Theoretical mechanics department, profile picture
Uploaded byTheoretical mechanics department
964 views

Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754

Документ описывает стандарт IEEE-754, который используется для представления действительных чисел в двоичном формате. Он охватывает основные концепции, такие как нормализованная и денормализованная формы, а также погрешности представления чисел. Кроме того, рассматриваются различные форматы чисел и особенности их записи в контексте численных алгоритмов для программирования.

Embed presentation

Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 Технологии и языки программирования Юдинцев В. В. Кафедра теоретической механики Самарский университет 7 октября 2016 г.
Содержание 1 Запись десятичного числа в двоичной системе 2 Нормализованная и денормализованная форма Десятичные числа Двоичные числа 3 Стандарт IEEE-754 Нормализованная и денормализованная форма Специальные значения Предельные значения 4 Погрешности представления чисел 5 Особенности Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 2 / 42
Введение Стандарт IEEE-754 IEEE Standard for Binary Floating-Point Arithmetic (ANSI/IEEE Std 754-1985) Стандарт разработан в 1985 году ассоциацией IEEE (Institute of Electrical and Electronics Engineers) и используется для представления действительных чисел в двоичном коде. Используется в микропроцессорах и программных средствах. Особенности стандарта необходимо учитывать при программной реализации численных алгоритмов. Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 3 / 42
Запись десятичного числа в двоичной системе
Запись десятичного числа в двоичной системе Преобразование целых чисел 153/2 = 76 · 2 + 1 1 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 5 / 42
Запись десятичного числа в двоичной системе Преобразование целых чисел 153/2 = 76 · 2 + 1 76/2 = 38 · 2 + 0 0 1 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 5 / 42
Запись десятичного числа в двоичной системе Преобразование целых чисел 153/2 = 76 · 2 + 1 76/2 = 38 · 2 + 0 38/2 = 19 · 2 + 0 0 0 1 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 5 / 42
Запись десятичного числа в двоичной системе Преобразование целых чисел 153/2 = 76 · 2 + 1 76/2 = 38 · 2 + 0 38/2 = 19 · 2 + 0 19/2 = 9 · 2 + 1 1 0 0 1 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 5 / 42
Запись десятичного числа в двоичной системе Преобразование целых чисел 153/2 = 76 · 2 + 1 76/2 = 38 · 2 + 0 38/2 = 19 · 2 + 0 19/2 = 9 · 2 + 1 9/2 = 4 · 2 + 1 1 1 0 0 1 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 5 / 42
Запись десятичного числа в двоичной системе Преобразование целых чисел 153/2 = 76 · 2 + 1 76/2 = 38 · 2 + 0 38/2 = 19 · 2 + 0 19/2 = 9 · 2 + 1 9/2 = 4 · 2 + 1 4/2 = 2 · 2 + 0 0 1 1 0 0 1 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 5 / 42
Запись десятичного числа в двоичной системе Преобразование целых чисел 153/2 = 76 · 2 + 1 76/2 = 38 · 2 + 0 38/2 = 19 · 2 + 0 19/2 = 9 · 2 + 1 9/2 = 4 · 2 + 1 4/2 = 2 · 2 + 0 2/2 = 1 · 2 + 0 1/2 = 0 · 2 + 1 0 0 1 1 0 0 1 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 5 / 42
Запись десятичного числа в двоичной системе Преобразование целых чисел 153/2 = 76 · 2 + 1 76/2 = 38 · 2 + 0 38/2 = 19 · 2 + 0 19/2 = 9 · 2 + 1 9/2 = 4 · 2 + 1 4/2 = 2 · 2 + 0 2/2 = 1 · 2 + 0 1/2 = 0 · 2 + 1 1 0 0 1 1 0 0 1 15310 = 100110012 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 5 / 42
Запись десятичного числа в двоичной системе Обратное преобразование 1 0 0 1 1 0 0 1 ·27 ·26 ·25 ·24 ·23 ·22 ·21 ·20 27 + 24 + 23 + 20 = 128 + 16 + 8 + 1 = 153 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 6 / 42
Запись десятичного числа в двоичной системе Преобразование дробных чисел 0.235 · 2 = 0.470 .0 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 7 / 42
Запись десятичного числа в двоичной системе Преобразование дробных чисел 0.235 · 2 = 0.470 0.470 · 2 = 0.940 .0 0 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 7 / 42
Запись десятичного числа в двоичной системе Преобразование дробных чисел 0.235 · 2 = 0.470 0.470 · 2 = 0.940 0.940 · 2 = 1.880 .0 0 1 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 7 / 42
Запись десятичного числа в двоичной системе Преобразование дробных чисел 0.235 · 2 = 0.470 0.470 · 2 = 0.940 0.940 · 2 = 1.880 0.880 · 2 = 1.760 .0 0 1 1 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 7 / 42
Запись десятичного числа в двоичной системе Преобразование дробных чисел 0.235 · 2 = 0.470 0.470 · 2 = 0.940 0.940 · 2 = 1.880 0.880 · 2 = 1.760 0.760 · 2 = 1.520 .0 0 1 1 1 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 7 / 42
Запись десятичного числа в двоичной системе Преобразование дробных чисел 0.235 · 2 = 0.470 0.470 · 2 = 0.940 0.940 · 2 = 1.880 0.880 · 2 = 1.760 0.760 · 2 = 1.520 0.520 · 2 = 1.040 .0 0 1 1 1 1 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 7 / 42
Запись десятичного числа в двоичной системе Преобразование дробных чисел 0.235 · 2 = 0.470 0.470 · 2 = 0.940 0.940 · 2 = 1.880 0.880 · 2 = 1.760 0.760 · 2 = 1.520 0.520 · 2 = 1.040 0.040 · 2 = 0.080 .0 0 1 1 1 1 0 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 7 / 42
Запись десятичного числа в двоичной системе Преобразование дробных чисел 0.235 · 2 = 0.470 0.470 · 2 = 0.940 0.940 · 2 = 1.880 0.880 · 2 = 1.760 0.760 · 2 = 1.520 0.520 · 2 = 1.040 0.040 · 2 = 0.080 0.080 · 2 = 0.160 .0 0 1 1 1 1 0 0 0.23510 ≈ 0.0011110002 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 7 / 42
Запись десятичного числа в двоичной системе Преобразование дробных чисел 0.235 · 2 = 0.470 0.470 · 2 = 0.940 0.940 · 2 = 1.880 0.880 · 2 = 1.760 0.760 · 2 = 1.520 0.520 · 2 = 1.040 0.040 · 2 = 0.080 0.080 · 2 = 0.160 0.160 · 2 = 0.320 … .0 0 1 1 1 1 0 0 0 . . . Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 7 / 42
Запись десятичного числа в двоичной системе Обратное преобразование .0 0 1 1 1 1 0 0 0 ·2−1 ·2−2 ·2−3 ·2−4 ·2−5 ·2−6 ·2−7 ·2−8 ·2−9 2−3 + 2−4 + 2−5 + 2−6 = 0.125 + 0.0625 + 0.03125 + 0.015625 = 0.234375 ≈ 0.235 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 8 / 42
Нормализованная и денормализованная форма
Нормализованная и денормализованная форма Десятичные числа Запись числа в формате с плавающей точкой Варианты записи числа 1251 в форме с плавающей точкой 1251 = 0.1251 × 104 = 1.2510 × 103 = 12.510 × 102 = 125.10 × 101 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 10 / 42
Нормализованная и денормализованная форма Десятичные числа Нормализованная форма Нормализованная десятичная форма числа 1251: 1251 = 1.251 × 103 Число состоит из двух частей: мантисса: 1.251 показатель степени: +3 Модуль мантиссы нормализованного десятичного числа меньше 10 1 ≤ |M| < 10 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 11 / 42
Нормализованная и денормализованная форма Десятичные числа Денормализованная форма Денормализованная десятичная форма числа 1251 1251 = 0.1251 × 104 мантисса: 0.1251 показатель степени: +4 Модуль мантиссы денормализованного десятичного числа меньше 1 0 ≤ |M| < 1 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 12 / 42
Нормализованная и денормализованная форма Двоичные числа Нормализованная форма Нормализованная двоичная форма числа 12.125: 12.125 = 1100.0012 = 1.100001 · 23 мантисса: 1.100001 показатель степени: +3 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 13 / 42
Нормализованная и денормализованная форма Двоичные числа Денормализованная форма Денормализованная двоичная форма числа 12.125: 12.125 = 1100.0012 = 0.1100001 · 24 мантисса: 0.1100001 показатель степени: +4 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 14 / 42
Стандарт IEEE-754
Стандарт IEEE-754 Форматы чисел стандарта IEEE-754 числа одинарной точности sinlge precision – 32 бита числа двойной точности double precision – 64 бита числа расширенной одинарной точности single extended precision – ≥ 43 бита числа расширенной двойной точности double extended precision – ≥ 79 бит Для записи чисел используется форма с плавающей точкой. Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 16 / 42
Стандарт IEEE-754 Число одинарной точности (single precision) S. Знак Es. Смещенный показатель M. Мантисса 1 бит 8 бит 23 бита Для записи числа выделяется 4 байта: 1 1 старший бит — знак числа (0 или 1) 2 8 бит для смещенного на (28)/2 − 1 = 127 показателя степени Es = E + 127 смещение позволяет не вводить знаковый бит показателя степени 3 23 бита для мантиссы без первой (старшей) единицы Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 17 / 42
Стандарт IEEE-754 Число одинарной точности 12.125 = 1.2125 · 101 = 1100.001 = 1.100001 · 23 Мантисса: 1.100001 (без первой единицы) Показатель степени: 3 Смещённый показатель степени: 3 + 127 = 130 = 10000010 0 10000010 10000100000000000000000 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 18 / 42
Стандарт IEEE-754 Число двойной точности Для записи числа выделяется 8 байт Смещение: 211/2 − 1 = 1023. Es = E + 1023 S. Знак Es. Смещенный показатель M. Мантисса 1 бит 11 бит 52 бит Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 19 / 42
Стандарт IEEE-754 Денормализованная форма для близких к 0 чисел 12.125 = 1.2125 · 101 = 1100.001 = 1.100001 · 23 Нормализованная форма записи не позволяет предcтавить ноль, т.к. при восстановлении числа мантисса всегда дополняется единицей: 0 10000010 10000100000000000000000 1.100001 · 210000010−1111111 Для записи нуля и близких к нулю чисел используется денормализованная форма Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 20 / 42
Стандарт IEEE-754 Нормализованная и денормализованная форма Нормализованное и денормализованное число Нормализованное число 0/1 0 < Es < 11111...11 любое число Знак Смещенный показатель Мантисса Денормализованное число 0/1 0000...0000 не ноль Знак Смещенный показатель Мантисса Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 21 / 42
Стандарт IEEE-754 Специальные значения Ноль “Положительный” ноль 0 0000...0000 0000...0000 Знак Смещенный показатель Мантисса “Отрицательный” ноль 1 0000...0000 0000...0000 Знак Смещенный показатель Мантисса Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 22 / 42
Стандарт IEEE-754 Специальные значения Специальные значения Плюс бесконечность +∞ 0 1111...1111 0000...0000 Знак Смещенный показатель Мантисса Минус бесконечность −∞ 1 1111...1111 0000...0000 Знак Смещенный показатель Мантисса Не число (NaN) 0/1 1111...1111 не ноль Знак Смещенный показатель Мантисса Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 23 / 42
Стандарт IEEE-754 Специальные значения Формула восстановления нормализованного числа F = (−1)s 2(Es−2(b−1) +1) (1 + M/2n ) b – количество бит, отводимых под показатель степени; Es – смещенный показатель степени; M – остаток мантиссы; n – количество бит, отводимых под мантиссу. Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 24 / 42
Стандарт IEEE-754 Специальные значения Формула восстановления нормализованного числа single precision F = (−1)s 2Es−127 (1 + M/223 ) double precision F = (−1)s 2Es−1023 (1 + M/252 ) Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 25 / 42
Стандарт IEEE-754 Специальные значения Формула восстановления денормализованного числа F = (−1)s 2(Es−2(b−1) +2) (M/2n ) b – количество бит, отводимых под показатель степени; Es – смещенный показатель степени; M – остаток мантиссы; n – количество бит, отводимых под мантиссу. Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 26 / 42
Стандарт IEEE-754 Предельные значения Предельные нормализованные числа (single) Максимальное нормализованное число смещённый показатель степени 1111 1110 = 255 - 1 = 254; показатель степени 254 - 127 = 127; мантисса 1.11111111111111111111111 = 2 − 223 (2 − 223 ) · 2127 = 3.4028234663852886 · 1038 Минимальное нормализованное число смещённый показатель степени 0000 0001 = 1; показатель степени 1 - 127 = -126; мантисса 1.000000000000000000000 = 1 1 · 2−126 = 1.1754943508222875 · 10−38 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 27 / 42
Стандарт IEEE-754 Предельные значения Предельные денормализованные числа (single) Максимальное денормализованное число показатель степени -126; мантисса 0.11111111111111111111111 = 1 − 2−23 (1 − 223 ) · 2−126 = 1.1754942106924411 · 10−38 Минимальное денормализованное число показатель степени = -126; мантисса 0.000000000000000000001 = 2−23 2−23 · 2−126 = 1.401298464324817 · 10−45 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 28 / 42
Погрешности представления чисел
Погрешности представления чисел Точность представления числа в стандарте IEEE-754 В ЭВМ представимы лишь конечный набор рациональных чисел. Эти числа образуют представимое множество вычислительной машины. Для всех остальных чисел возможно лишь их приближенное представление с ошибкой, которую принято называть ошибкой представления (ошибкой округления). Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 30 / 42
Погрешности представления чисел Пример непредставимого числа Число 1/10 невозможно точно представить в двоичной системе 0.12 = 0.000110011001100110011 . . . В десятичной системе подобным числом является 1/3 ( 1 3 ) 10 = 0.333333 . . . Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 31 / 42
Погрешности представления чисел Точность представления числа в стандарте IEEE-754 Абсолютная максимальная ошибка для числа в формате IEEE-754 равна в пределе половине шага чисел. Шаг чисел удваивается с увеличением показателя степени двоичного числа на единицу. Чем дальше от нуля, тем шире шаг чисел в формате IEEE754 по числовой оси. Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 32 / 42
Погрешности представления чисел Точность представления числа в стандарте IEEE-754 Предел максимальной абсолютной ошибки будет равен 1/2 шага числа: single : A(x∗) = 2Es−23−127/2 = 2(Es−151) double : A(x∗) = 2Es−52−1023/2 = 2(Es−1076) Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 33 / 42
Погрешности представления чисел Точность представления числа в стандарте IEEE-754 Относительная погрешность нормализованного числа ∆(x∗ ) = 2E−151 2E−127 ( 1 + M 223 ) = 1 224 + 2M Относительная погрешность денормализованного числа ∆(x∗ ) = 2E−150 2E−126 M 223 = 1 2M Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 34 / 42
Погрешности представления чисел Погрешность чисел одинарной точности x∗ Абсолютная погрешность 2−149 ≈ 1.401298 × 10−45 2−150 ≈ 0.700649 × 10−45 2−148 ≈ 2.802597 × 10−45 2−150 ≈ 0.700649 × 10−45 1.0 2−23 ≈ 1.192 × 10−7 100 2−17 ≈ 7.6294 × 10−6 1.0 × 1010 210 ≈ 1.024 × 103 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 35 / 42
Погрешности представления чисел Погрешность чисел двойной точности x∗ Абсолютная погрешность 2−1074 ≈ 4.940656 × 10−324 2−1075 ≈ 2.470328 × 10−324 2−1073 ≈ 9.881313 × 10−324 2−1075 ≈ 2.470328 × 10−324 1.0 2−52 ≈ 2.220446 × 10−16 100 2−46 ≈ 1.421085 × 10−14 1.0 × 1010 2280 ≈ 1.942669 × 1084 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 36 / 42
Особенности
Особенности Сложение и вычитание чисел Значащих цифр в мантиссе двоичного числа в формате single не более 24. Если числа отличаются более чем в 223 (для single) и 252 (для double), то операции сложения и вычитания между этими числами невозможны. 300 = 1.00101100000000000000000 ×28 0.00001 = 0.00000000000000000000000010100111110001011011 ×28 300 + 0.00001 = 300 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 38 / 42
Особенности x + 1 == x 1 x = 1.0 2 while ( x != x + 1) : 3 x = 2 * x 4 5 p r i n t ( x ) 9 007 199 254 740 992.0 1 x = 1.0 2 while ( x != x + 0.001) : 3 x = 2 * x 4 5 p r i n t ( x ) 17 592 186 044 416.0 (1020 + 1) − 1020 = 0 ̸= (1020 − 1020 ) + 1 = 1 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 39 / 42
Особенности Сравнение чисел 1 a = 0.1 2 b = 0.1 3 b = b + 10 4 b = b − 10 5 6 a==b 7 8 False 9 10 a 11 0.1 12 b 13 0.09999999999999964 14 15 a−b 16 3.608224830031759e−16 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 40 / 42
Особенности Округление Округление, стремящееся к ближайшему целому* (округления до чётного) 1 import numpy as np 2 3 np . round ( 1 2 . 5 ) 4 12 5 6 np . round ( 1 3 . 5 ) 7 14 Округление к нулю: 1.6 → 1, −1.6 → −1 Округление к большему: 1.6 → 2, −1.6 → −1 Округление к меньшему: 1.6 → 1, −1.6 → −2 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 41 / 42
Особенности Источники 1 IEEE 754-2008 https://ru.wikipedia.org/wiki/IEEE_754-2008 2 Волков Е. А. Численные методы: Учебное пособие для вузов. 2-е изд., испр. М.: Наука. 1987. 3 IEEE 754 - стандарт двоичной арифметики с плавающей точкой http://www.softelectro.ru/ieee754.html 4 Что нужно знать про арифметику с плавающей запятой https://habrahabr.ru/post/112953 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 42 / 42

More Related Content

PPT
Kod chisl
bytexnic
 
PDF
Итерационные методы решения СЛАУ
byTheoretical mechanics department
 
PDF
Решение задач на собственные значения
byTheoretical mechanics department
 
PDF
Основы языка Питон: типы данных, операторы
byTheoretical mechanics department
 
PDF
Python: ввод и вывод
byTheoretical mechanics department
 
PDF
Основы Python. Функции
byTheoretical mechanics department
 
PDF
Алгоритмы и языки программирования
byTheoretical mechanics department
 
PDF
Python: Модули и пакеты
byTheoretical mechanics department
 
Kod chisl
bytexnic
 
Итерационные методы решения СЛАУ
byTheoretical mechanics department
 
Решение задач на собственные значения
byTheoretical mechanics department
 
Основы языка Питон: типы данных, операторы
byTheoretical mechanics department
 
Python: ввод и вывод
byTheoretical mechanics department
 
Основы Python. Функции
byTheoretical mechanics department
 
Алгоритмы и языки программирования
byTheoretical mechanics department
 
Python: Модули и пакеты
byTheoretical mechanics department
 

Similar to Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754

PDF
S1 arithmetics amp-amp_logic
byssuser3ad198
 
PPT
651650.ppt651650.ppt651650.ppt651650.ppt651650.ppt
bymilanaorucova
 
PPT
лекция 6 представление информации в эвм информатика
byGulnaz Shakirova
 
PDF
ОПК № 4 – Представление действительных чисел
byVladimir Parfinenko
 
DOC
03
byJIuc
 
DOC
02
byJIuc
 
PPTX
представление чисел в компьютере
byЕлена Ключева
 
PPT
Системы счисления
byAndrey Dolinin
 
PPT
9 1.1 - системы счисления
byjula-mam
 
PPT
лекция 4 системы счисления информатика
byGulnaz Shakirova
 
PPT
Тема Системы счисления
byОльга Матькина
 
PPT
Java. Cистемы счислния, битовые операции
byUnguryan Vitaliy
 
PPT
06
byJIuc
 
PPT
9
byJIuc
 
PPT
системы счиление
byYUYFF
 
PPTX
системы счисления
byАлександр Радченко
 
PPT
Кодирование информации в компьютере
byAlexander Asmolov
 
PPTX
Sistemy schisleniya munchesku
byeast-man
 
PPTX
40399516545546854685341652413521459 (1).pptx
bynagimaazdarova
 
DOC
05
byJIuc
 
S1 arithmetics amp-amp_logic
byssuser3ad198
 
651650.ppt651650.ppt651650.ppt651650.ppt651650.ppt
bymilanaorucova
 
лекция 6 представление информации в эвм информатика
byGulnaz Shakirova
 
ОПК № 4 – Представление действительных чисел
byVladimir Parfinenko
 
03
byJIuc
 
02
byJIuc
 
представление чисел в компьютере
byЕлена Ключева
 
Системы счисления
byAndrey Dolinin
 
9 1.1 - системы счисления
byjula-mam
 
лекция 4 системы счисления информатика
byGulnaz Shakirova
 
Тема Системы счисления
byОльга Матькина
 
Java. Cистемы счислния, битовые операции
byUnguryan Vitaliy
 
06
byJIuc
 
9
byJIuc
 
системы счиление
byYUYFF
 
системы счисления
byАлександр Радченко
 
Кодирование информации в компьютере
byAlexander Asmolov
 
Sistemy schisleniya munchesku
byeast-man
 
40399516545546854685341652413521459 (1).pptx
bynagimaazdarova
 
05
byJIuc
 

More from Theoretical mechanics department

PDF
Космический мусор
byTheoretical mechanics department
 
PDF
Основы SciPy
byTheoretical mechanics department
 
PDF
Основы NumPy
byTheoretical mechanics department
 
PDF
Модификация механизма Йо-Йо
byTheoretical mechanics department
 
PDF
Python. Объектно-ориентированное программирование
byTheoretical mechanics department
 
PDF
Python. Обработка ошибок
byTheoretical mechanics department
 
PPTX
Chaotic motions of tethered satellites with low thrust
byTheoretical mechanics department
 
PPTX
Docking with noncooperative spent orbital stage using probe-cone mechanism
byTheoretical mechanics department
 
PDF
Deployers for nanosatellites
byTheoretical mechanics department
 
PPTX
CubeSat separation dynamics
byTheoretical mechanics department
 
PDF
Chaotic Behavior of a Passive Satellite During Towing by a Tether
byTheoretical mechanics department
 
PDF
Основы MATLAB. Численные методы
byTheoretical mechanics department
 
PPTX
Транспортно-пусковой контейнер для наноспутников типоразмера 3U, 3U+
byTheoretical mechanics department
 
PPTX
On problems of active space debris removal using tethered towing
byTheoretical mechanics department
 
PDF
Методы решения нелинейных уравнений
byTheoretical mechanics department
 
PDF
Наноспутники формата кубсат
byTheoretical mechanics department
 
PDF
Отделение створок головного обтекателя
byTheoretical mechanics department
 
PPTX
1U-3U+ Cubesat Deployer by JSC SRC "Progress"
byTheoretical mechanics department
 
PDF
The Dynamics of Tethered Debris With Flexible Appendages and Residual Fuel
byTheoretical mechanics department
 
PDF
Метод Кейна
byTheoretical mechanics department
 
Космический мусор
byTheoretical mechanics department
 
Основы SciPy
byTheoretical mechanics department
 
Основы NumPy
byTheoretical mechanics department
 
Модификация механизма Йо-Йо
byTheoretical mechanics department
 
Python. Объектно-ориентированное программирование
byTheoretical mechanics department
 
Python. Обработка ошибок
byTheoretical mechanics department
 
Chaotic motions of tethered satellites with low thrust
byTheoretical mechanics department
 
Docking with noncooperative spent orbital stage using probe-cone mechanism
byTheoretical mechanics department
 
Deployers for nanosatellites
byTheoretical mechanics department
 
CubeSat separation dynamics
byTheoretical mechanics department
 
Chaotic Behavior of a Passive Satellite During Towing by a Tether
byTheoretical mechanics department
 
Основы MATLAB. Численные методы
byTheoretical mechanics department
 
Транспортно-пусковой контейнер для наноспутников типоразмера 3U, 3U+
byTheoretical mechanics department
 
On problems of active space debris removal using tethered towing
byTheoretical mechanics department
 
Методы решения нелинейных уравнений
byTheoretical mechanics department
 
Наноспутники формата кубсат
byTheoretical mechanics department
 
Отделение створок головного обтекателя
byTheoretical mechanics department
 
1U-3U+ Cubesat Deployer by JSC SRC "Progress"
byTheoretical mechanics department
 
The Dynamics of Tethered Debris With Flexible Appendages and Residual Fuel
byTheoretical mechanics department
 
Метод Кейна
byTheoretical mechanics department
 

Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754

  • 1.
    Машинная арифметика. CтандартIEEE-754 Технологии и языки программирования Юдинцев В. В. Кафедра теоретической механики Самарский университет 7 октября 2016 г.
  • 2.
    Содержание 1 Запись десятичногочисла в двоичной системе 2 Нормализованная и денормализованная форма Десятичные числа Двоичные числа 3 Стандарт IEEE-754 Нормализованная и денормализованная форма Специальные значения Предельные значения 4 Погрешности представления чисел 5 Особенности Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 2 / 42
  • 3.
    Введение Стандарт IEEE-754 IEEE Standardfor Binary Floating-Point Arithmetic (ANSI/IEEE Std 754-1985) Стандарт разработан в 1985 году ассоциацией IEEE (Institute of Electrical and Electronics Engineers) и используется для представления действительных чисел в двоичном коде. Используется в микропроцессорах и программных средствах. Особенности стандарта необходимо учитывать при программной реализации численных алгоритмов. Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 3 / 42
  • 4.
    Запись десятичного числав двоичной системе
  • 5.
    Запись десятичного числав двоичной системе Преобразование целых чисел 153/2 = 76 · 2 + 1 1 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 5 / 42
  • 6.
    Запись десятичного числав двоичной системе Преобразование целых чисел 153/2 = 76 · 2 + 1 76/2 = 38 · 2 + 0 0 1 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 5 / 42
  • 7.
    Запись десятичного числав двоичной системе Преобразование целых чисел 153/2 = 76 · 2 + 1 76/2 = 38 · 2 + 0 38/2 = 19 · 2 + 0 0 0 1 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 5 / 42
  • 8.
    Запись десятичного числав двоичной системе Преобразование целых чисел 153/2 = 76 · 2 + 1 76/2 = 38 · 2 + 0 38/2 = 19 · 2 + 0 19/2 = 9 · 2 + 1 1 0 0 1 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 5 / 42
  • 9.
    Запись десятичного числав двоичной системе Преобразование целых чисел 153/2 = 76 · 2 + 1 76/2 = 38 · 2 + 0 38/2 = 19 · 2 + 0 19/2 = 9 · 2 + 1 9/2 = 4 · 2 + 1 1 1 0 0 1 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 5 / 42
  • 10.
    Запись десятичного числав двоичной системе Преобразование целых чисел 153/2 = 76 · 2 + 1 76/2 = 38 · 2 + 0 38/2 = 19 · 2 + 0 19/2 = 9 · 2 + 1 9/2 = 4 · 2 + 1 4/2 = 2 · 2 + 0 0 1 1 0 0 1 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 5 / 42
  • 11.
    Запись десятичного числав двоичной системе Преобразование целых чисел 153/2 = 76 · 2 + 1 76/2 = 38 · 2 + 0 38/2 = 19 · 2 + 0 19/2 = 9 · 2 + 1 9/2 = 4 · 2 + 1 4/2 = 2 · 2 + 0 2/2 = 1 · 2 + 0 1/2 = 0 · 2 + 1 0 0 1 1 0 0 1 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 5 / 42
  • 12.
    Запись десятичного числав двоичной системе Преобразование целых чисел 153/2 = 76 · 2 + 1 76/2 = 38 · 2 + 0 38/2 = 19 · 2 + 0 19/2 = 9 · 2 + 1 9/2 = 4 · 2 + 1 4/2 = 2 · 2 + 0 2/2 = 1 · 2 + 0 1/2 = 0 · 2 + 1 1 0 0 1 1 0 0 1 15310 = 100110012 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 5 / 42
  • 13.
    Запись десятичного числав двоичной системе Обратное преобразование 1 0 0 1 1 0 0 1 ·27 ·26 ·25 ·24 ·23 ·22 ·21 ·20 27 + 24 + 23 + 20 = 128 + 16 + 8 + 1 = 153 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 6 / 42
  • 14.
    Запись десятичного числав двоичной системе Преобразование дробных чисел 0.235 · 2 = 0.470 .0 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 7 / 42
  • 15.
    Запись десятичного числав двоичной системе Преобразование дробных чисел 0.235 · 2 = 0.470 0.470 · 2 = 0.940 .0 0 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 7 / 42
  • 16.
    Запись десятичного числав двоичной системе Преобразование дробных чисел 0.235 · 2 = 0.470 0.470 · 2 = 0.940 0.940 · 2 = 1.880 .0 0 1 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 7 / 42
  • 17.
    Запись десятичного числав двоичной системе Преобразование дробных чисел 0.235 · 2 = 0.470 0.470 · 2 = 0.940 0.940 · 2 = 1.880 0.880 · 2 = 1.760 .0 0 1 1 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 7 / 42
  • 18.
    Запись десятичного числав двоичной системе Преобразование дробных чисел 0.235 · 2 = 0.470 0.470 · 2 = 0.940 0.940 · 2 = 1.880 0.880 · 2 = 1.760 0.760 · 2 = 1.520 .0 0 1 1 1 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 7 / 42
  • 19.
    Запись десятичного числав двоичной системе Преобразование дробных чисел 0.235 · 2 = 0.470 0.470 · 2 = 0.940 0.940 · 2 = 1.880 0.880 · 2 = 1.760 0.760 · 2 = 1.520 0.520 · 2 = 1.040 .0 0 1 1 1 1 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 7 / 42
  • 20.
    Запись десятичного числав двоичной системе Преобразование дробных чисел 0.235 · 2 = 0.470 0.470 · 2 = 0.940 0.940 · 2 = 1.880 0.880 · 2 = 1.760 0.760 · 2 = 1.520 0.520 · 2 = 1.040 0.040 · 2 = 0.080 .0 0 1 1 1 1 0 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 7 / 42
  • 21.
    Запись десятичного числав двоичной системе Преобразование дробных чисел 0.235 · 2 = 0.470 0.470 · 2 = 0.940 0.940 · 2 = 1.880 0.880 · 2 = 1.760 0.760 · 2 = 1.520 0.520 · 2 = 1.040 0.040 · 2 = 0.080 0.080 · 2 = 0.160 .0 0 1 1 1 1 0 0 0.23510 ≈ 0.0011110002 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 7 / 42
  • 22.
    Запись десятичного числав двоичной системе Преобразование дробных чисел 0.235 · 2 = 0.470 0.470 · 2 = 0.940 0.940 · 2 = 1.880 0.880 · 2 = 1.760 0.760 · 2 = 1.520 0.520 · 2 = 1.040 0.040 · 2 = 0.080 0.080 · 2 = 0.160 0.160 · 2 = 0.320 … .0 0 1 1 1 1 0 0 0 . . . Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 7 / 42
  • 23.
    Запись десятичного числав двоичной системе Обратное преобразование .0 0 1 1 1 1 0 0 0 ·2−1 ·2−2 ·2−3 ·2−4 ·2−5 ·2−6 ·2−7 ·2−8 ·2−9 2−3 + 2−4 + 2−5 + 2−6 = 0.125 + 0.0625 + 0.03125 + 0.015625 = 0.234375 ≈ 0.235 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 8 / 42
  • 24.
  • 25.
    Нормализованная и денормализованнаяформа Десятичные числа Запись числа в формате с плавающей точкой Варианты записи числа 1251 в форме с плавающей точкой 1251 = 0.1251 × 104 = 1.2510 × 103 = 12.510 × 102 = 125.10 × 101 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 10 / 42
  • 26.
    Нормализованная и денормализованнаяформа Десятичные числа Нормализованная форма Нормализованная десятичная форма числа 1251: 1251 = 1.251 × 103 Число состоит из двух частей: мантисса: 1.251 показатель степени: +3 Модуль мантиссы нормализованного десятичного числа меньше 10 1 ≤ |M| < 10 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 11 / 42
  • 27.
    Нормализованная и денормализованнаяформа Десятичные числа Денормализованная форма Денормализованная десятичная форма числа 1251 1251 = 0.1251 × 104 мантисса: 0.1251 показатель степени: +4 Модуль мантиссы денормализованного десятичного числа меньше 1 0 ≤ |M| < 1 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 12 / 42
  • 28.
    Нормализованная и денормализованнаяформа Двоичные числа Нормализованная форма Нормализованная двоичная форма числа 12.125: 12.125 = 1100.0012 = 1.100001 · 23 мантисса: 1.100001 показатель степени: +3 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 13 / 42
  • 29.
    Нормализованная и денормализованнаяформа Двоичные числа Денормализованная форма Денормализованная двоичная форма числа 12.125: 12.125 = 1100.0012 = 0.1100001 · 24 мантисса: 0.1100001 показатель степени: +4 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 14 / 42
  • 30.
  • 31.
    Стандарт IEEE-754 Форматы чиселстандарта IEEE-754 числа одинарной точности sinlge precision – 32 бита числа двойной точности double precision – 64 бита числа расширенной одинарной точности single extended precision – ≥ 43 бита числа расширенной двойной точности double extended precision – ≥ 79 бит Для записи чисел используется форма с плавающей точкой. Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 16 / 42
  • 32.
    Стандарт IEEE-754 Число одинарнойточности (single precision) S. Знак Es. Смещенный показатель M. Мантисса 1 бит 8 бит 23 бита Для записи числа выделяется 4 байта: 1 1 старший бит — знак числа (0 или 1) 2 8 бит для смещенного на (28)/2 − 1 = 127 показателя степени Es = E + 127 смещение позволяет не вводить знаковый бит показателя степени 3 23 бита для мантиссы без первой (старшей) единицы Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 17 / 42
  • 33.
    Стандарт IEEE-754 Число одинарнойточности 12.125 = 1.2125 · 101 = 1100.001 = 1.100001 · 23 Мантисса: 1.100001 (без первой единицы) Показатель степени: 3 Смещённый показатель степени: 3 + 127 = 130 = 10000010 0 10000010 10000100000000000000000 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 18 / 42
  • 34.
    Стандарт IEEE-754 Число двойнойточности Для записи числа выделяется 8 байт Смещение: 211/2 − 1 = 1023. Es = E + 1023 S. Знак Es. Смещенный показатель M. Мантисса 1 бит 11 бит 52 бит Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 19 / 42
  • 35.
    Стандарт IEEE-754 Денормализованная формадля близких к 0 чисел 12.125 = 1.2125 · 101 = 1100.001 = 1.100001 · 23 Нормализованная форма записи не позволяет предcтавить ноль, т.к. при восстановлении числа мантисса всегда дополняется единицей: 0 10000010 10000100000000000000000 1.100001 · 210000010−1111111 Для записи нуля и близких к нулю чисел используется денормализованная форма Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 20 / 42
  • 36.
    Стандарт IEEE-754 Нормализованнаяи денормализованная форма Нормализованное и денормализованное число Нормализованное число 0/1 0 < Es < 11111...11 любое число Знак Смещенный показатель Мантисса Денормализованное число 0/1 0000...0000 не ноль Знак Смещенный показатель Мантисса Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 21 / 42
  • 37.
    Стандарт IEEE-754 Специальныезначения Ноль “Положительный” ноль 0 0000...0000 0000...0000 Знак Смещенный показатель Мантисса “Отрицательный” ноль 1 0000...0000 0000...0000 Знак Смещенный показатель Мантисса Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 22 / 42
  • 38.
    Стандарт IEEE-754 Специальныезначения Специальные значения Плюс бесконечность +∞ 0 1111...1111 0000...0000 Знак Смещенный показатель Мантисса Минус бесконечность −∞ 1 1111...1111 0000...0000 Знак Смещенный показатель Мантисса Не число (NaN) 0/1 1111...1111 не ноль Знак Смещенный показатель Мантисса Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 23 / 42
  • 39.
    Стандарт IEEE-754 Специальныезначения Формула восстановления нормализованного числа F = (−1)s 2(Es−2(b−1) +1) (1 + M/2n ) b – количество бит, отводимых под показатель степени; Es – смещенный показатель степени; M – остаток мантиссы; n – количество бит, отводимых под мантиссу. Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 24 / 42
  • 40.
    Стандарт IEEE-754 Специальныезначения Формула восстановления нормализованного числа single precision F = (−1)s 2Es−127 (1 + M/223 ) double precision F = (−1)s 2Es−1023 (1 + M/252 ) Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 25 / 42
  • 41.
    Стандарт IEEE-754 Специальныезначения Формула восстановления денормализованного числа F = (−1)s 2(Es−2(b−1) +2) (M/2n ) b – количество бит, отводимых под показатель степени; Es – смещенный показатель степени; M – остаток мантиссы; n – количество бит, отводимых под мантиссу. Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 26 / 42
  • 42.
    Стандарт IEEE-754 Предельныезначения Предельные нормализованные числа (single) Максимальное нормализованное число смещённый показатель степени 1111 1110 = 255 - 1 = 254; показатель степени 254 - 127 = 127; мантисса 1.11111111111111111111111 = 2 − 223 (2 − 223 ) · 2127 = 3.4028234663852886 · 1038 Минимальное нормализованное число смещённый показатель степени 0000 0001 = 1; показатель степени 1 - 127 = -126; мантисса 1.000000000000000000000 = 1 1 · 2−126 = 1.1754943508222875 · 10−38 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 27 / 42
  • 43.
    Стандарт IEEE-754 Предельныезначения Предельные денормализованные числа (single) Максимальное денормализованное число показатель степени -126; мантисса 0.11111111111111111111111 = 1 − 2−23 (1 − 223 ) · 2−126 = 1.1754942106924411 · 10−38 Минимальное денормализованное число показатель степени = -126; мантисса 0.000000000000000000001 = 2−23 2−23 · 2−126 = 1.401298464324817 · 10−45 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 28 / 42
  • 44.
  • 45.
    Погрешности представления чисел Точностьпредставления числа в стандарте IEEE-754 В ЭВМ представимы лишь конечный набор рациональных чисел. Эти числа образуют представимое множество вычислительной машины. Для всех остальных чисел возможно лишь их приближенное представление с ошибкой, которую принято называть ошибкой представления (ошибкой округления). Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 30 / 42
  • 46.
    Погрешности представления чисел Примернепредставимого числа Число 1/10 невозможно точно представить в двоичной системе 0.12 = 0.000110011001100110011 . . . В десятичной системе подобным числом является 1/3 ( 1 3 ) 10 = 0.333333 . . . Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 31 / 42
  • 47.
    Погрешности представления чисел Точностьпредставления числа в стандарте IEEE-754 Абсолютная максимальная ошибка для числа в формате IEEE-754 равна в пределе половине шага чисел. Шаг чисел удваивается с увеличением показателя степени двоичного числа на единицу. Чем дальше от нуля, тем шире шаг чисел в формате IEEE754 по числовой оси. Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 32 / 42
  • 48.
    Погрешности представления чисел Точностьпредставления числа в стандарте IEEE-754 Предел максимальной абсолютной ошибки будет равен 1/2 шага числа: single : A(x∗) = 2Es−23−127/2 = 2(Es−151) double : A(x∗) = 2Es−52−1023/2 = 2(Es−1076) Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 33 / 42
  • 49.
    Погрешности представления чисел Точностьпредставления числа в стандарте IEEE-754 Относительная погрешность нормализованного числа ∆(x∗ ) = 2E−151 2E−127 ( 1 + M 223 ) = 1 224 + 2M Относительная погрешность денормализованного числа ∆(x∗ ) = 2E−150 2E−126 M 223 = 1 2M Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 34 / 42
  • 50.
    Погрешности представления чисел Погрешностьчисел одинарной точности x∗ Абсолютная погрешность 2−149 ≈ 1.401298 × 10−45 2−150 ≈ 0.700649 × 10−45 2−148 ≈ 2.802597 × 10−45 2−150 ≈ 0.700649 × 10−45 1.0 2−23 ≈ 1.192 × 10−7 100 2−17 ≈ 7.6294 × 10−6 1.0 × 1010 210 ≈ 1.024 × 103 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 35 / 42
  • 51.
    Погрешности представления чисел Погрешностьчисел двойной точности x∗ Абсолютная погрешность 2−1074 ≈ 4.940656 × 10−324 2−1075 ≈ 2.470328 × 10−324 2−1073 ≈ 9.881313 × 10−324 2−1075 ≈ 2.470328 × 10−324 1.0 2−52 ≈ 2.220446 × 10−16 100 2−46 ≈ 1.421085 × 10−14 1.0 × 1010 2280 ≈ 1.942669 × 1084 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 36 / 42
  • 52.
  • 53.
    Особенности Сложение и вычитаниечисел Значащих цифр в мантиссе двоичного числа в формате single не более 24. Если числа отличаются более чем в 223 (для single) и 252 (для double), то операции сложения и вычитания между этими числами невозможны. 300 = 1.00101100000000000000000 ×28 0.00001 = 0.00000000000000000000000010100111110001011011 ×28 300 + 0.00001 = 300 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 38 / 42
  • 54.
    Особенности x + 1== x 1 x = 1.0 2 while ( x != x + 1) : 3 x = 2 * x 4 5 p r i n t ( x ) 9 007 199 254 740 992.0 1 x = 1.0 2 while ( x != x + 0.001) : 3 x = 2 * x 4 5 p r i n t ( x ) 17 592 186 044 416.0 (1020 + 1) − 1020 = 0 ̸= (1020 − 1020 ) + 1 = 1 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 39 / 42
  • 55.
    Особенности Сравнение чисел 1 a= 0.1 2 b = 0.1 3 b = b + 10 4 b = b − 10 5 6 a==b 7 8 False 9 10 a 11 0.1 12 b 13 0.09999999999999964 14 15 a−b 16 3.608224830031759e−16 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 40 / 42
  • 56.
    Особенности Округление Округление, стремящееся кближайшему целому* (округления до чётного) 1 import numpy as np 2 3 np . round ( 1 2 . 5 ) 4 12 5 6 np . round ( 1 3 . 5 ) 7 14 Округление к нулю: 1.6 → 1, −1.6 → −1 Округление к большему: 1.6 → 2, −1.6 → −1 Округление к меньшему: 1.6 → 1, −1.6 → −2 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 41 / 42
  • 57.
    Особенности Источники 1 IEEE 754-2008 https://ru.wikipedia.org/wiki/IEEE_754-2008 2Волков Е. А. Численные методы: Учебное пособие для вузов. 2-е изд., испр. М.: Наука. 1987. 3 IEEE 754 - стандарт двоичной арифметики с плавающей точкой http://www.softelectro.ru/ieee754.html 4 Что нужно знать про арифметику с плавающей запятой https://habrahabr.ru/post/112953 Кафедра теоретической механики Машинная арифметика. Cтандарт IEEE-754 42 / 42