Vectors

2,590 views

Published on

GEOMETRIA 4T ESO

Published in: Education
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

Vectors

  1. 1. <ul>Vectors al pla i rectes </ul>
  2. 2. <ul><li>Segment orientat
  3. 3. Fletxa </li></ul><ul>Definició Vector </ul><ul>A ≡ Punt Origen </ul><ul>B ≡ Punt Destí </ul><ul>V </ul><ul>V = AB </ul>
  4. 4. <ul>Característiques d’un vector </ul><ul>Un vector es defineix mitjançant la seva direcció, sentit i mòdul: </ul><ul><li>Direcció: La de la recta que conté el vector. Una direccio té dos sentits oposats.
  5. 5. Sentit: La punta de la fletxa indica el sentit (de A cap a B)
  6. 6. Mòdul: Longitut del vector. Es representa amb el següent simbol |AB| </li></ul><ul>Direcció </ul><ul>Longitut o mòdul </ul><ul>Sentit </ul>
  7. 7. <ul>Vectors a R 2 </ul><ul><li>Els vectors que estudiarem es representen al pla R 2
  8. 8. El pla R 2 és el conjunt de parelles de nombres reals, representats de la forma (x, y) -> Pla cartesià
  9. 9. V 2 és el conjunt algebraic (espai vectorial) que engloba tots els vectors representables a l’espai R 2 </li></ul><ul>P = (a, b) </ul><ul>Per tot punt P(a, b) de R 2 , queda determinat el vector V (a, b), que neix al origen (0,0) i té el seu destí a punt P(a, b) </ul><ul>V = (a, b) </ul><ul>b </ul><ul>a </ul>
  10. 10. <ul>Mòdul i argument d’un vector </ul><ul>Mòdul V(a,b) |V(a, b)| = a 2 + b 2 T. Pitágoras Argument V(a,b) tag( α ) = b/a </ul><ul>Raó Trigonomètrica </ul><ul>b </ul><ul>a </ul><ul>V(a, b) </ul><ul>α </ul>
  11. 11. <ul>Operacions amb vectors </ul><ul>Suma vectors </ul><ul>V 1 + V 2 = (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) Suma de les coordenades </ul><ul>Multiplicació per un escalar </ul><ul>k · V 1 = k · (a, b) = (k · a , k · b) Multiplicació per cadascuna de les seves coordenades </ul><ul>Gràficament: Llei del paral.lelogram </ul><ul>V 1 </ul><ul>V 2 </ul><ul>V 1 </ul><ul>k V 1 </ul><ul>V 1 +V 2 </ul>
  12. 12. <ul>Operacions amb vectors </ul><ul>Vector Oposat </ul><ul>(-1) · V 1 = (-1) (a, b) = (-a, -b) Multiplicació per -1 </ul><ul>Resta vectors </ul><ul>V 1 – V 2 = (a, b) - (c, d) = (a - c, b - d) Resta de les coordenades o suma per l’oposat de V 2 </ul><ul>V 1 </ul><ul>V 2 </ul><ul>V 1 </ul><ul>-V 1 </ul><ul>V 1 - V 2 </ul><ul>-V 2 </ul>
  13. 13. <ul>Construcció d’un vector </ul><ul>Vector = Coordenades del punt destí – </ul><ul><ul><ul><ul><li>coordenades del punt origen </li></ul></ul></ul></ul><ul>Donats els punts A= (-3, 0), B= (2, 3), C= (0, -2), D= (5, 1) AB = (2, 3) – (-3, 0) = (5, 3) CD = (5, 1) – (0, -2) = (5, 3) </ul><ul>A </ul><ul>C </ul><ul>D </ul><ul>B </ul><ul>Son vectors equipolents: Mateix mòdul, direcció i sentit </ul><ul>Representant Canònic de (5,3) </ul>
  14. 14. <ul>Combinació lineal de vectors </ul><ul>V = k 1 ·a + k 2 ·b (v 1 , v 2 ) = k 1 (a 1 , a 2 ) + k 2 (b 1 , b 2 ) V 1 = k 1 · a 1 + k 2 · b 1 V 2 = k 1 · a 2 + k 2 · b 2 </ul><ul>Diem que el vector V(v 1 ,v 2 ) es pot expressat com una combinació lineal dels vectors a(a 1 ,a 2 ) i b(b 1 ,b 2 ), si: </ul><ul>Per trobar k1 i k2 s’ha de ressoldre un sistema d’equacions </ul><ul>Diem que (k 1 , k 2 ) són les coordenades de V respecte els vectors a i b </ul>
  15. 15. <ul>Dependència-Independència vectors </ul><ul>a 1 b 1 ── ≠ ─── a 2 b 2 </ul><ul>Són independents No són paral.lels </ul><ul>a 1 b 1 ── = ── a 2 b 2 </ul><ul>Són dependents, per tant també paral·lels. </ul><ul><li>Quan un vector V es pot expressar com una combinació lineal d’un o d’altres vectors diem que V és linealment dependent d’aquests vectors
  16. 16. Donats dos vectors, V 1 = (a 1 , b 1 ) i V 2 = (a 2 , b 2 ), si: </li></ul>
  17. 17. <ul>Determinació vector unitari </ul><ul>Donat un vector V(a, b), definim el vector unitari W que té la mateixa direcció i sentit de V, com: </ul><ul>V (a, b) a b W = ──── = ────── = ──────, ────── | V | a 2 + b 2 a 2 + b 2 a 2 + b 2 </ul><ul>Demostració </ul><ul>| V | a 2 b 2 a 2 + b 2 |W| = ──── = ───── + ───── = ────── = 1 | V | a 2 + b 2 a 2 + b 2 a 2 + b 2 </ul>
  18. 18. <ul>Divisió d’un segment en n parts I </ul><ul><li>Per dividir un segment AB en n parts iguals, hem de trobar els (n-1) punts intermedis que defineixen cada part.
  19. 19. Cas simple: Trobar el punt mig d’un segment </li></ul><ul>AM = ½ AB ( x - a 1 , y - a 2 ) = ½ (b 1 - a 1 , b 2 - a 2 ) (x, y) = ½ (b 1 + a 1 , b 2 + a 2 ) </ul><ul>A(a 1 , a 2 ) </ul><ul>B(b 1 , b 2 ) </ul><ul>M(x, y) </ul>
  20. 20. <ul>Divisió d’un segment en n parts II </ul><ul>Exercici Trobar el punt més proper a A, resultant de la divisió del segment AB en 4 parts iguals, on A=(-2, -1) i B = (15, 20) </ul><ul>AX = 1/4 · AB </ul><ul>A(-2, 1) </ul><ul>B(15, 20) </ul><ul>Punt demanat (x,y) </ul>
  21. 21. <ul>Producte escalar de vectors </ul><ul>a · b = | a | | b | cos(a, b) a · b = (a 1 , a 2 ) · (b 1 , b 2 ) = a 1 · b 1 + a 2 · b 2 </ul><ul>Propietats producte escalar a) Conmutativa: a · b = b · a b) Associativa mixta: k(a · b) = (ka) · b = a · (kb) c) Distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c </ul><ul>Dues maneres de calcular el producte escalar: </ul>
  22. 22. <ul>Angle format per dos vectors </ul><ul>a · b a1 · b1 + a2 · b2 cos(a, b) = ─────── = ──────────── | a | | b | | a | | b | </ul><ul>Aillant de la fòrmula del producte escalar: </ul><ul>Possibles situacions: </ul><ul>Angle = 0º </ul><ul>Vectors paral·lels </ul><ul>Angle = 90º </ul><ul>Vectors normals </ul><ul>Angle = 180º </ul><ul>Vectors oposats </ul>

×