Документ представляет собой работу ученицы 7в класса, посвященную прямоугольным треугольникам и теореме Пифагора. В нем рассматриваются основные свойства прямоугольных треугольников, доказательства теоремы разными математиками, а также исторические аспекты, связанные с Пифагором и его учением. Приводятся примеры, формулы и объяснения, обеспечивающие глубокое понимание темы.

1. Работа выполнена Ткачук Алёной Ученицей 7В класса Гимназии №1 Им. Иноземцева. Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора.

2. Что такое прямоугольный треугольник? Признаки равенства прямоугольных треугольников. Формула площади прямоугольного треугольника. История теоремы Пифагора. Теорема Пифагора. Доказательства Евклида, Хоукинса , Вальдхейма . Луночки Гиппократа. Доказательство 9 века. Прямоугольный треугольник, какой он?

3. Прямоугольным называется треугольник, у которого один из углов прямой. Это значит, что прямоугольный треугольник имеет две взаимно перпендикулярные стороны, называемые катетами; третья его сторона называется гипотенузой. По свойствам перпендикуляра и наклонных гипотенуза длиннее каждого из катетов (но меньше их суммы). Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна прямому углу. Две высоты прямоугольного треугольника совпадают с его катетами. Что такое прямоугольный треугольник? Гипотенуза Катет Катет

4. По катету и прилежащему острому углу  По катету и противолежащему острому углу  По гипотенузе и острому углу  По двум катетам AC=A1C1, AB=A1B1 По гипотенузе и катету AB=A1B1, AC=A1C1 Признаки равенства прямоугольных треугольников.

5. Формула площади треугольника Прямоугольный треугольник a, b — катеты; c — гипотенуза; h — высота, проведенная к стороне c. S = ab а b c h Формула площади прямоугольного треугольника.

6. Исторический обзор начнем с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5: "Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4" . В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары. Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3 ² + 4 ² = 5² было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея). История теоремы Пифагора.

7. Посмотрим на формулу теоремы Пифагора а²+в²=с² как на уравнение x²+ y ²= z ² с тремя неизвестными x , y , z . И попытаемся найти его целочисленные решения. Одно решение все хорошо знают (им пользовались древние при построении прямоугольного треугольника и прямого угла): 3, 4, 5 (32+42=52) . Можно научиться самим находить пифагоровы тройки чисел. Для этого нужно взять пару натуральных чисел m и n , удовлетворяющим следующим трем условиям: 1) m > n 2) одно из этих чисел m или n должно быть четным, а другое нечетным; 3) m и n – взаимно простые числа (т. е. не имеют общего делителя, кроме 1 ) Если такие числа m и n выбраны, то тройка пифагоровых чисел x , y и z находится следующим образом: x = m ²- n ² y =2 mn z = m ²+ n ² Допустим, что взяты m =6, n =5 (эти числа удовлетворяют условиям 1-3 ), тогда x =6²-5²=11, y =2·6·5=60, z =6²+5²=61. Теорема Пифагора.

8. Пифагор происходил из аристократического рода, ведущего свою родословную от мифического Геракла. Уроженец острова Самос, он принимал участие в политической борьбе аристократов и демократии на стороне аристократии и вынужден был бежать в Италию, где основал тайный союз. В политической борьбе союз был разгромлен а Пифагор, по одним сведениям, был убит, по другим – умер в новом изгнании. Однако пифагорейская школа продолжала существовать и после смерти учителя. письменных документов о Пифагоре Самосском не осталось, а по более поздним свидетельствам трудно восстановить подлинную картину его жизни и достижений. Известно, что Пифагор покинул свой родной остров Самос в Эгейском море у берегов Малой Азии в знак протеста против тирании правителя и уже в зрелом возрасте (по преданию 40 лет) появился в греческом городе Кротоне на юге Италии. Пифагор и его последователи – пифагорейцы – образовали тайный союз, игравший не малую роль в жизни греческой колонии в Италии. Пифагорейцы узнавали друг друга по звездчатому пятиугольнику-пентаграмме. На учение Пифагора большое влияние оказала философия и религия Древнего Востока. Он много путешествовал по странам Востока: был в Египте и в Вавилоне. Там Пифагор познакомился и с восточной математикой. Математика стала частью его учения, и важнейшей часть. Суть истины вся в том, что нам она - навечно, Когда хоть раз в прозрении ее увидим свет, И теорема Пифагора через столько лет Для нас, как для него, бесспорна, безупречна. На радостям богам был Пифагором дан обед: За то, что мудрости коснулся бесконечной, Он сто быков загнал, благодаря предвечных; Моленья и хвалы вознес он жертве вслед. С тех пор быки, когда учуят, тужась, Что к новой истине людей опять подводит след, Ревут остервенело, так что слушать мочи нет, - Такой в них Пифагор вселил навеки ужас, Быкам, бессильным новой правде противостоять, Что остается? – Лишь, глаза закрыв, реветь, дрожать О теореме Пифагора.

9. Доказательство Евклида Доказательство Хоукинсa . Доказательство Вальдхейма . Доказательства Евклида, Хоукинса, Вальдхейма.

10. Пусть квадрат, построенный на одном из катетов (на рисунке это квадрат, построенный на большем катете), расположен с той же стороны катета, что и сам треугольник. Тогда продолжение противоположной катету стороны этого квадрата проходит через вершину квадрата, построенного на гипотенузе. Доказательство в этом случае оказывается совсем простым, т. к. здесь достаточно сравнить площади интересующих нас фигур с площадью одного треугольника(он заштрихован) - площадь этого треугольника равна половине площади квадрата и одновременно половине площади прямоугольника Доказательство Евклида.

11. Доказательство, которое имеет вычислительный характер. Оно опубликовано англичанином Хоукинсом в 1909 году; было ли оно известно до этого трудно сказать. Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C повернем на 90° так, чтобы он занял положение A'CB'. Продолжим гипотенузу A'В' за точку A' до пересечения с линией АВ в точке D. Отрезок В'D будет высотой треугольника В'АВ. Рассмотрим теперь заштрихованный четырехугольник A'АВ'В. Его можно разложить на два равнобедренных треугольника САA' и СВВ' (или на два треугольника A'В'А и A'В'В). SCAA'=b²/2 SCBB'=a²/2 SA'AB'B=(a²+b²)/2 Треугольники A'В'А и A'В'В имеют общее основание с и высоты DA и DB, поэтому : SA'AB'B=c*DA/2+ c*DB/2=c(DA+DB)/2=c²/2 Сравнивая два полученных выражения для площади, получим: a²+b²=c² Теорема доказана. Доказательство Хоукинса.

12. Это доказательство также имеет вычислительный характер. Можно использовать рисунки для доказательства основанного на вычислении площадей двумя способами. Для того чтобы доказать теорему пользуясь первым рисунком достаточно только выразить площадь трапеции двумя путями. S трапеции =( a + b )²/2 S трапеции = a ² b ²+ c ²/2 Приравнивая правые части получим: a²+b²=c² Теорема доказана. Доказательство Вальдхейма.

13. Гиппократ Хиосский (вторая половина пятого века до н. э., Афины) занимался квадратурой луночек. Он называл луночкой часть плоскости, ограниченную двумя дугами окружностей. Наше предложение в том виде, как оно будет здесь сформулировано, не встречается у самого Гипократа, который нашел квадратуру только для некоторых луночек. Во всей общности теорему доказал араб Ибн Альхаитам: "Если на гипотенузе прямоугольного треугольника как на диаметре описать полуокружность, лежащую с той же стороны гипотенузы, что и сам треугольник, то она пройдет через вершину прямого угла.« Эту теорему греки приписывали Фалесу Милетскому, но в действительности ее знали еще древние вавилоняне. Луночки Гиппократа.

14. На рисунке квадраты, построенные на катетах, размещены ступенями один рядом с другим. Эту фигуру, которая встречается в доказательствах, датируемых не позднее, чем 9 столетием н. э., индусы называли "стулом невесты" . Способ построения квадрата со стороной, равной гипотенузе, ясен из чертежа. Общая часть двух квадратов, построенных на катетах, и квадрата, построенного на гипотенузе, - неправильный заштрихованный пятиугольник 5. Присоединив к нему треугольники 1 и 2, получим оба квадрата, построенные на катетах; если же заменить треугольники 1 и 2 равными им треугольниками 3 и 4, то получим квадрат, построенный на гипотенузе. На рисунках ниже изображены два различных расположения близких к тому, которое дается на первом рисунке. Доказательство 9 века