Документ посвящен движению твердого тела с неподвижной точкой по инерции, рассматривая динамические уравнения и их аналитические решения в частных случаях, включая случай Эйлера. Включены обсуждения первых интегралов движения, полодий и устойчивости вращений вокруг главных осей инерции. Освещаются математические интерпретации и уравнения, связанные с эллиптическими функциями и свойствами инерции твердого тела.

1. Самарский государственный аэрокосмический университет
им. академика С. П. Королёва
(национальный исследовательский университет)
Кафедра теоретической механики
Движение твёрдого тела с неподвижной точкой по инерции
(случай Эйлера)
курс “Динамика твёрдого тела и систем тел”
Юдинцев В. В. yudintsev@termech.ru

2. Уравнения движения
Решения уравнений движения твёрдого тела
Динамические уравнения движения тела вокруг центра масс:

 Jx ωx − (Jy − Jz )ωy ωz = Mx ,
 ˙
Jy ωy − (Jz − Jx )ωz ωx = My ,
˙


Jz ωz − (Jx − Jy )ωx ωy = Mz .
˙
(1)
Для уравнений (1) найдены аналитические решения только для
нескольких частных случаев [1]:
Случай Эйлера;
Случай Лагранжа;
Случай Ковалевской;
Случай Горячева-Чаплыгина;
Случай Гесса.
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Эйлера
24 ноября 2013 г.
1 / 51

3. Уравнения движения
Случай Эйлера
Главный момент внешних сил равен нулю.
˙
J · ω + ω × J · ω = 0;
(2)
скалярная форма уравнений:

 Jx ωx − (Jy − Jz )ωy ωz = 0,
 ˙
Jy ωy − (Jz − Jx )ωz ωx = 0,
˙


Jz ωz − (Jx − Jy )ωx ωy = 0.
˙
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Эйлера
(3)
24 ноября 2013 г.
2 / 51

4. Первые интегралы
Первые интегралы
Интеграл энергии:
˙
ω · (J · ω + ω × J · ω) = 0
⇒
˙
ω·J·ω =0
⇒
(ω · J · ω) = 2T = const
(4)
Интеграл кинетического момента:
˙
J · ω · (J · ω + ω × J · ω) = 0
⇒
˙
J·ω·J·ω =0
⇒
(J · ω)2 = L2 = const
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Эйлера
(5)
24 ноября 2013 г.
3 / 51

5. Первые интегралы
Скалярная форма первых интегралов
Интеграл энергии:
2
2
2
Jx ωx + Jy ωy + Jz ωz = 2T
(6)
Интеграл кинетического момента:
2 2
2 2
2 2
Jx ωx + Jy ωy + Jz ωz = L2 = 2DT
(7)
Выражения (6) и (7) определяют в главной центральной системе
координат тела два эллипсоида.
Ax2 + By 2 + Cz 2 = H 2
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Эйлера
24 ноября 2013 г.
4 / 51

6. Полодии
Полодии [2]
Линии пересечения эллипсоида
энергии и эллипсоида инерции
определяют полодии –
геометрическое место вектора
угловой скорости.
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Эйлера
24 ноября 2013 г.
5 / 51

7. Полодии
Пределы изменения величины D (Jz < Jy < Jx )
Умножим интеграл энергии (6) на Jx и вычтем из интеграла
кинетического момента (7):
2
2
2
2 2
2 2
2 2
Jx (Jx ωx + Jy ωy + Jz ωz ) − Jx ωx − Jy ωy − Jz ωz = 2Jx T − 2DT
2
2
Jy (Jx − Jy )ωy + Jz (Jx − Jz )ωz = 2T (Jx − D)
(8)
(9)
Умножим интеграл энергии (6) на Jz и вычтем из интеграла
кинетического момента (7):
2
2
2 2
2 2
2 2
2
Jz (Jx ωx + Jy ωy + Jz ωz ) − Jx ωx − Jy ωy − Jz ωz = 2Jx T − 2DT
2
2
Jx (Jx − Jz )ωx + Jy (Jy − Jz )ωy = 2T (D − Jz )
(10)
(11)
Левая часть (11) и (9) всегда больше нуля, поэтому
Jz ≤ D ≤ Jx ,
Кафедра ТМ (СГАУ)
(12)
(Jz < Jy < Jx )
Случай Эйлера
24 ноября 2013 г.
6 / 51

8. Полодии
Уравнения полодий
Умножая интеграл энергии на Jx , Jz , Jy и вычитая результат из
интеграла кинетического момента, получим три уравнения
полодий для трех плоскостей:
yz :
2
2
Jy (Jx − Jy )ωy + Jz (Jx − Jz )ωz = 2T (Jx − D)
(13)
xy :
2
Jx (Jx − Jz )ωx
2
Jx (Jx − Jy )ωx
= 2T (D − Jz )
(14)
= 2T (D − Jy )
(15)
xz :
+
−
2
Jy (Jy − Jz )ωy
2
Jz (Jy − Jz )ωz
Уравнения (14) и (13) – уравнение эллипсов.
Уравнение (15) – уравнение гипербол.
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Эйлера
24 ноября 2013 г.
7 / 51

9. Полодии
Полодии
Значениям
D = Jx ,
D = Jy ,
D = Jz
соответсвуют оси перманентного
вращения, совпадающие с
главными осями инерции x2 , y2 и
z2 соответственно.
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Эйлера
24 ноября 2013 г.
8 / 51

10. Полодии
Полодии
Значению D = Jy отвечают две
особые полодии – сепаратрисы,
разделяющие другие полодии на
четыре области.
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Эйлера
24 ноября 2013 г.
9 / 51

11. Полодии
Полодии
Полодиии, охватывающие ось z2
(D < Jy ).
Кафедра ТМ (СГАУ)
Полодиии, охватывающие ось x2
(D > Jy ).
Случай Эйлера
24 ноября 2013 г.
10 / 51

12. Геометрическая интерпретация Пуансо
Геометрическая интерпретация
Проекция вектора угловой скорости тела на направление кинетического
момента постоянна:
ω · (J · ω) = 2T = const.
(16)
Любое приращение вектора угловой скорости перпендикулярно вектору
L:
L · ∆ω = 0.
(17)
Уравнение (17) определяет в инерциальном пространстве неизменную
плоскость. Расстояние от центра эллипсоида энергии до плоскости –
2T /L
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Эйлера
24 ноября 2013 г.
11 / 51

13. Геометрическая интерпретация Пуансо
Геометрическая интерпретация
Движение твёрдого тела вокруг неподвижной точки можно
представить как качение эллипсоида энергии тела по неизменяемой
плоскости, при этом геометрический центр эллипсоида энергии
закреплен на расстоянии 2T /L выше этой плоскости [2].
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Эйлера
24 ноября 2013 г.
12 / 51

14. Устойчивость вращений вокруг главных осей

15. Устойчивость вращений вокруг главных осей
Вращение вокруг оси x2 (Jz < Jy < Jx )
Рассмотрим твёрдое тело, вращающееся вокруг главной оси с
максимальным моментом инерции – x2 , с угловой скоростью ω0 .
Пусть проекции угловой скорости получили малые возмущения:
ωx = ω0 + δx , ωy = 0 + δy , ωz = 0 + δz .
Уравнения движения
 ˙
 Jx δx − (Jy − Jz )δy δz = 0,

˙
J δ − (Jz − Jx )δz (ω0 + δx ) = 0,
 y y
 ˙
Jz δz − (Jx − Jy )δy (ω0 + δx ) = 0.
(18)
δ∗ δ∗ → 0.
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Эйлера
24 ноября 2013 г.
14 / 51

16. Устойчивость вращений вокруг главных осей
Вращение вокруг оси x2 (Jz < Jy < Jx )
Пренебрегая малыми второго порядка, получим:
 ˙
 Jx δx = 0,

˙
J δ − (Jz − Jx )δz ω0 = 0,
 y y
 ˙
Jz δz − (Jx − Jy )δy ω0 = 0.
(19)
Из 1-го уравнения следует: δx = const.
Из 2-го и 3-го уравнений следует:
2
¨
Jy δy − ω0
2
¨
Jz δz − ω0
Кафедра ТМ (СГАУ)
(Jz − Jx )(Jx − Jy )
δy = 0.
Jz
(Jz − Jx )(Jx − Jy )
δz = 0.
Jy
Случай Эйлера
24 ноября 2013 г.
15 / 51

17. Устойчивость вращений вокруг главных осей
Вращение вокруг оси x2 (Jz < Jy < Jx )
2 (Jx − Jz )(Jx − Jy )
¨
δy + ω0
δy = 0.
Jy Jz
(20)
2 (Jx − Jz )(Jx − Jy )
¨
δz + ω0
δz = 0.
Jy Jz
(21)
Вид решений линейных уравнений (20) и (21) зависит от знака
множителя при δy и δz . При Jz < Jy < Jx :
2
ω0
(Jx − Jz )(Jx − Jy )
> 0,
Jy Jz
следовательно решения (20) и (21) имеют вид:
δy = ay sin(λt + εy ),
δz = az sin(λt + εz )
Вращение вокруг оси x2 устойчиво.
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Эйлера
24 ноября 2013 г.
16 / 51

18. Устойчивость вращений вокруг главных осей
Вращение вокруг оси z2 (Jz < Jy < Jx )
Для вращения вокруг оси с минимальным моментом инерции:
2 (Jy − Jz )(Jx − Jz )
¨
δx + ω0
δx = 0.
Jx Jy
(22)
2 (Jy − Jz )(Jx − Jz )
¨
δy + ω0
δy = 0.
Jx Jy
(23)
При Jz < Jy < Jx :
2
ω0
(Jx − Jz )(Jx − Jy )
> 0,
Jy Jz
следовательно решения (22) и (23) имеют вид:
δx = ax sin(λt + εx ),
δy = ay sin(λt + εy )
Вращение вокруг оси z2 устойчиво.
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Эйлера
24 ноября 2013 г.
17 / 51

19. Устойчивость вращений вокруг главных осей
Вращение вокруг оси y2 (Jz < Jy < Jx )
Рассмотрим твёрдое тело, вращающееся вокруг главной оси со
средним моментом инерции – y2 , с угловой скоростью ω0 .
Пусть проекции угловой скорости получили малые возмущения:
ωx = 0 + δx , ωy = ω0 + δy , ωz = 0 + δz .
Уравнения движения
 ˙
 Jx δx − (Jy − Jz )(ω0 + δy )δz = 0,

˙
J δ − (Jz − Jx )δz δx = 0,
 y y
 ˙
Jz δz − (Jx − Jy )δx (ω0 + δy ) = 0.
(24)
δ∗ δ∗ → 0.
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Эйлера
24 ноября 2013 г.
18 / 51

20. Устойчивость вращений вокруг главных осей
Вращение вокруг оси y2 (Jz < Jy < Jx )
Пренебрегая малыми второго порядка, получим:
 ˙
 Jx δx − (Jz − Jx )δz ω0 = 0,

˙
J δ = 0,
 y y
 ˙
Jz δz − (Jx − Jy )δx ω0 = 0.
(25)
Из 2-го уравнения следует: δy = const.
Из 1-го и 3-го уравнений следует:
2 (Jz − Jy )(Jx − Jy )
¨
δx + ω0
δx = 0.
Jx Jz
2 (Jz − Jy )(Jx − Jy )
¨
δz + ω0
δz = 0.
Jx Jz
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Эйлера
24 ноября 2013 г.
19 / 51

21. Устойчивость вращений вокруг главных осей
Вращение вокруг оси y2 (Jz < Jy < Jx )
2 (Jz − Jy )(Jx − Jy )
¨
δx + ω0
δx = 0.
Jx Jz
(26)
2 (Jz − Jy )(Jx − Jy )
¨
δz + ω0
δz = 0.
Jx Jz
(27)
При Jz < Jy < Jx :
2
ω0
(Jz − Jy )(Jx − Jy )
< 0,
Jx Jz
следовательно решения (26) и (27) имеют вид:
δx = C1 eλt + C2 e−λt ,
δy = C3 eλt + C4 e−λt
Вращение вокруг оси y2 неустойчиво.
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Эйлера
24 ноября 2013 г.
20 / 51

22. Интегрирование уравнений движения

23. Интегрирование уравнений движения
Эллиптические функции
Эллиптический интеграл
Неполный эллиптическиий интеграл Лежандра первого рода:
ϕ
dθ
F (ϕ, m) = u =
1 − m sin2 θ
0
, 0 ≤ m ≤ 1;
(28)
в форме Якоби:
x
F (x, m) =
dz
(1 − z 2 )(1 − mz 2 )
0
.
(29)
Полный эллиптическиий интеграл Лежандра первого рода:
π/2
K(m) = F (π/2, m) = u =
dθ
1 − m sin2 θ
0
, 0 ≤ m ≤ 1; (30)
в форме Якоби:
1
K(m) =
0
Кафедра ТМ (СГАУ)
dz
(1 −
Случай Эйлера
z 2 )(1
− mz 2 )
.
24 ноября 2013 г.
(31)
22 / 51

24. Интегрирование уравнений движения
Эллиптические функции
Эллиптические функции
Для интеграла
ϕ
dθ
F (ϕ, m) = u =
1 − m sin2 θ
0
, 0≤m≤1
определены следующие эллиптические функции Якоби:
синус-амплитуда
sn u = sin ϕ
(32)
cn u = cos ϕ
(33)
косинус-амплитуда
дельта-амплитуда
dn u =
Кафедра ТМ (СГАУ)
1 − m cos2 ϕ
Случай Эйлера
(34)
24 ноября 2013 г.
23 / 51

25. Определение угловых скоростей

26. Интегрирование уравнений движения
Определение угловых скоростей
Определение угловых скорости ωx , ωz
Из уравнений
2
2
yz : Jy (Jx − Jy )ωy + Jz (Jx − Jz )ωz = 2T (Jx − D),
xy : Jx (Jx −
2
Jz )ωx
+ Jy (Jy −
2
Jz )ωy
= 2T (D − Jz )
(35)
(36)
получим выражения для угловых скоростей ωx , ωz
Jy (Jy − Jz ) 2
2
(a − ωy ),
Jx (Jx − Jz )
Jy (Jx − Jy ) 2
2
2
ωz =
(b − ωy ),
Jz (Jx − Jz )
2
ωx =
(37)
(38)
где
a2 =
Кафедра ТМ (СГАУ)
2T (D − Jz )
,
Jy (Jy − Jz )
b2 =
Случай Эйлера
2T (Jx − D)
.
Jy (Jx − Jy )
24 ноября 2013 г.
(39)
25 / 51

27. Интегрирование уравнений движения
Определение угловых скоростей
Случай D < Jy , a2 < b2
После подстановки
2
ωx =
Jy (Jy − Jz ) 2
Jy (Jx − Jy ) 2
2
2
2
(a − ωy ) и ωz =
(b − ωy ),
Jx (Jx − Jz )
Jz (Jx − Jz )
в
Jy ωy = (Jz − Jx )ωz ωx
˙
получим:
dωy
2
2
(a2 − ωy )(b2 − ωy )
Кафедра ТМ (СГАУ)
= ±(t − t0 )
Случай Эйлера
(Jx − Jy )(Jy − Jz )
Jx Jz
24 ноября 2013 г.
(40)
26 / 51

28. Интегрирование уравнений движения
Определение угловых скоростей
Случай D < Jy , a2 < b2
dωy /a
(1 −
2
ωy /a2 )(1
−
2
ωy /b2 )
= ±b(t − t0 )
(Jx − Jy )(Jy − Jz )
Jx Jz
(41)
После замен
x=
ωy
a
, k = , τ = (t − t0 )
a
b
2T (Jx − D)(Jy − Jz )
Jx Jy Jz
уравнение (41) принимает вид:
dx
(1 −
Кафедра ТМ (СГАУ)
x2 )(1
− k 2 x2 )
Случай Эйлера
= ±τ
(42)
24 ноября 2013 г.
27 / 51

29. Интегрирование уравнений движения
Определение угловых скоростей
Случай D < Jy , a2 < b2
dx
(1 −
x2 )(1
− k 2 x2 )
= ±τ
(43)
Решение (43) в эллиптических функциях Якоби:
x = ± sn τ
Кафедра ТМ (СГАУ)
→
ωy = ±
Случай Эйлера
2T (D − Jz )
sn τ
Jy (Jy − Jz )
24 ноября 2013 г.
(44)
28 / 51

30. Интегрирование уравнений движения
Определение угловых скоростей
Случай D < Jy , a2 < b2
Подставляя (44) в
2
ωx =
Jy (Jy − Jz ) 2
Jy (Jx − Jy ) 2
2
2
2
(a − ωy ) и ωz =
(b − ωy ),
Jx (Jx − Jz )
Jz (Jx − Jz )
с учётом тождеств
sn2 τ + cn2 τ = 1,
dn2 τ + k 2 sn2 τ = 1,
решения для проекций ωx , ωz будут иметь вид:
ωx = ±
2T (D − Jz )
cn τ,
Jx (Jx − Jz )
Кафедра ТМ (СГАУ)
ωz = ±
Случай Эйлера
2T (Dx − D)
dn τ.
Jz (Jx − Jz )
24 ноября 2013 г.
(45)
29 / 51

31. Интегрирование уравнений движения
Определение угловых скоростей
Случай D < Jy , a2 < b2
ωx = ±
2T (D − Jz )
cn τ,
Jx (Jx − Jz )
(46)
ωy = ±
2T (D − Jz )
sn τ,
Jy (Jy − Jz )
(47)
ωz = ±
2T (Jx − D)
dn τ.
Jz (Jx − Jz )
(48)
где
k=
τ = (t − t0 )
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Эйлера
a
,
b
2T (Jx − D)(Jy − Jz )
Jx Jy Jz
24 ноября 2013 г.
30 / 51

32. Интегрирование уравнений движения
Определение угловых скоростей
Случай D > Jy , a2 > b2
ωx = ±
2T (D − Jz )
cn τ,
Jx (Jx − Jz )
(49)
ωy = ±
2T (Jx − D)
sn τ,
Jy (Jx − Jy )
(50)
ωz = ±
2T (Jx − D)
dn τ.
Jz (Jx − Jz )
(51)
где:
k=
τ = (t − t0 )
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Эйлера
b
,
a
2T (Jx − Jy )(D − Jz )
.
Jx Jy Jz
24 ноября 2013 г.
31 / 51

33. Интегрирование уравнений движения
Определение угловых скоростей
Случай D = Jy , a = b
Если a = b, то k = 1 и эллиптический интеграл упрощается
dx
(1 −
x2 )(1
dx
= ±τ
1 − x2
→
Кафедра ТМ (СГАУ)
−
= ±τ
→
x = ± th τ
→
kx2 )
Случай Эйлера
dx
= ±τ
1 − x2
ωy = ±
2T
th τ
Jy
24 ноября 2013 г.
(52)
(53)
32 / 51

34. Интегрирование уравнений движения
Определение угловых скоростей
Случай D = Jy , a = b
ωx = ±
2T (Jy − Jz ) 1
,
Jx (Jx − Jz ) ch τ
(54)
ωy = ±
2T
th τ,
Jy
(55)
ωz = ±
2T (Jx − Jy ) 1
.
Jz (Jx − Jz ) ch τ
(56)
где:
eτ + e−τ
,
2
e2τ − 1
th τ = 2τ
.
e +1
ch τ =
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Эйлера
24 ноября 2013 г.
33 / 51

35. Интегрирование кинематических уравнений

36. Интегрирование кинематических уравнений
Случай D < Jy
Кинематические уравнения (D < J2 )
Проекции вектора кинетического
момента L на оси связанной
системы координат:

 Lx = L sin ϑ sin ϕ,

Ly = L sin ϑ cos ϕ,
(57)


Lz = L cos ϑ.
Выражения для проекций вектора
L в главных осях инерции:

 Lx = Jx ωx ,

Ly = Jy ωy ,
(58)


Lz = Jz ωz .
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Эйлера
24 ноября 2013 г.
35 / 51

37. Интегрирование кинематических уравнений
Случай D < Jy
Кинематические уравнения

 Jx ωx = L sin ϑ sin ϕ,

Jy ωy = L sin ϑ cos ϕ,


Jz ωz = L cos ϑ.
(59)
Угол нутации:
cos ϑ =
Jz ωz
L
(60)
Jx ωx
Jy ωy
(61)
Угол собственного вращения:
tan ϕ =
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Эйлера
24 ноября 2013 г.
36 / 51

38. Интегрирование кинематических уравнений
Случай D < Jy
Определение угла прецессии
Из кинематического уравнения
˙
ωz = ψ cos ϑ + ϕ
˙
(62)
выражается производная угла прецессии
ωz − ϕ
˙
L
˙
=
ψ=
cos ϑ
Jz
1−
ϕ
˙
ωz
.
(63)
Jz (Jx − D)
dn τ
D(Jx − Jz )
(64)
Выражение для ϑ, входящее в (63):
cos ϑ =
Jz
Jz
ωz = ±
L
L
Кафедра ТМ (СГАУ)
2T (Jx − D)
dn τ = ±
Jz (Jx − Jz )
Случай Эйлера
24 ноября 2013 г.
37 / 51

39. Интегрирование кинематических уравнений
Случай D < Jy
Определение угла прецессии
Для определения ϕ продиффиренцируем
˙
tan ϕ = ±
ϕ = ± cos2 ϕ
˙
Jx (Jy − Jz ) cn τ
Jy (Jx − Jz ) sn τ
(65)
Jx (Jy − Jz ) dn τ dτ
Jy (Jx − Jz ) sn2 τ dt
(66)
Замены в (66)
cos2 ϕ =
1
, dn τ = ±
1 + tg ϕ2
dτ
=
dt
Кафедра ТМ (СГАУ)
Jz (Jx − Jz )
ωz ,
2T (Jx − D)
2T (Jx − D)(Jy − Jz )
.
Jx Jy Jz
Случай Эйлера
24 ноября 2013 г.
38 / 51

40. Интегрирование кинематических уравнений
Случай D < Jy
Определение угла прецессии
Выражение для ϕ после замен
˙
ϕ = ωz
˙
Jy
Jx
sn2 τ +
cn2 τ
Jy − Jz
Jx − Jz
−1
(67)
Подставляя (67) и выражение для cos ϑ (64)
cos ϑ =
Jz
Jz
ωz = ±
L
L
2T (Jx − D)
dn τ = ±
Jz (Jx − Jz )
Jz (Jx − D)
dn τ
D(Jx − Jz )
в (63)
ωz − ϕ
˙
L
˙
ψ=
=
cos ϑ
Jz
1−
ϕ
˙
ωz
,
получим:
L Jz sn2 τ /(Jy − Jz ) + Jz cn2 τ /(Jx − Jz )
˙
ψ = ωz
Jz Jy sn2 τ /(Jy − Jz ) + Jx cn2 τ /(Jx − Jz )
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Эйлера
24 ноября 2013 г.
(68)
39 / 51

41. Интегрирование кинематических уравнений
Случай D < Jy
Углы Эйлера (D < Jy )
cos ϑ = ±
Jz (Jx − D)
dn τ
D(Jx − Jz )
tan ϕ = ±
Jx (Jy − Jz ) cn τ
Jy (Jx − Jz ) sn τ
L Jz sn2 τ /(Jy − Jz ) + Jz cn2 τ /(Jx − Jz )
˙
ψ=
Jz Jy sn2 τ /(Jy − Jz ) + Jx cn2 τ /(Jx − Jz )
˙
Знак ϕ совпадает со знаком ωz . ψ > 0.
˙
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Эйлера
24 ноября 2013 г.
40 / 51

42. Интегрирование кинематических уравнений
Случай D > J2
Система координат (D > Jy )
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Эйлера
24 ноября 2013 г.
41 / 51

43. Интегрирование кинематических уравнений
Случай D > J2
Углы Эйлера (D > Jy )
cos ϑ = ±
Jx (D − Jz )
dn τ,
D(Jx − Jz )
(69)
tan ϕ = ±
Jy (Jx − Jz ) sn τ
,
Jz (Jx − Jy ) cn τ
(70)
ϕ = −ωx
˙
Jy
Jz
sn2 τ +
cn2 τ
Jx − Jy
Jx − Jz
−1
,
L Jx sn2 τ /(Jx − Jy ) + Jx cn2 τ /(Jx − Jz )
˙
ψ=
.
Jx Jy sn2 τ /(Jx − Jy ) + Jz cn2 τ /(Jx − Jz )
(71)
(72)
˙
Знак ϕ противоположен знаку ωz . ψ > 0.
˙
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Эйлера
24 ноября 2013 г.
42 / 51

44. Регулярная прецессия

45. Регулярная прецессия
Движение осесимметричного твёрдого тела
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Эйлера
24 ноября 2013 г.
44 / 51

46. Регулярная прецессия
Угловые скорости
Система уравнений движения осесимметричного твёрдого тела
(Jx = Jy ):


 Jx ωx − (Jy − Jz )ωy ωz = 0,
 Jx ωx − (Jy − Jz )ωy ωz = 0,
 ˙
 ˙
Jy ωy − (Jz − Jx )ωz ωx = 0, → Jy ωy − (Jz − Jx )ωz ωx = 0,
˙
˙




Jz ωz − (Jx − Jy )ωx ωy = 0.
˙
Jz ωz = 0.
˙
(73)
Из 3-го уравнения системы (73) следует
(74)
ωz = ωz0 = const

 ω − (Jx − Jz ) ω ω = ω − νω = 0,
 ˙x
˙x
y z
y

Jx

 ωy + (Jz − Jx ) ωz ωx = ωx + νωx = 0,
˙
˙
Jy
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Эйлера
ν=
wz0 (Jx − Jz )
Jx
24 ноября 2013 г.
45 / 51

47. Регулярная прецессия
Угловые скорости
Решение системы
ωx − νωy = 0,
˙
ωy + νωx = 0,
˙
ν=
wz0 (Jx − Jz )
Jx
(75)
имеет вид:
ωx = ωx0 cos ν(t − t0 ) + ωy0 sin ν(t − t0),
(76)
ωy = ωy0 cos ν(t − t0 ) − ωx0 sin ν(t − t0).
(77)
Первый интеграл системы (75)
2
2
ωx + ωy = Ω2 = const
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Эйлера
(78)
24 ноября 2013 г.
46 / 51

48. Регулярная прецессия
Определение углов Эйлера [3]
Сравнивая выражения для проекций вектора кинетического момента L
на оси главного центрального базиса:


 Lx = L sin ϑ0 sin ϕ,
 Lx = Jx ωx ,


Ly = L sin ϑ0 cos ϕ, и
Ly = Jx ωy ,
(79)




Lz = L cos ϑ0 .
Lz = Jz ωz .
L cos ϑ0 = Jz ωz
→
cos ϑ0 = cos θ0 =
Jz ωz0
L
(80)
Угол нутации при движении осесимметричного твёрдого тела по
инерции остаётся постоянным.
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Эйлера
24 ноября 2013 г.
47 / 51

49. Регулярная прецессия
Определение угла ψ
Подставляя выражение для ωy из кинематических уравнений

˙
 ωx = ψ sin ϑ0 sin ϕ,

˙
ω = ψ sin ϑ0 cos ϕ,
 y

˙
ωz = ωz0 = ψ cos ϑ0 + ϕ.
˙
(81)
в уравнение
L sin θ0 cos ϕ = Jx ωy ,
получим
L
˙
ψ=
= const = n
Jx
ψ = ψ0 + nt
Кафедра ТМ (СГАУ)
(82)
(83)
Случай Эйлера
24 ноября 2013 г.
48 / 51

50. Регулярная прецессия
Определение угла ϕ
Из уравнения
˙
ωz = ωz0 = ψ cos ϑ0 + ϕ,
˙
с учётом
L
˙
ψ=
= const = n,
Jx
следует
ϕ = ωz0 − n cos ϑ0
˙
ϕ = n 1 t + ϕ0 ,
Кафедра ТМ (СГАУ)
(84)
n1 = ωz0 − n cos ϑ0
Случай Эйлера
(85)
24 ноября 2013 г.
49 / 51

51. Регулярная прецессия
Регулярная прецессия
Углы Эйлера:
cos ϑ = cos ϑ0 =
Jz ωz0
= const,
L
ψ = ψ0 + nt,
ϕ = ϕ0 + n1 t.
где:
L
,
Jx
n1 = ωz0 − n cos ϑ0 .
n=
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Эйлера
24 ноября 2013 г.
50 / 51

52. Список использованных источников
Борисов А., Мамаев И. С. Динамика твердого тела. —
Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.
Виттенбург Й. Динамика систем твердых тел. —
M. : Мир, 1980.
Бухгольц Н. Основной курс теоретической механики: Динамика
системы материальных точек. —
Изд-во Наука, 1966.