для которой
Множество можно организовать с помощью d-кучи,
тогда поиск минимума будет происходить быстрее.

Алгоритм Дейкстры
 Шаг 4.
Метку вершины сделаем постоянной и положим .
 Шаг 5.
Если все вершины отмечены постоянными метками, то эти
метки дают длины кратчайших путей.
Если некоторые метки являются временными, то следует
перейти к Шагу 2.

3.4. Приоритетная очередь

Приоритетная очередь…
 Приоритетная очередь - абстрактный тип
данных, предназначенный для представления
взвешенных множеств.
 Взвешенное множество - каждому
элементу множества однозначно
соответствует число, называемое ключом или
весом.

Приоритетная очередь: основные операции
 Основные операции:
 ВСТАВИТЬ;
 НАЙТИ MIN или МАХ;
 УДАЛИТЬ.

Приоритетная очередь: применение…
 Очереди с приоритетом могут использоваться в
операционных системах разделения времени для
хранения списка заданий с приоритетами.
 После выполнения очередного задания из списка
выбирается задание с наибольшим приоритетом.

Приоритетная очередь: применение…
 Приоритетные очереди также используются в
управляемом событиями моделировании.
 В данной очереди приоритетом является время, в
которое событие должно произойти.
 Каждый раз из очереди выбирается событие с
минимальным временем.

Приоритетная очередь: применение
 Приоритетные очереди могут использоваться в
численных расчетах
 Приоритетом является ошибка вычислений
 Наиболее грубая ошибка обрабатывается в
первую очередь

Обзор литературы
 Алексеев В.Е., Таланов В.А. Графы. Модели вычислений.
Структуры данных: Учебник. – Нижний Новгород ННГУ,
2005. - 307 с.
 Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р., Штайн К. Алгоритмы:
построение и анализ. 2-е издание. – М.: Вильямс, 2010. –
1296 с.
 Седжвик Р. Фундаментальные алгоритмы на С++.
Анализ/Структуры данных/Сортировка/Поиск. – К.:
ДиаСофт, 2001. – 688 с.
 LaMarca A., Ladner R. The influence of Caches on the
Performance of Heaps. – Seattle University of Washington,
1996. – 29 p.

D-кучи и их применение

More Related Content

What's hot

Viewers also liked

Similar to D-кучи и их применение

More from DEVTYPE

D-кучи и их применение