제어-물리적시스템의 수학적모델링

1. 물리적 시스템의 수학적 모델
190330
도정찬

2. 2.1 소개
• 시스템이란 넓은 의미에서 입력이 주어졌을때 출력이 나오는 장치이다.
• 물리적 시스템을 제어하기 위해서는 가상의 시스템 모델을 분석하고 이해하는 것이 필요하다.
• 입출력을 분석하기 위해서는 시스템 모델이 필요한 것이다.
• 동적 시스템은 시간 영역에서 미분방정식으로 표현하며, 미분 방정식은 주파수 영역에서 해석 가능한
라플라스 변환한다. 라플라스 변환한 유리함수를 시스팀 모델이라 한다.
Systeminput, x(t) output,y(t)

3. 2.1 소개
• 아래의 그림은 동적 시스템 모델로 가장 많이 사용하는 질량- 스프링-댐퍼 시스템을 나타낸다.
• 입력으로 힘 f(t)가 주어질때 출력으로 움직임 x(t)가 나타나는 시스템이다.
• 마찰력을 무시하는 환경에서 질량이 M인 물체에 외부입력 힘 f(t)가 작용된다.
• 뉴턴의 운동법칙 f = Ma로 시스템이 움직이는데 힘 f(t)가 주어질때 댐핑상수 B와 스프링 탄성계수 K
의 값에 따라 출력으로 질량 M인 물체 움직임 위치 x(t)가 바뀐다.
f M
K
B
x

4. 2.1 소개
• 질량-스프링-댐퍼 시스템의 식을 미분방정식으로 표현하면 다음과 같다.
• 이 미방은 자유물체도를 통해 구한 식이다.
• 질량 M인 물체가 a의 가속도로 움직이면 f=Ma가 주어지고, 벽으로부터 반발력 Kx(t)와 를
고려하여 전체 힘의 합으로 표현하면 다음과 같다.
f M
K
B
x
여기서 M은 질량, B는 감쇠비, K는 스프링 탄성계수이다.
위 식은 이차 미분방정식으로 해를 구하면 입력 힘 f(t)에 대한 출력 x(t)의 움직임을 알수있다.
즉, 변수 M, B, K 값을 정확히 알면 정확한 출력을 구할 수 있다.

5. 2.1 소개

6. 2.1 소개
• 아래의 그림과 같이 시스템을 정확히 모델링 할수록 실제 시스템의 행동을 정확히 분석, 제어할 수 있다.
• 시스템의 모델을 만들기 위해 수학적 이론이 뒷받침되어야 한다.
• 하지만 보통 모든 시스템은 비선형이고, 수학적 이론과 모델의 부족, 실제상황에서 나타나는 불확실성 등
때문에 비선형 시스템을 모델링하여 실제 시스템과 똑같이 만들기란 쉬운 일이 아니다. 비선형시스템을 선
형화 할수 있다면, 시스템의 모델을 만드는데 어려움은 없게 된다.
• 다행이 많은 시스템들이 한정된 영역 안에서는 선형 시스템처럼 동작한다. 이때문에 비선형 시스템을 대략
적인 선형 시스템으로 표현하여 모델을 만들고 선형 시스템처럼 쉽게 시뮬레이션할 수 있다.
• 이 책에서 다루는 대부분의 시스템은 선형이고 시간에 따라 변하지 않는, 즉 LTI 시스템이다.
• 이 장에서는 물리적 시스템의 움직임을 대략적인 선형 시스템의 역학 미분방정식으로 표현하고, 표현된 미분
방정식을 다시 라플라스 변환을 거쳐 시스템의 입력에 대한 출력을 분석할 수 있는 함수로 바꾸어 표현하는
것을 배울 것이다.
• 라플라스 변환에서 한 시스템의 입력과 출력의 관계를 나타내는 모델을 표현하는 함수를 전달함수라 한다.
• 입력신호를 시스템 모델을 거쳐 출력으로 전달하는함수로 비선형 시스템은 미분방정식으로 표현할 수 없기
때문에 전달함수를 구할수 없다.
• 그러므로 이 장에서는 실제 시스템을 미분방정식으로 설계하고, 미분방정식의 해를 구하여 MATLAB으로 출력
해본다. 또한 설계한 미분방정식으로부터 라플라스 변환을 통한 시스템의 전달함수를 사용하여 그 특성방정식
의 해를 구하고 시스템의 출력을 구하는 과정을 간단한 물리적 모델을 통해 MATLAB 프로그램과 더불어 설명
하고자 한다.

7. 2.2 라플라스 변환
• 라플라스 변환은 시간영역에서 함수 f(t)를 변수 s를 사용하여 복소 주파수 영역의 함수 F(s)로 변환한다.
라플라스 변환의 목적은 시간 함수 f(t)를 라플라스 영역의 함수 F(s)로 변환하여 시스템을 해석하거나 분석
하는데 편리함을 제공하는 것이다. 작동자 s는 복소수로 로 나타내며 , 는 실수이고 는
각 주파수를 나타낸다.
f(t) <-> F(s)
• 라플라스 변환 F(s)는 다음과 같은 적분의 형태로 정의된다.
• F(s)는 s의 다항식으로 이루어진 분모 분자의 유리함수로, F(s) = N(s)/D(s) (Numerator(s)/Denumerator(s))로
구성되어있으며 다항식의 근은 아래의 그림 s평면에 놓이게 된다.
• 라플라스 역변환의 정의는 다음과 같다.

8. 2.2 라플라스 변환

9. 2.2 라플라스 변환

10. 2.2 라플라스 변환

11. 2.2 라플라스 변환

12. 2.2 라플라스 변환

13. 2.2 라플라스 변환

14. 2.2 라플라스 변환
• 전달함수와 같이 분모 분자가 s의 다항식으로 이루어진 함수를 유리 함수라 하며 Y(s) = n(s)/d(s)에서 분모인
d(s)의 근을 극점(pole)이라 하고, 분자 n(s)의 근을 영점(zero)라 한다.
• 아래의 식에서 영점은 -4이고, 극점은 각각 -3과 -1이 된다.
• s평면에서 극점을 x로 영점을 o로 표기한 그림을 폴-제로 맵이라 한다. 아래는 위식의 폴-제로맵을 나타낸다.

15. 2.2 라플라스 변환
• MATLAB에서 다항식의 입력은 “[ ]”로 나타내는데 숫자 사이 공간을 둬서 차수를 구별한다.
다항색은 내림차 순으로 구한다.

16. • 라플라스 변환이 시간함수를 주파수 함수로 바꾼 것이라면, 라플라스 역변환은 다음과 같이 적분함수를
통하여 주파수 함수를 시간 함수로 바꾸어 준다.
• 위 식에서 보듯이 간단한 함수의 라플라스 역변환의 적분은 할수 잇지만 복잡한 라플라스의 적분은 간단하지
않다. 또 함수에 따른 적분이 존재하지 않는 경우가 생긴다.
• 따라서 이전에 구한 라플라스 변환 형태를 적용한다. 예를들어 라플라스 함수가 아래와 같다고 하면 인수분해를
통해 폴-제로 형태로 표현할 수 있다.
2.2 라플라스 변환

17. • 위 식은 부분인수분해 확장을 통해 다음과 같이 표현된다.
• 여기서 k1,k2 .. , kn을 계수(residue)라 한다. 위 식의 계수가 구해지면 라플라스 변환쌍을 통해 쉽게 역라플라스
변환하여 y(t)를 구할수 있게 된다.
• 지수함수의 라플라스 응답은 다음과 같다.
• 위 식에 적용하면 다음과같이 시간영역의 함수 y(t)를 구한다.
• 계수는 아래의 방식으로 구한다.
2.2 라플라스 변환

18. 2.2 라플라스 변환

19. • 예제 2-3의 식에서 입력이 델타함수 인경우 라플라스 변환이 1이므로 Y(s)는 다음과 같이 입력 X(s)가 델타함수
인 경우의 출력인 임펄스 응답과 같다고 볼 수 있다.
• 시간 영역에서 미분 방정식을 직접 풀어 구한 예제 2-3의 식 의 출력과 입력이 델타함수일
경우, 임펄스 함수 명령어 impluse를 사용하여 구한 의 출력은 같아야 한다.
2.2 라플라스 변환

20. 2.2 라플라스 변환

21. 2.2 라플라스 변환

22. • 우리가 다루는 대부분의 시스템은 선형 시스템이다. 라플라스 변환이나 푸리에 변환도 선형 시스템에만
적용이 가능하다. 시스템이 선형인지 비선형인지는 입력에 대한 출력 응답 관계를 조사하여 구분할 수 있다.
• 보통 한 시스템이 자극 입력에 대한 시스템의 응답을 일관성 있게 나타내면, 그 시스템을 선형으로 정의한다.
• 자극 입력 x1(t)가 주어질때 출력 응답은 y1(t)이고, x2(t)에 대한 응답은 y2(t)라 하자. 시스템이 선형이기 위해선
다음과 같이 중요한 원리를 만족해야한다.
• 입력으로 x1(t)+x2(t)가 주어질 때 출력 응답도 각 응답의 합인 y1(t)+y2(t)로 나타나야한다.
• 또한 선형 시스템에서는 비례상수가 보존된다. 입력자극 x(t)에 a라는 비례상수가 곱해질 경우, 응답은 ay(t)가
되어야 한다. 이 원리를 ‘비례상수의 원리＇라 한다.
• 결론적으로 시스템이 선형이기 위해 두 원리를 만족해야 한다. 두 원리를 하나로 쓰면 아래와 같으며 이것을
중첩의 원리라 한다.
2.3 선형 시스템의 정의

23. 2.3 선형 시스템의 정의

24. • 비선형 시스템의 예로 y(t) = x(t)^2를 살펴보자. 중첩의 원리를 보면, 자극이 x1(t)+x2(t)일떄 응답은 y=(x1(t)+
x2(t))^2 = x1(t)^2+x2(t)^2+2x1(t)x2(t)로 선형이 되기 위한 응답 y=x1(t)^2+x2(t)^2과 일치하지 않다.
• 이 시스템은 중첩의 원리를 만족하지 않기 때문에 비선형이다.
2.3 선형 시스템의 정의

25. • 이차 미분방정식으로 표현되는 간단한 물리적 시스템으로 질량-스프링-댐퍼 시스템을 들수 있다.
• 입력되는 힘의 크기(f)에 따라, 출력되는 스프링과 댐퍼에 의한 질량 M인 물체의 움직임 x가 달라진다.
일정한 힘이 주어질때 스프링상수 K와 댐퍼 상수 (B)의 값에 따라 질량 M인 물체의 진동폭가 진동시간을
조절할 수있다.
• 이러한 질량-스프링-댐퍼 시스템의 움직임은 다음과 같은 이차 미분방정식으로 표현된다.
2.4 시스템의 움직임 모델

26. 2.4 시스템의 움직임 모델

27. • 이차 미분방정식으로 표현되는 간단한 물리적 시스템으로 질량-스프링-댐퍼 시스템을 들수 있다.
• 입력되는 힘의 크기(f)에 따라, 출력되는 스프링과 댐퍼에 의한 질량 M인 물체의 움직임 x가 달라진다.
일정한 힘이 주어질때 스프링상수 K와 댐퍼 상수 (B)의 값에 따라 질량 M인 물체의 진동폭가 진동시간을
조절할 수있다.
• 이러한 질량-스프링-댐퍼 시스템의 움직임은 다음과 같은 이차 미분방정식으로 표현된다.
2.4 시스템의 움직임 모델

28. 2.4 시스템의 움직임 모델

29. • 일반적으로 모든 시스템은 비선형이다. 하지만 어떤 작용점, 즉 평형점에서는 선형처럼 작동한다. 이때 비선형
시스템을 선형처럼 작동하는 어떤 작동점에서 선형화 하여 사용할 수 있다. 시스템을 선형화하기 위해선는
테일러 급수를 사용한다.
2.5 비선형 시스템의 선형화

30. ex 2-9 ) 진자의 선형화
다음 진자의 움직임을 통해 선형화를 공부해 보자. 질량이 m인 진자가 길이가 L인 막대에 달려있다. 이때 각도를
라 하자.
2.5 비선형 시스템의 선형화

31. 2.6 전달함수
• 한 시스템의 입력과 출력의 관계를 나타내는 함수를 전달함수라 한다. 신호 처리에서는 전달함수가 필터가 된다.
따라서 전달함수는 입력의 신호를 출력으로 어떻게 바꾸어 전달하는가 하는 함수이다.
• 전달함수는 시스템 모델이라고도 하며 시간영역에 있는 미분방정식을 주파수 영역으로 변환할수 있는 라플라스
변환으로 구할수 있다.
• 전달함수를 알면 시스템의 행동을 분석하고 연구하는데 많은 도움이 된다.
• 특정 입력을 시스템에 주었을 때 출력되어 나오는 응답을 분석하여 시스템의 성격을 해석할 수 있으며 출력이
입력을 추종하는 제어기를 설계하는데 필요하다.
• 전달함수는 분수로 된 다항식으로 표현한다. 앞의 질량-스프링-댐퍼 시스템의 모델 방정식에서 초기 조건을
모두 0이라 하고, 라플라스 변환을 하면 다음과 같다.
• 여기서 라플라스 연산자 s는 d/dt로 선형이다. 입력 F(s)와 출력 X(s)의 전달함수 G(s)는 다음과 같다.

32. 2.6 전달함수
• X(s)는 출력이고, F(s)는 입력인데 출력과 입력과 관계는 아래의 전달함수인 식으로 표현된다. 일반적인 전달함수
는 분자와 분모의 다항식인 유리함수로 다음과 같이 표현된다.
• 이때 문자의 차수는 분모의 차수보다 같거나 작아야 BIBO(Bounded-Input-Bounded-Output) 시스템의 안정된
조건이 된다(m<=n). 즉, 입력이 한정될때 출력또한 한정되어서 나온다는 것이다. 위 식의 분모를 0으로 놓은
식을 특성방정식이라 한다.
• 이 특성방정식의 근을 전달함수의 극점이라 하는데, 이 극점에 따라서 시스템의 안정성과 시간응답성능에 밀접
한 관계가 있다.
• 분자 n(s)의 근을 전달함수의 영점이라 한다. 시스템 전달함수의 극점과 영점이 모두 s평면에서 왼쪽에 놓이면
이를 최소 위상 시스템, 그렇지 않으면 비최소위상 시스템이라 한다. 최소 위상 전달함수의 장점은 분모, 분자의
차수가 같은 경우 뒤집어 역으로 해도 안정성을 만족한다.

33. 2.6 전달함수
• 질량-스프링-댐퍼 시스템 식에서 M=1, B=4, K=3일 경우 전달함수의 다항식을 다음과 같이 표현한다. 이 경우
특성방정식의 근을 구하고자 한다면 roots 명령어를 사용하면 된다. 반대로 근으로부터 다항식을 구하고자 할
때는 poly 명령어를 쓴다.
• 전달함수가 다항식으로 되어있을 때 역라플라스 변환을 하려면, 다음처럼 부분인수분해 확장이 필요하다.
• Matlab에서는 간단히 residue 명령을 사용하면 위 부분분수 전개된 형태를 구할수 있다. 앞의 예를 들면 r은
계수값을, p는 극점의 값을, k는 몫의 값을 각각 갖는다.

34. 2.6 전달함수
• 다음 전달함수를 고려해 보자.
• 점검 문제 2.12 아래의 전달함수를 residue 명령어로 인수분해하고 역라플라스 변환을 통해 y(t)를 구하시오.

35. 2.7 열린 블록선도의 합성
• 입력과 출력 그리고 전달함수의 관계를 도식화하여 표현한 것을 블록선도라 하며 아래의 그림과 같다. 블록선도
의 입력, 출력과 전달함수는 라플라스 변환 형태로 표기하므로 입력에 대한 출력의 라플라스 변환식을 쉽게 도
출해낼수 있다.이러한 출력으로부터 라플라스 역변환하므로 시간응답을 쉽게 구할수 있다. 라플라스 변환은
시간 함수로 표현하는 시스템을 분석하는데 있어서 매우 편리하다.
• 이상적인 전달함수는 1로서 입력이 그대로 출력으로 전달되어 똑같이 된느 경우이나 이러한 시스템의 전달함수
는 존재하지 않으므로 우너하는 출력을 얻기 위해서는 제어기가 필요하고 출력신호의 궤환이 필요하다. 그러면
라플라스 영역에서 제어기를 사용할 경우 제어기와(controller)와 공정(plant)의 두 시스템의 블록선도를 합성
하는 방법을 알아보자.

36. 2.7 열린 블록선도의 합성
• 두 전달함수가 직렬로 놓여있을 때 수식상으로 곱하여 전개하면 된다. C(s)는 제어기의 전달함수이고, G(s)는
공정의 전달함수이다. 합성된 전달함수 G(s)C(s)를 개루프 전달함수(open loop transfer function)이라 한다.
• 개직렬방식(open series connection)
• MATLAB에서 직렬로 놓인 두 전달함수를 하나로 합성하려면 series 명령어를 사용하거나 conv 명령어를 사용
하여 합성하면 된다. conv 명령어를 사용할 경우에는 분자는 분자끼리, 분모는 분모끼리 합성한다. 예를 들어,
‘ng’,’nc’는 각각 공정과 제어기의 분자이고, ‘dg’,’dg는 공정과 제어기의 분모라하면 합성된 개루프 전달함수의
분자는 ‘ngc’라 하고 분모를 ‘dgc’라 하면 다음과 같다.
• 또 간단히 series 명령어를 사용하면 위 두 문장을 하나로 할 수 있는데, 이때 분자와 분모 순서에 주의해야한다.

37. 2.7 열린 블록선도의 합성
예제 2-11
• 합성된 개루프 전달함수를 구하라

38. 2.7 열린 블록선도의 합성
점검문제 2.13
• G(s)C(s)를 구하는 프로그램을 써 보시오.

39. 2.7 열린 블록선도의 합성
• 개병렬방식(open parallel connection)
• 두 전달함수가 병렬로 놓여 있을 때 하나로 합성하려면 두 전달함수를 더하면 된다. 이 때 사용하는 명령어는
paralle이다.
• 프로그램에서는 분자 분모 순서에 유의하여 다음과 같이 하면 된다.

40. 2.7 열린 블록선도의 합성
• 예제 2-12 개병렬 방식
• 합성된 전달함수 G(s)를 구하자

41. 2.7 열린 블록선도의 합성
• 점검문제 2-14
• 합성된 전달함수 G(s)를 구하자

42. 2.8 폐블록선도의 합성
• 폐직렬방식(closed series connection)
• 두 전달함수가 직렬로 놓은 상태에서 루프가 닫힌 경우 전달함수 T(s)를 폐루프 전달함수(closed loop tranfer
function)이라 하는데, T(s)는 cloop 명령어를 사용하여 구할 수 있다. 명령어 cloop는 SISO(single input single
output) 시스템의 단일 귀환(a unity feedback) 시스템에 사용된다.
• 직렬방식일 경우 series 명령어를 사용하여 개루프 전달함수 G(s)C(s)를 만든 다음 cloop를 사용하여 폐루프
전달함수 T(s)를 얻게 된다.
• cloop의 ‘-1’은 음궤환 공정을 나타내고, ‘1’은 양궤환 공정을 나타낸다. default로는 음궤환 공정이다.

43. • 점검문제 2-13) 폐직렬 방식
• T(s)를 구해보자.
2.8 폐블록선도의 합성

44. 2.8 폐블록선도의 합성

45. • 직렬과 병렬의 혼합 방식
• 아래의 그림은 폐병렬구조에 예비필터(Prefilter)를 입력에 더한 구조를 살펴보자. 예비필터는 기준 입력을
조정하므로 시스템의 출력을 조절할 수 있다.
2.8 폐블록선도의 합성

46. 2.8 폐블록선도의 합성
• 점검 2-15) 예비 필터가 있을때 전달함수

47. 2.8 폐블록선도의 합성
다중 루프 블록선도 간략화 방법

48. 2.8 폐블록선도의 합성

49. • 앞에서 개루프와 폐루프의 전달함수를 구해보았다. 개루프는 궤환신호가 없이 직접 구동기를 사용하여 시스템
의 응답을 제어한다. 폐루프에서는 궤환신호를 입력과 비교하여 그 오차로 구동기를 구동하기 때문에 시스템의
출력을 측정하는 감지장치나 비교장치, 추가 회로장치등 비용이 개루프에 비해 많이든다. 이 처럼 비용이 많이
듦에도 불구하고 폐루프를 사용하는 것은 그에 상응하는 중요한 이점들이 있기 때문이다. 출력신호를 궤환하는
폐루프가 개루프에 비해 어떤 장점들이 있는지 알아보자.
• 다음의 두 블록선도를 통하여 출력에 대한 외란의 영향에 대해 알아보자.
• 외란이 출력에 미치는 영향을 알아보기 위해 전달함수를 구할 경우에는 선형 시스템의 중첩의 원리에 의해 R(s)
를 0으로 놓고 D(s)를 입력으로 간주한 후 전달함수를 구한다. 반대로 R(s)에 대한 출력의 전달함수를 구할 경우
외란 입력 D(s)를 0으로 놓고 구한다.
2.9 개루프와 폐루프의 비교
첫째, 외부로부터 외란을 차단 할 수 있다.

50. 2.9 개루프와 폐루프의 비교
• 위 두 경우 외란 D(s)에 대한 출력 Y(s)를 보면 개루프의 경우 이고, 폐루프의 경우 가
된다. 폐루프의 경우 외란의 영향이 개루프 보다 만큼 감소됨을 알수 있다. 왜냐하면 일반적으로 |G(s)C(s)|
> 1이기 때문이다. 그러므로 폐루프를 사용하면 외란의 영향을 최소화 할 수 있다.
• 공정의 변수가 변하게 되면 시스템의 출력이 변하게 되는데 이때 변화율을 감도(sensitivity)라 한다. 궤환신호를
사용하면 감도의 영향력을 줄일 수 있다. 만약 공정의 전달함수 G(s)가 로 바뀌었을 경우를 보자.
개루프의 경우 입력 R(s)에 대한 출력 는
가 되고, 폐루프의 경우는 아래와 같다. 두경우를 비교하면, 개루프에서는 공정의 변화가 제어기에 곱해져서
나타난 반면 폐루프의 경우 감도의 영향이 작게 됨을 알수 있다.
둘째, 공정의 변화에 따른 시스템의 감도를 줄일 수 있다.

51. 2.9 개루프와 폐루프의 비교
• 개루프의 경우, 어떤 한 공정에 대해 어떠한 제어기를 사용하더라도 원하는 과도응답(transient response)을
얻지 못할 수 있다. 궤환신호를 사용하여 쉽게 출력응답을 조절할 수 있도록 한다.
• 개루프에서 오차는 아래와 같다.
• 아래는 입력이 스텝인 경우 정상상태 오차이다.
• 폐루프에서 오차
• 정상상태에서의 오차
• 일반적으로 |G(0)C(0)| > 1이기 때문에, 개루프에서의 오차와 정상상태에서 오차를 비교해보면, 폐루프의 오차가
훨씬 작음을 알 수 있다.
셋쨰, 시스템의 과도응답을 조절할 수 있다.
넷째. 정상상태 오차를 줄일수있다.

52. 2.10 속도계 제어의 예
• 속도계 제어의 예를통해 폐루프의 장점들을 자세히 알아보자.
• 속도계에서 대표적인 선풍기 모터의 속도는 토크에 비례하고 토크는 전류에 비례하므로 전류를 조절하면 속도
를 조정할 수 있게 된다. 선풍기에 달려있는 회전수를 나타내는 단추는 아래 그림의 저항 R_a 값을 바꾸어 궁극
적으로는 전류 I_a를 바꾸는 것이라 볼수 있다.
• 모터를 모델링 할 경우 J가 모터 관성 상수이고 f가 마찰 상수일때, 모터의 기본 전달함수는 다음과 같다.
• 기본적인 속도계의 블록선도가 위 그림에 잘 나타나있다. 입력으로 전압 V_a가 주어지면 저항 R_a를 통해 전기
자 전류 I_a를 발생한 뒤 모터상수 K_i를 거쳐 모터 토크를 생산한다. 이토크는 외란의 토크와 비교되어서 차이가
모터를 조정하게 된다. K_b는 역기전력(back emf) 상수이다.
전압 V_a가 입력
V=IR -> V/R = I
이므로 I_a 발생
모터 상수 K_i로
모터 토크 생산
역기전력 상수

53. 2.10 속도계 제어의 예
• 입력에 대한 개루프 출력을 구해보면 다음과 같다.
• 외란에 대한 개루프 출력을 구해보면 다음과 같다.
• 위 식에서 전달함수의 변수들은 실제적인 값으로 고정되어 있으므로 원하는 대로 출력을 조작하기가 어렵다.
• 위 그림은 속도계 제어의 폐루프 블록선도를 보여주고 있는데, 개루프 속도계에 해당하는 속도계 시스템으로는
선풍기를 들 수 있다.
기준 입력 속도
타코미터
기준 속도와
실제속도 차이 오차 증폭 모터 상수
속도 유지를 위한 속도계 폐루프 제어 블록선도
역기전력

54. 2.10 속도계 제어의 예
• 개루프 블록선도에서 속도를 궤환시키면 폐루프가 된다. 두 블록선도의 차이점은 궤환 루프에서 타코미터 K_t
가 있어서 속도를 측정한 뒤, 측정된 속도는 기준 입력 속도 W_d와 비교되어 그 오차는 증폭기 K_a를 통하게
된다. 증폭기는 조절 가능하므로 원하는대로 수행능력을 향상시킬수 있는 장점이 있다. 이러한 폐루프 속도계
시스템의 예로 엑셀 페달을 밟지 않고도 일정한 속도로 유지시켜주는 자동차의 자동속도 제어 시스템을 들수
있다.
• 입력 W_d(s)에 대한 위 폐루프의 출력 W_m(s)를 구하면 아래와 같다.
• 입력 D(s)에 대한 출력 W_m(s)를 구하면 다음과 같다.

55. 2.10 속도계 제어의 예

56. 2.10 속도계 제어의 예

57. 2.10 속도계 제어의 예

58. 2.10 속도계 제어의 예
입력에 대한 개루프 출력
외란에 대한 개루프 출력
속도계 개루프 제어의 블록선도(ex_ 선풍기)
속도계 폐루프 제어의 블록선도(ex_크루즈 컨트롤)
입력에 대한 폐루프 출력
외란에 대한 폐루프 출력

59. 2.11 DC 모터의 수학적 모델
• 이전 내용을 정리하기위해 예로 DC 모터의 모델을 구해보자. 모터는 제어 스시템에서 많이 쓰이고, 밀접한
관계가 있으므로 관심을 갖고 공부할 필요가 있다. 여기선 간단한 DC모터를 소개하고자한다.
• DC모터의 구조를 보면 바깥에 정류자(stator)는 고정되어있고, 안쪽의 회전자(rotor)는 움직이게 되어있다.
정류자와 회전자 사이에 공간이있는데 그곳에 자기장(magnetic flux)이 존재하게 된다.
• 모터구조를 회로로 그려보면 아래의 그림과 같다.
• 플럭스는 자장 전류에 상수를 곱한 형태이고, 토크 입력은 전기자 전류 I_a(t)에 비례하므로 토크상수와 곱한다.
토크는 모터상수에 곱해진 전류에 비례한다.

60. 2.11 DC 모터의 수학적 모델
• 예제 2-17 모터저에 모터 요소의 갑들을 아래와 같이 주고 모터 출력을 구해보자

61. 2.11 DC 모터의 수학적 모델
• 예제 2-18) 제어기를 사용한 모터 제어
• 증폭이득 Kp를 첨가해서 출력을 다시 구해보자.
• 정상 상태 오차가 0으로 수렴함을 볼 수 있다. 위 그래프에서 첨두치 시간이나 정착시간을 좀더 빠르게 하기
위해서는 모터 요소의 값들을 바꾸어야 한다. 이 요소들의 값은 보통 고정되어있고, 매번 바꾸기 어려우므로
제어기가 필요하다. 제어기를 도입하여 원하는 출력응답을 얻을 수 있다. 원하는 시스템 응답을 얻기위해
제어기를 설계하는것이 이 책의 주요 내용이고, 제어엔지니어들이 해야할 일이다.
• 여기서 쓰인 간단한 제어기를 비례제어기(proportional controller)라 한다. 비례 제어기의 입력으로서 오차는
제어기를 통해 비례하게 증폭된다. 위 경우 비례제어기를 사용하여 정상상태 오차는 줄었지만, 첨두치시간이나
정착시간을 줄이지는 못했다. 기본적인 제어기의 종류로는 비례제어기, 오차미분값과 비례하는 미분제어기,
오차 적분값과 비례하는 적분 제어기 등이 있고, 보통 사용시 이들 제어기를 합성하여 사용한다.

62. 2.12 MATLAB 명령어 요약
tf 전달함수를 나타낸다.
cloop 단일궤환 폐루프 전달함수를 구한다 printsys 전달함수를 보여준다.
conv 두 다항식을 하나로 합성한다. residue 전달함수를 인수분해한다.
feedback 폐루프의 전달함수를 구한다 roots 다항식의 근을 구한다.
parallel 병렬로 놓인 두 전달함수를 합성한다. series 직렬로 놓은 두 전달함수를 하나로 합성
한다.
poly 근을 갖고 다항식을 구한다. step 스텝 입력에 대한 시스템의 출력구한다.

63. 감사합니다