The document discusses the benefits of exercise for mental health. Regular physical activity can help reduce anxiety and depression and improve mood and cognitive function. Exercise causes chemical changes in the brain that may help protect against mental illness and improve symptoms.
Точечная оценка. Определение
Пример 1
Свойства точечных оценок
Несмещенность
Пример 2
Состоятельность
Эффективность
Асимптотическая нормальность
Робастность
Описательная статистика, цели. Вариационный ряд
Полигон частот
Гистограмма
Гистограмма, пример. Выбор числа интервалов
Выборочные характеристики
Характеристики положения и рассеяния
Выборочные характеристики двумерной выборки
Основные задачи математической статистики. Примеры задач
Выборка.Выборочное пространство. Примеры
Простой случайный выбор. Реальные виды выборов
Функция распределения выборки
Эмпирическая вероятностная мера
Теорема Гливенко-Кантелли
This document defines continuity and uniform continuity of functions. A function f is continuous on a set S if small changes in the input x result in small changes in the output f(x). A function is uniformly continuous if the same relationship holds for all inputs and outputs simultaneously, not just for a fixed input. Several examples are provided to illustrate the difference. The key difference is that a continuous function may depend on the specific input point, while a uniformly continuous function does not. Functions that satisfy a Lipschitz inequality are proven to be uniformly continuous.
This document discusses algorithms for solving the coin change problem of finding the minimum number of coins needed to make a given monetary value. It describes greedy, recursive, and dynamic programming approaches. The greedy algorithm works optimally for coin denominations of 10, 5, 1 by always selecting the highest value coin first. However, the greedy approach does not always give the optimal solution in general. Dynamic programming improves on the recursive solution by storing intermediate results in an array to avoid recomputing the same subproblems.
The document discusses recurrences and methods for solving them. It covers:
1) Divide-and-conquer algorithms can often be modeled with recurrences. Examples include merge-sort and matrix multiplication.
2) Common methods for solving recurrences are substitution, iteration/recursion trees, and the master method. The master method provides a general solution for recurrences of the form T(n) = aT(n/b) + nc.
3) Strassen's matrix multiplication algorithm improves on the naive O(n^3) time by using a recurrence with a=7 to achieve O(n^2.81) time via the master method. Changing variables can sometimes simplify recurrences.
Диаграммы Юнга, плоские разбиения и знакочередующиеся матрицыDEVTYPE
Сколько есть способов разбить натуральное число в сумму нескольких слагаемых, если суммы, отличающиеся только порядком слагаемых, считаются одинаковыми? Оказывается, что на этот, казалось бы, элементарный вопрос нет простого ответа. Зато теория, начинающаяся с этого вопроса, оказывается очень интересной, а ее результаты находят применение в самых разных разделах математики и математической физики.
Настоящая брошюра написана по материалам лекций, прочитанных автором на летней школе «Современная математика» в Дубне в июле 2013 года. Она рассчитана на старшеклассников и студентов младших курсов.
This document introduces asymptotic notation used to analyze the runtime of algorithms. Big O notation describes upper bounds on function growth, while Ω notation describes lower bounds. Functions are asymptotically equivalent (Θ) if they have matching upper and lower bounds. Limits can be used to establish relationships between asymptotic classes in some cases, but not always - examples show membership in a class does not necessarily imply limits exist.
Опечатки в слайдах на видео: в псевдокоде алгоритма решения непрерывной задачи о рюкзаке предметы должны сортироваться по убыванию (а не возрастанию) удельной стоимости.
- Определение чисел Фибоначчи, скорость роста
- Общая формула, экспоненциальная скорость роста
- Наивный алгоритм и анализ его времени работы
- Более быстрый алгоритм и анализ его времени работы, заключение
- Более детальный анализ алгоритма вычисления чисел Фибоначчи
- Определения O(⋅), преимущества и недостатки их использования для оценки времени работы алгоритмов
- Определения Ω(⋅),Θ(⋅),o(⋅), общие правила сравнения скорости роста стандартных функций
- Графики нескольких часто используемых функций
- Скорости часто используемых функций на практике, заключение
The document discusses the benefits of exercise for mental health. Regular physical activity can help reduce anxiety and depression and improve mood and cognitive function. Exercise causes chemical changes in the brain that may help protect against mental illness and improve symptoms.
Точечная оценка. Определение
Пример 1
Свойства точечных оценок
Несмещенность
Пример 2
Состоятельность
Эффективность
Асимптотическая нормальность
Робастность
Описательная статистика, цели. Вариационный ряд
Полигон частот
Гистограмма
Гистограмма, пример. Выбор числа интервалов
Выборочные характеристики
Характеристики положения и рассеяния
Выборочные характеристики двумерной выборки
Основные задачи математической статистики. Примеры задач
Выборка.Выборочное пространство. Примеры
Простой случайный выбор. Реальные виды выборов
Функция распределения выборки
Эмпирическая вероятностная мера
Теорема Гливенко-Кантелли
This document defines continuity and uniform continuity of functions. A function f is continuous on a set S if small changes in the input x result in small changes in the output f(x). A function is uniformly continuous if the same relationship holds for all inputs and outputs simultaneously, not just for a fixed input. Several examples are provided to illustrate the difference. The key difference is that a continuous function may depend on the specific input point, while a uniformly continuous function does not. Functions that satisfy a Lipschitz inequality are proven to be uniformly continuous.
This document discusses algorithms for solving the coin change problem of finding the minimum number of coins needed to make a given monetary value. It describes greedy, recursive, and dynamic programming approaches. The greedy algorithm works optimally for coin denominations of 10, 5, 1 by always selecting the highest value coin first. However, the greedy approach does not always give the optimal solution in general. Dynamic programming improves on the recursive solution by storing intermediate results in an array to avoid recomputing the same subproblems.
The document discusses recurrences and methods for solving them. It covers:
1) Divide-and-conquer algorithms can often be modeled with recurrences. Examples include merge-sort and matrix multiplication.
2) Common methods for solving recurrences are substitution, iteration/recursion trees, and the master method. The master method provides a general solution for recurrences of the form T(n) = aT(n/b) + nc.
3) Strassen's matrix multiplication algorithm improves on the naive O(n^3) time by using a recurrence with a=7 to achieve O(n^2.81) time via the master method. Changing variables can sometimes simplify recurrences.
Диаграммы Юнга, плоские разбиения и знакочередующиеся матрицыDEVTYPE
Сколько есть способов разбить натуральное число в сумму нескольких слагаемых, если суммы, отличающиеся только порядком слагаемых, считаются одинаковыми? Оказывается, что на этот, казалось бы, элементарный вопрос нет простого ответа. Зато теория, начинающаяся с этого вопроса, оказывается очень интересной, а ее результаты находят применение в самых разных разделах математики и математической физики.
Настоящая брошюра написана по материалам лекций, прочитанных автором на летней школе «Современная математика» в Дубне в июле 2013 года. Она рассчитана на старшеклассников и студентов младших курсов.
This document introduces asymptotic notation used to analyze the runtime of algorithms. Big O notation describes upper bounds on function growth, while Ω notation describes lower bounds. Functions are asymptotically equivalent (Θ) if they have matching upper and lower bounds. Limits can be used to establish relationships between asymptotic classes in some cases, but not always - examples show membership in a class does not necessarily imply limits exist.
Опечатки в слайдах на видео: в псевдокоде алгоритма решения непрерывной задачи о рюкзаке предметы должны сортироваться по убыванию (а не возрастанию) удельной стоимости.
- Определение чисел Фибоначчи, скорость роста
- Общая формула, экспоненциальная скорость роста
- Наивный алгоритм и анализ его времени работы
- Более быстрый алгоритм и анализ его времени работы, заключение
- Более детальный анализ алгоритма вычисления чисел Фибоначчи
- Определения O(⋅), преимущества и недостатки их использования для оценки времени работы алгоритмов
- Определения Ω(⋅),Θ(⋅),o(⋅), общие правила сравнения скорости роста стандартных функций
- Графики нескольких часто используемых функций
- Скорости часто используемых функций на практике, заключение
2. Сжатие данных
Вход: строка s.
Выход: бинарный код символов строки s,
обеспечивающий кратчайшее представление s.
Пример
s = abacabad
коды символов: a: 00, b: 01, c: 10, d: 11
закодированная строка: 0001001000010011 (16 битов)
2 / 10
4. Коды переменной длины
Естественная идея: присвоить более короткие коды
более частым символам.
s = abacabad
коды символов: a: 0, b: 10, c: 110, d: 111
закодированная строка: 01001100100111 (14 битов)
3 / 10
5. Коды переменной длины
Естественная идея: присвоить более короткие коды
более частым символам.
s = abacabad
коды символов: a: 0, b: 10, c: 110, d: 111
закодированная строка: 01001100100111 (14 битов)
Код называется беспрефиксным, если никакой код
символа не является префиксом другого кода
символа.
3 / 10
13. Код Хаффмана
Код Хаффмана
Вход: частоты символов f1, . . . , fn ∈ N.
Выход: строго двоичное дерево (у каждой вершины
либо ноль, либо два сына), листья которого
помечены частотами f1, . . . , fn,
минимизирующее
n∑︁
i=1
fi · (глубина листа fi ) .
5 / 10
17. Частоты для внутренних вершин
5+3+10=18
5+3=8
a21
b10
c5 d 3
Частотой (некорневой) вершины назовём количество раз,
которое вершина будет посещена в процессе
кодировки/декодировки.
6 / 10
18. Надёжный шаг
Таким образом, мы ищем строго двоичное дерево с
минимальной суммой пометок в вершинах, в котором
листья помечены входными частотами, а внутренние
вершины — суммами пометок их детей.
7 / 10
19. Надёжный шаг
Таким образом, мы ищем строго двоичное дерево с
минимальной суммой пометок в вершинах, в котором
листья помечены входными частотами, а внутренние
вершины — суммами пометок их детей.
Двумя наименьшими частотами помечены листья на
нижнем уровне.
7 / 10
20. Надёжный шаг
Таким образом, мы ищем строго двоичное дерево с
минимальной суммой пометок в вершинах, в котором
листья помечены входными частотами, а внутренние
вершины — суммами пометок их детей.
Двумя наименьшими частотами помечены листья на
нижнем уровне.
Надёжный жадный шаг: выбрать две минимальные
частоты fi и fj , сделать их детьми новой вершины с
пометкой fi + fj ; выкинуть частоты fi и fj , добавить
fi + fj .
7 / 10
25. Очередь с приоритетами
Insert(p) добавляет новый элемент с приоритетом p
ExtractMin() извлекает из очереди элемент с
минимальным приоритетом
9 / 10
26. Алгоритм
процедура Huffman(F[1 . . . n])
H ← очередь с приоритетами
для i от 1 до n:
Insert(H, (i, F[i]))
для k от n + 1 до 2n − 1:
(i, F[i]) ← ExtractMin(H)
(j, F[j]) ← ExtractMin(H)
создать вершину k с детьми i, j
F[k] = F[i] + F[j]
Insert(H, (k, F[k]))
10 / 10
27. Алгоритм
процедура Huffman(F[1 . . . n])
H ← очередь с приоритетами
для i от 1 до n:
Insert(H, (i, F[i]))
для k от n + 1 до 2n − 1:
(i, F[i]) ← ExtractMin(H)
(j, F[j]) ← ExtractMin(H)
создать вершину k с детьми i, j
F[k] = F[i] + F[j]
Insert(H, (k, F[k]))
Время работы: O(n2
), если очередь с приоритетами
реализована на базе массива, O(n log n) — если на базе
кучи (разберём в следующей лекции).
10 / 10
