プログラマのための線形代数再入門

プログラマのための線形代数再入門
∼行列・線形変換・アフィン変換∼
@taketo1024
2015/01/30 第1回プログラマのための数学勉強会

今日の内容
1. 行列の積
2. 線形変換とアフィン変換

行列の足し算
✓
3 5
4 10
◆
+
✓
3 4
5 8
◆
=
✓
3 + 3 5 + 4
4 + 5 10 + 8
◆
=
✓
6 9
9 18
◆

行列の掛け算
✓
3 5
4 10
◆ ✓
3 4
5 8
◆
=
✓
3 · 3 5 · 4
4 · 5 10 · 8
◆
=
✓
9 20
20 80
◆

行列の掛け算
✓
3 5
4 10
◆ ✓
3 4
5 8
◆
=
✓
3 · 3 5 · 4
4 · 5 10 · 8
◆
=
✓
9 20
20 80
◆
こうだったら簡単だったのに…

行列の掛け算
✓
3 5
4 10
◆ ✓
3 4
5 8
◆
=
✓
3 · 3 + 5 · 5 3 · 4 + 5 · 8
4 · 3 + 10 · 5 4 · 4 + 10 · 8
◆
=
✓
34 52
62 96
◆
これが正しい計算規則です。

行列の掛け算
✓
3 5
4 10
◆ ✓
3 4
5 8
◆
=
✓
3 · 3 + 5 · 5 3 · 4 + 5 · 8
4 · 3 + 10 · 5 4 · 4 + 10 · 8
◆
=
✓
34 52
62 96
◆

行列の掛け算
✓
3 5
4 10
◆ ✓
3 4
5 8
◆
=
✓
3 · 3 + 5 · 5 3 · 4 + 5 · 8
4 · 3 + 10 · 5 4 · 4 + 10 · 8
◆
=
✓
34 52
62 96
◆
ふぅ…

正直、3 3以上の行列計算は
地獄です。
（僕は必ず計算を間違うので気が狂いそうになる）

もんだい
• さの工場では車とトラックを製造しています。
• 車の製造には作業員3人、ロボット5台の稼働が必
要です。
• トラックの製造には作業員4人、ロボット8台の稼
働が必要です。
• さの工場で車を2台、トラックを3台製造するのに
必要な作業員とロボットの稼働はいくらでしょう？

こたえ
車2台： 2 （作業員：3人＋ロボット：5台）
トラック3台： 3 （作業員：4人＋ロボット：8台）
＋）
作業員ロボット
車 3人/台 5人/台
トラック 4台/台 8台/台

こたえ
＋）
作業員：（2 3 + 3 4) = 18人、

こたえ
＋）
作業員：（2 3 + 3 4) = 18人
ロボット：（2 5 + 3 8) = 34台

こたえ
＋）
作業員：（2 3 + 3 4) = 18人
ロボット：（2 5 + 3 8) = 34台こたえ

行列の積で書き直すと…

（ベクトルは縦に書かないの？は後で説明します）
車・トラック
作業員・ロボット
2 3
✓
3 5
4 8
◆
= 2 · 3 + 3 · 4 2 · 5 + 3 · 8
= 18 34

もんだい 2
• 作業員はサンドイッチを2個食べ、コーヒーを3杯
飲みます。
• ロボットはサンドイッチ6個、コーヒー10杯を燃
料として動きます。
• さの工場で車を2台、トラックを3台製造するのに
必要なサンドイッチとコーヒーはいくらでしょう？

こたえ
SW COFFEE
作業員 2個/人 3杯/人
ロボット 6個/台 10杯/台
✓
3 5
4 8
◆ ✓
2 3
6 10
◆

こたえ
2 3
✓
3 5
4 8
◆
= 18 34
SW COFFEE
トラック 4台/台 8台/台車・トラック作業員・ロボット

こたえ
2 3
✓
3 5
4 8
◆
= 18 34
18 34
✓
2 3
6 10
◆
= 240 394
SW COFFEE
トラック 4台/台 8台/台車・トラック作業員・ロボット
作業員・ロボット

こたえ
2 3
✓
3 5
4 8
◆
= 18 34
18 34
✓
2 3
6 10
◆
= 240 394
SW COFFEE
こたえ
車・トラック作業員・ロボット
サンドイッチ・コーヒー作業員・ロボット

まとめて書けば：
2 3
✓
3 5
4 8
◆ ✓
2 3
6 10
◆
= 18 34
✓
2 3
6 10
◆
= 240 394

2 3
✓
3 5
4 8
◆ ✓
2 3
6 10
◆
= 18 34
✓
2 3
6 10
◆
= 240 394先にこっちを計算すると…

2 3
✓
3 5
4 8
◆ ✓
2 3
6 10
◆
= 18 34
✓
2 3
6 10
◆
= 240 394
✓
3 5
4 8
◆ ✓
2 3
6 10
◆
=
✓
3 · 2 + 5 · 6 3 · 3 + 5 · 10
4 · 2 + 8 · 6 4 · 3 + 8 · 10
◆
=
✓
36 59
56 92
◆

2 3
✓
3 5
4 8
◆ ✓
2 3
6 10
◆
= 18 34
✓
2 3
6 10
◆
= 240 394
2 3
✓
36 59
56 92
◆
= 2 · 36 + 3 · 56 2 · 59 + 3 · 92
= 240 394

2 3
✓
3 5
4 8
◆ ✓
2 3
6 10
◆
= 18 34
✓
2 3
6 10
◆
= 240 394
2 3
✓
36 59
56 92
◆
= 2 · 36 + 3 · 56 2 · 59 + 3 · 92
= 240 394
同じ！

18 34
つまりこういうこと
✓
3 5
4 8
◆ ✓
2 3
6 10
◆
車・トラック作業員・ロボットサンドイッチ・コーヒー
52 95 240 394

18 34
つまりこういうこと
✓
3 5
4 8
◆ ✓
2 3
6 10
◆
52 95
✓
36 59
56 92
◆
一発でいける！
240 394

SW COFFEE
＝
SW COFFEE
車 36個/台 59杯/台
トラック 56個/台 92杯/台
✓
3 5
4 8
◆ ✓
2 3
6 10
◆
=
✓
36 59
56 92
◆
行列の掛け算は、対応表の合成になっていた！
打ち消しあう

もんだい 3
• では車を52台、トラックを95台製造するのに必要
なサンドイッチとコーヒーは？

こたえ
18 34 240 394
✓
3 5
4 8
◆ ✓
2 3
6 10
◆
52 95 … …

18 34
こたえ
✓
3 5
4 8
◆ ✓
2 3
6 10
◆
52 95 …
✓
36 59
56 92
◆
一発でいきましょう
240 394…

18 34
こたえ
✓
3 5
4 8
◆ ✓
2 3
6 10
◆
52 95 …
✓
36 59
56 92
◆
7192 11808
こたえ

行列の積は変換の合成と対応する形で
定義されていた！
x y x y A x y AB
A B
AB
あらかじめ積を計算しておけば、中間をすっ飛ばせる！

ちなみに数学ではベクトルを縦に書き、
行列を左から掛けることが多い
A B
✓
x
y
◆
A
✓
x
y
◆
BA
✓
x
y
◆
BA 順序に注意！
と書く場合はこっちの方が分かりやすいf(~x) = A~x

「転置」を取れば同じ計算になる
2 3
✓
3 5
4 8
◆ ✓
2 3
6 10
◆
= 240 394
✓
2 6
3 10
◆ ✓
3 4
5 8
◆ ✓
2
3
◆
=
✓
240
394
◆
左から作用
右から作用
… DirectX 系
… OpenGL 系

以後、変換について話すので後者の
スタイルで書きます。
（DirectX 系の人は脳内転置お願いします）

2. 線形変換とアフィン変換

線形変換
ベクトルの線形性（平行と比率）の保たれる変換
f

線形変換
… 和をバラせる
… 実数倍をバラせる
(
f(~x + ~y) = f(~x) + f(~y)
f(a · ~x) = a · f(~x)

✓
1
0
◆
,
✓
0
1
◆
の行き先だけで決まる！線形変換は
f
✓
1
0
◆
=
✓
ax
ay
◆
, f
✓
0
1
◆
=
✓
bx
by
◆
とすれば、
f
✓
x
y
◆
= f(x ·
✓
1
0
◆
+ y ·
✓
0
1
◆
)
= x · f
✓
1
0
◆
+ y · f
✓
0
1
◆
= x ·
✓
ax
ay
◆
+ y ·
✓
bx
by
◆
✓
x
y
◆
x
✓
1
0
◆
y
✓
0
1
◆
f
✓
x
y
◆
= x
✓
ax
ay
◆
+ y
✓
bx
by
◆
x
✓
ax
ay
◆
y
✓
bx
by
◆
f

その結果は行列とベクトルの積で書ける！
x
✓
ax
ay
◆
y
✓
bx
by
◆
f
✓
x
y
◆
= x
✓
ax
ay
◆
+ y
✓
bx
by
◆
=
✓
ax bx
ay by
◆ ✓
x
y
◆
f
✓
x
y
◆
=
✓
ax bx
ay by
◆ ✓
x
y
◆

つまり線形変換はの行き先を並べた行列で表現できる！
✓
1
0
◆
,
✓
0
1
◆
f
f
✓
x
y
◆
=
✓
ax bx
ay by
◆ ✓
x
y
◆
✓
1
0
◆
✓
0
1
◆
✓
ax
ay
◆
✓
bx
by
◆
… f の行列表示f

同様に3次元ベクトルの線形変換は、
3次行列との積で書ける
f
0
@
x
y
z
1
A = x
0
@
ax
ay
az
1
A + y
0
@
bx
by
bz
1
A + z
0
@
cx
cy
cz
1
A
=
0
@
ax bx cx
ay by cy
az bz cz
1
A
0
@
x
y
z
1
A
f
0
@
ax
ay
az
1
A
0
@
bx
by
bz
1
A
0
@
cx
cy
cz
1
A

線形変換の合成は行列の積に対応する
✓
x
y
◆
f
✓
x
y
◆
= A
✓
x
y
◆
g
✓
f
✓
x
y
◆◆
= BA
✓
x
y
◆
f g
g f : f と g の合成f g
左から作用

行列は線形変換の定量表現！

線形変換にはどんなものが
ある？

等倍・偏倍変換
A =
✓
a 0
0 b
◆
✓
1
0
◆
✓
0
1
◆
f
✓
a
0
◆
✓
0
b
◆

回転
A =
✓
cos✓ sin✓
sin✓ cos✓
◆
✓
1
0
◆
✓
0
1
◆
f
✓
cos ✓
sin ✓
◆
✓
sin ✓
cos ✓
◆

反転
A =
✓
1 0
0 1
◆
✓
1
0
◆
✓
0
1
◆
f
✓
0
1
◆
✓
1
0
◆

正射影
A =
✓
1 0
0 0
◆
✓
1
0
◆
✓
0
1
◆
f
✓
1
0
◆

平行移動…？
✓
1
0
◆
✓
0
1
◆
f
✓
p
q
◆

とならない変換は線形でない！
f
✓
0
0
◆
=
✓
0
0
◆
f
✓
0
0
◆
= f(
✓
0
0
◆
+
✓
0
0
◆
) = 2f
✓
0
0
◆
f
より、
でなければいけない。
f
✓
0
0
◆
=
✓
0
0
◆
✓
p
q
◆

xy 平面は xyz 空間の z=1 に浮いていると見る
✓
x
y
◆
✓
1
0
◆
✓
0
1
◆
0
@
0
0
1
1
A
0
@
x
y
1
1
A

xy平面の線形変換は、
z=1上で行われていると見る
0
@
ax bx 0
ay by 0
0 0 1
1
A
0
@
x
y
1
1
A =
0
@
✓
ax bx
ay by
◆ ✓
x
y
◆
1
1
A
z=1 のまま
の線形変換
✓
x
y
◆

一方、こういう3次行列を考えれば、
z=1 上の点の平行移動が表現できる！
0
@
1 0 p
0 1 q
0 0 1
1
A
0
@
x
y
1
1
A =
0
@
x + p
y + q
1
1
A
z=1 は固定されたまま！
✓
p
q
◆
平行移動

真横から見ると分かる！
x, y x, y
z z
z=1 z=1
0
@
1
0
0
1
A ,
0
@
0
1
0
1
A
0
@
0
0
1
1
A
0
@
1
0
0
1
A ,
0
@
0
1
0
1
A
0
@
p
q
1
1
A
: 不変
z=1ではxy平面の平行移動！
空間全体は線形変換
0
@
1 0 p
0 1 q
0 0 1
1
A

平面上の平行移動は線形ではないが、
空間内に埋め込めば線形変換として表現できる！

線形変換と平行移動を組み合わせたものを
「アフィン変換」という
0
@
1 0 p
0 1 q
0 0 1
1
A
0
@
ax bx 0
ay by 0
0 0 1
1
A
アフィン変換も一つ上の次元から見れば、
ただの線形変換！
線形変換平行移動

同様に xyz 空間も 4次元 xyzw 空間において、
w=1 上に浮いてると考えれば、
xyz空間
w
0
B
B
@
0
0
0
1
1
C
C
A
x, y, z

4次行列によって3次元空間の
線形変換・平行移動を表現できる！
0
B
B
@
ax bx cx 0
ay by cy 0
az bz cz 0
0 0 0 1
1
C
C
A
線形変換
0
B
B
@
1 0 0 p
0 1 0 q
0 0 1 r
0 0 0 1
1
C
C
A
平行移動

これに加えて、
「射影変換」も一つ上の次元の行列で表現できる
（需要があればまた次回）

3Dレンダリングの座標変換は、
全て4次元行列の積で表現できる！
オブジェクト座標ワールド座標スクリーン座標

まとめ
1. 行列は線形変換の定量表現
2. 行列の積は変換の合成に対応
3. 次数をあげれば平行移動も射影も表現できる

Thanks!
Twitter: @taketo1024 
Blog: http://taketo1024.hateblo.jp

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