Презентация к лекции "Движение твёрдого тела в случае Эйлера" курса Динамика твёрдого тела и систем тел. Рассматриваются следующие вопросы и понятия: эллипсоид энергии и эллипсоид инерции, полодии, перманентное вращение, неустойчивость вращения вокруг оси со средним моментом инерции, определение угловых скоростей и углов Эйлера, регулярная прецессия.
El documento describe un proyecto de planeamiento urbano para un terreno en Tacna, Perú. El terreno se encuentra en una zona residencial consolidada con acceso a servicios básicos. Se identifican los condicionantes del medio como las vías de acceso, el clima árido, y la normativa urbana aplicable al proyecto.
El documento describe un proyecto de planeamiento urbano para un terreno en Tacna, Perú. El terreno se encuentra en una zona residencial consolidada con acceso a servicios básicos. Se identifican los condicionantes del medio como las vías de acceso, el clima árido, y la normativa urbana aplicable al proyecto.
Определение параметров средств отделения створок головного обтекателя ракеты-носителя. Презентация к лекции курса "Основы синтеза механических систем".
Материалы лекции курса "Динамика твёрдого тела и систем твёрдых тел". Построение уравнений движения систем со сферическими, универсальными и цилиндрическими шарнирами. Метод Й. Виттенбурга.
The document discusses models and experiments to analyze the tip-off rate dynamics of CubeSats during separation from deployers. A simplified model and complex ADAMS model were developed to simulate the effects of parameters like center of mass position, spring stroke, and gap between guide rails on tip-off rate. Ground experiments using laser sensors to measure angular velocities of a 3U CubeSat mock-up showed results that agreed satisfactorily with simulations. The models and experiments allow estimating tip-off rates to help design CubeSat deployers that minimize initial angular velocities.
The document discusses the attitude dynamics of a re-entry vehicle (RV) in planetary atmospheres. It presents the following:
1) Equations of motion for the RV's angular momentum, unit vectors describing its orientation, and acceleration due to aerodynamic and gravitational forces.
2) Equations of motion for the RV's mass center in terms of its velocity, altitude, trajectory inclination angle, and dynamic pressure.
3) Solutions to the undisturbed equations of motion, including an energy integral and general solutions involving elliptic functions for different forms of the restoring aerodynamic moment.
Научно-исследовательская работа кафедры Теоретической механикиРуслан Пикалов
Научно-исследовательская работа кафедры Теоретической механики института ракетно-космической техники Самарского Университета,
презентация заведующего кафедрой Асланова Владимира Степановича
The document discusses active debris removal in space using tethered towing. The authors have developed a mathematical model of the attitude motion of a debris-tether-tug system. The model accounts for factors such as flexible appendages on the debris, fuel residuals, tether properties, and environmental forces. The authors aim to further study the capture dynamics of debris and stabilization after capture, and create a comprehensive model covering all stages from initial capture to atmospheric reentry.
Основы языка Питон: функции, элементы функционального программирования, списочные выражения, генераторы. Презентация к лекции курса "Технологии и языки программирования".
FEEDBACK LINEARIZATION AND BACKSTEPPING CONTROLLERS FOR COUPLED TANKSieijjournal
This paper investigates the usage of some sophisticated and advanced nonlinear control algorithms in order to control a nonlinear Coupled Tanks System. The first control procedure is called the Feedback linearisation control (FLC), this type of control has been found a successful in achieving a global exponential asymptotic stability, with very short time response, no significant overshooting is recorded and with a negligible norm of the error. The second control procedure is the approaches of Back stepping control (BC) which is a recursive procedure that interlaces the choice of a Lyapunov function with the design of feedback control, from simulation results it shown that this method preserves tracking, robust control and it can often solve stabilization problems with less restrictive conditions may been countered in other methods. Finally both of the proposed control schemes guarantee the asymptoticstability of the closed loop system meeting trajectory tracking objectives.
The document discusses ant colony optimization (ACO) algorithms. It introduces ACO as a probabilistic metaheuristic technique inspired by the behavior of ants seeking paths between their colony and food sources. It outlines the ACO metaheuristic and describes key ACO algorithms like Ant System, Ant Colony System, and MAX-MIN Ant System. The document also covers applications of ACO, advantages like inherent parallelism and efficient solutions to problems like the traveling salesman problem, and disadvantages like difficulty analyzing ACO theoretically.
Определение параметров средств отделения створок головного обтекателя ракеты-носителя. Презентация к лекции курса "Основы синтеза механических систем".
Материалы лекции курса "Динамика твёрдого тела и систем твёрдых тел". Построение уравнений движения систем со сферическими, универсальными и цилиндрическими шарнирами. Метод Й. Виттенбурга.
The document discusses models and experiments to analyze the tip-off rate dynamics of CubeSats during separation from deployers. A simplified model and complex ADAMS model were developed to simulate the effects of parameters like center of mass position, spring stroke, and gap between guide rails on tip-off rate. Ground experiments using laser sensors to measure angular velocities of a 3U CubeSat mock-up showed results that agreed satisfactorily with simulations. The models and experiments allow estimating tip-off rates to help design CubeSat deployers that minimize initial angular velocities.
The document discusses the attitude dynamics of a re-entry vehicle (RV) in planetary atmospheres. It presents the following:
1) Equations of motion for the RV's angular momentum, unit vectors describing its orientation, and acceleration due to aerodynamic and gravitational forces.
2) Equations of motion for the RV's mass center in terms of its velocity, altitude, trajectory inclination angle, and dynamic pressure.
3) Solutions to the undisturbed equations of motion, including an energy integral and general solutions involving elliptic functions for different forms of the restoring aerodynamic moment.
Научно-исследовательская работа кафедры Теоретической механикиРуслан Пикалов
Научно-исследовательская работа кафедры Теоретической механики института ракетно-космической техники Самарского Университета,
презентация заведующего кафедрой Асланова Владимира Степановича
The document discusses active debris removal in space using tethered towing. The authors have developed a mathematical model of the attitude motion of a debris-tether-tug system. The model accounts for factors such as flexible appendages on the debris, fuel residuals, tether properties, and environmental forces. The authors aim to further study the capture dynamics of debris and stabilization after capture, and create a comprehensive model covering all stages from initial capture to atmospheric reentry.
Основы языка Питон: функции, элементы функционального программирования, списочные выражения, генераторы. Презентация к лекции курса "Технологии и языки программирования".
FEEDBACK LINEARIZATION AND BACKSTEPPING CONTROLLERS FOR COUPLED TANKSieijjournal
This paper investigates the usage of some sophisticated and advanced nonlinear control algorithms in order to control a nonlinear Coupled Tanks System. The first control procedure is called the Feedback linearisation control (FLC), this type of control has been found a successful in achieving a global exponential asymptotic stability, with very short time response, no significant overshooting is recorded and with a negligible norm of the error. The second control procedure is the approaches of Back stepping control (BC) which is a recursive procedure that interlaces the choice of a Lyapunov function with the design of feedback control, from simulation results it shown that this method preserves tracking, robust control and it can often solve stabilization problems with less restrictive conditions may been countered in other methods. Finally both of the proposed control schemes guarantee the asymptoticstability of the closed loop system meeting trajectory tracking objectives.
The document discusses ant colony optimization (ACO) algorithms. It introduces ACO as a probabilistic metaheuristic technique inspired by the behavior of ants seeking paths between their colony and food sources. It outlines the ACO metaheuristic and describes key ACO algorithms like Ant System, Ant Colony System, and MAX-MIN Ant System. The document also covers applications of ACO, advantages like inherent parallelism and efficient solutions to problems like the traveling salesman problem, and disadvantages like difficulty analyzing ACO theoretically.
Лекция №6 "Линейные модели для классификации и регрессии" Technosphere1
Техносфера Mail.ru Group, МГУ им. М.В. Ломоносова. Курс "Алгоритмы интеллектуальной обработки больших объемов данных", Лекция №6 "Линейные модели для классификации и регрессии"
Лектор - Николай Анохин
Обобщенные линейные модели. Постановка задачи оптимизации. Примеры критериев. Градиентный спуск. Регуляризация. Метод Maximum Likelihood. Логистическая регрессия.
Видео лекции курса https://www.youtube.com/playlist?list=PLrCZzMib1e9pyyrqknouMZbIPf4l3CwUP
Техносфера Mail.ru Group, МГУ им. М.В. Ломоносова. Курс "Алгоритмы интеллектуальной обработки больших объемов данных", Лекция №7 "Машина опорных векторов"
Лектор - Николай Анохин
Разделяющая поверхность с максимальным зазором. Формулировка задачи оптимизации для случаев линейно-разделимых и линейно-неразделимых классов. Сопряженная задача. Опорные векторы. KKT-условия. SVM для задач классификации и регрессии. Kernel trick. Теорема Мерсера. Примеры функций ядра.
Видео лекции курса https://www.youtube.com/playlist?list=PLrCZzMib1e9pyyrqknouMZbIPf4l3CwUP
Рассматриваются методы решения систем линейных алгебраических уравнений с трехдиагональными, симметричными и положительно определенными матрицами коэффициентов.
Обзор работ 7-ой Европейской конференции по космическому мусору (офис центра управления полетами ЕКА, Дармштадт, Германия, 18-21 апреля 2017 г)
Презентация к семинару кафедры теоретической механики Самарского университета (16.05.17)
Презентация к семинару кафедры теоретической механики. По материалам статьи “Detumbling Space Debris Using Modified Yo-Yo Mechanism” (Юдинцев В. В.,
Асланов В. С.) Journal of Guidance, Control, and Dynamics, Vol. 40, No. 3. https://arc.aiaa.org/doi/abs/10.2514/1.G000686
(2017), pp. 714-721.
The document analyzes the chaotic motions that can occur for tethered satellite systems with low thrust. It describes the system and assumptions, presents the motion equations, and identifies stationary solutions. Orbital eccentricity and out-of-plane oscillations are shown to induce chaos if they cause an unstable equilibrium condition. The choice of thrust level, satellite masses, and tether length must satisfy conditions to ensure regular in-plane motion even in an elliptic orbit.
The document proposes using an Autonomous Docking Module (ADM) attached to a space tug by tether to remove orbital debris. The ADM would use a probe-cone mechanism to dock with the target debris, a spent orbital stage, without its cooperation. A mathematical model is developed to simulate the docking process between the ADM and tumbling target. Further simulation and development of rendezvous scenarios and a testbed mission are recommended to validate the concept.
The document discusses nanosatellite deployers, which isolate CubeSats from the launch vehicle and main payload and deploy them into orbit. It describes several common deployer types, including the P-POD, ISI-POD, X-POD, NANORACKS, RSC-POD, and CSD. The document summarizes simulations and experiments that analyzed factors affecting CubeSats' tip-off rates after deployment, such as their mass properties, spring stroke distances, and clearances between guide rails. Ground and microgravity flight tests indicated 3U CubeSats typically have maximum rotational rates under 10°/s after deployment, while 1U CubeSats' rates
The document describes the chaotic behavior that can occur in a system consisting of a space tug, viscoelastic tether, and space debris. A mathematical model is developed to describe the transverse and longitudinal oscillations of the tether. The model shows that chaos is possible when the longitudinal oscillations are perturbed. Poincare sections are used to reveal a stochastic layer in the system's motion due to damping in the tether. The results suggest that chaos can be observed in the attitude motion of the tethered tug-debris system caused by longitudinal oscillations of the viscoelastic tether.
Презентация для IV Всероссийской научно-технической
конференции "Актуальные проблемы ракетно-космической техники» ("IV Козловские чтения")". г. Самара, 14-17 сентября 2015 г.
Рассматривается метод отдельных тел (метод А. Ф. Верещагина) для построения уравнений движения систем тел со структурой дерева. Приводится пример программы моделирования движения цепи n тел на языке MATLAB.
1. Самарский государственный аэрокосмический университет
им. академика С. П. Королёва
(национальный исследовательский университет)
Кафедра теоретической механики
Движение твёрдого тела с неподвижной точкой по инерции
(случай Эйлера)
курс “Динамика твёрдого тела и систем тел”
Юдинцев В. В. yudintsev@termech.ru
2. Уравнения движения
Решения уравнений движения твёрдого тела
Динамические уравнения движения тела вокруг центра масс:
Jx ωx − (Jy − Jz )ωy ωz = Mx ,
˙
Jy ωy − (Jz − Jx )ωz ωx = My ,
˙
Jz ωz − (Jx − Jy )ωx ωy = Mz .
˙
(1)
Для уравнений (1) найдены аналитические решения только для
нескольких частных случаев [1]:
Случай Эйлера;
Случай Лагранжа;
Случай Ковалевской;
Случай Горячева-Чаплыгина;
Случай Гесса.
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Эйлера
24 ноября 2013 г.
1 / 51
3. Уравнения движения
Случай Эйлера
Главный момент внешних сил равен нулю.
˙
J · ω + ω × J · ω = 0;
(2)
скалярная форма уравнений:
Jx ωx − (Jy − Jz )ωy ωz = 0,
˙
Jy ωy − (Jz − Jx )ωz ωx = 0,
˙
Jz ωz − (Jx − Jy )ωx ωy = 0.
˙
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Эйлера
(3)
24 ноября 2013 г.
2 / 51
5. Первые интегралы
Скалярная форма первых интегралов
Интеграл энергии:
2
2
2
Jx ωx + Jy ωy + Jz ωz = 2T
(6)
Интеграл кинетического момента:
2 2
2 2
2 2
Jx ωx + Jy ωy + Jz ωz = L2 = 2DT
(7)
Выражения (6) и (7) определяют в главной центральной системе
координат тела два эллипсоида.
Ax2 + By 2 + Cz 2 = H 2
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Эйлера
24 ноября 2013 г.
4 / 51
6. Полодии
Полодии [2]
Линии пересечения эллипсоида
энергии и эллипсоида инерции
определяют полодии –
геометрическое место вектора
угловой скорости.
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Эйлера
24 ноября 2013 г.
5 / 51
7. Полодии
Пределы изменения величины D (Jz < Jy < Jx )
Умножим интеграл энергии (6) на Jx и вычтем из интеграла
кинетического момента (7):
2
2
2
2 2
2 2
2 2
Jx (Jx ωx + Jy ωy + Jz ωz ) − Jx ωx − Jy ωy − Jz ωz = 2Jx T − 2DT
2
2
Jy (Jx − Jy )ωy + Jz (Jx − Jz )ωz = 2T (Jx − D)
(8)
(9)
Умножим интеграл энергии (6) на Jz и вычтем из интеграла
кинетического момента (7):
2
2
2 2
2 2
2 2
2
Jz (Jx ωx + Jy ωy + Jz ωz ) − Jx ωx − Jy ωy − Jz ωz = 2Jx T − 2DT
2
2
Jx (Jx − Jz )ωx + Jy (Jy − Jz )ωy = 2T (D − Jz )
(10)
(11)
Левая часть (11) и (9) всегда больше нуля, поэтому
Jz ≤ D ≤ Jx ,
Кафедра ТМ (СГАУ)
(12)
(Jz < Jy < Jx )
Случай Эйлера
24 ноября 2013 г.
6 / 51
8. Полодии
Уравнения полодий
Умножая интеграл энергии на Jx , Jz , Jy и вычитая результат из
интеграла кинетического момента, получим три уравнения
полодий для трех плоскостей:
yz :
2
2
Jy (Jx − Jy )ωy + Jz (Jx − Jz )ωz = 2T (Jx − D)
(13)
xy :
2
Jx (Jx − Jz )ωx
2
Jx (Jx − Jy )ωx
= 2T (D − Jz )
(14)
= 2T (D − Jy )
(15)
xz :
+
−
2
Jy (Jy − Jz )ωy
2
Jz (Jy − Jz )ωz
Уравнения (14) и (13) – уравнение эллипсов.
Уравнение (15) – уравнение гипербол.
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Эйлера
24 ноября 2013 г.
7 / 51
9. Полодии
Полодии
Значениям
D = Jx ,
D = Jy ,
D = Jz
соответсвуют оси перманентного
вращения, совпадающие с
главными осями инерции x2 , y2 и
z2 соответственно.
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Эйлера
24 ноября 2013 г.
8 / 51
10. Полодии
Полодии
Значению D = Jy отвечают две
особые полодии – сепаратрисы,
разделяющие другие полодии на
четыре области.
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Эйлера
24 ноября 2013 г.
9 / 51
12. Геометрическая интерпретация Пуансо
Геометрическая интерпретация
Проекция вектора угловой скорости тела на направление кинетического
момента постоянна:
ω · (J · ω) = 2T = const.
(16)
Любое приращение вектора угловой скорости перпендикулярно вектору
L:
L · ∆ω = 0.
(17)
Уравнение (17) определяет в инерциальном пространстве неизменную
плоскость. Расстояние от центра эллипсоида энергии до плоскости –
2T /L
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Эйлера
24 ноября 2013 г.
11 / 51
13. Геометрическая интерпретация Пуансо
Геометрическая интерпретация
Движение твёрдого тела вокруг неподвижной точки можно
представить как качение эллипсоида энергии тела по неизменяемой
плоскости, при этом геометрический центр эллипсоида энергии
закреплен на расстоянии 2T /L выше этой плоскости [2].
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Эйлера
24 ноября 2013 г.
12 / 51
23. Интегрирование уравнений движения
Эллиптические функции
Эллиптический интеграл
Неполный эллиптическиий интеграл Лежандра первого рода:
ϕ
dθ
F (ϕ, m) = u =
1 − m sin2 θ
0
, 0 ≤ m ≤ 1;
(28)
в форме Якоби:
x
F (x, m) =
dz
(1 − z 2 )(1 − mz 2 )
0
.
(29)
Полный эллиптическиий интеграл Лежандра первого рода:
π/2
K(m) = F (π/2, m) = u =
dθ
1 − m sin2 θ
0
, 0 ≤ m ≤ 1; (30)
в форме Якоби:
1
K(m) =
0
Кафедра ТМ (СГАУ)
dz
(1 −
Случай Эйлера
z 2 )(1
− mz 2 )
.
24 ноября 2013 г.
(31)
22 / 51
24. Интегрирование уравнений движения
Эллиптические функции
Эллиптические функции
Для интеграла
ϕ
dθ
F (ϕ, m) = u =
1 − m sin2 θ
0
, 0≤m≤1
определены следующие эллиптические функции Якоби:
синус-амплитуда
sn u = sin ϕ
(32)
cn u = cos ϕ
(33)
косинус-амплитуда
дельта-амплитуда
dn u =
Кафедра ТМ (СГАУ)
1 − m cos2 ϕ
Случай Эйлера
(34)
24 ноября 2013 г.
23 / 51
27. Интегрирование уравнений движения
Определение угловых скоростей
Случай D < Jy , a2 < b2
После подстановки
2
ωx =
Jy (Jy − Jz ) 2
Jy (Jx − Jy ) 2
2
2
2
(a − ωy ) и ωz =
(b − ωy ),
Jx (Jx − Jz )
Jz (Jx − Jz )
в
Jy ωy = (Jz − Jx )ωz ωx
˙
получим:
dωy
2
2
(a2 − ωy )(b2 − ωy )
Кафедра ТМ (СГАУ)
= ±(t − t0 )
Случай Эйлера
(Jx − Jy )(Jy − Jz )
Jx Jz
24 ноября 2013 г.
(40)
26 / 51
28. Интегрирование уравнений движения
Определение угловых скоростей
Случай D < Jy , a2 < b2
dωy /a
(1 −
2
ωy /a2 )(1
−
2
ωy /b2 )
= ±b(t − t0 )
(Jx − Jy )(Jy − Jz )
Jx Jz
(41)
После замен
x=
ωy
a
, k = , τ = (t − t0 )
a
b
2T (Jx − D)(Jy − Jz )
Jx Jy Jz
уравнение (41) принимает вид:
dx
(1 −
Кафедра ТМ (СГАУ)
x2 )(1
− k 2 x2 )
Случай Эйлера
= ±τ
(42)
24 ноября 2013 г.
27 / 51
29. Интегрирование уравнений движения
Определение угловых скоростей
Случай D < Jy , a2 < b2
dx
(1 −
x2 )(1
− k 2 x2 )
= ±τ
(43)
Решение (43) в эллиптических функциях Якоби:
x = ± sn τ
Кафедра ТМ (СГАУ)
→
ωy = ±
Случай Эйлера
2T (D − Jz )
sn τ
Jy (Jy − Jz )
24 ноября 2013 г.
(44)
28 / 51
30. Интегрирование уравнений движения
Определение угловых скоростей
Случай D < Jy , a2 < b2
Подставляя (44) в
2
ωx =
Jy (Jy − Jz ) 2
Jy (Jx − Jy ) 2
2
2
2
(a − ωy ) и ωz =
(b − ωy ),
Jx (Jx − Jz )
Jz (Jx − Jz )
с учётом тождеств
sn2 τ + cn2 τ = 1,
dn2 τ + k 2 sn2 τ = 1,
решения для проекций ωx , ωz будут иметь вид:
ωx = ±
2T (D − Jz )
cn τ,
Jx (Jx − Jz )
Кафедра ТМ (СГАУ)
ωz = ±
Случай Эйлера
2T (Dx − D)
dn τ.
Jz (Jx − Jz )
24 ноября 2013 г.
(45)
29 / 51
31. Интегрирование уравнений движения
Определение угловых скоростей
Случай D < Jy , a2 < b2
ωx = ±
2T (D − Jz )
cn τ,
Jx (Jx − Jz )
(46)
ωy = ±
2T (D − Jz )
sn τ,
Jy (Jy − Jz )
(47)
ωz = ±
2T (Jx − D)
dn τ.
Jz (Jx − Jz )
(48)
где
k=
τ = (t − t0 )
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Эйлера
a
,
b
2T (Jx − D)(Jy − Jz )
Jx Jy Jz
24 ноября 2013 г.
30 / 51
32. Интегрирование уравнений движения
Определение угловых скоростей
Случай D > Jy , a2 > b2
ωx = ±
2T (D − Jz )
cn τ,
Jx (Jx − Jz )
(49)
ωy = ±
2T (Jx − D)
sn τ,
Jy (Jx − Jy )
(50)
ωz = ±
2T (Jx − D)
dn τ.
Jz (Jx − Jz )
(51)
где:
k=
τ = (t − t0 )
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Эйлера
b
,
a
2T (Jx − Jy )(D − Jz )
.
Jx Jy Jz
24 ноября 2013 г.
31 / 51
33. Интегрирование уравнений движения
Определение угловых скоростей
Случай D = Jy , a = b
Если a = b, то k = 1 и эллиптический интеграл упрощается
dx
(1 −
x2 )(1
dx
= ±τ
1 − x2
→
Кафедра ТМ (СГАУ)
−
= ±τ
→
x = ± th τ
→
kx2 )
Случай Эйлера
dx
= ±τ
1 − x2
ωy = ±
2T
th τ
Jy
24 ноября 2013 г.
(52)
(53)
32 / 51
34. Интегрирование уравнений движения
Определение угловых скоростей
Случай D = Jy , a = b
ωx = ±
2T (Jy − Jz ) 1
,
Jx (Jx − Jz ) ch τ
(54)
ωy = ±
2T
th τ,
Jy
(55)
ωz = ±
2T (Jx − Jy ) 1
.
Jz (Jx − Jz ) ch τ
(56)
где:
eτ + e−τ
,
2
e2τ − 1
th τ = 2τ
.
e +1
ch τ =
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Эйлера
24 ноября 2013 г.
33 / 51
36. Интегрирование кинематических уравнений
Случай D < Jy
Кинематические уравнения (D < J2 )
Проекции вектора кинетического
момента L на оси связанной
системы координат:
Lx = L sin ϑ sin ϕ,
Ly = L sin ϑ cos ϕ,
(57)
Lz = L cos ϑ.
Выражения для проекций вектора
L в главных осях инерции:
Lx = Jx ωx ,
Ly = Jy ωy ,
(58)
Lz = Jz ωz .
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Эйлера
24 ноября 2013 г.
35 / 51
37. Интегрирование кинематических уравнений
Случай D < Jy
Кинематические уравнения
Jx ωx = L sin ϑ sin ϕ,
Jy ωy = L sin ϑ cos ϕ,
Jz ωz = L cos ϑ.
(59)
Угол нутации:
cos ϑ =
Jz ωz
L
(60)
Jx ωx
Jy ωy
(61)
Угол собственного вращения:
tan ϕ =
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Эйлера
24 ноября 2013 г.
36 / 51
38. Интегрирование кинематических уравнений
Случай D < Jy
Определение угла прецессии
Из кинематического уравнения
˙
ωz = ψ cos ϑ + ϕ
˙
(62)
выражается производная угла прецессии
ωz − ϕ
˙
L
˙
=
ψ=
cos ϑ
Jz
1−
ϕ
˙
ωz
.
(63)
Jz (Jx − D)
dn τ
D(Jx − Jz )
(64)
Выражение для ϑ, входящее в (63):
cos ϑ =
Jz
Jz
ωz = ±
L
L
Кафедра ТМ (СГАУ)
2T (Jx − D)
dn τ = ±
Jz (Jx − Jz )
Случай Эйлера
24 ноября 2013 г.
37 / 51
39. Интегрирование кинематических уравнений
Случай D < Jy
Определение угла прецессии
Для определения ϕ продиффиренцируем
˙
tan ϕ = ±
ϕ = ± cos2 ϕ
˙
Jx (Jy − Jz ) cn τ
Jy (Jx − Jz ) sn τ
(65)
Jx (Jy − Jz ) dn τ dτ
Jy (Jx − Jz ) sn2 τ dt
(66)
Замены в (66)
cos2 ϕ =
1
, dn τ = ±
1 + tg ϕ2
dτ
=
dt
Кафедра ТМ (СГАУ)
Jz (Jx − Jz )
ωz ,
2T (Jx − D)
2T (Jx − D)(Jy − Jz )
.
Jx Jy Jz
Случай Эйлера
24 ноября 2013 г.
38 / 51
40. Интегрирование кинематических уравнений
Случай D < Jy
Определение угла прецессии
Выражение для ϕ после замен
˙
ϕ = ωz
˙
Jy
Jx
sn2 τ +
cn2 τ
Jy − Jz
Jx − Jz
−1
(67)
Подставляя (67) и выражение для cos ϑ (64)
cos ϑ =
Jz
Jz
ωz = ±
L
L
2T (Jx − D)
dn τ = ±
Jz (Jx − Jz )
Jz (Jx − D)
dn τ
D(Jx − Jz )
в (63)
ωz − ϕ
˙
L
˙
ψ=
=
cos ϑ
Jz
1−
ϕ
˙
ωz
,
получим:
L Jz sn2 τ /(Jy − Jz ) + Jz cn2 τ /(Jx − Jz )
˙
ψ = ωz
Jz Jy sn2 τ /(Jy − Jz ) + Jx cn2 τ /(Jx − Jz )
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Эйлера
24 ноября 2013 г.
(68)
39 / 51
41. Интегрирование кинематических уравнений
Случай D < Jy
Углы Эйлера (D < Jy )
cos ϑ = ±
Jz (Jx − D)
dn τ
D(Jx − Jz )
tan ϕ = ±
Jx (Jy − Jz ) cn τ
Jy (Jx − Jz ) sn τ
L Jz sn2 τ /(Jy − Jz ) + Jz cn2 τ /(Jx − Jz )
˙
ψ=
Jz Jy sn2 τ /(Jy − Jz ) + Jx cn2 τ /(Jx − Jz )
˙
Знак ϕ совпадает со знаком ωz . ψ > 0.
˙
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Эйлера
24 ноября 2013 г.
40 / 51
47. Регулярная прецессия
Угловые скорости
Решение системы
ωx − νωy = 0,
˙
ωy + νωx = 0,
˙
ν=
wz0 (Jx − Jz )
Jx
(75)
имеет вид:
ωx = ωx0 cos ν(t − t0 ) + ωy0 sin ν(t − t0),
(76)
ωy = ωy0 cos ν(t − t0 ) − ωx0 sin ν(t − t0).
(77)
Первый интеграл системы (75)
2
2
ωx + ωy = Ω2 = const
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Эйлера
(78)
24 ноября 2013 г.
46 / 51
48. Регулярная прецессия
Определение углов Эйлера [3]
Сравнивая выражения для проекций вектора кинетического момента L
на оси главного центрального базиса:
Lx = L sin ϑ0 sin ϕ,
Lx = Jx ωx ,
Ly = L sin ϑ0 cos ϕ, и
Ly = Jx ωy ,
(79)
Lz = L cos ϑ0 .
Lz = Jz ωz .
L cos ϑ0 = Jz ωz
→
cos ϑ0 = cos θ0 =
Jz ωz0
L
(80)
Угол нутации при движении осесимметричного твёрдого тела по
инерции остаётся постоянным.
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Эйлера
24 ноября 2013 г.
47 / 51
49. Регулярная прецессия
Определение угла ψ
Подставляя выражение для ωy из кинематических уравнений
˙
ωx = ψ sin ϑ0 sin ϕ,
˙
ω = ψ sin ϑ0 cos ϕ,
y
˙
ωz = ωz0 = ψ cos ϑ0 + ϕ.
˙
(81)
в уравнение
L sin θ0 cos ϕ = Jx ωy ,
получим
L
˙
ψ=
= const = n
Jx
ψ = ψ0 + nt
Кафедра ТМ (СГАУ)
(82)
(83)
Случай Эйлера
24 ноября 2013 г.
48 / 51
50. Регулярная прецессия
Определение угла ϕ
Из уравнения
˙
ωz = ωz0 = ψ cos ϑ0 + ϕ,
˙
с учётом
L
˙
ψ=
= const = n,
Jx
следует
ϕ = ωz0 − n cos ϑ0
˙
ϕ = n 1 t + ϕ0 ,
Кафедра ТМ (СГАУ)
(84)
n1 = ωz0 − n cos ϑ0
Случай Эйлера
(85)
24 ноября 2013 г.
49 / 51
51. Регулярная прецессия
Регулярная прецессия
Углы Эйлера:
cos ϑ = cos ϑ0 =
Jz ωz0
= const,
L
ψ = ψ0 + nt,
ϕ = ϕ0 + n1 t.
где:
L
,
Jx
n1 = ωz0 − n cos ϑ0 .
n=
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Эйлера
24 ноября 2013 г.
50 / 51
52. Список использованных источников
Борисов А., Мамаев И. С. Динамика твердого тела. —
Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.
Виттенбург Й. Динамика систем твердых тел. —
M. : Мир, 1980.
Бухгольц Н. Основной курс теоретической механики: Динамика
системы материальных точек. —
Изд-во Наука, 1966.