1. «Пифагоровы числа»
Выполнил:
Пархоменко Дмитрий, ученик 8 класса
МКОУ «Усть-Калманская оош»
Тема проекта-«Пифагоровы числа».
Я выбрал эту тему, так как меня заинтересовала личность Пифагора – творца науки из далекого прошлого, которого благодарные потомки помнят и пользуются результатами его труда уже более двух с половиной тысяч лет.
Целью работы является детальное изучение «пифагоровых чисел», которые используются на практике.
План работы: Тему выбрал по той причине, что на уроках истории уже сталкивалась с именем ученого, и изучение теоремы хотелось связать с его личностью и историей его жизни. Сбор информации занял много времени, так как необходимо было проанализировать много фактического материала. Выполнить работу помогло составление подробного плана отчета.
Я начал работу со сбора информации о сайтах, посвященных Пифагору, в библиотеке нашел книги с описанием его жизни. Обобщив найденные факты, я составил рассказ о жизни Пифагора. Завершилась работа поисками пифагоровых чисел . Кроме чисел 3, 4, 5, существует, как известно, бесчисленное множество целых положительных чисел а, Ь, с, удовлетворяющих соотношению с2 =а2 + в2 . Далее я исследовала тройки взаимно простых пифагоровых чисел. Пифагоровы числа обладают вообще рядом любопытных особенностей.
2. 2
При решении задач на прямоугольные треугольники для подбора целочисленных значений сторон будет полезна таблица «Некоторые пифагоровы тройки чисел», которую я уже использовала на уроках геометрии. . В интернет источниках оказалось много толкований о пифагоровых тройках и различных фактов, поэтому нужно искать все новые подтверждения найденного. «Пифагоровы числа» Каждый треугольник, стороны которого относятся, как 3:4:5, согласно общеизвестной теореме Пифагора, — прямоугольный, так как 32 + 42 = 52. Кроме чисел 3, 4, 5, существует, как известно, бесчисленное множество целых положительных чисел а, Ь, с, удовлетворяющих соотношению с2 =а2 + в2 Они называются пифагоровыми числами. Согласно теореме Пифагора такие числа могут служить длинами сторон некоторого прямоугольного треугольника; поэтому а и Ь называют «катетами», а с — «гипотенузой». Ясно, что если а, Ь, с есть тройка пифагоровых чисел, то и ра, рЬ, рс, где р — целочисленный множитель, — пифагоровы числа. Обратно, если пифагоровы числа имеют общий множитель, то на этот общий множитель можно их все сократить, и снова получится тройка пифагоровых чисел. Поэтому будем вначале исследовать лишь тройки взаимно простых пифагоровых чисел (остальные получаются из них умножением на целочисленный множитель р) . Покажем, что в каждой из таких троек а, Ь, с один из «катетов» должен быть четным, а другой нечетным. Станем рассуждать «от противного». Если оба «катета» а и Ь четны, то четным будет число а2 + Ь2, а значит, и «гипотенуза». Это, однако, противоречит тому, что числа а, Ь, с не имеют общих множителей, так как три четных числа имеют общий множитель 2. Таким образом, хоть один из «катетов» а, Ь нечетен.
3. 3
Остается еще одна возможность: оба «катета» нечетные, а «гипотенуза» четная. Нетрудно доказать, что этого не может быть. В самом деле: если «катеты» имеют вид 2х+1 и 2у+1, то сумма их квадратов равна 4х2 + 4х + 1 +4у2+4у+1=4(х2+х+у2+у)+2, т. е. представляет собой число, которое при делении на 4 дает в остатке 2. Между тем квадрат всякого четного числа должен делиться на 4 без остатка. Значит, сумма квадратов двух нечетных чисел не может быть квадратом четного числа; иначе говоря, наши три числа — не пифагоровы. Итак, из «катетов» а, Ь один четный, а другой нечетный. Поэтому число а2 + в2 нечетно, а значит, нечетна и «гипотенуза» с. Предположим, для определенности, что нечетным является «катет» а, а четным в. Из равенства а2+в2=с2мы легко получаем: а2 = с2-в2 = (с+в)(с-в). Множители с + в и с-в, стоящие в правой части, взаимно просты. Действительно, если бы эти числа имели общий простой множитель, отличный от единицы, то на этот множитель делились бы и сумма ( с+в) + (с-в)=2с, и разность ( с+в) - (с-в) = 2в, и произведение (с+в)(с-в) = а 2. т. е. числа 2с, 2в и а имели бы общий множитель. Так как а нечетно, то этот множитель отличен от двойки, и потому этот же общий множитель имеют, числа а, Ь, с, чего, однако, не может быть. Полученное противоречие показывает, что числа с + в и с — в взаимно просты. Но если произведение взаимно простых чисел есть точный квадрат, то каждое из них является квадратом, т. е. с + в = m2, с - в = n2. Решив эту систему, найдем:
4. 4
c = m 2+ n2 2 b= m 2 _ n2 2 а2 = (с + в)(с - в) = m2 n2. Итак, рассматриваемые пифагоровы числа имеют вид a= тп, b= m 2 _ n2 2 c = m 2+ n2 2 где т и п — некоторые взаимно простые нечетные числа. Легко может убедиться и в обратном: при любых нечетных тип написанные формулы дают три пифагоровых числа а, Ь, с. Вот несколько троек пифагоровых чисел:
5. 5
(Все остальные тройки пифагоровых чисел или имеют общие множители, или содержат числа, большие ста.) Пифагоровы числа обладают вообще рядом любопытных особенностей, которые мы перечисляем далее без доказательств: 1) Один из «катетов» должен быть кратным трем. 2) Один из «катетов» должен быть кратным четырем. 3) Одно из пифагоровых чисел должно быть кратно пяти. Можно удостовериться в наличии этих свойств, просматривая приведенные выше примеры групп пифагоровых чисел. В самом деле: 32 + 42 = 52. Говоря иначе, числа 3. 4, 5 — корни уравнения х2 + у2 = z2. Сразу же возникает вопрос: нет ли у этого уравнения других целочисленных решений? Прямоугольными являются также треугольники со сторонами 5, 12, 13; 8, 15, 17; 7, 24, 25, что соответствует теореме, обратной к теореме Пифагора: 132 = 52+ 122; 172= 152 + 82; 252= = 24 2+ 72. Прямоугольные треугольники, у которых длины сторон выражаются целыми числами, называются пифагоровыми треугольниками. Можно доказать, что катеты а, в и гипотенуза с таких треугольников выражаются формулами: а = 2тп, в = т2 - п2, с = т2 + п2, где т и п — любые натуральные числа, такие, что т > п. При составлении задач на прямоугольные треугольники для подбора целочисленных значений сторон будет полезна данная ниже таблица. Некоторые пифагоровы тройки чисел т п 1 1 3 4 5 6 7 8 1 - 3,4,5 6,8,10 8,15,17 10.24,26 1 2,35,37 14,48,50, 16,63,65 2 - - 5,12,13 16,12.20 20,21.29 24,32,40 28,45,53 32,60,68
