1. www.VNMATH.com
Phương trình và b t phương trình mũ
PHƯƠNG TRÌNH VÀ B T PHƯƠNG TRÌNH MŨ
I. PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1. Phương trình mũ cơ b n:
 A ( x) = 1
0 < a ≠ 1
 f ( x) g ( x) 
a f ( x)
=a g( x)
⇔ ; [ A ( x )] = [ A ( x )] ⇔  A ( x ) > 0

 f ( x) = g ( x)
 
 f ( x ) = g ( x )

2. Phương trình mũ ưa v cùng m t cơ s :
2.1. Phương trình mũ ưa v cùng 1 cơ s là h ng s :
= 2 (5 x )
2 2 +1 2 −1 2 −2
Bài m u. GPT: 5 x − 3 x − 3x (1)
2
x 3
( 5)
(1) ⇔ 1 − 2 5 x = 3 − 2 3 x ⇔ 5
2 2
( 9) ( 3) = (5)
3
⇔ x2 = 3 ⇔ x = ± 3
x +10 x +5 x +5 x +17
Bài t p. 16 x −10 = 0,125.8 x −15 ; 3 x −1 = 18 2 x .2 −2 x .3 x +1 ; 243 x − 7 = 1 ⋅ 2187 x −3 ;
9
1
 1
 x
2 x −1 − 3 x = 3 x −1 − 2 x + 2 ; 7 3 x + 9.5 2 x = 5 2 x + 9.7 3 x ; 1 ⋅ 4 x
= ( 2 5 + x ) 1+ 5 x
 ;
2
x −3 x +1
x+ 3 x+ 1 x+2
9x − 2 2 =2 2 − 32 x −1 ; ( 10 + 3) x −1 = ( 10 − 3) x +3 ; 2 x .3 x +1 = ( 3 ) ;
3.4 x + 1 ⋅ 9 x + 2 = 6.4 x +1 − 1 ⋅ 9 x +1 ; 2 x + 2 x −1 + 2 x − 2 = 3 x + 3 x − 2 − 3 x −1 ;
3 2
2.2. Phương trình mũ ưa v cùng 1 cơ s là hàm s :
Bài m u. GPT: xx = x 2 x −3
(1)
x =1 x =1 x =1
1x
2 x −3   
(1) ⇔ x2 =x ⇔ ⇔  x > 0
 ⇔ x = 2
 1 x = 2x − 3 > 0  2
2
 
x = 6
  x = 4 ( 2 x − 3)

x2 −4 2 −5 x + 6 x
=( x)
3 2
Bài t p. ( x 2 − 5 x + 4 )
x
= 1; ( x + 4) =1; x x
5 x +1 1− x
( 2
2
x +1 ) = ( 2
2
x +1 ) ; ( x 2 − 2x + 2)
9− x 2
= 3 x 2 − 2x + 2 ;
x +1
4− x 2
( x2 − x + 1) = x 2 − x + 1 ; ( 2 cos x + x 2 ) 2
= 2 cos x + x 2 ;
181

2. www.VNMATH.com
Chương VI. Phương trình và b t phương trình i s – Tr n Phương
3. Phương pháp t n ph ưa v phương trình b c 2, b c 3:
2 + 6 x −9 2 +3 x −5 2 + 6 x −9
Bài m u. GPT: 32 x + 4.15 x = 3.5 2 x
( 2 + 3 x −5 ) 2 + 3 x −5 ( 2 +3 x −5) 2 +3 x −5 2 + 3 x −5 2 + 3 x −5
3 ⋅ 32 x + 4.15 x = 15 ⋅ 5 2 x ⇔ 3 ⋅ 9x + 4.15 x = 15 ⋅ 25 x
x 2 + 3 x −5 x 2 + 3 x −5 x 2 + 3 x −5
⇔3 9
25 ( ) +4 3
5 () − 15 = 0 ⇔ 3u 2 + 4u − 15 = 0; u = 3
5 () >0
x 2 + 3 x −5 −1 x =1
⇔ ( 3u − 5 ) ( u + 3) = 0 ⇔ u = 5 ⇔ 3
3 5 () = 3
5 () ⇔ x 2 + 3x − 4 = 0 ⇔ 
 x = −4

2 2
Bài t p. 3 x + 2 + 9 x +1 = 4 ; 4 x + 3 + 2 x + 7 − 17 = 0 ; 51+ x − 51− x = 24 ;
1 1 1
5 x
− 53− x
− 20 = 0 ; 4 x − 41+ x
= 3.2 x + x
; 49 x − 35 x = 25 x ; 125 x + 50 x = 2 3 x+1 ;
2 2 2
1+1 1 1+ 2 x 2 −2 x 2 −2
2.49 x − 9.14 x + 7.4 x = 0 ; 25 x 2 + 3.10 x − 2 x = 0 ; 4 x+ − 5.2 x −1+ ;
x −1 x −1 2 3 x +3
x 2 −5 x 2 −5
4 x− − 12.2 x −1− + 8 = 0 ; 3.2 x +1 − 8.2 2 + 4 = 0; 8x + 2 x − 20 = 0 ;
32 x + 4 + 45.6 x − 9.2 2 x + 2 = 0 ; 2 2 x .9 x − 2.6 3 x −1 + 4 2 x −1.3 4 x − 2 = 0 ; 8 x + 18 x = 2.27 x ;
x −3
(1)
1 1 1 x
= 6 5− 2 x − 12 ; 2.4 x + 6 x = 9 x ; 4 x = 9 2 + 7 ; 2 2 x − 3.2 x+ 2 + 32 = 0 ;
6
53 x + 9.5 x + 27 ( 5 −3 x + 5 − x ) = 64 ; 2 3 x − 6.2 x − 2 3(1− x ) + 12.2 − x = 1 ;
x x
( 2+ 3 ) +( 2− 3 ) = 4 ; ( 4 + 15 ) + ( 4 − 15 ) = 62 ;
x x
x x x x
(2 + 3 ) + ( 7 + 4 3 )( 2 − 3 ) = 4 ( 2 + 3 ) ; ( 7 + 4 3 ) − 3 ( 2 − 3 ) + 2 = 0 ;
x x x x
(5 − 21 ) + 7 ( 5 + 21 ) = 2 x+ 3 ; ( 3 + 5 ) + 16 ( 3 − 5 ) = 2 x+ 3 ;
x x x x
(3 + 5 ) + ( 3 − 5 ) = 7.2 x ; 3 ( 5 + 1) − ( 5 − 1) = 2 x+1 ;
x
 5 −1
x
 3+ 5  cos x cos x

 14 
 + 6  = 71− x ; ( 7+4 3 ) + ( 7−4 x ) =4;
 98 
x− x2 x− x2
( 5 + 1) + 21+ x − x = 3 ( 5 − 1)
2
; 3.25 x − 2 + ( 3x − 10 ) .5 x − 2 + 3 − x = 0 ;
9 x + 2 ( x − 2 ) 3 x + 2 x − 5 = 0 ; x 2 − ( 3 − 2 x ) x + 2 (1 − 2 x ) = 0 ;
( x + 2 ) 4 x − 2 + 4 ( x + 1) .2 x − 2 − 16 = 0 ; 8 − x.2 x + 2 3− x − x = 0 ;
x x
GBL: ( 7 + 3 5 ) + m ( 7 − 3 5 ) = 2 x +3 ;
tg x tg x tg x tg x
(5 + 2 6 ) + (5 − 2 6 ) = m ; (3 + 2 2 ) + (3 − 2 2 ) =m;
182

3. www.VNMATH.com
Phương trình và b t phương trình mũ
4. t th a s chung ưa v phương trình tích:
Bài m u. GPT: 2 x +1 + 3 x = 6 x + 2 (1)
a = 2 x
 a = 1 x = 0
t  thì (1) ⇔ 2a + b = ab + 2 ⇔ ( a − 1) ( b − 2 ) = 0 ⇔  ⇔
b = 3 x
 b = 2
  x = log 3 2

Bài t p. 15 x − 3.5 x + 3 x = 3 ; 2 x +1 + 3.2 2 x = 6 + 2 3 x ; 2 x +1 + 3 x = 6 x + 2 ;
2 2 −5 x + 2 2 −8 x + 3 2 −13 x + 5
4 x + x.3 x + 3 x +1 = 2.x 2 .3 x + 2 x + 6 ; 22x + 24 x = 1 + 26x ;
2 −3 x + 3 2 2 2 + x −1 2
2x + 2 x −1 = 2 + 2 ( x −1) ; 34 x −3 + 3 x − 2 = 9 + 35 x −7 ; 53− 2 x + 5 x = 5 + 51+ x − 2 x ;
x 2 .2 x + 6x + 12 = 6x 2 + x.2 x + 2 x+1 ; x 3 .3x + 27 x = x.3x+1 + 9x 3 ;
x +1
x 2 .2 x+1 + 2 x−3 +2 = x 2 .2 x−3 + 4 + 2 x−1 ; ( 7 )
2 −2 2 + x−4
+ 7x = 7x +7
5. Phương pháp lôgarit hoá:
D ng 1: a u ( x ) = m ⇔ log a a u ( x ) = log a m ⇔ u ( x ) = log a m (0 < a ≠ 1)
D ng 2: a u( x ) = b v( x ) ⇔ log a a u( x ) = log a b v( x ) ⇔ u ( x ) = v ( x ) .log a b (0 < a, b ≠ 1)
x −1
Bài m u. GPT: 5 x .8 x = 500 (1)
3( x −1)
(1) ⇔ 5 x.2 x = 53 ⋅ 2 2 ⇔ 5 x −3.2
x −3
x = 1 ⇔ log 2 5 x −3.2 ( x −3
x ) = log 21
(
⇔ ( x − 3) log 2 5 + x − 3 = 0 ⇔ ( x − 3) log 2 5 + 1 = 0 ⇔ x = 3 ∨ x = − log 5 2
x x )
x
2 −4 2
−2 x
Bài t p. 3 x = 3 25.125 x ; 8 3( x + 2 ) = 36.3 2 + x ; 2 x .3 x = 1, 5 ; 4 x .6 x = 2.9 2 x ;
x 3x 4 tg x 2
4 ( 5 x )−1
3 x .8 x +1 = 36 ; 5 x − 2.2 x +1 = 4 ; x 4 = 1600 2 ; x tg x
= 100 ; 7 log 25 = x log 5 7
6. Phương trình mũ ơn i u
u( ) u( ) u( ) ( )
D ng 1: a1 x + a2 x + ... + an x = b u x v i 0 < a k , b ≠ 1 ; Max {a1 , a2 ,..., an } < b
D ng 2: a1 ( x ) + a2 ( x ) + ... + an ( x ) = b u( x ) v i 0 < a k , b ≠ 1 ; Min {a1 , a2 ,..., a n } > b
u u u
x
Bài 1. Gi i phương trình: 3 2 + 1 = 2 x (1)
x x
 3 x
 3 x
x
(1) ⇔ ( 3 ) + 1 x = 2 x ⇔ f ( x ) =   + 1
 2  2 () = 1 . Do y =   ;y= 1
 2  2 () gi m
nên f ( x ) gi m, khi ó f ( x ) = 1 ⇔ f ( x ) = f ( 2 ) ⇔ x = 2 .
183

4. www.VNMATH.com
Chương VI. Phương trình và b t phương trình i s – Tr n Phương
x x x
Bài 2. Gi i phương trình: (4 + 15 ) + ( 4 − 15 ) = ( 2 2 ) (1)
x x
 4 + 15   4 − 15  4 + 15 > 1;0 < 4 − 15 < 1
(1) ⇔ f ( x ) =   +  = 1 . Ta có
 2 2   2 2  2 2 2 2
x x
 4 + 15   4 − 15 
nên y =   tăng và y =   gi m. Xét 2 kh năng sau:
 2 2   2 2 
x x 0
 4 + 15   4 − 15   4 + 15 
N u x ≥ 0 thì f ( x ) =   +  >  + 0 =1
 2 2   2 2   2 2 
x x 0
 4 + 15   4 − 15   4 − 15 
N u x ≤ 0 thì f ( x ) =   +  >0+  =1
 2 2   2 2   2 2 
V y phương trình ã cho vô nghi m.
2 2
Bài 3. Gi i phương trình: 2009 sin x
− 2009 cos x
= cos 2 x (1)
2 2 2 2
(1) ⇔ 2009sin x
− 2009cos x
= cos 2 x − sin 2 x ⇔ 2009sin x
+ sin 2 x = 2009cos x
+ cos 2 x
t f ( u ) = 2009 u + u ⇒ f ( u ) tăng nên (1) ⇔ f ( sin 2 x ) = f ( cos 2 x )
cos 2 x = sin 2 x ⇔ cos 2 x − sin 2 x = 0 ⇔ cos 2 x = 0 ⇔ x = π + k π ; k ∈ »
4 2
Bài t p dành cho b n c t gi i.
x x x x
4 x = 9 2 + 7 ; 3 x − 4 = 5 2 ; 3 x + 4 x + 5 x + 14 = 8 x ; 8 2 − 3 2 − 2 x = 39 ;
x
x +1
2 x + 3 x + 6 x = ( 0, 7 ) ; 15.2 x + 4.7 x = 23,5.10 x − 6.5 x − 4.3 x ; 2 x + 5 x = 29 2 ;
x x x x x
(2 − 3 ) + ( 2 + 3 ) = 4 x ; ( 6 − 4 2 ) + (17 − 12 2 ) + ( 34 − 24 2 ) = 1 ;
5 x + 4 x + 3 x + 2 x = 1x + 1 + 1x − 2 x 3 + 5x 2 − 7 x + 17 ;
2 3x 6
x x x
( 3 − 2 ) + ( 3 + 2 ) = ( 5 ) ; x + x log 2 3 = x log 2 5 ;
( 6 − 4 2 ) x + (17 − 12 2 ) x + ( 34 − 24 2 ) x = 1 ; x + x log 2 3 = x log 2 7 − 2 ;
x 2 − ( 3 − 2 x ) x + 2 (1 − 2 x ) = 0 ; x.2 x = x ( 3 − x ) + 2 ( 2 x − 1) ; 8 − x.2 x + 2 3− x = 0 ;
( x + 2 ) 4 x −2 + 4 ( x + 1) 2 x − 2 − 16 = 0 ; 3.25 x−2 + ( 3x − 10) 5 x −2 + 3 − x = 0
1
2 x +1 − 4 x = x − 1 ; 2 2 x −1 + 32 x + 5 2 x +1 = 2 x + 3 x +1 + 5 x + 2 ; x x = 2 2 ;
184

5. www.VNMATH.com
Phương trình và b t phương trình mũ
x x
 1 + a2   1 − a2 
  −  = 1 ( a > 0) ; 9 x + 2 ( x − 2) 3x + 2x − 5 = 0 ;
 2a   2a 
x x x
2 x + 3 x + 5 x = 10 x ; 5 x + ( 3 3 ) + 12 x = 14 x ; ( 3 + 2 2 ) = ( 2 − 1) + 3 ;
( 2 − 3) x + ( 4 − x x
15 ) = 2 ( 3 − 5 ) ; 4 log 2 (2 x ) − x log 2 6 = 2.3log 2 4 x ;
2
2x 2x
(3 + 5) + 7 (3 − 5 ) = 2 2 x +3 ; 2 x + 2 − x + 2 = log 2 (15 + 2 x − x 2 ) ;
cos 2 x
sin 2 x cos 2 x cos 2 x  
3 +3x x2
=2 +4 x x2
; (2 + 2 ) − (2 + 2 ) + (2 − 2 ) = 1 + 2  ;
 2 
1
tg 3 x + cotg 3 x = 2 sin 2 x ; π sin x
= cos x ; 2 − x = 1 ( x + 1 + x − 1 ) ; x x = 2 2 ;
2 2
1− x 2 1−2 x
= 1 − 1 ; 2 x −1 − 2 x
2 2 2 2
−x +2mx+2 +4mx+m+2
= ( x − 1) ; 5x − 52 x = x 2 + 2mx + m
2
e x −e x2
2 x
7. Phương trình mũ và phương pháp ánh giá:
7.1. S d ng b t ng th c Côsi:
x x
   
Bài m u.  x 2 − 8x + 7 + x 2 − 8x − 9  +  x 2 − 8x + 7 − x 2 − 8x − 9  = 2 x+1
S d ng b t ng th c Côsi ta có
x x
VT = ( 2
x − 8x + 7 + x 2
− 8x − 9 ) 2 + ( 2
x − 8x + 7 − x 2
− 8x − 9 ) 2 ≥
x x
2 ( x 2 − 8x + 7 + x 2 − 8x − 9 ) 2 ( x 2 − 8x + 7 − x 2 − 8x − 9 ) 2
x x
= 2 ( x 2 − 8 x + 7 ) − ( x 2 − 8 x − 9 )  2 = 2 16 2 = 2.2 x = 2 x +1
 
Phương trình ã cho có nghi m ⇔ D u b ng x y ra trong b t ng th c
 x 2 − 8 x + 7 + x 2 − 8 x − 9 = x 2 − 8 x + 7 − x 2 − 8x − 9

⇔
(
 x 2 − 8x + 7 + x 2 − 8x − 9
 x 2 − 8 x + 7 − x 2 − 8x − 9 = 4 )( )
 x 2 − 8x + 7 = 4
  x = −1
⇔ ⇔ x 2 − 8x − 9 = 0 ⇔ 
 x 2 − 8x − 9 = 0
 x = 9
185

6. www.VNMATH.com
Chương VI. Phương trình và b t phương trình i s – Tr n Phương
7.2. S d ng b t ng th c Bernoulli: Cho t > 0, khi ó:
t α + (1 − t ) α ≥ 1 ∀α ≤ 0 ∨ α ≥ 1


t α + (1 − t ) α ≤ 1 ∀0 ≤ α ≤ 1

Bài 1. Gi i phương trình: 3 x + 2 x = 3x + 2
Gi i
S d ng b t ng th c Bernoulli ta có:
3 x + (1 − 3) x ≤ 1
 3 x ≤ 2 x + 1

• N u 0 ≤ x ≤ 1 thì  x ⇔ x
2 +
 (1 − 2 ) x ≤ 1 2 ≤ x + 1

⇒ 3 x + 2 x ≤ 3 x + 2 . D u b ng x y ra ⇔ x = 0; x = 1
x ≤ 0  x
3 + (1 − 3) x ≥ 1 3 x ≥ 2 x + 1

•N u  thì  x ⇔ x
x ≥ 1  2 + (1 − 2 ) x ≥ 1  2 ≥ x + 1
 
⇒ 3 x + 2 x ≥ 3 x + 2 . D u b ng x y ra ⇔ x = 0; x = 1
K t lu n: Phương trình có úng hai nghi m x = 0; x = 1
Bài 3. Gi i phương trình: 3 x + 5 x = 6 x + 2
Gi i
5 x + (1 − 5 ) x ≤ 1 5 x ≤ 4 x + 1
 
• N u 0 ≤ x ≤ 1 thì  x ⇔ x
3 + (1 − 3) x ≤ 1 3 ≤ 2 x + 1
 
⇒ 5 x + 3 x ≤ 6 x + 2 . D u b ng x y ra ⇔ x = 0; x = 1
x ≤ 0  x
5 + (1 − 5 ) x ≥ 1 5 ≥ 4 x + 1

x
•N u  thì  x ⇔ x
x ≥ 1 3 + (1 − 3) x ≥ 1 3 ≥ 2 x + 1
 
⇒ 5 x + 3 x ≥ 6 x + 2 . D u b ng x y ra ⇔ x = 0; x = 1
K t lu n: Phương trình có úng hai nghi m x = 0; x = 1
Bài t p. 4 x + 5 x + 6 x = 12 x + 3 ; 4 x + 2 x = 4 x + 2 ; 27 x = ( 6 x 2 − 4 x + 1) 9 x
2
8. Phương trình mũ s d ng nh lý Lagrange:
nh lý Lagrange: N u f liên t c trên [a, b] và có o hàm trên (a, b) thì t n
f (b) − f ( a )
t i x 0 ∈ (a, b) sao cho f ′ ( x0 ) =
b−a
Bài t p. 3.2 x + 2 − 7 x = 17 ; 2004 x + 2007 x = 2005 x + 2006 x ; 3 x + 11x = 4 x + 10 x ;
2 2 2
5 x +1 = 2.3 x ; 2 x −x
+ 12 x −x
= 2.7 x −x
186

7. www.VNMATH.com
Phương trình và b t phương trình mũ
II. B T PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1. B t phương trình mũ cơ b n:
a > 1
 0 < a < 1
 a > 0

( x) ( )
S d ng: a α > aβ x ⇔  ∨ ⇔
α ( x ) > β ( x ) α ( x ) < β ( x ) ( a − 1) [ α ( x ) − β ( x )] > 0
  
2. B t phương trình mũ ưa v cùng m t cơ s :
x −1 x
Bài 1. Gi i BPT: 4 x +1 ≤ 1 ⋅ 32 x −1
4
3x+2
2( x −1) 5x
x −1 2 ( x − 1) 3x + 2 x ( x + 9)  x ≤ −9 ; x > 1
2 x +1 ≤ 2 −2 ⋅ 2 x −1 = 2 ⇔ ≤ ⇔ ≥0⇔
x +1 x −1 ( x − 1) ( x + 1) −1 < x ≤ 0

x2 −x
Bài 2. Gi i BPT: ( 4 x 2 + 2 x + 1) > 1 (1)
 4 x 2 + 2 x + 1 > 1
   x ( 2 x + 1) > 0

 2 
 x − x > 0   x ( x − 1) > 0 x >1
(1) ⇔   ⇔  ⇔ 1
 0 < 4 x + 2 x + 1 < 1   x ( 2 x + 1) < 0
 x < − 2
2
 
 x 2 − x < 0 
 
  x ( x − 1) < 0
 
Bài t p. 2 x + 2 − 2 x +3 − 2 x + 4 > 5 x +1 − 5 x + 2 ; 2 x + 2 x +1 ≤ 3 x + 3 x −1 ;
x −1 x −1 x +1 x x −3 x +1
( 5 + 2) ≤ ( 5 − 2 ) x +1 ; ( 2 + 1) ≥ ( 2 − 1) x −1 ; ( 10 + 3) x −1 < ( 10 − 3) x +3 ;
x − x −1 x 2 +2 x x +3 x −2
3 x 2 −2 x
≥ 1
3 () 3
; x 2 − 1 ≤ ( x 2 − 1) ; ( x 2 − x + 1) x −1 > ( x 2 − x + 1) x +5 ;
x x
x −1
2 x 2 −7 x +3
< 1 ; 3x
2
+2 2
+ 3x ≤ 2 ⋅ 5x
2
+1
; 3 72 1
3( ) (1)
3
2
> 1 ; 2 log 3 x ⋅ 5 log 3 x < 400 ;
2 x −6 2 x
> 1 ; ( x 2 − 8 x + 16 )
−5 x + 6
( x + 3) x < 1 ; 3 lg x + 2 < 3 lg x +5
− 2 ; x lg x − 3 lg x +1
> 1000 ;
1
x lg x
.lg x < 1 ; x 2 lg x ≥ 10 x ; x log 2 x
≥2 ;
x 6 − 2 x 3 +1 1− x
x
8 ≥ 6⋅9 x−1
; 1
2 () < 1
2 () ; 2 2 x −1 + 2 2 x −3 − 2 2 x −5 > 2 7 − x + 2 5− x − 2 3− x ;
187

8. www.VNMATH.com
Chương VI. Phương trình và b t phương trình i s – Tr n Phương
3. Phương pháp t n ph ưa v phương trình b c 2, b c 3:
2 2 2
Bài m u. Gi i BPT: 2 ⋅ 49 x − 9 ⋅ 14 x + 7 ⋅ 4 x ≥ 0 (1)
x2 x2
u ≥ 7 x 2 ≥ 1  x ≥1
(1) ⇔ 2 49
4 ( ) −9 7
2 () + 7 ≥ 0 ⇔ 2u − 9u + 7 ≥ 0 ⇔2

2⇔
 2
⇔

x = 0
u ≤ 1
 x ≤ 0
Bài 2. Gi i BPT: 1 + 2 < 5 (1)
2 − x + 2 −1 2 x −1 − 1 3 ( 2 x −1 + 21− x )
u = 21− x + 1 > 1 uv − 2 = v − u
2 2 5  
(1) ⇔ + < . t  ⇒
21− x + 1 2 x −1 − 1 3 ( 2 x −1 + 21− x ) v = 2 x −1 − 1 > −1 u + v > 0


6 ( v − u ) + 4uv  − 5uv
2 2
<0⇔  
5 6 ( u + v ) − 5uv
(1) ⇔ 2 + 2 < ⇔ <0
u v 3 (u + v ) 3uv ( u + v ) 3uv ( u + v )
6 ( uv − 2 ) + 4uv  − 5uv
2 2
  6 ( uv ) − 5uv + 24
⇔ <0⇔ < 0 ⇔ uv < 0 ⇔ v < 0 ⇔ x < 1
uv uv
2 2 2
Bài t p. 25 2 x − x +1
+ 9 2 x− x +1
≥ 34 ⋅ 15 2 x − x ; 5 2 x −10 −3 x −2
− 4 ⋅ 5 x −5 < 51+ 3 x −2
;
x
4x
2
−1
+ 22x
2
−6
> 52 + 4 x
2
−2
; 3 x +1 − 2 2 x +1 − 12 2 < 0 ; 4 − 7 ⋅ 5x ≤2 ;
5 2 x +1 − 12 ⋅ 5 x + 4 3
1− x x
x +4 x
> 0 ; 2 − 2 +1 ≤ 0 ;
4x
8⋅3 + 91+ ≥9 x
; 32 x − 8 ⋅ 3 x+ x+4
−9⋅9 x+4
x
2 −1
9x − 3x + 2 > 3x − 9 ; 13 x − 5 ≤ 2 (13 x + 12 ) − 13 x + 5 ;
x x x
2 ( 5 x + 4 ) − 5 x − 3 ≤ 5 x + 3 ; ( 26 + 15 3 ) + 2 ( 7 + 4 3 ) − 2 ( 2 − 3 ) < 1 ;
4. t th a s chung ưa v phương trình tích:
2 2 ( x +1) 2
Bài m u. Gi i BPT: 4 x +x
+ 21− x ≥ 2 + 1 (1)
2 2 2 2 2 2
(1) ⇔ 2 2 x +2 x
+ 21− x ≥ 2 x + 2 x +1
+ 1. t a = 22x +2x
; b = 21− x ⇒ ab = 2 x + 2 x +1
 a ≥ 1; b ≤ 1  x ≥ 1
(1) ⇔ ab + 1 − a − b ≤ 0 ⇔ (a − 1) ( b − 1) ≤ 0 ⇔  ⇔
 a ≤ 1; b ≥ 1  x ≤ 0
 
188

9. www.VNMATH.com
Phương trình và b t phương trình mũ
2
Bài t p. 4 x + x ⋅ 3 x
+ 31+ x
< 2x 2 ⋅ 3 x
+ 2x + 6 ;
4 x + 8 2 − x 2 > 4 + ( x 2 − x ) 2 x + x ⋅ 2 x +1 2 − x 2 ;
2 − 5 x − 3 x 2 + 2 x > 2 x ⋅ 3 x 2 − 5 x − 3x 2 + 4 x 2 ⋅ 3 x ;
x 2 ⋅ 2 2 x + 9 ( x + 2 ) ⋅ 2 x + 8 x 2 ≤ ( x + 2 ) 2 2 x + 9 x 2 ⋅ 2 x + 8 x + 16 ;
5. B t phương trình mũ ơn i u
Bài 1. Gi i BPT: 2 x +1 + 3 x +1 < 6 x − 1 (1)
x x x
(1) ⇔ f ( x ) = 1
6 () () () +2 1
3
+3 1
2
< 1 = f ( 2 ) ⇔ x > 2 (do f ( x ) gi m)
x 1
Bài 2. Gi i BPT: 5
2 () () + 2
5
x
> 29 (1)
10
1
N u x < 0 thì 1 gi m trên ( −∞; 0 ) nên y = 2
x 5 () x
tăng trên ( −∞; 0 ) , khi ó:
x 1
() ()
f ( x) = 5
2
+ 2
5
x
tăng trên ( −∞; 0 ) và (1) ⇔ f ( x ) > f ( −1) = 29 ⇔ −1 < x < 0
10
1
N u x > 0 thì 1 gi m trên ( 0; +∞ ) nên y = 2
x 5 () x
tăng trên ( 0; +∞ ) , khi ó:
x 1
() ()
f ( x) = 5
2
+ 2
5
x
tăng trên ( 0; +∞ ) và (1) ⇔ f ( x ) > f (1) = 29 ⇔ x > 1
10
x +1
Bài 3. Tìm nghi m x > 0 c a BPT: 6 − 3 > 10 (1)
x 2x − 1
(1) ⇔ 6 − 3 x +1 > 10 x ⇔ 6 − 10 x = 2 x − 6 > 3 x +1 ⇔ f ( x ) = 2 x − 6 > 3 x +1 = g ( x )
2x − 1 2x − 1 2x − 1 2x − 1
N u 1 < x ≤ 3 thì f ( x ) = 2 x − 6 ≤ 0 < 3 x +1 nên (1) vô nghi m.
2 2x − 1
N u 0 < x < 1 thì d th y f ( x ) , g ( x ) tăng trên 0; 1 , khi ó ta có:
2 2 ( )
2 ()
f ( x ) > f ( 0 ) = 6 > 3 3 = g 1 > g ( x ) ⇒ Nghi m c a (1) là 0 < x < 1
2
N u x > 3 thì d th y f ( x ) , g ( x ) tăng trên ( 3; +∞ ) , khi ó ta có:
f ( x ) = 2 x − 6 = 1 − 5 < 1 < 81 = g ( 3) < g ( x ) ⇒ (1) vô nghi m.
2x − 1 2x − 1
189

10. www.VNMATH.com
Chương VI. Phương trình và b t phương trình i s – Tr n Phương
Bài t p.
x
21− x − 2 x + 1 ≤ 0 ; 3 2− x + 3 − 2 x ≥ 0 ; 2 x +1 − 5 ⋅ 3 x < 1 ; 8 ⋅ 3 x −2 > 1 + 2
2x −1 4x − 2 2 x − 3 x +1 3x − 2 x 3 () ;
2 2 2 2
4 x + x ⋅ 21+ x + 3 ⋅ 2 x > x 2 ⋅ 2 x + 8 x + 12 ;
x 2 −4 x +6
≥ (1 + a 2 x ) ( 0 < a < 1)
2 2
+ (1 − a 2 )
− 4 x +6
( 2a ) x −4 x +6
;
6. B t phương trình mũ ch a tham s
2 2 2
Bài 1. Tìm m BPT sau có nghi m: 2 sin x
+ 3 cos x
≥ m ⋅ 3 sin x
(1)
sin 2 x sin 2 x sin 2 x
(1) ⇔ 2
3 () + 31−2 sin
2
x
≥m⇔ 6
9 () +3 1
9 () ≥m
u u
t u = sin 2 x ∈ [ 0;1] , ycbt ⇔ f ( u ) = 6
9 ( ) + 3( 1 )
9
≥ m có nghi m u ∈ [ 0;1]
⇔ Max f ( u ) = f ( 0 ) = 4 ≥ m
u∈[0;1]
Bài 2. Tìm m BPT sau úng ∀x ∈ »: m ⋅ 4 x + ( m − 1) 2 x + 2 + ( m − 1) > 0 (1)
t u = 2 x > 0 , khi ó: (1) ⇔ mu 2 + 4 ( m − 1) u + ( m − 1) > 0
⇔ m ( u 2 + 4u + 1) > 4u + 1 ⇔ f ( u ) = 4u + 1 < m . Ta có
2
u + 4u + 1
f ′ (u ) = −4u 2 − 2u < 0 ∀u ∈ [ 0; +∞ ) ⇒ f ( u ) gi m trên [ 0; +∞ )
( u 2 + 4u + 1) 2
ycbt ⇔ f ( u ) = 4u + 1 < m , ∀u > 0 ⇔ Max f ( u ) = f ( 0 ) = 1 ≤ m
2
u + 4u + 1 u >0
Bài t p.
Tìm m BPT sau có nghi m: 49 x − 5 ⋅ 7 x + m ≤ 0 ; 4 x − m ⋅ 2 x + ( m + 3) ≤ 0 ;
Tìm m b t phương trình sau úng ∀x > 0: ( 3m + 1) 12 x + ( 2 − m ) 6 x + 3 x < 0
x x
Tìm m BPT sau úng ∀x ≤ 0: m ⋅ 2 x +1 + ( 2m + 1) ( 3 − 5 ) + ( 3 + 5 ) < 0
BPT sau úng ∀ x ≥ 1 : m ⋅ 9 2 x
2 2 2
−x −x −x
Tìm m − ( 2m + 1) 6 2 x + m ⋅ 42x ≤0
2
190

11. www.VNMATH.com
Phương trình và b t phương trình mũ
191