Презентация квалификационной работы бакалавра Пикалова Р. С. Научный руководитель: Ледков А. С.

1. Исследование движения космического
лифта при подъёме груза на орбиту
Кафедра теоретической механики
Пикалов Руслан Сергеевич
pickalovrs@gmail.com
Руководитель: к.т.н., доцент Ледков Александр Сергеевич
ledkov@inbox.ru
Самарский государственный аэрокосмический университет
имени академика С. П. Королёва
(национальный исследовательский университет)
21 июня 2013 г.

2. Идея космического лифта
Космический лифт - механическая
система предназначеная для подьема
и спуска грузов на орбиту
Основные состовляющие КЛ:
Трос
Противовес
Подъёмник
Цель: исследовать динамику КЛ
при подъёме груза на орбиту
(Кафедра ТМ СГАУ) 2 / 26

3. Задачи и допущения
Задачи:
Построить математическую модель КЛ
Исследовать динамику КЛ с учетом движения
подъёмника
Допущения:
Трос - однородный тонкий стержень
Противовес материальная точка
Гравитационное поле потенциальное
Вращение Земли равномерное
Влияние атмосферы не учитывается
(Кафедра ТМ СГАУ) 3 / 26

4. Математическая модель
Подъёмник
Составим уравнения движения, используя формализм
Лагранжа:
d
dt
∂L
∂ ˙qi
−
∂L
∂qi
= Qj.
(Кафедра ТМ СГАУ) 4 / 26

5. Обобщеные координаты
q1 = ϕ - угол отклонения от экваториальной плоскости
q2 = ψ - угол отклонения от плоскости OXZ
q3 = r - длина троса
q4 = x - растояние от точки закрепления до подъёмника
(Кафедра ТМ СГАУ) 5 / 26

6. Лагранжиан механической системы
Лагранжиан системы:
L = T − P.
T = Tpr + TC + TL. (1)
Кинетическая энергия противовеса:
Tpr =
1
2
mprV 2
pr. (2)
Кинетическая энергия троса:
TC =
1
2
ω||J||ωT
+
1
2
mCV 2
C . (3)
(Кафедра ТМ СГАУ) 6 / 26

7. Компоненты вектора угловой скорости центра масс троса
ω =


˙ψ sin ϕ
− ˙ϕ
˙ψ cos ϕ

 .
J =


0 0 0
0 mC r2
2
0
0 0 mC r2
2

 - тензор инерции.
Кинетическая энергия подъёмника
TL = 2 ·
1
2
Jd
˙x2
R2
d
+ 2 ·
1
2
mdV 2
L +
1
2
mgrV 2
L . (4)
(Кафедра ТМ СГАУ) 7 / 26

8. Потенциальная энергия
Потенциальная энергия системы:
P = Ppr + PL + PC. (5)
Ppr = −
µmpr
Rpr
- потенциальная энергия противовеса. (6)
PL = −
µmL
RL
- потенциальная энергия подъёмника. (7)
PC = −
µmC
RC
+
3µj cos2
(γ)
2R3
C/8
+
c
2
(r − lo)2
- энергия троса, (8)
где j - момент инерции троса.
(Кафедра ТМ СГАУ) 8 / 26

9. Выбор закона управления подъёмом
Рассмотрим силы, действующие на подъёмник:
FT =
µmL
R2
L
- сила тяжести
Φe
L = −mLRL cos φ1ω2
E - центробежная сила инерции
ΦC = −2mL (ωE × VL) - сила инерции Кориолиса
(Кафедра ТМ СГАУ) 9 / 26

10. Выбор закона управления подъёмом
Зададим силу в виде
F = Fтяж + Φe
L. (9)
Дополнительная управляемая сила:
Fu1 =



−Φe
L +
mгр
10
t ≤ 150c;
0 t > 150c.
, если sin( t
100
) ≥ 0;
Φe
L, если sin( t
100
) < 0.
(10)
Закон управления подъёмом:
Fu =
F + Fu1 t ≤ 600350c,
F t > 600350c.
(11)
(Кафедра ТМ СГАУ) 10 / 26

11. Подставляя (1),(5) в Лагранжиан, получим систему
дифференциальных уравнений движения системы:



A1
¨ψ + A2 = −dP
dψ
,
B1 ¨ϕ + B2 = −dP
dϕ
,
C1¨r + C2 = −dP
dr
,
D1 ¨x + C2 = −dP
dx
+ Fu.
(12)
(Кафедра ТМ СГАУ) 11 / 26

12. Параметры космического лифта
mC 5000 кг
mpr 3000 кг
mL 110 кг
md 5 кг
mgr 100 кг
mп 4, 385 · 10−5
кг/м
l0 114 · 106
м
E 630 · 109
Па
S 3, 14 · 1, 5 · 10−4
м2
c E · S/l0
(Кафедра ТМ СГАУ) 12 / 26

13. Сила Fu ≡ 0
Проинтегрируем полученую систему уравнений с начальными
условиями:
ϕ0 = 0, ˙ϕ0 = 0, ψ0 = 0, ˙ψ0 = ωz, r0 = l0,
˙r0 = 0, ˙x0 = 0,
для высот расположения подьёмника
x0 = 46 · 106
м и x0 = 26 · 106
м.
Время t = 0..3600 с.
(Кафедра ТМ СГАУ) 13 / 26

14. График изменения координаты x
Изменение координаты x
для высоты x = 26 · 106
м
Изменение координаты x
для высоты x = 46 · 106
м
(Кафедра ТМ СГАУ) 14 / 26

15. График изменения координаты ψ
Изменение координаты ψ
для высоты x = 26 · 106
м
Изменение координаты ψ
для высоты x = 46 · 106
м
(Кафедра ТМ СГАУ) 15 / 26

16. График изменения длины троса
Изменение длины троса ∆r
для высоты x = 26 · 106
м
Изменение длины троса ∆r
для высоты x = 46 · 106
м
(Кафедра ТМ СГАУ) 16 / 26

17. Движение с учётом подъемной силы
Проинтегрируем уравнения движения с начальными
условиями
ϕ0 = 0, ˙ϕ0 = 0, ψ0 = 0, ˙ψ0 = ωz, r0 = l0,
˙r0 = 0, x0 = 0.
Рассмотрим два случая:
1 Fu1 ≡ 0, начальная скорость подъёмника ˙x0 = 33 м/с;
2 Действует сила (11), начальная скорость подъёмника
˙x0 = 0.
(Кафедра ТМ СГАУ) 17 / 26

18. Подъём груза на орбиту Fu1 ≡ 0
Графики изменения координат x и ˙x при подъёме груза
Координата x Скорость ˙x
(Кафедра ТМ СГАУ) 18 / 26

19. Подъём груза на орбиту Fu1 ≡ 0
Графики изменения координаты ψ и ∆r при подъёме груза
Координата ψ Изменение длины троса ∆r
(Кафедра ТМ СГАУ) 19 / 26

20. Подъём груза на орбиту с учетом силы (11)
График изменения координаты x при подъёме груза
Координата x
x на интервале времени
от 599000 до 601000 секунд
(Кафедра ТМ СГАУ) 20 / 26

21. Подъём груза на орбиту с учетом силы (11)
График изменения скорости ˙x при подъёме груза
Скорость ˙x
˙x на интервале
времени от 0 до 2000 секунд
(Кафедра ТМ СГАУ) 21 / 26

22. Подъём груза на орбиту с учетом силы (11)
График изменения координаты ψ и ∆x при подъёме груза
Координата ψ Изменение длины троса ∆r
(Кафедра ТМ СГАУ) 22 / 26

23. Анимация
(Title for the video)
Подъём груза когда Fu1 ≡ 0
(Title for the video)
Подъём груза при действии
силы (11)
(Кафедра ТМ СГАУ) 23 / 26

24. Результаты
Разроботана математическая модель КЛ
Записаны уравнения движения КЛ
Исследовано влияние движения кабины на динамику КЛ
(Кафедра ТМ СГАУ) 24 / 26

25. Использованная литература
1 Асланов, В.С., Ледков, А.С., Стратилатов, Н.Р, Пространственное
движение космической тросовой системы, предназначенной для
доставки груза на Землю, Полет,№2, 2007, с.28-33.
2 Aslanov V. S. and. Ledkov A. S Dynamics of the Tethered Satellite
Systems, Woodhead Publishing Limited, Cambridge, UK, (2012) 320
pages.
3 Vladimir S. Aslanov, Alexander S. Ledkov, Arun K. Misra, and Anna D.
Guerman "Dynamics of Space Elevator After Tether Rupture,"AIAA
Journal, 2013, pp. 1-7. doi: http://arc.aiaa.org/doi/abs/10.2514/1.59378
4 Vladimir S. Aslanov, Alexander S. Ledkov, Arun K. Misra, and Anna D.
Guerman "Motion of the space elevator after the ribbon rupture"//63rd
International Astronautical Congress, 1-5 October 2012, Naples, Italy,
IAC-12,D4,3,9,x13567, p.1-8.
5 Pearson, J., The Orbital Tower: A Spacecraft Launcher Using the
Earth’s Rotating Energy, Acta Astronautica, №2, 1975, pp/785-799.
(Кафедра ТМ СГАУ) 25 / 26

26. Благодарю за внимание!