Документ описывает проект 'Теорема Пифагора – основа евклидовой геометрии', разработанный учителем математики Татьяной Борисовной Михалевой для учащихся 8-9 классов. Цель проекта - исследование различных доказательств теоремы Пифагора и ее применения в науке и повседневной жизни, с акцентом на использование информационных технологий. Проект включает три этапа: подготовительный, основной и заключительный, с разнообразными методами обучения и оценивания результатов.

1. Проект «Теорема Пифагора – основа Евклидовой геометрии», автор: Михалева Татьяна
Борисовна учитель математики МОУ Усть-Калманская ООШ Усть-Калманского района Алтайского
края
Программа проекта
«Теорема Пифагора – основа Евклидовой геометрии»
Предметная область: математика
Участники : учащиеся 8,9 классов
Цели и задачи:
Цель: исследование различных доказательств и обобщений
теоремы Пифагора, а так же ее применение в разных областях науки и
деятельности человека.
Задачи исследования:
С помощью дополнительной литературы и Интернет сети познакомится с
открытиями и жизнью Пифагора и его последователей.
Используя различные научные источники изучить различные способы
доказательства теоремы Пифагора и ее обобщения.
Определить значение теоремы Пифагора для развития математики.
Краткая аннотация проекта
Данный проект поможет учащимся познакомиться с любопытными
геометрическими и историческими фактами, оригинальными подходами к
доказательству и применению теоремы Пифагора, с решением задач
имеющих широкий круг применения в курсах смежных дисциплин и
практической деятельности человека. В ходе исследования убедиться, что
теорема Пифагора является основой для многих выводов и обобщений в
«Евклидовой геометрии» и возможно отрыть свое оригинальное
доказательство теоремы.
Учащиеся будут иметь возможность находить необходимую информацию в
разных источниках, отличать главное от второстепенного. Уметь
планировать предстоящую работу в группе и индивидуально;
корректировать план в ходе формирующего оценивания работы.
Информационные технологии:
Сервисы Web.2.0. : среда Wiki, блоги ,сервисы для хранения закладок, документы
Google сервис для совместной работы над документами и др.
Направляющие вопросы проекта
Основополагающий вопрос
В чем заключается значение теоремы Пифагора для «Евклидовой
геометрии»?
Проблемные вопросы:
Почему мы до сих пор используем теорему Пифагора при решении и
доказательстве задач?

2. Проект «Теорема Пифагора – основа Евклидовой геометрии», автор: Михалева Татьяна
Борисовна учитель математики МОУ Усть-Калманская ООШ Усть-Калманского района Алтайского
края
Применяется ли теорема Пифагора в быту, технике, строительстве,
архитектуре?
Существуют ли обобщения теоремы Пифагора?
Учебные вопросы:
Что вы знаете о Пифагоре?
Что вы знаете о теореме Пифагора?
Какое ей можно дать истолкование, используя понятие площади?
Знаете ли вы другие доказательства теоремы Пифагора?
Какое из доказательств теоремы лучше и почему?
Какие задачи позволяет решать теорема Пифагора?
Какие обобщения теоремы Пифагора вы знаете?
Какие практические задачи вы можете решить с помощью ОТП?
План проекта
I. Подготовительный - «Мозговой штурм».
Подготовительный этап: Представление проблемной ситуации с помощью
мультимедийных средств. Распределение по группам. Выбор темы исследования
учащимися. Выбор творческого названия проекта. Основной этап: Выбор
творческого названия проекта. Разработка целей и задач. Обсуждение с
учащимися возможных источников информации, критериев оценки результата
исследования. Обсуждение предстоящих исследований Заключительный этап:
Обсуждение индивидуальных планов работы учащихся. Обсуждение
необходимого оборудования.
II. Основной - «Консультация в группах».
Подготовительный этап: Сбор, анализ и систематизация необходимой
информации. Советы педагога по усовершенствованию работы. Консультации по
сбору и обработки материала. Основной этап: Разрешение проблем, возникших в
ходе самостоятельной работы. Выдвижение и проверка гипотез. Оценка
промежуточных результатов. Мониторинг совместной деятельности.
Заключительный этап: Оформление макета или модели проекта.
III. Заключительный - «Конференция».
Подготовительный этап. Подготовка оборудования к показу работ. Подготовка
сценария проведения дискуссии. Подготовка устной презентации и защита
содержания проекта. Основной этап: Демонстрация творческих разработок
учащихся по группам. Защита содержания проекта. Обсуждение, оценка
актуальности. Заключительный этап: Оценка результатов деятельности
учащимися, одноклассниками, учителем. рефлексия: выдвижение,
прогнозирование новых проблем, вытекающих из полученных результатов.
2

3. Проект «Теорема Пифагора – основа Евклидовой геометрии», автор: Михалева Татьяна
Борисовна учитель математики МОУ Усть-Калманская ООШ Усть-Калманского района Алтайского
края
Содержание тем проекта «Теорема Пифагора –
основа Евклидовой геометрии»
ИКТ
Тема 1. Теорема Пифагора. Различные способы
доказательства теоремы Пифагора (2 ч.)
Историческая справка. Доказательства теоремы
Пифагора, основанные на понятии площади.
Алгебраические доказательства.
Занятие 1. Введение. Доказательства
теоремы Пифагора, основанные на понятии
площади. (1ч).
1. Учебное электронное
издание «Математика 5-11
классы. Практикум»,2002 г.
Доказательство теоремы Пифагора, основанные на
использовании равновеликости фигур, аддитивные
доказательства, доказательство методом
разложения квадратов на равные части;
доказательство методом достроения.
М е т о д ы о б у ч е н и я : лекция-беседа с
использованием приема активного слушания;
практическая работа в «Живой геометрии»,
обсуждение тем сообщений и рефератов;
исследовательский метод обучения,
обеспечивающий творческое применение знаний.
Ф о р м ы к о нтр о ля: проверка задач
самостоятельного решения, творческих заданий.
Занятие 2. Алгебраический метод
доказательства теоремы Пифагора. (1 ч).
М е т о д ы о б уч е н и я: лекция, учебная беседа с
использованием приема активного слушания;
обсуждение тем сообщений и рефератов;
выступления, практическая работа в «Живой
геометрии», проектирование собственных задач.
Ф о р м ы к о нт р о ля: Выступление учащихся с
докладами,
проверка рефератов, творческих заданий.
Тема 2. Применения теоремы Пифагора. (3 ч.)
Обратная теорема Пифагора. Пифагоровы числа.
Формула Герона. Решение задач.
Занятие 3. Обратная теорема Пифагора.
Пифагоровы числа. Решение задач. (1 ч).
М е т о д ы о б уч е н и я : объяснение, выполнение
тренировочных упражнений, обсуждение тем
сообщений и рефератов; выступления,
Ф о р м ы к о нт р о ля : Защита мини-проектов
решений задач,
самостоятельная работа.
3
2.Сайт о теореме
Пифагора с большим
числом доказательств"
Материал взят из книги
В.Литцмана, большое число
чертежей представлено в виде
отдельных графических файлов.
На этом сайте вы сможете найти
сведения об истории открытия и
доказательства теоремы
Пифагора, а так же о самом
Пифагоре. Здесь приведены около
30 различных доказательств этой
теоремы от древнейндийского
математика Басхары до
векторного доказательства. Вы
сможете узнать, как использовали
свойства и теорему
прямоугольного треугольника
древние египтяне, архитекторы
средневековья и как она
используется в наше время.
3."Теорема Пифагора на
wikipedia"
Материал из Википедии —
свободной энциклопедии Сайт о
теореме Пифагора с большим
числом доказательств теоремы.
Интерактивные чертежи.
4.«Теорема Пифагора»
В.Литцман,, 1960.
5.Задачи на применение
теоремы Пифагора
6.Блог"Банк заданий для
учащихся"
7.Пифагоровы числа.
8.Теорема Пифагора и
пифагоровы тройки глава из
книги Д. В. Аносова «Взгляд
на математику и нечто из
нее»

4. Проект «Теорема Пифагора – основа Евклидовой геометрии», автор: Михалева Татьяна
Борисовна учитель математики МОУ Усть-Калманская ООШ Усть-Калманского района Алтайского
края
Занятие 4. Формула Герона.
Вывод формулы Герона разными способами.
Формула Герона для иррациональных чисел.
Решение задач на применение формулы Герона.
(1 ч).
М е т о д ы о б у ч е н и я : с е м и н а р , работа в группах,
обсуждение тем сообщений и рефератов;
выступления, выполнение тренировочных упражнений.
Ф о р м ы к о нт р о л я: проверка рефератов,
докладов, проекты решения задач, проверка задач
самостоятельного решения.
Занятие 5. Решение задач на применение
теоремы Пифагора при геометрических
вычислениях; в смежных предметах; в
практической деятельности человека. (1 ч).
Методы обучения: объяснение, беседа с
активным участием учащихся;
проектирование собственных задач, выполнение тренировочных упражнений.
Ф о р м ы к о н т р о л я : проверка задач
самостоятельного решения, проекты решений задач.
Тема 3. Обобщения теоремы Пифагора.(3 ч.)
Теорема Пифагора, доказанная Евклидом в
«Началах». Обобщение теоремы Пифагора на
случай произвольного треугольника (теорема
косинусов). Доказательство теоремы Пифагора
через отношение площадей подобных фигур.
Луночки Гиппократа. Обобщение теоремы
Пифагора на случай произвольного треугольника,
на двух сторонах которого построены
параллелограммы (Теорема Паппа).
Стереометрические обобщения теоремы Пифагора
для тетраэдров и трехгранных углов.
Занятие 6. Теорема Пифагора, доказанная
Евклидом в «Началах», обобщение теоремы
Пифагора на случай произвольного
треугольника (теорема косинусов).
Применение теоремы косинусов для решения
задач. (1 ч).
М е т о д ы о б у ч е н и я : Лекция с мультимедиа
демонстрациями объяснение, выполнение тренировочных упражнений, практическая работа в
«Живой геометрии».
Ф о р м ы контроля: самостоятельная работа,
самоконтроль.
4
9.История теоремы
Пифагора
10.О теореме Пифагора и
способах ее доказательства
Г. Глейзер, академик РАО, Москва
11.Формула Герона
12.Теорема Пифагора,
доказанная Евклидом в
«Началах»,
13.Луночки Гиппократа.
14.Сайт математикалюбителя Мастерова А.В.
Обобщенная теорема Пифагоратеорема косинусов." теорему
косинусов школьникам нужно
преподносить именно как
обобщение теоремы Пифагора.
Это позволит учащимся перенести
практический опыт использования
теоремы Пифагора на теорему
Косинусов".

5. Проект «Теорема Пифагора – основа Евклидовой геометрии», автор: Михалева Татьяна
Борисовна учитель математики МОУ Усть-Калманская ООШ Усть-Калманского района Алтайского
края
Занятие 7. Доказательство теоремы
Пифагора через отношение площадей
подобных фигур.(1 ч.)
Рассматриваются доказательства теоремы
Пифагора через отношение площадей подобных
фигур. Луночки Гиппократа. Обобщение теоремы
Пифагора на случай произвольного треугольника,
на двух сторонах которого построены
параллелограммы (Теорема Паппа).
М е т о д ы о б у ч е н и я : Лекция с мультимедиа
демонстрациями, объяснение, выполнение тренировочных упражнений, практическая работа в
«Живой геометрии».
Ф о р м ы к о н т р о л я : проверка задач
самостоятельного решения, творческих заданий.
Занятие 8. Стереометрические обобщения
теоремы Пифагора для тетраэдров и
трехгранных углов. Решение задач. (1 ч).
Методы обучения: лекция-беседа,
выполнение тренировочных упражнений.
Ф о р м ы к о н т р о л я : проверка задач
самостоятельного решения.
Занятие 9-10. Подведение итогов. (2 ч).
Формы контроля: Защита проектов, творческих работ.
15. Учебное электронное
издание «Математика 5-11
классы. Практикум»,2002
г→теорема Пифагора→
Стереометрические обобщения
теоремы Пифагора для
тетраэдров и трехгранных углов
Общие методические рекомендации
Роль учителя в осуществлении учебной и проектно-исследовательской деятельности
учащихся состоит в консультационной работе, а также организации и координации
действий, учащихся при выполнении заданий. Ученикам предоставляется
возможность самостоятельного выбора объекта изучения, вида отчѐтных
работ(реферат, буклет, презентация, Wiki-статья и др.), источников информации и
литературы, по которой они будут готовить собственные работы.
Данный проект задает примерный объем знаний, умений и навыков, которыми и
должны овладеть школьники.
Учащиеся в ходе освоения данного проекта имеют возможность:
 научиться решать задачи более высокой по сравнению с обязательным
уровнем сложности;
 овладеть рядом технических и интеллектуальных умений на уровне их
свободного использования;
 провести
самостоятельный
поиск
информации,
необходимой
для
подтверждения или опровержения фактов;
 получить дополнительную информацию из материалов, которые либо входят в
учебное пособие к курсу, либо могут рассматриваться как сопровождающие
курс (видеоматериалы, информация Интернета);
5

6. Проект «Теорема Пифагора – основа Евклидовой геометрии», автор: Михалева Татьяна
Борисовна учитель математики МОУ Усть-Калманская ООШ Усть-Калманского района Алтайского
края
 провести самостоятельное исследование (индивидуально или в группе).
Средствами для осуществления этой работы являются задания, которые
предлагаются в дидактических материалах, а также темы исследований, рефератов,
докладов, эссе и сообщений на выбор учащихся.
Критерии оценивания работы в проекте «Теорема Пифагора – основа
Евклидовой геометрии»
Критерии оценивания работы в проекте
«Теорема Пифагора – основа Евклидовой геометрии»
Критерии
4
3
2
1
Содержание
исследования
Объяснение
темы
исследования
полное,
детализированое
и
завершеное.
Объяснение
темы
исследования
рассматривает
как
минимум два
аспекта, и
оно ясно.
Представление
результатов
исследования
демонстрирует
знание
и уместное
использование
основных
понятий и
концепций
учебной
темы
Объяснение
темы
исследования
не
полно, но
включает
аналитический
материал.
Представление
результатов
исследования
демонстрирует,
что
были
использованы
некоторые
понятия и
концепции
учебной
темы
Объяснение
темы
исследования
неполное и
неясное
Корректное
использование
терминов,
представление
исследования
легко понять
Корректное
использование
терминов, но
представление
исследования
иногда не
понятно.
Использование
жаргонизмов
В
исследовании
терминология
используются
некорректно
или очень
редко
Представление
относительно
интересно и
Манера
изложения
материала не
Манера
изложения
материала
Знания по теме Представление
результатов
теорема
исследования
Пифагора
демонстрирует
полное
и глубокое
понимание
основных
понятий и
концепций
учебной
темы
Использование Корректное
терминологии использование
терминов,
терминология
используется к
месту,
делая
представление
исследования
легко
понятным и
научным
Представление
Устная
интересно и
презентация
хорошо
6
Представление
результатов
исследования
демонстрирует
понимание
некоторых
понятий
учебный темы

7. Проект «Теорема Пифагора – основа Евклидовой геометрии», автор: Михалева Татьяна
Борисовна учитель математики МОУ Усть-Калманская ООШ Усть-Калманского района Алтайского
края
подготовлено,
манера
изложения
материала
удерживает
внимание
аудитории.
подготовлено,
манера
изложения
материала
обычно
удерживает
внимание
аудитории
Чертежей и
рисунков
достаточно
для объяснения
темы
исследования.
Чертежи и
рисунки ясны
и понятны
ровная,
но привлекает
внимание
аудитории
большую часть
времени.
неудачная,
и внимание
аудитории
потеряно.
Чертежи и
рисунки
недостаточно
ясно и
полно
иллюстрируют
исследование.
Рисунки и
чертежи
нечеткие
Чертежи и
рисунки не
понятны или
не
используются.
Графическое
представление
результатов
Ясно
иллюстрируют
чертежи и
рисунки к
теоремам и
задачам
по данной теме
Содержание
презентации
Описана
гипотеза,
поставлена
проблема,
отражена
структура
исследования.
Изложение
результатов
оригинально и
выводы
иллюстрируются
деталями и
примерами.
Есть ссылка на
источники
информации.
Описана
гипотеза,
поставлена
проблема,
отражена
структура
исследования.
Изложение
результатов
иллюстрируется
некоторыми
примерами. Есть
ссылка на
источники
информации.
Поставлена
проблема,
отражена
структура
исследования.
Примеров и
ссылок на
источники
недостаточно,
чтобы
подтвердить
результаты
исследования
Не выдержана
структура
исследования.
Выводы
отсутствуют или
не
подтверждаются
материалами
исследования.
Графика и
анимация в
презентации
Анимация
используется
умеренно, только
если
это требуется для
иллюстрации
содержания.
Графика
оптимизирована.
Тема раскрыта
полностью, статья
иллюстрирована,
прописаны ссылки
на
используемые
источники
информации,
Анимация
используется
умеренно.
Графика
оптимизирована
Анимация не
используется или
не
относится к
содержанию
слайдов
Графика
оптимизирована
Анимация не
используется или
не
относится к
содержанию
слайдов
Графика не
оптимизирована
Тема раскрыта,
соблюдены правила
вики-разметки,
имеются ссылки на
источники
информации
Тема раскрыта не
полностью, но
статья
освещает наиболее
важные аспекты
темы
Статья не
раскрывает
тему, нарушены
правила викиразметки
Содержание Wikiстатьи
7

8. Проект «Теорема Пифагора – основа Евклидовой геометрии», автор: Михалева Татьяна
Борисовна учитель математики МОУ Усть-Калманская ООШ Усть-Калманского района Алтайского
края
соблюдены правила
вики-разметки, в
статье
используются
внутренние ссылки.
.
Предполагается, что результатами освоения учащимися 8,9 классов данного
проекта, могут стать следующие умения:
1)
применять
приобретѐнные
геометрические
представления
и
алгебраические преобразования для описания и анализа закономерностей,
существующих в окружающем мире;
2)
проводить обобщения и открывать закономерности на основе анализа
частных примеров, эксперимента, выдвигать гипотезы и делать необходимые
проверки.
3)
уметь соотносить свою точку зрения с мнением авторитетных
источников, находить информацию в разнообразных источниках, обобщать и
систематизировать ее;
4)
уметь ясно и точно выражать свои мысли в устной и письменной речи.
5)
проводить самостоятельное исследование (индивидуально или в
группе).
Теоретические и практические результаты, полученные в ходе проведения
исследования:
1. Получены новые знания:
исторические сведения о жизни и открытиях Пифагора и его
последователей;
различные способы доказательства теоремы;
обобщения теоремы Пифагора;
историческая роль теоремы Пифагора в развитии математики.
2. Выдвинуты новые гипотезы и идеи:
теорема Пифагора послужила источником множества обобщений и идей в
области математики, в частности в теории чисел, геометрии,
тригонометрии, алгебре.
3. Созданы сборники:
сборник доказательств теоремы алгебраическими, геометрическими и
конструктивными методами.
сборник задач, в решении которых используется рассматриваемая теорема.
8

9. Проект «Теорема Пифагора – основа Евклидовой геометрии», автор: Михалева Татьяна
Борисовна учитель математики МОУ Усть-Калманская ООШ Усть-Калманского района Алтайского
края
На основании проведенного исследования и полученных результатов
учащиеся сделали выводы:
Теорема Пифагора – основа Евклидовой геометрии.
1. Теорема Пифагора позволяет находить длину отрезка (гипотенузы), не
измеряя его, она открывает путь с прямой на плоскость, с плоскости в
трѐхмерное пространство и дальше – в многомерное пространство.
Этим определяется еѐ исключительная важность для геометрии и
математики в целом.
2. Теорема Пифагора лежит в основе многих более общих метрических
соотношений на плоскости и в пространстве. В значительной мере на
неѐ опирается и тригонометрия.
3. Труды Пифагора можно считать отправным пунктом исследования
неопределенных алгебраических уравнений (диофантовых уравнений),
одно из которых известно нам, как теорема Ферма.
Учебно-методическое обеспечение
1. Александров А.Д. Геометрия 7-9. - М.: Просвещение, 2000.
2. Атанасян Л.С.,и др. Геометрия 7-9. - М.: Просвещение, 2004
3. Атанасян Л.С,и др. Методические рекомендации к учебнику геометрии в 7,
8, 9 классах: Кн. Для учителя - М.: Просвещение, 2004
4. Глейзер Г.И. История математики в школе. - М.:Просвещение,1964
5. Глейзер Г. Поговорим о теореме Пифагора. - Математика № 13,
Еженедельное приложение к газете Первое сентября.1996
6. Еленьский Ш. По следам Пифагора.- М.: Просвещение , 1960
7. Люберанский А.И. Что можно узнать из формулы Герона?. – Школа-Пресс.:
Журнал Математика в школе № 6, 1998.
8. Зив Б.Г. Задачи к урокам геометрии,7-11,- С.-Петербург.: НПО Мир и
семья,1996
9. Руденко В.Н., Бахурин Г.А. Геометрия 7-9. - М.: Просвещение, 2000
10. Скопец З.А. Геометрические миниатюры.- М.:Просвещение ,1990
9