1. KAJIAN ANALISIS REGRESI LINIER BERKELOMPOK
Danang Ariyanto, Maria Bernadetha Mitakda, Ni Wayan Surya Wardhani
Jurusan Matematika, F.MIPA, Universitas Brawijaya, Malang, Indonesia
Email: danangariyanto75@gmail.com
Abstrak. Analisis regresi memodelkan hubungan fungsional antara peubah respon
dan peubah prediktor. Tidak jarang
peubah prediktor bersifat kuantitatif maupun kualitatif yang berbentuk kelompok
atau tingkatan. Analisis regresi linier
berkelompok digunakan untuk memodelkan hubungan antara peubah respon dan peubah
prediktor kualitatif dan kuantitatif.
Peubah prediktor kualitatif sebagai peubah boneka disandikan 0 dan 1. Empat
model regresi linier berkelompok yang
diterapkan pada data yaitu model regresi garis sejajar dengan perbedaan penduga
pada kategori dasar, model regresi garis
terpisah dengan perbedaan penduga pada kategori dasar, model regresi garis
sejajar dan model regresi garis terpisah.
Perbedaan model terletak pada pembentukan peubah boneka, pembentukan matriks
pada metode kuadrat terkecil dan
interaksi antar peubah prediktor. Berdasarkan data sekunder diketahui bahwa
panjang polong (cm) dan lokasi penanaman
(Malang dan Jombang) berpengaruh terhadap bobot polong segar (g). Merujuk pada
uji perbedaan dua garis regresi diperoleh
model yang sesuai yaitu Yi = -6.35+0.4233Xi1 (Malang) dan Yi = -4.40+0.4233Xi1
(Jombang), disimpulkan bahwa laju
pertambahan bobot polong di dua lokasi tersebut sama, artinya lokasi tanam tidak
mempengaruhi laju pertambahan bobot
polong segar (g).
Kata kunci: : Regresi, berkelompok, peubah boneka, interaksi, uji perbedaan dua
garis regresi
1. PENDAHULUAN
Analisis regresi digunakan untuk menggambarkan hubungan antara peubah respon Y
dengan
peubah prediktor X dalam suatu model regresi. Pada analisis regresi dibutuhkan
data yang bersifat
kuantitatif sehingga dapat didefinisikan hubungan antar peubah respon dan peubah
prediktor. Pada
suatu penelitian sering diperoleh data bersifat kualitatif, yaitu data yang
menunjukan keberadaan, sifat
(ciri) tertentu sehingga menimbulkan kelompok dalam data. Analisis regresi dapat
dilakukan pada
peubah prediktor kualitatif melalui pembentukan peubah boneka. Analisis hubungan
fungsional antara
peubah respon dan peubah prediktor kualitatif dan kuantitatif disebut analisis
regresi linier
berkelompok.
Terdapat empat model pada analisis regresi linier berkelompok yaitu model
regresi garis sejajar
dengan perbedaan penduga kategori dasar, model regresi garis terpisah dengan
perbedaan penduga
kategori dasar, model regresi garis sejajar dan model regresi garis terpisah.
Perbedaan keempat jenis
model regresi linier berkelompok terletak pada pembentukan peubah boneka pada
setiap kelompok,
pembentukan elemen matriks X pada pendugaan model regresi dengan metode kuadrat
2. terkecil dan
interaksi antar peubah prediktor.
2. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Model regresi Linier Sederhana
Model regresi linier sederhana merupakan model regresi dengan sebuah peubah
prediktor X dan
sebuah respon Y. Hubungan fungsional peubah respon Y dan peubah prediktor X
dijelaskan oleh
model regresi:
01 = 1, 2, ..., niiiYXi......
Pendugaan parameter dilakukan dengan metode kuadrat terkecil (MKT) yaitu
dengan meminimumkan jumlah kuadrat galat. Turunan parsial JKG terhadap parameter
yang
disamakan dengan nol menghasilkan persamaan normal, matriks persamaan normal
sebagai berikut:
01 dan ..
atau ( ) ^ 11021111
ˆ
ˆ
nniiiinnniiiiiiinXYXXXY
.
.
..
...
.
....
......
......
......
....
....
..
...
sehingga penduga bagi ß adalah: ˆ..-1ß=(XX)XY
Pengujian hipotesis parameter regresi linier sederhana dilakukan untuk
mengetahui apakah
terdapat hubungan kausal antara peubah prediktor dan peubah respon berdasarkan
hipotesis:
3. H0: , lawan H1: 10..10..
Jika H0 benar, statistik uji t: 1(2)
1
ˆ
ˆ()
ntSe
.
.
.
2.2 Model Regresi Linier Berganda
Model regresi linier berganda memodelkan hubungan beberapa peubah prediktor dan
sebuah
peubah respon. Hubungan fungsional peubah respon Y dan k peubah prediktor (X1,
X2, ..., Xk)
dijelaskan oleh model regresi:
i = 1, 2, ..., n 01122...iiikikiYXXX...........
Pendugaan terhadap parameter sama seperti pada regresi linier sederhana yaitu
dengan
menggunakan metode kuadrat terkecil melalui peminimuman jumlah kuadrat galat.
0 dan j..
Pengujian koefisien regresi linier berganda dilakukan untuk mengetahui apakah
antar peubah respon
dan k peubah prediktor terdapat hubungan linier. Hipotesis yang melandasi
pengujian adalah:
H0 : ß1 = ß2 = . . . = ßk = 0
H1 : paling tidak ada satu j di mana ßj . 0 j = 1, 2, ..., k
Pengujian Parameter regresi linier berganda dilandasi pada uji F berdasarkan
Tabel 2.1:
Tabel 1. Analisis Ragam Regresi Linier Berganda
Sumber
keragaman
db
Jumlah kuadrat
Kuadrat
tengah
Statistik uji F
Regresi
k
2ˆ''XYnY..
regregJKdb
~ Fk,(n-p)
4. reggalatKTKT
Galat
n - p
ˆ'''YYXY..
galatgalatJKdb
Total
n-1
2'YYnY.
(Drapper dan Smith,1992)
2.3 Model Regresi Garis Sejajar dengan Perbedaan Penduga pada Kategori Dasar
Model regresi garis sejajar dengan perbedaan penduga pada kategori dasar
merupakan model
regresi berkelompok dengan slope yang sama. Model tersebut dirumuskan sebagai
(Gujarati, 1991):
01121iiiiYDX........
di mana Yi : nilai peubah respon pengamatan ke-i
Xi1 : nilai peubah prediktor pengamatan ke-i
Di1 : peubah boneka pengamatan ke-i. Di1 bernilai 1 jika data ke-i masuk
kategori pertama
dan 0 jika data ke-i masuk kategori kedua
2.4 Model Regresi Garis Terpisah dengan Perbedaan Penduga pada Kategori Dasar
Model regresi garis terpisah dengan perbedaan penduga pada kategori dasar
merupakan model
dengan interaksi antar peubah prediktor kuanlitatif dan kuantitatif adalah
(Kutner, 2005):
01121311iiiiiiYDXDX..........
2.5 Model Regresi Garis Sejajar
Model regresi garis sejajar merupakan model regresi tanpa intersep. Menurut
OˆNeill (2013)
model regresi garis sejajar yaitu:
11()21()31iiaibiiYDDX........
di mana Yi : nilai peubah respon pengamatan ke-i
6. Di1(a) : peubah boneka pengamatan ke-i. Di1(a) bernilai 1 jika data ke-i masuk
kategori
pertama dan 0 jika data ke-i masuk kategori kedua
Di1(b) : peubah boneka pengamatan ke-i. Di1(b) bernilai 0 jika data ke-i masuk
kategori
pertama dan 1 jika data ke-i masuk kategori kedua
2.6 Model Regresi Garis Terpisah
Model regresi garis terpisah merupakan model regresi tanpa intersep dengan
interaksi antar
peubah prediktor kuanlitatif dan kuantitatif. Model regresi garis terpisah
yaitu:
11()21()31()141()1iiaibiaiibiiYDDDXDX..........
2.7 Uji Perbedaan Dua Garis Regresi
Berdasarkan model regresi yang dihasilkan maka dilakukan pengujian perbedaan dua
garis
regresi yang dihasilkan sehingga dapat disimpulkan model mana yang sesuai untuk
menggambarkan
hubungan antara peubah respon dan prediktor. Pandang model berikut (Santoso dan
Kusnandi, 1992):
01121311()iiiiEYDXDX........
Hipotesis uji kesejajaran adalah:
H0 : = 0 (kedua garis regresi sejajar), lawan
H1 : . 0 (kedua garis regresi tidak sejajar)
Hipotesis uji keberhimpitan adalah:
H0 : ß2 = ß3 atau ß2 ˆ ß3 = 0 (intersep kedua garis regresi sama), lawan
H1 : ß2 . ß3 atau ß2 - ß3 . 0 (intersep kedua garis regresi berbeda)
Tabel 2. Analisis Ragam Uji kesejajaran dan Keberhimpitan Garis Regresi
Sumber
Keragaman
Db
Jumlah kuadrat
Kuadrat
tengah
Statistik uji F
Regresi
K
JKR
/JKRk
8. lokasi tanam
terhadap bobot polong segar (g). Berikut pendeskripsian peubah penelitian:
: bobot polong segar (g) ke-i iY
: panjang polong (cm) ke-i 1iX
: peubah boneka bernilai 1 jika lokasi kacang panjang ke-i di Malang dan
bernilai 0 1iD
jika lokasi kacang panjang ke-i di Jombang
: peubah boneka bernilai 1 jika lokasi kacang panjang ke-i di Malang dan
bernilai 0 1()ibD
jika lokasi kacang panjang ke-i di Jombang
: peubah boneka bernilai 1 jika lokasi kacang panjang ke-i di Jombang dan
bernilai 0 1()iaD
jika lokasi kacang panjang ke-i di Malang
9. 3.2 Model Regresi Garis Sejajar dengan Perbedaan Penduga pada Kategori
116.311.70.4595iiiiYDX......
3.3 Model Regresi Garis Terpisah dengan Perbedaan Penduga pada Kategori
11111.9210.180.36770.1590iiiiiiYDXDX.......
3.4 Model Regresi Garis Sejajar
1()1()18.016.310.4595iiaibiiYDDX......
3.5 Model Regresi Garis Terpisah
1()1()1()11()112.101.920.52670.3677iiaibiaiibiiYDDDXDX.......
3.6 Uji Perbedaan Dua Garis Regresi
Tabel 3. Analisis Ragam Uji kesejajaran dan Keberhimpitan Garis Regresi
Sumber
Keragaman
db
Jumlah
kuadrat
Kuadrat
tengah
Statistik uji F
Regresi
3
337.37
112.45
154.31
(sej)
1
1.27
1.27
1.74
(him) 23,..
2
17.03
8.52
11.67
10. Galat
20
14.58
0.73
total
23
351.95
15.30
Berdasarkan Tabel 3 diketahui bahwa statistik uji F kesejajaran garis regresi
lebih kecil dari
pada yaitu maka H0 diterima, disimpulkan bahwa sudah cukup bukti untuk
menerima kedua garis regresi sejajar. Sementara pada statistik uji F kesejajaran
garis regresi lebih
besar dari pada yaitu maka H0 ditolak, disimpulkan bahwa kedua garis regresi
tidak berhimpit, artinya model yang sesuai untuk menggambarkan hubungan berat
polong (g)
berdasarkan panjang polong (cm) di setiap lokasi adalah garis regresi sejajar.
0.05(1,20)F1.744.35.
0.05(2,20)F11.673.49.
4. KESIMPULAN
Berdasarkan model yang sesuai yaitu Yi = -6.35+0.4233Xi1 (Malang) dan Yi =
-4.40+0.4233Xi1
(Jombang), dikatakan bahwa laju pertambahan bobot polong di dua lokasi tersebut
sama, artinya
lokasi tanam tidak mempengaruhi laju pertambahan bobot polong segar (g).
DAFTAR PUSTAKA
Drapper, N. dan Smith H., (1992), Analisis Regresi Terapan, terjemahan: Ir.
Bambang Sumantri,
Gramedia Pustaka Utama, Jakarta.
Gujarati, D.N., (1991), Ekonometrika Dasar, terjemahan: Sumarno Zain. Erlangga,
Jakarta.
Kurtner, M.H., Nachtsheim, C.J., Neter, J. And Li W., (2005), Applied Linear
Statistical Model, Mc
Graw Hill, New York.
Listyorini, (2008), Penampilan 12 Galur Harapan Kacang Panjang (Vigna
unguiculata var.
sesquipedalis L. Fruwirth) di Dua Lokasi Dataran Rendah, Skripsi, Universitas
Brawijaya,
Malang, Indonesia.
O’Neill, M., (2013), ’Regression by Group’, mick@stats.net.au, tanggal akses 24
Juni 2013.
