1. Теория статистики. Тема 8
ИНДЕКСНЫЙ МЕТОД В
СТАТИСТИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ, ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО
НАПРАВЛЕНИЮ «МЕНЕДЖМЕНТ»
08.0500.62
2. ПЛАН ЛЕКЦИИ:
1. Понятие «индексы в статистике».
1.1. Классификация индексов
2. Индексы количественных показателей.
3. Цепные и базисные индексы.
4. Индексы переменного и постоянного состава.
5. Применение индексного метода в анализе взаимосвязи
экономических явлений.
3. 1. ПОНЯТИЕ «ИНДЕКСЫ В СТАТИСТИКЕ»
Индекс – это показатель относительного изменения данного
уровня исследуемого явления по сравнению с другим его
уровнем, принятым за базу сравнения.
Динамический индекс – это показатель относительного
изменения данного уровня исследуемого явления по
сравнению с каким-либо прошлым периодом времени.
Территориальный индекс – это показатель относительного
изменения данного уровня исследуемого явления по
сравнению с уровнем того же явления по другой территории.
4. ПОНЯТИЕ «ИНДЕКСЫ В СТАТИСТИКЕ»
Индексный метод направлен на решение следующих задач:
характеристика общего изменения уровня сложного
социально – экономического явления;
анализ влияния каждого из факторов на изменение
индексируемой величины путем элиминирования
воздействия прочих факторов;
анализ влияния структурных сдвигов на изменение
индексируемой величины.
6. 2. ИНДЕКСЫ КОЛИЧЕСТВЕННЫХ
ПОКАЗАТЕЛЕЙ
Индивидуальный индекс физического объема выпуска
продукции характеризует изменение выпуска (реализации или
потребления) одного вида продукции:
q1
iq = .
1/ 0
q0
Индивидуальный индекс затрат на выпуск продукции
характеризует изменение затрат на производство одного
вида продукции:
q1 ⋅ z1
iqz = .
1/ 0
q0 ⋅ z0
7. ИНДЕКСЫ КОЛИЧЕСТВЕННЫХ
ПОКАЗАТЕЛЕЙ
Индивидуальный индекс стоимости продукции показывает
изменение стоимости данного вида продукции в текущем
периоде по сравнению с базисным:
p1 ⋅ q1
i pq = .
1/ 0
p0 ⋅ q0
Агрегатный индекс физического объема продукции (по Э.
Ласпейресу) характеризует изменение выпуска всей
совокупности продукции:
Iq = ∑( p 0 ⋅ q1 )
.
1/ 0
∑( p 0 ⋅ q0
)
8. ИНДЕКСЫ КОЛИЧЕСТВЕННЫХ
ПОКАЗАТЕЛЕЙ
Абсолютное изменение общей стоимости продукции
за счет изменения выпуска продукции:
∆q ∑ pq = ∑ ( q1 ⋅ p0 ) − ∑ ( q0 ⋅ p0 ).
Агрегатный индекс физического объема продукции
(по Г. Пааше):
Iq = ∑( p ⋅ q ) .
1 1
1/ 0
∑( p ⋅ q )
1 0
В агрегатном индексе физического объема продукции индексируемой
величиной является количество продукции (q), цена (p) служит
коэффициентом соизмерения (соизмерителем).
9. ИНДЕКСЫ КОЛИЧЕСТВЕННЫХ
ПОКАЗАТЕЛЕЙ
Агрегатный индекс физического объема продукции с
соизмерителем – себестоимостью единицы продукции:
Iq = ∑(q ⋅ z ) .
1 0
1/ 0
∑(q ⋅ z )
0 0
Агрегатный индекс физического объема продукции с
соизмерителем – затратами рабочего времени на единицу
продукции:
Iq = ∑(q ⋅t ) .
1 0
1/ 0
∑(q ⋅t )
0 0
10. ИНДЕКСЫ КОЛИЧЕСТВЕННЫХ
ПОКАЗАТЕЛЕЙ
Средний взвешенный арифметический индекс физического
объема продукции:
Iq =
∑ (i ⋅ q ⋅ p ) .
q 0 0
1/ 0
∑( q ⋅ p )
0 0
Средний взвешенный гармонический индекс физического
объема продукции:
Iq = ∑(q 1
⋅ p1 )
.
1/ 0
1
∑ i ⋅ q1 ⋅ p1
q
11. ИНДЕКСЫ КОЛИЧЕСТВЕННЫХ
ПОКАЗАТЕЛЕЙ
Агрегатный индекс затрат на выпуск всей продукции:
I qz = ∑(q
1 ⋅ z1 )
.
1/ 0
∑(q
0
⋅ z0 )
Абсолютное изменение общей суммы затрат на выпуск
продукции за счет изменения количества выработанной
продукции и ее себестоимости:
∆ ∑ qz = ∑ ( q1 ⋅ z1 ) − ∑ ( q0 ⋅ z0 ) .
q,z
12. ИНДЕКСЫ КОЛИЧЕСТВЕННЫХ
ПОКАЗАТЕЛЕЙ
Агрегатный индекс стоимости продукции (товарооборота):
I qp = ∑( q
1 ⋅ p1 )
.
1/ 0
∑( q
0
⋅ p0 )
Абсолютное изменение общей стоимости продукции за
счет изменения количества выработанной продукции и
цен:
∆ ∑ qp = ∑ ( q1 ⋅ p1 ) − ∑ ( q0 ⋅ p0 ) .
q, p
13. ИНДЕКСЫ КОЛИЧЕСТВЕННЫХ
ПОКАЗАТЕЛЕЙ
Агрегатный индекс стоимости продукции (товарооборота):
I qp = ∑( q
1 ⋅ p1 )
.
1/ 0
∑( q
0
⋅ p0 )
Абсолютное изменение общей стоимости продукции за
счет изменения количества выработанной продукции и
цен:
∆ ∑ qp = ∑ ( q1 ⋅ p1 ) − ∑ ( q0 ⋅ p0 ) .
q, p
14. ИНДЕКСЫ КОЛИЧЕСТВЕННЫХ
ПОКАЗАТЕЛЕЙ
Агрегатный территориальный индекс
физического объема производства (реализации)
продукции:
Iq = ∑ (q ⋅p ),
∑ (q )
B
A ⋅ p
A/ B
где: qA и qB – количество выпущенной (реализованной)
продукции каждого вида в натуральном выражении
на территориях А и В соответственно;
р – средняя цена каждого вида продукции по
сравниваемым территориям (определяется как
средняя арифметическая взвешенная).
15. ИНДЕКСЫ КОЛИЧЕСТВЕННЫХ
ПОКАЗАТЕЛЕЙ
Индивидуальный индекс цен характеризует изменение цен по
каждому виду продукции: p1
ip = .
1/ 0
p0
Индивидуальный индекс себестоимости характеризует
изменение себестоимости по каждому виду продукции:
z1
iz = .
1/ 0
z0
Индивидуальный индекс затрат рабочего времени на
единицу продукции характеризует изменение затрат
рабочего времени на единицу продукции по каждому
виду продукции: t
it = 1
.
1/ 0
t0
16. ИНДЕКСЫ КОЛИЧЕСТВЕННЫХ
ПОКАЗАТЕЛЕЙ
Агрегатный индекс цен характеризует среднее изменение цен
по совокупности различных видов продукции:
Ip = ∑( p
1 ⋅ q1 )
.
1/ 0
∑( p
0
⋅ q1 )
Абсолютное изменение всей стоимости продукции за
счет изменения цен:
∆p ∑ qp = ∑ ( p1 ⋅ q1 ) − ∑ ( p0 ⋅ q1 ) .
17. ИНДЕКСЫ КОЛИЧЕСТВЕННЫХ
ПОКАЗАТЕЛЕЙ
Агрегатный индекс цен (по Э. Ласпейресу) характеризует
среднее изменение цен на потребительские товары
(потребительскую корзину):
Ip = ∑( p 1 ⋅ q0 )
.
1/ 0
∑( p 0 ⋅ q0
)
На основе этого индекса определяется индекс
покупательной способности рубля:
1
I покуп. спос. = .
Ip
18. ИНДЕКСЫ КОЛИЧЕСТВЕННЫХ
ПОКАЗАТЕЛЕЙ
Средний взвешенный арифметический индекс цен:
Ip =
∑ (i ⋅ p ⋅ q ) .
p 0 0
1/ 0
∑( p ⋅ q )
0 0
Средний взвешенный гармонический индекс цен:
Ið = ∑( p 1 ⋅ q1 )
.
1/ 0
1
∑ i ⋅ p1 ⋅ q1
p
19. ИНДЕКСЫ КОЛИЧЕСТВЕННЫХ
ПОКАЗАТЕЛЕЙ
Агрегатный территориальный индекс цен:
Ip = ∑( p A ⋅ qA )
,
A/ B
∑( p B ⋅ qA
)
где pA и pB – цена за единицу продукции каждого вида
соответственно на территории А и В;
qA – количество выработанной (реализованной)
продукции каждого вида в натуральном выражении
по территории А.
20. ИНДЕКСЫ КОЛИЧЕСТВЕННЫХ
ПОКАЗАТЕЛЕЙ
Агрегатный индекс себестоимости с соизмерителем –
физическим объемом продукции:
Iz = ∑( z 1
⋅ q1 )
.
1/ 0
∑( z 0
⋅ q1 )
Агрегатный индекс затрат рабочего времени на единицу
продукции с соизмерителем – физическим объемом
продукции :
It = ∑ (t
1 ⋅ q1 )
.
1/ 0
∑ (t
0
⋅ q1 )
21. Пример. В таблице 8.1 приведены цены и объем
реализации трех видов товара (цифры условные).
Рассчитать агрегатные индексы товарооборота,
цен , физического объема реализации товара и
величину экономии.
Таблица 8.1
Цены и объем реализации трех товаров
Товар Июль Август
цена, руб. продано, цена, руб. продано,
тыс. шт. тыс. шт.
А 18 20 15 28
Б 50 11 40 13
В 40 12 35 12
22. Решение:
15 ⋅ 28 + 40 ⋅ 13 + 35 ⋅ 12
I pq = = 0.978 ,
18 ⋅ 20 + 50 ⋅ 11 + 40 ⋅ 12
15 ⋅ 28 + 40 ⋅ 13 + 35 ⋅ 12
Ip = = 0.832 ,
18 ⋅ 28 + 50 ⋅ 13 + 40 ⋅ 12
18 ⋅ 28 + 50 ⋅ 13 + 40 ⋅ 12
Iq = = 1.176,
18 ⋅ 20 + 50 ⋅ 11 + 40 ⋅ 12
Å = −274.
Вывод: товарооборот в целом по данной товарной группе в
текущем периоде по сравнению с базисным уменьшился на
2.2%, цены в августе по сравнению с июлем снизились на
16.8%, физический объем реализации (товарооборота)
увеличился на 17.6%, экономия составила 274 руб.
23. 3. ЦЕПНЫЕ И БАЗИСНЫЕ
ИНДЕКСЫ
Цепные индексы получают путем сопоставления показателя любого периода
с показателем предшествующего периода.
Цепные индивидуальные индексы физического
объема продукции:
q1 q2 q3
iq1/ 0 = ; iq2 /1 = ; iq3 / 2 = ; и т. д.
q0 q1 q2
Цепные агрегатные индексы физического объема
продукции:
I q1/0 = ∑ ( q1 ⋅ p0 ) ; I q2/1 = ∑ ( q2 ⋅ p1 ) ; Iи3/2 = ∑ ( q3 ⋅ p2 ) ;
qтд . .
∑ ( p0 ⋅ q0 ) ∑ ( p1 ⋅ q1 ) ∑ ( p2 ⋅ q2 )
24. ЦЕПНЫЕ И БАЗИСНЫЕ
ИНДЕКСЫ
Базисные индексы получают сравнением показателя любого периода с
показателем какого-нибудь другого периода, принятого за базу сравнения.
Базисные индивидуальные индексы физического
объема продукции:
q1 q2 q3
iq1/ 0 = ; iq2 / 0 = ; iq3 / 0 = ; и т. д.
q0 q0 q0
Произведение цепных индивидуальных индексов
равно последнему базисному индексу :
iq1/ 0 ⋅ iq2 /1 = iq2 / 0 ; iq1/ 0 ⋅ iq2 /1 ⋅ iq3 / 2 = iq3 / 0 и т. д.
25. ЦЕПНЫЕ И БАЗИСНЫЕ ИНДЕКСЫ
Базисные агрегатные индексы физического объема
продукции :
I q1/0 = ∑ ( q1 ⋅ p0 ) ; I q2/0 = ∑ ( q2 ⋅ p0 ) ; Iи3/0 = ∑ ( q3 ⋅ p0 ) ;
q тд . .
∑ ( q0 ⋅ p0 ) ∑ ( q0 ⋅ p0 ) ∑ ( q0 ⋅ p0 )
Базисный агрегатный индекс физического объема
продукции может быть получен как произведение цепных
агрегатных индексов при постоянных соизмерителях :
Iq = Iq ⋅ Iq = ∑(q ⋅ p ) ⋅ ∑(q ⋅ p ) = ∑(q
1 0 2 0 2 ⋅ p0 )
.
2/0 1/ 0 2 /1
∑(q ⋅ p ) ∑(q ⋅ p ) ∑(q
0 0 1 0 0 ⋅ p0
)
26. ЦЕПНЫЕ И БАЗИСНЫЕ ИНДЕКСЫ
Цепные индивидуальные индексы цен.
p1 p2 p3
i p1/ 0 = ; i p2 / 1 = ; i p3 / 2 = и т. д.
p0 p1 p2
Базисные индивидуальные индексы цен :
p1 p2 p3
i p1/ 0 = ; i p2 / 0 = ; i p3 / 0 = и т. д.
p0 p0 p0
Произведение цепных индивидуальных индексов цен равно
последнему базисному индексу
iq1/ 0 ⋅ iq2 /1 = iq2 / 0 ; i р1/ 0 ⋅ i р2 /1 ⋅ i р3 / 2 = i р3 / 0 и т. д.
28. ЦЕПНЫЕ И БАЗИСНЫЕ ИНДЕКСЫ
Агрегатные индексы качественных показателей, рассчитанные
по формуле Пааше, всегда являются индексами с меняющимися
весами, поэтому цепной метод исчисления базисных индексов
не применяется.
Если воспользоваться формулой Ласпейреса для расчета
агрегатных индексов цен при условии постоянных весов q для
всех периодов, то базисные индексы могут быть определены на
основе цепных.
29. 4. ИНДЕКСЫ ПЕРЕМЕННОГО И
ПОСТОЯННОГО СОСТАВА
Индекс переменного состава – это относительная
величина, характеризующая динамику средних
показателей для однородной совокупности.
Индекс постоянного состава – это относительная
величина, характеризующая динамику средних
показателей при одной и той же фиксированной
структуре совокупности.
30. ИНДЕКСЫ ПЕРЕМЕННОГО СОСТАВА
Индекс себестоимости переменного состава – это
отношение средней себестоимости единицы продукции по
группе предприятий в отчетном и базисном периодах.
I z = z1 / z0 .
1/ 0
Средняя себестоимость единицы продукции в отчетном и
базисном периодах вычисляется по формулам средней
арифметической: ∑( z ⋅ q ) ∑( z ⋅ q )
z0 = 0 0
; z1 = 1 1
.
∑q 0 ∑q 1
Следовательно
I =∑
( z ⋅ q ) : ∑( z ⋅ q ) .
1 1 0 0
z1 / 0
∑q 1 ∑q 0
31. ИНДЕКСЫ ПЕРЕМЕННОГО
СОСТАВА
q1 q0
Величины q и отражают распределение продукции по
∑ 1 ∑ q0 предприятиям,
тогда I = ∑( z
1
⋅ d1 )
,
z1 / 0
∑( z
0 ⋅ d0
)
где d1 и d0 – удельный вес каждого предприятия в общем объеме
выпуска продукта в базисном и отчетном периодах.
Абсолютное изменение средней себестоимости по группе
предприятий:
∆ z = z1 − z0 = ∑ ( z1 ⋅ d1 ) − ∑ ( z0 ⋅ d 0 ).
32. ИНДЕКСЫ ПОСТОЯННОГО
СОСТАВА
Индекс себестоимости постоянного состава – это
отношение средней себестоимости по группе предприятий
в отчетном и базисном периодах, рассчитанной с одними и
теми же весами:
I 'z = ∑
( z ⋅ q ) : ∑( z ⋅ q ) = ∑( z
1 1 0 1 1 ⋅ q1 ) ∑ ( z1 ⋅ d1 )
= .
∑q 1 ∑q 1 ∑( z 0 ⋅ q1
) ∑ ( z0 ⋅ d1 )
Абсолютное изменение средней себестоимости по группе
предприятий за счет изменения уровня себестоимости по
предприятиям:
∆zz = ∑ ( z1 ⋅ d1 ) − ∑ ( z0 ⋅ d1 ).
33. ИНДЕКСЫ СТРУКТУРНЫХ
СДВИГОВ
Индекс влияния структурных сдвигов в объеме продукции:
I = ∑( z ⋅ d1 )
0
.
∑( z
0 ⋅ d0
)
d
Абсолютное изменение средней себестоимости по группе
предприятий за счет структурных сдвигов в объеме
выпуска продукции: d
∆ z = ∑ ( z0 ⋅ d1 ) − ∑ ( z0 ⋅ d 0 ).
Изменение средней себестоимости по группе предприятий
определяется изменением двух факторов, поэтому:
I z = I z ⋅ Id ;
'
∆z = ∆z + ∆z .
z d
34. 5. ПРИМЕНЕНИЕ ИНДЕКСНОГО
МЕТОДА В АНАЛИЗЕ ВЗАИМОСВЯЗИ
ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ
Агрегатный индекс общей стоимости продукции:
I pq = I q ⋅ I p = ∑(q 1 ⋅ p0 ) ∑ ( q1 ⋅ p1 ) ∑ ( q1 ⋅ p1 )
⋅ = .
1/ 0 1/ 0 1/ 0
∑( q0
⋅ p0 ) ∑ ( q1 ⋅ p0 ) ∑ ( q0 ⋅ p0 )
Общее абсолютное изменение общей стоимости
продукции за счет двух факторов:
∆pq pq = ∑ ( q1 ⋅ p1 ) − ∑ ( q0 ⋅ p0 ).
∑
35. ПРИМЕНЕНИЕ ИНДЕКСНОГО МЕТОДА
В АНАЛИЗЕ ВЗАИМОСВЯЗИ
ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ
Общее абсолютное изменение общей стоимости
продукции за счет отдельных факторов:
а) изменения физического объема продукции:
∆q∑ pq = ∑ ( q1 ⋅ p0 ) − ∑ ( q0 ⋅ p0 ) ,
б) среднего изменения цен на продукцию:
∆p∑ pq = ∑ ( q1 ⋅ p1 ) − ∑ ( q1 ⋅ p0 ).
Общее абсолютное изменение общей стоимости
продукции:
∆pq pq = ∆q∑ pq + ∆p∑ pq .
∑
36. ПРИМЕНЕНИЕ ИНДЕКСНОГО МЕТОДА В
АНАЛИЗЕ ВЗАИМОСВЯЗИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ
ЯВЛЕНИЙ
Агрегатный индекс общих затрат:
I qz = I q ⋅ I z = ∑(q 1 ⋅ z0 ) ∑ ( q1 ⋅ z1 ) ∑ ( q1 ⋅ z1 )
⋅ = .
1/ 0 1/ 0 1/ 0
∑(q 0 ⋅ z0
) ∑ ( q1 ⋅ z0 ) ∑ ( q0 ⋅ z0 )
Абсолютное изменение общих затрат за счет отдельных
факторов:
а) изменения физического объема продукции:
∆q∑ qz = ∑ ( q1 ⋅ z0 ) − ∑ ( q0 ⋅ z0 ) ,
б) среднего изменения себестоимости единицы продукции:
∆z∑ qz = ∑ ( q1 ⋅ z1 ) − ∑ ( q1 ⋅ z0 ).
Общее абсолютное изменение общих затрат на выпуск продукции
за счет двух факторов:
∆qz qz = ∆q∑ qz + ∆z∑ qz = ∑ ( q1 ⋅ z1 ) − ∑ ( q0 ⋅ z0 ).
∑
37. Пример. Имеются следующие данные о выпуске кирпича
тремя предприятиями фирмы (табл.8.2). Определить:
1) изменение себестоимости по каждому предприятию
фирмы;
2) изменение себестоимости по фирме, выяснив, за счет
действия каких факторов это произошло.
Таблица 8.2
Объем выпуска и себестоимость кирпича
№ Выпуск, тыс. шт. Себестоимость 1000 шт., руб.
предприятия
Сентябрь, q0 Октябрь, q1 Сентябрь, z0 Октябрь, z1
1 3000 3500 610 608
2 6000 7700 590 580
3 3000 2800 630 628
38. Решение:
1. Изменение себестоимости по каждому предприятию
определяется с помощью индивидуального индекса
себестоимости:
608
Предприятие 1: iz / z = = 0.996 (99.6%).
1 0
610
580
Предприятие 2: iz / z = = 0.983 (98.3%).
1 0
590
628
Предприятие 3: iz / z = = 0.997 (99.7%).
1 0
630
Вывод: себестоимость снизилась по каждому предприятию на
0.4%, 1.7%, 0.3% соответственно.
39. Решение (продолжение):
2. Изменение себестоимости продукта по фирме
определяется с помощью индекса переменного состава:
610 ⋅ 3000 + 590 ⋅ 6000 + 630 ⋅ 3000
0=
zруб = 605.0 ( ).
3000 + 6000 + 3000
608 ⋅ 3500 + 580 ⋅ 7700 + 628 ⋅ 2800
=
zруб
1 = 596.6 ( ).
3500 + 7700 + 2800
596.6
Iz = = 0.986 (98.6%),
1/ 0
605.0
∆ z = 596.6 − 605.0 = −8.4 ( руб ).
Вывод: себестоимость кирпича снизилась на 1.4%, при этом
абсолютное изменение (снижение) себестоимости составило
8.4 руб.
40. Решение (продолжение):
Себестоимость продукта изменилась за счет:
1) изменения уровня себестоимости по каждому
предприятию (определяется индексом себестоимости
постоянного состава);
2) изменения удельного веса предприятий в общем
выпуске продукции (структурный фактор,
определяется индексом влияния структурных сдвигов
в объеме продукции).
3500
Предприятие 1: d1 = = 0.25.
3500 + 7700 + 2800
7700
Предприятие 2: d1 = = 0.55.
14000
2800
Предприятие 3: d1 = = 0.20 .
14000
41. Решение (продолжение):
608 ⋅ 0.25 + 580 ⋅ 0.55 + 628 ⋅ 0.20 596.6
I z' = = = 0.989 (98.9%),
1/ 0
610 ⋅ 0.25 + 590 ⋅ 0.55 + 630 ⋅ 0.20 603.0
∆ z = 596.6 − 603.0 = −6.4 ( руб ).
z
Вывод: за счет изменения себестоимости продукции по каждому
предприятию себестоимость по фирме снизилась на 1.1%, что
составило 6.4 руб.
3000
Предприятие 1: d0 = = 0.25.
3000 + 6000 + 3000
6000
Предприятие 2: d0 = = 0.50 .
12000
3000
Предприятие 3: d0 = = 0.25.
12000
42. Решение (продолжение):
610 ⋅ 0.25 + 590 ⋅ 0.55 + 630 ⋅ 0.20
Id = =
1/0 610 ⋅ 0.25 + 590 ⋅ 0.50 + 630 ⋅ 0.25
603.0
= = 0.997 (99.7%),
605.0
∆ d = 603.0 − 605.0 = −2.0 ( руб ).
z
Вывод: за счет изменений в распределении продукции по
предприятиям себестоимость кирпича снизилась на 0.3%, при
этом абсолютное изменение (снижение) себестоимости
составило 2.0 руб.
Проверка: I z = I z' ⋅ I d = 0.989 ⋅ 0.997 = 0.986 ,
1/ 0 1/ 0
∆ = ∆ z + ∆ d = −6.4 − 2.0 = −8.4 ( руб ).
z z z
