Семинар в СПбГУ

1. Решение стационарной
системы Стокса как
задачи оптимального
управления
Голичев И.И., Шарипов Т.Р. Разработка методов, алгоритмов и программ для решения
уравнений Навье-Стокса как задачи оптимального управления
// Вестник УГАТУ. – 2007 – Т.9. – N3 (21). – С. 51-57.
Шарипов Т.Р.
19.05.2012

2. Задача Стокса
Ω ∈ R n ( n = 2,3) − ограниченная область
−ν ∆y = f − ∇p

div y = 0
y = ϕ
 ∂Ω
Неизвестные:
y = ( y1 ( x ) , y2 ( x ) , , yn ( x ) ) : Ω → R n
p = p( x ) : Ω → R
Задано:
f = ( f1 ( x ) , f 2 ( x ) ,  , f n ( x ) ) : Ω → R n
ϕ = ϕ ( x ) : ∂Ω → R n
2

3. Разрешимость
Определение. Если f − заданная функция из( L2 ( Ω ) ) , тт сильным (ообобщенн м) решением
n
( )
задачи (*) называют функции y ∈ H 2 ( Ω ) , p ∈ H 1 ( Ω ) , при которых первые два равенства
n
системы (1) выполняются в пространствах ( L2 ( Ω ) ) и L2 ( Ω ) соответственно.
n
{
p ∈ L2, 0 ( Ω ) ≡ p ∈ H 1 ( Ω ) : ( p,1) L2 ( Ω ) = 0 }
∫ ( ϕ , n ) dΩ = 0
∂Ω
3
Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости, 1970.

4. Связь с задачей оптимального
управления
Решение задачи Стокса эквивалентно решению задачи
→ inf,
2
J (u ) ≡ div yu L2 ( Ω )
u∈U
{ }
U ≡ υ ∈ ( L2 ( Ω ) ) : υ = ∇ p, p ∈ L2,0 ( Ω ) ,
n
где yu − обобщенное решение из задачи
−ν ∆yu = f − u
yu ∂Ω = ϕ
4

5. Метод проекции градиента
− J ( u ) выпуклый;
− градиент J ′( u ) ;
− оператор проектирования PU ( u ) ;
− константа ЛЛипшиц:
J ′( u ) − J ′(υ ) ≤ L u − υ .
uk +1 = PU ( uk − α k J ′(uk ) )
2
0 < ε0 ≤ αk ≤ ,ε >0
L +ε
5

6. Выпуклость
Лемма 1. Функционал J ( u ) строго выпуклый на U .
Доказательство. Заметим, что yαu +( 1−α )υ = αy u + (1 − α ) yυ .
J ( αu + (1 − α )υ ) = div yαu + ( 1−α )υ = α div y u + (1 − α ) div yυ
2 2
L2 ( Ω ) L2 ( Ω )
≤ α div y u + (1 − α ) div yυ
2
L2 ( Ω )
Из строгой выпуклости функции x при α ∈ [0,1]
J ( αu + (1 − α )υ ) < α div y u + (1 − α ) div yυ = α J ( u ) + (1 − α ) J ( υ )
2 2
L2 ( Ω ) L2 ( Ω )
Здесь u ≠ υ
6

7. Вычисление градиента функционала
Лемма 2. Функционал J ( u ) дифференцируем по Фреше,
J ′( u ) = 2ψ ,
(
где ψ − слабое решение из H ( Ω ) 2
) n
задачи
 − ν∆ψ = ∇div y

 ,

 ψ ∂Ω = 0
(
а y − слабое решение из H ( Ω ) 2
) n
задачи
 − ν ∆y = f − u

 .
 y ∂Ω = ϕ

7

8. Условие Липшица
Лемма 3. Существует ттако ограниченный самосопряженный оператор A, что
J ′( u ) − J ′(υ ) = A( u − υ ) ∀u ,υ ∈ U ,
причем
A ≤ L, L = ν − 2 .
Здесь
A = ν − 2 A* ,
A* = ( − ∆ ) ∇( − div )( − ∆ ) :U → ( H 2 ( Ω ) )
−1 −1 n
A* ≤ 1
8

9. Вычисление оператора проектирования
Лемма 4. Операция проектирования u = PU ( d ) , d ∈ ( L2 ( Ω ) ) сводится к следующему :
n
u = ∇p ,
где p − слабое решение из L2, 0 ( Ω ) задачи Неймана для уравнения Пуассона
∆p = div d

 ∂p .
 ∂n = ( d , n ) ∂Ω
 ∂Ω
Здесь n − вектор внешней нормали к границе ∂Ω.
9

10. Основной результат
Теорема. Пусть в условиях теоремы существования
−ν∆y k = f −u k , y k = ϕ,
∂Ω
−ν∆ψ k = ∇div y k ,ψ k = 0,
∂Ω
d k = u k − 2αkψ k ,
∆p k = div d k

 k
∂p ,
 ∂n =d kn
∂Ω

 ∂Ω
u k = ∇p k ,
где L = ν - 2 .
Тогда при ллюбо u 0 ∈U u k −u * → 0.
( L2 ( Ω) ) n k→∞
10