제어-제어공학의 수학적모델링

1. 제어공학의 수학적 모델링
190401
도정찬

2. 2.1 소개
• 제어공학 공부에서 수학적인 용어로 동적 시스템을 모델링과 동적 특성을 분석할 수 있어야한다. 동적 시스템의
수학적 모델링은 동적 시스템을 나타내는 방정식으로 정의하는데, 수학적 모델링 이외에도 다양한 방법들이
존재한다.
• 다양한 시스템에서 동역학은 기계적, 전기적, 경제적이던과 상관없이 미분방정식으로 나타낸다. 이 미방은 물리
적 법칙으로 구할수 있는데, 예를들어 기계적 시스템의 경우 뉴턴의 법칙 전기적 시스템에서는 키르히호프의
법칙으로 얻어낸다. 제어공학 전체 분석을 위해선 적절한 수학적 모델링을 해야한다.
• 이 책에서는 시스템에 적용되는 인과관계들에 본다. 시간 t = 0일때 시스템의 현재 출력은 이전 입력 (t <0에서
입력)에 영향을 받지 미래의 입력(t>0 일때 입력)의 영향을 받지 않는다.
• 수학적 모델링
• 수학적 모델은 다양한 형태로 나타낼수 있는데, 시스템과 상황에 맞게 다른 모델보다 더 나은 모델이 있다. 예를
들어 최적 제어 방법 문제에서 상태 공간 표현식이 유용하다. 반면에 단일 입력, 단일 출력, 선형, 시불편 시스템
의 과도응답(transient-response)나 주파수 응답(frequency-response) 분석시에는 전달함수가 합리적이다.
• 시스템의 수학적 모델을 얻을때 다양한 분석 컴퓨터 도구를 분석과 합성할때 사용할 수 있다.

3. 2.1 소개
• 간단함 vs 정밀도
• 수학적 모델을 얻기 위해 모델의 단순함과 분석 결과의 정밀함을 잘 조절해야한다. 간소화된 수학적 모델을
얻는게 합리적이나 시스템의 일부 성질을 무시해야한다. 만약 선형 일괄처리 파라미터 수학적 모델(상미분방정
식)이 필요하면, 물리적 시스템에서의 비선형성과 분포 파라미터를 포기해야한다. 만약 이런 속성들을 적게
무시하면 수학적 모델 분석과 물리적 시스템의 결과를 좋게 얻게 된다.
• 일반적으로 새로운 문제를 풀때 문제를 일반화 시키기위해 덜 정학하나 간소화된 모델을 만들수 있다. 낮은
주파수에서 유효한 선형 일괄처리 파라미터 모델은 고주파수에서 유효하지 못한데, 시스템 동작 측면에서
나타내느 파라미터의 성질을 무시하기때문이다. 예를들어 스프링의 질량은 저주파 영역에서 무시할 수 있으나
고주파 시스템의 성질에선 중요할 수 있다.
• 선형 시스템
• 선형이라고 불리는 시스템은 중첩의 원리를 따르는데, 중첩의 원리란 각 응답의 합과 합친 입력의 결과가 같다.
선형 시스템에서는 다양한 입력에 대한 응답은 특정 시간에서 한 입력들을 결과에 합쳐서 만들 수 있다. 이 원칙
이 원칙은 간단한 문제를 미분 방정식으로 나타낼수 있게 해준다.
• 동적 시스템 실험에서 원인과 결과가 비례한다면 중첩의 원리가 적용되고 있으므로 선형 시스템이라 볼수 있다.

4. 2.1 소개
• 선형 시불변 시스템과 선형 시변 시스템
• 계수가 독립 변수의 상수거나 함수인 경우 미분 방정식은 선형이다. 시불변으로 구성된 동적 시스템은 선형
시불변 미분 방정식으로 나타낼수 있는데 이는 상수-계수 미분방정식이 된다. 이런 시스템을 선형 시불변(혹은
선형 상수-계수) 시스템이라 한다. 계수가 시간의 함수인 미분방정식으로 나타내는 시스템을 시변 시스템이라
한다. 시변 시스템의 예로 우주비행체 제어를 예로 들 수 있다.(우주 비행선의 질량은 연료 소비에 따라 변하게
된다.)
• 이번 챕터 개요
• 2-1장에서는 동적 시스템의 수학적 모델링에 대해 설명한다.
• 2-2장에서는 전달함수와 임펄스 응답에대해 본다.
• 2-3장에서는 자동제어와 2-4장에서는 상태공간 모델링에 대해 본다.
• 2-5장에서는 동적 시스템의 상태공간표현에대해서 보고
• 2-6장은 MATLAB에서 상태공간의 변환에 대해 본다.
• 2-7장은 비선형 수학적 모델링의 선형화에 대해 알아본다.

5. 2.2 전달함수와 임펄스 응답 함수
• 제어 이론에서 전달함수라 부르는 함수는 입출력 관계와 선형, 시불변, 미분방정식으로 나타내는 시스템의 특성
화하는데 주로 사용된다. 미분 방정식 시스템의 전달함수 구하여 전달함수의 정의에 대해 본다. 그 후 임펄스 응
답 함수에 대해 보자.
• 전달함수
• 시선형, 시불변, 미분 방정식 시스템에서 전달함수는 초기 상태를 0으로 할때 출력의 라플라스 변환과 입력의
변환의 비로 정의한다. 아래의 미분 방정식으로 정의한 선형 시불변 시스템을 고려해 보자
• y는 시스템의 출력이고 x는 입력이 된다. 이 시스템의 전달함수는 초기상태가 0일때 라플라스 변환 입출력 비로
나타내거나 아래와 같다.

6. • 제어 시스템은 수많은 요소로 이루어져 있다. 제어 공학 관점에서 각 요소에 의한 전달함수를 보기위해 주로
블록 다이어그램을 사용한다. 이번 장에서는 블록 다이어그램에 대해 보고, 다양한 제어 동작을 포함해 자동
제어 시스템의 측면에서 보자. 그러고 나서 물리적 시스템을 위한 블록 다이어그림을 구하는 방법을 보고, 이
다이어 그램을 단순화 하는 방법을 보자.
• Open-Loop Transfer Function and Feedforward Transfer Function
• 위 폐루프 그림에서 피드백 신호 B(s)에서 구동기 에러 신호 E(s)의 비가 개루프 전달함수라 하고, 출력 C(s)에서
구동 에러 신호 E(s)의 비가 피드포워드 전달함수라 부른다.
2.3 자동 제어 시스템

7. • Closed-Loop Transfer Function
• 우측 그림의 출력 C(s)와 입력은 아래의 관계를 갖는다.
• E(s)를 대치시키면 아래의 식을 얻을 수 있다.
• R(s)에 대한 C(s)의 전달함수는 폐루프 전달함수라 부르며 피드포워드 요소와 피드백 요소의 역학에 대한
폐루프 시스템 동역학이 된다. 위 식을 정리하여 구한 C(s)는 아래와 같다.
2.3 자동 제어 시스템

8. • Automatic Controller
• 자동화 제어기는 입력에 대한 플랜트 출력의 실제 값을 비교하여, 편차를 구하고, 편차를 줄이기 위한 제어
신호를 만들어낸다. 자동화 제어기가 제어 신호를 만드는 과정을 제어 동작(control action)이라 한다. 아래의
그림은 산업용 제어시스템의 블록 다이어그램으로 자동화 컨트롤러, 액추에이터(구동기), 플랜트(모터), 센서
(요소 측정용)으로 구성된다. 컨트롤러는 매우 작은 구동기의 에러 신호를 감지하고, 충분할 정도로 증폭시킨다.
자동화 제어기의 출력은 구동기로 얻으며, 전기모터, 유압모터, 공기모터같은. (구동기는 플랜트에 입력을 만들
어내는 장치로 입력 신호에 맞게 출력 신호를 만들어준다.)
• 센서와 측정 요소는 출력을 배수량, 압력, 전압과 같이 입력 신호에대한 출력을 비교할수 있게 적합한 변수로
변환한다. 이 요소는 폐루프 시스템의 피드백 요소가 되며, 컨트롤러의 set point는 센서 측정 요소로부터 얻는
피드백 신호와 입력이 변환되야 한다.
2.3 자동 제어 시스템
- 모터 위치 제어 시스템
-> 원하는 각도를 입력하면 그 각도만큼 모터가 작동.
플랜트(plant) = 모터 컨트롤러는 디지털/아날로그 컨트롤러
구동기(actuator)는 컨트롤러 출력신호를 플랜트 입력 형식에 맞게 변환
(디지털 컨트롤러의 경우 PWM이나 DAC같은 부품)
센서는 위치 제어이므로 모터의 각도를 감지하는 센서로, 엔코더가 된다.
컨트롤러는 센서에 계측된 내용을 신호로받아 내가 원하는 결과값(r)과의 차이(e)를 입력으로 받는다.

9. • 산업용 컨트롤러의 분류
• 대부분 산업용 컨트롤러는 아래의 제어 동작으로 구분할 수 있다.
• 비례 제어기 동작
• 비례 제어 동작을 하는 컨트롤 컨트롤러 u(t)의 출력과 구동 에러 신호 e(t)의 관계는 아래와 같다. K_p는 비례
이득이 된다.
2.3 자동 제어 시스템
1. Two-position or on-off controllers
2. 비례제어기(Proportinal Controller)
3. 적분제어기(Integral Controller)
4. Proportional plus integral controller(pi)
5. Proportional plus derivate condroller(pd)
6. Proportional plus integral plus derivate controller

10. or
• 적분 제어기 동작
• 적분 제어 동작을 하는 제어기에서 제어기 출력 값 u(t)는 구동기 에러 신호 e(t)에 일정한 비로 비례하며 변하며
K_i는 조절 가능한 상수가 된다.
• 비례적분제어기 동작
• 비례 적분 제어기의 동작와 전달함수는 아래와 같으며 T_i는 적분 시간이 된다.
• 비례미분제어기 동작
• 비례미분 제어기와 전달함수는 아래와 같으며 T_d는 미분 시간이 된다.
• 비례미분적분제어기 동작
• 비례, 적분, 미분 제어 동작의 조합을 비례미분적분 제어 동작이라 하며 세 제어 동작의 이점을 갖고있다. 제어기
방정식과 전달함수, 블록다이어그램은 아래와 같다.
2.3 자동 제어 시스템

11. • 이번 장에서는 제어 시스템의 상태-공간 분석에대해 살펴본다.
• 현대 제어 이론
• 공학 시스템에서 현대 트랜드 복잡성으로 복잡한 작업과 좋은 정확도가 요구된다. 복잡한 시스템은 다양한
입력과 출력을 가지며 시간에 따라 변하게 된다. 제어 시스템 성능과 시스탬 복잡도의 증가 등과 같이 많은
요구들 때문에 아날로그와 복잡한 제어 시스템 설계에 대한 새로운 접근방법으로 현대제어이론이 1960년대
이후로 만들어 졌다. 상태를 중심으로하는 접근으로 상태는 새롭지는 않고 고전적인 동역학과 다른 분야에서
오랜기간 사용되어 왔다.
• 현대제어이론 vs 고전 제어이론
• 현대제어이론은 고전 제어이론과는 달리 다중 입력, 다중출력 시스템에 적합한데 이는 선형,비선형, 시불변,
시변에 적합하다. 하자민 후자는 선형 단일입력 단일 출력 시스템에서만 사용가능하다. 또, 현대제어이론은
시간 영역의 접근과 주파수 영역의 접근이 다 필수 적이며, 고전 제어 이론에서는 복잡한 주파수 영역에서만
접근했었다. 더 나아가기전에 먼저 상태, 상태 변수, 상태 백터, 상태 공간에 대해 알아보자.
• 상태(State)
• 동역학 시스템에서 상태는 변수(상태 변수라 불리는)의 가장 작은 집합으로 시간 t = t_0에서 상태를 알고,
변수들로 t>=t_0에서의 입력에 대해 알면 t>=t_인 어느시간에서 시스탬의 동작을 결정할수 있다. 여기서 상태
는 물리적 시스템에서 한정되지 않고 생물학, 경제학, 사회학 시스템에서도 적용할수있다.
2.4 상태 공간에서 모델링

12. • 상태 변수(State Variable)
• 동역학 시스템에서 상태 변수는 역학 시스템의 상태를 결적하는 변수들이 된다. 만약 적어도 n개의 변수들 x_1,
x_2, ... ,x_n이 역학 동작을 설명하는데 필요하다면 n개의 변수들이 상태변수 집합이 된다.(t>=t_0일때 입력이
주어지고, t=t_0일때 초기상태가 있으면 시스템의 미래 상태를 알수 있다.)
• 상태 변수는 물리적으로 측정하거나 양을 관찰할 필요 없다. 이 변수들은 물리적인 양이 정해져 있지 않고, 측정
과 관찰 둘다 상태 변수로 선정될수 없다. 이러한 상태 변수 선정의 자유가 상태-공간 방법의 이점이 된다. 그러
나 가능하다면 최적 제어 법칙은 적절한 가중치를 갖는 모든 상태변수의 피드백이 필요하기 때문에 상태 변수를
측정가능한 양으로 정하는게 편리하다.
• 상태 백터(State Vector)
• 시스템을 설명하는데 n개의 상태변수가 필요하다면 n개의 요소들은 백터 x로 고려할 수 있는데 이를 상태 백터
라 한다. 상태 백터는 t>=t_0일때 입력 u(t)와 t=t_0일때 상태가 주어지면 어느 시간 t>=t_0일때 시스템 상태를
결정한다.
• 상태 공간
• x_1 축 ,x_2 축, ..., x_n 축으로 구성된 좌표 축들을 갖는 n 차원의 공간에서의 x_1, x_2 .. , x_n인 상태변수들을
상태 공간이라 한다. 상태는 상태 공간의 한 점으로 나타낼 수 있다.
2.4 상태 공간에서 모델링

13. • 상태-공간 방정식
• 상태-공간 분석에서 제어 시스템을 설계할때 3가지를 고려해야 한다. 입력 변수, 출력 변수, 상태 변수. 2-5장에
서 보지만 상태 공간의 표현은 상태 변수의 수가 다른 상태 공간의 표현이 같은 경우를 제외하고는 표현이 유일
하지는 않다.
• 동영학 시스템은 T>=t_1의 입력 값을 기억하는 요소를 갖고 있어야 한다. 연속 시간 제어 시스템에서 적분기
는 기억 장치로서 동작하기 때문에 적분기의 결과는 역학 시스템에서 적분 상태를 나타내는 변수로 쓸수있다.
그래서 적분기의 결과는 상태변수로서 역학 시스템을 정의하기 위한 상태 변수의 수는 시스템에 내장된
적분기의 수와 같다.
• n개의 적분기를 포함하는 다중 입력, 다중 출력 시스템을 가정하고, r개의 입력 u_1(t), u_2(t), ... u_r(t)와 m개의
출력 y_1(t), y_2(t), ..., y_m(t), 적분기의 n개 출력을 상태변수로 보자. x_1(t), x_2(t), ..., x_n(t). 이 시스템은 아래와
같이 나타낼 수 있다. x는 상태 변수, y는 시스탬 출력, u는 입력
2.4 상태 공간에서 모델링

14. • 위 식들을 정리하면 아래와 같다.
• 위 두 식은 상태 방정식과 출력에 대한 방정식이다. 만약 백터 함수 f와 g가 t시간 t를 명확하게 명시하면, 이 시
스템은 시변 시스템이라 한다.
2.4 상태 공간에서 모델링

15. 2.4 상태 공간에서 모델링
• 위 두 식을 동작 상태에 대해 선형화하면 아래의 선형화된 상태/출력 방정식을 얻을 수 있다.
• A(t)는 상태 행렬, B(t)는 입력 행렬, C(t)는 출력 행렬, D(t)는 직접 변속 행렬(direct transmission matrix). (비선형
시스템의 동작 상태에 대한 선형화는 2-7장에 설명됩니다.)이다. 아래의 블록 다이어그램에서 선형화 식에대해
나타낸다.
• 앞으로 상태 방정식과 출력 방정식을 구하는 예로 우측의 시스템을 선형이라 가정하고 보자.
외력 u(t)는 시스템에 입력이고, 질량의 변위 y(t)가 출력이 된다. 변위 y(t)는 외력이 없었을때
균형 위치를 기준으로 측정한다. 이 시스템은 단일 입력, 단일 출력 시스템이 되며 그림에 따른 방정식이된다.

16. 2.4 상태 공간에서 모델링
• 이 시스템은 이차식인데 이는 시스템이 두 적분기를 포함함을 의미한다. 이제 상태변수 x_1(t)와 x_2(t)를 정의
하면 다음과 같이 구할 수 있다.
• 출력 방정식은 다음과 같다.
변위 속도
가속도 속도 변위
적분기 입력 f(x,u,t)
상태변수 1 미분 상태변수 2
변위의 미분 = 속도
속도의 미분 -> 가속도 = 미방 정리
상태변수 1 상태변수 2
상태백터 미분 = 적분기 입력
출력 변수 = 상태변수 1

17. 2.4 상태 공간에서 모델링
• 우측의 식을 백터-행렬 형태로 나타내면 아래와 같다.
• 출력 방정식은 다음과 같다.
• 위 상태 방정식과 출력 방정식의 표준 형태는 아래와 같다.
• 아래의 그림은 이 시스템의 블록 다이어그램으로 적분기의 출력이 상태변수가 된다.

18. 2.4 상태 공간에서 모델링
• 전달함수와 상태-공간 방정식간의 상관관계
상태 공간 방정식으로부터 단일 입력,출력 시스템의 전달함수를 어떻게 구하는지 알아야 한다. 우선 이 시스템을
따르는 전달 함수와 상태공간을 나타내는 방정식은 아래와 같다.
• 여기서 x는 상태 백터, u는 입력, y는 출력으로 위 방정식의 라플라스 변환은 아래와 같다.
• 전달함수는 초기 입력이 0일때 입력의 라플라스 변환과 출력의 비로 정의되기 때문에 x(0)을 0으로 둔다.
• (sI-a)^-1을 양변에 곱하고, 대입시키면 아래의 X(s)와 Y(s)를 구할 수 있다.
• 위 입출력에 대한 함수를 나누어 A(상태), B(입력), C(출력), D(직접 변속)를 이용한 전달함수의 표현식을 구하였
으며 s에 대한 다항식 Q(s)를 이용하여 아래와 같이 쓸수 있다. 여기서 |sI-A|는 G(s)의 다항식 특성이 되며 A의
고유값은 G(s)의 극점과 동일하다.

19. 2.4 상태 공간에서 모델링
• 예제 2-3) 우측 그림에 대한 상태공간 방정식은 아래와 같으며 상태 공간 방정식을 이용해서
전달함수를 구할수 있는데 A,B,C,D를 G(s)에 대한 방정식에 대입하여 얻어보자.
• 이 시스템의 전달 함수는 아래와 같으며 우측의 미분 방정식으로 구한것과 같다.
• 전달행렬 다중 입력, 다중출력 시스템에서 r개의 입력 u_1,u_2, ..., u_r과 m개의 출력 y_1, y_2, y_m 이 있다고 볼
때 y와 u는 아래와 같이 정의하며 전달행렬 G(s)는 입력 U(s)에 대한 출력 Y(s)비 또는 A,B,C,D 로 나타낸다.
• 입력 백터 u가 r차원이고, 출력 백터 y가 m차원이기 때문에 전달행렬 G(s)는 m x s의 행렬이 된다.
상태공간 방정식
전달함수

20. 2.5 스칼라 미분 방정식 시스템에서의 상태 공간 표현
• 유한 요소로 구성된 동적 시스템을 표현하기 위해서 독립 변수인 시간에 대한 상미분 방정식으로 나타낼수있다.
백터 행렬 표현을 사용하여 1차 백터-행렬 방정식 을 n차 미분 방정식으로 나타낼수 있다. 만약 n개 요소를 갖는
백터가 상태 변수라면 백터-행렬 미분 방정식은 상태방정식이 된다. 이번 장에서는 연속시간에서 상태공간
표현식을 얻는 방법들에대해 살펴본다.
• 선형 미분 방정식의 n차 상태공간 표현
• 아래의 n차 식 시스템을 보면
• 입력 u(t)와 에 대해 알면 미래 동작에 대해 구할 수 있으며, 는 n개의 상태 변수
집합이 된다.(수학적으로 상태변수가 편리하나 다 차수 미분에서선 노이즈 때문에 부정확하여 상태 변수 선정
이 만족되지 않는다.) 상태 변수와 방정식을 아래와 같이 나타낼 수 있다.
상미분방정식 : 함수가 하나의 독립 변수만 갖고있는 미분방정식
N차 미분방정식(독립 변수 y)
상태변수 n = 출력 n차 미분
상태변수 미분

21. N차 미분방정식
상태변수 n = 출력 n차 미분
출력 y 미분을
상태 x로 변환 상태 x_n 미분에 대한 표현
1~ n 까지의 상태 x 미분 방정식 표현
N차 미분 방정식의 상태 행렬 방정식 표현
2.5 스칼라 미분 방정식 시스템에서의 상태 공간 표현

22. • 출력은 다음과 같이 나타낼 수 있으며 아래의 출력 방정식에서 D는 0이 된다.
• 상태 공간을 표현하는 출력 방정식과 입력 방정식을 이용하여 전달함수를 아래와 같이 구할 수 있다.
• 미분이 포함된 강제 함수(Forcing Function)에 대한 N차 시스템 선형 미분방정식의 상태 공간 표현
• 강제 함수의 미분을 포함하는 미분 방정식은 아래와 같다.
• 이 경우 상태/출력 방정식을 얻는 방법은 n개의 상태 변수를 집합으로 본다.여기서 는 아래와 같다
2.5 스칼라 미분 방정식 시스템에서의 상태 공간 표현

23. • 현재 상태변수를 선택하여 아래의 식을 구할 수 있다.
• 백터-행렬 방정식으로 위 방정식과 출력 방정식을 나타내면 아래와 같다.
상태공간 표준 형태
상태공간 백터-행렬 방정식
2.5 스칼라 미분 방정식 시스템에서의 상태 공간 표현

24. • 상태-공간 표현에서 A와 C는 이전 방정식의 것과 같고, 미분 방정식 우항 미분들은 행렬 B요소의 영향을 받는다.
상태-공간 방정식을 이용하여 구한 전달함수는 아래와 같다.
• 상태공간에서 시스템의 표준형을 얻기 위한 다양한 방법들은 9장에서 설명한다.
(controllable canonical form, observable canonical form, diagonal canonical form, and Jordan canonical form)
• MATLAB에서 전달함수에서 상태공간의 표현등을 나타내는 방법들을 제공한다.
2.5 스칼라 미분 방정식 시스템에서의 상태 공간 표현

25. • MATLAB은 전달함수를 상태공간으로 변형하는데 유용하며 변환하는 내용들을 설명한다. 우성 폐루프 전달함수
를 아래와 같이 작성한다.
2.6 MATLAB을 이용한 수학적 모델링의 변환

26. • 비선형 시스템 중첩의 원리가 적용되지 않는 시스템은 비선형이다. 두 입력에 대한 비선형 시스템의 응답은
각 입력에 대한 응답을 더한것으로 계산 할 수 없다.
• 수많은 물리적 관계가 선형 방정식으로 표현되더라도 대부분의 관계들은 비선형 적이다. 학문에서 물리적 시스
템은 “선형적 시스템”이라 불리지만 아주 제한적인 범위에서만 선형적이다. 많은 전자 시스템, 유압 시스템, 공압
시스템 등 변수간에 비선형 관계로 이루어진다. 예를 들어 댐퍼는 물리적 시스템에서 저속에서는 선형적이지만
고속에서는 비선형이 되며, 댐핑 파워는 속도 제곱에 비례하게 된다.
• 비선형 시스템의 선형화
2.7 비선형 수학적 모델의 선형화

27. 1. state space representation of scalar differential equation

28. 1. state space representation of scalar differential equation

29. 1. state space representation of nth-order systems of linear differential equations in which the forcing function
involves derivative terms.

33. 감사합니다