KMOOC 선형대수 성균관대 이상구 교수님

1. 00. 선형대수학 OVERVIEW01
도정찬
KMOOC, 선형대수학, 성균관대, 이상구 교수님, 2020-1학기

2. 소개
선형대수학은 수학, 공학, 경제학, 사회학 등 거의 모든 학문 분야에서 이용되며, 가장 중요한 수학 과목의 하나로
실제 응용뿐만 아니라 이론적인 연구도 활발한 수학 분야 중의 하나입니다.
우리는 그 첫 걸음으로 벡터와 그 성질을 공부하고 이를 바탕으로 선형대수학의 기본 원리들을 하나하나 공부해
갈것입니다.
크기와 방향 모두를 가지는 것(object, 양)을 벡터라 합니다. n-차원 벡터는 유전학이나 경제학, 생태학 등 다양
한 분야에서도 볼 수 있답니다. 우리는 3차원 공간에서 이러한 벡터들이 갖는 기본 성질을 알아보고, 그 내용을
n-차원공간으로 확장할 것입니다. 또한 내적을 정의하고 직선과 평면의 방정식을 공부할 것입니다.

3. 목표
1.1 공학과 수학에서의 벡터
1.2 내적(inner product)과 직교
1.3 직선과 평면의 벡터 방정식

4. 1.1 공학과 수학에서의 벡터 : n-차원 공간

5. 1.1 공학과 수학에서의 벡터: n 차원 공간
스칼라(Scalar) : 길이, 넓이, 질량, 온도
- 크기만 주어지면 완전히 나타낼수 있는 양
벡터(vector) : 속도, 위치이동, 힘
- 크기 뿐만아니라 방향까지 지정하지 않으면 완전히 나타낼수 없는 양
- 벡터는 크기와 방향을 갖는 유향 선분이다.
- 특히 2차원, 3차원 공간에서의 벡터는 화살표로 표현가능하다.

6. 1.1 공학과 수학에서의 벡터: n 차원 공간
세 실수들의 순서조 를 (공간)벡터(vector in space)라 하고
로 나타낸다. 이때 실수 를 공간 벡터 x의 성분(component)라 한다.

7. n개의 실수의 순서조 를 n차원 벡터(n-dimensional vector)라 하고
로 나타낸다.
이때 실수 를 x의 성분(component)라 한다.
1.1 공학과 수학에서의 벡터: n 차원 공간

8. 1.1 공학과 수학에서의 벡터: n 차원 공간
n차원에서 벡터의 상등(equivalent)
의 벡터 에 대하여
이면 x = y 라 한다.

9. 1.1 공학과 수학에서의 벡터: n 차원 공간
- n차원에서 벡터합, 스칼라배, 양벡터, 음벡터
의 벡터 와 스칼라 k에 대하여
두 벡터의 합 x + y와 k에 의한 x의 스칼라배 kx를 각각 다음과 같이 정의한다.
또한 에서 모든 성분이 0인 벡터를 영벡터 또는 원점이라 하고 0으로 나타낸다. 그러면 임의의
에 대하여 x + 0 = x, x + (-1)x = 0이 성립함을 쉽게 알 수 있따. 여기서 (-1)x = -x로 정의하며
-x를 x의 음벡터라 한다.

10. 1.1 공학과 수학에서의 벡터: n 차원 공간
- 예제
의 벡터 에 대하여 x + y, x - y, (-2)x를 구하여라.

11. 1.1 공학과 수학에서의 벡터: n 차원 공간
- n차원에서 벡터의 성질 1
의 벡터 x, y, z와 스칼라 h, k에 대해 다음의 성질이 성립한다.

12. 1.1 공학과 수학에서의 벡터: n 차원 공간
- n차원에서 벡터의 성질 2
의 벡터 x와 스칼라 k에 대하여 다음이 성립한다.
(1) 0x = 0
(2) k0 = 0
(3) (-1)x = -x

13. 1.1 공학과 수학에서의 벡터: n 차원 공간
- 일차 결합(Linear Combination)
가 의 벡터이고, 계수 가 실수 일 때,
인 형태를 의 일차 결합(linear combination)이라 한다.
->V_i들의 상수배를 더해서 얻은 벡터를 V_i들의 선형 결합.

14. 1.2 내적과 직교
에 대한 벡터의 크기 norm, 거리 distance, 사잇각 theta angle 및
평행성과 직교성 orthogonality에 대해 학습한다.

15. 1.2 내적과 직교
- 노름, 거리(norm, distance)
의 벡터 에 대해
을 x의 노름(norm, length, magnitude)라 한다.
위 정의에서 는 원점에서 점 에 이르는 거리로 정의됨을 말한다.
따라서 의 두 벡터 에 대해 는
두 점 와 사이의 거리로 정의한다. 즉,

16. 1.2 내적과 직교
- 내적 (Euclidean inner product, Dot product)
의 벡터 에 대해
실수 을
x와 y의 내적(Euclidean inner product, dot product)라 하고,
로 나타낸다.

17. 1.2 내적과 직교
- 같은 벡터의 내적
의 벡터 에 대해

18. 1.2 내적과 직교
- 내적 1

19. 1.2 내적과 직교
- 코시 슈바르츠 부등식
의 임의의 벡터 x, y에 대해 다음 부등식이 성립한다.
단, 등호는 x, y 중 하나가 다른 것의 실수배 일때 만 성립한다.
x, y가 둘다 0벡터가 아니면 norm은 0이 아니고,
x와 y의 inner product over는 x의 norm 곱하기 y의 norm은 -1과 1사이에 있기 때문에
이 값을 만족하는 각이 존재한다.

20. 1.2 내적과 직교
- 두 벡터 사이의 각(angle)
의 벡터 x, y에 대해
인 를 x와 y가 이루는 각(angle, 사잇각)이라 한다.
- 직교와 평행
= 0 일 때 x, y는 서로 직교(orthogonal)한다.
적당한 실수 k에 대해 x = ky인 경우 x는 y와 평행하다.

21. 1.2 내적과 직교
- 단위 벡터, 직교 벡터, 정규 직교 벡터
의 벡터 x에 대해 노름이 1인 벡터, 즉
인 벡터를 단위 벡터(unit vector)라 한다.
의 벡터 x, y가 서로 직교한다면, 이 벡터를 직교(orthogonal) 벡터들이라 하고,
x, y가 서로 직교벡터이면서 각각 단위 벡터이면 정규직교(orthonormal) 벡터라 한다.

22. 1.2 내적과 직교
- 내적 2
다음의 벡터는 서로 직교한가?

23. 1.2 내적과 직교
- 벡터에 대한 삼각 부등식(triangle inequality)
의 벡터 x, y에 대하여 다음 부등식이 성립한다.
단, 등호는 x, y 중 하나가 다른 것의 k>=0배인 경우에만 성립한다.
와 코시-슈바르츠 부등식을 이용하면
이므로 가 성립 한다.

24. 1.2 내적과 직교
- 기본 단위 벡터(standard unit vector)
임의의 벡터 x(!= 0)에 대해 는 단위 벡터이다.
의 단위 벡터 중에서 다음 n개의 벡터
기본단위벡터(standard unit vector, 표준 단위벡터)라 한다.

25. 1.2 내적과 직교
- 기본 단위 벡터(standard unit vector)
을 의 임의의 벡터라 할 때 기본 단위 벡터를 사용하여
다음과 같이 나타낼 수 있다.

26. 감사합니다